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Superficies de Riemann

Depto. de Algebra

2 de agosto de 2013

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Indice general

1. Definiciones basicas 3

1.1. Cartas y atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Ejemplos de superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Recta proyectiva compleja . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Toro complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3. Curvas afines lisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.4. Curvas proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Orientacion y genero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Morfismos 21

2.1. Conceptos iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Teoremas sobre morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3. Funciones meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4. Desarrollos de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5. Funciones meromorfas en P1(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6. Funciones meromorfas sobre una curva proyectiva . . . . . . . 322.7. Funciones meromorfas sobre un toro complejo . . . . . . . . . 33

2.7.1. Resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7.2. Funciones doblemente periodicas . . . . . . . . . . . . 352.7.3. Periodo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.7.4. Funcion ℘ de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.7.5. Curva elıptica asociada a ℘ . . . . . . . . . . . . . . . 472.7.6. El discriminante ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.8. Propiedades locales de los morfismos . . . . . . . . . . . . . . 502.9. Puntos de ramificacion de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3. Propiedades globales de los morfismos 55

3.1. Recubrimiento etale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2. Recubrimiento ramificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3. Aplicaciones propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4. Teorema de caracterizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

iii


3.5. Triangulacion de superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . 66

3.6. Formula de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4. Ejemplos de superficies de Riemann 77

4.1. Pegado de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2. Superficies de Riemann hiperelıpticas . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3. Accion de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4. Ramificacion de la aplicacion cociente . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4.1. Caso g(X) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4.2. Caso g(X) ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5. Equivalencia con curvas algebraicas 99

5.1. Espacio recubridor universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2. Prolongacion de recubrimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.1. Lemas previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.2. Primer teorema de extension . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2.3. Segundo teorema de extension . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2.4. Aplicacion a curvas algebraicas . . . . . . . . . . . . . 112

5.3. Teorıa de Galois de recubrimientos . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.4. Caracterizacion deM(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.5. Curva asociada a una superficie de Riemann . . . . . . . . . . 126

5.6. Superficie de Riemann de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . 128

6. Toros complejos 133

6.1. Morfismos entre toros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.1.1. Caracterizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.1.2. Parametrizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.2. Isomorfismo con el toro complejo . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.2.1. Ramificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A. Resultados de Analisis Complejo 147

A.1. Teoremas basicos de analisis complejo . . . . . . . . . . . . . . 147

A.2. Teorema de la funcion inversa e implıcita. . . . . . . . . . . . 148

A.3. Extension de funciones holomorfas. . . . . . . . . . . . . . . . 149

B. Resultados generales 151

B.1. Equivalencias de categorıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

B.2. Definiciones de genero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

iv Depto. de Algebra


C. Funcion ℘ de Weierstrass 155

C.1. Resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155C.2. Funciones elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

C.2.1. Funciones doblemente periodicas . . . . . . . . . . . . 158C.2.2. Periodo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

C.3. Funcion ℘ de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164C.4. Curva elıptica asociada a ℘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169C.5. El discriminante ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170C.6. Isomorfismo con el toro complejo . . . . . . . . . . . . . . . . 171

D. Teorıa de Galois 175

Depto. de Algebra v


vi Depto. de Algebra

Introduccion

Segun Gian-Carlo Rota, en “Indiscrete Thoughts”, Solomon Lefschetzcomenzo un curso sobre superficies de Riemann con una serie encadenada desentencias en rapida sucesion, sin escribir en la pizarra.

– ’Bien, una superficie de Riemann es un cierto tipo de espacio de Haus-dorff. Ustedes saben lo que es un espacio de Hausdorff, ¿verdad? Tambienes compacta, ¿de acuerdo? Asumo que es una variedad. Seguramente sabenlo que es una variedad. Ahora dejenme enunciarles un teorema no trivial: elteorema de Riemann-Roch.’

Y ası hasta que los mas fieles estudiantes se dieron de baja del curso.No es nuestra intencion tener ese planteamiento, sino el realizar un viajeescalonado a los conceptos fundamentales de superficies de Riemann, con elobjetivo de entender los principales teoremas.

Estas notas surgen de un curso impartido en el quinto curso de la licen-ciatura de Matematicas de la universidad de Sevilla. Por ello, esta a mediocamino entre un curso de grado y un curso de maestrıa. El contenido respondea lo que considera el autor deben ser los pilares fundamentales que permitanuna lectura de temas mas avanzados, como cohomologıa o aplicaciones delteorema de Riemann-Roch.

El curso no pretende ser una lista de enunciados basicos, sino que se impo-ne la prueba de un resultado de importancia. Seguramente se puede pensarque en un primer curso de superficies de Riemann es obligatorio llegar alteorema de Riemann-Roch, como planteaba Lefschetz y aparece en numero-sos textos actuales. Sin embargo, se ha elegido como objetivo el teorema queestablece la equivalencia entre superficies de Riemann compactas, normaliza-cion de curvas algebraicas y extensiones finitas del cuerpo de fracciones C(Z).Como indica McIntosh en su curso sobre superficies de Riemann compactas(http://www.maths.dept.shef.ac.uk/magic/course.php?id=6), tenemostres formas diferentes de tratar la materia:

1. Una aproximacion clasica, donde se combina el analisis complejo, lageometrıa diferencial y la topologıa de superficies. Ası aparece, porejemplo, en [Spr57].

1


2. Mediante la teorıa de variedades complejas analıticas, que se basa fun-damentalmente en la teorıa de haces analıtica. Lo podemos ver en[Nar92].

3. A traves de la teorıa de curvas algebraicas, pues existe una fuerte rela-cion entre superficies de Riemann y curvas proyectivas.

