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Desigualdad de Lowner de tipoindefinida

Noelia Belen Rıos

Septiembre, 2011

1

INDICE

Indice

1. Introduccion 3

2. Preliminares 42.1. Funciones monotonas de matrices y de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. J-orden. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. J-subespacios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4. Observaciones y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Desigualdades 83.1. Inercia de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. El Teorema principal y sus consecuencias 124.1. El Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2. Observaciones y consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

A. Apendice: Prolongamiento analıtico de funciones MOP 16A.1. Notacion y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17A.2. Teoremas de Lowner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17A.3. Los resultados de Bendat y Sherman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Trabajo Final de Analisis Matricial Hoja 2 de 23

1. Introduccion

Si consideramos a Cn dotado del producto interno usual 〈 . , . 〉, dadas dos matrices autoadjuntasA y B tales que σ(A), σ(B) ⊂ (α, β), tenemos definida la siguiente relacion de orden

A > B ⇐⇒ 〈Ax, x〉 > 〈Bx, x〉, ∀x ∈ Cn.

A partir de esto, se sabe que para cualquier funcion f(t) que sea monotona de operadores en elintervalo (α, β) se tiene que

A > B ⇒ f(A) > f(B),

donde la matrices f(A) y f(B) estan bien definidas por el calculo funcional para matrices auto-adjuntas. Si ahora consideramos una matriz J que sea involutiva y autoadjunta, podemos dotar aCn de un producto interno (indefinido) de la siguiente manera

[x, y]J := 〈Jx, y〉,

y para un par de matrices J-autoadjuntas A y B, podemos definir una relacion de J-orden por

AJ> B ⇐⇒ [Ax, x]J > [Bx, x]J , ∀x ∈ Cn.

El objetivo de este trabajo, basado en el paper de T. Ando [A], es mostrar que si A y B son matricesJ-autoadjuntas tales que todos sus autovalores son reales y estan contenidos en un intervalo (α, β)(finito o infinito), entonces para cualquier funcion f(t) que sea monotona de operadores sobre (α, β)se tiene que

AJ> B ⇒ f(A)

J> f(B),

donde las matrices f(A) y f(B) ahora estan bien definidas por la integral de Riesz-Dunford. Unaobservacion acerca de esta desigualdad es que, cuando J = I y f esta definida en el intervalo (0,∞)como f(t) = t

12 , se tiene ni mas ni menos que la desigualdad de Lowner clasica.

Para llegar a este resultado, en la seccion 2 hablaremos de las funciones monotonas de ope-radores, daremos la definicion de relacion de J-orden y de manera natural diremos que significaque una matriz sea J-autoadjunta. Tambien probaremos algunas propiedades basicas y haremosalgunas observaciones que nos interesaran para arribar al objetivo de este trabajo. En la seccion 3definiremos la Inercia de una matriz y mostraremos algunas desigualdades importantes derivadasdel Teorema de Lyapunov para matrices estables. En la seccion 4, nos dedicaremos exclusivamentea probar el Teorema principal y algunas consecuencias del mismo. Finalmente, en el apendice Adaremos una idea de la teorıa que desarrollaron Bendat y Sherman en el ano 1954, en cuanto alas funciones monotonas y convexas de operadores, para dar una demostracion mas moderna delTeorema de Lowner acerca del prolongamiento analıtico de funciones monotonas de operadores.

Departamento de Matematica - UNLP Hoja 3 de 23

2 PRELIMINARES

2. Preliminares

A lo largo de este trabajoMn(C) denotara al espacio de matrices cuadradas de dimension n×nsobre C y σ(A) al conjunto de autovalores de una matriz A ∈Mn(C).

2.1. Funciones monotonas de matrices y de operadores

Definicion 2.1.1. Dadas dos matrices autoadjuntas A y B en Mn(C), definimos la relacion deorden > dada por, A > B si y solo si A−B es una matriz semi-definda positiva; o equivalentemente〈Ax, x〉 > 〈Bx, x〉 para todo x en Cn.

Observacion 2.1.2. Si A > 0 se tiene que A > 0 y ademas es invertible. 4

2.1.3. Desigualdad de Lowner clasica.Es un resultado muy conocido de Lowner el hecho que, dado un par de matrices autoadjuntas

A y B en Mn(C), si A > B entonces A12 > B

12 .

Definicion 2.1.4. Decimos que una funcion continua f(t), definida en un intervalo real (finitoo infinito) (α, β), es una funcion monotona de matrices (MMA) (creciente) de orden n sipara cualquier par de matrices autoadjuntas A y B en Mn(C) tales que σ(A), σ(B) ⊂ (α, β)y A > B, entonces f(A) > f(B); donde f(A) esta definida por el calculo funcional usual paramatrices autoadjuntas. Si f(t) es una MMA de todos los ordenes sobre el intervalo (α, β), entoncesdecimos que f es una funcion monotona de operadores (MOP)1(creciente).

Observacion 2.1.5. Volviendo a la desigualdad de Lowner clasica (2.1.3) y teniendo en cuenta ladefinicion anterior, tenemos que la funcion raız cuadrada f(t) = t

12 es MOP sobre (0,∞). 4

Observacion 2.1.6. Si una funcion f es MOP en el intervalo finito (α, β), entonces la funcion gdefinida por

g(t) ≡ f(β − α

2t+

α+ β

2

),

es MOP en el intervalo (−1, 1), pues

β − α2

t+α+ β

2= α⇐⇒ t = −1,

y analogamente,β − α

2t+

α+ β

2= β ⇐⇒ t = 1.

4

Uno de los resultados mas fuertes de Lowner acerca de la caracterizacion de las funcionesMOP sobre un intervalo real (α, β), es que f(t) se puede prolongar analıticamente en el dominioC− {(∞, α] ∪ [β,∞)} como una funcion de z, de manera tal que

Im(f(z)) Im(z) > 0 (z ∈ C, Im(z) 6= 0).

Daremos una demostracion de este resultado en el apendice A.1El nombre funcion monotona de operadores viene del hecho de que para una funcion MMA de todos los

ordenes, el orden preservado por la relacion se puede extender automaticamente al caso de un par de operadoresautoadjuntos sobre un espacio de Hilbert. Ver [B-S]


2.2 J-orden. Definiciones y propiedades

2.2. J-orden. Definiciones y propiedades

Definicion 2.2.1. Decimos que una matriz J es una involucion autoadjunta si J = J∗ y J2 = I.

Dada una involucion autoadjunta J , podemos dotar a Cn con el producto interno (indefinido)[ . , . ]J inducido por J como,

[x, y]J = 〈Jx, y〉, (∀x, y ∈ Cn).

