derivación
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Derivación
Juan Carlos BallabrigaDepartamento de Matemáticas
IES Benjamín de Tudela
Ejemplos de funciones
9
4)(
2
2
x
xxf
Ejemplos de funciones
2
1)(
2
3
x
xxf
Ejemplos de funciones
9
152
)( xexf
Ejemplos de funciones
9
)4cos()(
2
2
x
xxf
Ejemplos de funciones
x
xxf
)4cos()(
2
Ejemplos de funciones
x
xxf
)4cos()(
2
Ejemplos de funciones
x
xxf
)4cos()(
2
Variación de una función
y=f(x)f(b)
ba
f(a)
Tasa de variación
)()( afbf
a b
f(b)
f(a)
a b
f(b)f(a)
)()( afbf
y=f(x)
y=f(x)
a b
f(b)
f(a) )()( afbf
)()( afbf
Tasa de variación media
a b
f(b)
f(a)
)()( afbf
y=f(x)
b-a
b-a
tgab
afbf
)()(
Tasa de variación instantánea
a b
f(b)
f(a)
y=f(x)
b-a
ab
afbfab
)()(lim tg
ab
afbf
)()(
Las rectas secantes al final se convierten en tangentes
y=f(x)
Otra forma de expresar la tasa de variación instantánea
a a+h
f(a+h)
f(a)
h
h
afhaf
ab
afbfhab
)()(lim
)()(lim
0
Derivada de una función en un punto
• Llamaremos derivada de una función f(x) en un punto x=a a la tasa de variación instantá-nea de dicha función en el punto x=a y lo denotaremos f’(a)
h
afhaf
ab
afbfaf
hab
)()(lim
)()(lim)('
0
)()()(' afadx
dfaf x
Interpretación geométrica de la derivada• La derivada de una función en un punto es la pendiente de la
recta tangente a la función en dicho punto
a b
f(b)
f(a)
y=f(x)
f’(a)=tg=m
)()(' )( axafafy Ecuación de la recta tangente
Cálculo de la derivada con la definición
• Ej: Vamos a calcular la derivada de f(x)=x2-3x+1 en x=2
h
hh
h
fhff
hh
)1(1)2(3)2(lim
)2()2(lim)2('
2
00
Nota: Para cada punto habría que hacer lo mismo
1)1(
limlim)1(13644
lim0
2
0
2
0
h
hh
h
hh
h
hhhhhh
Función derivada
• ¿Hay alguna manera de derivar sin aplicar la definición?
• ¿Podemos generar una función que nos dé la derivada de TODOS los puntos?
• SI: La función derivada
• Tomemos una función cualquiera y apliquemos la definición pero en este caso en un punto genérico
Función derivada
h
xfhxf
xb
xfbfxf
hxb
)()(lim
)()(lim)('
0
• Ej: Vamos a calcular la derivada de f(x)=x2-3x+1en un punto genérico x
Función derivada
h
xxhxhx
h
xfhxfxf
hh
)13(1)(3)(lim
)()(lim)('
22
00
32)('32)32(
lim0
xxfxh
xhhh
h
hxhh
h
xxhxhxhxhh
32lim
131332lim
2
0
222
0
NOTA: Ahora f ’(2) basta sustituir x por 2, es decir f’(2)=2(2)—3=1
Derivadas inmediatas
ky 0'y 1' yxy
1' nn nxyxy 2x
1-y'
1
xy
xyy
2
1' x
n n
n
xnyxy
1
1'
xyxy cos' sin xyxy sin' cos
xxtgytgxy
22
cos
11'
xx eyey ' aayay xx ln'
xyxy
1' ln e
xyxy aa log
1' log
Propiedades
2
'
)(
)(' )()()(' )(
)(' )()()(' )()'(
)(' )(' )()'(
)(' )(' )()'(
)(' )()'(
xg
xgxfxgxfx
g
f
xgxfxgxfxgf
xgxfxgf
xgxfxgf
xfkxfk
a)
b)
c)
d)
e)
Ejemplos de derivadas
464)('443)( ) 324 xxxfxxxxfa
)42)(32()14(2
)(')14()32()( )2
2
xxxx
xfxxxxfb
)612()64(2
1)(')64()( ) 233 xxxx
xxfxxxxfc
2)23(
3)12()23(2)('
23
12)( )
x
xxxf
x
xxfd
)26)(()123(cos(x)
)(')123()()( )2
2
xxsenxx
xfxxxsenxfe
23
3ln)3(1
)('3
ln)( )
x
xxxxf
x
xxff
))()(()cos()cos()(')cos()()( ) xsenxsenxxxfxxsenxfg
)(cos
1
))(cos(
1
))(cos(
)()(cos
))(cos(
))(()()cos()cos()('
)cos(
)()( )
222
22
2
xxx
xsenx
x
xsenxsenxxxf
x
xsenxfh
Regla de la cadena
• Esta regla se aplica cuando queremos derivar una función compuesta. Hay que tener cuidado a la hora de aplicarla
)('))((' )()'( xgxgfxgf
Ejemplo:
)2()2cos()('))((')()'(
2x(x)g' cos)('
)2())(())((2)(
)()(
2
2
2
xxxgxgfxgf
xxf
xsenxgfxgfxxg
xsenxf
)cos()(2)('))((')()'(
2x(x)g' cos)('
2)())(())((2)(
)()(2
2
xxsenxfxfgxfg
xxf
xsenxfgxfgxxg
xsenxf
Nota: - La composición NO es conmutativa - Cuando se deriva una función NO se puede cambiar el argumento - No se acaba hasta que no se ha derivado todas las funciones implicadas
Ejemplo complicado
2
2
2
2
2
22
)4(
)1(4)4(2
41
1
4
1ln
41
lncos2
1
4
1lncoscos)('
4
1lncos)(
x
xxx
xxx
xsen
xx
x
xxf
x
xsenxf
Aplicación de las derivadas
• Crecimiento de una función• Máximos y mínimos relativos• Concavidad y convexidad• Puntos de inflexión• Problemas de optimización
Crecimiento de una función
• De la definición se deduce que si la derivada es positiva la función crece y si es negativa la función decrece
• f creciente en x0 f’(x0)>0
• f decreciente en x0 f’(x0)<0
ab
afbfaf
ab
)()(lim)('
Ejemplo
• Estudiar el crecimiento de la siguiente función
Ahora hay que resolver la siguiente inecuación
3103)('435)( 223 xxxfxxxxf
03103 2 xx
1/3 3
+ -+
creciente decreciente creciente
