Derivadas clásicas y débiles 1

Derivadas clásicas y débiles

Comenzamos presentando el concepto de derivada débil como una ge-neralización de la idea clásica de derivada. La derivada débil es una herra-mienta indispensable en el terreno de las ecuaciones en derivadas parcia-les. Entre sus múltiples ventajas está la de permitir abordar sin limitacio-nes algunas cuestiones de diferenciación bastante sutiles, como puede serel intercambio de derivadas parciales. El impacto principal de este nuevoconcepto de derivada reside en el hecho de que cualquier función, sin másque ser localmente integrable, es firme candidata a poder derivarse un número in-finito de veces, exactamente como si de una función de clase C∞ se tratase.El hecho de debilitar la noción estándar de derivada repercute, sin lugar adudas, en una mayor facilidad a la hora de encontrar soluciones a algunasecuaciones en derivadas parciales. Dicho de otro modo, el nuevo conceptode solución que se baraja al introducir la derivada débil es mucho menosrestrictivo que el asociado a regularidades de tipo clásico. Como veremosmás adelante, una vez encontradas estas soluciones (a las cuales nos re-feriremos habitualmente con el nombre de soluciones débiles), pueden serinvestigadas para determinar si, de hecho, son también diferenciables enel sentido clásico.

Sea Ω ⊆ Rd un abierto y consideremos el espacio de funciones testC1

c (Ω). Dada f ∈ C1(Ω), la siguiente fórmula de integración por partes esbien conocida:∫

Ωf (x)

∂ϕ

∂xi(x) dx = −

∫Ω

∂ f∂xi

(x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ C1c (Ω) , 1 ≤ i ≤ d . (1)

Obsérvese que el término de frontera presente en la formulación generalde la regla de integración por partes es nulo en este caso, toda vez que lacondición ϕ ∈ C1

c (Ω) implica que ϕ debe anularse necesariamente sobrela frontera de Ω. Sin embargo, analizando la fórmula anterior es fácil aper-cibirse de que basta con exigir que tanto f como ∂ f

∂xipertenezcan a L1

loc(Ω)

para que la ecuación (1) adquiera pleno sentido. Por tanto, es natural pen-sar en esta fórmula para definir el concepto de derivabilidad en L1

loc(Ω), sibien en esta clase (mucho más amplia) de funciones no cabe esperar quepueda recuperarse la noción de derivada clásica.

Definición 1. Sean α = (α1, . . . , αd) ∈ (N ∪ 0)d y f ∈ L1loc(Ω). Decimos

que g ∈ L1loc(Ω) es la α–derivada débil de f si∫

Ωf (x)Dα ϕ(x) dx = (−1)|α|

∫Ω

g(x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ C1c (Ω) ,

José L. López

2

donde |α| = α1 + . . . + αd y Dα ϕ = ∂|α|ϕ

∂xα11 ...∂x

αdd

.

Ejemplo 1. El siguiente ejemplo ilustra el hecho de que no siempre existe laderivada débil de una función localmente integrable.

(a) Sean Ω = (−1, 1)d y f : Ω → R definida por f (x1, . . . , xd) = |x1|.Veamos que f admite derivadas débiles de primer orden, las cuales vienendadas por

∂ f∂x1

= signo(x1) ,∂ f∂xi

= 0 si 2 ≤ i ≤ d .

En efecto, para cualquier ϕ ∈ C1c (Ω) se tiene lo siguiente:∫

Ω|x1|

∂ϕ

∂x1(x) dx =

∫Ω+

x1∂ϕ

∂x1(x) dx−

∫Ω−

x1∂ϕ

∂x1(x) dx ,

donde hemos denotado

Ω+ = x ∈ Ω : x1 > 0 , Ω− = x ∈ Ω : x1 < 0 .

Integrando por partes y teniendo en cuenta que ϕ tiene soporte compactoen Ω, se obtiene∫

Ω+x1

∂ϕ

∂x1(x) dx =

∫[−1,1]d−1

dx2 dx3 . . . dxd

(∫ 1

0x1

∂ϕ

∂x1(x) dx1

)=

∫[−1,1]d−1

dx2 dx3 . . . dxd

([x1ϕ]10 −

∫ 1

0ϕ(x) dx1

)= −

∫Ω+

ϕ(x) dx

gracias al teorema de Fubini y a la fórmula (1). Un cálculo análogo nosconduce a ∫

Ω−x1

∂ϕ

∂x1(x) dx = −

∫Ω−

ϕ(x) dx ,

luego ∫Ω|x1|

∂ϕ

∂x1(x) dx = −

∫Ω

signo(x1)ϕ(x) dx ,

esto es, ∂ f∂x1

= signo(x1) en el sentido de la derivada débil. Del mismomodo se concluye que∫

Ω|x1|

∂ϕ

∂xi(x) dx = 0 , 2 ≤ i ≤ d ,

Derivadas clásicas y débiles 3

por lo que ∂ f∂xi

= 0 ∀i = 2, . . . , d.

(b) Sea Ω como en el ejemplo anterior y f (x1, . . . , xd) = signo(x1).En este caso comprobaremos que ∂ f

∂x1no existe. En efecto, de existir g ∈

L1loc(Ω) tal que∫

Ωsigno(x1)

∂ϕ

∂x1(x) dx = −

∫Ω

g(x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ C1c (Ω)

habría de satisfacerse∫Ω

g(x)ϕ(x) dx =∫

Ω−

∂ϕ

∂x1(x) dx−

∫Ω+

∂ϕ

∂x1(x) dx ,

donde∫Ω+

∂ϕ

∂x1(x) dx =

∫[−1,1]d−1

dx2 dx3 . . . dxd

( ∫ 1

0

∂ϕ

∂x1(x) dx1

)= −

∫[−1,1]d−1

ϕ(0, x2, . . . , xd) dx2 . . . dxd ,∫Ω−

∂ϕ

∂x1(x) dx =

∫[−1,1]d−1

dx2 dx3 . . . dxd

( ∫ 0

−1

∂ϕ

∂x1(x) dx1

)=

∫[−1,1]d−1

ϕ(0, x2, . . . , xd) dx2 . . . dxd ,

en virtud nuevamente del teorema de Fubini. Por consiguiente, dispon-dríamos de la relación∫

Ωg(x)ϕ(x) dx = 2

∫[−1,1]d−1

ϕ(0, x2, . . . , xd) dx2 . . . dxd ∀ϕ ∈ C1c (Ω) .