Veamos rapidamente que [ , ]J es un producto interno.Sean x, y, z ∈ Cn y α, β ∈ C, luego

[αx+ βy, z]J = 〈J(αx+ βy), z〉 = α〈Jx, z〉+ β〈Jy, z〉 = α[x, z]J + β[y, z]J .

[x, y]J = 〈Jx, y〉 = 〈y, Jx〉 = 〈Jy, x〉 = [y, x]J .

Lo que no podemos afirmar en este caso es que [x, x]J > 0, y [x, x]J = 0 ⇐⇒ x = 0. Enefecto, si consideramos la matriz

J =(

1 00 −1

),

y los vectores

u =(

10

)v =

(01

)w =

(11

),

podemos observar que

[u, u]J = 〈Ju, u〉 = 1 > 0, [v, v]J = 〈Jv, v〉 = −1 < 0 y [w,w]J = 〈Jw,w〉 = 0.

Esto es lo que hace que [ , ]J sea un producto interno indefinido2.

De aquı en mas, cada vez que hagamos referencia a una matriz J , estaremos hablando de unainvolucion autoadjunta.

Definicion 2.2.2. Para cada A ∈ Mn(C) definimos la matriz J-adjunta de A, como la unicamatriz A# que verifica

[Ax, y]J = [x,A#y]J .

Observaciones 2.2.3. Sean A,B ∈Mn(C) dos matrices cualesquiera,

1. [Ax, y]J = 〈JAx, y〉 = 〈x,A∗J∗y〉 = 〈J2x,A∗Jy〉 = 〈Jx, J∗A∗Jy〉 = [x, JA∗Jy]J ⇒ A# = JA∗J.

2. (A#)# = J(JA∗J)∗J = A.

3. (AB)# = J(AB)∗J = JB∗A∗J = (JB∗J)(JA∗J) = B#A#. 4

Definicion 2.2.4. Una matriz A ∈Mn(C) es J-autoadjunta si A = A#.

Observacion 2.2.5. A es J-autoadjunta si y solo si JA es autoadjunta, pues

A = A# ⇐⇒ A = JA∗J ⇐⇒ JA = J2A∗J ⇐⇒ JA = A∗J = A∗J∗ ⇐⇒ JA = (JA)∗.

42Si H es un espacio de Hilbert sobre C y consideramos la forma sesquilineal inducida por J , [x, y]J = 〈Jx, y〉, la

correspondiente forma cuadratica [x, x]J es indefinida (salvo cuando J = ±I) es decir, existen x e y en H tales que[x, x]J < 0 e [y, y]J > 0. H junto con esta forma sesquilineal forman lo que suele denominarse un espacio de Krein.


2 PRELIMINARES

Observacion 2.2.6. Aplicando las observaciones hechas en 2.2.3, se tiene que

(A#A)# = A#(A#)# = A#A.

Es decir, la matriz A#A es J-autoadjunta. 4

Ahora sı estamos en condiciones de definir para cualquier par de matrices A, B ∈ Mn(C) quesean J-autoadjuntas, una relacion de J-orden de la siguiente manera:

AJ> B ⇐⇒ [Ax, x]J > [Bx, x]J , ∀x ∈ Cn.

Luego,

AJ> B ⇐⇒ [Ax, x]J > [Bx, x]J ⇐⇒ 〈JAx, x〉 > 〈JBx, x〉 ⇐⇒ JA > JB.

Observacion 2.2.7. El hecho que una matriz A sea J-autoadjunta no implica que todos susautovalores sean reales, por ejemplo, si tomamos las matrices

J =(−1 00 1

)y A =

(1 2−2 1

),

es claro que J∗ = J y J2 = I, y ademas

A# = JA∗J =(−1 00 1

)(1 −22 1

)(−1 00 1

)=(

1 2−2 1

)= A.

Pero sus autovalores son 1 + 2i y 1− 2i. Sin embargo esto si es cierto cuando IJ> A, pues

IJ> A⇒ JI > JA⇒ B = J(I −A) > 0⇒ JB = I −A⇒ A = I − JB,

y σ(A) = σ(I − JB) ⊂ R. 4

Definicion 2.2.8. Una matriz A es una J-contraccion si IJ> A#A.

Observacion 2.2.9. Decir que A es una J-contraccion significa que J > A∗JA, o equivalentemente[x, x]J > [Ax,Ax]J , pues

IJ> A#A⇐⇒ J > JA#A⇐⇒ J > J(JA∗J)A⇐⇒ J > A∗JA.

y por otro lado,

IJ> A#A⇐⇒ [x, x]J > [A#Ax, x]J ⇐⇒ [x, x]J > [Ax, (A#)#x]J ⇐⇒ [x, x]J > [Ax,Ax]J

4

Observacion 2.2.10. Por la observacion 2.2.7, si A es una J-contraccion entonces todos los auto-valores de A#A son reales. Mas aun, un conocido resultado de Potapov-Ginzburg dice que en estecaso todos los autovalores son ademas, no negativos. Otro hecho importante es que, si A es unaJ-contraccion entonces A∗ tambien lo es.3 4

3Ver [Az-I], capıtulo 2, seccion 4.


2.3 J-subespacios.

2.3. J-subespacios.

Definicion 2.3.1. Decimos que una matriz A es J-positiva si AJ> 0, o equivalentemente, si

[Ax, x]J > 0, para todo vector x ∈ Cn.

Definicion 2.3.2. Un subespacio S de Cn es un J-subespacio positivo si es un subespacio deCn tal que

S ⊆ {x ∈ Cn : [x, x]J > 0} ∪ {0} .

Analogamente, diremos que T es un J-subespacio negativo de Cn si

T ⊆ {x ∈ Cn : [x, x]J < 0} ∪ {0} .

Definicion 2.3.3. Sea S un subespacio de Cn, definimos el J-complemento ortogonal de Scomo el subespacio

S⊥J := {y ∈ Cn : [x, y]J = 0, ∀x ∈ S} .

Observacion 2.3.4. Dados dos subespacios S1 y S2 de un subespacio S de Cn, podemos escribir

S = S1

J⊕ S2,

siempre que se verifiquen las siguientes condiciones:

i. S1 ∩ S2 = {0}.ii. [x1, x2]J = 0, ∀x1 ∈ S1, ∀x2 ∈ S2,

iii. Todo vector x ∈ S puede ser escrito de la forma x = x1 + x2, con x1 ∈ S1, x2 ∈ S2.Observar que la representacion de x como suma de x1 y x2 es unica por la condicion i.Si J 6= ±I, existen subespacios S de Cn tales que S ∩ S⊥J 6= {0}. Luego, podremos escribir

Cn = SJ⊕ S⊥J ⇐⇒ S ∩ S⊥J = {0} .

