ParadojaEPRydesigualdadesdeBell:pruebasexperimentales,estadoacualdelconocimientoDr. GonzaloAbalInstituto deFsicaFacultaddeIngenieraUniversidad delaRep ublicaTrabajodeterminadoenel marcodel concursodemeritosypruebasparael cargodeProfesorAgregadodeFsica.MontevideoFebrero2007Indicegeneral1. Introduccion 12. ParadojaEPR 62.1. Versionoriginal delaparadojaEPR . . . . . . . . . . . . . . 72.2. VersiondeBohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113. DesigualdadesdeBell 153.1. TeoremadeBell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. DesigualdadCHSH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. DesigualdadCH74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.1. Medidasdepolarizaciondeuncanal . . . . . . . . . . 263.3.2. Hipotesisde NoEnhancement . . . . . . . . . . . . . 294. Buscandounveredictoexperimental 364.1. Primerosexperimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2. LasexperienciasdeAspect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.1. Experienciasdeuncanal . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.2. ExperienciadeAspectdedoscanales . . . . . . . . . . 504.2.3. Loopholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3. Experienciasde3rageneracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.1. ExperienciadeInnsbruck(1998) . . . . . . . . . . . . . 594.3.2. ExperienciadelNIST(2001). . . . . . . . . . . . . . . 654.3.3. Otrasexperienciasrecientes . . . . . . . . . . . . . . . 725. Conclusion 74Apendices 79iA. PartculasconSpin1/2 80A.1. Unapartcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.2. Dospartculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82B.PolarizacionySpin 85B.1. ExperienciadeStern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85B.2. Analogaconluzpolarizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89B.3. Correlacionesdepolarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91B.3.1. Medidasdeuncanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91B.3.2. Medidasdedoscanales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 93C.Unadesigualdadalgebraica 95D. Fotonesporconversionparametrica 97iiIndicedeguras2.1. PropuestadeBohmparailustrarlaparadojaEPR . . . . . . . 133.1. Orientaciondelosanalizadores(1erdesigualdaddeBell) . . . 203.2. Orientaciondelosanalizadores(esquemadedoscanales) . . . 253.3. ExperimentoEPRdeuncanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4. Prediccioncuanticapara() . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1. Decaimientoencascadaen40Ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Resultadosdealgunasexperienciasdeuncanal . . . . . . . . 424.3. ResultadosdelaprimerexperienciadeAspectetal. . . . . . . 464.4. ExperienciadeAspectetal.conanalizadoresvariables . . . . 484.5. ExperienciadeAspectetal.condetecciondedoscanales . . . 514.6. ResultadosdelasegundaexperienciadeAspectetal. . . . . . 534.7. EsquemadelaexperienciadeInnsbruck . . . . . . . . . . . . 604.8. Diagrama deMinkowskiparalaexperienciadeInnsbruck. . . 634.9. Ionesuorescentesentrampadeiones . . . . . . . . . . . . . 664.10. ResultadosdelaexperienciadeRoweetal.. . . . . . . . . . . 70B.1. AnalizadordeStern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86B.2. AnalizadoresdeStern-Gerlachsequenciales . . . . . . . . . . . 88B.3. Polarizadoressequenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90B.4. Direccionesdepolarizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90B.5. Medidadepolarizacion deuncanal . . . . . . . . . . . . . . . 92D.1. Conversionparametrica(PDC) . . . . . . . . . . . . . . . . . 98D.2. EsquemadelosexperimentosbasadosenPDC-I . . . . . . . . 99D.3. GeneraciondeparesenredadosconPDC-II. . . . . . . . . . . 100iiiIndicedecuadros4.1. Parametrosexperimentalesdeexperienciasdeuncanal . . . . 414.2. Resultadosdelasprimerasexperienciasdeuncanal . . . . . . 434.3. RegistroslocalesenlaexperienciadeInnsbruck . . . . . . . . 614.4. Parametrosdeexperienciasconanalizadoresvariables . . . . . 644.5. ParametrosenlaexperienciadeRoweetal. . . . . . . . . . . 684.6. PrincipalesexperimentostipoEPR . . . . . . . . . . . . . . . 71ivCaptulo1IntroduccionScienceis not andwill never be aclosedbook. Everyimportant advance brings newquestions. Everydevelop-ment reveals, in the long run, new and deeper diculties.AlbertEinsteinandLeopoldInfeld,TheEvolutionofPhysics,1937.Hacia 1930 quedan establecidas las bases de la Mecanica Cu antica, aunquenotodoslosfsicosdelaepocaestansatisfechosconlasituacion. El crticomasnotableesAlbertEinstein,quienluegodesuAnnusMirabilisde1905,se ocupaprincipalmente de desarrollar laRelatividadGeneral yde otrascontribuciones de importancia como la explicacion del mecanismo de emisionestimuladaderadiacionen1917y(juntoaS. Bose)laestadsticadeBose-Einstein en 1924. Resulta paradojico que el foton y la luz laser, dos conceptostempranamenteelucidadosporEinstein, tenganunrol tandestacadoenlacomprobaciondequelafamiliadeteorasRealistasLocalesnopuedendarunadescripcionadecuadadelanaturaleza.Desde 1913, Einsteinmantuvounencendidodebate conNiels Bohr y,porseparado,consuamigoMaxBornbuscandocontradiccionesinternasenlaMecanicaCuantica.Laindeterminaciondelasprediccionescuanticas,losefectosnolocales(lainaceptable accionadistancia)ylassuperposiciones11. Introduccionde dos o mas alternativas clasicamente excluyentes1, nunca fueron aceptadaspor Einstein mas que como una descripcion aproximada de una realidad fsicaquepor el momentopermanecainaccesible.Unodelos ultimos episodios deeste debate, laparadojaEPR, constituyounodelos desafos mas fuertesquerecibiolaMecanicaCuantica,peroalavezfuncionocomounpoderosoestimulantequellevoaprofundizarenaspectos, hastael momentoapenasexplorados,delarealidad.ElRealismoLocalesunpuntodevistalosocodeacuerdoalcual:(i) unobjetotienepropiedadesbiendenidas, seaonoobservadopor unagenteexternoy(ii)cuandoseobservaunapropiedaddel objeto, eventoslosucientementealejados(enel conodesombradelamedida, ensentidorelativista) no afectan el resultado de la medida. En 1935, Einstein, PodolskyyRosen(EPR)muestran[EPR35], quesi laMecanicaCuanticafueselocal(como suponen debe ser toda teora razonable), dara una descripcion incom-pletadelarealidadfsica.LainmediatarespuestadeN.BohrenfavordelainterpretaciondeCopenhage[Boh35], nologroapaciguarlasaguas. Quedolatenteunasensacionincomoda, atenuadaporel impresionantecuerpodeevidenciaempricaconsistenteconlaMecanicaCuantica, queseacumula-baa noaa no.Decualquiermodo,seestabaanteundebate losoco,queunfsicotomandodatosensulaboratoriopodaignorarcompletamente, sisegualaprescripciondeCopenhageparaelbuenusodelaMecanicaCuan-tica. Una muestra de esto es que hay relativamente pocos trabajos sobre estetemapreviosa1960enrevistas respetables deFsica.Estasituaciontuvoungirocercadeladecadadel 60cuandoBohmyAharonov[BA57]reformulanlaparadojaEPRenterminosdepartculasdespin1/2, usandoanalizadoresdeStern-Gerlachorientables comoaparatosdemedida. Lapropuestaoriginal estabaredactadaenterminosdeposicionycantidaddemovimientodeunapartcula, dosvariablescontinuas. Porelcontrario, unacomponentedespindeunapartculaconspin1/2comoelelectron, puedetomar solodos valores. En terminos deestavariable binaria,se mantiene laesenciadel problema, alavez que ladescripciondel mis-moresultamassencilla. Enel mismotrabajoseminal, BohmyAharonov1M asmodernamente,estadosenredadoso Entangled states.21. Introduccionproponenporprimeravezelusodefotonespolarizados2comoalternativaalossistemasdedospartculasdespin1/2. Lainmensamayoradelosex-perimentosrealizadosparatestearefectosnolocalessebasanenel usodeparesdefotonesenunestadoenredado. En1965, JohnBell demuestralaprimerversiondel TeoremadeBell [Bel65], seg unel ningunateoradeter-minista local puede reproducir todos los resultados de la Mecanica Cuantica.Ena nos siguientes este resultadose generalizoateoras locales nodeter-ministas[CHSH69, Bel71]. LasegundadesigualdaddeBell representaunarestriccionrelativaaunaciertacantidad, el parametrodeBell, quepuedeserdeterminadaexperimentalmente.Estarestricciondebesersatisfechaportoda teora realista local y es violada por la MecanicaCu antica, lo cual haceposible distinguir experimentalmente ambas teoras. El trabajode Bohm,Aharonov, Bell y otros, coloco el debate losoco de los a nos 40 a las puertasdellaboratorio deFsica.LaprimerageneraciondeexperimentosorientadaatesteardirectamenteversionessimplicadasdeladesigualdaddeBell,serealizoenlaprimermi-taddeladecadadel 70enBerkeley[FC72, Cla76], Harvard[HP73] yenlaUniversidaddeTexas [FT76]. Estos experimentos usaronparesdefotonescorrelacionados en polarizacion emitidos en ciertos decaimientos atomicos encascada. La mayora de ellos (aunque no todos) conrmaron las prediccionesdelaMecanicaCuanticaporunmargenaceptableycontradijolasdelasteorasrealistaslocales.Todasestasexperienciasrequierendevariashipote-sisadicionales(plausibles)parainterpretarlosdatos,locualdejaunamplioespacioparaladuda.Ainiciosdeladecadadel80,enunaseriedetresex-periencias famosas, Alain Aspect de la Universidad de Pars-Sud convencio amuchosfsicosde queelrealismolocal esincompatiblecon lasobservacionesempricas. En [AGR82b] Aspect ataco el problema de la posible comunicacionentrelasdiferentesestacionesdemedida, separandolasmismasporvariosmetros y eligiendo el tipo de medida en tiempo real mientras los fotones esta-ban ya en vuelo. Todas las experiencias realizadas hasta la fecha usaron ltrospolarizadores, seguidosdeundetectordefotones (detecciondeuncanal), locual obliga a asumir hipotesis adicionales y usar versiones simplicadas de las2Enel ApendiceBdesarrollamoslaanalogaentrelas componentes despindeunapartculadespin1/2ylascomponentesdepolarizaci on defotones.31. IntroducciondesigualdadesdeBell. En[AGR82a] seusaronanalizadoresdepolarizacionde dos canales, analogos a medidas de spin por analizadores de Stern-Gerlach,ysevericoporprimeravezlaviolaciondelasegundadesigualdaddeBellpor varias desviaciones estandar. En conjunto, las tres experiencias de Orsayproporcionan evidenciaemprica fuerte contra las teoras locales de variablesocultasyafavordelaMecanicaCuantica.Losdefensoresdelasteorasrealistaslocalesa unpuedenrecurriradosobjeciones(loopholes).Lahipotesisdelocalidad,el requisitoesencial delasdesigualdades de Bell, debe ser rigurosamente respetada en los experimentos.Esto implica que no puede haber conexion causal entre las medidas y que el laorientacion del analizador se debe elegir al azar y que no puede haber conex-ioncausal entrelasdiferentespartesdel experimento. Esteloopholeafectaapracticamentelasexperienciasdeprimeraysegundageneracion,inclusoalasegundadeAspectdonde usoanalizadores variables. Lasegundaobjeciontienequeverconlabajaecienciadedetecciondelosexperimentosconfo-tones, donde solo se detectan una peque na fraccion de los pares emitidos porla fuente. Para obtener las correlaciones es necesario determinar las probabil-idades de deteccioncoincidente a partir de las observaciones. Es decir que esnecesarioasumirquelapeque nafraccionobservada, conlacual seestimanlasprobabilidades,esunamuestranosesgada(FairSampling)delconjuntototal deparesgenerados. Todoslosexperimentosconfotones, incluidoslosdetercerageneracion,debenasumirestahipotesis.Las experiencias de tercera generacion comienzan a mediados de la decadadel 