detectar un error sistemÁtico en una … · respetando el si de medidas. d (m) t (s) 0,105 0,150...

ApuntesFísica Experimental General A FAENA

Universidad de Panamá - Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y TecnologíaEscuela de Física - Segundo Semestre 2015Profesores Omayra Pérez y Bernardo Fernández

62

Fis - 126

Omayra Pérez ([email protected])Bernardo Fernández ([email protected])Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y Tecnología

Departamento de FísicaUniversidad de Panamá

Obtener el módulo del campo gravitatorio de manera experimental implica el control de la distancia y el tiempo de caída. En este caso, se fijó la distancia, y se midió el tiempo. Pero, la medición del tiempo en que recorre las distancias fijadas, como son pequeñas, requiere de un instrumento de me-dición de tiempo, con una precisión muy pequeña, del orden de los milisegundos. En este caso, se contaba con el instrumento de medición adecuado, pero, los resultados experimentales, señalaron la existencia de un error sistemático debido a problemas de calibración del aparato. Por lo que esta experiencia gira alrededor de determinar dicho error, para controlar su influencia en los resultados obtenidos y para lograr este objetivo, el análisis y tratamiento de los datos fue fundamental.

RESUMEN

INTRODUCCIÓN

El trabajo de Isaac Newton sobre la gravitación, para la sociedad en general, se ve representado y esquematizado, por la famosa anécdota o imagen de la caída de la manza-na. Pero, como anécdota, se aleja de las preguntas fundamentales que se planteó Newton, en su momento, donde relacionó el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, con el movimiento de un cuerpo cayendo sobre la superficie de la Tierra. Específicamente, si un cuerpo cae sobre la superficie de la Tierra, entonces, ¿por qué no cae la Luna hacia la Tierra o se aleja de ella? Palabras más, o palabras menos. La respuesta a esta cuestión, llevó a Newton a formular la conocida Ley de la Gravitación Universal, que nos permite afirmar que,

“la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masa m1 y m2, separados una distancia r es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la dis-

DETECTAR UN ERROR SISTEMÁTICO EN UNA EXPERIENCIA

FAENA

63

ApuntesFísica Experimental General A

Fis - 126

Universidad de Panamá - Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y TecnologíaEscuela de Física - Segundo Semestre 2015

Profesores Omayra Pérez y Bernardo Fernández

tancia” (Es.wikipedia.org, 2015). Lo que se conoce por la expresión,

=

F Gm m

rr̂1 2

2 (1)

Donde G es la constante de gravitación universal. Esta constante se relaciona con el módulo del campo gravitatorio (g) a través de la expresión,

=g G Mr 2

(2)

Las dos expresiones matemáticas anteriores (1 y 2), son muy conocidas.

Conocer la intensidad del campo gravitatorio ha sido de interés de muchos científicos en el campo de la física. Se sabe, en la actualidad, que el módulo del campo gravitatorio varía de un lugar a otro, pues, la Tierra no es totalmente esférica y posee montañas, etc. La poca esfericidad de la parte sólida se aprecia en la figura 1 (Geodesia, 2015).

Conocer la intensidad del módulo del campo gravitatorio pasa por un proceso de medi-ción. Por lo que no es de extrañar que, desde Cavendish hasta la actualidad, se han dise-ñado y utilizado distintos sistemas de medición.

“Distintos instrumentos permiten medir g: péndulos, balanzas de torsión (como la uti-lizada en 1798 por Henry Cavendish, en un experimento que determinó G con notable exactitud), gravímetros de muelle (donde se controla el alargamiento de éste), reflectores en alto vacío (capaces de detectar en su caída las deformaciones, por fuerzas de marea,

Fig. 1. Geoide de la superficie sólida de la Tierra que basicamentedefine el potencial gravitatorio.



64

Fis - 126

de la corteza del planeta) o aparatos que miden las fluctuaciones de un campo magnético” (Boada, 2005).