Ahora bien, si en particular se eligiesen funciones test con soporte conte-nido en Ω+ la integral anterior se anularía:∫

Ω+g(x)ϕ(x) dx = 0 ∀ϕ ∈ C1

c (Ω+) ,

y consecuentemente deduciríamos que g = 0 c.p.d. en Ω+ en virtud dellema fundamental del cálculo de variaciones. Análogamente, si considerá-semos ahora ϕ ∈ C1

c (Ω−) se concluiría asimismo que g = 0 c.p.d. en Ω−.En conclusión habría de ser g = 0 c.p.d. en Ω, de donde resultaría∫

[−1,1]d−1ϕ(0, x2, . . . , xd) dx2 . . . dxd = 0 ∀ϕ ∈ C1

c (Ω) , (2)

José L. López

4

-5

0

5

-5

0

5

0

0.25

0.5

0.75

1

-5

0

5

Figura 1: Representación gráfica de la función ϕ definida en (3). En este caso∫ 1−1 ϕ(0, x2) dx2 =

∫ 1−1 dx2 = 2 6= 0, luego la condición (2) no es satisfecha

lo cual es falso en general. Baste considerar, por ejemplo, la función mesetaϕ : R2 → R definida como

ϕ(x1, x2) =

1 si 0 ≤ x2

1 + x22 ≤ 4

98 −

132(x2

1 + x22) si 4 ≤ x2

1 + x22 ≤ 36

0 en otro caso(3)

para convencerse (véase la Figura 1). En consecuencia, no puede existirla derivada débil de primer orden de la función signo de acuerdo con elconcepto dado.

(c) En términos generales, las funciones con discontinuidades de saltono son derivables en sentido débil ni, por tanto, existen las derivadas dé-biles de segundo orden de una función de clase C1 a trozos. En relacióncon la derivada clásica podría decirse que, con el nuevo concepto de deri-vada, los picos se tornan diferenciables en tanto que los saltos continúansin serlo.

Nótese cómo el concepto de derivada débil está llamado a extender alconcepto clásico de derivada, tal como llega a desprenderse de su propiadefinición. En efecto, se dispone del siguiente resultado cuya demostra-ción es una aplicación inmediata de la fórmula clásica de integración porpartes.

Derivadas clásicas y débiles 5

Lema 1. Sean Ω ⊆ Rd un abierto, f ∈ Ck(Ω) y α ∈ (N ∪ 0)d un multi-índice tal que |α| ≤ k ∈ N. Entonces las α–derivadas clásica y débil de fen Ω existen y coinciden.

En otras palabras: si una función es derivable en sentido clásico, enton-ces también lo es en sentido débil y ambas derivadas coinciden. Además,se sigue inmediatamente del lema fundamental del cálculo de variacionesque

Lema 2. Caso de existir, la derivada débil (de cualquier orden) de unafunción localmente integrable está definida de forma única salvo en unconjunto de medida nula.

Finalmente, conviene señalar que el concepto de derivada débil com-parte muchas propiedades con el de derivada clásica –por ejemplo, el ca-rácter lineal o las reglas de Leibniz y de la cadena, como se estudiará másadelante–, aunque también son muchos los aspectos que (afortunadamen-te) los diferencia. Algunos son los siguientes:

1. El concepto de derivada débil permite dar sentido a la derivada decasi cualquier función, sin más que exigirle a priori un requisito mínimode integrabilidad.

2. Cuando existen las derivadas parciales cruzadas de una función ensentido débil siempre son iguales, propiedad que sabemos no es cier-ta en general para el caso de las derivadas clásicas, pues en este con-texto viene regulada por el conocido lema de Schwartz. En efecto: sif ∈ L1

loc(Ω) es tal que existen las derivadas débiles hasta el orden k,entonces para cualquier par de multiínidices α, β con |α|+ |β| ≤ k secumple ∫

ΩDα f (x) Dβ ϕ(x) dx = (−1)|α|

∫Ω

f (x) Dα+β ϕ(x) dx

= (−1)|α|(−1)|α|+|β|∫

ΩDα+β f (x) ϕ(x) dx

= (−1)|β|∫

ΩDα+β f (x) ϕ(x) dx ,

de donde se desprende que Dα+β f = Dβ(

Dα f). Intercambiando los

roles de α y β se concluye fácilmente la propiedad de conmutatividad(incondicional) de las derivadas débiles.

José L. López

6

Figura 2: Representación gráfica de la función de Cantor (fuente: Wikipedia)

3. En dimensión d = 1 siempre es posible recuperar una función a par-tir de su derivada débil sin más que calcular la correspondiente in-tegral. En el caso clásico esta propiedad no es cierta en general. Asílo atestigua la llamada función de Cantor, que puede introducirse dela siguiente manera: toda función f : [0, 1] → R creciente que satisface(i) f (0) = 0, (ii) f (x/3) = f (x)/2 y (iii) f (1− x) = 1− f (x), paratodo x ∈ [0, 1], es la función de Cantor. Esta función tiene la particulari-dad de ser constante sobre cada uno de los intervalos que conformanel complementario del conjunto ternario de Cantor C (cf. Ejemplo 4(d)), luego f ′ = 0 en Cc y, además, f no es derivable en C. En cual-quier caso, puede afirmarse sin lugar a error que f ′ = 0 c.p.d. en[0, 1] (recuérdese que C tiene medida de Lebesgue nula), de dondese desprende que∫ 1

0f ′(x) dx = 0 6= 1 = f (1)− f (0) .

