ndice

IntroducciNSERIES DE TIEMPO31.MODELO CLSICO DE SERIES DE TIEMPO62.ANLISIS DE FLUCTUACIONES83.ANLISIS DE TENDENCIA114.PRONSTICOS BASADOS EN FACTORES DE TENDENCIA Y ESTACIONALES145.PROblemas resueltos16 -Anlisis de Tendencia16 -Pronsticos basados en factores de tendencia y estacionales186.RESULTADOS CON MINITAB20Bibliografa22

Introduccin

Definicin de serie de tiempo: Es una secuencia ordenada de valores de una variable en intervalos de tiempo peridicos y consecutivos.

Aplicacin: la aplicacin de estos mtodos tiene dos propsitos: comprender las fuerzas de influencia en los datos y descubrir la estructura que produjo los datos observados. Ajustar el modelo y proceder a realizar pronsticos, monitoreo, retroalimentacin y control en avance.

SERIES DE TIEMPO

Toda institucin, ya sea la familia, la empresa o el gobierno, tienen que hacer planes para el futuro si ha de sobrevivir y progresar. Hoy en da diversas instituciones requieren conocer el comportamiento futuro de ciertos fenmenos con el fin de planificar, prever o prevenir.

Debido a que las condiciones econmicas y comerciales varan en el tiempo, los lderes de los negocios deben encontrar formas de mantenerse al da respecto a los efectos que esos cambios tendrn en sus operaciones. Una tcnica que pueden usar los lderes de negocios como ayuda en la planeacin de las necesidades operativas en lo futuro es el pronstico. Aunque se han desarrollado numerosos mtodos para pronosticar, todos tienen un objetivo comn, predecir los eventos futuros de manera quelas proyecciones se puedan incorporar en el proceso de toma de decisiones.

Suponga que necesitamos hacer pronsticos trimestrales para el volumen de ventas de determinado producto durante el prximo ao. Los programas de produccin, las compras de materias primas, las polticas de inventarios y las cuotas de venta sern afectados, todos, por esos pronsticos. Entonces, los malos pronsticos darn como resultado una mala planeacin y, en consecuencia, aumentarn los costos de la empresa. Cmo se hace para elaborar los pronsticos trimestrales del volumen de ventas?

Desde luego que se deben considerar los datos reales de ventas del producto en periodos pasados. Con tales datos histricos podemos identificar el nivel general de ventas y cualquier tendencia, como aumento o disminucin en el volumen a travs del tiempo. Por ejemplo, un examen ms detallado de los datos puede revelar un comportamiento estacional, como el de los picos que se presentan en el tercer trimestre de cada ao y los mnimos durante el primer trimestre. Al repasar los datos histricos se puede, con frecuencia, adquirir una mejor comprensin de la tendencia de las ventas en el pasado para poder pronosticar las ventas del producto en el futuro de una mejor manera.

Las ventas histricas forman una serie de tiempo que es un conjunto de observaciones de una variable medida en puntos o periodos sucesivos en el tiempo.

En esencia, existen dos enfoques de pronsticos: cualitativo y cuantitativo.

Los mtodos de pronstico cualitativos son importantes en especial cuando no se dispone de datos histricos, como sera el caso de un departamento de finanzas que desea pronosticar los ingresos de una compaa nueva. Los mtodos de pronstico cualitativos se consideran altamente subjetivos o basados en la opinin. Incluyen el mtodo de elaboracin de escenarios, la opinin de expertos y la tcnica Delphi.Mtodo Delphi. El mtodo dlfico, desarrollado en principio por un grupo de investigacin de la Rand Corporation. Trata de determinar pronsticos mediante consenso de grupo. En forma normal, a los miembros de un equipo de expertos, todos ellos separados fsicamente y desconocidos entre s, se les pide contestar una serie de cuestionarios. Se tabulan las respuestas del primer cuestionario y stas se usan para preparar un segundo cuestionario que contiene la informacin y las opiniones de todo el grupo. A continuacin se pide a cada encuestado reconsiderar y, posiblemente, corregir sus respuestas anteriores a la vista de la informacin obtenida con el grupo.

Este proceso continua hasta que el coordinador siente que ha alcanzado cierto nivel de consenso. El objetivo del mtodo dlfico no es llegar al resultado de una sola respuesta, sino producir un conjunto compacto de opiniones dentro del cual est la mayora de los expertos.