4

2.4. Observaciones y comentarios

Si todos los autovalores de una matriz A J-autoadjunta son reales y σ(A) ⊂ (α, β), paracualquier funcion MOP f(t) sobre (α, β) podemos definir f(A) por la integral de Riesz-Dunfordcomo:

f(A) =1

2πi

∫Cf(z)(zI −A)−1 dz,

donde C es un borde rectificable en el dominio de prolongamiento analıtico de f(T ) alrededor deσ(T ) orientado positivamente respecto de su interior. De este modo f(A) se convierte en una matrizJ-autoadjunta. Por supuesto que cuando A es autoadjunta, esta integral produce la misma matrizque la definida mediante el calculo funcional usual para esta clase de matrices. 4

Volviendo al resultado principal de este trabajo, como ya mencionamos anteriormente, lo quevamos a probar es que si todos los autovalores de dos matrices J-autoadjuntas A y B son reales yσ(A), σ(B) ⊂ (α, β) entonces

AJ> B ⇒ f(A)

J> f(B),


3 DESIGUALDADES

para cualquier funcion f que sea MOP en el intervalo (α, β).Ademas, veremos que para una J-contraccion A, aun cuando 0 es un autovalor de A#A, se

puede definir su raız cuadrada (A#A)12 vıa la funcion MOP f(t) = t

12 sobre el intervalo (0,∞),

llamada J-modulo de A. Una consecuencia del Teorema, que tambien probaremos, es que

IJ> A#A

J> B#B ⇒ I

J> (A#A)

12

J> (B#B)

12 .

4

3. Desigualdades

3.1. Inercia de una matriz

Definicion 3.1.1. Se denomina inercia de una matriz A a la terna de numeros enteros no ne-gativos In(A) = (π−(A), π0(A), π+(A)), donde π−(A) (respectivamente π+(A)) es el numero deautovalores de A con parte real negativa (respectivamente positiva), y π0(A) es el numero de auto-valores de A con parte real nula (todos contados con multiplicidad).

Observacion 3.1.2. Es claro que si A ∈Mn(C),

π−(A) + π0(A) + π+(A) = n,

ademas si π0(A) = 0 entonces A es invertible. En el caso particular en que A sea autoadjunta, setiene que π0(A) = 0 si y solo si A es invertible. 4

Observacion 3.1.3. La inercia de una matriz es invariante por similaridad, o sea, si una matrizA es autoadjunta y S es una matriz invertible entonces,

In(A) = In(S−1AS).

Recıprocamente si A y B son matrices autoadjuntas e invertibles que tienen la misma inercia, existeuna matriz S invertible tal que A = S−1BS. 4

Teorema 3.1.4. (Lyapunov)4 Sean A,W ∈Mn(C) y W > 0.

1. Si In(A) = (n, 0, 0), existe H ∈Mn(C) autoadjunta y definida negativa tal que,

AH +HA∗ = W. (1)

2. Si existe una matriz H autoadjunta, H < 0 tal que AH +HA∗ = W , luego In(A) = (n, 0, 0).

Demostracion.

1. Consideremos la matrizH = −

∫ ∞0

eAtW eA∗t dt, (2)

Esta integral existe porque el integrando consta de sumas de terminos de la forma tj eλkt, dondelos λk son los autovalores de A. Es claro que H es autoadjunta, lo que falta probar es que H < 0,para ello supongamos que existe x ∈ Cn (x 6= 0) tal que x∗H x > 0 y consideremos los casos porseparado:

4Esta es una version algebraica del Teorema de estabilidad de Lyapunov, en terminos de inercia decimos que lamatriz A ∈Mn(C) es estable si y solo si In(A) = (n, 0, 0) (Ver [L-T]).


3.1 Inercia de una matriz

i. Si existe x ∈ Cn (x 6= 0) tal que x∗H x > 0, entonces conjugando por x en (2) se tiene

−∫ ∞

0x∗eAtW eA

∗tx dt > 0 ⇒ x∗eAtW eA∗tx < 0,

si y = eA∗tx, podemos afirmar que existe y ∈ Cn tal que y∗Wy < 0 lo cual es absurdo por ser

W > 0.

ii. Si existe x ∈ Cn tal que x∗H x = 0, luego por ser eAt no singular y W > 0∫ ∞0

x∗eAtW eA∗tx dt = 0 ⇒ x∗eAtW eA

∗tx = 0 ⇒ x∗eAt ≡ 0, ∀t > 0,

por lo tanto, x = 0 Absurdo!. Podemos concluir entonces que H < 0. Para probar que efectivamenteH es solucion de la ecuacion (1), reemplazando por (2) se tiene que

HA+A∗H =(−∫ ∞

0eAtW eA

∗t dt

)A−A∗

(∫ ∞0

eAtW eA∗t dt

)= −

∫ ∞0

(eAtW eA

∗tA+A∗eAtW eA∗t)dt

= −∫ ∞

0

d

dt

(eAtW eA

∗t)dt = −eAtW eA

∗t∣∣∞0

= W.

¿Es unica esta solucion?. Supongamos que existe otra matriz H que verifica la ecuacion (1), luego

(H −H)A+A∗(H −H) = 0⇒ eAt[(H −H)A+A∗(H −H)

]eA

∗t = 0

⇒ d

dt

(eAtW eA

∗t)

= 0⇒ eAtW eA∗t = cte. ∀t > 0,

en particular cuando t = 0, por lo tanto

eA0 (H −H) eA∗0 = H −H = eAt (H −H) eA

∗t −−−→t→∞

0.

2. Sea λ ∈ σ(A∗) y sea x 6= 0 tal que A∗x = λx. Luego,

(A∗x)∗ = (λx)∗ ⇒ x∗A = λx∗.

Por hipotesis sabemos que AH +HA∗ = W , entonces

x∗Wx = x∗(AH +HA∗)x = λx∗Hx+ λx∗Hx = (λ+ λ)(x∗Hx).

Como x∗Hx < 0 y x∗Wx > 0 se tiene que λ+λ < 0, lo que es equivalente a decir que Re(λ) < 0,∀λ ∈ σ(A). Por lo tanto, In(A) = (n, 0, 0). �

El siguiente Teorema es una generalizacion del Teorema de Lyapunov (3.1.4), dada por M. G.Krein5 en el ano 1964, independiente a la dada por Ostrowski y Schneider6 en 1962.

