derivada

Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBAIng. Juan Pablo Vargas Vargas MBA 11

LA DERIVADALA DERIVADA


INCREMENTOS Y TASASINCREMENTOS Y TASAS

El calculo diferencial es el estudio del El calculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad cambio que ocurre en una cantidad cuando ocurren variaciones en otras cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidades de las cuales depende la cantidad originalcantidad original


IncrementoIncremento

Definición: Sea x una variable con un Definición: Sea x una variable con un primer valor xprimer valor x11 y un segundo valor y un segundo valor xx22. Entonces el cambio en el valor de . Entonces el cambio en el valor de x, que es xx, que es x22 – x – x11, se denomina , se denomina incremento de x y se denota por incremento de x y se denota por ΔΔxx


Ejemplo 1Ejemplo 1 El volumen de ventas de gasolina de cierta El volumen de ventas de gasolina de cierta

estación de servicio depende del precio estación de servicio depende del precio por litro. Si p es el precio por litro en por litro. Si p es el precio por litro en centavos, se encuentra que el volumen de centavos, se encuentra que el volumen de ventas q (en litros por dia) esta dado porventas q (en litros por dia) esta dado por

q = 500(150-p)q = 500(150-p)

Calcule el incremento en el volumen de Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento ventas que corresponde a un incremento

de 120de 120¢ a 130¢¢ a 130¢


Resolviendo la ecuación Resolviendo la ecuación ΔΔx = xx = x22 – x – x11 para para xx22, tenemos x, tenemos x22 = x = x1 1 + + ΔΔx. Usando este x. Usando este valor de xvalor de x2 2 en la definición de en la definición de ΔΔy, y, obtenemosobtenemos

ΔΔy=f(xy=f(x1 1 + + ΔΔx) - f(xx) - f(x11))

Dado que xDado que x11 puede ser cualquier valor de x puede ser cualquier valor de x la ecuación se puede escribir como la ecuación se puede escribir como

ΔΔy=f(xy=f(x + + ΔΔx) - f(x)x) - f(x)

En forma alternativaEn forma alternativay+y+ΔΔy=f(xy=f(x + + ΔΔx)x)


Ejemplo 2Ejemplo 2

Dada f(x)=xDada f(x)=x22, calcule , calcule ΔΔy si x = 1 y y si x = 1 y ΔΔx=0,2x=0,2


Ejemplo 3Ejemplo 3

En el caso de la funcion y = xEn el caso de la funcion y = x22, , determine determine ΔΔy cuando x=1 para y cuando x=1 para cualquier incremento de cualquier incremento de ΔΔxx


Ejemplo 4Ejemplo 4

De nuevo considere la función y = xDe nuevo considere la función y = x22 y determine y determine ΔΔy para los valores y para los valores generales de x y generales de x y ΔΔxx


Tasa de cambioTasa de cambio

La tasa de cambio promedio de un función La tasa de cambio promedio de un función f sobre un intervalo de x a x + f sobre un intervalo de x a x + ΔΔx se define x se define por la razón de por la razón de ΔΔy/ y/ ΔΔx. Por tanto, la tasa de x. Por tanto, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x escambio promedio de y con respecto a x es

x

xfxxf

x

y

)()(


Ejemplo 6Ejemplo 6 Un fabricante de productos químicos advierte Un fabricante de productos químicos advierte

que el costo por semana de producir x que el costo por semana de producir x toneladas de cierto fertilizante esta dado por toneladas de cierto fertilizante esta dado por C(x)=20000+40x y el ingreso obtenido por la C(x)=20000+40x y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas esta dado por R(x)=100x-venta de x toneladas esta dado por R(x)=100x-0.01x0.01x22. La compañía actualmente produce . La compañía actualmente produce 3100 toneladas por semana, pero está 3100 toneladas por semana, pero está considerando incrementar la producción a considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por semana. Calcule los 3200 toneladas por semana. Calcule los incrementos resultantes en el costo, el ingreso incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determine la tasa de cambio y la utilidad. Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por tonelada extra promedio de la utilidad por tonelada extra producida. producida.