90,conlosfotonesobtenidosapartirdeprocesosnolinealesdeconver-sion parametrica (PDC). Estos fotones enredados son emitidos en direccionesbiendenidas,locualpermiteenviarlosalocalesremotosatravesdebrasopticas. Enunaexperienciaextremadamentecuidadosa, enlaUniversidadde Innsbruck [WJWZ98] se envio un par de fotones correlacionados por braoptica a dos estaciones de observacion ubicadas a unos 200 m de la fuente, endireccionesopuestas.Enlasmismas,seseleccionolaorientacionamedirenforma aleatoria con los fotones en vuelo. En este experimento se satisfacen es-trictos requisitos de localidad y se observo una violacion de las desigualdadesdeBell pormasde30desviacionesestandar. Sinembargo, sedebeasumirlahipotesisdeFairSamplingcomoentodoslosexperimentos confotones41. Introduccionhasta la fecha. En otra experienciaimportante, realizada en el NIST en 2001[RKM+01],seusounatrampadeionescondosionesdeBerilioparatestearlasegundadesigualdaddeBell.Enestecaso,losobservablessonlosestadoselectronicosinternosdelosionesdeBerilioquepuedenenredarse, manipu-larse y medirse usando luz laser. Lo que hace verdaderamenteespecial a esteexperimento, ademas de que es uno de los pocos realizado con partculas ma-sivas,esquepracticamentetodoslosestadosenredadossondetectados,conlocual noesnecesarialahipotesisdeFairSamplingysecierrael loopholededeteccion. Sinembargo, enlatrampalosionesestandoaunadistanciamedia de 3m e interact uan a traves de su carga electrica. Las condiciones delocalidadnosonsatisfechasporesteexperimento, pesealocual seobservaunaclaraviolaciondeladesigualdaddeBell por8desviaciones estandar.Ensuma, ambasobjeciones hansidolevantadaspor unauotraexperien-cia, peronoexistea unla experienciaideal quelevanteambasobjecionessimultaneamente ydemuestre sinapelacionposiblelainadecuaciondelasteorasRealistasLocales.Muchos de los experimentos mas recientes envanfotones enredados atraves de bras opticas (o directamente a traves de la atmosfera) por distan-cias cada vez mas largas, orientados hacia el desarrollo de las comunicacionesopticasydelacriptografacuantica.Otralneadeexperimentosbuscacon-struir y manipular estados enredados de varias partculas, que son de interespara la Computacion Cuantica. Desde el punto de vista de la Mecanica Cuan-tica, lamagnitudporlacual unestadoenredadoviolaunadesigualdaddeBell es un testigo de enredo (Entanglement Witness) conable. Sin enredo,se satisface la desigualdad de Bell. El hechode que en muchos de los ultimosexperimentosladesigualdaddeBell seausadacomoTestigodeEnredo, esuna demostracion elocuente como la Mecanica Cuantica ha salido fortalecidadeestedebate, queyallevamasde70a nos. Enestetrabajointentaremoscontar esta historia en forma amena, aunque preservando cierto grado de de-talle. Paraesten, hemosseleccionadounospocosepisodios(mencionadosenestaintroduccion)queaportan lasgrandeslneasalcuadrogeneral.5Captulo2ParadojaEPRIcannotseriouslybelievein[quantumtheory]becauseitcan-not bereconciledwiththeideathat physicsshouldrepresenta reality intime and space, free fromspooky actions at adistance...Iamquiteconvincedthatsomeonewill eventuallycomeupwithatheorywhoseobjects, connectedbylaws, arenotprobabilitiesbutconsideredfacts, asusedtobetakenforgranteduntil quiterecently.AlbertEinstein,cartaaMaxBorndel 3demarzode1947Publicadaen TheBorn-EinsteinlettersWalkerandCo.,1971,NewYork.El celebreartculodeA. Einstein, B. PodolskyyN. Rosen[EPR35] dioinicioaunfructferodebatesobrelanaturalezadeladescripcioncuanticadelarealidad.EPRponenenevidenciaciertacaractersticadelaMecanicaCuantica, atravesdelacual enciertotipodeestados, unamedidaenunaregionApuedealterarinstantaneamentelarealidadfsicaenotraregionB,aunqueAyBnointeract uenentresiporning unmedioconocido.Elrazon-amiento EPR conguro el ataque mas serio que Einstein realizo a la Mecanica62.1. VersionoriginaldelaparadojaEPR 2. ParadojaEPRCuantica. Estetrabajoestimulodurantelasdecadassiguientesmuchosde-sarrollosteoricosyexperimentalesalgunosdeloscualesdescribiremosaqu.El artculooriginal [EPR35] noesmuyclaro, perounos a nos mas tarde Ein-stein publica[Ein48] las mismas ideas en forma mas ordenada siguiendounasugerenciadeWolfangPauli[Bor71].EPRconcluyenapartirdeunanalisislogico, ilustradoporunejemplo,quelaMecanicaCuanticaes unateoraincompleta. EnlaSeccion2.1re-sumiremoslasdenicionesylasideascentralesdeestetrabajo. Unosa nosmastarde,DavidBohmreformulalaparadojaEPRenterminosdeobserv-ables de spin. Como una componente de spin de una partcula de spin 1/2 solotomados valores, enestarepresentacionbinaria el problemaquedareducidoa su esencia. En la Seccion 2.2 discutimos en detalle el ejemplo propuesto porBohm[Boh51,BA57].2.1. VersionoriginaldelaparadojaEPREn esta seccion analizamos la propuesta original realizada por Einstein etal. [EPR35, Ein48], concluyendo que la teora cuantica, de ser local, sera unarepresentacion incompleta de la realidad fsica. Por claridad, separaremos lasdenicionesdelosrazonamientosposteriores.PrecisionespreliminaresElementodelarealidadfsicaSi el valor de una variable se puede predecircon certezasin afectar el estadodel sistema, entonces la misma se corresponde con un elemento de la realidadfsica.EPRenfatizanqueesteesuncriteriodesuciencia, nodenecesidad.Unelementodelarealidadfsicapuedenotenercontraparteenunateora.EPRilustranlaideaderealidadfsicausandoelejemplodedosobserv-ablesconjugadosdeunapartculaenunadimension.EligenlaposicionQylacantidaddemovimientoP,demodoque[Q, P]=iylasobservacionesdeambosestanligadasporelPrincipiodeHeisemberg.Unconocimientodeunadeellasimplicaignoranciasobrelaotra. Si lapartculaestaenunes-72.1. VersionoriginaldelaparadojaEPR 2. ParadojaEPRtado eip0x/, autoestadodeP, unamedidadecantidaddemovimientoproduceelvalorp0concertezaynoafectaa.Lacantidaddemovimientoesunelementodelarealidadenesteestado.Porelcontrario,laposicionnoloes,yaqueelresultadodeunamedidanoespredecibleysisemide,elestadoesdestruido.TeoracompletaUnateoraescompleta, si todoelementodelarealidadfsicatienecontra-parteenlateora.TeoralocalSucintamente, una teora local es aquella que excluye la posibilidad de accionadistancia.AvecesseenuncialamismaideacomoPrincipiodeLocalidad,indicando, enterminosrelativistas, quedoseventosconseparaciondetipoespacialnoadmitenconexioncausal.ElPrincipiodeLocalidadesasumidoimplcitamenteen[EPR35]:...sinceatthetimeofmeasurementthetwosystemsnolongerinteract,noreal changecantakeplaceinthesecondsysteminconsequenceof anythingthatmaybedoneontherstsystem.Thisis,ofcourse,merelyastatementofwhatitismeantbytheabsenseofinteractionbetweenthetwosystems.DosalternativasexcluyentesEinsteinetal.observanqueloscriteriosderealidadfsicaycompletitudenunciados enlaseccionanteriorllevanaunadisyuntivaexcluyenteentredosarmaciones:(i) la descripcion de la realidad dada por la funcion de onda no es completa.(ii) dos observables conjugados no pueden tener realidad simultaneamente.Si ambas fueranciertas, laMecanicaCuanticaseraincompleta, comoseintentademostrar. Si ambas fueranfalsas, sellegaaunacontradiccionconladescripcioncuanticaenel casodedosobservablesconjugados, como82.1. VersionoriginaldelaparadojaEPR 2. ParadojaEPRmencionamosenel ejemplodeunapartcula. Si PyQtienenrealidadsi-multaneamente y si la funcion de onda da una descripcion completa de esarealidad, entonces debe predecir valores concretos para ambos observables,locual noocurre. Por lotanto, unay solounadelas armaciones anterioresdebeserverdadera.LaestrategiadeEinsteinetal. esmostrarquedosobservablesconjuga-dosdeunapartculaenunestadoenredadopodranperteneceralamismarealidadfsica. Estoharaque(ii)seafalsoyporlotanto(i)verdaderoylaMecanicaCuanticaseraincompleta. Comoveremos, paraalcanzarestaconclusionsedeslizaenelrazonamientolaexigenciaadicionaldelocalidad.DospartculasenunestadocorrelacionadoPara demostrar que en una teora cuantica suplementada con la idea de lo-calidad dos observables conjugados podran ser simultaneamente reales, EPRprocedenentresetapas:I) Se consideraun estadode dos partculas y se expresaen las representa-cionesasociadasadosobservablesconjugadosA1yB1delapartcula1.Supongamos que los observables A1y B1tienen el siguiente conjunto1deautofuncionesyautovalores:A1u(x1) = aiui(x1) B1v(x1) = bivi(x1).Se puede expresar el estado de dos partculas usando las autofunciones delobservableA1,(x1, x2) =

n=1n(x2)un(x1). (2.1)Alternativamente,enlarepresentacionasociadaalobservableB1,(x1, x2) =

n=1n(x2)vn(x1). (2.2)II)Seanalizaenqueestadoquedalapartcula2luegodemedirlosobserv-ablesA1oB1delapartcula1.1Escribimoslasecuacionesparaelcasodiscreto,nodegenerado,sinperdidadegener-alidad.92.1. VersionoriginaldelaparadojaEPR 2. ParadojaEPRSisemideA1yseobtieneelautovalorak,entoncesluegodelamedida,akA(x1, x2) k(x2)uk(x1). (2.3)Encambio,siseeligemedirelobservableB1,yelresultadoesbr,brB(x1, x2) r(x2)vr(x1). (2.4)III)Algunosestados,luegodelamedidaquedanenautoestadossimulta-neos de dos observables (A1, A2) o(B1, B2) correspondientes adiferentespartculas2. Enese caso, k(x2) seraautofuncionde unobservable A2yp(x2) seria autofuncion del observable B2, conjugado de A2. Tenemos por lotanto,dosconjuntosdeobservablesconjugados: A1, B1paralapartcula1yA2, B2paralapartcula2.Enestetipodeestadoscorrelacionados,alhaceruna medida del observable A1de la partcula 1, el estado conjunto resultante AesautoestadosimultaneodeA1yA2. Portanto, luegodelamedidadeA1resulta que el valor de A2es predecible y este observable tiene realidad fsica.Si,encambio,elegimosmedirelobservableB1delapartcula1, BelobservablequetienerealidadfsicaesB2delapartcula2.2EPRmuestranqueestoesposibleconsiderandoel ejemplodedospartculasenunestadodescritopor(x1, x2) =_p(x2) up(x1) dp =_ei(x2L)p/eix1p/dp,donde L es una constante. Esta expresi on es el an alogo continuo de la ec. (2.1). Si se mideP1conresultadoesp0,lafunci ondeondaresultante,p0ei(x2x1L)p0/es autofuncion de P2con autovalor p0. Modernamente, esto es lo que entendemos por unestadoenredado.Siseexpresaenlarepresentacion deposici on(usandocomoautofun-cionladeltadeDirac)sevequelasposicionesdeambaspartculasest ancorrelacionadasenformasimilar.102.2. VersiondeBohm 2. ParadojaEPRParadoja(?)Enestepunto,EPRinvocanlalocalidad paraconcluirque,dadoquelaspartculassesuponenalejadas ynointeract uanentresi,larealidadfsicadelapartcula2nopuedeverseafectadaporlaelecciondemedirelobservableA1o el B1de la partcula 1. Concluyen que las funciones de onda despues dela medida, Ay B, deben describirlamismarealidadfsicade la partcula2.Porlotanto,dosobservablesconjugados,A2yB2, puedenserelementosdelamismarealidadfsica.QED.Dadoque(ii) es falsaylas alternativas delapag. 