5Daleckii, Krein; Stability of Solutions of Differential Equation in Banach Spaces, Amer. Math. Soc. Providence,1974. Este Teorema parece haber sido incluido en las conferencias de M. G. Krein un tiempo antes de su primerpublicacion en el ano 1964.

6J.Math. Anal. Appl. 4, 72-84, 1962


3 DESIGUALDADES

3.1.5. Teorema de inercia. Para una matriz A la condicion π0(A) = 0 es equivalente a decir queexiste una matriz H invertible y autoadjunta tal que

HA+A∗H > 0.

Ademas A y H tienen necesariamente la misma inercia.

Demostracion.

⇒) Si π0(A) = 0 e In(A) = (p, 0, n − p), para algun numero natural p ≤ n, una forma de JordanJA de A es

JA = P−1AP =(J1 00 J2

),

donde J1 ∈ Mp(C), J2 ∈ Mn−p(C), In(J1) = (0, 0, p) e In(J2) = (n − p, 0, 0). Luego, (por 3.1.4)existen matrices autoadjuntas e inversibles H1, H2 < 0 tales que

(−J1)H1 +H1(−J1)∗ > 0 y J2H2 +H2J∗2 > 0.

Si consideramos la matriz

H = P

(−H1 0

0 H2

)P−1,

es claro que es autoadjunta y por 3.1.3, se tiene que

In(H) = In(−H1) + In(H2) = (p, 0, n− p) = In(A),

y

HA+A∗H = P

(−H1 0

0 H2

)P−1A+A∗P

(−H1 0

0 H2

)P−1

= P

(−H1 0

0 H2

)P−1(PJAP−1) + (PJAP−1)∗P

(−H1 0

0 H2

)P−1

= P

[(−H1 0

0 H2

)(J1 00 J2

)+(J∗1 00 J∗2

)(−H1 0

0 H2

)]P−1

= P

[(−H1J1 0

0 H2J2

)+(−J∗1H1 0

0 J∗2H2

)]P−1

= P

(−H1J1 − J∗1H1 0

0 H2J2 + J∗2H2

)P−1 > 0.

⇐) Recıprocamente, si existe una matriz H ∈ Mn(C) autoadjunta tal que verifique (1), y proce-diendo de la misma manera que en la demostracion de 3.1.4 (2) se tiene, para todo λ ∈ σ(A), laecuacion (λ+λ)(x∗Hx) = x∗Wx > 0, entonces λ+λ 6= 0. Luego, A no tiene autovalores imaginariospuros o sea In(A) = (p, 0, n − p) para algun numero natural p ≤ n. Por el mismo razonamientohecho en ⇒), si J1 ∈Mp(C), J2 ∈Mn−p(C), In(J1) = (0, 0, p) e In(J2) = (n− p, 0, 0), una formade Jordan para A es

JA = P−1AP =(J1 00 J2

).


3.1 Inercia de una matriz

Sea R = P−1HP = P−1H(P ∗)−1, entonces

AH +HA∗ = PJAP−1PRP ∗ + PRP ∗(PJAP−1)∗ = P (JAR+RJ∗A)P ∗ = W > 0,

luego, JAR + RJ∗A = P ∗WP = W0 > 0. Si ahora escribimos a R y a W0 por bloques, (de acuerdoa la particion dada por JA) tenemos

JAR+RJ∗A =(J1 00 J2

)(R1 R2

R∗2 R3

)+(R1 R2

R∗2 R3

)(J∗1 00 J∗2

)=(W1 W2

W ∗2 W3

)= W0.

Luego, (J1R1 +R1J

∗1 J1R2 +R2J

∗2

J2R∗2 +R∗2J

∗1 J2R3 +R3J

∗2

)=(W1 W2

W ∗2 W3

).

Si aplicamos el Teorema 3.1.4, a J1R1 + R1J∗1 = W1 > 0 y a J2R3 + R3J

∗2 = W3 > 0, podemos

afirmar que −R1, R3 < 0, ademas In(J1) = In(−R1) = (0, 0, p) e In(J2) = In(R3) = (n− p, 0, 0).Ahora estamos en condiciones de probar que In(H) = In(A). Consideremos la matriz

Q =(I −R−1

1 R2

0 I

),

y recordemos que por 3.1.3,

In(H) = In(PRP ∗) = In(R) = In(Q∗RQ),

como

Q∗RQ =(

I 0−R∗2R

−11 I

)(R1 R2

R∗2 R3

)(I −R−1

1 R2

0 I

)=(R1 00 −R∗2R

−11 R2 +R3

),

podemos concluir que In(H) = In(R1) + In(−R∗2R−11 R2 +R3) = (p, 0, n− p) = In(A). �

Lema 3.1.6. Sean A y B matrices invertibles y autoadjuntas. Si todos los autovalores de AB sonreales y positivos, entonces A y B tienen la misma inercia.

Demostracion. Como π−(AB) = π0(AB) = 0, por 3.1.5 existe una matriz H definida positiva talque

H(AB) + (AB)∗H = H(AB) + (BA)H > 0.

Escribiendo H = H12H

12 y teniendo en cuenta que I = H−

12H

12 = H

12H−

12 , tenemos

H12H

12 (AB) + (BA)H

12H

12 = H

12H

12 (AH

12H−

12B)H−

12H

12 +H

12H−

12 (BH−

12H

12A)H

12H

12

= H12 (H

12AH

12 )(H−

12BH−

12 )H

12 +H

12 (H−

12BH−

12 )(H

12AH

12 )H

12

= H12

[(H

12AH

12 )(H−

12BH−

12 ) + (H−

12BH−

12 )(H

12AH

12 )]H

12 .

Luego,(H

12AH

12 )(H−

12BH−

12 ) + (H−

12BH−

12 )(H

12AH

12 ) > 0,

lo cual implica que H12AH

12 y H−

12BH−

12 tienen la misma inercia (3.1.5). Por lo tanto, por 3.1.3

A y B tienen la misma inercia como querıamos probar. �


4 EL TEOREMA PRINCIPAL Y SUS CONSECUENCIAS

Lema 3.1.7. Sean A y B matrices invertibles y autoadjuntas con la misma inercia. Luego,

A > B ⇒ A−1 6 B−1.

