desigualdad isoperimétrica del plano

Desigualdad isoperimtrica del plano eSergio Porres Blanco Universidad de Granada [email protected]

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Indice1 Introduccin o 2 Desigualdad isoperimtrica del plano e 2.1 Deniciones y teoremas previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.2 2.3 Curva plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curva plana simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dominio interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curva plana simple conexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9

Enunciado del teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 2.3.2 2.3.3 Demostracin de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

Demostracin de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 o Demostracin de Peter D. Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 o 23

Bibliograf a

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4

INDICE

Cap tulo 1 Introduccin oEn el siguiente trabajo trataremos de dar diferentes demostraciones de la desigualdad isoperimtrica. Como explica C. Hsiung,[4], hay muchas demostraciones geomtricas e e que dieren en las condiciones iniciales del teorema (algunas piden que la curva sea diferenciable, otras que el dominio interior sea convexo...). Nosotros veremos algunas de las demostraciones anal ticas de dicha desigualdad. La primera demostracin anal o tica fue expuesta por A. Hurwitz en 1902 y la ms simple a la dio Schmidt en 1939.

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6

CAP ITULO 1. INTRODUCCION

Cap tulo 2 Desigualdad isoperimtrica del e plano2.12.1.1

Deniciones y teoremas previosCurva plana

Una curva es plana si est contenida en un plano. a

2.1.2

Curva plana simple

Dado un espacio X, una curva plana simple si est contenida en un plano y es la a imagen de una funcin inyectiva y diferenciable : S1 X. o Dicho de manera ms coloquial, una curva es plana y simple si est contenida en un a a plano y no tiene autointersecciones.

2.1.3

Dominio interior

A la componente acotada de una curva la llamaremos dominio interior. 7

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CAP ITULO 2. DESIGUALDAD ISOPERIMETRICA DEL PLANO

2.1.4

Conjunto conexo

Un conjunto X es conexo si no es la unin disjunta de un par de conjuntos no vac o os y abiertos.

2.1.5

Curva plana simple conexa

Diremos que una curva es plana simple y conexa si es una curva plana simple y su dominio interior es un conjunto conexo.

2.1.6

Teorema de Green

Teorema 2.1.1. Sea R2 el dominio interior de una curva cerrada y simple positivamente orientada, diferenciable a trozos en R2 y F = (P, Q) un campo vectorial de clase C 1 en . Entonces

F dr =D D

(

P Q (x, y) (x, y))dxdy. x y

2.2

Enunciado del teorema

Teorema 2.2.1. Sea C una curva plana simple conexa y compacta de longitud L y su dominio interior. Entonces 4A() L2 y la igualdad se da si y slo si C es una circunferencia. o (2.1)

2.3. DEMOSTRACIONES

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2.32.3.1

DemostracionesDemostracin de Hurwitz o

En esta seccin veremos la demostracin dada por Adolf Hurwitz [1] en 1901. o o Lema 2.3.1. Sean A < B dos nmeros reales y f : [A, B] R una funcin de clase u o 2 C tal que f (A) = f (B) = 0. Existe una funcin h : [A, B] R de clase C 1 tal que o f (t) = h(t) sin BA (t A)

para cada

t [A, B].

Demostracin. Denimos la funcin h en el intervalo [A, B] por o o

h(x) =

f (t) si t (A, B) sin (t A) BA BA f

(A)

si si

t=A t=B

BA f (B)

Es claro que h es continua en los extremos del intervalo ya que

L1 = lim h(x) =tA

f (A) sin (A BA

A)

=

0 0

donde hemos usado que f (A) = 0. Aplicando la regla de LHpital, o

L1 = lim

tA BA

f (t) BA = f (A) = h(A). cos BA (t A)

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Anlogamente, a

L2 = lim h(x) =tB

f (B) f (B) 0 = = sin BA (t A) sin 0

donde hemos usado que f (B) = 0 De nuevo, aplicando la regla de LHpital, o

L2 = lim

tB BA

f (t) = cos BA (t A)

BA

f (B) = cos BA (B A)

BA

f (B) BA = f (B) = h(B). cos

Adems, por la denicin, se tiene que a o f (t) = h(t) sin (t A) , BA t [A, B].

Por otro lado, si t (A, B), tenemos

h (t) =

f (t) sin BA (t A)

f (t) cos BA (t BA

A)

sin

2

(t BA

A)

.