8sonmutuamenteexcluyentes, (i) debe ser verdadera y la Mecanica Cuantica es incompleta. Laposibilidad,queEinsteinetal.noconsideran razonable, esadmitirefectosno locales que no lleguen a violar la causalidad relativista. Citando a [EPR35],...this makes therealityof P andQdependupontheprocess of mea-surementcarriedoutontherstsystem, whichdoesnotdisturbthesecondsysteminanyway. Noreasonabledenitionof realitycouldbeexpectedtopermitthis.Fueronnecesariosmasde50a nosdedesarrollosteoricosyexperimen-talesparallegaralaconclusion,hoypredominante,dequelanaturalezaendeterminadascircunstanciaspuedemanifestarefectosnolocales. Acontin-uacionpresentamoslaformamasconocida(ymassimple) delaparadojaEPR,debidaaDavidBohm.2.2. VersiondeBohmEn1951DavidBohmpropone [Boh51] unaversionsimplicadade laparadoja EPR, basada en medidas de las componentes de spin de dos partcu-las despin1/2. Los observables relevantes sonbinarios, locual reduce elplanteoEPRaloesencial. Enel ApendiceAreunimosalgunosresultadosrelativosaladescripcioncuanticadedospartculasdespin1/2eintroduci-mosconmasdetallelanotacionqueadoptamosenestecontexto. TantoelTeoremadeBell, as comocomolamayoradelosexperimentosrealizadosutilizanlapolarizaciondeunpardefotones, ungradodelibertadbinario112.2. VersiondeBohm 2. ParadojaEPRconcaractersticassimilaresalascomponentesdespindeunapartculadespin1/2. Enel Apendice Bdiscutimos laexperienciade Stern-Gerlachyanalizamos la analoga con luz linealmente polarizada. Ambos Apendices soncomplementariosa estaSeccion.Bohm considera un par de partculas que se alejan entre si (vea la Fig. 2.1)con espines opuestos de forma que su spin total es nulo. A cierta distancia delafuenteFseencuentrandosobservadoresA(Alice)yB(Bob)equipadoscondispositivosdeStern-Gerlachquelespermitenanalizarel signodeunacomponentedespin. El analizador deAlicesepuederotar 90oypermitemedirlacomponentedeespnenunauotradedosdireccionesortogonales(zox). El analizadordeBobesjoysolomidespinendireccionz. Enlanotacion3introducidaenlaSeccionA, el gradodelibertaddeespndelaspartculasquesealejansedescribepormediodeunestadosinglete,[s) =12[[+, )zz[, +)zz] (2.5)queesmaximamenteenredado.Alicerealizasumedidadespineligiendounadelasdosdireccionesor-togonales (zox). Un instantedespuesBob puede medir lacomponente zdespindelapartcula2. Si AliceeligemedirS1zyobtiene+1, el singletesereducea[) [+, )zz.El enredosehaperdidoyambascomponentesdespintienenvaloresbiendenidos. En particular si Bob mide S2zobtendra 1 con certeza y sin afectaralsistema.PorlotantoS2ztienerealidadfsicaparaBob.Supongamos ahora que, dado el mismo estado [), Alice elige medir medirla componente S1x. Para ver que los dos resultados 1 siguen siendo equiprob-ables,bastausarlaec.(A.7),[)z=12[[+)x[)x]3El ket [+, )zzreere a la orientacion de la componente zdel espn de cada partcula:es decir, describealapartcula1concomponentez deespn+1ylapartcula2concomponente zde espn 1. En esta secci on yen elresto deeste trabajo usamos/2 comounidaddespin.122.2. VersiondeBohm 2. ParadojaEPRFxyzSz SzSxB A12|+>|->|+>|->Figura2.1: PropuestadeBohmparailustrarlaparadojaEPR. LafuenteFemiteunpardepartculasdespin1/2quesedesplazanensentidosopuestos.Laspartculasest anen unestado de spin total 0 de modo que sus spines est an anticorrelacionados (detalles enel texto). Aciertadistanciaaamboslados, seencuentrandosobservadoresAliceyBobequipadosconanalizadoresdeStern-Gerlachqueles permitenmedirlacomponentedespinalolargodeunadirecci onespacial determinada. Alicepuedemedirlacomponentezovariarlaorientaciondesuanalizadoren90oparamedir lacomponentexdel spindelapartcula1. Inmediatamentedespues, el observadorBanalizalacomponentez(ladirecci ondesuanalizadorsesuponeja)despindelapartcula2.paraexpresar [)enterminosdeautoestadosdeS1x,[) =12 [[+)x([)z[+)z) +[)x([)z +[+)z)] . (2.6)SupongamosqueAliceobtiene 1,entonceselestadoconjuntosereducea[) [)x [)z + [+)z2= [, +)xxdonde hemos usado laec. (A.5). En este estado, la partcula 2 tiene un valorbien denido de su componente S2x, pero no de S2z. Si Bob mide S2zobtendra1 con igual probabilidad. En este caso, la realidad fsica de Bob incluye S2xperonoS2z.La paradojatiene lugar si recordamos los criterios de (i) Elemento de larealidad (ii) Teora completa y (iii) Localidad, enunciados al comienzo de estecaptulo. La realidad fsica de Bob esta siendo afectada instantaneamenteporla decision de Alice de como orienta su aparato, lo cual sugiere abandonar lalocalidad. Laotraposibilidad, planteadaporEPR, esqueel estado [)nosea una descripcion completa de la realidad. En ese caso, ambas componentesS2xy S2zestaran bien denidas en la realidad fsica de Bob (que no cambia),132.2. VersiondeBohm 2. ParadojaEPRpero no en el estado [). En el debate que sigio a estos planteos, esta posicionseconocecomoRealistayLocal.Como lo expresa la cita al comienzo de este captulo, la alternativa elegidapor EPR de considerar que la Mecanica Cuantica dara una version incomple-ta de la realidad fsica, implica la necesidad de una teora alternativa que sealocal,completayrealistaalavez. Estetipodeteorassedenominageneri-camente de variables ocultas. Dado queexisteun considerableconjuntodeevidenciaexperimentalafavordelaMecanicaCuantica,unateoradevari-ables ocultas debera complementar la descripcion de la funcion de onda ,reproduciendolosmismosresultadosquelaMecanicaCuantica. Lafunciondeondaresultaradetomar el promediosobreunensembledevaloresdelasvariablesocultas, enel mismosentidoenquelaTermodinamicapuedeconsiderarseunadescripcionpromediodeunsistemademuchaspartculas,descrito en detalle por la Mecanica Estadstica. El ejemplo mas elaborado deteoradevariables ocultas sedebe aDavid Bohm, quiensebasoenlas ideasdeondapilotodeL. deBroglie[Boh52, BB66]. Sinembargo, el ejemplodeBohm es no local y tiene el mismoconjunto de prediccionesquela MecanicaCuantica. Por lo que no es posible distinguir experimentalmente entre ambasteorasy, enrealidad, el ejemplodeBohm(llamadoporalgunosMecanicaBohmiana)seacercamasaunainterpretacionalternativadelaMecanicaCuanticaqueaunateoraalternativaocomplementaria.Lateorarealistalocal que, seg unlas expectativas de algunos fsicos,podracomplementarladescripcioncuanticadelarealidadnollegoaplas-marse en algo concreto. Esto se debe al trabajo de John Bell, que mostro quehaba casos en que las teoras locales realistas y la Mecanica Cuantica dabanprediccionesdiscrepantespara el mismoexperimento. Este el temadel prox-imo captulo. El trabajo de Bell, junto con los resultados de un conjunto a uncrecientedeexperimentos(quediscutiremosenel Cap.. 4)sonconsistentescon las predicciones de la Mecanica Cuantica y descartan este tipo de teoras.14Captulo3DesigualdadesdeBellScienceis not just acollectionof laws, acatalogueof unrelatedfacts. It is acreationof thehumanmind, withits freelyinvent-ed ideas and concepts. Physical theories try to forma pictureof reality and to establish its connection with the wide worldof sense impressions. Thus the only justicationfor our mentalstructures is wether and in what way our theories form such a link. AlbertEinsteinandLeopoldInfeld,TheEvolutionofPhysics,1938....thepeculiarcharacterofsomequantum-mechanicalpredictionsseemsallmosttocryoutforahiddenvariableinterpretation...Wewill nd,infact,thatnolocal,deterministichidden-variabletheorycanreproducealltheexperimentalpredictionsofquantummechanics.Thisopensthepossibilityofbringingthequestionintotheexperimentaldomain,bytryingtoapproximateaswellaspossibletheidealizedsituationsinwhichlocalhiddenvariablesandquantummechanicscannotagree.J.S.Bell,in Introductiontothehiddenvariablequestion,1971,[Bel71]153. DesigualdadesdeBellComomencionamosenelcaptuloanterior, en1952 DavidBohm mostroqueesposibleconstruirunainterpretacion(nolocal)delaMecanicaCuan-ticabasadaenvariablesocultas. JohnBell comenzoaestudiarel problemalanolocalidady, enparticular, lacuestiondesi lamismaesunrequisitonecesarioparaqueunateoradevariablesocultas(comoladeBohm)seaconsistentecontodaslasprediccionescuanticas. El TeoremadeBell, pub-licadoen1965, daunarespuestaarmativaaestacuestion: todateoradevariablesocultasqueseadeterministaylocal tienenecesariamentealgunasprediccionesincompatiblesconlaMecanicaCuantica. Esteresultadoimpli-caquelasteorasdeterministaslocalesdevariablesocultasylaMecanicaCuanticasonmutuamenteexcluyentes.Este primer resultado de Bell es seguido por una generalizacion (desigual-dadCHSHosegundadesigualdaddeBell)delacualresultandesigualdadesque debenser vericadas por cualquier teorarealista, local (enunsenti-doamplio)aunqueseanodeterminista. Enlaepocaenqueocurrenestosdesarrollos laslimitaciones experimentales estimulanlab usquedadeotrasdesigualdadesderivadas, quepuedansertesteadasenellaboratorio. Existenporlotantovariasversiones de desigualdadesdeBell ymuchas deellasimplicansuposiciones adicionales alas del resultadooriginal deBell osugeneralizacion. Es usual referirseatodas estas generalizaciones comode-sigualdadesdeBell, aunqueseandebidasaotrosautores. EnestecaptulotrataremosdelaprimeraysegundadesigualdadesdeBell ydeunadesusderivaciones, la desigualdad CH72, que es la base de las primeras experienciasconpolarizaciondefotones. Enel Captulo4discutiremosotrasformasdelasdesigualdadesdeBell,adaptadasaexperimentosespeccos.163.1. TeoremadeBell 3. DesigualdadesdeBell3.1. TeoremadeBellLaprimerdesigualdaddeBell [Bel65] estaformuladaenel contextodelapropuestadeBohmparalaparadojaEPRyessatisfechaporcualquierteora determinista, local de variables ocultas. Bell muestra que existen casosen que las predicciones cuanticas no satisfacen esta desigualdad, de modo queelsiguienteesunenunciadocompactodelTeoremadeBell:Ninguna teora determinista y local puede reproducirtodoslosresultadosdelaMecanicaCuantica.La restriccion del determinismo no es esencial y es levantada mas adelanteporelpropioBell,comosemuestraenlaSeccion3.2.En la version de Bohm de la paradoja EPR, vea la Fig. 2.1, los observablesrelevantessonlascomponentesdespindecadapartculaendireccionesse-leccionadas unavezque ambas se han separado y yano interact uan entre si.Dos observadores, Alice y Bob, equidistantesde la fuente del par de partcu-las miden en forma simultanealas componentesde spin de cada partcula endosdireccionesespaciales( a, b). LlamamosA( a)al resultadodelamedidade Alice del spin de la partcula 1 en la direccion a y B(b) al resultado de lamedidadeBobdelspindelapartcula2enladireccionb.ElteoremadeBellsebasaendoshipotesis:i) DeterminismoEnbaseal argumentoEPR, serequiereinformacionsuplementariaalacontenidaenlafuncion deestadoparaespecicarcompletamenteel valor de todos los observables.Supongamos que representael con-junto devariables ocultas necesariopara especicarel estado enformacompleta. Estas variables puedenser unaomuchas, convalores dis-tribuidosenformacontinuaodiscreta1.Consideremosunensembledeparesdepartculaspreparadasenestadosquesoncompletamentees-1Sinperdidadegeneralidad, escribimoslasecuacionesparaunavariablecontinua.Un estado cu antico representara una media sobre un ensemble de estados descritos porvariosvaloresdelavariableoculta.173.1. TeoremadeBell 3. DesigualdadesdeBellpecicados por un valor . La unicarestriccion sobre el espaciodeestadosesquesepuedadenirunafunciondedistribucion()enel modo usual: d = () d es la probabilidad de que el estado este enelintervalo[, + d].Ladensidaddeestadostienenormalizacion_()d =_d = 1. (3.1)En este ensemble, el valor medio, E(X), de un observable Xse obtieneenlaformausualE(X) =_X() ()d (3.2)promediando sobre estados, es decir, sobre los posibles valores de la vari-able oculta que describe cada par de partculas emitido por la fuente.El resultadodeunamedidadependedelaorientaciondel analizadorydelavariable2. Tomando/2comounidaddespin, losposiblesresultadosdelasmedidasdeAliceyBobsonA(a; ) = 1, B(b; ) = 1. (3.3)LocalidadEl producto de ambos observables (necesario para calcular la correlacionE(AB)) dependeraengeneral del estadodelpar yde las orientacionesdeambosaparatosdemedida,AB= [AB]( a, b; ).Lahipotesisdelo-calidadasumidaporBellen[Bel65]Thevital assumptionisthattheresultBforparticle2doesnotdependonthesetting