El espacio de Sobolev W1,p(Ω)

Sea Ω ⊆ Rd un abierto. La noción de derivada clásica da pie a defi-nir los espacios Ck

b(Ω), constituidos por aquellas funciones de clase Ck en

El espacio de Sobolev W1,p(Ω) 7

Ω cuyas derivadas (en sentido clásico) son todas acotadas hasta el ordenk–ésimo (además, claro está, de continuas). Será la consideración de deri-vadas débiles acotadas en Lp(Ω), en lugar de derivadas clásicas acotadaspara la norma uniforme, la que nos conduzca al concepto de espacio deSobolev.

Definición 2. Dado 1 ≤ p ≤ ∞, se define el espacio de Sobolev W1,p(Ω) co-mo el espacio vectorial constituido por las (clases de) funciones de Lp(Ω)que tienen derivadas débiles de primer orden acotadas en Lp(Ω), esto es:

W1,p(Ω) =

f ∈ Lp(Ω) : existe∂ f∂xi

y∂ f∂xi∈ Lp(Ω) ∀ 1 ≤ i ≤ d

.

No es complicado comprobar que las identidades

‖ f ‖W1,p(Ω) := ‖ f ‖Lp(Ω) +d

∑i=1

∥∥∥∥ ∂ f∂xi

∥∥∥∥Lp(Ω)

(4)

y

‖ f ‖1,p,Ω :=

(‖ f ‖p

Lp(Ω)+

d

∑i=1

∥∥∥∥ ∂ f∂xi

∥∥∥∥p

Lp(Ω)

) 1p

(5)

definen sendas normas en W1,p(Ω), que además son equivalentes. Por tan-to, W1,p(Ω) tiene estructura de espacio vectorial normado cualquiera quesea 1 ≤ p ≤ ∞. Es de destacar también que el espacio de Sobolev aso-ciado a L2(Ω) (W1,2(Ω) según la notación recién introducida) posee unaestructura algo más rica heredada del carácter hilbertiano de L2(Ω).

En lo que sigue denotamos

H1(Ω) := W1,2(Ω)

=

f ∈ L2(Ω) : existe∂ f∂xi

y∂ f∂xi∈ L2(Ω) ∀ 1 ≤ i ≤ d

,

dotado del producto escalar

〈 f , g〉H1(Ω) = 〈 f , g〉L2(Ω) +d

∑i=1

⟨∂ f∂xi

,∂g∂xi

⟩L2(Ω)

. (6)

Teorema 1 (Desigualdad de Poincaré). Sea Ω ⊂ Rd un dominio acotadocon frontera de clase C1. Entonces existe C = C(d, p, Ω) > 0 tal que∥∥∥ f − 1

|Ω|

∫Ω

f (x) dx∥∥∥

Lp(Ω)≤ C‖∇ f ‖Lp(Ω) (7)

para toda función f ∈W1,p(Ω) con 1 ≤ p ≤ ∞.

José L. López

8

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Si la desigualdad (7)no fuese cierta, habría de existir una sucesión fn ⊂W1,p(Ω) para la que∥∥∥ fn −

1|Ω|

∫Ω

fn(x) dx∥∥∥

Lp(Ω)> n‖∇ fn‖Lp(Ω) . (8)

Consideremos la siguiente normalización:

un :=fn − 1

|Ω|∫

Ω fn(x) dx∥∥ fn − 1|Ω|∫

Ω fn(x) dx∥∥

Lp(Ω)

, n ∈N .

Las siguientes propiedades son claramente satisfechas:∫Ω

un(x) dx = 0 , ‖un‖Lp(Ω) = 1 , ‖∇un‖Lp(Ω) <1n

, (9)

la última de las cuales se obtiene en conformidad con (8). En consecuencia,la sucesión un es acotada en W1,p(Ω) y existen, por tanto, una subsuce-sión unk de un y una función u ∈ Lp(Ω) tales que1

lımk→∞unk = u en Lp(Ω) .

Además, se tiene ∫Ω

u(x) dx = 0 , ‖u‖Lp(Ω) = 1 (10)

en virtud del teorema de la convergencia dominada y de la convergenciade las normas2, respectivamente. Por otra parte, usando nuevamente elteorema de la convergencia dominada y el concepto de derivada débil seobtiene∫

Ωu

∂Φ∂xi

dx = lımk→∞

∫Ω

unk

∂Φ∂xi

dx= − lım

k→∞

∫Ω

∂unk

∂xiΦ dx

= 0 (11)

para toda Φ ∈ C∞c (Ω) y para todo 1 ≤ i ≤ d, pues∣∣∣ ∫

Ω

∂unk

∂xiΦ dx

∣∣∣ ≤ ∥∥∥∂unk

∂xi

∥∥∥Lp(Ω)

‖Φ‖Lp′ (Ω)≤ ‖∇unk‖Lp(Ω)‖Φ‖Lp′ (Ω)

<1nk‖Φ‖Lp′ (Ω)

→ 0 cuando k→ ∞ ,

1Un resultado clásico sobre espacios de Sobolev (Teorema de Rellich–Kondrachov)afirma que si Ω ⊂ Rd es un abierto de clase C1 con frontera acotada, entonces la inclusiónW1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) es continuas y compacta para cualesquiera 1 ≤ p < d y 1 ≤ q < dp

d−p2La convergencia fuerte implica de forma inmediata la convergencia de las normas,

ya que |‖un‖Lp − ‖u‖Lp | ≤ ‖un − u‖Lp

El espacio de Sobolev W1,p(Ω) 9

donde se ha usado la desigualdad de Hölder y la tercera de las propieda-des establecidas en (9). De la expresión (11) se desprende que u ∈W1,p(Ω)con ∇u = 0 c.p.d. en Ω. Por consiguiente u es constante c.p.d. en Ω 3, loque combinado con (10) conduce a la esperada contradicción.