Lo anterior nos permite afirmar que la experiencia que realizamos y que vamos a descri-bir aquí, no es novedosa. Nuestro objetivo es didáctico, medir indirectamente el módulo del campo gravitatorio (g) cerca de la superficie de la Tierra. Para ello, se midió el tiempo que una canica, en caída libre toma para recorrer, una distancia conocida. Como el fenómeno de caída libre de un cuerpo, con rapidez inicial cero, es explicado a través de modelos de la mecánica clásica, se utilizó la expresión,

=d 12g t2 (3)

La expresión (3), permitió predecir los tiempos que se debían obtener para las distan-cias seleccionadas (Tabla 1). Esto último, a partir de la suposición, respaldada por un sin número de mediciones, de que se encontraría un valor de g de aproximadamente 9,82 N/kg. En cuanto a las distancias seleccionadas se eligió como distancia mínima de trabajo 0,105 m y distancia máxima 0,595 m. Como se puede apreciar en la tabla 1, se trabajó, respetando el SI de medidas.

d (m) t (s)0,105 0,1500,200 0,2020,300 0,2490,400 0,2870,505 0,3210,595 0,348

Se procedió a realizar la experiencia de caída de una masa (canica) que atraviesa dos compuertas (gate) manejadas por un dispositivo electrónico que posee la precisión del mi-lisegundo (figura N° 2).

Tabla 1. Tiempos esperados para las distancias establecidas, a partir de la expresión 3.

PROCEDIMIENTO

FAENA

65


Fis - 126



El dispositivo de medición de los tiempos de caída, es un cronómetro marca Didaline (TSd), con precisión de hasta los milisegundos (ms). Este cronómetro tiene dos compuer-tas, una que marca el tiempo en que se da inicio a la experiencia (tiempo de arranque) y otro que marca el tiempo de parada (tiempo de paro). En la pantalla digital del cronómetro, se refleja la diferencia de tiempo entre el tiempo de arranque y el tiempo de paro (figura 3). Lo que permitió reducir al mínimo la dispersión que se podía introducir debido al tiempo de reacción del experimentador (se evaluó este tiempo con los estudiantes y los resultados se presentan en el apéndice).

Fig. 2. Montaje experimental.

Fig. 3. Dispositivo de medición de los tiempos, montaje experimental y canica.



66

Fis - 126

La distancia mínima utilizada fue de aproximadamente 10,0 cm (figura 4), y la máxima de 60,0 cm. Se procedió de 10 en 10 cm (variable independiente) de manera a obtener seis valores del tiempo de caída.

En cuanto al análisis y tratamiento de la información que se obtuvo, se trabajaron con el programa Origin 5.0.

En las primeras pruebas se observó variabilidad en el tiempo por lo que para controlar la variable dependiente se midió el tiempo 20 veces. La tabla 2 muestras los valores en-contrados.

En primera instancia, suponemos que el modelo no es cuestionable, por lo que grafi-camos d versus t2 de manera a obtener el factor g/2 y se obtiene la gráfica de la figura 5.

En la representación gráfica mostrada en la figura 5 los puntos están perfectamente alineados (poca dispersión) lo que indica que la experiencia está muy bien llevada, sin em-bargo, el valor de g no es el esperado 11,6 N/kg lo que nos hace pensar en la posibilidad

Fig. 4. Distancia mínima de separación entre las compuertas.

RESULTADOS Y ANÁLISIS

FAENA

67


Fis - 126



de un error sistemático. Este valor tiene un 18 % de error, está muy lejos del error que se esperaba tener que estaba entre 2 % y 4 %.

Distancia en cm 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0

Tiempos en s

0,116 0,162 0,213 0,252 0,286 0,3350,115 0,170 0,211 0,244 0,269 0,3170,111 0,171 0,218 0,254 0,277 0,3260,119 0,167 0,209 0,240 0,285 0,3020,111 0,176 0,214 0,247 0,295 0,3150,114 0,171 0,210 0,257 0,286 0,3120,112 0,177 0,222 0,260 0,278 0,3080,116 0,171 0,219 0,260 0,298 0,3080,113 0,170 0,230 0,252 0,284 0,3080,116 0,175 0,225 0,277 0,288 0,2960,115 0,165 0,225 0,253 0,289 0,2980,116 0,170 0,215 0,256 0,261 0,3150,114 0,172 0,219 0,254 0,281 0,3260,118 0,173 0,221 0,240 0,270 0,3200,125 0,173 0,211 0,253 0,286 0,3180,123 0,165 0,219 0,267 0,300 0,3200,118 0,169 0,219 0,245 0,286 0,3180,113 0,162 0,220 0,251 0,286 0,315

Valor promedio 0,116 0,170 0,218 0,253 0,283 0,314Desviación estándar 0,004 0,004 0,006 0,009 0,010 0,010

t2 0,013 0,029 0,048 0,064 0,080 0,098

En vista de que hicimos la hipótesis sugerida por el modelo teórico de que la relación es cuadrática entre d y t, decidimos hacer dos ensayos previos de tipo análisis de los datos para descartar otras posibles fuentes de dispersión (aleatoria o sistemática).