Demostracion. Escribamos a las matrices A y B como,

A = |A|12 J1 |A|

12 y B = |B|

12 J2 |B|

12 ,

donde J1, J2 son involuciones autoadjuntas. Como |A|12 y |B|

12 son autoadjuntas e invertibles, por

3.1.3 y por hipotesisIn(J1) = In(A) = In(B) = In(J2),

entonces existe una matriz S ∈Mn(C) invertible tal que J2 = S∗J1S. Luego,

A > B ⇒ |A|12 J1 |A|

12 > |B|

12 J2 |B|

12

⇒ J1 > |A|−12 |B|

12 J2 |B|

12 |A|−

12

⇒ J1 > |A|−12 |B|

12 S∗J1S |B|

12 |A|−

12

⇒ I >J1 (S |B|12 |A|−

12 )#(S |B|

12 |A|−

12 ).

Por lo tanto, como por la observacion 2.2.10, si (S |B|12 |A|−

12 ) es una J1-contraccion entonces,

(S |B|12 |A|−

12 )∗ = |A|−

12 |B|

12 S∗ tambien lo es, o sea

J1 > S |B|12 |A|−

12 J1 |A|−

12 |B|

12 S∗,

se tiene que|B|−

12 S−1J1(S∗)−1 |B|−

12 = |B|−

12 J2 |B|−

12 > |A|−

12 J1 |A|−

12 .

Por lo tantoA−1 6 B−1.

�

Ahora sı estamos en condiciones de probar el resultado principal.

4. El Teorema principal y sus consecuencias

4.1. El Teorema

Teorema 4.1.1. Sean J una involucion autoadjunta y A, B ∈ Mn(C) matrices J-autoadjuntascon σ(A), σ(B) ⊂ (α, β). Luego,

AJ> B ⇒ f(A)

J> f(B).

Donde f(t) es cualquier funcion MOP sobre (α, β).

Aclaracion: Como σ(A) y σ(B) son conjuntos acotados, podemos pensar que (α, β) es unintervalo finito.


4.1 El Teorema

Demostracion. Sea f(t) una funcion MOP sobre el intervalo (α, β), por la observacion 2.1.6, lafuncion

g(t) ≡ f(β − α

2t+

α+ β

2

),

es MOP en el intervalo (−1, 1), y para cualquier matriz T tal que σ(T ) ⊂ (α, β) se tiene

f(T ) = g

(2

β − α

(T − α+ β

2I

)).

Luego

AJ> B ⇐⇒ JA− α+ β

2J > JB − α+ β

2J

⇐⇒ 2β − α

J

(A− α+ β

2I

)>

2β − α

J

(B − α+ β

2I

)⇐⇒ 2

β − α

(A− α+ β

2I

)J>

2β − α

(B − α+ β

2I

),

por lo tanto, podemos asumir que (α, β) = (−1, 1).Una version del Teorema de Lowner dada por Bendat y Sherman en [B-S](Ver Apendice A),

asegura que una funcion f que es MOP en (−1, 1) admite una representacion de la forma

f(t) = f(0) +∫ 1

−1

t

1− tλdm(λ),

siendo dm(.) una medida positiva en [−1, 1], y para cualquier matriz T tal que σ(T ) ⊂ (−1, 1) setiene

f(T ) = f(0) · I +∫ 1

−1T (I − Tλ)−1 dm(λ),

donde el lado derecho de la igualdad esta definido por la integral de Riesz-Dunford. De este modopara probar el Teorema es suficiente mostrar que, si JA > JB y σ(A), σ(B) ⊂ (−1, 1), entonces

JA(I − λA)−1 > JB(I − λB)−1, −1 < λ < 1,

o equivalentemente1λJ(I − λA)−1 >

1λJ(I − λB)−1, 0 < |λ| < 1,

pues, para todo λ ∈ (−1, 1), JA(I −Aλ)−1 > JB(I −Bλ)−1

⇒ J

∫ 1

−1A(I −Aλ)−1 dm(λ) > J

∫ 1

−1B(I −Bλ)−1 dm(λ)

⇒ J

[f(0) · I +

∫ 1

−1A(I −Aλ)−1 dm(λ)

]> J

[f(0) · I +

∫ 1

−1B(I −Bλ)−1 dm(λ)

]⇒ f(A)

J> f(B).

Como σ(A), σ(B) ⊂ (−1, 1) entonces

σ(J(J − λJA)) = σ(I − λA) ⊂ (0, 2), −1 < λ < 1,


4 EL TEOREMA PRINCIPAL Y SUS CONSECUENCIAS

y analogamenteσ(J(J − λJB)) = σ(I − λB) ⊂ (0, 2), −1 < λ < 1.

Luego, por 3.1.6, las matrices J , J − λJA y J − λJB tienen la misma inercia. De este modo setiene, para 0 < λ < 1,

JA > JB ⇐⇒ J(I − λA) = J − λJA 6 J − λJB = J(I − λB),

y por el lema 3.1.7,

[J(I − λA)]−1 > [J(I − λB)]−1 ⇐⇒ (I − λA)−1J > (I − λB)−1J

⇐⇒ J(I − λA)−1 > J(I − λB)−1

⇐⇒ 1λJ(I − λA)−1 >

1λJ(I − λB)−1.

Del mismo modo, cuando −1 < λ < 0 se puede asegurar que

J(I − λA)−1 6 J(I − λB)−1 ⇐⇒ 1λJ(I − λA)−1 >

1λJ(I − λB)−1.

Por lo tanto, para 0 < |λ| < 1 acabamos de probar que

1λJ(I − λA)−1 >

1λJ(I − λB)−1.

�

4.2. Observaciones y consecuencias

Para una matriz A definida positiva, la matriz definida por:

1π

∫ 1

0A [λA+ (1− λ)I]−1 [λ(1− λ)]−

12 dλ, (3)

coincide con la raız cuadrada de A definida por la integral de Riesz-Dunford. Mas aun, cuandoA > 0, la integral (3) es convergente y coincide con la unica raız cuadrada semidefinida positiva deA.

Si A es J-autoadjunta y σ(A) ⊂ (0,∞), la integral (3) es convergente y coincide con la raızcuadrada J-autoadjunta definida por la integral de Riesz-Dunford. Sin embargo, cuando A es unamatriz J-autoadjunta y σ(A) ⊂ [0,∞), tenemos que pedir mas condiciones para que la integral (3)resulte convergente.

Lema 4.2.1. Sea A J-autoadjunta y σ(A) ⊂ [0,∞). Si IJ> A, la integral (3) converge y da una

raız cuadrada J-autoadjunta de A con autovalores no negativos.

Demostracion. Supongamos que M := Ker(A) 6= {0}, como J(I −A) > 0 se tiene que

‖J(I −A)‖ 〈J(I −A)x, x〉 > ‖J(I −A)x‖ , ∀x ∈ Cn,

entonces, para todo y ∈M

‖J(I −A)‖ 〈J(I −A)y, y〉 > ‖J(I −A)y‖ ⇐⇒ ‖J(I −A)‖ 〈Jy − JAy, y〉 > ‖Jy‖ ,


4.2 Observaciones y consecuencias

es decir, ∀ y ∈M‖J(I −A)‖ [y, y]J > ‖y‖ .