Sean Ω ⊂ Rd un dominio acotado y f : Ω → R. Si f únicamente tu-viese propiedades de p–integrabilidad (regularidad Lp) sería una cuestiónelemental dilucidar el sinsentido de referirse a la evaluación de f en unpunto de Ω, pues los elementos de los espacios de Lebesgue están defini-dos casi por doquier; por el mismo motivo, ni siquiera cabría hablar de larestricción de f a un subconjunto de Ω de medida nula. Sin embargo, lasituación se torna diferente si la α–derivada débil de f existe y satisfacetambién algunas condiciones adecuadas de integrabilidad, en cuyo casopodría considerarse de modo riguroso la restricción de f a la frontera deΩ. En términos generales, esta es la problemática de la que se ocupa el

Teorema 2 (de la traza). Sea Ω ⊂ Rd un abierto de clase C1 con fronteraΓ acotada. Entonces existe un único operador T : W1,p(Ω) → Lp(Γ) linealy continuo (que recibe el nombre de operador traza) tal que la identidadT( f )(x) = f (x) es satisfecha c.p.d. en Γ, para toda f ∈ W1,p(Ω) ∩ C(Ω)con 1 ≤ p ≤ ∞.

Definición 3. Sean Ω ⊂ Rd un abierto y 1 ≤ p < ∞. Se define W1,p0 (Ω)

como la clausura topológica de C∞c (Ω) en W1,p(Ω).

Una de las consecuencias más significativas del teorema de la traza esla caracterización del espacio de Sobolev W1,p

0 (Ω).

Teorema 3. Sea Ω ⊂ Rd un abierto de clase C1 con frontera Γ acotada.Entonces

W1,p0 (Ω) =

u ∈W1,p(Ω) : u|Γ = 0

para cualquier 1 ≤ p < ∞.

Igual que en los casos anteriores, destacamos también en este ámbitoel espacio H1

0(Ω) := W1,20 (Ω) por poseer estructura hilbertiana.

Observación 1. En este contexto la desigualdad de Poincaré adopta la si-guiente forma:

‖ f ‖Lp(Ω) ≤ C‖∇ f ‖Lp(Ω) , (12)

3Esta cuestión no es nada trivial

José L. López

10

para toda función f ∈W1,p0 (Ω). Nótese que, a diferencia de lo que sucedía

en la versión general del Teorema 1, la desigualdad es ahora válida para lanorma de f en lugar de su desplazada f − 1

|Ω|∫

Ω f (x) dx. La razón estri-ba en que antes el resultado debía ser satisfecho por cualquier constante,en tanto que ahora la única función constante que pertenece a W1,p

0 (Ω) esf ≡ 0. Son muchas las ocasiones en que esta propiedad se revelará fun-damental en las aplicaciones, como se pone de manifiesto en la secciónsiguiente.

Denotamos finalmente W−1,p′(Ω) el dual topológico de W1,p0 (Ω), es

decir, el espacio cuyos elementos son los funcionales lineales y continuosdefinidos sobre W1,p

0 (Ω) respecto de la norma heredada de W1,p(Ω) (cf.(4) y (5)). Si p = 2, escribiremos simplemente H−1(Ω).

Espacios de Sobolev y ecuaciones en derivadas par-ciales: el teorema de Lax–Milgram

Los espacios de Sobolev fueron introducidos por Sergéi L. Sobolev afinales de la década de 1930 para su aplicación en el ámbito de las ecua-ciones en derivadas parciales, fundamentalmente. La razón principal hayque buscarla en el hecho de que los espacios Ck(Ω) no permiten en la ma-yor parte de los casos llevar a cabo un tratamiento analítico adecuado delas antedichas ecuaciones. Por ejemplo, si pretendiésemos resolver el si-guiente problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson con fricción

−∆u + u = f en Ωu = 0 en ∂Ω (13)

con segundo miembro f ∈ C(Ω), no dispondríamos en general de unasolución u ∈ C2(Ω), como cabría esperar. Es por ello que ha de recurrir-se a un nivel distinto de descripción matemática. De este modo surge elconcepto de solución débil o generalizada.

Multiplicando la ecuación en derivadas parciales por una función testϕ ∈ C2

c (Ω) e integrando después por partes se obtiene∫Ω

(∇u(x) · ∇ϕ(x) + u(x)ϕ(x)

)dx =

∫Ω

f (x)ϕ(x) dx , (14)

o bien ∫Ω

u(x)(− ∆ϕ(x) + ϕ(x)

)dx =

∫Ω

f (x)ϕ(x) dx , (15)

Espacios de Sobolev y EDPs: el teorema de Lax–Milgram 11

después de usar nuevamente la fórmula de integración por partes en elprimer miembro de (14). Cabe destacar que para que las formulaciones(14) y (15) adquieran sentido no es necesario exigir tanta regularidad a lafunción u(x) como en el caso de la formulación clásica (13). En efecto, paraque (14) esté bien planteado basta con que u(x) sea una vez débilmentediferenciable (u ∈ H1

0(Ω)), mientras que para dar sentido a (15) es inclusosuficiente con que u ∈ L2(Ω) o, aún menos, u ∈ L1

loc(Ω). Es más, a menudopuede verificarse que las soluciones de (14) o (15) resuelven también (13),esto es, también son soluciones en el sentido clásico.

La búsqueda de soluciones débiles de una ecuación en derivadas par-ciales parece así constituir una batalla más sencilla de librar que la búsque-da de soluciones clásicas, en virtud de la potencia analítica de que goza elmarco funcional conformado por los espacios de Sobolev. Conviene des-tacar asimismo que el uso de funciones ϕ ∈ C2

c (Ω) en (14) y (15) puederesultar en exceso restrictivo; la razón deriva del hecho de que no es nece-sario, en general, disponer de tanta regularidad en el espacio de funcionestest para que las integrales involucradas en ambas formulaciones tengansentido, tal se verá a renglón seguido.

Partiendo de (13) pueden plantearse, en función de la regularidad es-perada o requerida para la solución u(x), los siguientes tres problemas:

(a) Encuéntrese u ∈ H2(Ω) ∩ H10(Ω) tal que∫

Ω

(− ∆u(x) + u(x)

)ϕ(x) dx =

∫Ω

f (x)ϕ(x) dx ,

cualquiera que sea ϕ ∈ L2(Ω).