LimitesLimites

Sea f(x) una función que está definida en Sea f(x) una función que está definida en todos los valores de x cerca de c, con la todos los valores de x cerca de c, con la excepción posible de c mismo. Se dice excepción posible de c mismo. Se dice que L es el limite de f(x) cuando x tiende que L es el limite de f(x) cuando x tiende a c, si la diferencia entre f(x) y L puede a c, si la diferencia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee con hacerse tan pequeña como se desee con solo restringir a x a estar lo solo restringir a x a estar lo suficientemente cerca de c. En símbolos, suficientemente cerca de c. En símbolos, escribimos: escribimos:

Lxfcx

)(lim


Ejemplo 1Ejemplo 1

Si f(x) = (xSi f(x) = (x22-9)/(x-3), evalué lim f(x)-9)/(x-3), evalué lim f(x)x3


ncx

n

cx

cxcx

cx

xfxf

xfbxbf

bmcbmx

)(lim)(lim

)(lim)(lim

)(lim


Ejemplo 2Ejemplo 2

Tomando m=2, b=3, c=1, obtenemos Tomando m=2, b=3, c=1, obtenemos el resultadoel resultado

53)1(2)32(lim

xcx


Ejemplo 3Ejemplo 3

Tomando m=2, b=3, c=1, obtenemos Tomando m=2, b=3, c=1, obtenemos el resultadoel resultado

93limlim 22

3

2

3

xx

xx


1)5(53)1(25

)32(lim5

)32(lim5)32(5lim

11

1

1

1

1

1

1

x

xx

x

xx


)(lim)(lim)()(lim

)(lim)(lim)()(lim

)(lim)(lim)()(lim

)(lim)(lim)()(lim

xgxfxgxf

xgxfxgxf

xgxfxgxf

xgxfxgxf

cxcxcx

cxcxcx

cxcxcx

cxcxcx


LA DERIVADALA DERIVADA EjemploEjemploDurante el periodo de 10 años de 1970 a Durante el periodo de 10 años de 1970 a

1980, se encontró que la población de 1980, se encontró que la población de cierto país estaba dada por la formulacierto país estaba dada por la formula

P(t)=1+0,03t+tP(t)=1+0,03t+t22

En donde P está dado en millones y t es el En donde P está dado en millones y t es el tiempo medido en años desde el inicio de tiempo medido en años desde el inicio de 1970.1970.

Calcule la tasa de crecimiento instantánea al Calcule la tasa de crecimiento instantánea al inicio de 1975inicio de 1975


Sea y = f(x) una función dada. La derivada Sea y = f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada por dy/dx, de y con respecto a x, denotada por dy/dx, se define porse define por

x

y

dx

dyx

0lim

x

xfxxf

dx

dyx

)()(lim

0


A la derivada también se le da el nombre de A la derivada también se le da el nombre de coeficiente diferencial y la operación de calcula la coeficiente diferencial y la operación de calcula la derivada de una función se denomina derivada de una función se denomina diferenciacióndiferenciación

Si la derivada de una función existe en un Si la derivada de una función existe en un punto particular, decimos que f es diferenciable en punto particular, decimos que f es diferenciable en tal punto.tal punto.

La derivada de y=f(x) con respecto a x tambien se La derivada de y=f(x) con respecto a x tambien se denota por uno de los simbolos siguientesdenota por uno de los simbolos siguientes

fDyDxfyfdx

d

dx

dfy

dx

dxx ,),(','),(,),(


EjemploEjemplo

Calcule la derivada de 2xCalcule la derivada de 2x22+3x+1+3x+1

Calcule dy/dx para la ecuación Calcule dy/dx para la ecuación cubicacubica

y=Axy=Ax33+Bx+Bx22+Cx+D+Cx+D


)(, 1 potencialadeFórmulanxdx

dyentoncesxySi nn

31222

2/312/12/1

2/112/32/3

6177

22)()1(

2

1

2

1)()

1(

2

3

2

3)(

77)(

uuudx

d

udu

d

tttdx

d

tdt

d

yyydy

d

xxxdx

d


dx

duccu

dx

d)(

2211

1

4)1(4)(4)4()

4(

)()(

ttt

dx

dt

dx

d

tdt

d

nxcxdx

dccx

dx

d nnn


Calcule dy/dx si y = xCalcule dy/dx si y = x22 +x +x1/21/2

dx

dv

dx

duvu

dx

d )(


Analisis MarginalAnalisis Marginal Suponga que el fabricante de cierto articulo Suponga que el fabricante de cierto articulo

descubre que a fin de producir x de estos descubre que a fin de producir x de estos articulos a la semana, el costo total en dolares articulos a la semana, el costo total en dolares esta dado por C=200+0.03xesta dado por C=200+0.03x22. Por ejemplo si se . Por ejemplo si se producen 100 articulos a la semana, el costo esta producen 100 articulos a la semana, el costo esta dado por C=200+0.03(100)dado por C=200+0.03(100)22=500. El costo =500. El costo promedio por articulo al producir 100 articulos es promedio por articulo al producir 100 articulos es 500/100=5500/100=5

