derivada1. nombre femeninoMATEn una funcin, lmite hacia el cual tiende la razn entre el incremento de la funcin y el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero.

QU ES Y PARA QUE SIRVE UNA DERIVADA?JUL28201252 COMENTARIOSESCRITO PORMARIANO IRIARTECuando me enseaban por primera vez a utilizar las derivadas pregunt al profesorpara qu sirve una derivada;me contest: ya lo aprenders ms adelante!Siempre recordar aquella respuesta idiota.Hace unos das estaba dando una formacin a 20 profesores sobre el mtodo del aprendizaje experiencial. El mtodo da importancia a la experiencia de la persona que aprende, a su sentir, a su imaginar, a su observacin, para que desde ah pueda acceder al pensamiento y a la abstraccin.Recordando la pregunta que le hice a aquel profesor, les hice la misma a ellos: Podis decirme qu es y para qu sirve una derivada? Solo una profesora supo responderme.Una de las profesoras presentes en el curso, un momento antes, haba insinuado que ahora se devaluaba la adquisicin de conocimientos en favor de un enfoque que llamaba psicologizante. Lo gracioso es que la misma persona no saba qu era una derivada y sin embargo haba hecho cientos de derivadas, aprobado el bachiller, la selectividad y al menos 3 aos de estudios en los que ha tenido formacin en fsica, matemticas y tecnologa. Luego el problema no es de ahora.No se daba cuenta que los reproches que haca al enfoque psicologizante (que no se cual es) no era sino la expresin de sus propias limitaciones: La formacin que ha recibido es una formacin que no penetra en el conocimiento porque no ayuda a comprender los fundamentos de los conceptos. Es una formacin de papagayo la que ha recibido y la que reproduce. El problema es que ahora ese mtodo que utiliza ya no mantiene la atencin del alumnado y se revela ineficaz y a travs de ello muestra su propia ineficacia.Como se que hay muchas personas que no han entendido lo que es una derivada aunque hayan hecho muchas, voy a utilizar este hecho para justificar mi argumentacin posterior sobre una propuesta pedaggica.Voy primero a explicar qu es y para qu sirve una derivada. Al lector de juzgar si mi explicacin les ha ayudado a comprender que es una derivada y para que sirve y si mi propuesta pedaggica le convence.1 IMAGINA: tienes que trasladar un carro por estas escaleras hacia arriba (figura 1)Dispones de unos tablones que irs poniendo de peldao a peldao (Figura 2) para poder desplazar tu carro