(b) Encuéntrese u ∈ H10(Ω) tal que∫

Ω

(∇u(x) · ∇ϕ(x) + u(x)ϕ(x)

)dx =

∫Ω

f (x)ϕ(x) dx ,

cualquiera que sea ϕ ∈ H10(Ω).

(c) Encuéntrese u ∈ L2(Ω) tal que∫Ω

u(x)

(− ∆ϕ(x) + ϕ(x)

)dx =

∫Ω

f (x)ϕ(x) dx ,

cualquiera que sea ϕ ∈ H2(Ω) ∩ H10(Ω).

Del mismo modo, las condiciones de regularidad sobre f (hasta el mo-mento un elemento del espacio C(Ω)) pueden debilitarse para obtener

José L. López

12

conclusiones similares a las anteriores. Por ejemplo, si uno considera elproblema elíptico consistente en resolver la ecuación de Poisson

−∆u + u = f en Rd con f ∈ Hm(Rd), m ∈ R \ 0 ,

podrá comprobar que admite una (única) solución u en el espacio de So-bolev Hm+2(Rd). Es decir, el operador −∆ + I ha regularizado la soluciónen dos grados de derivabilidad con respecto al segundo miembro.

El problema de Neumann para la ecuación de Poisson con fricción−∆u + u = f en Ω∂u∂η = 0 en ∂Ω , (16)

donde ∂u∂η denota la derivada de u en la dirección normal, admite también

una interpretación análoga a las establecidas en (14) y (15), aunque ahorala condición de contorno es distinta y ello influye, por supuesto, en la elec-ción de los espacios de Sobolev adecuados para que el problema esté bienplanteado. Supongamos que Ω ⊂ Rd es un abierto acotado de clase C1 yque u es una solución suficientemente regular del problema (16), por ejem-plo u ∈ H2(Ω). Multiplicando la ecuación por una función test ϕ ∈ H1(Ω)(obsérvese la diferencia con los problemas de Dirichlet planteados en (a),(b) y (c)) e integrando en Ω, usando luego la primera fórmula de Green4 yteniendo en cuenta que la condición de contorno es de tipo Neumann, seobtiene∫

Ω∇u(x) · ∇ϕ(x) dx +

∫Ω

u(x)ϕ(x) dx =∫

Ωf (x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ H1(Ω) .

(17)Se puede abordar entonces el problema (16) en los siguientes términos:

Dada f ∈ L2(Ω), encuéntrese u ∈ H1(Ω) que satisfaga (17).

El siguiente resultado garantiza la existencia y unicidad de solución deuna gran variedad de problemas planteados en torno a una ecuación enderivadas parciales.

4Sea Ω ⊂ Rd un dominio de clase C1 con frontera Γ acotada. Dadas u, v ∈ H2(Ω), sesatisface ∫

Ω∆u(x)v(x) dx = −

∫Ω∇u(x) · ∇v(x) dx +

∫Γ

v|Γ(x)∂u∂η

(x) dσ(x)

Nótese la importancia del teorema de la traza para dar sentido a la última de las integrales

Espacios de Sobolev y EDPs: el teorema de Lax–Milgram 13

Teorema 4 (Lax–Milgram, 1954). 5 6 Sean H un espacio de Hilbert (dotadodel producto escalar 〈·, ·〉H), a : H × H → R una aplicación bilineal, con-tinua7 y coerciva8 y F ∈ H′. Entonces existe un único elemento u ∈ H talque

a(u, ϕ) = F(ϕ) ∀ϕ ∈ H (18)

y la aplicación lineal F 7→ u es continua de H′ en H. En el caso en quea : H×H → R es también simétrica, el problema (18) equivale al siguienteproblema variacional:

J(u) = mınϕ∈H

J(ϕ)

, (19)

con J(ϕ) = 12 a(ϕ, ϕ) − F(ϕ). En otras palabras, el problema (19) admite

una única solución que no es otra que la que resuelve (18).

Demostración. Comenzamos probando el caso más sencillo, que ademásserá objeto de la mayor parte de las aplicaciones.

1) a : H × H → R es una aplicación simétrica.En tal caso a(u, v) define un producto escalar en H, dado que al tratarse

de una aplicación coerciva es, en particular, definida positiva. Aplicandoentonces el teorema de representación de Riesz9 se concluye el resultadoanunciado.

2) a : H × H → R es una aplicación no necesariamente simétrica.Como F ∈ H′ por hipótesis, el teorema de representación de Riesz ga-

rantiza la existencia de un único elemento f ∈ H tal que

F(ϕ) = 〈 f , ϕ〉 ∀ϕ ∈ H . (20)

Además, la aplicación F 7→ f es una biyección lineal e isométrica de H′ enH, toda vez que

‖ f ‖H = sup0 6=ϕ∈H

|〈 f , ϕ〉|‖ϕ‖H

= sup

0 6=ϕ∈H

|F(ϕ)|‖ϕ‖H

= ‖F‖H′ . (21)

5Parabolic equations, en Contributions to the Theory of Partial Differential Equations, Ann.Math. Studies 33, Princeton, pp. 167–190, 1954

6Peter David Lax, matemático de origen húngaro galardonado recientemente con elpremio Abel 2005, considerado por muchos como el premio Nobel de las Matemáticas

7Existe C > 0 tal que |a(u, v)| ≤ C‖u‖H‖v‖H8Existe α > 0 tal que a(u, u) ≥ α‖u‖2

H9En su versión general afirma lo siguiente: dado F ∈ H′, existe un único elemento f ∈ H

tal que F(ϕ) = 〈 f , ϕ〉H cualquiera que sea ϕ ∈ H

José L. López

14

Si ahora fijamos un elemento u ∈ H, la aplicación lineal au(ϕ) := a(u, ϕ)es continua en H. Aplicando nuevamente el teorema de representación deRiesz se deduce la existencia de un único elemento au ∈ H tal que

au(ϕ) = 〈au, ϕ〉 ∀ϕ ∈ H . (22)

Esta última identidad define un operador T : u 7→ au 7→ au = T(u) linealy continuo de H en H. En efecto:

‖T(u)‖H = ‖au‖H′ = sup0 6=ϕ∈H

|a(u, ϕ)|‖ϕ‖H

≤ C‖u‖H .