aofthemagnetforparticle1,norAonb.implicaqueladependenciadeABesdelaforma[AB]( a, b; ) = A( a; ) B(b; ). (3.4)2Sesuponequesiseconoceunavezemitidoelpar,habr aalgunaregladeevoluci onespecicadaenlateoraparaobtenersuvaloratiemposposteriores.183.1. TeoremadeBell 3. DesigualdadesdeBellEnotras palabras, el resultadodelamedidade Bob,B(b; ), dependeexclusivamentedel estadoydelaorientaciondesuanalizadorynode la orientacion del analizador de Alice. Toda teora fsica que excluyalaposibilidadde accionadistanciaseralocal eneste sentido. Estahipotesisdelocalidadimplicaquelacorrelacionentreambasmedidasdespin(esdecir, el valormediodel observableconjuntoAB)es, envirtudde(3.2) y(3.4),E( a, b) _A( a; )B(b; ) ()d. (3.5)PrimeradesigualdaddeBellPara encontrar un ejemplo en el cual las predicciones de teoras determin-istas,localesylasdelaMecanicaCuanticadieran,esnecesarioespecicarunaformaconcretadecorrelacionentreel par departculas. SiguiendoelejemplodeBohm,podemossuponerqueelparsepreparaenunestadosin-glete, ec. (2.5), enel cual lascomponentesdespin(encualquierdireccionespacial)estanperfectamenteanti-correlacionadas.Demodoqueel resulta-dodedosmedidasenlamismadireccionverica,A( a) + B( a) = 0. (3.6)Esdecir,queapartirdelresultadodelamedidadeAlicesepuedepredecirconcertezacual sera el resultado de la medida de Bob en la misma direccionespacial. Para estados perfectamente anti-correlacionados, en virtud de (3.3)y(3.6),seobtieneE( a, a) = 1.Supongamos que Alice orienta su aparato de medida en la direccion ja a,pero Bob puede optar por alinear su analizador en dos direcciones alternativasb ob. Bell demostro [Bel65] que las correlaciones asociadas a estas medidassatisfacenladesigualdad[E( a, b) E( a,b)[ E(b,b) 1. (3.7)Partiendode ladiferenciadecorrelacionesE( a, b) E( a,b), usandolas193.1. TeoremadeBell 3. DesigualdadesdeBell60o60o abbFigura 3.1:Versores coplanares que denen tres direcciones de medida para las cuales lapredicci oncu anticaviolaladesigualdaddeBell,ec.(3.7).ecs.(3.6) y(3.3)seobtieneE( a, b) E( a,b) =__A( a; )B(b; ) A( a; )B(b; )_()d= __A( a; )A(b; ) A( a; )A(b; )_()d= _A( a; )A(b; )_1 A(b; )A(b; )_()d..Dado que productos de la forma A( a; )B(b; ) son 1, usando la condiciondenormalizacion(3.1),resulta[E( a, b) E( a,b)[ _[1 A(b; )A(b; )] ()d = 1 + E(b,b)conlocualladesigualdad(3.7)quedademostrada.PrediccioncuanticaParacompletar el TeoremadeBell restamostrar quelapredicciondelaMecanicaCuanticaviolaladesigualdad(3.7). El valoresperadodel ob-servableconjunto1 a 2

basociadoamedidassimultaneasdelascom-ponentesdespindecadapartculaendosdirecciones a, b, secalculaenlaSeccionA.2,ec.(A.18),comoEMC( a, b) [SaSb[) = a b = cos ab. (3.8)La correlacion cuantica depende solo de la orientacion relativa, ab [ab[,deambosanalizadores. Eligiendotresorientaciones a, b,bcoplanares, for-mandoangulosentreside60ocomoseindicaenlaFig.3.1,seobtienenlascorrelaciones EMC( a, b) = EMC(b,b) = 12y EMC( a,b) =12. Por lo tanto,[EMC( a, b) EMC( a,b)[ EMC(b,b) =32> 1,203.2. DesigualdadCHSH 3. DesigualdadesdeBellyladesigualdad(3.7)nosesatisfaceenestecaso.LaimportanciadelresultadodeBellradicaencolocar,porprimeravez,ladisyuntivalosocaplanteadaporlaparadojaEPRenterminoscuanti-tativossuceptibles al menos enprincipiodevericacionexperimental.Al demostrarquelasteoraslocales, deterministasdevariablesocultasylaMecanica Cuantica no comparten el mismo conjunto de predicciones, se abrela puerta a la posibilidad de decidir experimentalmente entre ambos tipos deteora. Sin embargo, la desigualdad (3.7) requiere de una correlacion perfecta,locualesmuyrestrictivoynuncafuetesteadaexperimentalmente.3.2. DesigualdadCHSHEn1969, sepublicael fermental trabajodeClauser, Horne, ShimonyyHolt[CHSH69],enadelanteCHSH,dondeserealizantresaportessignica-tivosparalarealizacion experimentaldelaparadoja EPR.Enprimer lugar,CHSHdemuestranunaversionmasgeneraldel TeoremadeBell, enlacualmantienenlas suposicionesbasicasdedeterminismo(i) ylocalidad (ii), peronoasumenlacorrelacionperfecta,ec.(3.6).LadesigualdadqueobtienenesequivalentealaformamasconocidadedesigualdaddeBell,2 S E( a, b) E( a,b) + E(a, b) + E(a,b) 2, (3.9)aplicable a experimentos con deteccion de dos canales (como en la propuestadeBohm). El parametrodeBell, S, denidoen(3.9)esunacombinacionlineal decorrelaciones parados pares deorientaciones delos analizadoresdeAlice( a,a)yBob(b,b).Noreproduciremosaqulademostracionorig-inal deestadesigualdad, yaqueJ.S. Bell lademostrobajohipotesis masgenerales [Bel71], incluyendo en la descripcion del sistema por variables ocul-tas al estadodelos aparatos de medidaylaeventualidaddefallas enladeteccion, conlocual implcitamenteseabandonael determinismodelaspropuestas anteriores. Ladesigualdad(3.9), referidaenlaliteraturacomodesigualdad CHSH, no pudo ser aplicada directamente ya que las experien-ciasconpolarizaciondefotonesydeteccionecientededoscanalesnoeranrealizables[CHSH69]. Reciensevericoexperimentalmentelaviolacionde213.2. DesigualdadCHSH 3. DesigualdadesdeBellladesigualdad(3.9) en1982 enlasegundaexperienciadeAspect[AGR82a],quetratamosenlaSeccion4.2.2. LamayoradelasexperienciasmodernasusanestadesigualdaddeBell.Ensegundolugar, CHSHusan unahipotesisadicional3paraobtener unaformadeladesigualdaddeBell suceptibledeser vericadaexperimental-menteconlatecnologadisponibleenlaepoca. Lamismadesigualdadfuedemostrada algo mas tarde por dos de ellos (Clauser y Horne) bajo hipotesismenosrestrictivas,por loqueserapresentadaenlasiguienteseccion.Finalmente, en tercer lugar, CHSH proponen un experimento concreto quepermitatestearladesigualdadpropuesta. Supropuestaestabasadaenunageneralizaciondelaprimerexperienciaconpolarizaciondeparesdefotonescorrelacionados creados en un decaimiento atomico en cascada, realizada pocoantesporKocheryCommingsenBerkeley[KC67].Estapropuestafuereal-izadapocodespuesenBerkeleyporFreedmanyClauseryseconvirtioenlaprimer refutacion experimental del realismo local [FC72]. Resulta asombrosoquetantasideassehayancolocadoensolo4paginasdeunarevista.SegundadesigualdaddeBell(1971)Bell mantiene el esquema general del desarrollo de su primera desigualdad,basado en medidas de spin de dos partculas. Teniendo en cuenta que el estadodelosaparatosdemedidapodrainuenciarlascorrelaciones, el mismoseincluyeenladescripciondelsistemaporvariablesocultas.Estoimplicaqueel valor medio (3.5), tomado sobre los estados de las partculas, se redeneen terminos deA,B, las observaciones promediadas en los grados de libertad(ocultos) delosinstrumentos.EstasvariablesA,Byanosonbinarias,comoenlaec.(3.3),sinoquecumplen1 A 1 y 1 B 1. (3.10)Porlotantolacorrelacionentreunpardemedidasesahora,E( a, b) =_A( a, ) B(b, ) ()d. (3.11)3Asumenquesi unpardefotonesemergedelosltrospolarizadores,laprobabilidaddedeteccioncoincidenteesindependientedelasorientaciones ( a, b)delosltros.223.2. DesigualdadCHSH 3. DesigualdadesdeBellEnestaexpresion, representa(comoantes)el conjuntodeestadosaso-ciadoalaspartculas.Lahipotesisdelocalidadestaimplcitaen(3.11), queesunageneralizaciondelaec. (3.5).Laposibilidaddenodetecciondeunapartculaquedaautomaticamentecontempladasuponiendoqueel resultadodeunamedidadeunacomponentedespinpuedeser0si poralgunarazonnohaydeteccionenningunodelosdoscanales. Bell intentabacontemplarasimperfeccionesenlosmecanismosdedeteccion.SepuedepensarenA,Bcomovariablesaleatoriascuyacorrelacion(3.11) esconsistenteconelrequi-sito de localidad. A traves del elementoestocasticoasociado a los estados delosaparatosdemedida(yaeventualesfallasdedeteccion)seabandonaeldeterminismo.LadesigualdadEl siguienterazonamientoalgebraicoconducealasegundadesigualdaddeBell.Sean( a, b)y(a,b)dosconjuntosdeorientacionesdelosaparatosdemedida.ConsideremosladiferenciadecorrelacionesE( a, b) E( a,b) =__A( a, ) B(b, ) A( a, ) B(b, )_()d. (3.12)UsandolanotacioncompactaA( a, ) Aa, etc., escribimos laidentidadalgebraica,AaBbAaBb = AaBbAaBbAa BbAaBb AaBbAa Bb= AaBb [1 Aa Bb ] AaBb [1 Aa Bb] .Envirtudde(3.10), losproductos [A B[ 1, porlotanto1 A B 0y,usandolaidentidadalgebraicaanterior, el valor absolutode ladiferencia(3.12) satisfaceladesigualdad[E( a, b) E( a,b)[ _[A( a, ) B(b, )[_1 A(a, ) B(b, )_()d+_[A( a, ) B(b, )[_1 A(a, ) B(b, )_()d__1 A(a, ) B(b, )_()d+__1 A(a, ) B(b, )_()d.233.2. DesigualdadCHSH 3. DesigualdadesdeBellTeniendoencuentalacondiciondenormalizacion(3.1),resulta[E( a, b) E( a,b)[ +[E(a,b) + E(a, b)[ 2. (3.13)Esta desigualdad implica a la primer desigualdad de Bell: si se eligea= by se asume una anticorrelacion perfecta, E(b, b) = 1, se obtiene (3.7) comoun caso especial. La inec. (3.13) se puede expresar en terminos del parametrodeBellS,2 S E( a, b) E( a,b) + E(a, b) + E(a,b) 2. (3.14)yesporlotantoequivalentealadesigualdadCHSH,ec.(3.9).Parallegar aestadesigualdadse haasumido el criteriode localidad,ec. (3.11), ademas del realismo implcito en la descripcion por variables ocul-tas. No se asume explcitamente ning un tipo de correlaci on entre las observa-cionesA,B;lacorrelacionexistenteesdebidaalainteraccionpasadaentreambas partculas cuyos efectos las acompa nan al alejarse entre si y dependendel mismo valor de . En este trabajo, nos referiremos esta desigualdad, comolasegundadesigualdaddeBell.PrediccioncuanticaParacompletar estageneralizaciondel teoremadeBell, bastamostrarqueenalg uncasolascorrelacionescuanticas violanladesigualdad(3.14).Lacorrelacioncuanticaes EMC( a, b) = cos ab, comose muestraenlaSeccionA.2.Supongamos que las direcciones de Alice a, aylas de Bobb,bsoncoplanares yortogonalesentresi yqueel sistemadeBobestarotadounangulo [0, 2]enrelacionaldeAlice, comoseindicaenlaFig.3.2.EnestecasolaprediccioncuanticaparaelparametrodeBellesSMC() = cos(3) 3 cos(). (3.15)EstafuncionsemuestraenlaFig.3.2.Hayunaampliagamadevaloresde [0, 2]queresultanen [S[>2.Losangulosparaloscualeslaviolaciondeladesigualdad(3.14) esmaximasonpara = 45o, = 315o S= 22 < 2 (3.16)para = 135o, = 225o S> 22 > 2. (3.17)243.3. DesigualdadCH74 3. DesigualdadesdeBellabab0 /2 3 25 3/2 7-3-2-10123S MC() Figura 3.2:Izquierda: direcciones coplanares ortogonales para Alice(a, a)yBob(b, b).Los ejes de Bob est an rotados un angulo con respecto a los de Alice. Derecha: Predicci oncu anticaparael par ametrodeBell, ec. (3.15). Laslneashorizontalesmarcanel lmiteS= 2deladesigualdad.Comodiscutimos mas adelante, cuandose aplicaestadesigualdad al caso depolarizaciondefotones,esnecesarioconsiderarlossemiangulos = /2.La segunda desigualdad de Bell, inec. (3.14), es una generalizacion impor-tanteconrespectoalaprimeraqueseaplicaatodateorarealista,local. Sehaabandonadolaexigenciadeunacorrelacion perfecta,se aparta deldeter-minismo y se da un paso en direccion al laboratorio, incluyendo la posibilidaddeunafalladel detector(conteonulo). Sinembargo, suvericaciondirectarequiere un esquema de deteccion de dos canales que, como ya mencionamos,noserealizohasta1982(vealaSeccion4.2.2). Enlasiguienteseccioncon-sideramosunaversiondeladesigualdaddeBell especializadaparael casoparticular de medidas de polarizacion de fotones usando ltros polarizadores(unesquemadeuncanal).3.3. DesigualdadCH74Lasexperienciasmasrelevantesrealizadas enladecadadel70para com-probarlasdesigualdadesdeBellsebasaronenmedidasdecorrelacionentrelasdirecciones depolarizaciondeparesdefotonesopticosproducidospordecaimientos atomicos encascada(vealaSeccion4.1). Enel