Notemos que, para todo y ∈ M tal que y 6= 0, se tiene que [y, y]J > 0. Por lo tanto M es unsubespacio J-positivo de Cn (2.3.2). Si ahora consideramos el J-complemento ortogonal de Mdefinido por

N =M⊥J := {z : [y, z]J = 0, ∀ y ∈M} ,

resulta que M∩N = {0}. En efecto, si x ∈M∩N ,

∀ y ∈M, [x, y]J = 0 ⇒ [x, x]J = 0⇒ x = 0.

Luego, por 2.3.4, podemos escribir a Cn como la suma directa algebraica

Cn = NJ⊕M.

Es claro que tanto N comoM son invariantes por A. Ademas, por definicion tenemos que σ(A|N ) ⊂(0,∞). Mas aun, por 2.3.4, todo vector x ∈ Cn se puede escribir de la forma

x = xm + xn, con xm ∈M, xn ∈ N .

De este modo, para cualquier λ tal que 0 < λ < 1, se tiene

A [λA+ (1− λ)I]−1 x = (A|N ) [λA|N + (1− λ)I]−1 xn,

lo cual garantiza la convergencia de la integral

1π

∫ 1

0A [λA+ (1− λ)I]−1 [λ(1− λ)]−

12 x dλ.

�

Teorema 4.2.2. Sean A y B matrices J-autoadjuntas con autovalores no negativos. Si IJ> A

J> B,

entonces las raices cuadradas J-autoadjuntas A12 y B

12 existen y verifican la desigualdad

IJ> A

12

J> B

12

Demostracion. En el caso en que σ(A), σ(B) ∈ (0,∞), como la funcion f(t) = t12 es MOP en

(0,∞), podemos aplicar directamente el Teorema principal 4.1.1 y tenemos la desigualdad

IJ> A

12

J> B

12 .

Cuando 0 ∈ σ(A), σ(B), las raıces cuadradas estan definidas por la integral (3), la cual es con-vergente por el lema 4.2.1. Tal como hicimos en la demostracion del Teorema 4.1.1, se puede verque

JA > JB ⇒ JA [λA+ (1− λ)I]−1 > JB [λB + (1− λ)I]−1 ,

para λ ∈ (0, 1). Luego, JA12 > JB

12 , lo cual completa la demostracion.

�


A APENDICE: PROLONGAMIENTO ANALITICO DE FUNCIONES MOP

Corolario 4.2.3. Si IJ> A#A

J> B#B, entonces I

J> (A#A)

12

J> (B#B)

12 .

Demostracion. Notar que A y B son J-contracciones, entonces por la observacion 2.2.10 se tieneque σ(A#A), σ(B#B) ∈ [0,∞). Luego, como A#A y B#B son J-autoadjuntas (2.2.6), aplicandoel Teorema 4.2.2, la desigualdad

IJ> (A#A)

12

J> (B#B)

12 ,

resulta valida. �

La raız cuadrada (A#A)12 es llamada J-modulo de A. Ahora podemos definir la J-descom-

posicion polar de A de la siguiente manera,

A = U(A#A)12 ,

donde U es una matriz J-unitaria, esto es U#U = I.

4.2.4. Orden Caotico.Si consideramos dos matrices J-autoadjuntas A y B tales que σ(A), σ(B) ⊂ (0,∞), como la

rama principal de la funcion log(t) es MOP en (0,∞), aplicando de manera directa el Teoremaprincipal 4.1.1 se tiene que

AJ> B ⇒ log(A)

J> log(B).

La relacion log(A)J> log(B) es denominada Orden Caotico. En el ano 2006 Takashy Sano7

probo que si A y B son matrices J-autoadjuntas tales que σ(A), σ(B) ⊂ (0,∞), IJ> A e I

J> B

entonces

log(A)J> log(B)⇐⇒ Ar

J>(A

r2BpA

r2

) rp+r

,

para todo p > 0 y r > 0. 4

A. Apendice: Prolongamiento analıtico de funciones MOP

Es un resultado de Lowner muy conocido que una funcion f que es MOP en un intervalo (α, β)puede ser prolongada analıticamente en el dominio C − {(∞, α] ∪ [β,∞)} como una funcion de z,de manera tal que

Im(f(z)) Im(z) > 0 (z ∈ C, Im(z) 6= 0),

y aunque la prueba original de Lowner puede encontrarse en muchos libros de Analisis Matricial,(por ejemplo en [Ba] y [D]) el proposito de este apendice es dar una idea de la teorıa que desarrollo,en principio Julius Bendat en su tesis doctoral en el ano 1953, y luego junto a Seymour Sherman enel ano 1954 (Ver [B-S]), sobre las funciones monotonas y convexas de operadores, que servira paraprobar este famoso Teorema de una manera mas simple, donde la unica herramienta utilizada queno es muy elemental es el Problema de Momentos de Hamburger, el cual asumiremos. Otra prueba

7T. Sano; On Chaotic Order of Indefinite Type, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol. 8,Art. 62, 2007


A.1 Notacion y definiciones

interesante de este Teorema fue dada por Koranyi y Nagy 8, pero no nos ocuparemos de ella eneste trabajo.

A.1. Notacion y definiciones

A lo largo de esta seccion denotaremos por:

H+ = {z ∈ C : Im(z) > 0}, H− = {z ∈ C : Im(z) < 0}.

Cn la clase de funciones continuas con derivadas continuas de orden n. En particular C∞

denotara a la clase de funciones continuas, con derivadas continuas de todos los ordenes.

sg(.) la funcion signo.

Definicion A.1.1. Se denominan Funciones Pick a las funciones analıticas definidas en H+

cuya imagen esta contenida en {z ∈ C : Im(z) > 0}, y se denota por P a la clase de todas lasfunciones Pick.

Observacion A.1.2. Como toda funcion analıtica que no es constante es abierta, entonces si f ∈ Pes no constante, su imagen esta contenida en H+. 4

A.2. Teoremas de Lowner

Las propiedades fundamentales de las funciones MMA de orden n > 1 arbitrario, estan dadaspor los siguientes tres Teoremas probados por Lowner en el ano 1934.9 En este apendice, tal comolo anunciamos al principio, nos ocuparemos de dar una prueba diferente a la dada originalmentepor Lowner, del tercero de ellos.