Así pues, el problema consistente en encontrar u ∈ H tal que

a(u, ϕ) = F(ϕ) ∀ϕ ∈ H

equivale a encontrar una solución u ∈ H de la ecuación T(u) = f . Paraconcluir la prueba basta con demostrar que el operador T : H → H esbiyectivo.

(i) La inyectividad es una consecuencia directa de la coercividad de laaplicación a : H × H → R, dado que

α‖ϕ‖2H ≤ a(ϕ, ϕ) = 〈T(ϕ), ϕ〉 ≤ ‖T(ϕ)‖H‖ϕ‖H ∀ϕ ∈ H . (23)

Por consiguiente

‖T(ϕ)‖H ≥ α‖ϕ‖H ∀ϕ ∈ H , (24)

lo cual implica que el núcleo de T tiene por único elemento 0.

(ii) La sobreyectividad de T viene caracterizada por las dos siguientespropiedades (el resultado aludido puede consultarse, por ejemplo,en el libro Análisis funcional de H. Brezis (Teorema II. 19)):

T(H)⊥ = 0,T(H) es cerrado en H.

La condición primera es una consecuencia inmediata de (23). Porotra parte, la segunda se sigue del hecho de que T : H → T(H)es un isomorfismo.

Espacios de Sobolev y EDPs: el teorema de Lax–Milgram 15

De (24) se deduce también la continuidad de T−1 y, en particular, lasiguiente estimación (cf. (21)):

‖u‖H = ‖T−1( f )‖H ≤1α‖ f ‖H =

1α‖F‖H′ ,

que permite concluir que el operador F 7→ u es continuo de H′ en H.

3) Equivalencia entre los problemas (18) y (19) en el caso simétrico.Sean u ∈ H la única solución de (18) y h ∈ H arbitrario. Gracias a la

bilinealidad, la coercividad y la simetría de a(·, ·), así como a la linealidadde F, se tiene

J(u + h) =12

a(u + h, u + h)− F(u + h)

=12

a(u, u)− F(u) + a(u, h)− F(h) +12

a(h, h)

= J(u) +12

a(h, h) ≥ J(u) +α

2‖h‖2

H > J(u)

para todo 0 6= h ∈ H, luego J(u) < J(v) para todo H 3 v 6= u.Para demostrar la implicación recíproca partimos del hecho de que u

es el mínimo del funcional J en H. En tal caso se cumple

J(u + λh) ≥ J(u) ∀λ > 0 , ∀h ∈ H .

O, equivalentemente,

12

a(u, u) + λa(u, h) +λ2

2a(h, h)− F(u)− λF(h) ≥ J(u)

para cualesquiera λ > 0 y h ∈ H. Simplificando y dividiendo por λ sellega a la siguiente desigualdad:

a(u, h) +λ

2a(h, h)− F(h) ≥ 0 ∀λ > 0 , ∀h ∈ H .

Finalmente, la arbitrariedad de λ > 0 nos permite concluir que ha de sera(u, h) ≥ F(h) para todo elemento h ∈ H. La desigualdad contraria proce-de sin más que cambiar h por −h.

Concluimos esta sección estudiando algunas aplicaciones del teoremade Lax–Milgram a problemas elípticos unidimensionales con condicionesde contorno de tipo Dirichlet o Neumann.

José L. López

16

(i) Sea Ω = (0, 1) y consideremos la ecuación de Poisson con condicio-nes de contorno de tipo Dirichlet homogéneas:

−u′′ = f en Ωu(0) = u(1) = 0 .

Reescribiendo este problema en la forma expresada en (b), se obtiene∫ 1

0u′(x)ϕ′(x) dx =

∫ 1

0f (x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ H1

0(Ω) .

Observemos que puede aplicarse el teorema de Lax–Milgram con lassiguientes elecciones:

H = H10(Ω), a(u, ϕ) =

∫ 1

0u′(x)ϕ′(x) dx, F(ϕ) =

∫ 1

0f (x)ϕ(x) dx .

Para ello basta con verificar la coercividad de la aplicación a(·, ·),pues las restantes hipótesis del teorema son satisfechas de forma in-mediata. Gracias a la desigualdad de Poincaré (Teorema 1 y Obser-vación 1) se tiene

‖v‖2H1(Ω) = ‖v‖

2L2(Ω) + ‖v

′‖2L2(Ω) ≤ (C + 1)‖v′‖2

L2(Ω) ,

luego

a(v, v) = ‖v′‖2L2(Ω) ≥

1C + 1

‖v‖2H1(Ω)

y a(·, ·) es coerciva (con constante de coercividad α = 1C+1 ).

(ii) Sea Ω = (0, 1) y consideremos la ecuación de Poisson con fricciónsujeta a condiciones de contorno de tipo Neumann:

−u′′ + u = f en Ωu′(0) = u′(1) = 0 .

Reescribiendo este problema en la forma expresada en (b) se obtiene∫ 1

0

(u′(x)ϕ′(x) + u(x)ϕ(x)

)dx =

∫ 1

0f (x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ H1(Ω) .

Tras verificaciones elementales se deduce que podemos aplicar elteorema de Lax–Milgram con H = H1(Ω) y

a(u, ϕ) =∫ 1

0

(u′(x)ϕ′(x) + u(x)ϕ(x)

)dx, F(ϕ) =

∫ 1

0f (x)ϕ(x) dx .

Espacios de Sobolev y EDPs: el teorema de Lax–Milgram 17

(iii) Sea Ω = (0, 1) y consideremos la ecuación de Poisson con condicio-nes de contorno de tipo Neumann:

−u′′ = f en Ωu′(0) = u′(1) = 0 .