Fijate en ellos, observa la figura 2 Qu constatas con relacin a su inclinacin?Tendrs que hacer mucho esfuerzo al inicio para desplazar tu carro y menos al final en el ltimo tramo. La pendiente, aunque subas todo el tiempo, es ms elevada al inicio que al final.Si establecemos el ngulo entre el tablero y la horizontal (Figura 3), vemos que el ngulo se va reduciendo a medida que vamos avanzando a lo largo de los tablones. Se dice que el coeficiente director de la pendiente va reducindose.Por ejemplo, en el punto 6, o 7, o 8, y 9 (el tablero azul) tenemos una pendiente con un coeficiente director de ya que tiene que recorrer 4 unidades de medida (la profundidad de la escalera) para subir 1 unidad en el punto 10 (altura de la escalera) . La pendiente es la divisin de lo que ha subido (1 punto) sobre lo que ha avanzado (4 unidades), es decir la pendiente es de 1/4= 0,25 (es lo que se llama el coeficiente director de la recta). La pendiente del tablero amarillo, es de 0,2, ya que hay que recorrer 5 para subir 1. Si, por ejemplo en este mismo punto, en lugar de una unidad se subiese 10 unidades Cul sera la pendiente en este caso?La pendiente en ese caso sera de 10/5= 2.Eso que acabamos de explicar es la clave de la derivada. As de sencillo.La derivada nos muestra la evolucin de la inclinacin de los tablones a lo largo del trayecto.As que la derivada tiene que ver con los cambios de los coeficientes directores o los ngulos de los tablones con relacin a la horizontal. En el ejemplo los coeficientes son positivos hasta el punto 21, a partir del punto 21 el coeficiente director es 0 ya que el tabln est paralelo al suelo, si a partir de ah se fuese avanzando y las escaleras fuesen bajando, en lugar de subir, el coeficiente director sera negativo. Si fuese bajando de modo simtrico al que ha ido subiendo encontraramos los mismos indices angulares pero negativos.La derivada muestra la evolucin de la pendiente, en cada punto de los tablones, a lo largo de la curva. Lo habis entendido?As que si remplazamos todos esos tablones por una solo tablero flexible que se posiciona sobre la escalera, podramos decir que es una subida continua ya que la rueda de mi carro no siente ningn tipo de discontinuidad a lo largo del trayecto (no hay rupturas entre tablones) y escribiramos una funcin continuaf(x)que nos indicara por cada punto que avanzamos en que punto de la altura nos encontramos. Mientras que la derivada sera una funcinf'(x)derivada de la anterior funcin que ya no nos da la altura sino que nos dice de cunto cambia aquella funcin primitiva y la pendiente que tiene en cada punto del tablero flexible.Los matemticos dicen que la derivada es la funcinf'(x)que da la tangente en cada punto de la curvaf(x).De todo estolo importante es que lleguemos a imaginar y a visualizar con algn ejemplo como la derivada mide las evoluciones y los cambios de una variable (en el ejemplo, la altura de la escalera del dibujo) con relacin a otra (la profundidad de la escalera del dibujo).Ahora vamos a imaginar otras funciones en las que hay una derivada. Se os ocurre alguna? Por ejemplo el incremento de peso que he ido cogiendo en funcin de los aos. Qu me dar la derivada? Eso ya lo podis responder: la evolucin de ese incremento de peso que no es otra cosa la evolucin del ngulo de los tablones sobre la horizontal.Para qu sirve entonces la derivada? La derivada permite ver, a travs de la pendiente en todo punto de la curva, la evolucin o el cambio de muchos fenmenos fsicos. Permite calcular los puntos clave ah donde la pendiente es 0 (mximos y mnimos) para buscar los ptimos por ejemplo. Permite hacer otros muchos clculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En fsica, electricidad, electrnica, en qumica, permite estudiar muchos fenmenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleracin, los flujos, las acumulaciones. Las derivadas estn siempre presentes. Se utiliza en economa, se utiliza en gestin, se utiliza en arquitectura. Los sistemas de clculo de frenado y de automatizacin utilizan derivadas, los sistemas y las mquinas automatizadas para fabricar o para controlar utilizan derivadas. Por ejemplo, los sistemas que controlan la parada de vuestro ascensor para que sta sea suave, se controla el jerk que es la derivada de la aceleracin con relacin al tiempo.Fermat fue el primero en establecer, el uso de la derivada, aplicndola al estudio de puntos mximos y mnimos de una curva, pero fue Newton en 1669 quien la integr en un sistema matemtico que es una genialidad y que se llama el Clculo integral y diferencial y que se puede decir es la base matemtica de la ciencia clsica. La relacin entre la derivada y su primitiva (aquella curva de la que se puede derivar) funda el