descomposición series de tiempo

7/30/2019 Descomposición series de tiempo

http://slidepdf.com/reader/full/descomposicion-series-de-tiempo 1/55

Curso de Econometría de Series de Tiempo

Facultad de Economía

Universidad Nacional Autónoma de México

Profesor: Juan Francisco Islas

Adjunto: Miguel Heras

Ciudad Universitaria, Agosto 2012

Descomposición de

Series de Tiempo



Princ ipios de Descomposic ión de Series de Tiempo

Componentes de separación

Tendencia-Ciclo: Representa los cambios de largo plazoen el nivel de la serie de tiempo.

Estacionalidad: Caracteriza fluctuaciones periódicas de

longitud constante causadas por factores tales comotemperatura, estación del año, periodo vacacional,políticas, etc.

datos=patrón+error( )erroridad,estacionalciclo,-tendencia f =

( )t t t t

E T S f Y ,,=



Princ ipios de Descomposic ión de Series de Tiempo

Descomposición Aditiva

t t t t E T S Y ++=

Descomposición Multiplicativat t t t E T S Y ××=

Transformación logarítmica

t t t t E T S Y loglogloglog ++=Descomposición Pseudo -Aditiva

( )1−+=

t t t t E S T Y

t t t t E T S Y +=−Ajuste estacional



( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )T T T T

T T T T T

T T T T T T

T T T T T T

MA

t t

Y Y Y Y T

Y Y Y Y Y T

Y Y Y Y Y Y T

Y Y Y Y Y Y T

Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y

Y Y t

++

+++−

++++−

++++−

++++

++++

+++

++

−−

−−−−

−−−−−

−−−−−−

12

1231

12342

123453

654324

543213

43212

3211

5

3

14

11

5

1

2

5

13

5

14

5

13

4

12

3

11

MMM

Promedios Móviles Simples: 5MA

Serie 5MA

( )21125

51 ++−− ++++= t t t t t

MAt Y Y Y Y Y Y

2,...,3 −= T t para

( )2,1,2window



Prom ed ios Móviles Simp les: Generalizac ión MA orden impar

En general, para cualquier impar

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++= −

+−

−2

1

2

11 jt

jt

j MAt Y Y

jY L

21,,1

21 −−+−= jT jt Lpara

3≥ j

y ajuste para las primeras observaciones y

últimas.

2

1− j

2

1− j

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −−

2

1,1,

2

1window

j j



0

2 0 0

4 0 0

6

0 0

8 0

0

T o t a l s

a l e s ( l i t e r s )

0 10 20 30 40

Month

Ejemplos

shampoo.csvSerie original



0

2 0 0

4 0 0

6

0 0

8 0 0

T o t a

l s a l e s ( l i t e r s )

0 10 20 30 40Month

Total sales (liters) m a: x(t)= liters: window(1 1 1)

3 MA smoother

Ejemplos

( )113

1+− ++= t t t t Y Y Y T



Suavizamiento med iante Prom ed ios Móviles Simp les

Ajuste en los puntos extremos de la serie 3MA

( )211 2

1Y Y Y

Aj +=

( )T T

Aj

T Y Y Y += −12

1

M



0

2 0 0

4 0 0

6 0

0

8 0 0

T o t a l s

a l e s ( l i t e r s )

0 10 20 30 40Month

Total sales (liters) ma: x(t)= liters: window(2 1 2)

5 MA smoother

Ejemplos

( )21125

1++−− ++++= t t t t t t Y Y Y Y Y T



Suavizamiento med iante Prom ed ios Móviles Simp les


( )432124

1Y Y Y Y Y

Aj +++=

( )T T T T AjT Y Y Y Y Y +++= −−−− 1231

41

( )3211 3

1Y Y Y Y

Aj ++=

( )T T T

Aj

T Y Y Y Y ++= −− 12

3

1

M



( )

( )

( )

( )

( )

T T

T T T

T T T

MA

t t

Y Y T

Y Y Y T

Y Y Y T

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

Y Y t

+−

+−

+

+

+

−−

−−−

11

122

433

322

211

2

2

11

212

2

13

2

12

2

11

MMM

Promedios Móviles Simp les. Generalizac ión 2MA

Serie 2MA

( )

( )

( )( )

( )T T T

T T T

T T T

MA

t t

Y Y Y T

Y Y Y T

Y Y Y T

Y Y Y

Y Y Y

Y Y

Y Y t

+

+−

+−

+

+

−

−−−

−−−

1

121

232

323

212

11

2

2

12

11

2

12

2

13

212

1

MMM

( )12

21

++= t t

MA

t Y Y Y

1,,1 −= T t Lparay ajuste de la últimaobservación.

pivote izquierdo pivote derecho

( )t t

MA

t Y Y Y += −12

21

T t ,,2L=paray ajuste de la primeraobservación.

( )1,1,0window ( )0,1,1window



Promedios Móviles Simp les. Generalizac ión 4MA

Serie 4MA

( )211

4

4

1++− +++= t t t t

MA

t Y Y Y Y Y

2,,2 −= T t Lparay ajuste de la primera yúltimas dos observaciones.

1,,3 −= T t Lpara

( )112

4

4

1+−− +++= t t t t

MA

t Y Y Y Y Y

y ajuste de las primerasdos y última observaciones.