Comprobaremos que si f ∈ L2(Ω) es tal que∫

Ω f (x) dx = 0,10 en-tonces existe una única solución de∫ 1

0u′(x)ϕ′(x) dx =

∫ 1

0f (x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ H1(Ω)

en el espacio cociente H1(Ω)/R, donde R denota el espacio vectorialformado por las funciones constantes. El motivo por el que debemosrecurrir a dicho cociente hay que buscarlo en el hecho obvio de queno podemos esperar unicidad de solución en H1(Ω), toda vez quesi u resuelve el problema entonces u + λ también lo hace, cualquieraque sea λ ∈ R. A raíz de lo expuesto, se hace evidente que el teo-rema de Lax–Milgram no puede ser aplicado en este caso. En efec-to, sucede que la aplicación a(u, ϕ) =

∫ 10 u′(x)ϕ′(x) dx no es coer-

civa en H1(Ω).11 Verifiquemos en primer lugar que H = H1(Ω)/Res un espacio de Hilbert. Para ello, consideramos la norma cociente‖ · ‖H : H → R definida como 12

‖[u]‖H = ınfλ∈R

‖u + λ‖H1(Ω)

= ‖u− u‖H1(Ω) , (25)

donde u = 1|Ω|∫

Ω u(x) dx. Es evidente entonces que ‖[u] + [v]‖H ≤‖[u]‖H + ‖[v]‖H, del mismo modo que ‖[λu]‖H = |λ|‖[u]‖H. Ade-más, si ‖[u]‖H = 0 ha de ser (en particular) ‖u′‖L2(Ω) = 0, luegou′ = 0 c.p.d. en Ω y en consecuencia u es constante c.p.d. en Ω, loque conduce a [u] = 0. Por consiguiente la aplicación (25) es una nor-ma en H, si bien puede comprobarse que no deriva de un producto

10Por compatibilidad con la formulación variacional, que ha de mantenerse cierta sielegimos la función test constante. Nótese cómo para el problema de Dirichlet no habíaque imponer tal restricción sobre f , pues en ese caso el espacio de funciones test eraH1

0(Ω), y la única función constante que tiene cabida en dicho espacio es ϕ ≡ 011La propiedad falla, por ejemplo, para cualquier función constante no trivial. Nótese

que la desigualdad de Poincaré no es aplicable en este caso, a diferencia de lo que ocurríapara el problema de Dirichlet

12Compruébese la última igualdad

José L. López

18

escalar. En efecto, si lo hiciese tendría que darse

〈[ f ], [g]〉H =∫

Ω

(f (x)− f

)(g(x)− g

)dx +

∫Ω

f ′(x)g′(x) dx

= 〈 f , g〉H1(Ω) − g∫

Ωf (x) dx− f

∫Ω

g(x) dx + |Ω| f g

= 〈 f , g〉H1(Ω) −1|Ω|

( ∫Ω

f (x) dx)( ∫

Ωg(x) dx

),

que no es una aplicación definida positiva. Con objeto de solventaresta contrariedad definiremos una norma alternativa en H1(Ω) parasu empleo en (25), a saber:

|||u|||2H1(Ω) = ‖u′‖2

L2(Ω) +( ∫

Ωu(x) dx

)2. (26)

Que ||| · |||H1(Ω) es una norma en H1(Ω) es de fácil verificación. Porotra parte, la nueva norma

|||[u]|||H := |||u− u|||H1(Ω) = ‖u′‖L2(Ω)

deriva claramente del producto escalar 〈[ f ], [g]〉H =∫

Ω f ′(x)g′(x) dx.13

Para concluir con la prueba de que H es un espacio de Hilbert bas-tará con verificar que las normas ‖ · ‖ y ||| · ||| definidas en H sonequivalentes. Por una parte se tiene

‖u− u‖2H1(Ω) = ‖u− u‖2

L2(Ω) + ‖u′‖2

L2(Ω) ≤ (C2 + 1)‖u′‖2L2(Ω) ,

donde se ha empleado nuevamente la desigualdad de Poincaré (Teo-rema 1). Por tanto,

‖[u]‖H ≤√

C2 + 1 |||[u]|||H . (27)

Por otra parte, la aplicación identidad

Id :(

H, ||| · |||)→(

H, ‖ · ‖)

es continua (en virtud de (27)) y biyectiva, luego un isomorfismo to-pológico, por lo que podemos concluir que ambas normas son equi-valentes. Comprobamos para terminar que la forma bilineal

a([u], [ϕ]) :=∫

Ωu′(x)ϕ′(x) dx

13Nótese que para la norma ||| · |||H1(Ω) el mínimo de las traslaciones se alcanza tam-bién para el valor λ = −u

Espacios de Sobolev y EDPs: el teorema de Lax–Milgram 19

es continua en H × H y coerciva. La continuidad se desprende de lasiguiente estimación basada en la desigualdad de Hölder:

|a([u], [ϕ])|2 ≤ ‖u′‖2L2(Ω)‖ϕ′‖2

L2(Ω) = |||[u]|||2H|||[ϕ]|||2H .

Finalmente, la coercividad resulta de

|||[u]|||2H = |||u− u|||2H1(Ω) = ‖u′‖2

L2(Ω) = a([u], [u]) .

En este marco basta con elegir

F([ϕ]) :=∫

Ωf (x)ϕ(x) dx ,

que es claramente lineal y continua en H, para aplicar exitosamenteel teorema de Lax–Milgram.

Por tanto, podemos concluir que en todas estas situaciones existe unaúnica solución (variacional, conforme a la formulación establecida en (b))del correspondiente problema de contorno en virtud del teorema de Lax–Milgram.

