derivadas

CÁLCULO 1 (ING.) – MA262 UPC 2015 – 01

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Cálculo 1 MA262

Taller Nº 2

Ciclo 2015-01

Profesores del Taller: José Linares, Alejandro Flores, Reynaldo Egocheaga, Mike Hurtado,

Carlos Quispe

Coordinador del curso: Jesús Manuel Acosta Neyra

Temas: Límites al infinito, asíntotas horizontales, derivadas, reglas de derivación.

1. Responda brevemente y Justifique su respuesta.

a) Si f es una función no derivable en a , entonces f no es continua en a

b) Si ( )f a existe, entonces lim ( ) ( )x a

f x f a

c) Si el dominio de f es / 8 0,5x x entonces tiene como asíntotas

verticales a las rectas 0 5x y x

d) Si 5x es una asíntota vertical de la gráfica de f , entonces f no está definida en

5x

e) Toda función racional es continua en todo su domino.

Solución:

a) Falso, ( )f x x a no es derivable en x a , pero es continua en x a

b) Verdadero, si ( )f a existe, entonces ( )f a es continua

c) Falso, sea la función :

; 0

( ) 2 ; 0 5

; 5 8

x si x

f x si x

x si x

con dominio ,8 0,2

donde 0 , 2x x no son asíntotas.

d) Falso. Sea la función

1 ; 5

( ) 5

1 ; 5

si xf x x

x si x

se tiene como asíntota vertical 5x ; pero existe

45f Es decir está definida en dicho punto.

e) Verdad. Teorema



2. Encuentre el límite en cada caso

a) 3

3

4 2 3lim

8 12x

x x

x x

b) 2

3lim

4 1x

x

x x

c) 24 3

lim2 6x

x x

x

d) )(lim 22 bxxaxxx

e) 2lim( 2 )x

x x x

f) 2 1

lim2 1x

x

x

Solución:

a) 3 2 3

3

2 3

2 34

4 2 3 1lim lim

1 128 12 28

x x

x x x x

x x

x x

b) 2

2 2

3 31 1

3 1lim lim lim

21 1 1 14 14 4

x x x

xx x x

x xx

x x x x

c)

2

3 34 4

4 3lim lim lim 1

6 62 62 2

x x x

x xx x x x

xx x

x x

d) 2 2

2 2 2 2

2 2

( )lim( ) lim( )

( )x x

x ax x bxx ax x bx x ax x bx

x ax x bx

lim2

1 1x

a b a b

a b

x x

e)

2

2 2

22

2 2lim ( 2 ) lim ( 2 ) lim

22x x x

x x x xx x x x x x

x x xx x x

2 2

lim lim 12 2

1 1x x

x x

x x x xx x

f)

2

2 1 2 12 1 3lim lim lim

2 1 2 1 2 1 2 1x x x

x xx x

x x x x



2

31

3lim lim 1

5 4 1 5 1 11 4

x x

x x

x x

x x x

3. Encuentre las asíntotas horizontales de cada curva.

a)

2

2

2 4 5

3 4

x xy

x

b) 2

3 4

5

xy

x

c) 3

2 6 5

x xy

x x

d) 5

2

x

x

e

ey

Solución:

a) 2

2

2 4 5 2. . . lim

3 4 3x

x xA H D

x

;

2

2

2 4 5 2. . . lim

3 4 3x

x xA H I

x

Luego A. H.D y A.H.I es 2

3y

b) 2

3 4. . . lim 3

5x

xA H D

x

;

2

3 4 . . . lim 3

5x

xA H I

x

Luego A. H.D y A.H.I es 3; 3y y respectivamente

c) 3

2. . . lim

6 5x

x xA H D

x x

;

3

2. . . lim

6 5x

x xA H I

x x

Luego A. H. no existe

d) 25

2lim ...

x

x

x e

eDHA ; 2

5

2lim ...

x

x

x e

eIHA

Luego A. H.D y A.H.I es 2y

4. Encuentre la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado:

a) 3 3 1; 2; 1y x x

b) 2

; (4; )1 5

xy

x

c) 2

1 1; ( ; ) con 0

4y a a

x

d) 22 4 ; ( ; 6) con 0y x x a a



Solución:

a)

23

2 2 2

2 1( ) (2) ( 3 1) 1lim lim lim 9

2 2 2x x x

x xf x f x xm

x x x

: (2) ( 2) : 1 9( 2) :9 17 0T T TL y f m x L y x L x y

b) 4 4 4

2

( ) (4) (5 2(1 ))1 5(1) lim lim lim4 4 5 1 ( 4)x x x

x

f x f x xxm fx x x x

4

(5 2(1 ))