Apendice Bdiscutimos la analoga existente entre las componentes de polarizacion de unfoton y las componentes de spin de una partcula de spin 1/2. Todas las expe-253.3. DesigualdadCH74 3. DesigualdadesdeBellriencias de primera generacion con polarizacion de fotones se hicieron usandoltros polarizadores, seguidos de un tubo fotomultiplicador para detectar losfotonesquelosatraviesan. Esdecir, unesquemadedetecci ondeuncanal.LasdesigualdadesdeBelldesarrolladasenelcontextodepartculasdespin1/2 no son directamente aplicables a experiencias de un canal. Construyendosobresupropuestainicial [CHSH69], ClauseryHorne[CH74]obtienenunadesigualdad de Bell que puede ser comprobada usando esquem as de detecciondeuncanal.3.3.1. MedidasdepolarizaciondeuncanalEl esquema general de deteccion de un canal se muestra en la Fig. 3.3. Lafuente F crea un par de fotones polarizados a traves de un procesoadecuadoquenoespecicaremos porel momento. Losfotonesviajanendireccionesopuestas haciados ltrospolarizadores lineales orientables, indicados AyBenlagura. Unpolarizadorideal transmitelosfotonesconpolarizacionparalela a su eje principal y bloquea aquellos con polarizacion ortogonal (veael Apendice Bpor mas detalles). Dos detectores (D1yD2enla gura)registranlosfotonestransmitidosporelpolarizador correspondiente.Durante el experimento, la fuente emite Npares de fotones, Alice detectaN1( a) en D1 y Bob detecta N2(b) en D2. Estas son las lecturas acumuladas desusrespectivosdetectores. Loseventosdeinteresparaevaluarcorrelacionessonaquellosenquehaycoincidencia4enladetecciondeambaspartculas,N12( a, b).PerspectivadesdeelrealismolocalEnunadescripcionrealistapor variables ocultas, el estadodel par defotonesalmomentodelaemisionestaasociadoalvalorde .Laevolu-cionsubsecuentedeesdesconocidaperoseasumequeexiste. Sesuponetambienqueladensidaddeestados () nodependedelaorientacionde4Coincidencia enelcontextoexperimentalsignicaquedoseventostienenlugarconunadiferenciatemporal menoralaventanadesimultaneidad del aparato. Si bienes nito, sepuedeignorarsi 1/f1/rdondef es latasadeemisiondeparescorrelacionados yflatasadeconteomediadeunodelosdetectores.263.3. DesigualdadCH74 3. DesigualdadesdeBellN2 N1 N paresN12abD2 D1 BACCFyxzFigura3.3: Esquemadelexperimentotpicodeuncanalparamedircorrelaciones entrelas direcciones depolarizaci ondeunpar defotones. Unpar defotones polarizadosseemiteendireccionesopuestaseincideenltrospolarizadores orientablesAyB(conejesprincipalesenlasdirecciones ayb), respectivamente. Idealmente, losltross olodejanpasar fotones conpolarizaci onalolargode sueje principal. Los detectores D1yD2alimentanuncontador decoincidencia(CC).M asdetalleseneltexto.los analizadores (que puede elegirse aposteriori de laemisiondel par) ysevericalacondiciondenormalizacion(3.1). Si sehaemitidounn umeroNsucientementegrandedepartculas5, lasprobabilidadesde: detectarunfotonenD1,detectarunfotonenD2ydetectarcoincidentementeunfotonen ambos extremos, dependen de y de las orientaciones de los analizadores,p1( a, ) =N1( a, )N, p2(b, ) =N2(b, )N, p12( a, b, ) =N12( a, b, )N.(3.18)Seasumelocalidad,suponiendoquelasmedidasserealizanunavezquelas partculas sehan alejadolosucientey nohayinteraccion mutua.Por lotanto,p1nodependedebyp2nodependede ayp12( a, b, ) = p1( a, ) p2(b, ). (3.19)Integrando sobre el ensemble de estados emitidos por la fuente, se obtienen5La asociaci on entre tasas de conteo y probabilidades requiere suponer que el ensemblede medidas es un muestreo no sesgado (Fair Sampling) del total. Este problema se discuteendetalleenelCap.4,enelcontextodeexperimentosconcretos.273.3. DesigualdadCH74 3. DesigualdadesdeBelllasprobabilidadesdequeAlicedetecteunapartcula(p1),Bobdetecteunapartcula (p2) y de que tenga lugar una coincidencia en ambos extremos (p12),p1( a) =_p1( a, ) ()dp2(b) =_p2(b, ) ()d (3.20)p12( a, b) =_p1( a, ) p2(b, ) ()d.Aqusehasupuestoqueladensidaddeestados ()esindependientedelasorientacionesdelosanalizadores.Sibienrazonable,estoesotrorequisitodelocalidad. En algunos experimentos [AGR82b], esta independencia se aseguraorientandolosanalizadoresconlosfotonesenvuelo.DesigualdadesLa demostracion de la desigualdad CH74 se basa en el siguiente lema cuyademostracionseincluyeenelApendiceC.Six, x, y, y, X, Y sonn umerosrealesnonegativostalesquex, x[0, X]yy, y [0, Y ],entoncescumplenladesigualdadXY U x(y y) + x(y + y) Y xXy 0. (3.21)Paradosjuegosdeorientacionesalternativasdelosanalizadores,conlasidenticacionesx p1( a, ), xp1(a, ), X 1,y p2(b, ), yp2(b, ), Y 1, (3.22)ladesigualdad(3.21) implica1 p1( a, )p2(b, ) p1( a, )p2(b, ) + p1(a, )p2(b, ) +p1(a, )p2(b, ) p1(a, ) p2(b, ) 0.Finalmente, multiplicandopor la densidadde estados(), usandola condi-ciondelocalidad (3.19)eintegrandoen,seobtiene1 p12( a, b)p12( a,b)+p12(a, b)+p12(a,b)p1(a)p2(b) 0. (3.23)283.3. DesigualdadCH74 3. DesigualdadesdeBellComoyasemenciono, ladesigualdadsuperior fueobtenidaanteriormente[CHSH69]. Estas desigualdades debenser satisfechas por las prediccionesestadsticasdecualquierteorarealistalocal.ContactoconexperienciasdedoscanalesLasdesigualdades(3.23) implicanlasegundadesigualdaddeBell,desar-rollada en el contexto de experiencias de dos canales. Cuando estas experien-cias se realizan con fotones, un cristal (PBS) divide el haz en dos direccionesdependiendo de su direccion de polarizacion. En cada rama del haz hay detec-tores. Idealmente, se obtienen conteos de ambas componentes de polarizacionpara cada uno de los fotones del par. Deniendo las probabilidades de detec-cionconjuntacorrespondientescomop++12, p+12, p+12, p12, paracadatipodedeteccion(pkl12, conk, l = )sesatisfaceunadesigualdadde laforma(3.23).Escribimosgenericamenteestascuatrodesigualdadescomo1 S(k, l) 0, (3.24)dondeS(k, l) pkl12( a, b) pkl12( a,b) + pkl12(a, b) + pkl12(a,b) pk1(a) pl2(b).Las correlacionesE( a, b) son valores mediosdel producto AB= 1yresul-tandelasprobabilidadesdedeteccionconjuntaE( a, b) = p++12+ p12p+12p+12. (3.25)La combinacion lineal S(+, +) + S(, ) S(+, ) S(, +) de las de-sigualdades(3.24)resultaenlasegundadesigualdaddeBell,ec.(3.14).3.3.2. Hipotesisde NoEnhancementLa expresion (3.23) depende no solo de las probabilidades conjuntas, sinotambiendelasprobabilidadesdedeteccionencadadetector, (p1, p2). Dadoquelasbajasecienciasdedetecciondefotonesindividualeshansidounodelosproblemasdelosprimerosexperimentos, esdeseabledesdeel puntode vistaexperimental, eliminar las probabilidades de deteccionindividual293.3. DesigualdadCH74 3. DesigualdadesdeBelldeladesigualdad. EstomotivaaClauseryHorneaformularunahipotesisadicional quepermiteexpresarladesigualdad(3.23)enterminosdeproba-bilidadesconjuntas.Lahipotesisadicionales:Si sequitaunltropolarizador, laprobabilidaddedeteccionseramayoroigual queconelltroensulugar.Estarazonablesuposicion6seconocecomolahipotesisde NoEnhance-ment yesasumidaportodaslasexperienciasbasadasendetecciondeuncanal. Usamos, comoes usual enestecontexto, el smbolo pararepre-sentarlaprobabilidaddedeteccioncuandoseretiraelltropolarizador.Lahipotesisde NoEnhancement setraduceenque 0 p1( a, ) p1( a = , ),0 p2(b, ) p2(b = , ). (3.26)Realizando las identicaciones Xp1( a =, ), Y bp2(, ),manteniendo las restantes ecs. (3.22). Integrando sobre estados , como antes,ladesigualdad(3.21)yusandolacondiciondelocalidad, (3.19), seobtieneladesigualdadCH72,p12(, ) p12( a, b) p12( a,b) +p12(a, b) + p12(a,b) p12( a, ) p12(, b) 0. (3.27)En esta expresion p12(, b) es la probabilidad de deteccion conjuntacuandoel analizador deAlicehasidoremovidoyp12( a, ) es lacorrespondienteprobabilidaddedeteccionconjuntacuandoel analizadordeBobsehare-movido. Similarmente, la cantidad p12(, ) es la probabilidad de deteccionconjuntaconambospolarizadoresremovidos.6Que no es necesariamentecierta. Enel Apendice Bpresentamos unejemplo bienconocido en el cual no se cumple: al intercalar un ltro polarizador con eje a 45oentre dosltros con ejesortogonales entre si, laintensidad dela luz (queera nula) aumenta a25 %.Estasituaci on(el usodepolarizadoresdispuestossequencialmente)nosepresentaenlasexperienciasdeinteres.303.3. DesigualdadCH74 3. DesigualdadesdeBellTasasdeCoincidenciaLoqueseobservaexperimentalmentesontasasdecoincidenciaR(even-toscoincidentes/seg).Paradosorientaciones( a, b)lastasasdecoincidenciarelativasonR(a, b) R(a, b)/R0= p12(a, b)/p12(, ), dondeR0eslatasadecoincidenciassinningunodelospolarizadoresenelsistema.LacantidadR1( a) es la tasa relativa de coincidencias cuando el analizador de Bob ha sidoremovidoyR2(b)lacorrespondientetasadecoincidenciascuandoel anal-izadordeAlicehasidoremovido. Si seasumesimetrarotacional,lastasascoincidentesR1yR2nodependendelaorientaciondel analizadorqueper-manece en el sistema. Este es un caso especial importante y sera consideradoal comienzo del Cap. 4. Las desigualdades (3.27) se expresan, en terminos delastasasdecoincidenciarelativa,como1 R( a, b) R( a,b) +R(a, b) +R(a,b) R1(a) R2(b) 0. (3.28)Estadesigualdad(CH74)esel puntodepartidaparalasdesigualdadesdeBell usadasenlosexperimentosconpolarizaciondefotonesyesquemasdedetecciondeuncanal. Si ademasdelahipotesisde NoEnhancement,seasumeunasimetraderotacionseobtienelaversiondeFreedman, masconveniente desde el punto de vista experimental y la que se uso en la mayoradelasexperienciashastaladecadadel90.InvarianciarotacionalEnunexperimentos tpicodise nadoparatestear las desigualdades deBell,unpardefotonesconpolarizacioncorrelacionadasealejaentresialolargodeunadireccion z, (vealaFig. 3.3). Enmuchoscasos, laexperienciasemontadeformadeaprovecharlasimetraderotacion entornoalejez,yesadecuadoasumirlahipotesisdeinvarianciarotacional7. Sisecumpleestacondicion, las tasas de relativas de coincidenciaque aparecen en la ec. (3.28)7Enunadescripcionenterminosdevariablesocultas, lasmismaspodranquebrarlasimetraderotacion.Desdeestaperspectiva,ladependenciaenlaorientacionrelativadelospolarizadoresnopuedeasumirse, perosiemprepuedevericarseexperimentalmente.Ningunodelosexperimentosanalizadosenestasecci onreportaevidenciadetal quiebradesimetra.313.3. DesigualdadCH74 3. DesigualdadesdeBellsolodependendelaorientacionrelativadelosaparatosdemedidadeAliceyBob,R( a, b) R(ab) con ab [ab[. (3.29)Otraconsecuenciadelainvarianciarotacional es quelatasadedeteccionconjuntaconunodelospolarizadoresremovidosnopuededependerdeladireccion del polarizador restante, de modo que las cantidadesR1yR2pasanaserconsideradasconstantes(aserdeterminadasexperimentalmente).Por otraparte, las direcciones delos polarizadoressonvariadasenunplanotransversal aladirecciondepropagaciondelosfotonesylosversorescorrespondientesson coplanares.Tpicamente,seeligenlos angulos relativosdelmodomostradoenlaFig.3.2,ab= ab= ab =13ab . (3.30)enterminos de unsoloangulo[0, 2]. Conestas simplicaciones, ladesigualdad(3.28) seexpresaenterminosdelaorientaci onrelativacomo1 () 3 R() R(3) R1R2 0. (3.31)EstaformadeladesigualdadCH74essatisfechaporteoraslocalesdevariables ocultas bajo condiciones de simetra cilndrica, admitendo la hipote-sisadicionalde NoEnhancement.PrediccioncuanticaEnel decaimientoencascadadel Calciousadopor variasexperienciastipoEPR,seproducen(idealmente)paresdefotonesenelestadoenredado,[2) =12([ + +) +[ )), (3.32)donde [+) describe un foton con polarizacion en alguna direccion de referenciay [)describeunfoton polarizadoenladireccionortogonal.El observable asociado