derivada del seno
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Demostrar que la derivada de la función f ( x )=sen x es f ´ ( x )=cos x
Primeramente desglosemos cada parte de la definición
(1) f (x0 )=sen x0
(2) f (x0+Δx )=sen( x¿¿0+Δx)¿, apliquemos la identidad trigonométricaf (x0+Δx )=sen( x¿¿0)cos ( Δx )+sen (x¿¿0)cos (Δx)¿¿
Sustituyamos (1) Y (2) en la definición
limΔx→0
f (x0+Δx )−f (x0)Δx
=¿¿
¿ limΔx→0
sen (x¿¿0)cos (Δx )+sen (x¿¿0)cos (Δx)−sen x0
Δx=¿¿¿
Extraemos el factor común
¿ limΔx→0
sen (x¿¿0)⌊cos (Δx )−1 ⌋+sen (x¿¿0)cos (Δx)Δx
¿¿
Separemos las expresiones
¿ limΔx→0
(cos ( Δx )−1)Δx
sen (x¿¿0)+limΔx→0
sen (Δx)
Δxcos (x¿¿0)¿¿
Apliquemos las propiedades:
¿ limΔx→0
cos x−1Δx
=0
¿ limΔx→0
sen (Δx)Δx
=1
¿0 sen(x¿¿0)+1cos ( x¿¿0)=0+cos (x¿¿0)=cos (x¿¿0)=cos x ¿¿¿¿ ■