estudio de las diferenciales que sirven por ejemplo para clculos de fenmenos de acumulacin, reduccin y dispersin. El estudio de la cantidad de carbono 14 en un hueso permite, por ejemplo, a travs de una diferencial, llegar a calcular su edad.Un ejemplo que de una aplicacin de la derivada y que es ms fcil de visualizar que los clsicos sobre el movimiento, las velocidades y las aceleraciones que se suelen utilizar habitualmente en clase: tenemos que construir una tubo o pista de skateboard de 20 metros de distancia entre los dos extremos superiores y de 2,5 metros de altura (figura 4). Se debe construir en un parque donde hay una piedra que tiene una inclinacin de 16,7 , es decir una tangente de 0,3 de coeficiente director (recordar lo de los tablones: 0,3= 3/10, es decir en 10 metros de recorrido sube 3 metros).Hay que aprovechar esa piedra para utilizar el menor cemento posible. Se trate entonces de ver que punto de la piedra y que punto de la pista van a coincidir para construir el tubo para el skateboard utilizando el mnimo material (ver figura 4). As que sin entrar en explicaciones de como se realiza la derivada de una funcin, aceptamos que la funcin de la pista esf(x)=1/40 *x2y su derivadaf'(x)=1/20*x.Sabemos dos cosas. Sabemos que la pendiente de la piedra es 0,3 y sabemos que si hay un punto en la curva que tenga 0,3 de pendiente, podemos saber cual es. Ese es el punto que debe tocar la pierda. Y eso es fcil. De manera que buscamos el punto 0,3 en la derivada:0,3=1/20*x; x=6;es decir 6 metros con relacin al centro (el punto cero de la curva). Por otro lado sabemos que en ese punto la altura del tubo para el skateboard es de 0,9 metros, ya que en la funcin principal:f(x)=1/40 *x2=1/40 *(6)2= 0,9; as pues, es en el punto de altura de la piedra que hace 0,9 m es donde se encuentran la piedra y la parte del tubo para utilizar la menor cantidad de cemento y que nos permite establecer las distancias para iniciar los trabajos.Si tuvisemos que calcular la cantidad de cemento necesario para fabricar el tubo del stakeboard sera muy fcil conociendo la longitud y utilizando la funcin primitivaf(x)= 1/40 *x2como si fuese la derivada de otra funcin. Lo cual nos permitira encontrar el rea y multiplicarlo por la longitud para hallar el volumen. Las relaciones que se establecen entre una funcin y su derivada son mltiples y han sido la base para la construccin de las ciencias. Es algo que parece magia y cuando se ensea magia a un chaval se aviva el inters por aprender.Bueno, no se si con estas explicaciones hemos visto un poco mejor lo qu es y para qu sirve una derivada. En todo caso nadie puede entender bien una derivada o una integral o cualquier otro concepto fundador del conocimiento si no es capaz de sentirlo, observarlo, imaginarlo. Mis explicaciones han buscado VISUALIZAR el concepto.Y esta es el punto al que quiero llegar. No es lo mismo adquirir conocimientos que comprender los fundamentos de las matemticas, de la fsica, de la estadstica, de la sociologa. Para poderlo comprender, el alumnado debera ser capaz de imaginar el concepto con imgenes simples, cotidianas, suyas y poder l mismo explicarlo as al resto de la clase. Es mejor pasar tiempo visualizando el concepto base de cualquier ciencia, hasta que todo el alumnado pueda a su maneray desde su experiencia imaginar en que consiste, aunque no se cumpla el programa escolar, que memorizar frmulas, de derivacin en este caso, que no van a servir para nada por varias razones: no se sabe para qu y en qu casos aplicar; haciendo derivadas sin saber bien para qu se pierde el sentido del aprendizaje y el gusto por aprender; un aprendizaje sin engarce con la realidad, sin movilizar el sentir, o la emocin se olvida.El problema es el temario, el programa, a todo precio hay que darlo si se quiere que nuestro alumnado apruebe pruebas y exmenes (la maldita selectividad por ejemplo), o simplemente hay que cumplir con el temario si no se quiere tener el sentimiento de no haber cumplido con el deber.Los suizos cuando inician una asignatura parece que estn perdiendo el tiempo. Miran la cosa bajo todos sus aspectos. Formalizan, matizan. Para nuestra mentalidad mediterrnea, parece un curso para retrasados mentales. Luego nos sorprende la velocidad de crucero que cogen.El profesorado y el mundo educativo debe comprender de una vez por todas como deca Piaget (creo que era l) que el problema que el alumno resuelve no es el que el profesor plantea sino aquel que l se imagina. Y si se quiere que el alumnado aprenda hay que pasar tiempo para que cada alumno y alumna imagine, sienta, comprenda los elementos bsicos que constituyen la piedra angular del conocimiento de cada asignatura.Escrito enAprendizaje,Educacin,Ensear