Teorema A.2.1. Una funcion f es monotona de orden n en el intervalo (α, β) si y solo si, la matrizde diferencias divididas de f , dada por

Lf (t1, . . . , tn) =[f(ti)− f(tj)

ti − tj

]ni,j=1

,

es semidefinida positiva para cualquier eleccion de t1, . . . , tn (ti 6= tj) en el intervalo (α, β).

Esta matriz Lf (t1, . . . , tn) es llamada Matriz Pick o Matriz de Lowner asociada a f .

Teorema A.2.2. Una funcion f que es MMA de orden n > 1, es de clase 2n − 3 (es decir, f ∈C2n−3), y su derivada f (2n−3) es una funcion convexa. Luego las derivadas f (2n−2)(x) y f (2n−1)(x)existen en casi todo punto.

Teorema A.2.3. Sea f una funcion MOP sobre (α, β), luego f es analıtica en (α, β) y puedeser prolongada analıticamente en el semiplano superior H+ de manera tal que mapee a H+ en simismo. Tambien podra ser prolongada analıticamente en el semiplano inferior H−, por reflexionrespecto de (α, β).

8Koranyi; On a Theorem of Lowner and its connections with resolvents of selfadjoints transformations. Acta Sci.Math 17. 1956.

Koranyi, Nagy; Operatortheoretische Behandlung und Verallgemeinerung eines Problemkreises in der komplexenFunktionentheorie. Acta Math. 100, 1958.

9K. Lowner; Uber monotone Matrixfunktionen, Math. Z. 38, 1934, pp 177–216.



La recıproca tambien es verdadera: Si una funcion real f sobre (α, β) tiene un prolongamientoanalıtico en H+ que mapea H+ en si mismo, luego f es MOP en (α, β).

En el ano 1937, Dobsch transformo el requisito del Teorema A.2.1 en el siguiente.10

Teorema A.2.4. Una funcion f ∈ C2n−1, es monotona de orden n en el intervalo (α, β) si y solosi, la forma real cuadratica

n−1∑i,k=0

f (i+k+1)(x)(i+ k + 1)!

ζi ζk,

es semidefinida positiva para todo x ∈ (α, β).

Como una funcion es MOP si es MMA de todos los ordenes, teniendo en cuenta el TeoremaA.2.2, podemos extender este ultimo resultado a funciones MOP de la siguiente manera,

Teorema A.2.5. Una funcion f es MOP en el intervalo (α, β) si y solo si, para todo N ∈ NN∑

i,k=0

f (i+k+1)(x)(i+ k + 1)!

ζi ζk > 0, ∀x ∈ (α, β).

A.3. Los resultados de Bendat y Sherman

Supongamos que p ∈ N, y sea f una funcion MOP en (α, β). Los dos lemas tecnicos queenunciaremos a continuacion, se pueden deducir del Teorema A.2.5.

Lema A.3.1. f ′(x0) = 0 implica que f (n)(x0) = 0 para todo n ∈ N.

Lema A.3.2. f (2p+1)(x) > 0, ∀x ∈ (α, β).

El Teorema que sigue es la primera parte del Teorema de Lowner que nos interesa probar.

Teorema A.3.3. Si f es MOP en (α, β) entonces es analıtica.

Demostracion. Si f es MOP, por el Teorema A.2.2 se tiene que f ∈ C∞, y por A.3.2 se sabe quef (2p+1)(x) > 0, ∀x ∈ (α, β) y p ∈ N. Es decir, todas las derivadas impares de f(x) tienen signoconstante. Luego, por un Teorema de analisis probado por R.P. Boas Jr. en el ano 194111, se puedeconcluir que f es una funcion analıtica en el intervalo (α, β), y gracias al ((Pequeno Teorema deBernstein))12 podemos afirmar que f se puede prolongar analıticamente en |x− α| < β − α. �

A partir de ahora asumiremos, sin perdida de generalidad, que f es MOP en un intervalo quecontiene al origen y consideraremos que f(0) = 0 pues, si f(0) = c entonces la funcion f(x) − ctambien en MOP. Por el Teorema que acabamos de probar, sabemos que si una funcion es MOPentonces es analıtica y por lo tanto se puede desarrollar en serie de potencia como

f(x) =∞∑n=1

an xn,

con radio de convergencia no nulo, y todos los coeficientes an son reales. Ademas a1 > 0, de no serası se tendrıa que an = 0, (∀n > 0) lo cual implica que f ≡ 0. (A.3.1, A.3.2)

10O. Dobsch; Matrixfunktionen beschrankter Schwankung. Math. Z. 43, 1937, pp 353-388.11R.P. Boas Jr.; Functions with positive derivatives. Duke Math. vol 8, 1941, pp 163-172.12S. Bernstein; Sur la definition et les proprietes des fonctions analytique d’une variable reelle, Math. Ann. , 75

(1914) pp. 449–468


A.3 Los resultados de Bendat y Sherman

Teorema A.3.4. Sea f una funcion MOP con desarrollo en serie de potencias

f(x) =∞∑n=1

an xn,

y radio de convergencia R. Luego, f puede ser expresada como la integral de Stieljes

f(x) =∫ 1

R

− 1R

x

1− txdψ(t),

donde ψ(t) es una funcion no decreciente, constante para |t| > 1/R. Si el radio de convergencia dela serie es infinito, entonces f(x) = a1x, con a1 > 0.

Demostracion. Sabemos que f(x) =∞∑n=1

an xn es convergente en |x| < R y ademas por A.2.5, para

todo N ∈ N,N∑

i,k=0

f (i+k+1)(x)(i+ k + 1)!

ζi ζk > 0.

Si an = f (n)(x)n! , por el Problema de Momentos de Hamburger13, la segunda condicion sobre los an

asegura la existencia de una funcion ψ(t) acotada y no decreciente tal que

an+1 =∫ ∞−∞

tn dψ(t), ∀n ∈ N.