Luego, usando otra vez la regla de LHpital, o

tA

lim h (t) =

BA f (A) 2 BA f (B) 2

tB

lim h (t) =

con lo que h es de clase C 1 , ya que f era de clase C 2 por hiptesis. o

2.3. DEMOSTRACIONES

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Lema 2.3.2. (Desigualdad de Wirtinger). Sea f : [A, B] R una funcin de clase o 2 C tal que f (A) = f (B) = 0. Entonces

B A

2 (f (t)) dt (B A)22

B

(f (t))2 dtA

u y la igualdad se da si y slo si f (t) = a sin BA (t A) para algn a R. o

Demostracin. Denimos o

f (t) = h(t) sin

(t A), t [A, B] BA

para cierta funcin h de clase C 1 , segn el Lema (2.3.1) anterior. o u Ahora:

f (t) = h (t) sin

(t A) + h(t) cos (t A) BA BA BA

(f )2 (t) = (h )2 (t) sin2

2 (t A) + h2 (t) cos2 (t A) 2 BA (B A) BA 2 h(t)h (t) sin (t A) cos (t A) + BA BA BA 2 h2 (t) sin2 (t A) 2 (B A) BA

f 2 (t) = h2 (t) sin2

(t A) BA

d ( h(t)2 sin (t A) cos (t A)) dt B A BA BA 2 = h2 (t)(cos2 (t A) sin2 (t A)) 2 (B A) BA BA 2 + h(t)h (t) sin (t A) cos (t A). BA BA BA

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Usando lo anterior, llegamos a: 2 (t A) (f (t))2 = h (t)2 sin2 2 (B A) BA d + ( h(t)2 sin (t A) cos (t A)). dt B A BA BA

(f (t))2

Integrando entre A y B y usando el teorema fundamental del clculo, obtenemos a

B

(f (t))2 dt A

2 (B A)2

B

B

(f (t))2 dt =A A

(h (t))2 sin2

(t A)dt 0, BA

y la igualdad se da si y slo si h (t) = 0 para cada t [A, B], o sea, si h(t) = a para o algn a R. u

Lema 2.3.3. Sea : R R2 una curva parametrizada por el arco L-peridica con o traza simple. Veamos que existen s0 (0, L/2) y dos rectas perpendiculares R1 y R2 del plano, de forma que (0),(L/2) R1 y que (s0 ), (s0 + L/2) R2 . Demostracin. Sea R1 la recta que determinan los puntos (0) y (L/2), que son o distintos, porque es inyectiva en [0, L). Entonces est claro que (0) y (L/2) a estn en R1 . a Ahora, sea

e1 =

(L/2) (0) , |(L/2) (0)|

la funcin f : [0, L/2] R dada por o

f (s) = (s + L/2) (s), e1 , s [0, L/2]

2.3. DEMOSTRACIONES

13

es continua, pues |(L/2) (0)| = 0 por lo que el producto escalar es continuo. Adems, llegamos a f (0) > 0. Vemoslo: a a

f (0) =

(L/2) (0), e1 = (L/2) (0),

(L/2) (0) |(L/2) (0)|2 = |(L/2) (0)| |(L/2) (0)|

= |(L/2) (0)| > 0 y f (L/2) = = (L) (L/2), e1 = (0) (L/2), (0) (L/2), (L/2) (0) |(L/2) (0)|

(L/2) (0) (L/2) (0) = ((L/2) (0)), |(L/2) (0)| |(L/2) (0)| 2 |(0) (L/2)| (L/2) (0) = = (L/2) (0), |(L/2) (0)| |(L/2) (0)| = |(L/2) (0)| < 0 donde hemos usado que es L-peridica. o Por lo tanto, existe s0 (0, L/2) tal que f (s0 ) = |(s0 + L/2) (s0 )| = 0, es decir

(s0 ) (s0 + L/2), por lo que

(L/2) (0) = 0, |(L/2) (0)|

((s0 ) (s0 + L/2)) ((L/2) (0)). Como consecuencia, la recta R2 que pasa por (s0 ) y por (s0 +L/2) es perpendicular a R1 .

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Con las hiptesis del lema anterior, eligiendo como sistema de referencia af del o n plano

O = R1 R2 ; e1 = (L/2) (0) ; |(L/2) (0)|L

e2 =

(s0 + L/2) (s0 ) , tenemos que |(s0 + L/2) (s0 )|L

L

|(s)| ds =0 0

2

(s), e1 ds +0 s0 +L/2

2

(s), e2 2 dss0 +L L/2

=s0 L

(s), e1 2 ds +s0 +L/2

(s), e1 2 ds +0

(s), e2 2 ds

+L/2

(s), e2 2 ds. (2.2)

Lema 2.3.4. Usando la igualdad (2.2) y la desigualdad de Wirtinger -Lema (2.3.2)se tiene que