En última instancia podríamos plantearnos cualquiera de los proble-mas anteriores en el caso en que las condiciones de contorno no fuesenhomogéneas. Es obvio que la formulación variacional correspondiente se-rá distinta a la del caso homogéneo, dado que el término de frontera queresulta de aplicar la fórmula de integración por partes dejará de anularse.Por lo demás, el teorema de Lax–Milgram vuelve a aplicarse exactamen-te en la forma estudiada sin más que considerar un cambio de variablesadecuado.

La delta de Dirac

Una masa puntual se describe matemáticamente por medio de la lla-mada medida de Dirac. En efecto: si suponemos una masa unidad concen-trada en el origen de coordenadas, entonces la medida de Dirac asociada(a la cual denotaremos ρ0) no es otra que

ρ0(x) =

1 si x = 00 si x 6= 0 .

Sin embargo, si nuestro propósito fuese medir la densidad de masa aso-ciada a un punto material la situación se torna algo más compleja. Para el

José L. López

20

caso particular de un intervalo I, es bien sabido que la densidad de masaasociada es la razón entre la masa total m contenida en I y el volumen deI (que no es otra cosa que su medida de Lebesgue |I|):

ρ(I) =m|I| .

En nuestra situación se ha considerado una masa unidad concentrada enun intervalo puntual (m = 1, I = 0), por lo que |I| = 0 y se tendría

ρ(x) =

∞ si x = 00 si x 6= 0 . (28)

Es obvio que esta expresión no tiene sentido matemático como función,de modo que hemos de recurrir a una aproximación distinta de la reali-dad física subyacente. Para ello se consideran promedios de densidad enentornos pequeños del punto material Iε = [−ε, ε], de manera que la den-sidad puntual de masa pueda caracterizarse (al menos a nivel intuitivo)como el límite cuando ε → 0 de una sucesión de funciones (discontinuas)δε(x) definidas como

δε(x) =

1|Iε| =

12ε si |x| ≤ ε

0 si |x| > ε.

Es evidente que, para cualquier ε > 0, el área de la región delimitada porla gráfica de la función δε(x) es unitaria, y que al calcular su límite puntualcuando ε→ 0 se obtiene (28).

Llegado este punto un nuevo problema nos aguarda. Es físicamenteexigible que la integral de la densidad de masa asociada a cualquier inter-valo I (que en nuestro caso contenga al punto x = 0) proporcione la masatotal distribuida en el interior de I; en particular, habría de cumplirse∫

Ilımε→0δε(x) dx =

∫I

ρ(x) dx = ρ0 .

Esto, sin embargo, es contradictorio con el hecho de que

lımε→0

∫I

δε(x) dx= 1

siempre que el intercambio de límite e integral fuese factible, lo cual vienea significar que el límite puntual de la sucesión δε(x) no es el adecuadopara recuperar la densidad de masa puntual a partir de la densidad demasa asociada a un intervalo. ¿Cómo debemos definirla entonces?

Espacios de Sobolev y EDPs: el teorema de Lax–Milgram 21

Comencemos calculando el límite débil de la sucesión de promedios dedensidad δε(x), esto es: para toda función continua ϕ : [a, b] → R, talque 0 ∈ [a, b], se calcula

lımε→0

∫ b

aδε(x)ϕ(x) dx

.

Es fácil comprobar que este límite es ϕ(0). En efecto:∣∣∣ ∫ b

aδε(x)ϕ(x) dx− ϕ(0)

∣∣∣ ≤ 12ε

∫ ε

−ε|ϕ(x)− ϕ(0)| dx .

La continuidad de ϕ permite hacer el segundo miembro tan pequeño comose desee, lo que prueba la afirmación anterior. Luego el límite débil de lasucesión de promedios de densidad δε es el operador que asocia a cual-quier función continua ϕ su evaluación en el punto en que se concentrala masa (en nuestro caso, ϕ 7→ ϕ(0)). Es este operador, al que denotamosδ0, el que se usa para describir la densidad de masa asociada a un puntomaterial. El operador δ0 definido como

〈δ0, ϕ〉 := lımε→0

∫ b

aδε(x)ϕ(x) dx

= ϕ(0)

recibe el nombre de delta de Dirac en honor a Paul Dirac, quien introdujolas distribuciones en la ciencia a raíz de los estudios que llevó a cabo enel terreno de la Mecánica Cuántica y sistematizó el uso de la distribucióndelta que lleva su nombre.

De modo análogo, si es una masa total m la que se concentra en el pun-to x = 0, se tiene que la densidad correspondiente viene dada por mδ0. Sila masa m se concentra en cualquier otro punto x0, entonces la densidadde masa asociada es mδx0 , entendiendo que δx0 es el operador que asocia acada función continua ϕ su evaluación en x0. Si, por el contrario, se dispo-ne de una distribución finita de masas mj1≤j≤n que se concentran en lospuntos xj1≤j≤n, entonces la densidad de masa del sistema es ∑n

j=1 mj δxj .En lo que sigue consideraremos el caso unidimensional (d = 1).

Lema 3. Sea I = (a, b) ⊂ R un intervalo que contiene al 0. Entonces δ0 ∈H−1(I).

Demostración. Basta con observar que el funcional δ0 : H10(I) → R es

lineal y continuo. La linealidad es obvia. La continuidad se desprende delsiguiente cálculo:

|δ0(Φ)| = |Φ(0)| =∣∣ ∫ 0

aΦ′(z) dx

∣∣ ≤ √a‖Φ′‖L2(I) ≤√

a‖Φ‖H1(I)

José L. López

22

para toda Φ ∈ H10(Ω), donde se ha usado la desigualdad de Cauchy–

Schwartz.

En última instancia, el teorema de Lax–Milgram puede aplicarse enH = H1

0(I) (H′ = H−1(I)) para resolver problemas cuyo segundo miem-bro es una delta de Dirac. Por ejemplo, para el caso de la ecuación deLaplace unidimensional podemos definir a : H1

0(I) × H10(I) → R como

a(u, ϕ) =∫

I u′(x)ϕ′(x) dx y F : H10(I) → R como F(ϕ) = δ0(ϕ), lo que da

lugar a la llamada solución fundamental del operador de Laplace.