Considerando bn = an+1, para todo n ∈ N,

N∑i,k=0

ai+k+1 ζi ζk > 0⇐⇒N∑

i,k=0

bi+k ζi ζk > 0,

Entonces, volviendo a la integral anterior,

bn =∫ ∞−∞

tn dψ(t), ∀n ∈ N,

en particular

a1 = b0 =∫ ∞−∞

dψ(t) > 0,

entonces podemos normalizar la funcion y pensar que a1 = 1. Por otro lado, f(x) =∞∑n=1

an xn es

convergente para |x| < R es decir, lımn→∞

|an|1n =

1R. Luego, ψ(t) debe ser constante para |t| > 1

R

pues, si ψ(t) no fuera constante, serıa creciente en algun intervalo [t1, t2], con |t1| > 1R . Entonces,

a2n+1 =∫ ∞−∞

t2n dψ(t) > t2n1 [ψ(t2)− ψ(t1)],

13Widder; The Laplace Transfom, Princenton University Press., 1946, pp 129.



lo cual implica que

lımn→∞

|an|1n > t1 >

1R,

contradiciendo la hipotesis que dice que el radio de convergencia de la serie es R. Por lo tanto,

an+1 =∫ 1

R

− 1R

tn dψ(t) ∀n ∈ N,

y finalmente,

f(x) =∞∑n=1

an xn =

∞∑n=1

(∫ 1R

− 1R

tn−1 dψ(t)

)xn =

∫ 1R

− 1R

x

( ∞∑n=1

(tx)n−1

)dψ(t) =

∫ 1R

− 1R

x

1− txdψ(t).

Para probar la segunda parte del Teorema, notemos que cuando R → ∞ tenemos que an = 0,∀n 6= 1, (ya que anteriormente asumimos que a1 > 0). De este modo la serie se reduce a

f(x) = a1x.

�

El siguiente Corolario nos dara una prueba de otra parte del Teorema de Lowner A.2.3.

Corolario A.3.5. Una funcion f que es MOP, es analıtica en H−∪H+ y mapea a H+ en si mismo.

Demostracion. Por el Teorema anterior, para un numero complejo z /∈ R, si el radio de convergenciaR es finito,

f(z) =∫ 1

R

− 1R

z

1− tzdψ(t),

donde el integrando es continuo en las variables z y t. Luego, f(z) es analıtica en H+∪H−. Ademas,

sg [Im(f(z))] = sg

[Im

(z

1− tz

)]= sg [z (1− tz)] = sg(z),

entonces, f(H+) ⊆ H+ y f(H−) ⊆ H−. Si R es infinito, f(z) = a1z con a1 > 0 y es evidente quef(H+) ⊆ H+ y f(H−) ⊆ H−. �

Teorema A.3.6. Si ψ(t) es una funcion acotada, no decreciente y constante para |t| > 1/R, lafuncion

f(x) =∫ 1

R

− 1R

x

1− txdψ(t),

es MOP en |x| < R.

Demostracion. Las funciones de la forma

x

1− tx|t| > 1

R,

son MOP para |x| < R. Luego, si δ = supi(ti+1 − ti), para cada x tal que |x| < R existe

lımδ→0

n−1∑i=0

x

1− ζix[ψ(ti+1 − ψti)] =

∫ 1R

− 1R

x

1− txdψ(t),


A.3 Los resultados de Bendat y Sherman

independientemente de la particion −1/R < t0 < t1 < . . . < tn = 1/R, y de los ζi ∈ [ti, ti+1].(La funcion x

1−tx es continua y ψ(t) es de variacion acotada en[− 1R ,

1R

]). Consideremos ahora, la

funcion

fδ(x) =n−1∑i=0

x

1− ζix[ψ(ti+1 − ψti)],

que es MOP, por ser suma finita de funciones MOP. Luego,

f(x) = lımδ→0

fδ,

es decir, fδ converge a f(x) en el sentido de Moore-Smith (cuando δ → 0), mas aun, esta conver-gencia es uniforme en cualquier subintervalo cerrado de |x| < R. Si ahora tomamos dos operadorescualesquiera A,B tales que A > B en el dominio de f , entonces para δ lo suficientemente chico, Ay B estan en el dominio de fδ. Luego, como fδ es MOP

A > B ⇒ fδ(A) > fδ(B).

Por lo tanto, como fδ converge uniformemente a f cuando δ → 0 en la capsula convexa de lascombinaciones de σ(A) y σ(B) contenida en |x| < R, se tiene que f(A) > f(B) como querıamosprobar.

�

Teorema A.3.7. Si f(x) =∞∑n=1

an xn tiene radio de convergencia R, y

N∑i,k=0

f (i+k+1)(x)(i+ k + 1)!

ζi ζk > 0

para todo N ∈ N, entonces f(x) es MOP en |x| < R.

Teorema A.3.8. Si f es una funcion MOP con desarrollo en serie de potencias f(x) =∞∑n=1

an xn y

radio de convergencia R, (0 < R < ∞), entonces se puede representar de manera unica como unaintegral de Stieljes ∫ 1

R

− 1R

x

1− txdψ(t), |x| < R,

si ψ(t) es una funcion no decreciente y acotada, continua por izquierda, con ψ(− 1R) = 0

Definicion A.3.9. Decimos que una funcion continua f(t), definida en un intervalo real (finito oinfinito) (α, β), es una funcion convexa de matrices (∪MA) de orden n si para cualquier parde matrices autoadjuntas A y B en Mn(C) tales que σ(A), σ(B) ⊂ (α, β), se tiene que

f(λA+ (1− λ)B) 6 λf(A) + (1− λ)f(B).

Tal como sucede con las funciones MMA y MOP, diremos que una funcion f es convexa deoperadores (∪OP) en (α, β) si es ∪MA de todos los ordenes. Es claro que cuando n = 1, f esconvexa en el sentido usual.

Teorema A.3.10. Una funcion f(x) es ∪OP si y solo si

Fx0(x) =f(x)− f(x0)

x− x0,

es una funcion MOP para cada x0 fijo en (α, β).



Corolario A.3.11. Una funcion f que es ∪OP en (α, β), es necesariamente analıtica en su dominiode definicion, se puede prolongar en el plano complejo y es analıtica para todos los puntos fueradel eje real con

Im

(f(z)− f(x0)

z − x0

)> 0,

cuando Im(z) > 0, independientemente de la eleccion de x0 en el dominio de f .

Demostracion. La demostracion se obtiene por el Teorema A.3.10 y aplicando el Teorema de LownerA.2.3 �

Corolario A.3.12. Si f es una funcion ∪OP en el intervalo (α, β), entonces para cada x0 ∈ (α, β)existe una expansion de f en serie de potencias

f(x) =∞∑j=0

aj (x− x0)j ,

con radio de convergencia R > 0. Si R < ∞, f(x) puede ser representada de manera unica, comouna integral de Stieljes

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− xo) +∫ 1

R

− 1R

(x− x0)2

1− t(x− x0)dψ(t),

donde ψ(t) es una funcion acotada, no decreciente, continua por izquierda y con ψ(− 1R) = 0. Si R

es infinito, f(x) es necesariamente una funcion lineal,

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− xo).


REFERENCIAS

Referencias

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desigualdad de l owner de tipo inde nida - unlpdemetrio/monografias/materias/am/12....

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