(5 2(1

(5 2(1 ))(1) lim

5 1 ( 4 )) )x

x x x

x xm

xf

x x

4

(4 1) 3(1) lim

1005 1 (5 2(1 ))x

xm f

x x x

2 3

: (4) ( 4) : ( 4) :3 5 14 05 5

T T TL y f m x L y x L x y

c) 2

1 12

4a

a

2

22 2 2

1 1

( ) ( 2) (2 )(2 ) 14( 2) lim lim lim2 2 4 2 4x x x

f x f x xxm fx x x x

1 1

: ( 2) ( ( 2)) : ( ) ( 2) : 4 3 04 4

T T TL y f m x L y x L x y

d) 26 2 4 3a a a

2

3 2 3

( ) (3) (2 4 ) (6) 2( 3)( 1)lim lim lim 8

3 3 3

: (3) ( 3) : (6) 8( 3) :8 18 0

x x x

T T T

f x f x x x xm

x x x

L y f m x L y x L x y

5. Usando la definición, determine la derivada de:

a) ( ) 9 1f x x

b) ( )1

tf t

t

c) 2( ) 3 5f x x x

d) 25( ) 9f t t

t

Solución:

a) ( ) ( ) 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1

'( ) lim lim lim9 1 9 1x a x a x a

f x f a x a x a x af a

x a x a x a x a

9 9

lim9 1 9 1 9 1x a x a a



x

y

b)

1 1( ) ( ) 1 1'( ) lim lim lim1 1t a t a t a

t at a t af t f a t af a

t a t a t a t a

2

1 1lim lim

1 1 1 1 1t a t a

t a

t a t a t a a

c)

2 23 5 3 5 ( ) 3 3 1( ) ( )'( ) lim lim lim

( )x a x a x a

x x a a x a x af x f af a

x a x a x a

lim 3 3 1 6 1x a

x a a

d)

2 25 5( 9 ) ( 9 ) 5 9( )( ) ( )

'( ) lim lim limt a t a t a

t a a t a t atf t f a t af at a t a at t a

2

5 9( ) 5lim 18t a

a t ata

at a

6. Dada la gráfica de la función f. Determine los puntos donde f no es derivable.

Justifique su respuesta

a) b)

Solución

a) x = 0 (Hay discontinuidad), x = 4 (Hay una esquina)

b) x = -3; x=0 (Hay discontinuidad), x = 3 (Hay una esquina)

7. Usando la definición de derivada calcule '( ) y ''( ) f x f x si ( ) 1f x x

Solución



( ) ( ) 1 1 1 1 1 1'( ) lim lim lim

1 1

1lim

( )( 1 1 ) 2 1

1'( ) tomando

2 1

1'( )

2 1

1

'( ) '( )''( ) lim lim

x a x a x a

x a

x a x a

f x f a x a x a x af a

x a x a x a x a

a x

x a x a a

f a x aa

f xx

f x f af a

x a

3

3

1

1 12 1 2 1lim

2( )( 1 )( 1 )

( 1 1 )( 1 1 ) 1lim

2( )( 1 )( 1 )( 1 1 ) 4 1

1''( )

4 1

x a

x a

x ax a

x a x a x a

x a x a

x a x a x a a

tomando x a

f xx

8. La altura S en el instante t de una moneda que se deja caer desde un edificio viene dado

por 2( ) 16 1350S t t , con S medido en pies y t en segundos.

a) Halle la velocidad promedio en 1,2 .

b) Halle la velocidad instantánea para t = 1 y t = 2.

c) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?

d) Halle la velocidad de la moneda al llegar al suelo.

Solución.

(2) (1) 16(4) 1350 ( 16 1350)) 48

2 1 1

) '( ) 32

1 '(1) 32

2 '(2) 64

S S piesa VP

s

b VI S t t

piessi t entonces S

s

piessi t entonces S

s

)c La pelota llega al suelo cuando ( ) 0S t entonces

2 1350

16 1350 0 9,18516

t t seg



) (9,185) 32(9,185) 293,9pies

d Vs

la velocidad es negativa indica que el objeto

se está moviendo hacia abajo.

9. Una explosión de dinamita lanza una roca hacia arriba y en línea recta con una

velocidad inicial de 160 m/seg. Alcanza una altura 2( ) 160 16s t t t metros al cabo de

t segundos.

a) ¿Qué altura máxima alcanza la roca?

b) ¿Cuáles son la velocidad de la roca cuando la roca está 256 metros por arriba del

nivel del suelo durante el ascenso? ¿Durante el descenso?

c) Determine la aceleración de la roca en cualquier instante t durante su trayecto

(después de la explosión)

d) ¿Cuándo choca la roca contra el suelo?

Solución:

a) La altura máxima lo obtiene cuando su velocidad es cero.

(́ ) 160 32v s t t 0 160 32 5v t t seg

Luego la altura será para t=5: 2(5) 160(5) 16(5) 400s m

b) Veamos en que tiempo alcanza los 256 metros, esto es: 2( ) 160 16 256s t t t 2 0 16 160 256 2 , 8t t t seg t seg

La velocidad en el ascenso : (́2) 96 /v s m seg y

La velocidad en el descenso: (́8) 96 /v s m seg

c) La aceleración es: 2( ) ´ ´́ ( ) 32 /a t v s t m seg

d) La roca choca al suelo cuando ( ) 0 s t

2 160 16 0 0; 10t t t t seg

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