Si el fabricante considera cambiar la tasa de Si el fabricante considera cambiar la tasa de produccion de 100 a 100+produccion de 100 a 100+ΔΔx unidades por x unidades por semana, en donde semana, en donde ΔΔx representa el incremento x representa el incremento en la produccion semanalen la produccion semanal


El costo esEl costo esC+C+ΔΔC=200+0,03(100+C=200+0,03(100+ΔΔx)x)22

=200+0,03(10000+200=200+0,03(10000+200ΔΔx+ x+ ΔΔxx22))=500+6 =500+6 ΔΔx+0,03 x+0,03 ΔΔxx22

Por consiguiente, el costo extra Por consiguiente, el costo extra determinado por la produccion de los determinado por la produccion de los

articulos adicionales esarticulos adicionales esΔΔC=(C + C=(C + ΔΔC)- C)- ΔΔxx

ΔΔC =500+6 C =500+6 ΔΔx+0,03 x+0,03 ΔΔxx22-500-500ΔΔCC ==ΔΔx+0,03 x+0,03 ΔΔxx22


En consecuencia, el costo promedio En consecuencia, el costo promedio por articulo de las unidades extra es por articulo de las unidades extra es

ΔΔC / C / ΔΔx= 6+0,03 x= 6+0,03 ΔΔxx

¿Cual seria el costo promedio si se ¿Cual seria el costo promedio si se pasa de 100 a 150 unidades?pasa de 100 a 150 unidades?


El costo marginal se define como el valor El costo marginal se define como el valor limite del costo promedio por articulo limite del costo promedio por articulo extra cuando este numero de articulos extra cuando este numero de articulos extra tiende a cero. Asi se puede pensar extra tiende a cero. Asi se puede pensar que el costo marginal es como el costo que el costo marginal es como el costo promedio por articulo extra cuando se promedio por articulo extra cuando se efectua un cambio muy pequeño en la efectua un cambio muy pequeño en la cantidad producidacantidad producida

dx

dCinalmCosto

x

xCxCC

x

CinalmCosto

xx

arg

)()(limlimarg

00


EjemploEjemplo

En el caso de la funcion de costoEn el caso de la funcion de costo

C(x)=o.001xC(x)=o.001x33-0.3x-0.3x22+40x+1000+40x+1000

Calcule el costo marginal cuando Calcule el costo marginal cuando x=50, x=100 y x=150x=50, x=100 y x=150


Es importante no confundir el costo Es importante no confundir el costo marginal con el costo promedio. Si marginal con el costo promedio. Si C(x) es la función de costo, el costo C(x) es la función de costo, el costo promedio de producir x artículos es promedio de producir x artículos es el costo total C(x) dividido entre el el costo total C(x) dividido entre el numero de los artículos producidosnumero de los artículos producidos


Ingreso MarginalIngreso Marginal

Si R(x) denota el ingreso en dolares Si R(x) denota el ingreso en dolares por la venta de x articulos, definimos por la venta de x articulos, definimos el ingreso marginal como la derivada el ingreso marginal como la derivada R’(x)R’(x)


EjemploEjemplo

Si la funcion de ingreso marginal esta Si la funcion de ingreso marginal esta dada pordada por

R(x) =10x-0,01xR(x) =10x-0,01x22

Evalue el ingreso marginal cuando x Evalue el ingreso marginal cuando x =200=200


Determine el ingreso marginal Determine el ingreso marginal cuando x=300 si la ecuacion de la cuando x=300 si la ecuacion de la demanda esdemanda es

x=1000-100px=1000-100p


Utilidad marginalUtilidad marginal

La utilidad marginal representa la La utilidad marginal representa la utilidad marginal adicional por utilidad marginal adicional por articulo si la produccion sufre un articulo si la produccion sufre un pequeño incrementopequeño incremento


La ecuacion de demanda de cierto La ecuacion de demanda de cierto articulo esarticulo es

p+0.1x=80p+0.1x=80

La funcion del costo esLa funcion del costo esC(x) = 5000+20xC(x) = 5000+20x

Calcule la utilidad marginal cuando se Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades y producen y venden 150 unidades y tambien en el caso de que se tambien en el caso de que se produzcan y vendan 400 unidades.produzcan y vendan 400 unidades.

derivada

Documents