DERIVADA

ANTECEDENTES• La derivada es una herramienta muy importante del cálculo; de hecho,

junto con la integral es una de sus bases. Entre sus muchísimas aplicaciones para la vida diaria destacan las relacionadas con tasas de cambio, la variación de una variable con respecto a otra, y la optimización de procesos, ya sean de índole social, económico, administrativo o industrial.

DEFINICIÓN • La “Derivada” de una función es el límite de la razón del incremento de

la función al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero.

La derivada de una función en “” esta dada por

Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es “Derivable” o que tiene “Derivada”.

• Nota: La Derivada también es llamada “Coeficiente Diferencial”.

Símbolos para representar las derivadas

• Puesto que y son siempre cantidades finitas y tienen valores definidos, la expresión es una verdadera fracción. Pero el símbolo

• Ha de mirarse no como una fracción, sino como el valor límite de una fracción.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA

• Geométricamente, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto.

• Nota: también se denomina “Pendiente de la Curva” en (c, f(c)).

Aplicaciones de la derivada

• La derivada está presente en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de física, química, biología, y en ciencias sociales, como es el caso de la economía y la sociología.

EJEMPLO

• La derivada de la función en el punto marcado es la equivalente a la pendiente es la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).

REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN

• PRIMER PASO: Se sustituye en la función “” por “”, y se calcula el nuevo valor de la función “”.

• SEGUNDO PASO: Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene “” (incremento de la función.

• TERCER PASO: Se divide “” (incremento de la función) por “” (incremento de la variable independiente).

• CUARTO PASO: Se calcula el límite de esta cociente cuando (incremento de la variable independiente) tiende a cero. El límite así hallado es la derivada buscada.

EJEMPLO• Hallar la derivada de la función

RESOLUCIÓN

Aplicando los pasos sucesivos de la Regla General, obtenemos después de hacer

• PRIMER PASO

• SEGUNDO PASO

• TERCER PASO

• CUARTO PASO

En el segundo miembro hagamos resulta:

O bien,

BIBLIOGRAFÍA• LIBROS:

CÁLCULO DIFERENCIAL

(PARA CURSOS CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS)

AUTORES: JORGE LUIS GIL SEVILLA

REBECA DÍAZ TÉLLEZ

EDITORIAL: PEARSON

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

AUTOR: WILLIAM ANTHONY GRANVILLE

EDITORIAL: LIMUSA