( )

( )

( )

( )

( )

( )T T T

T T T T

T T T T T

MA

t t

Y Y Y T

Y Y Y Y T

Y Y Y Y Y T

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y

Y Y t

+

++−

+++−

+++

+++

++

−

−−−

−−−−

1

121

1232

54323

43212

3211

4

2

13

11

412

4

13

4

12

3

11

MMM

( )

( )

( )

( )

( )

( )T T T T

T T T T T

T T T T T

MA

t t

Y Y Y Y T

Y Y Y Y Y T

Y Y Y Y Y T

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y

Y Y Y

Y Y t

++

+++−

+++−

+++

++

+

−−

−−−−

−−−−−

12

1231

12342

43213

3212

211

4

3

14

11

412

4

13

3

12

2

11

MMM

pivote izquierdo pivote derecho

( )2,1,1window ( )1,1,2window



En general, para cualquier par ypivote izquierdo

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ++=

++−2

12

1 j

t j

t

j MA

t Y Y

j

Y L

2,,

2

jT

jt −= Lpara

2≥ j


últimas.

12− j 2

j

Prom ed ios Móviles Simp les: Generalizac ión MA orden par



En general, para cualquier par ypivote derecho

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ++=

−+− 122

1 j

t j

t

j MA

t Y Y

j

Y L

12

,,12

+−+=j

T j

t Lpara

2≥ j


últimas.

2 j 1

2 − j

Prom ed ios Móviles Simp les: Generalizac ión MA orden par



0

2 0 0

4 0 0

6 0

0

8 0 0

T o t a l s

a l e s

( l i t e r s )

0 10 20 30 40Month

Total sales (liters) ma: x(t)= liters: window(1 1 2)

4 MA smoother

( )2114

1++− +++= t t t t t Y Y Y Y T

Ejemplos

Se aplicó 4MA con pivote izquierdo a la serie Y

Se ajusta la primera y las dos últimas observaciones de la

serie 4 MA.

( )T T T

Aj

T Y Y Y Y ++= −−− 121

3

1

( )T T AjT Y Y Y += −1

21

( )32113

1Y Y Y Y Aj ++=



0

2 0 0

4 0 0

6 0

0

8 0 0

T o t a l s

a l e s

( l i t e r s )

0 10 20 30 40Month

Total sales (liters) ma: x(t)= ma4: window(1 1 0)

2x4 MA smoother

Prom ed ios Móviles Compuestos (Caso de Centrados 2xj MA)

Se aplicó 2MA con pivote derecho a la serie 4MA4

11

MA AjY Y =Se ajusta la primera observación de la serie 2x4 MA:



2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

T o

t a l s a l e s

1975m1 1980m1 1985m1 1990m1 1995m1Month

Monthly sales of new-one family sold in the USA since 1973

hsales.csvserie original

Descomposic ión de una Serie de Tiempo



2 0

4 0

6 0

8

0

1 0 0

T o t a l s a l e s

1975m1 1980m1 1985m1 1990m1 1995m1Month

hsales ma: x(t)= hsales: window (3 1 3)

7 MA smoother

Suavizamiento med iante Prom ed ios Móviles

( )3211237

1+++−−− ++++++= t t t t t t t t Y Y Y Y Y Y Y T





( )5432125

1

Y Y Y Y Y Y Aj

++++=

( )432114

1Y Y Y Y Y

Aj +++=

M

( )65432136

1Y Y Y Y Y Y Y

Aj +++++=

( )T T T T

Aj

T Y Y Y Y Y +++= −−− 1234

1

( )T T T T T

Aj

T Y Y Y Y Y Y ++++= −−−−− 1234151

( )T T T T T T

Aj

T Y Y Y Y Y Y Y +++++= −−−−−− 1234526

1



2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

T o t a l s a l e s

1975m1 1980m1 1985m1 1990m1 1995m1Month

hsales ma: x(t)= hsales: window(6 1 5)

12 MA smoother (uncentered)

Promed ios Móviles Simp les (Caso p ar con p ivote derec ho)




Ajuste en los extremos de la serie 12MA con pivote derecho

M

∑=

=6

1

16

1

t

t

AjY Y ∑

=

=7

1

27

1

t

t

AjY Y ∑

=

=8

1

38

1

t

t

AjY Y

∑=

=9

1

49

1

t

t

AjY Y ∑

=

=10

1

510

1

t

t

AjY Y ∑

=

=11

1

611

1

t

t

AjY Y

∑−=

− =T

T t

t

Aj

T Y Y 10

411

1∑

−=− =

T

T t

t

Aj

T Y Y 9

310

1∑

−=− =

T

T t

t

Aj

T Y Y 8

29

1

∑−=

− =T

T t

t

Aj

T Y Y 7

18

1∑

−=

=T

T t

t

Aj

T Y Y 67

1

( )5,1,6window



2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

T o t a l s a l e s

1975m1 1980m1 1985m1 1990m1 1995m1Month

hsales ma: x(t )= ma12: window(1 1 0)

Centered 12 MA smoother

Prom ed ios Móviles Compuestos (Caso de Centrados 2xj MA)

12

11

MA AjY Y =

Ajuste MA2 por pivote derecho a la serie MA12:



Código en STATA

* Suavizamiento mediante Promedios Móviles Simples 3MA y 5MAinsheet liters using "c:\mwhdata\shampoo.csv", cleargen month=.for num 1 13 25:replace month=1 in Xfor num 2 14 26:replace month=2 in Xfor num 3 15 27:replace month=3 in Xfor num 4 16 28:replace month=4 in Xfor num 5 17 29:replace month=5 in X

for num 6 18 30:replace month=6 in Xfor num 7 19 31:replace month=7 in X

for num 8 20 32:replace month=8 in Xfor num 9 21 33:replace month=9 in Xfor num 10 22 34:replace month=10 in Xfor num 11 23 35:replace month=11 in Xfor num 12 24 36:replace month=12 in X

label define month 1 "Jan" 2 "Feb" 3 "Mar" 4 "Apr" 5 "May" 6 "Jun" 7 "Jul" 8 "Aug" 9 "Sep" 10"Oct" 11 "Nov" 12 "Dec"label values month monthlabel var liters "Total sales (liters)"gen year=.replace year=1 in 1/12replace year=2 in 13/24replace year=3 in 25/36

gen t=_nlabel var t "Month"line liters t, saving("c:\mwhdata\shampoo.gph", replace)tsset ttssmooth ma ma3=liters, window(1 1 1)

listgraph twoway (line liters t) (line ma3 t), title("3 MA smoother") ytitle("Total sales

(liters)") saving("c:\mwhdata\shampooMA3.gph", replace)



Código en STATA

* Suavizamiento mediante Promedios Móviles 3MA y 5MA (continuación)

tssmooth ma ma5=liters, window(2 1 2)

graph twoway (line liters t) (line ma5 t), title("5 MA smoother") ytitle("Total

sales (liters)") saving("c:\mwhdata\shampooMA5.gph", replace)

* Promedios Móviles centrados

* Construcción de la Serie 2x4 MA* Se genera la serie MA4

tssmooth ma ma4=liters, window(1 1 2)

graph twoway (line liters t) (line ma4 t), title("4 MA smoother") ytitle("Total

sales (liters)") saving("c:\mwhdata\shampooMA4.gph", replace)

* Se aplican promedios móviles MA2 a la serie MA4 obtenida

tssmooth ma ma2ma4=ma4, window(1 1 0)graph twoway (line liters t) (line ma2ma4 t), title("2x4 MA smoother")

ytitle("Total sales (liters)") saving("c:\mwhdata\shampoo2x4MA.gph", replace)

list



Código en STATA

* 7 MA smoother for Housing sales datainsheet hsales using "c:\mwhdata\hsales.csv", clear

gen t=.

replace t=ym(1973,1) in 1

for num 2/275: replace t=t[X-1]+1 in X

format t %tm

label var t "Month"

tsset tgraph twoway (line hsales t, lcolor(blue)), title("Monthly sales of new-one family

sold in the USA since 1973") ytitle("Total sales")

saving("c:\mwhdata\hsales.gph",replace)

tssmooth ma ma7=hsales, window(3 1 3)

graph twoway (line hsales t, lcolor(yellow)) (line ma7 t, lcolor(black)), title("7

MA smoother") ytitle("Total sales") saving("c:\mwhdata\hsales7MA.gph",replace)

* 2x12 MA smoother for Housing sales data

* Serie de Promedios Móviles Centrados 2x12 MA

* Se genera la serie MA12

tssmooth ma ma12=hsales, window(6 1 5)

graph twoway (line hsales t, lcolor(yellow)) (line ma12 t, lcolor(black)), title("12

MA smoother (uncentered)") ytitle("Total sales")

saving("c:\mwhdata\hsales12MA.gph",replace)

* Se aplican promedios móviles MA2 a la serie MA12 obtenida

tssmooth ma ma2ma12=ma12, window(1 1 0)

graph twoway (line hsales t, lcolor(yellow)) (line ma2ma12 t, lcolor(black)),

title("Centered 12 MA smoother") ytitle("Total sales")

saving("c:\mwhdata\hsales2x12MA.gph",replace)list



⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ =⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ++++++++ 54321543432321

9

1,

9

2,

3

1,

9

2,

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

Promedios Móviles Ponderados

Fuente: http://www.robjhyndman.com/papers/movingaverage.pdf

Cualquier combinación de promedios móviles simples puede ser utilizada paraformar un promedio móvil doble (o compuesto) y al modificarse los ponderadoresse obtiene una serie de promedios móviles ponderados.Por ejemplo, MA 3x3 es equivalente a MA 5 con ponderadores:

Algunas funciones de ponderación en promedios móviles:



Promedios Móviles Ponderados. Ejem plo MA 19

En general, un promedio móvil ponderado tiene la forma:

∑−=

+=m

m j jt j

wMA

t

Y aY

Por ejemplo, se obtiene un promedio móvil MA 19 ponderado bajo lafunción cuártica:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧<<−⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −

=

casootroen0

para1,

22

m jmm j

m jQ

Normalizando, el ponderador para la j -ésima observación es:( )

( )∑−=

=m

mi

j

miQ

m jQa

,

,

con ∑−=

=m

m j

ja 1



0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

l i t e r s

0 10 20 30 40t

0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

0 10 20 30 40t

liters ma19w

0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

T o t a l s a l e s ( l i t e r s )

0 10 20 30 40Month

liters ma19w

Weighted MA19 smoother

0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

0 10 20 30 40t

liters ma19w

Promedios Móviles Ponderados. Ejem plo MA 19

shampoo.csv



0

. 0 2

. 0 4

. 0 6

. 0 8

. 1

P o n d e

r a d o r

-10 -5 0 5 10Término

Función de Ponderadores MA 19 bajo función cuártica

0

. 0 5

. 1

. 1 5

. 2

P o n d e r a d o r

-10 -8 -6 -4 -2 0Término

Función de Ponderadores para la Observación 36

Func ión de Ponderadores. Ejem plo MA 19

Función de Ponderadores,

bajo la función cuártica,para el ajuste (MA 10) dela Observación 36 de laserie MA 19