Opinin de expertos. Con frecuencia, los pronsticos se basan en el juicio de un solo experto, o representan el consenso de un grupo de expertos. Por ejemplo, cada ao se rene un grupo de expertos en Merrill Lynch con el fin de pronosticar el nivel del promedio industrial Dow Jones y la tasa prima para el siguiente ao. Al hacerlo, los expertos se basan, de manera individual en informacin que cree que influye en el mercado accionario y las tasas de inters, a continuacin combinan sus conclusiones en forma de un pronstico. No se usa modelo formal alguno, y es improbable que dos expertos cualesquiera visualicen de la misma forma la misma observacin.

La opinin de expertos es un mtodo de pronstico que se recomienda normalmente cuando es probable que las condiciones en el pasado no rijan en el futuro. Aunque no se usa modelo cuantitativo formal, el juicio experto ha producido buenos pronsticos en muchos casos.

Elaboracin de escenarios. Este mtodo consiste en desarrollar un escenario conceptual del futuro, basado en un conjunto bien definido de supuestos. Los distintos conjuntos de supuestos producen diferentes escenarios. La tarea de quien toma decisiones es decidir lo probable que es cada escenario y, a continuacin, tomar las decisiones pertinentes.

Por otro lado, los mtodos de pronstico cuantitativo utilizan los datos histricos. La meta es estudiar lo que ocurri en el pasado para entender mejor la estructura fundamental de los datos y proporcionar los medios necesarios para predecirlos sucesos futuros.

Los mtodos de pronstico cuantitativos se dividen en dos tipos: series de tiempo y causales.

Los mtodos de pronstico de series de tiempo implican la proyeccin de los valores futuros de una variable basada por completo en las observaciones pasadas y presentes de esa variable.

Series de tiempo. Una serie de tiempo es un conjunto de valores numricos obtenidos en periodos iguales en el tiempo.

Los mtodos de pronstico causales comprenden la determinacin de factores relacionados con la variable que se predice, e incluyen anlisis con variables retrasadas, modelado economtrico, anlisis de indicador lder, ndice de difusin y otros medidores econmicos.

Clasificacin de los mtodos de pronstico.

1. MODELO CLSICO DE SERIES DE TIEMPO

Una serie de tiempo es un conjunto de valores observados, tales como datos de produccin o ventas, para series ordenadas secuencialmente de periodos de tiempo. Algunos ejemplos de estos datos son las ventas de un producto determinado para un conjunto de meses, y el numero de trabajadores que laboran en una industria determinada durante varios aos. Las series de tiempo se ilustran mediante grficas de lneas, y los periodos de tiempo se representan sobre el eje horizontal, mientras que en el vertical se representa la serie de valores.

Ejemplo: En la siguiente imagen, se presenta una grfica de lneas que ilustra las ventas anuales de una compaa que comenz a operar en 1980. Como se puede observar, se alcanz una cumbre, en las ventas anuales en 1987, la cual fue de nuevo seguida por niveles crecientes de ventas durante los ltimos tres aos de las serie de tiempo que se reporta.

El anlisis de series de tiempo es le procedimiento mediante el cual se identifican y separan los factores relacionados con el tiempo que influyen sobre los valores observados de la serie. Una vez que se identifican esos valores, se les puede utilizar para mejorar la interpretacin de los valores histricos de las series de tiempo y para pronosticas valores futuros. El enfoque clsico al anlisis de series de tiempo identifica cuatro de esos efectos o componentes:

1) Tendencia (T): el movimiento global a largo plazo de los valores de la serie de tiempo (Y) durante un numero prolongado de aos.2) Fluctuaciones cclicas (C): movimientos recurrentes hacia arriba y hacia abajo con respecto a la tendencia y que tiene duracin de vario aos.3) Variaciones estacionales (E): movimientos hacia arriba y hacia abajo con respecto a la tendencia y que no duran mas de una ao y que, adems, se presentan todos los aos. Es comn que se identifiquen esas variaciones con base en datos mensuales o trimestrales.4) Variaciones irregulares (I): las variaciones errticas con respecto a la tendencia, que no pueden adjuntarse a efectos estacionales o cclicos.

El modelo en el que se basa el anlisis clsico de series de tiempo se apoya en la suposicin de que, para cualquier periodo de la serie de tiempo, e valor de la variable esta determinado por el efecto de los cuatro componentes que se definieron antes y, adems, que los componentes tiene una relacin multiplicativa. Por ellos, Y representa el valor observado de la serie de tiempo,

Y = T x C x E x I

El modelo que se representa mediante la formula antes mencionada se utiliza como base para representar los efectos de los diversos componentes que influyen sobre los valores de la serie de tiempo.

