Derivación Implícita

En General las funciones se han presentado de la forma  , expresando

una variable en terminos de la otra, pero se da el caso donde las 2 variables estan

implicitas.

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos

están expresadas en forma explícita, como en la ecuación dónde la variable y está

escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el

contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida

implícitamente por la ecuación: x y = 1.

Estrategia para la Derivación Implìcitas

1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x

2. Agrupar todos los términos en que aparezca   en el lado izquierdo de la ecuación y

pasar todos los demás a la derecha.

3. Sacar factor común   en la izquierda.

4. Despejar  , dividiendo la ecuación por su factor acompañante en la parte izquierda.

Ejemplo # 1

si   , encontrar  .

Derivamos ambos lados de la ecuacion.

Recordemos que y es una funcion de x por lo que al derivarla aplicaremos la regla de la

cadena.

y resolvemos para  .

Ejemplo #2

Encontrar y' de: 

 

aplicamos logaritmo natural en ambos lados de la ecuacion, para quitar el exponente x. 

 

por leyes de los logaritmos. 

 

derivamos implicitamente. 

 

 

despejamos y'- 

 

sustituimos y. 

Ejemplo #3

 

Derivamos implicitamente: 

 

Dejamos y prima de un solo lado 

 

Aplicamos Factor comun y prima 

 

dividimos   de ambos lados 

Ejemplo # 4

Cambiamos el cos(y) a funcion de el sen(y) que seria

despejamos cos(y)

Respuesta:

Ejemplo # 5

Cambiamos el sen(y) a funcion de el cos(y) que seria

despejamos sen(y)

Respuesta:

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y basta derivar

miembro a miembro utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Ejemplos 

Derivar las funciones:

1. 

2. 

El método de regla de la cadena para funciones implícitas

Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la

derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término

donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

Ejemplo 1:

 Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

 

Ejemplo 2:

 Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

Ejemplo 3:

Hallar  , de la función implícita:

Aplicando la notación  , a cada término y extrayendo las constantes;

.

En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo

término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en

el tercer término.

.

La regla de la cadena se aplica el término  , como puede observarse a

continuación claramente en el segundo paréntesis,

quitando paréntesis y ordenando los términos,

,

pasando algunos términos al lado derecho,

extrayendo el factor común  ,

y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:

 

dy/dx con derivadas parciales

Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:

donde  , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,

y  , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.