Función dePonderadores,

bajo la funcióncuártica, paralas

observaciones10 a 27 de laserie MA 19



Suavizamiento por Regresión Local

1

23

4

5 6

7 89

10

11

1213

14

15

16

17

18

19

2021

22

23

2425

26

27

2829

30

31

32

33

34

35

36

0

2 0 0

4

0 0

6 0 0

8 0 0

0 10 20 30 40t

liters Fitted valuesFitted values

Se estima la tendencia-ciclo en el periodobt aT t +=

donde y son los estimadores de Mínimos Cuadrados Ponderados talesque resuelven el problema de

t a b( )( )∑

−=+ +−−

m

m j

jt jba

jt baY a2

,min

Para cada periodo, mediante regresiónlocal se obtiene un punto estimado detendencia-ciclo, y los correspondientes

ajustes para los extremos.

La trayectoria de tendencia-ciclo resultantese obtiene al enlazar los puntos estimadosen las regresiones locales a cada periodo .

t

Se define una funciónde ponderadores. Paraeste ejemplo, los quese derivan de lafunción cuártica antesvista.



Descomposición Clásica

Descomposición Aditiva

Paso 1: Estimación de tendencia-ciclo. Mediante promedio

móvil centrado MA 12.

Considerando los datos de la base hsales.csv

2 0

4 0

6 0

8

0

1 0 0

T o t a l s a l e s

1975m1 1980m1 1985m1 1990m1 1995m1Month

hsales ma: x(t )= ma12: window(1 1 0)





Descomposición AditivaPaso 2: Eliminación de Tendencia. Al restar el componentetendencia-ciclo de los datos originales, quedando los términos deestacionalidad e irregularidad.

t t t t E S T Y +=−

- 2 0

0

2 0

4 0

6 0

8 0

T o t a l s a l e s

1975m1 1980m1 1985m1 1990m1 1995m1Month

hsales ma: x(t)= ma12: window(1 1 0)

detrend

original, trend-cycle & de-trended housing sales series




Descomposición AditivaPaso 3: Índice estacional. Una vez removido el componentetendencia-ciclo, bajo la descomposición aditiva se asume que elcomponente estacional es constante año con año. De acuerdo al

conjunto de datos considerado se requiere calcular un valor paracada mes.

El índice estacional se construye promediando las observaciones sintendencia correspondientes a cada mes para todos los años

observados.

- 1 5

- 1 0

- 5

0

5

1 0

s e a s o n

1975m1 1980m1 1985m1 1990m1 1995m1Month

Estacionalidad

- 1 5

- 1 0

- 5

0

5

1 0

( m e a n ) d e t r e n d

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12month

Índice Estacional




Descomposición AditivaPaso 4: Serie de Irregularidad. Se obtiene a partir de:

t t t t T S Y E −−=

- 2 0

- 1 0

0

1 0

2 0

i r r e g

1975m1 1980m1 1985m1 1990m1 1995m1Month

Irregularidad



2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

h s a l e s

1 9 7 5 m 1 1 9 8 0 m 1 1 9 8 5 m 1 1 9 9 0 m 1 1 9 9 5 m 1M o n t h

S e r i e o r i g i n a l

Resumen gráfico de la Descomposición Aditiva

- 2 0

- 1 0

0

1 0

2 0

i r r e g

1 9 7 5 m 1 1 9 8 0 m 1 1 9 8 5 m 1 1 9 9 0 m 1 1 9 9 5 m 1M o n t h

I r r e g u l a r i d a d

- 1 5

- 1 0

- 5

0

5

1

0

s e a s o n

1 9 7 5 m 1 1 9 8 0 m 1 1 9 8 5 m 1 1 9 9 0 m 1 1 9 9 5 m 1M o n t h

E s t a c i o n a l i d a d

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

m a : x ( t ) = m a 1 2 : w i n d o w ( 1 1 0 )

1 9 7 5 m 1 1 9 8 0 m 1 1 9 8 5 m 1 1 9 9 0 m 1 1 9 9 5 m 1M o n t h

T e n d e n c i a - C i c l o

t t t t E S T Y ++=

t T

t S

t E




Descomposición Multiplicativa

Paso 1: Estimación de tendencia-ciclo. Mediante promedio

móvil centrado MA 12.

Considerando los datos de la base airline.csv

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

P a s s e n g e r s ( t h o u s a n d s )

1949m1 1950m7 1952m1 1953m7 1955m1 1956m7Month

passengers ma: x(t)= ma12: window(0 1 1)





Descomposición MultiplicativaPaso 2: Cálculo de la razón porcentual datos a promediomóvil.

t t

t

t t t

t

t

t E S T

E T S

T

Y R ===

1 0 0

2 0 0

3 0

0

4 0 0

P a s s e n g e r s ( t h o u s

a n d s )

1949m1 1950m7 1952m1 1953m7 1955m1 1956m7Month

passengers ma: x(t)= ma12: window(0 1 1)

ratio

original, trend-cycle & detrended passenger travel series




Descomposición Multiplicativa

8 0

9 0

1 0 0

1 1 0

1 2 0

s e a s o n

1949m1 1950m7 1952m1 1953m7 1955m1 1956m7Month

Estacionalidad

Paso 3: Índice estacional. Una vez removido el componentetendencia-ciclo, bajo la descomposición multiplicativa se asume que elcomponente estacional es constante año con año. De acuerdo alconjunto de datos considerado se requiere calcular un valor para cadames.