L

|(s)|2 ds 0

L3 . 4 2

Demostracin. Por la forma de escoger el sistema de referencia en el plano, podemos o aplicar la desigualdad de Wirtinger (Lema 2.3.2) en cada una de las cuatro integrales de (2.2). Observemos que por la desigualdad de Wirtinger,

s0 +L/2

(s), e1 2 ds s0

(L/2)2 2

s0 +L/2

( (s), e1 2 ) ds =s0

L2 4 2

s0 +L/2

( (s), e1 2 ) dss0

s0 +L

(s), e1s0 +L/2

2

L2 ds 2 4

s0 +L

( (s), e1 2 ) dss0 +L/2

2.3. DEMOSTRACIONES

15

L/2

(s), e2 2 ds 0

L2 4 2

L/2

( (s), e2 2 ) ds0

L

(s), e2 2 ds L/2

L2 4 2

L

( (s), e2 2 ) ds.L/2

As ,L 0

L2 ( |(s)| ds 4 22 L/2

s0 +L/2

s0 +L

( (s), e1 ) ds +s0 L s0 +L/2 2

2

( (s), e1 2 ) ds

+0

( (s), e2 ) ds +L/2 L 0

( (s), e2 2 ) ds)

L2 = 4 2

L3 | (s)| ds = 2 , 42

como quer amos ver, ya que estaba parametrizada por el arco. Nota 2.3.5. Antes de seguir con la demostracin enunciaremos el Teorema de Joro dan para tener claro el concepto de dominio interior, que luego usaremos. Teorema 2.3.6. Toda curva cerrada simple del plano divide al plano en dos componentes conexas disjuntas que tienen a la curva como frontera comn. Una de estas u componentes est acotada (su dominio interior) y la otra es no acotada y se le llama a exterior. Lema 2.3.7. Dada una curva parametrizada por el arco peridica de longitud L, o cuya traza es simple, si es su dominio interior, veamos que

L

1/2

2A() 0

|(s)| ds

2

L1/2

y que la igualdad se da si y slo si es una circunferencia de centro en el origen. o

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Nota 2.3.8. Una vez probado sto ya tendremos la demostracin de Hurwitz de la e o desigualdad isoperimtrica, ya que llegamos a que e

L

1/2

2A() 0

|(s)| ds

2

L1/2

L3/2 1/2 L2 L = 2 2

lo que implica, despejando L2 , que

4A() L2 . Demostracin. Primero demos una expresin al area A(): Sea una parametrizacin o o o de y n el vector normal a que apunta hacia . Consideramos X una parametrizacin o de dada por

X(p) = p, por lo que su divergencia es

X(x, y) = (x, y)

divX =

dX1 dX2 (x, y) + (x, y), dx dy

luego divX =

dx dy + = 1 + 1 = 2. dx dy

As tenemos (s) = (x(s), y(s)) parametrizada por el arco. , El tangente, (s) = (x (s), y (s)), y su vector normal ser n(s) = (y (s), x (s)). a Por lo que (s), n(s) = xy + yx . Por el teorema de la divergencia

2dxdy =

(s), n(s) ds.

2.3. DEMOSTRACIONES

17

Como A() =

dxdy, llegamos a que A() = 1 2 (s), n(s) .

(2.3)

1 L |(s)|ds y, uti2 0 lizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz (para espacios L2 ([0, L])) en la segunda desigualdad, es decir, Observemos que u, v |u||v|. As tenemos que A()

L

L

L

uv 0 0

f20

g2

siendo u = || y v = 1. 1 A() 2L 0

1 |(s)|ds 2

L

L

|(s)|2 ds0 0

1 1ds = 2

L 0

|(s)|2 ds L.

Si se diera la igualdad, tendr amos que

u(s) = rv(s), lo que implica que, tomando normas, |(s)| = r s R. Es decir, C estar a contenida en la circunferencia de radio r y de centro el origen. Por ser curvas simples y compactas, C y esa circunferencia deben coincidir.

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2.3.2

Demostracin de Schmidt o

Esta demostracin data del ao 1939, por lo que es ms moderna que la demostracin o n a o 1 de Hurwitz. Es vlida para el caso de curvas C y est basada en el teorema de a a Green (Teorema 2.1.1). La encontraremos en [2]. Sean E y E dos rectas paralelas que no cortan a la curva cerrada C y desplacmoslas e hasta que corten a C por primera vez. Obtenemos as dos rectas paralelas y tangentes a C, l y l , de forma que la curva est enteramente contenida en la banda delimitada a por K y K . Considrese un c e rculo S 1 que es tangente a K y K y no corta a 1 C. Sea O el centro de S y tmese el sistema de coordenadas con origen en O o y de eje x perpendicular a K y K . Parametricemos C por la longitud de arco, (s) = (x(s), y(s)), de forma que est orientada positivamente y que los puntos de e tangencia con l y l sean s = 0 y s = s1 , respectivamente. Podemos suponer que la ecuacin de S 1 es o (s) = ((s), y (s)) = (x(s), y (s)), s [0, L] x donde 2r es la distancia entre l y l . Usando la ecuacin (2.3) y denotando por A el o 1 area encerrada por S , tenemos L L

A=0

xy ds,

A = r2 = 0

y x ds.