2. ANLISIS DE FLUCTUACIONES

El primer paso en un anlisis de series de tiempo, consiste en graficar los datos y observar sus tendencias en el tiempo. Primero debe determinarse si parece haber un movimiento hacia arriba o hacia abajo a largo plazo en la serie (una tendencia) o si la serie parece oscilar alrededor de una recta horizontal en el tiempo. En este caso, es decir, no hay tendencia positiva o negativa a largo plazo, puede emplearse el mtodo de promedios mviles o el de suavizacin exponencial para emparejar la serie y proporcionar un panorama global a largo plazo. Por otro lado, si de hecho existe una tendencia, se pueden aplicar varios mtodos de pronstico de series de tiempo al manejar datos anuales, y otro mtodo para los datos de series de tiempo mensual o trimestral.

El patrn o comportamiento de los datos en una serie de tiempo tiene diversos componentes. El supuesto usual es que se combinan cuatro componentes separados: la tendencia, el cclico, el estacional y el irregular para definir valores especficos de la serie de tiempo. Examinaremos cada uno de estos componentes.

El grfico de la serie permitir:

a) Detectar Outlier: se refiere a puntos de la serie que se escapan de lo normal. Un outliers es una observacin de la serie que corresponde a un comportamiento anormal del fenmeno (sin incidencias futuras) o a un error de medicin. Se debe determinar desde fuera si un punto dado es outlier o no. Si se concluye que lo es, se debe omitir o reemplazar por otro valor antes de analizar la serie.

Por ejemplo, en un estudio de la produccin diaria en una fbrica se present la siguiente situacin

Los dos puntos enmarcados en una flecha parecen corresponder a un comportamiento anormal de la serie. Al investigar estos dos puntos se vio que correspondan a dos das de paro, lo que naturalmente afect la produccin en esos das. El problema fue solucionado eliminando las observaciones e interpolando

b) Permite detectar tendencia: la tendencia representa el comportamiento predominante de la serie. Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la media a lo largo de un periodo.

c) Variacin estacional: la variacin estacional representa un movimiento peridico dela serie de tiempo. La duracin de la unidad del periodo es generalmente menor que un ao. Puede ser un trimestre, un mes o un dia.

Matemticamente, podemos decir que la serie representa variacin estacional si existe un nmero s tal que x(t)=x(t + k . s).

Las principales fuerzas que causan una variacin estacional son las condiciones del tiempo, como por ejemplo:

1) en invierno las ventas de helado2) en verano la venta de lana3) exportacin de fruta en marzo.

Todos estos fenmenos presentan un comportamiento estacional (anual, semanal, etc.)

d) Variaciones irregulares (componente aleatoria): los movimientos irregulares (a lazar) representan todos los tipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea tendencia, variaciones estacionales y fluctuaciones cclicas.

Un modelo clsico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia, estacionalidad y un trmino de error aleatorio.

Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados. Estos son:

1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t)2. Multiplicativo: X(t) = T(t) E(t) A(t)3. Mixto: X(t) = T(t) E(t) + A(t)

donde:X(t) serie observada en instante t T(t) componente de tendenciaE(t) componente estacionalA(t) componente aleatoria (accidental)

Una suposicin usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante.

Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de otras componentes, como T(t), s por el contrario la estacionalidad vara con la tendencia, el modelo ms adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie.

3. ANLISIS DE TENDENCIA

Como el anlisis de tendencia se ocupa de la direccin del movimiento de la serie de tiempo a largo plazo, es comn que esos anlisis se lleven a cabo analizando datos anuales. Por lo general, se deben utilizar datos de cuando menos 15 o 20 aos, para no incluir como seal de la tendencia global de la serie de tiempo los movimientos cclicos que implican pocos aos de duracin.