El índice estacional se construye promediando las observaciones sintendencia correspondientes a cada mes para todos los años

observados.

8 0

9 0

1 0 0

1 1 0

1 2 0

( m e a n ) r a t i o

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2

month

Índice Estacional




Descomposición MultiplicativaPaso 4: Serie de Irregularidad. Se obtiene a partir de:

t t

t t

T S

Y E =

. 0 0 9

. 0 0 9 5

. 0 1

. 0 1 0 5

. 0 1 1

i r r e g

1949m1 1950m7 1952m1 1953m7 1955m1 1956m7Month

Irregularidad

R áfi d l D i ió M lti li ti



. 0 0 9

. 0 0 9 5

. 0 1

. 0 1 0 5

. 0 1 1

i r r e g

1 9 4 9 m 1 1 9 5 0 m 7 1 9 5 2 m 1 1 9 5 3 m 7 1 9 5 5 m 1 1 9 5 6 m 7M o n t h

I r r e g u l a r i d a d

8 0

9 0

1 0 0

1 1 0

1 2 0

s e a s o n

1 9 4 9 m 1 1 9 5 0 m 7 1 9 5 2 m 1 1 9 5 3 m 7 1 9 5 5 m 1 1 9 5 6 m 7M o n t h

E s t a c i o n a l i d a d

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

3 0 0

3 5 0

P a s s e n g e r s ( t h o u s a n d s )

1 9 4 9 m 1 1 9 5 0 m 7 1 9 5 2 m 1 1 9 5 3 m 7 1 9 5 5 m 1 1 9 5 6 m 7M o n t h

T e n d e n c i a - C i c l o

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

p a s s e n g e r t r a f f i c ( i n

t h o u s

a n d s )

1 9 4 9 m 1 1 9 5 0 m 7 1 9 5 2 m 1 1 9 5 3 m 7 1 9 5 5 m 1 1 9 5 6 m 7M o n t h

S e r i e o r i g i n a l

Resumen gráfico de la Descomposición Multiplicativa

t t t t E S T Y =

t T

t S

t E



Método X-12-ARIMA del Buró de Censos norteamericano

Para mayor detalle sobre larelevancia de este método, véase

http://www.census.gov/srd/www/x12a/

http://www.inegi.org.mx/prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/productos/derivada/coyuntura/igae/igae.pdf



Método X-12-ARIMA del Buró de Censos norteamericano



Código en STATA

* Promedios móviles ponderadosinsheet y using "C:\mwhdata\shampoo.csv", cleargen t=_ntsset tlabel var y "liters"scatter y t* Ponderadores MA 19 bajo la función cuárticafor num 0/9: scalar qX=(1-(X/9)^2)^2scalar sumaq=q9+q8+q7+q6+q5+q4+q3+q2+q1+q0+q1+q2+q3+q4+q5+q6+q7+q8+q9

for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXgen ma19w=.for num 10/27: replace ma19w=a9*y[X-9]+a8*y[X-8]+a7*y[X-7]+a6*y[X-6]+a5*y[X-5]+a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4]+a5*y[X+5]+a6*y[X+6]+a7*y[X+7]+a8*y[X+8]+a9*y[X+9]in Xtwoway (scatter y t) (line ma19w t)* Ajuste de Observaciones de extrema izquierda* Observación 1

scalar sumaq=q0+q1+q2+q3+q4+q5+q6+q7+q8+q9for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXfor num 1: replacema19w=a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4]+a5*y[X+5]+a6*y[X+6]+a7*y[X+7]+a8*y[X+8]+a9*y[X+9] in X* Observación 2scalar sumaq=q1+q0+q1+q2+q3+q4+q5+q6+q7+q8+q9for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aX

for num 2: replace ma19w=a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4]+a5*y[X+5]+a6*y[X+6]+a7*y[X+7]+a8*y[X+8]+a9*y[X+9] in X* Observación 3scalar sumaq=q2+q1+q0+q1+q2+q3+q4+q5+q6+q7+q8+q9for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXfor num 3: replace ma19w=a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4]+a5*y[X+5]+a6*y[X+6]+a7*y[X+7]+a8*y[X+8]+a9*y[X+9] in X



Código en STATA

* Observación 4scalar sumaq=q3+q2+q1+q0+q1+q2+q3+q4+q5+q6+q7+q8+q9for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXfor num 4: replace ma19w=a3*y[X-3]+a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4]+a5*y[X+5]+a6*y[X+6]+a7*y[X+7]+a8*y[X+8]+a9*y[X+9] in X* Observación 5scalar sumaq=q4+q3+q2+q1+q0+q1+q2+q3+q4+q5+q6+q7+q8+q9for num 0/9: scalar aX=qX/sumaq

for num 0/9: display aXfor num 5: replace ma19w=a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4]+a5*y[X+5]+a6*y[X+6]+a7*y[X+7]+a8*y[X+8]+a9*y[X+9] in X* Observación 6scalar sumaq=q5+q4+q3+q2+q1+q0+q1+q2+q3+q4+q5+q6+q7+q8+q9for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXfor num 6: replace ma19w=a5*y[X-5]+a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4]+a5*y[X+5]+a6*y[X+6]+a7*y[X+7]+a8*y[X+8]+a9*y[X+9] in X

