UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALFRANCISCO DE MIRANDA

ADIUNIDAD CURRICULAR TRABAJO II

ESTADISTICA

MEDIDAS DE DISPERSIÓNPROF: Dra. Marina Ávila

ESCOGENCIA ENTRE EL PROMEDIO, LA MEDIANA Y EL MODO.

El promedio aritmético es el que se utiliza con mayor fr.

a. El promedio aritmético como medida de resumen tiene la ventaja de tomar en cuenta la totalidad de los valores de la serie y su desventaja es que puede ser afectado por valores anormalmente altos o bajos.

b. La mediana debe ser utilizada cuando los valores que se estudian hay alguno muy diferente de los otros. Ejm. Tiempo de hospitalización de 5 niños con gastroenteritis fuera:

2, 3, 4, 6 y 30 días. El promedio: 45/5 = 9 días.

La mediana es de 4 días, tiene ventaja de no tomar en cuenta los valores anormalmente extremos.

Cuando los valores extremos no existen, el valor del promedio y la mediana concuerdan, si la serie es simétrica

Cuando los valores extremos no existen, el valor del promedio y la mediana concuerdan, si la serie es simétrica. Ejm.

3, 5, 7, 9, 11.

c. El modo, es la constante que se emplea cuando el interés se centra en conocer el valor que más se repite.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Medida que indica claramente como se distribuyen las observaciones alrededor de un promedio o mediana.

Medidas de variación: Desviación estándar (s) Intervalo intercuarticular Variancia Coeficiente de Variación.

IMPORTANCIA DE LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Si se tiene un grupo de pacientes de 7 individuos cada uno:

Constatar los siguientes puntos.1. Cada serie tiene el mismo número de observaciones2. En los 3 casos la amplitud de la serie es la misma3. Las 3 series tienen el mismo promedio4. Tienen la misma mediana5. 5. en cada serie el promedio y la mediana coinciden

exactamente.

Enfermedades Días de hospitalización de los pacientes

Gastroenteritis

Bronquitis

Amigdalitis

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13

1, 2, 3, 7, 11, 12, 13

1, 5, 6, 7, 8, 9, 13

Sin embargo las 3 series son muy distintas:

a. Gastroenteritis: los 7 Px se distribuyen uniformemente en el lapso de 1 a 13 días

b. bronquitis: los Px se agrupan en los extremos de dicho lapso 1, 2, 3 y 11, 12, 13

c. Amigdalitis: se agrupan hacia el centro (5, 6, 7, 8, 9)

CALCULO DE LA DESVIACIÓN ESTANDAR (S) EN SERIES NO AGRUPADAS

D. E. consiste en averiguar cuanto difiere cada observación del promedio general del grupo (xi -X=x), esta suma es igual a 0, se eleva cada desviación al cuadrado para hacer desaparecer el signo.

La suma de estos cuadrados se divide entre el num. de observaciones -1 (n-1)

y luego se extrae la raíz cuadrada para volver a la unidad de origen.

S=√(xi -Xi) / n-1

Ejm.

Días de hospitalización en 7 pacientes con bronquitis

Numero de pacientes

Días de hospitalización Xi

Valores Xi al cuadrado

PrimeroSegundoTerceroCuartoQuinto sextoséptimo

1237

111213

149

49121144169

Total 49 497

Pasos a seguir:

1. Sumar la observaciones Σxi =49

2. Elevar al cuadrado cada observación y sumar esta columna Σxi 2=497

3. Elevar al cuadrado la suma de las observaciones y ÷ por el num. De observaciones (Σxi )2 /n=(49)2 /7=343

4. Restar este último valor a la suma de cuadrados obtenida (497-343)=154

5. Dividir por el núm. de observaciones menos 1, (n-1) y extraer la raíz cuadrada.

6. S=√(154/6)=5,07

DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN SERIES AGRUPADAS

Escolares de acuerdo a su peso

(Cálculo de la desviación estándar)

peso en kilos (1)

Número de personas fi

(2)

Punto medio de cada clase xi (3)

Producto fi .xi col. (2x3) fi .xi

(4)

Xi 2

(5)Producto fi .xi 2 (cols. 3x4) f1 .xi 2 (6)

20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-54

489

10766

22273237424752

88216288370294282312

484729

1.0241.3691.7642.2092.704

1.9365.8329.216

13.69012.34813.25416.224

Total 50 1.850 72.500

s=√Σfi .Xi 2 -(fi .Xi )2 /n /n-1

= √72.500-(1850 2 /50) = √82,6=9,1 kilos

49

Promedio = 1850/50=37 kilos

Pasos a seguir:

1. Obtener valores fi xi (col. 2 x 3) y sumar los valores= 1850

2. Obtener valores fi xi 2 (col. 3 x 4) y sumar estos valores=72500

3. Elevar al cuadrado la suma fixi y ÷ entre el num. de observaciones (18502 /50=68450

4. Restar a 72.500 (72.500-68450=4050)

5. 4050÷n-1 y sacar raíz cuadrada (√4050/49=9,1 kilos)

UTILIZACIÓN DE LA D.E.