Los siguientes ensayos parten de obtener g de la representación gráfica distancia vs tiempo directamente y de allí hacer los análisis (Figura 6).

1. La primera posibilidad implica la linealización de la gráfica 6, ya que parece ser una relación potencial (tal como sugiere la teoría), usando papel doblemente logarítmico (figura 7).

Tabla 2. Resultados obtenidos de la medición de los tiempos.



68

Fis - 126

Fig. 5. Distancia versus tiempo al cuadrado.

Fig. 6. Distancia vs tiempo.

FAENA

69


Fis - 126



La información mostrada en la gráfica 7, fundamenta las siguientes afirmaciones:

a. Con respecto a la ordenada en el origen, se tiene que el valor de g es de 8,52 N/kg (con una dispersión de 3 %) y con un error con respecto al valor esperado de 13 %.

b. Con respecto a la pendiente, que representa el exponente de la relación potencial y cuyo valor esperado es 2, se obtiene 1,71 con una dispersión de aproximadamente un 2 % y un error con respecto al valor esperado de 14 %.

Estos resultados nos indican que este método no es el idóneo para analizar la expe-riencia.

2. La segunda posibilidad es suponer que t tiene un valor inicial de to. Esto implica reali-zar un ajuste polinomial de orden 2 a la gráfica de la figura 6. Lo que no se aleja del modelo teórico, y se puede expresar de la siguiente forma,

( )= −

+ = + +d g2

t t c bt a to

2 2 (4)

En consecuencia, se obtiene,

d g2t t g

2t 2t t to

2 2o o

2( ) ( )= + = + + (5)

Y (5) se puede representar a su vez como,

Fig. 7. Gráfica distancia vs tiempo en papel doblemente logarítmico.



70

Fis - 126

= + +d at b t c2 (6)

Donde → →a g2; b g t ; g

2to o2 ; con el ajuste polinomial realizado con el programa

Origin 5.0, se obtiene la información en la tabla 3 y que facilita analizar la situación

Y=c+bX+ aX2

A→c B1→b B2→a(0,02 ± 0,03) (0,1 ± 0,3) (5,5 ± 0,6)

Con la información del coeficiente a, se obtuvo un valor de g = 10,9 N/kg, con un error con respecto al valor esperado de 11 %.

Con la información del coeficiente B1 (b) y A (c), las dispersiones son más grandes o del mismo orden que el valor medido. Lo que señala que el producto de g por to y g por to

2 tienen mucha dispersión. Estas dispersiones pueden venir de g o de to (o de ambos). Al calcular las dispersiones de cada caso se obtuvo valores superiores al 100 %, lo que significa que se descarta ese método.

Con estos resultados se regresa a la primera hipótesis, donde se fija el exponente a 2. Con lo que se establece que la relación a estudiar es d vs t2. Con el objetivo de identificar el error sistemático, a partir de esta primera hipótesis, se utilizaron los valores esperados de t que se indicaron en la tabla 1. Al graficar los valores medidos en función de los esperados en la figura 8.

Los resultados indican una fuerte correlación entre ambos. Esto sugiere restarlos 0 su-marlos y observamos una diferencia sistemática de alrededor de 0,03 s (promedio de 0,034 s) y una aleatoriedad en el tercer decimal como se esperaba (cifra dudosa), lo que indica un error sistemático del orden de 0,03 s (Ver tabla 3) que puede tener varias posibles causas. La causa más probable es la calibración del instrumento de medición del tiempo (puede ser error del cero).

Tabla 3. Valores obtenidos del ajuste de Origin para los coeficientes del ajuste polinomial de orden 2.

FAENA

71


Fis - 126



Distancia(m) Diferencia en tiempo (s)

Tiempo medido más di-ferencia de tiempo

(tb)0,110 0,034 0,1500,200 0,032 0,2040,305 0,031 0,2520,405 0,034 0,2870,505 0,037 0,3170,596 0,035 0,348

Para comprobar esta última hipótesis, se procedió a analizar más a fondo la informa-ción de la tabla 3, teniendo presente que los tiempos esperados (tabla 1) son mayores, que los tiempos medidos (tabla 2). En consecuencia, este hecho nos lleva a sumar el valor promedio de la diferencia de tiempos a los tiempos medidos (tabla 3, columna 3). El valor promedio de la diferencia de tiempos es: 0,034. Con estos nuevos resultados, se construyó la gráfica d vs tb

2 (Figura 9).

Fig. 8. Comparación de valores medidos y valores esperados.

Tabla 3. Distancia y diferencia en tiempo.