* Observación 7scalar sumaq=q6+q5+q4+q3+q2+q1+q0+q1+q2+q3+q4+q5+q6+q7+q8+q9for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXfor num 7: replace ma19w=a6*y[X-6]+a5*y[X-5]+a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4]+a5*y[X+5]+a6*y[X+6]+a7*y[X+7]+a8*y[X+8]+a9*y[X+9] in X* Observación 8scalar sumaq=q7+q6+q5+q4+q3+q2+q1+q0+q1+q2+q3+q4+q5+q6+q7+q8+q9for num 0/9: scalar aX=qX/sumaq

for num 0/9: display aXfor num 8: replace ma19w=a7*y[X-7]+a6*y[X-6]+a5*y[X-5]+a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4]+a5*y[X+5]+a6*y[X+6]+a7*y[X+7]+a8*y[X+8]+a9*y[X+9] in X* Observación 9scalar sumaq=q8+q7+q6+q5+q4+q3+q2+q1+q0+q1+q2+q3+q4+q5+q6+q7+q8+q9for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXfor num 9: replace ma19w=a8*y[X-8]+a7*y[X-7]+a6*y[X-6]+a5*y[X-5]+a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4]+a5*y[X+5]+a6*y[X+6]+a7*y[X+7]+a8*y[X+8]+a9*y[X+9] in X

twoway (scatter y t) (line ma19w t)



Código en STATA

* Ajuste de Observaciones de extrema derecha* Observación 28scalar sumaq=q9+q8+q7+q6+q5+q4+q3+q2+q1+q0+q1+q2+q3+q4+q5+q6+q7+q8for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXfor num 28: replace ma19w=a9*y[X-9]+a8*y[X-8]+a7*y[X-7]+a6*y[X-6]+a5*y[X-5]+a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4]+a5*y[X+5]+a6*y[X+6]+a7*y[X+7]+a8*y[X+8] in X* Observación 29scalar sumaq=q9+q8+q7+q6+q5+q4+q3+q2+q1+q0+q1+q2+q3+q4+q5+q6+q7

for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXfor num 29: replace ma19w=a9*y[X-9]+a8*y[X-8]+a7*y[X-7]+a6*y[X-6]+a5*y[X-5]+a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4]+a5*y[X+5]+a6*y[X+6]+a7*y[X+7] in X* Observación 30scalar sumaq=q9+q8+q7+q6+q5+q4+q3+q2+q1+q0+q1+q2+q3+q4+q5+q6for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXfor num 30: replace ma19w=a9*y[X-9]+a8*y[X-8]+a7*y[X-7]+a6*y[X-6]+a5*y[X-5]+a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-

2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4]+a5*y[X+5]+a6*y[X+6] in X* Observación 31scalar sumaq=q9+q8+q7+q6+q5+q4+q3+q2+q1+q0+q1+q2+q3+q4+q5for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXfor num 31: replace ma19w=a9*y[X-9]+a8*y[X-8]+a7*y[X-7]+a6*y[X-6]+a5*y[X-5]+a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4]+a5*y[X+5] in X* Observación 32scalar sumaq=q9+q8+q7+q6+q5+q4+q3+q2+q1+q0+q1+q2+q3+q4

for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXfor num 32: replace ma19w=a9*y[X-9]+a8*y[X-8]+a7*y[X-7]+a6*y[X-6]+a5*y[X-5]+a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3]+a4*y[X+4] in X* Observación 33scalar sumaq=q9+q8+q7+q6+q5+q4+q3+q2+q1+q0+q1+q2+q3for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXfor num 33: replace ma19w=a9*y[X-9]+a8*y[X-8]+a7*y[X-7]+a6*y[X-6]+a5*y[X-5]+a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-

2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2]+a3*y[X+3] in X



Código en STATA

* Observación 34scalar sumaq=q9+q8+q7+q6+q5+q4+q3+q2+q1+q0+q1+q2for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXfor num 34: replace ma19w=a9*y[X-9]+a8*y[X-8]+a7*y[X-7]+a6*y[X-6]+a5*y[X-5]+a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1]+a2*y[X+2] in X* Observación 35scalar sumaq=q9+q8+q7+q6+q5+q4+q3+q2+q1+q0+q1for num 0/9: scalar aX=qX/sumaq

for num 0/9: display aXfor num 35: replace ma19w=a9*y[X-9]+a8*y[X-8]+a7*y[X-7]+a6*y[X-6]+a5*y[X-5]+a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X]+a1*y[X+1] in X* Observación 36scalar sumaq=q9+q8+q7+q6+q5+q4+q3+q2+q1+q0for num 0/9: scalar aX=qX/sumaqfor num 0/9: display aXfor num 36: replace ma19w=a9*y[X-9]+a8*y[X-8]+a7*y[X-7]+a6*y[X-6]+a5*y[X-5]+a4*y[X-4]+a3*y[X-3]+a2*y[X-2]+a1*y[X-1]+a0*y[X] in X

* Gráfica final Serie Original y Serie MA19 Ponderadatwoway (scatter y t) (line ma19w t), title("Weighted MA19 smoother") xtitle("Month") ytitle("Total sales(liters)") saving("C:\mwhdata\AvMA19.gph", replace)* Listado de Observaciones Serie Original y Serie MA19 Ponderadalist