a una deteccion coincidente es Q(a) Q(b), dondeQ(a) es el proyector depolarizacionsobreunadireccion a, denidoenlaec. (B.4)del ApendiceB. All semuestraqueel valoresperadodeesteob-servableparaelestado(3.32) esRMC() = [Q( a) Q(b)[) =14 [1 + cos(2)] =12 cos2(), (3.33)323.3. DesigualdadCH74 3. DesigualdadesdeBell0 /4 /2 3/4/8 3/8 5/8 7/8-1,2-1-0,8-0,6-0,4-0,200,2 MC()Figura 3.4:Gr aco dela ec. (3.36), la predicci on cu antica para lafunci on ()denidaen(3.31).Laviolacion deladesigualdadtienelugarpara orientaciones relativas talesque > 0o < 1.enterminosdelaorientacionrelativa,denidaenlaseccionanteriorLas tasas ideales de deteccioncoincidente relativaconunpolarizadorfueradel sistemason1/2, yaquelamitaddelos fotones sonbloqueadosporel polarizadorrestanteynocontribuyenalatasadecoincidencias. Encualquiercaso,uncalculodirectocomoeldelApendiceBconrmaqueR1,MC=12[Q( a) I[) =12,(3.34)R2,MC=12[I Q(b)[) =12. (3.35)Estasexpresionesseaplicanalcasodeunaexperienciaideal,sinerroresex-perimentales.Masadelanteconsideramoslasmodicacionesnecesariasparadescribirelresultadodeunaexperienciareal.Usando las ecs. (3.33), la prediccion cuantica para la funcion () denidaen(3.31), esMC() =14 [3 cos(2) cos(6) 2] . (3.36)EstafunciondeperodosemuestraenlaFig.3.4.Escualitativamentesimilar a la prediccion cuantica para el parametro de Bell S(vea la Fig. 3.2).333.3. DesigualdadCH74 3. DesigualdadesdeBellExistenrangosdeorientacionesrelativasdelosejesdelosaparatosdeAliceyBobparaloscualeslaprediccioncuantica, ec. (3.36), dieredelasteoraslocalesdevariablesocultas.Enterminosaproximados, [0, 34,3o] [55, 7o, 122,3o] [145,7o, 180o]. (3.37)Lamayoradelasexperienciassehanrealizadousando = /8 22, 5oo = 3/8 67, 5o, los llamados angulos de Bellpara los cuales MCtieneextremosylaviolaciondeladesigualdad(3.31) esmaxima8.DesigualdaddeFreedmanLa version de la desigualdad de Bell usada en las experiencias de primerageneracionesunaformaa unmascompactadelaec. (3.31), enlaquenoaparecenlastasasdedeteccioncoincidente( R1,R2)conunodelospolar-izadores removido. Esta version de las desigualdades de Bell, debida a Freed-man[FC72],es [R(/8) R(3/8)[ 14. (3.38)Evaluando la inec. (3.31) en los dos angulos extremos, = /8 y = 3/8resultanlasdesigualdades1 3 R(/8) R(3/8) R1R2 0, (3.39)1 3 R(3/8) R(/8) R1R2 0, (3.40)donde hemos usadoR(9/8) =R(/8), suponiendoR() periodica con pero-do(comosugierelaprediccioncuantica, ec. (3.33)). Restandoestas de-sigualdadesseobtiene ladesigualdad (3.38). Al implicarsolotasas de detec-cion coincidente evaluadas en dos angulos de Bell, ya no es necesario repetir elexperimento(paracadaorientacionrelativadelosanalizadores)paratomar8El momentoangularesel generadorderotaciones[Mes65]: 1u() =eiJu, donde1u()esel operadorderotaciondeeje uyanguloyJulacomponentedemomentoangular alolargodel eje. Paramomentos angulares semienteros, comoenel casodepartculasdespin1/2,Ju= 1/2ylosautoestadosdespintransformanbajorotacionescomo 1u () =ei/2. Losfotonessonpartculasconspinentero(s=1)yestadosdepolarizaci on denida corresponden a Ju= 1 (vea el Apendice B), lo que explica el factor2entrelosangulosdelasexpresionesparaspin1/2(Secci on3.2)yparafotones.343.3. DesigualdadCH74 3. DesigualdadesdeBellconteos sinunouotrode los polarizadores enel aparato. Estoreduce eltiempodeadquicisionenunfactor3,peroademastiendeasimplicaelex-perimentoyreducelaposibilidaddeerroressistematicos. Lashipotesisenque se basa la desigualdad (3.38) son esencialmente las mismas9que la formasimetricadeladesigualdadCH74,ec.(3.31).La prediccion de la Mecanica Cuantica para el parametro de la desigual-daddeFreedmanseobtieneapartirdelaec.(3.33),R(/8) =14_1 +12_R(3/8) =14_1 12_.PorlotantoMC= [R(/8) R(3/8)[ =24>14. (3.41)En este punto, tenemos la infraestructura teorica necesaria para compren-derlasexperienciasEPRdescritasenelsiguientecaptulo.9SalvoenloquerespectaalaperiodicidaddeR(),vericableexperimentalmente.35Captulo4BuscandounveredictoexperimentalI have entertained myself always by squeezing the diculty ofQuantumMechanicsintoasmallerandsmallerplace,soastogetmoreandmoreworriedaboutthisparticularitem.Itseemsalmostridiculousthatyoucansqueezeittoanumericalquestionthatonethingisbiggerthananother.Butthereyouareitisbigger.R.P.Feynman,R.P.Int.J.Theor.Phys.,21,467-488(1982).Yes,itisbiggerby30standarddeviations.AlainAspect,comentandolacitaanteriorenNature398,pag.189(1999).364. BuscandounveredictoexperimentalEl trabajo experimental realizado en los ultimos 35 a nos tendiente a dilu-cidarsi lasdesigualdadesdeBell sononosatisfechasenexperienciastipoEPR, se puede dividir en tres etapas [Asp99]. La primer etapa esta dominadapor experiencias con deteccion de un canal que usan pares de fotones visiblesproducidos por decaimientos atomicos encascada. Los resultados tiendenacoincidirconlaprediccioncuantica, perohayexcepciones. Estaprimerageneracion de experiencias no se considera concluyente, ya que para interpre-tarlasobservacionesrequierendehipotesisadicionalesalasdelasegundadesigualdaddeBell. Peseaello, esinteresantedescribirlasprimerasexpe-rienciasconfotonescorrelacionadosparaapreciarenperspectivaloslogrosexperimentalesmodernos.Enlasexperienciasdesegundageneracion, iniciadasacomienzosdeladecada del 80, la electronica ya es lo bastante rapida como para permitir queladirecciondelospolarizadoresseelijamientrasel pardefotonesestaenvuelo. Ademas, se realiza la primer experiencia con deteccion de dos canales,enlacualsemideambascomponentesdepolarizacionyesposiblecompro-bardirectamentelasegundadesigualdaddeBell. Es apartirdeestetipode experiencias, que el debate comienza inclinarse decididamente en favor delaMecanicaCuantica.LostresexperimentosrealizadosporAspectetal.enOrsaysonconsideradospormuchosfsicoscomounapruebaconcluyenteafavor delaMecanicaCuanticayencontralasteoraslocalesdevariablesocultas. Sinembargo, estrictamentehablando, subsistenalgunosproblemas(loopholes)principalmenteasociadosalacondiciondelocalidad,reclamadaporJohnBellcomoesencial [Bel65]yalproblemadelaecienciadedetec-cionqueobligaaasumirlahipotesisde FairSampling paravincularlasprobabilidadesdedeteccioncoincidenteconlosdatosexperimentales.Algunasdelasexperienciasdetercerageneracionsedise nanespecca-mentepara cerrar los loopholesmencionadosy,ennuestraopinion, locon-siguen. Por ejemplo,en el experimentode Innsbruckseplasmaron las condi-ciones inicialmente propuestas por Bell eligiendo las direcciones de medida alazar mientras los fotones estan en vuelo y logrando ademas excluir la posibili-dad de conexion causal entre las medidas de polarizacion en ambos extremosdelaparato (separados por 400m). En2001, enlatrampadeiones delNISTserealizounexperimentoconionesde9Be+enel cual sedetectaron374.1. Primerosexperimentos 4. Buscandounveredictoexperimentaltodoslosparesoriginalmenteenredadosysecerroelloopholededeteccion.Sinembargo, noexiste, hastael momento, ningunaexperienciaquecierresimultaneamentetodoslosloopholes.Desde el punto de vista cuantitativo, en la literatura se encuentran variasdecenasdeexperimentosreportandolaviolaciondealg untipodedesigual-dadde Bell por varias desviaciones estandar. Salvoalgunaexcepcion(norepetible)entre lasprimeras experiencias,entodas losexperimentosrealiza-doshastalafechaseconrmalaprediccioncuantica.4.1. PrimerosexperimentosPodemos agrupar los primeros experimentos dise nados exclusivamenteparatestearlasdesigualdadesdeBell,endosclases:(1)Experienciasbasadasenmedidasdepolarizaciondeparesdefotonesopticosgeneradosapartirdetransicioneselectronicas encascada induci-dasenatonosdeCalciooMercurio.Sibienestosexperimentosnopermitencomprobar a unlasegundadesigualdadde Bell, si permitenunacompro-baciondeladesigualdaddeFreedman, inec. (3.38). Estasexperienciassonel antecedenteinmediato de los experimentosde Aspect et al., con los cualescompartenunenfoquesimilar.Estaseccionestadedicadaadescribirlosre-sultadosdeestosexperimentos.(2) Experimentos basados en fotones de alta energa ( 0,5 MeV ), obtenidospor aniquilaciondel positronio. Supolarizacion se mide en formaindirectacuandolosfotonessondispersados1enblancosmetalicos(dispersionComp-ton) y luego detectados en forma coincidente. En una serie de experiencias deeste tipo [KUW75, F+74, WLB76, BdM77] realizada a mediados de la decadadel 70,lamayora(aunquenotodos)vericanlapredicciondelaMecanicaCuantica. Sinembargo, el vnculodeestos experimentos conlasdesigual-dades de Bell es remoto y requieren de la teora cuantica para interpretar susresultados.Algosimilarocurreconunaexperienciaaisladadedispersiondeprotones[LRM76].Vea[CS78]por unacrticade estosexperimentos.1Noexistanenla epocaltrospolarizadores ecientesparafotonesdeestaenerga.384.1. Primerosexperimentos 4. Buscandounveredictoexperimental551,3 nm422,7 nm4p2 1S04s2 1S04p4s1P13d4p1P112Figura 4.1:Niveles electronicos relevantes delCalcio. Elmecanismo deexcitacion usadopor [FC72] se muestra con las echas trazo-punto. Los fotones opticos 1, 2emitidos en eldecaimiento en cascada est an correlacionados en polarizaci on. La misma fuente de fotonesfueusadaen[AGR81], conunmecanismodeexcitacionselectivabasadoendosfotones(echasverticales atrazos).DecaimientoencascadaTodas las experiencias discutidas en esta seccion usan fotones generados apartir de decaimientos atomicos sucesivos(cascada). Por ejemplo, la Fig. 4.1muestrael decaimientoencascadadel CalciousadoenlosexperimentosdeFreedmanyClauser [FC72] yenlastres experiencias deAspect [AGR81,AGR82a, AGR82b]. El par de fotones emitido en un decaimientoen cascadatienesuspolarizacionescorrelacionadas2. Lanaturalezadelascorrelacionesdepende del tipo de cascada. En las experiencias tipo EPR que discutimos eneste trabajo se han usado dos tipos de cascada que se pueden caracterizar porlos valores inicial, intermedio y nal del momento angular total del atomo J.En las cascadas tipo J= 0 J= 1 J= 0, como la mostrada en la guraFig.4.1,lacorrelacionentrelosfotonessedescribebienporunestadotipo[2) = ([ ++)+[ ))/2. Como se muestra en el Apendice B, la prediccioncuantica para el valor esperado de la tasa de coincidencias en una experienciaidealapartir deesteestadoestadadapor laec.(3.33). Estaecuaciondebersercorregidaparatenerencuentalaecienciadelospolarizadores[FC72],R() =14_2+ + 2F() cos(2), (4.1)2Debido a las restricciones impuestas por la conservaci on de la cantidad de movimientoangularydelaparidad.394.1. Primerosexperimentos 4. Buscandounveredictoexperimentaldonde es la orientacion relativa entre ambos polarizadores ( se dene en laSeccion 3.3.2). [F()[ 1 es una medida de la pureza de las correlaciones pre-sentes en el estado inicial y depende del tipo de cascada y de la co-linealidadconquesealejaunpar defotones delafuente. Esto ultimodependedelsemianguloconel cual lospolarizadores ven lafuente. Enel casoideallos fotones son colineales y F(0) = 1, dependiendo del tipo de decaimiento.Paradecaimientostipo0 1 0resultaF=1yparadecaimientostipo1 1 0esF(0) = 1[CS78].Enunaexperienciareal,elvalorconcretode [F[ aserusadoenlaec. (4.1)dependedelageometra. Lascantidadesestanasociadas alacalidaddelos polarizadores. Idealmente, unltropolarizadortransmitefotonesconpolarizacionparalelaasuejeprincipal yabsorbeaquellosconpolarizacionperpendicular. Unpolarizadorreal tieneasociadastransmitanciasM1ym0, quepuedendenirsecomolasprobabilidadesdetransmisioncuandounfotontienepolarizacionalolargodeladireccionprincipal (M)operpendicular(m)alamisma. Paracada3polarizador A,B,lascantidadesqueaparecenenlaec.