72

Fis - 126

De acuerdo a la información mostrada en la figura 9, se obtuvo una dispersión del 2 % y un valor de g de 10,00 N/kg, con un error del 2,0 % con respecto al valor esperado. Esta dispersión se encuentra dentro del rango de la dispersión esperada, con lo que se com-prueba la existencia de un error sistemático, posiblemente debido a problemas relaciona-dos con la calibración del instrumento de medición del tiempo.

Con el objetivo de encontrar más elementos que fundamenten lo señalado en el párrafo anterior, se procedió a analizar la representación gráfica distancia vs tb directamente. Para ello se utilizó la información mostrada en la tabla 4.

Distancia (m) tb (s)0,110 0,1500,200 0,2040,305 0,2520,405 0,2870,505 0,3170,596 0,348

Fig. 9. Representación gráfica d vs tb2.

Tabla 4. Distancia medida y tiempo corregido (tb).

FAENA

73


Fis - 126



La representación gráfica de la distancia vs tb es presentada en la figura 10.

Como se puede apreciar en la figura 10, sólo un punto está ligeramente fuera de la cur-va. Al linealizar, en papel doblemente logarítmico, la información de la figura 10, se obtuvo la representación gráfica de la figura 11.

Fig. 10. Representación gráfica D vs tb.

Fig. 11. Linealización de D vs tb, en papel doblemente logarítmico.



74

Fis - 126

La información mostrada en la gráfica 11, fundamenta las siguientes afirmaciones:

• Con respecto a la ordenada en el origen, se tiene que el valor de g es de 10,10 N/kg (que debemos comparar con el caso anterior de 8,52 N/kg, con un error con respec-to al valor esperado de 13 %). En este caso, la dispersión, es de un 3 %. Con lo que se logró un resultado dentro del rango de la dispersión esperada.

• Con respecto a la pendiente, que representa el exponente de la relación potencial y cuyo valor esperado es 2, se obtuvo 2,03, con una dispersión de 1,5 % y un error con respecto al valor esperado de 1,5 % (comparándola con la dispersión de aproxi-madamente un 15 % en el caso de los datos sin la corrección del error sistemático).

En el caso de un ajuste polinomial de orden 2 se obtuvo la información mostrada en la tabla 5.

Y=c+bX+ aX2

A→c B1→b B2→a(0,018 ± 0,04) (-0,21 ± 0,3) (5,4 ± 0,7)

Con la información del coeficiente a, se obtuvo un valor de g = 10,82 N/kg, con un error de 10 % con respecto al valor esperado pero una dispersión de 2 %. En este caso no hubo una diferencia significativa con los resultados anteriores en lo referente al valor de g. Nue-vamente, la del coeficiente B1 (b) y A (c), se caracteriza porque las dispersiones son más grandes o del mismo orden que el valor medido. Lo que señala que el producto de g por t0 y g por to

2 tienen mucha dispersión. Estas dispersiones pueden venir de g o de to (o de ambos). Al calcular las dispersiones de cada caso se obtuvo valores superiores al 100 %, lo que significa que se descarta ese método. Lo que fundamenta, nuestra hipótesis sobre la existencia de un error sistemático, un error en el mismo sentido debido a problemas rela-cionados con la calibración del instrumento de medición del tiempo.

Obtener el módulo del campo gravitatorio de manera experimental implicó superar el error sistemático debido a que el aparato de medición no estaba calibrado adecuadamente.

Tabla 5. Valores obtenidos del ajuste de Origin para los coeficientes del ajuste polinomial de orden 2.

CONCLUSIONES

FAENA

75


Fis - 126



Determinar y fijar el error sistemático, permitió obtener un valor del módulo del campo gra-vitatorio, dentro del rango de dispersión esperado.

1. Boada, M., 2005. Taller y laboratorio, 71, pp.3–5.2. Es.wikipedia.org, (2015). Medición. [Online] Disponible:

https://es.wikipedia.org/wiki/Medici%C3%B3n [Consultada el 22 agosto, 2015].3. Geodesia, (2015). Geodesia. [Online] Disponible en:

https://geodesiaudec.wordpress.com/page/2/ [Consultada el 27 agosto, 2015].4. Pérez O., Fernández B. 2010. Iniciación a las Actividades Experimentales. Estación

RN50 Imprenta Articsa. Primera edición, 250 ejemplares en papel y 400 en CD. 184 pági-nas.

REFERENCIAS

detectar un error sistemÁtico en una … · respetando el si de medidas. d (m) t (s) 0,105 0,150...

Documents