As ,L L

A + r2 =0 L

(xy y x )ds 0

(xy y x )2 ds L

0

(x2 + y 2 )((x )2 + (y )2 )ds = 0

x2 + y 2 ds (2.4)

= Lr.

Recordemos ahora que la media geomtrica de dos nmeros positivos es menor o e u igual que su media aritmtica y que la igualdad se da si, y slo si, stos son iguales. e o e De esto se deduce que 1 1 A r2 (A + r2 ) Lr. 2 2 (2.5)

2.3. DEMOSTRACIONES

19

Por tanto, 4Ar2 L2 r2 , y esto da la ecuacin (2.1). o Supongamos ahora que se da la igualdad en la ecuacin (2.1). Entonces deben darse o las igualdades en las ecuaciones (2.4) y (2.5). De la igualdad (2.5) se sigue que A = r2 . As L = 2r y r no depende de la eleccin de la direccin de la recta l. , o o Ms an, la igualdad en la ecuacin (2.4) implica que a u o

(xy y x )2 = (x2 + y 2 )((x )2 + (y )2 ). Desarrollando ambos lados de la igualdad tenemos que

x2 (y )2 + y 2 (x )2 2xx y y = x2 (x )2 + x2 (y )2 + y 2 (x )2 + y 2 (y )2 . De donde se llega a

(xx + y y )2 = 0; o sea,

x y = = y x

x2 + y 2 (y )2 + (x )2

= r.

Por tanto, x = ry . Como r no depende de la eleccin de la direccin de la recta o o L, podemos intercambiar x e y en la ultima relacin y obtener y = rx . As o ,

x2 + y 2 = r2 ((x )2 + (y )2 ) = r2 y C es un c rculo, como quer amos demostrar.

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2.3.3

Demostracin de Peter D. Lax o

Esta prueba apareci publicada como art o culo [3] en 1995. Es algo ms simple y a directa que las dems. Para empezar, la demostracin est hecha para curvas planas a o a de longitud L = 2, por lo que vamos a demostrar que A() . Dados x(s), y(x) una parametrizacin de la curva C y s el arco de curva, 0 s 2. o Supongamos que estamos en las posiciones de las curvas x(0), y(0) y x(), y() sobre el eje x, es decir y(0) = 0 = y(). El rea encerrada en la curva viene dada por la frmula a o

2

A=0

y xds.

Escribiendo la integral como suma de integrales

2

A1 + A2 =0

y xds +

y xds,

cada una de ellas es menor o igual que

. Observemos que 2

ab

a2 + b 2 ; 2

donde la ecuacin slo se da si a = b. Aplicando sto a y = a x = b, llegamos a que o o e

A1 =0

y xds

1 2

(y 2 + x2 )ds. 0

(2.6)

Como s es el parmetro arco de curva, x2 + y 2 = 1, podemos reescribir la desigualdad a anterior como 1 2 A1 (y + 1 y 2 )ds. (2.7) 2 0

2.3. DEMOSTRACIONES

21

Como y = 0 para s = 0 y para s = , podemos factorizar y como

y(s) = u(s) sin s, siendo u acotada y diferenciable. Derivando ah :

y = u sin s + u cos s. Sustituyendo sto en (2.7), llegamos a e

A1

1 2 1 = 2

(u2 sin 2 s + 1 + u2 sin 2 s + u2 cos 2 s 2uu sin s cos s)ds 0

[u2 (sin 2 s cos 2 s) 2uu sin s cos s u2 sin 2 s + 1]ds. 0

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Bibliograf a[1] S. Montiel, A. Ros, Curvas y Supercies. 2a edicin, Proyecto Sur de Ediciones o (1998). [2] M. P. do Carmo, Geometra diferencial de curvas y supercies. Alianza Univer sidad Textos, Madrid, 1990 (1976). [3] P. D. Lax, The American Mathematical Monthly,Vol. 102, No. 2. (Feb., 1995). [4] C. Hsiung, A rst course in Dierential Geometry, University Microlms International (1992).

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desigualdad isoperimétrica del plano

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