(4.1) sedenencomo M m. LosparametrosexperimentalesdisponiblesenlaliteraturasobreestasexperienciasseresumenenelCuadro4.1.LaversiondeladesigualdaddeBellusadaentodoslosexperimentosesversion compacta debida a Freedman, ineq. (3.38). Los sistemas de deteccionsonentodos los casos de uncanal yse ajustanal esquema generalmostrado en la Fig. 3.3. En todas las experiencias (salvo [KC67]), usando lasdenicionesdelaSeccion3.3.2,semidenlastasasdecoincidenciarelativaspara los angulos de Bell,Rexp(22, 5o) yRexp(67, 5o). Con estas tasas se obtieneelvalorexperimentalparaelparametrodeFreedman,exp= [Rexp(22, 5o) Rexp(67, 5o)[ (4.2)que, de acuerdo a las teoras locales, y tambien las hipotesis adicionales men-cionadasenlaSeccion3.3,debeestaracotadoporladesigualdaddeFreed-man, 1/4.3En la ec. (4.1) hemos supuesto, por simplicidad, que ambos polarizadores son identicos.404.1. Primerosexperimentos 4. BuscandounveredictoexperimentalRef. atomos cascada(J) Mm (o) F()[FC72]40Ca 0 1 0 0,96 0,01 0,037 0,004 30 0,990[HP73]198Hg 1 1 0 0,895 0,001 < 10413 0,951[FT76]198Hg 1 1 0 0,975 0,010 0,020 0,005 19,9 0,912[Cla76]202Hg 1 1 0 0,969 0,010 18,6 0,904[AGR81]40Ca 0 1 0 0,999 0,007 0,029 0,007 0,984Cuadro 4.1: Parametros experimentales usados en las primeras experiencias de un canal.Losdatosde[HP73](quenofuepublicado)sonlosmencionadosen[CS78].Lastransmi-tanciassonvalorespromedioparaambospolarizadores.El anguloestaengrados. Loserroresreportadoscorrespondenaunadesviacionest andarentodosloscasos.Losresul-tadoscorrespondientes sedetallanenelcuadro 4.2.Laexperiencia [AGR81]sediscuteendetalleenlasiguientesecci on.DescripciondelosexperimentosLosprimerospasosparaplasmarenunaexperienciaconpolarizaciondefotoneslapropuestaoriginal deAharonov-Bohm[BA57] fuerondadosporKocheryCommingsenBerkeley[KC67].Usaronelpardefotonesgeneradoen un decaimiento en cascada tipo 0 1 0 en atomos de Calcio excitadosopticamente. Enestaprimerexperienciasolosetomandatosdecoinciden-ciascon(i)losltrospolarizadoresparalelosy(ii)losltrospolarizadoresortogonalesentresi.KocheryCommingsreportandatosconsistentesconlacorrelacioncuantica,ec.(4.1), esperadaparaestetipodecascada.Laprimerexperienciadise nadaespeccamenteparatestearladesigual-dad de Freedman usando fotones visibles es realizada por Freedman y Claus-er[FC72] enBerkeley. Esteexperimentosebasaenunapropuestarealiza-daporel mismogrupotresa nosantes[CHSH69]. Usandounaemisionencascadadel Calciodel mismotipoqueladeKocher yCommings (vealaFig. 4.1), obtienenlastasasdecoincidenciaparalosangulosdeBell yes-timanexp=0,300, violandoladesigualdaddeFreedmanpor6. Tambienvericanlaprediccioncuanticaparaotrasorientacionesrelativasdelospo-larizadores,comosemuestraenlaFig. 4.2.Una nodespuesderealizadoel experimentodeFreedmanyClauser, se414.1. Primerosexperimentos 4. BuscandounveredictoexperimentalFigura4.2: Comparacionentrelapredicci oncu antica, ec. (4.1), paraR() ylas ob-servacionesexperimentalesparavariasorientacionesrelativas: izquierda[FC72], centro[Cla76],derecha[FT76].Figurastomadasdelaspublicacionescitadas.lleva a cabo una experiencia similar usando pares de fotones de un decaimien-toencascadatipo1 1 0del198HgporpartedeHoltyPipkin, delaUniversidaddeHarvard[HP73]. Enesteexperimento, endiscrepanciaconlaMecanicaCuantica,noseobservaningunaviolaciondeladesigualdaddeFreedman.En 1976 John Clauser en Berkeley,repite la experienciade Holt y Pipkinusando el mismo decaimientoen cascada, y observa una clara violacion de ladesigualdad de Bell [Cla76]. Ese mismo a no se realiza un cuarto experimentoenlaUniversidadde Kansas [FT76], basadoenel decaimientotipo1 1 0 del200Hg(que tiene spin nuclear total nulo), que tambien conrma laviolaciondeladesigualdaddeBell.En el Cuadro 4.2 resumimos los resultados de estas experiencias. A partirdeestos resultados, se haarmado[Cla76, CS78] que laexperiencia dis-crepante (de Holt yPipkin) estaraafectadapor alg untipode error sis-tematico4. Comomuestrael cuadro4.2, enlostrescasosenqueseobservaunaviolacionde ladesigualdad(3.38), estase dapor varias desviacionesestandar. Ademas(Fig. 4.2)lapredicciondelaMecanicaCuanticaparalatasarelativadecoincidencias, ec. (4.1), hasidovericadaparavariasori-4Esinteresante observar, seg unsereporta en[CS78],quelosprimeros resultados delarepetici onhechaporClauser[Cla76] coincidieronconlosdeHoltyPipkin... Al realizarunchequeodelaopticaseencontrounalenteconproblemasdemontaje.Alcorregir esteproblema, los resultados pasaronacoincidir conlaMecanicaCu antica. Holt yPipkinnuncarepitieronsuexperiencia.424.1. Primerosexperimentos 4. BuscandounveredictoexperimentalRef. MCRexp(/8)Rexp(3/8) expexp>14?[FC72] 0,301 0,007 0,400 0,007 0,100 0,003 0,300 0,008 por 6[HP73] 0,266 0,099 0,009 0,316 0,011 0,216 0,013 NO[FT76] 0,294 0,007 0,296 0,014 por 3[Cla76] 0,2841 0,289 0,009 por 4[AGR81] 0,308 0,002 0,307 0,004 por 14Cuadro 4.2:Resultados delas primeras experiencias deuncanal realizadas para testearlasdesigualdadesdeBell.Lapredicci oncu antica,MC,secalculausandolaec.(4.1)conlospar ametrosexperimentalesdetalladosenel cuadro4.1. Losdatosde[HP73] (quenofuepublicado) son losmencionados en[CS78].Los errores reportados corresponden aunadesviacion est andar en todos los casos. El estimativo para el par ametro de Freedman, exp,seobtieneapartirdelastasasdecoincidencia,conlaec. (4.2). Laexperiencia[AGR81]sediscuteendetalleenlasiguientesecci on.entacionesrelativasdelospolarizadores.Sinembargo, estasexperienciasdeprimerageneracion noson concluyentes.Uncrticode la MecanicaCuanticapodraobjetarlosresultadosde estosexperimentosenvariosaspectos:1. NoseusolasegundadesigualdaddeBell, sinolaformadeFreedmanquecontieneunahipotesisadicionalsobreladeteccionenausenciadepolarizadoresademasdelasuposiciondesimetraderotacion.Losre-sultados solo pueden invalidar teoras locales de variables ocultas en losqueestashipotesissesatisfacen.2. La violacion ala desigualdad se da por pocas desviacionesestandar, loquepermitealentarlaideadequealg unerrorsistematiconotenidoencuentacambieel resultadodetresdelosexperimentos(sinafectarel restante), de modoque todos los datos satisfaganladesigualdaddeBell. Enotraspalabras, existelaposibilidaddequelaexperienciadeHoltyPipkinestecorrectaylasotrastresequivocadas, yaqueelpresuntoerror sistematicoqueafectolos datos de Holt y Pipkinnuncafue identicado [CS78]. Esta es una posibilidad muy remota, ya que losresultadosnegativosdeHolt yPipkinnopudieronserreproducidosen434.2. LasexperienciasdeAspect 4. BuscandounveredictoexperimentalelintentollevadoacaboporClauser[Cla76].3. Lasorientacionesdelospolarizadoressonjas. Noserealizolaexpe-rienciapropuestaporBell enlacual laelecciondecomoorientar elpolarizadorserealizamientraslaspartculasestanenvuelo.Lainfor-macionsobrelaorientaciondepolarizacionquesevamedirsepuedeltrar enlosfotonesalsercreados.4. Para interpretar las tasas relativas de deteccion como las probabilidadesde coincidencia presentes en la version original de la desigualdad CH74,serequieresuponer quelamuypeque nafracciondetodoslos paresemitidosquefuedetectada,esunamuestranosesgadadeltotal.4.2. LasexperienciasdeAspectA traves de tres experiencias realizadas por Alain Aspect y colaboradoresenlaUniversidaddePars-Sudacomienzos deladecadadel 80[AGR81,AGR82a, AGR82b], quedo bastante bien establecido que las correlaciones enmedidas de polarizacion de fotones no satisfacen las desigualdades de Bell porun amplio margen. Esto represento un fuerte golpe para el realismo local. LaprimerayterceraexperienciadeAspectusanmedidasdeuncanal yseranconsideradasenconjuntoenlasiguienteseccion.Lasegundaesespecialpormasdeunarazon.EslaprimercomprobaciondelasegundadesigualdaddeBell, locual laliberadelashipotesisadicionales(simetrarotacionaly NoEnhancement) que afectan a la desigualdad de Freedman. En segundo lugar,laviolaciondeladesigualdadsedaenelnivel nuncaantesobservadode46desviaciones estandar yse vericanlas predicciones cuanticas paravariasorientacionesrelativasdelosanalizadores.4.2.1. ExperienciasdeuncanalAnalizadoresjosLaprimerexperienciadeAspect[AGR81]esunrenamiento,conmejortecnologa, de las experimentos historicos de primera generacion [FC72, Cla76,FT76]. Estaexperienciase ajustaal esquemageneral de deteccionde un444.2. LasexperienciasdeAspect 4. Buscandounveredictoexperimentalcanal, mostradoenlaFig. 3.3. Seutilizanlosdosfotonesgeneradosenlacascada0 1 0del40Ca, (Fig. 4.1), lamismafuentedefotonesusadaporFreedmanyClauser, peroel mecanismodeexcitacionesdiferente. Eneste caso la excitacion es especca a los isotopos de40Ca, con lo cual se evitaque otros isotopos residuales afecten las correlaciones de los fotones emitidos.Ademas, alcanzan tasas de decaimiento muy superiores a las de anteriores ex-perimentos(el ultimofue el de Fry y Thomson, 1976). Con esto, los tiemposde conteo pasan a ser del orden de 10 minutos en vez de varias horas como enlasexperienciasdeprimerageneracion. Lospolarizadoresusadosson, comoen experiencias anteriores, de tipo pila de platos y sus eciencias, junto conotrosdetallesdelexperimento,seincluyenenelcuadrocomparativo4.1.Como es usual se consideran orientaciones coplanares de los polarizadoresquevericanlacondicion(3.30)ysemidentasasrelativasdecoincidencia,R(), para una orientacion relativa concreta. Las coincidencias observadassoncorregidasrestandolascoincidenciasaccidentales5.Enestaexperienciaseobtienenvariosresultados:1. ViolaciondeladesigualdaddeFreedmanpor13.OrientandolospolarizadoresconlosangulosdeBell, =/8y=3/8, seobtienenlecturasdetasasdecoincidenciaR(/8)yR(3/8).Las medidas se repitende modo que se obtiene una incertidumbreexperimental paraestascantidades. Luegoseeval uael parametrodeFreedmanexp.Elresultadoobtenidoesexp= [R(/8) R(3/8)[ = 0,3072 0,0043representaunaviolacionde ladesigualdad1/4por mas de 13, locual es lamayor diferenciaobtenidahastael momento(veaelCuadro4.1).2. ViolaciondeladesigualdadCH72por9.La desigualdad de Freedman asume invariancia rotacional. Para testearuna desigualdad sin suponer invariancia rotacional, Aspect et al. toman5Estas sondetecciones coincidentes nodebidas aunpar defotones correlacionadosemitidosporlafuente.454.2. LasexperienciasdeAspect 4. BuscandounveredictoexperimentalFigura4.3: Tasarelativadecoincidenciaobservadaparavariasorientacionesrelativas.Las barras de error indican una desviacion est andar. La curva corresponde a la predicci oncu antica,ec.(4.1),usandolospar ametrosindicadosenelcuadro4.1.Figurareproducidade[AGR81].dos series demedidas detasas decoincidenciaR1,R2conuno(oelotro) de los analizadores fuera del sistema y eval uan desigualdad CH74,eq. (3.28) que norequiere simetra de rotacion. Para =22,5oseobtiene,exp= 0,126 0,014lo cual representa una violacion por 9 de la desigualdad CH74. Este re-sultadoesconsistenteconlaprediccioncuantica(conlascorreccionescorrespondientesalasecienciasdelospolarizadoresydelosdetec-tores)deMC= 0,0,118 0,005.3. Chequeodelaprediccioncuanticaparavariasorientacionesrelativasdelospolarizadores.Setomanmedidas deR() paravarios valores deyse vericalaprediccioncuantica (conlas correcciones correspondientes a las e-cienciasexperimentales), ec.