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* Función de Ponderadores MA 19 bajo la función cuárticaclearset obs 19gen j=_n-10gen double q=(1-(j/9)^2)^2sum qgen double a=q/r(sum)list, sumline a j, title("Función de Ponderadores MA 19 bajo función cuártica") xtitle("Término") ytitle("Ponderador")

saving("C:\mwhdata\Weights.gph", replace)

* Función de Ponderadores bajo la función cuártica para el Ajuste (MA 10) de la Observación 36 de la serie MA19clearset obs 10gen j=_n-10gen double q=(1-(j/9)^2)^2sum q

gen double a=q/r(sum)list, sumline a j, title("Función de Ponderadores para la Observación 36") xtitle("Término") ytitle("Ponderador")saving("C:\mwhdata\Weights36.gph", replace)

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* Suavizamiento por Regresión Localinsheet y using "C:\mwhdata\shampoo.csv", cleargen t=_ntsset tlabel var y "liters"gen yreg=.

* Observación 22* Paso 1 Identificar las observaciones de la muestra a considerarscatter y t, xline(13 31)gen j=.replace j=_n-22 in 13/31* Paso 2 Definición de Ponderadoresgen double q=.

replace q=(1-(j/9)^2)^2 in 13/31sum qgen double a=q/r(sum)* Paso 3 Estimación por Mínimos Cuadrados Ponderadosregress y t in 13/31 [aw=a]predict yhattwoway (scatter y t, xline(13 31) mlabel(t)) (line yhat t) (scatter yhat t if t==22,mcolor(red) msize(large))

replace yreg=yhat[22] in 22drop j q a yhat* Paso 4 Repetir para las observaciones 10 a 21 y 23 a 27 y ajustes restantes para trazar* curva de tendencia-ciclo estimada a partir de los puntos locales de las respectivas* regresiones.

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* Descomposición Aditiva* Paso 0 Preparar la Serie de Tiempo para su Descomposiciónlabel drop _allinsheet hsales using "c:\mwhdata\hsales.csv", cleargen t=.replace t=ym(1973,1) in 1for num 2/275: replace t=t[X-1]+1 in Xformat t %tm

label var t "Month"tsset t* Paso 1 Estimar Tendencia-Ciclo* 2x12 MA smoother for Housing sales data* Serie de Promedios Móviles Centrados 2x12 MA* Se genera la serie MA12tssmooth ma ma12=hsales, window(6 1 5)graph twoway (line hsales t, lcolor(yellow)) (line ma12 t, lcolor(black)), title("12 MAsmoother (uncentered)") ytitle("Total sales") saving("c:\mwhdata\hsales12MA.gph",replace)* Se aplican promedios móviles MA2 a la serie MA12 obtenidatssmooth ma ma2ma12=ma12, window(1 1 0)graph twoway (line hsales t, lcolor(yellow)) (line ma2ma12 t, lcolor(black)),title("Centered 12 MA smoother") ytitle("Total sales")saving("c:\mwhdata\hsales2x12MA.gph",replace)* Paso 2 Eliminar Tendencia-Ciclo

gen double detrend=hsales-ma2ma12graph twoway (line hsales t, lcolor(yellow)) (line ma2ma12 t, lcolor(red)) (line detrend t,lcolor(blue)), title("original, trend-cycle & de-trended housing sales series")ytitle("Total sales") saving("c:\mwhdata\detrendedMA2x12.gph",replace)

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* Paso 3 Obtener el componente de Estacionalidadgen obs=_ngen mes=""replace mes="Ene" if mod(obs,12)==1replace mes="Feb" if mod(obs,12)==2replace mes="Mar" if mod(obs,12)==3replace mes="Abr" if mod(obs,12)==4replace mes="May" if mod(obs,12)==5

replace mes="Jun" if mod(obs,12)==6replace mes="Jul" if mod(obs,12)==7replace mes="Ago" if mod(obs,12)==8replace mes="Sept" if mod(obs,12)==9replace mes="Oct" if mod(obs,12)==10replace mes="Nov" if mod(obs,12)==11replace mes="Dic" if mod(obs,12)==0gen month=.replace month=1 if mes=="Ene"

replace month=2 if mes=="Feb"replace month=3 if mes=="Mar"replace month=4 if mes=="Abr"replace month=5 if mes=="May"replace month=6 if mes=="Jun"replace month=7 if mes=="Jul"replace month=8 if mes=="Ago"replace month=9 if mes=="Sept"replace month=10 if mes=="Oct"

replace month=11 if mes=="Nov"replace month=12 if mes=="Dic"label define month 1 "Jan" 2 "Feb" 3 "Mar" 4 "Apr" 5 "May" 6 "Jun" 7 "Jul" 8 "Aug" 9 "Sep" 10 "Oct" 11 "Nov" 12"Dec"label values month monthsort monthtable month, c(mean detrend) f(%19.9f)

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gen double season=.