DEFINICIN DEDERIVADADel latn derivtus, derivada es un trmino que puede utilizarse como sustantivo o como adjetivo. En el primer caso, se trata de una nocin de la matemtica que nombra al valor lmite del vnculo entre el aumento del valor de una funcin y el aumento de la variable independiente.

DerivadaLa derivada, por lo tanto, representa cmo se modifica una funcin a medida que su entrada tambin registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una nica variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al grfico de la funcin en dicho punto.El nacimiento y uso de las derivadas en el mbito matemtico, aunque tienen su origen en la Antigua Grecia, podemos establecer que hacen aparicin como tal gracias a dos figuras histricas muy importantes: el matemtico ingls Isaac Newton y el lgico alemn Gottfried Leibniz.

Y es que los mismos partieron de las teoras y conceptos establecidos por sus antecesores en el tiempo para poder llevar a cabo sus propias aplicaciones y mtodos. As, por ejemplo, Newton descubri algoritmos, procedi a acometer la reestructuracin de lo que son las bases de clculos y cre su propio mtodo para realizar el clculo de las tangentes.Para la gramtica, un vocablo derivado es aquel que se forma a travs de una derivacin. Este es un procedimiento de formacin de palabras a partir de la indicacin de conceptos vinculados de manera semntica con otros a los cuales se le agregan afijos. Por ejemplo: mensajera y mensajero son dos vocablos derivados de la palabra mensaje. En el mismo sentido, martimo, marino, marea, marinero, marejada y maremoto son vocablos derivados de mar.En este sentido, podemos establecer por tanto que existen dos tipos de palabras en lneas generales. As, por un lado estn las llamadas primitivas, que son aquellas que no proceden de ninguna otra, y por otro lado nos topamos con las derivadas que, como su propio nombre indica, son las que se forman a partir de otras aadindoles prefijos o sufijos de diversa ndole.De esta manera, adems de los ejemplos ya citados, podemos establecer otros. En este caso, una palabra primitiva sera pan y unas de las derivadas de la misma son panadero o panadera.Entre los prefijos ms frecuentes que se emplean para crear palabras derivadas nos encontramos con bi-, que puede traducirse como dos, o equi-, que es sinnimo de igualdad. Por el contrario en materia de sufijos entre los ms utilizados est azo que es un aumentativo o itis que equivale a una inflamacin.A nivel qumico, un derivado es un producto que se consigue a travs de otro. As puede decirse que la melaza es un producto lquido derivado de la caa de azcar, o que la gasolina es una mezcla de hidrocarburos que deriva del petrleo.En las finanzas, por otra parte, un instrumento derivado (tambin conocido como derivado financiero) es un producto de tipo financiero que tiene un valor basado en el precio de un recurso diferente (denominado como activo subyacente).

Lee todo en: Definicin de derivada - Qu es, Significado y Concepto http://definicion.de/derivada/#ixzz3fuawnoXM

DERIVADAEl concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del clculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos estn relacionados por el teorema fundamental del clculo. A su vez, los dos conceptos centrales del clculo estn basados en el concepto de lmite, el cual separa las matemticas previas, como lgebra, trigonometra o geometra analtica, del clculo. Quiz la derivada es el concepto ms importante del clculo infinitesimal.

=============LIMITEEl lmite de una funcin es un concepto fundamental del clculo diferencial matemtico. Informalmente, el hecho que una funcin f tiene un lmite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.

FUNCIONES CUADRTICAS:Es una funcin polinomial de segundo grado. Su grafica es:

FUNCIN CBICA:La funcin cbica se define como polinomio de tercer grado.Su grafica es:

FUNCIN RACIONAL:Es un cociente de dos funciones polinomiales tal que:

Donde P(x) y Q(x) son polinomios. El dominio de una funcin racional consta de todos los nmeros reales R exceptuando los ceros del polinomio en el denominador. Para obtener el rango debemos despejar X en funcin de Y.FUNCIN RAZ ENSIMA:Se llamaensima raz, oraz de orden n y se denota:

Para el dominio si n es par la expresin subradical debe ser 0, si n es impar el dominio es R.y = XFUNCIONINVERSA:Sifes una funcin uno a uno, entonces existe una funcinf -1, llamada inversa de f tal que:x =f -1 (y), si y solo si y = f(x)El dominio def 1es el rango defy el rango def 1es el dominio def.FUNCIN UNO A UNO:Si para cada pareja de elementos diferentes en el dominio de f, tienetambinelementos diferentes en el recorrido (rango) de f .Pasos a seguir para determinar la inversa de una funcin:Despejar la variable independiente XIntercambiar la variable X por layy laypor lax.La funcin que se obtiene es la inversa de la funcin dada.FUNCIONES CONSTANTESEl criterio viene dado por un nmero real.f(x)= kFunciones Polinmica De Primer Grado.f(x) = mx + n.LIMITES.Lmitees un concepto que describe latendenciade unasucesino unafuncin, a medida que los parmetros de esa sucesin o funcin se acercan a determinado valor. Enclculo(especialmente enanlisis realymatemtico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales deconvergencia,continuidad,derivacin,integracin, entre otros.Enanlisis realparafuncionesde una variable, se puede hacer una definicin de lmite similar a la de lmite de una sucesin, en la cual, los valores que toma la funcin dentro de unintervalose van aproximando a un punto fijadoc, independientemente de que ste pertenezca al dominio de la funcin. Esto se puede generalizar an ms afunciones de varias variableso funciones en distintosespacios mtricos.

Informalmente, se dice queel lmite de la funcin f(x) esLcuandoxtiende ac, y se escribe:si se puede encontrar para cada ocasin unxsuficientemente cerca dectal que el valor de f(x) sea tan prximo a L como se desee.PROPIEDADES DE LOS LMITES

LIMITES EINDETERMINACINUna indeterminacin no significa que el lmite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicacin de las propiedades de los lmites tal como las hemos enunciadas no son vlidas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

TIPOS DE INDETERMINACIN

1.INFINITO PARTIDO POR INFINITO

2.INFINITO MENOS INFINITO

3.CERO PARTIDO POR CERO

4.CERO POR INFINITO

5. CERO ELEVADO A CERO

6. INFINITO ELEVADO A CERO

7.UNO ELEVADO A INFINITO.

FUNCION DERIVADA

DEFINICIN DE LA DERIVADA La Derivada de f en a, denotada por f (a), es el siguiente limite:

La Derivada f `(a), por ser un limite, puede o no existir. En el caso de que exista diremos que la funcin de f es diferenciable en el punto a. En esta definicin esta implcito que f debe estar definida en un intervalo abierto que contiene a a. Al lmite anterior lo podemos expresar en otra forma ligeramente diferente.

PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS

Regla de la Constante Si f es la funcin:

siendocuna constante.DE LA FUNCIN IDENTIDAD La derivada de x es igual a1. Es decir, la derivada de la funcin identidad es igual a la unidad.

DE LA POTENCIALa derivada de una potencia o funcin potencial,es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base

Si la base es la funcin identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.DE LA DERIVADA DE UNA SUMAL La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones. Esta regla se extiende a cualquier nmero de sumando, ya sean positivos o negativos.

DE LA DERIVADA DE UN COCIENTE La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Regla de la Derivada de un ProductoLa derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo ms el segundo factor por la derivada del primero.

DERIVADA DE UNA RAZ CUADRADA Laderivada de la raz cuadradade una funcin es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raz.

DERIVADA DE UNA RAZ Laderivada de la raz ensimade una funcin es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raz ensima de la funcin radicando elevada a n menos uno.EJEMPLOSDERIVADA DE UNA CONSTANTE:

DERIVADA DE UNA POTENCIA:

DERIVADA POR DEFINICIN:f(x) = 3x2 en el punto x = 2.DERIVADA DE UN PRODUCTO:

DERIVADA DE LA SUMA:

DERIVADA DE UN COCIENTE:

Concepto de Lmite

Lmites de una Funcin

Concepto de lmite de una funcin:

Este se refiere a las imgenes de elementosx, del dominio de una funcin dada, al acercarse a un cierto valor, cuando estos elementosxestn prximos a un determinado nmero reala.

Esto se lee as: Lmite de f de x cuando x tiende al valor de a es igual a L, La definicin afirma que los valores de f (x) estn tan cercanos del nmero L siempre que x este cerca de a (por cualquiera de los lados). La interpretacin geomtrica es la siguiente:

Entonces,

Esto significa que para> 0 dada (sin importar que tan pequea sea esta), existe una correspondiente>0tal que|fx-L|