(4.1).EstacomparacionsemuestraenlaFig.4.3.464.2. LasexperienciasdeAspect 4. Buscandounveredictoexperimental4. DescartedelahipotesisdeBohm-AharonovParatestearlapropuestadeBohmyAharonov[BA57]sobreunposi-bledebilitamientodelascorrelacionesconladistancia6Aspectetal.repiten elexperimento(para diversasorientacionesrelativas ) con lospolarizadores separadosdelafuentepor unadistanciadehasta6.5m.Noobservan cambios signicativosenlas tasas de coincidencia,locualseinterpretacomoevidenciadeunnivel decorrelacionsimilar, inde-pendientementedeladistanciafuente-detector(modernamente, sehadetectadoenredoentrefotonesadistanciasdedecenasdekilometros).La distancia de 6,5 m corresponde a 4 longitudes de coherenciapara lafuenteusada7.Ensumaesteexperimentoes el primeroencomprobar laviolaciondeunadesigualdaddeBellsinsuponerlasimetraderotacionypornivelesnoalcanzadospreviamente. Sinembargo, esteexperimentotampocopuedeserconsideradoconcluyente. Noescapaalahipotesisde Noenhancement y,pesealamayorseparacionentreAyB, comparteel problemadequelasorientacionesdelospolarizadoressonjas, locual vulneralocondiciondelocalidad.AnalizadoresvariablesEnsutercerexperiencia[AGR82b], Aspectetal. intentandescartarlaposibilidad de que la hipotesis de localidad subyacente en las desigualdades deBell no se este cumpliendo. De acuerdo con esta suposicion, (i) la medida de lapolarizacion de Bob no es afectada por la orientacion del analizador de Alice yviceversa. Ademas, (ii) el proceso de emision y las propiedades de los fotones6DeacuerdoaestaideadeBohmyAharonov(tambienplanteadaantes por Furry[Fur36]), el decaimientodel enredoentrefotonesquesealejanpodratenerlugarenunadistanciadel ordendeunlargodecoherencia.Conestaidea, evidentemente, sedisuelvelaparadoja EPR.7La longitud de coherencia de una fuente de luz, L 2/, es la distancia caracters-tica,apartir dela cualseconsidera quesepierde lacoherencia. Para losfotones emitidosen la cascada considerada, L = c/= c= 1, 5 m, donde es la vida media del nivel in-termedio 4p4s1P1de la cascada, que genera una incertidumbre = 1/en la frecuencia(vealag.4.1).474.2. LasexperienciasdeAspect 4. BuscandounveredictoexperimentalCCN(a,b) N(a,b) N(a,b) N(a,b)FD1D1S1S2A BaabbLD2D212Figura4.4: Esquemageneraldelaexperiencia[AGR82b].LafuenteFemiteunpardefotonescorrelacionadosqueviajanendireccionesopuestas. Cadaswitch(S1,S2)varaen forma efectiva la orientacion del analizador correspondiente cada 10 ns. La separaci onfuente-switches L/2 =6m, de modoque el tiempode transitode cadafotones deL/2c =20 ns.Conestedispositivo,quesiguesiendodeuncanal,enunasolacorridaselogranconteoscorrespondientes acuatroorientaciones relativas.emitidossesuponenindependientesdelasorientacionesdelosanalizadores.En un experimento en el cual las orientaciones de los analizadores son jadasal comienzo, es imposible excluir la posibilidad de comunicacion sublumnicaentrelospolarizadoresoentreunpolarizador ylafuentedefotones.Eneste experimentose implementapor primeravez laideade polar-izadoresvariables. Acercandosealapropuestaoriginal deBell [Bel65], lasorientacionesdelospolarizadoressonvariadasentredosalternativas,mien-traslosfotonesestanenvuelo8Enesteexperimentoseusalamismafuentedefotones que enel anteriorysuplanteogeneraltambienessimilar,conlasalvedaddequeseusandosswitchesacusto-opticosparadesviarlosfotonesporunouotropolarizador.EnlaFig.4.4semuestraunesquemadeestaexperiencia. Unfotonquevahacialaizquierdapasapor elanalizador A orientadoseg un ao(excluyente)8Locual tiendeaexcluir laposibilidaddequedealg unmodolainformacionsobrelaorientaciondelospolarizadorespudieseestarcontenidaenladescripciondevariablesocultasquelosfotonesllevanconsigoalseremitidos.484.2. LasexperienciasdeAspect 4. Buscandounveredictoexperimentalporel A orientadoseg unadependiendodel estadodel switchS1. Luegoes detectadopor unode los tubos fotomultiplicadores D1oD1ubicadosdetras de cada analizador. Los fotones que van a la derecha siguen un caminoanalogo. Es importante destacarque setrata deun esquemadedetecciondeuncanal, con analizadores variables y no de dos canales. En el curso de cadaexperimentohayenjuego4orientaciones,envezdedoscomoenelcasodedetecciondedoscanalesconanalizadoresjos.LosinterruptoresS1yS2sonmoduladoresacusto-opticosycambiandeestado a intervalos de 10 ns. La distancia fuente-detector es de D = 6 m, loque corresponde a un tiempo de transito hasta el switch de D/c = 20 ns. Esdecir que cada interruptor cambia un par de vecesmientras los fotones estanenvuelo.Ambosswitchesfuncionanafrecuenciasinconmensurablesentresiparaevitarsincronasindeseables. Unacascadaenlafuenteduraunos5 ns,(lavidamediadelestadointermediodelacascada)demodoquenotiempodequelleguelainformaciondequeorientaciontendranlospolarizadores.Parametrizando las orientaciones como se indica enlaec. (3.30), con = 22, 5o, las tasas de coincidenciarelativas queaparecen en ladesigualdadCH72,ec.(3.28)1 R( a, b) R( a,b) +R(a, b) +R(a,b) R1(a) R2(b) 0. (4.3)sonmedidas. Estorequiere cuatrocorridas (locual llevaentotal unas 3horas):i) Se midenlas cuatrotasas de coincidenciaenuna unicacorridacorrespondientes alos dos juegos de orientaciones posibles, N( a, b),N( a,b),N(a, b)yN(a,b).ii) Para normalizar, se retiran ambos analizadores (manteniendo las switch-es) y se miden las cuatro tasas de coincidencia correspondientes, N(, ),N(, ), N(, )yN(, ). Conlocual secalculanlastasasrelativascorrespondientesR( a, b) = N( a, b)/N(, ), etc.iii) Se hace una corrida con el analizador de Bob removido y el de Alice jo,obteniendo el conteo N(a, ) y la tasa relativaR1= N(a, )/N(, ).494.2. LasexperienciasdeAspect 4. Buscandounveredictoexperimentaliv) Se hace una corrida con el analizador de Alice removido y el de Bob jo,obteniendo el conteo N(, b) y la tasa relativaR2= N(, b)/N(, ).Conestastasasrelativasseeval ua(4.3)yseobtieneexp= 0,101 0,020,unaviolacionde por 5. Estacantidades consistente conlaprediccioncuantica(ec. (4.1), conlastransmitanciasmedidasparalospolarizadores)QM= 0,112. Ademas se realizan comparaciones entre tasas de coincidenciapara varias orientaciones relativas , encontrando un muy buen ajuste con laprediccioncuanticaentodosloscaos.Si bienesteexperimentoseacercamuchoasatisfacerlahip otesisdelo-calidad, los propios autores admiten que no lo hace completamente. La razonesquelavariaciondelosswitches sehaceenformadeterminista(inclusoperiodica) y no aleatoria como sera deseable. Un observador en la fuente conconocimientodelafaseinicial ylafrecuenciadel moduladordeunswitchpuedepredeciralmenosenprincipioelestadofuturodelswitch.4.2.2. ExperienciadeAspectdedoscanalesEn1982A.Aspectysuequiporealizanlaprimerexperienciacondetec-ciondedoscanales [AGR82a]. El esquemageneral delasemuestraenlaFig.4.5.Lafuentedefotonesutilizadaeslamismacascada0 1 0delCalcio,usadaenlasexperienciasanterioresdelgrupo. Ladistanciaentrelospolarizadores tambien es la mismaque en las otras experiencias(L = 13 m),lo cual garantiza unaseparacion adecuada entreeventosde deteccioncoinci-dente.El esquemadedeteccionusadoesdedoscanales. Sebasaenel usodecubosanalizadores(PBS, PolarizingBeamSplitter).Estoscubos, formadosporcristalesconpropiedadesbirrefringentes, transmitenlaluzconcompo-nentedepolarizacion paralelaasuejeprincipalydesvanlacomponentedepolarizacionortogonalal mismo. Deestemodo, colocandotubosfotomulti-plicadoresdetrasdelasdossalidasdel cubo, seconsigueunamedidarealde lacomponente depolarizacion en la direcciondel eje principal delcristal.Para jar ideas, supongamos quees Alice quien mide. Unadeteccion en D1

504.2. LasexperienciasdeAspect 4. BuscandounveredictoexperimentalFAliceBoba bL+1-1+1-1CCPBS1 PBS212D1D1

D2D2

Figura4.5: Esquemageneral delaexperiencia[AGR82a], laprimeracondetecciondedos canales. La fuente F emite un par de fotones correlacionados que viajan en direccionesopuestas. Lospolarizadores(PBS) dedos canalesseparanlosfotonesdeacuerdoasuscomponentesortogonalesdepolarizaci onconrespectoasuejeprincipal. Detrasdecadapolarizadorhaydos detectores, unopor cadacomponentedepolarizaci on. El contadordecoincidenciaCCoperaconcuatrocanales. LadistanciaentreambospolarizadoresesL = 13m.corresponde a un resultado A = +1 e indica que el foton ha sido transmitidoyporlotantosupolarizacionesparalelaal ejeprincipal adel polarizador.Porotraparte, unacuentaenD1correspondeaA= 1eindicaqueelfotonfuereejadoyporlotantosupolarizacionresultoserortogonal a a.EsteesquemaesmuyproximoaunamedidadecomponentedespinconunaparatoStern-Gerlach(veaelApendiceB),elcontextoenelcualJohnBelldesarrollosusdesigualdades.Estaexperienciaapuntaacomprobar lasegundadesigualdadde Bell,ec.(3.13),2 S= E( a, b) E( a,b) + E(a, b) + E(a,b) 2. (4.4)ComodiscutimosenlaSeccion3.2,estadesigualdaddebesersatisfechaportodaslasteorasrealistaslocales. Noseasumenporlotantolashipotesisadicionalesqueestandetrasdeotrasversionesdelasdesigualdades(enpar-ticular, No enhancement e invariancia rotacional). Para orientaciones dadasdelospolarizadores, lascorrelacionesqueaparecenenladesigualdad(4.4),514.2. LasexperienciasdeAspect 4. Buscandounveredictoexperimentalserelacionanconlasprobabilidadesdedeteccionconjunta,E( a, b) = p++12( a, b) + p12( a, b) p+12( a, b) p+12( a, b), (4.5)dondehemosusadolanotaciondelaec.(3.25)paralasprobabilidadescon-juntas9. El dispositivodelaFig. 4.4acumuladeteccionescoincidentesparaA= 1yB= 1. Al cabode unacorrida, despues desustraer coinci-denciasaccidentales,seobtienenlascuatrotasasdecoincidenciaR++( a, b),R+( a, b), R+( a, b) yR( a, b). Normalizando por el n umerototal de co-incidenciasobservadas,R0 R++( a, b) + R+( a, b) + R+( a, b) + R( a, b), (4.6)seobtienenlasprobabilidadesdedeteccionconjuntapkl12( a, b) =Rkl( a, b)R0Rkl( a, b) para k, l = . (4.7)De modo que la correlacion en terminos de las tasas obtenidas experimental-menteesEexp( a, b) =R++( a, b) +R( a, b) R+( a, b) R+( a, b). (4.8)Laidentidadentrelastasasdedeteccionconjuntaylasprobabilidadesdedeteccionconjunta,expresadaenlaec.(4.7),implicasuponerqueelensem-bledeparesdetectadosconguraunmuestreoequitativodetodoslosparesgenerados por lafuente.Estasuposicion,muyrazonable por cierto,da lugaral Fair Samplingloophole quediscutiremosenlasiguienteseccion.Eligiendocuatroorientaciones coplanares de acuerdoconlaec. (3.30)con = 22,5oserealizan cuatroexperimentos,correspondientesalas cuatroorientacionesrelativas,deunpardeminutoscadauna.Repitiendolasluegopara tener una estadstica, se obtienen las correlaciones E( a, b) y nalmenteunestimativoexperimentalparaelparametrodeBellS,Sexp= 2,697 0,015queviolaladesigualdad(4.4)pormasde40.Laprediccioncuanticaparalacorrelacionseobtieneapartirdeunaversionmodicadadelaec.(B.10),EMC( a, b) = F_22+_cos(2ab) (4.9)9El primer superindice corresponde al valor observado de A y el segundo al valor de B.524.2. LasexperienciasdeAspect 4. BuscandounveredictoexperimentalFigura4.6: Correlacionobservadaparavariosvaloresdelaorientacionrelativadelospolarmetros, =acos( a b). Lasincertezasindicadascorrespondena 2desviacionesest andar.Lacurvapunteadacorresponde alapredicci oncu antica,ec.(4.9).donde ab es la orientacion relativa de los ejes de los polarmetros y F= 0,984esunacorreccionporelangulosolidodedeteccionnito.LascantidadesserelacionanconloscoecientesdetransmisionT

, T(enlasdireccionesparalelayperpendicularalejeprincipal)delospolarizadores2 (T

1 T1)(T

2 T2).ConestaexpresionylosvaloresmedidosT

1=0,950, T

2=0,930yT1=T2= 0,007,seobtienelaprediccioncuantica,SMC= 2,70 0,05con