Junto con el promedio, ayuda a determinar los limites dentro de los cuales se encuentran las observaciones que se estudian

Esta interpretación se basa en las propiedades de la Curva Normal:

Tiene forma de campana Perfectamente simétrica, una perpendicular que pasa por su

vértice la divide en 2 partes iguales (la perpendicular representa el promedio aritmético)

Tiene 2 puntos de inflexión (derecho e izquierdo) La distancia que separa a cada punto de inflexión de la línea

central que representa el promedio constituye una D.E. Su totalidad del área se encuentra comprendida a 3 D.E.

Ejm. Si la edad promedio de un grupo de individuos es de 30 años y la D.E. =3 años, entonces:

Aprox. El 68% de los individuos tienen entre 27 y 33 años (X ± 1 D.E= 1x3)

Aprox. El 95% de los individuos tienen entre 24 y 36 años (X±2 D.E=2x3)

Prácticamente la totalidad de los individuos tienen entre 21 y 39 años (X±3 D.E= 30±3x3)

Curva Normal.

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Consiste en expresar la D. E. como una proporción del promedio.

La D. E. varia de acuerdo a las unidades utilizadas. Ej.: el peso de un grupo de estudiantes se encuentra que la D.

E es de 5 kilos, su valor seria de 5000 gramos, si se expresa en gramos.

Si en un estudio de glóbulos rojos y en otro sobre glóbulos blancos se hubiera encontrado:

Glóbulos rojos glóbulos blancos

Promedio = 5.000.000 promedio = 10.000

D. E= 100.000 D. E=1.000

Cuando se quiere hacer comparaciones de este tipo, se recurre al coeficiente de variación.

Coeficiente de variación = D.E/promedio x 100, entonces:

Para G.R: C.V.= 100.000/5.000.000x100=2%

Para G.B: C.V.= 1.000/10.000x100=10%

Se concluye, que la variación relativa de los G. B, es mayor que la de los G.R.

INTERVALO INTERCUARTICULAR

Se entiende por percentiles y cuartiles.

El termino percentil deriva de “por cierto”, por lo tanto, una serie de observaciones no puede tener más de 100 percentiles.

Cada percentil indica el % de observaciones que en determinada serie esta por debajo de él. El 10° percentil por ejemplo, es el valor por debajo del cual está el 10% de las observaciones.

Según esto, la mediana es el 50° percentil y por debajo de ella se encuentra el 50% de las observaciones-

Al 25° percentil se le da el nombre de 1er cuartil (por debajo de ese valor se encuentra el 25% de las observaciones)

El 75° percentil se le da el nombre de tercer cuartil.

CALCULO DEL PRIMER CUARTIL (Q1).

Se procede de manera semejante, como se hizo el calculo de la mediana.

a. Buscar los verdaderos limites de la clase-

b. Obtener la frecuencia acumulada de las observaciones

c. Averiguar cúal de las observaciones corresponde al primer cuartil, o sea:

(n/4)=(50/4)=12,5

d. Como el primer cuartil estará situado en la posición 12.5 y como hay 12 observaciones por debajo de 29,5 kilos, se necesita ½ observación más (12.5-12=0,5) de las que hay en la siguiente clase. Las observaciones están igualmente espaciadas, se tomara 0,5/9 de la amplitud de la siguiente clase y se añadirá a su punto de comienzo, con el fin de obtener el valor del 1er cuartil.

Q1=29,5+(0,5/9)x5)=29,5+0,27=29,77 kilos

Peso en kilos (1)

Intervalos verdaderos

Nº de escolares

Frecuencias acumuladas

20-24

25-+29

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

19.-,5-25,5

24,5-29,5

29,5-34,5

34,5-39,5

39,5-44,5

44,5-49,5

49,5-54,5

4

8

9

10

7

6

6

4

12

21

31

38

44

50

Total 50

CALCULO DE TERCER CUARTIL (Q3)

(3/4)n=(3/4)x50=37,5, por tanto:

Hay 31 observaciones por debajo de 39,5 kilos, se necesitan 6,5 observaciones más de las 7 que hay en la próxima clase, o sea se debe tomar 6,5/7 de la amplitud de la clase y añadirlo a su comienzo para averiguar el valor del Q3:

Q3=39,5+ ((6,5/7)x5)=39,5+4,64=44,14 kilos.

INTERVALO INTERCUARTICULAR

Es aquel comprendido entre el primer y tercer cuartiles

Su utilidad consiste en que dentro de los límites determinados por el, se encuentra el 50% de las observaciones “centrales”, generalmente no afectadas por las fluctuaciones extremas de la serie.

Mide la dispersión de los valores de la serie, mientras más próximos sus límites, mayor concentración de las observaciones alrededor de la mediana.

Ejm. Días de hospitalización de dos grupos de pacientes es:

primer grupo segundo grupo

Ma=10 Ma=10

Q1=9 Q1=3

Q3=11 Q2=18 A pesar que la mediana es 10 para ambos grupos, en el 1ro. El

50% de los Px tienen valores muy próximos a ella y en segundo grupo, la dispersión es mucho mayor

Q = Qi y Q3 el resumen de la serie quedarìa imcompleto