El modelos de mnimos cuadrados es la base mas comn que se utiliza para identificar el componente de tendencia de las serie de tiempos, determinando la ecuacin que mejor se ajuste a la lnea de tendencia. Debe observarse que, en trminos estadsticos, una lnea de tendencia no es una lnea de regresin porque la variable dependiente Y no es una variable aleatoria si no que, mas bien, es un valor histrico acumulado. Adems , sol puede haber un valor histrico para cualquier periodo de tiempo determinado y los valores asociados con un periodo de tiempo adyacente son dependientes. No obstante, el mtodo de mnimo cuadrados es una base conveniente para determinar el componente de la tendencia de una serie de tiempo. Cuando parece que el aumento o la disminucin a largo plazo sigue una tendencia lineal, la ecuacin para los valores de la lnea de tendencia, utilizando X para representa el ao, es

El componente de la formula antes mencionada representa el punto de interseccin de la lnea de tendencia con el eje Y, mientras que representa la pendiente de la lnea de tendencia. Utilizando X para representar el ao Y como el valor observado de la serie de tiempo, las formulas para determinar los valores de y para la ecuacin de la lnea de tendencia son:

Ejemplo:

En esta grafica puede observase el calculo de la ecuacin de tendencia lineal.

En el caso de la tendencia no lineal, con frecuencia se utilizan dos tipos de curvas de tendencia para realizar el anlisis: la curva de tendencia exponencial y la curva de tendencia parablica. Una curva de tendencia exponencial tpica es aquella que refleja una tasa constante de crecimiento durante un periodo de aos, y que podra aplicarse a las ventas de computadoras personales durante 1980. A las curvas exponenciales se les denomina de esa manera porque la variable independiente X es el exponente de en la ecuacin general:

x

Al aplicar el algoritmo en ambos lados de nuestra ecuacin se obtiene una ecuacin lineal de tendencia algortmica,

La ventaja de la transformacin en algoritmos es que la ecuacin lineal para el anlisis de tendencia puede aplicarse a los algoritmos de los valores cuando la serie de tiempo sigue una curva exponencial. Despus , es posible convertir los valores pronosticados en logaritmos de , a sus unidades originales de medicin, sacando el antilogaritmo de los valores.

Puede observarse que muchas series de tiempo que representan las ventas de productos presentan tres etapas: una etapa introductora de crecimiento lento en las ventas, una etapa interna de rpidos aumentos en las ventas y una etapa final de crecimiento lento al saturarse el mercado. Este conjunto de tres etapas puede abarcar muchos aos para algunos productos, tales como el acero estructural. Para otro productos, tales como radios de banda civil, la etapa de saturacin puede alcanzarse con relativa rapidez. La curva de tendencia especifica que incluye las tres etapas que es acaban de describir es la curva de Gompertz. La ecuacin de la cruva de tendencia de Gompertz es:

(b2)x

Los valores de 2 se determinan obteniendo en primer lugar el algoritmo de ambos lados de la ecuacin, de la siguiente manera:

x2

Finalmente los valores de la curva de tendencia se calculan obteniendo los antilogaritmos de los valores calculados mediante la formula anterior.

4. PRONSTICOS BASADOS EN FACTORES DE TENDENCIA Y ESTACIONALES

La ecuacin de la lnea de tendencia ofrece un punto de partida para realizar pronsticos a largo plazo sobre valores anuales. Sin embargo, una consideracin de particular importancia en los pronsticos a largo plazo es el componente cclico de la serie de tiempo. No existe mtodo estndar para pronosticar el componente cclico con base nicamente en los valores histricos de la serie de tiempo, pero existen diversos indicadores econmicos que son muy tiles para anticipar puntos cclicos de cambio.

Para los pronsticos a corto plazo, el punto de partida es el valor de tendencia que se proyecta y que despus se ajusta en su componente estacional. Debido a que, por lo general, la ecuacin de la lnea de tendencia se basa en el anlisis de valores anuales, el primer paso que se requiere es simplificar esa ecuacin para que quede expresada en trminos de meses o trimestres. Se modifica una ecuacin de tendencia, con fechas anuales, para obtener valores proyectados mensuales, de la siguiente manera:

Para obtener valores trimestrales proyectados, se modifica una ecuacin de tendencia con datos anuales, de la siguiente manera:

La base de las modificaciones anteriores no resulta evidente si se pasa por alto el hecho de que los valores de tendencia no estn asociados con puntos en el tiempo, sino ms bien, con periodos de tiempo. Debido a esta consideracin, es necesario separar los tres elementos de la ecuacin de la tendencia anual ( y X).

Despus de la transformacin para los datos mensuales de esta formula , el punto base del ao que antes se identificaba como X=0, se encontrara a mediados del ao, o sea el primero de julio. Como se necesita que el punto base se encuentre a la mitad de l primer mes del ao base, 15 de enero, se modifica la ordenada al origen /12 , en la ecuacin modificada, y despus se reduce en, 5.5 veces la pendiente modificada.se lleva a cabo un ajuste similar para los datos trimestrales. Por ello, una ecuacin de tendencia modificada para obtener valores mensuales y con X=0 teniendo el 15 de enero como ao base, es:

De manera similar, una ecuacin de tendencia. Despus de que se determinan los valores mensuales o trimestrales de la tendencia, puede multiplicarse cada uno de esos valores por el ndice estacional apropiado para establecer un punto inicial que permita realizar pronsticos a corto plazo.