replace season=-7.077898274 if month==1replace season=-1.293995899 if month==2replace season=8.977742568 if month==3replace season=7.868356705 if month==4replace season=7.246618354 if month==5replace season=4.677504000 if month==6replace season=1.483531288 if month==7replace season=2.823056428 if month==8replace season=-1.488043578 if month==9

replace season=-2.557064720 if month==10replace season=-9.138068655 if month==11replace season=-12.443181645 if month==12tsset tgraph twoway (line season t), title("Estacionalidad") saving("c:\mwhdata\season.gph",replace)* Paso 4 Obtener el componente de Irregularidadgen double irreg=.replace irreg=hsales-season-ma2ma12tsset t

graph twoway (line irreg t), title("Irregularidad") saving("c:\mwhdata\irregular.gph",replace)* Gráfica del Índice de Estacionalidadcollapse (mean) detrend, by(mes)gen month=.replace month=1 if mes=="Ene"replace month=2 if mes=="Feb"replace month=3 if mes=="Mar"replace month=4 if mes=="Abr"replace month=5 if mes=="May"

replace month=6 if mes=="Jun"replace month=7 if mes=="Jul"replace month=8 if mes=="Ago"replace month=9 if mes=="Sept"replace month=10 if mes=="Oct"replace month=11 if mes=="Nov"replace month=12 if mes=="Dic"label values month monthsort month

line detrend month, title("Índice Estacional") xlabel(1(1)12) saving("c:\mwhdata\seasonindex.gph",replace)

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* Descomposición Multiplicativainsheet passengers using "c:\mwhdata\airline.csv", clear* Paso 0 Preparar la Serie de Tiempo para su Descomposiciónlabel drop _allgen t=.replace t=ym(1949,1) in 1for num 2/96: replace t=t[X-1]+1 in Xformat t %tmlabel var t "Month"

tsset t* Paso 1 Estimar Tendencia-Ciclo* 2x12 MA smoother* Serie de Promedios Móviles Centrados 2x12 MA* Se genera la serie MA12tssmooth ma ma12=passengers, window(6 1 5)graph twoway (line passengers t, lcolor(yellow)) (line ma12 t, lcolor(black)), title("12 MA smoother(uncentered)") ytitle("passenger traffic (in thousands)") saving("c:\mwhdata\passengers12MA.gph",replace)* Se aplican promedios móviles MA2 a la serie MA12 obtenida

tssmooth ma ma2ma12=ma12, window(0 1 1)graph twoway (line passengers t, lcolor(yellow)) (line ma2ma12 t, lcolor(black)), title("Centered 12 MAsmoother") ytitle("Passengers (thousands)") saving("c:\mwhdata\passeng2x12MA.gph",replace)* Paso 2 Cálculo de la razón porcentual datos a promedio móvilgen double ratio=passengers*100/ma2ma12graph twoway (line passengers t, lcolor(yellow)) (line ma2ma12 t, lcolor(black)) (line ratio t, lcolor(red)),title("original, trend-cycle & detrended passenger travel series") ytitle("Passengers (thousands)")saving("c:\mwhdata\detrendedMA2x12mult.gph",replace)

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* Paso 3 Cálculo del Índice Estacional

gen obs=_ngen mes=""replace mes="Ene" if mod(obs,12)==1replace mes="Feb" if mod(obs,12)==2replace mes="Mar" if mod(obs,12)==3replace mes="Abr" if mod(obs,12)==4replace mes="May" if mod(obs,12)==5replace mes="Jun" if mod(obs,12)==6replace mes="Jul" if mod(obs,12)==7

replace mes="Ago" if mod(obs,12)==8replace mes="Sept" if mod(obs,12)==9replace mes="Oct" if mod(obs,12)==10replace mes="Nov" if mod(obs,12)==11replace mes="Dic" if mod(obs,12)==0gen month=.replace month=1 if mes=="Ene"replace month=2 if mes=="Feb"replace month=3 if mes=="Mar"

replace month=4 if mes=="Abr"replace month=5 if mes=="May"replace month=6 if mes=="Jun"replace month=7 if mes=="Jul"replace month=8 if mes=="Ago"replace month=9 if mes=="Sept"replace month=10 if mes=="Oct"replace month=11 if mes=="Nov"replace month=12 if mes=="Dic"

label define month 1 "Jan" 2 "Feb" 3 "Mar" 4 "Apr" 5 "May" 6 "Jun" 7 "Jul" 8 "Aug" 9 "Sep" 10 "Oct" 11 "Nov" 12"Dec"label values month monthsort monthtable month, c(mean ratio) f(%19.9f)

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gen double season=.

replace season=90.797389974 if month==1replace season=90.438392078 if month==2replace season=102.947138301 if month==3replace season=98.663833075 if month==4replace season=97.402091271 if month==5replace season=109.434043862 if month==6replace season=120.609398326 if month==7replace season=119.058600173 if month==8replace season=105.526891616 if month==9

replace season=91.695788069 if month==10replace season=79.634994776 if month==11replace season=90.229136994 if month==12tsset tgraph twoway (line season t), title("Estacionalidad") saving("c:\mwhdata\seasonmult.gph",replace)* Paso 4 Obtener el componente de Irregularidadgen double irreg=.replace irreg=passengers/(season*ma2ma12)tsset t

graph twoway (line irreg t), title("Irregularidad") saving("c:\mwhdata\irregularmult.gph",replace)* Gráfica del Índice de Estacionalidadcollapse (mean) ratio, by(mes)gen month=.replace month=1 if mes=="Ene"replace month=2 if mes=="Feb"replace month=3 if mes=="Mar"replace month=4 if mes=="Abr"replace month=5 if mes=="May"

replace month=6 if mes=="Jun"replace month=7 if mes=="Jul"replace month=8 if mes=="Ago"replace month=9 if mes=="Sept"replace month=10 if mes=="Oct"replace month=11 if mes=="Nov"replace month=12 if mes=="Dic"label values month monthsort month

line ratio month, title("Índice Estacional") xlabel(1(1)12) saving("c:\mwhdata\seasonindexmult.gph",replace)

descomposición series de tiempo

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