5. PROBLEMAS RESUELTOS

Anlisis de Tendencia

Se presentan los datos de ventas para un periodo de 11 aos de una compaa, que empez a operar en 1980. Los datos de esta serie de tiempo se ilustran mediante la siguiente grfica de lnea. Tambin se incluyen los clculos necesarios para determinar la ecuacin para determinar la ecuacin de la tendencia lineal.

AoAo Codificado (X)Ventas en miles de millones (Y)XYX2

19800$0.200

19811$0.40.41

19822$0.51.04

19833$0.92.79

19844$1.14.416

19855$1.57.525

19866$1.37.836

19877$1.17.749

19888$1.713.664

19899$1.917.181

199010$2.323.0100

Totales:55$12.985.2385

Determine:

a) La ecuacin de tendencia lineal para estos datos mediante el mtodo de mnimos cuadrados, codificando 1980 como 0, y llevando todos los valores con dos cifras decimales.b) Dibuje la lnea de tendencia sobre la grafica de lnea de la grfica antes mencionada.

a)

=0.22+0.19X (con X=0 en 1980)

Puede usarse esta ecuacin como punto de partida para los pronsticos.

La pendiente de 0.19 indica que los 11 aos de existencia de la compaa, ha habido un aumento promedio en ventas de 0.19 miles de millones de pesos ($190,000,000) anuales.

b)

Pronsticos basados en factores de tendencia y estacionales

Simplifique la ecuacin de tendencia que se elaboro en el problema pasado para que quede expresada en trminos de trimestre y no de aos. Tambin, ajuste la ecuacin para que los valores de la tendencia queden en millones de pesos y no en miles de millones. Trabaje los valores finales con una cifra decimal.

La ecuacin trimestral de tendencia, en unidades de millones de pesos, es:

(trimestral)= 1,000(0.0372+0.0119X)= 37.2 + 11.9X

Para la primer ecuacin anterior, X = 0 en el primer trimestre de 1980.

Pronostique el nivel de las ventas trimestrales para cada uno de los trimestres de 1991, con base en la ecuacin de tendencia trimestral que se determino en el problema anterior, y con los ndices estacionales calculados en la siguiente tabla.

Trimestre198519861987198819891990Media modificadandice estacional: Media x 1.0116*

1126.3136.6146.7122.2134.8132.6134.1

2103.776.286.285.387.986.587.5

367.864.050.058.870.063.564.2

4110.3106.7116.4127.5111.6112.8395.4114.1399.9

Los valores con base en la ecuacin trimestral de tendencia, y despus ajustados con los ndices estacionales trimestrales, son:

Primer trimestre, 1991 = [37.2 + 11.9(44)] x 134.1/100 = 752

Segundo trimestre, 1991 = [37.2 + 11.9(45)] x 87.5/100 = 501.1

Tercer trimestre, 1991 = [37.2 + 11.9(46)] x 64.2/100 = 365.3

Cuarto trimestre, 1991 = [37.2 + 11.9(47)] = x 114.1/100 = 680.6

6. RESULTADOS CON MINITAB

Obtenga la ecuacin de tendencia lineal para los datos de ventas anuales de la siguiente tabla.

AoAo Codificado (X)Ventas en miles de millones (Y)XYX2

19800$0.200

19811$0.40.41

19822$0.51.04

19833$0.92.79

19844$1.14.416

19855$1.57.525

19866$1.37.836

19877$1.17.749

19888$1.713.664

19899$1.917.181

199010$2.323.0100

Totales:55$12.985.2385

Determina los ndices estacionales con base a los datos trimestrales de la siguiente tabla y tambin haga el ajuste estacional de los datos.TrimestreVentas trimestrales, en millones de pesos

198519861987198819891990

1500450350550550750

2350350200350400500

3250200150250350400

4400300400550600650

Bibliografa

LEONARD KAZMIER/ALFREDO DIAZ MATA. Estadstica Aplicada a la Administracin y a la Economa. Segunda edicin. McGRAW-HILL.

MONTGOMERY, C.D. Diseo y Anlisis de Experimentos. Segunda edicin. LIMUSA WILEY.

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