Las dos primeras aproximaciones suelen tener como objetivo la pruebadel teorema de Riemann-Roch. Nosotros nos centramos en la tercera, paraprobar dicha equivalencia.

No es posible la adscripcion de este tema a una rama especıfica de las ma-tematicas. Intervienen de manera fundamental conceptos topologicos (espa-cios recubridores, homotopıa, triangulacion, caracterıstica de Euler, genero),analıticos (teoremas de variables compleja, estructura analıtica, funcioneselıpticas, problema de Dirichlet, funciones armonicas, integracion), algebrai-cos (extensiones de cuerpos, teorıa de Galois, dominios de Dedekind, anillosde valoracion, cohomologıa), geometricos (curvas algebraicas, singularidadesy su resolucion), de geometrıa diferencial (metrica riemanniana), o de teorıade numeros (ramificacion de ideales). En este sentido, el lector debe tener lamente abierta para aprender conceptos que no entran en su posible especia-lidad.

2 Depto. de Algebra

Capıtulo 1

Definiciones basicas

Sea X un espacio topologico. Queremos que X sea, en forma local, co-mo un abierto del plano complejo. Necesitamos entonces una coordenadascomplejas en cada punto del plano.

1.1. Cartas y atlas

Definicion 1.1.1. Una carta compleja, o simplemente carta, sobre X es unhomeomorfismo φ : U → V , donde U ⊂ X es un conjunto abierto de X ,y V ⊂ C es un subconjunto abierto del plano complejo. El abierto U sedenomina dominio de la carta φ.

La carta φ se dice centrada en p ∈ U si φ(p) = 0.

Ejemplo 1.1.2. Sea X = R2, y U cualquier subconjunto abierto. DefinimosφU(x, y) = x + iy desde U (como subconjunto de R2) al plano complejo. Esuna carta compleja en R2.

Ejemplo 1.1.3. De nuevo, sea X = R2, y para un abierto U de R2, definimos

φU(x, y) =x

1 +√x2 + y2

+ iy

1 +√x2 + y2

.

Tambien definen cartas complejas sobre R2.

Nota 1.1.4. Sea φ : U → V una carta compleja en X . Supongamos que U1 ⊂U es un subconjunto abierto de U . Entonces la restriccion φ|U1

: U1 → φ(U1)es una carta compleja en X , que se denomina subcarta de φ.

Ejemplo 1.1.5. Sea φ : U → V una carta compleja en X . Supongamosque ψ : V → W es una biyeccion holomorfa entre dos abiertos del planocomplejo. Entonces la composicion ψ φ : U → W es una carta compleja en

3


X . Si pensamos en φ como una forma de dar coordenadas complejas en X ,esta operacion se puede considerar como un cambio de coordenadas.

Definicion 1.1.6. Sean φ1 : U1 → V1 y φ2 : U2 → V2 dos cartas complejasen X . Decimos que φ1 y φ2 son compatibles si U1 ∩ U2 = ∅, o

φ2 φ−11 : φ1(U1 ∩ U2)→ φ2(U1 ∩ U2)

es holomorfa.

Observemos que la definicion es simetrica: si φ2 φ−11 es holomorfa en

φ1(U1 ∩ U2), entonces φ1 φ−12 sera holomorfa en φ2(U1 ∩ U2). La funcion

T = φ2 φ−11 se denomina funcion de transicion entre dos cartas. Es una

biyeccion en cualquier caso.

Lema 1.1.7. Sea T una funcion de transicion entre dos cartas compatibles.Entonces la derivada T ′ es no nula en todos los puntos del dominio de T .

Demostracion. Sea S la funcion inversa de T . Entonces S T es la identidadsobre el dominio de T , esto es, S(T (z)) = z para todo z. Si derivamos nosqueda S ′(T (z))T ′(z) = 1, por lo que T ′(z) no puede ser cero.

Supongamos que T es la funcion de transicion entre cartas φ y ψ, conun punto p en su dominio comun. Llamemos z0 = φ(p) y w0 = ψ(p). Siescribimos z = (φ ψ−1)(w) = T (w) = z0 +

∑n≥1 an(w − w0)

n el desarrolloen serie de potencia en un entorno de w0, lo anterior nos dice que a1 6= 0.

Definicion 1.1.8. Un atlas complejo, o simplemente atlas, A de X es unacoleccion A = φα : Uα → Vα de cartas compatibles dos a dos, cuyosdominios recubren a X , es decir, X =

⋃α Uα.

Ejemplo 1.1.9. Si A = φα : Uα → Vα es un atlas de X , y Y ⊂ X esun conjunto abierto, entonces la coleccion de sub-cartas AY = φα|Y ∩Uα

:Y ∩ Uα → φα(Y ∩ Uα) es un atlas de Y .

Definicion 1.1.10. Dos atlas A y B son equivalentes si cada carta de unoes compatible con cada carta del otro.

Es facil ver que dos atlas son compatibles si y solamente si su union es unatlas complejo. Un sencillo argumento, aplicando el lema de Zorn, nos diceque todo atlas complejo esta contenido en un unico atlas maximal. Ademas,dos atlas son equivalentes si y solamente si estan contenidos en el mismoatlas maximal.

4 Depto. de Algebra


Definicion 1.1.11. Una estructura compleja en X es un atlas complejo ma-ximal en X , o de forma equivalente, una clase de equivalencia de atlas com-plejos en X .

Cualquier atlas determina una unica estructura compleja. Esta es la formahabitual en la que se define una estructura compleja: mediante un atlas.

Definicion 1.1.12. Una superficie de Riemann es un espacio topologico XHausdorff, conexo y segundo numerable, dotado de una estructura compleja.

Habitualmente se anade la condicion de conexo, porque las superficiesde Riemann mas interesantes son las de este tipo. Sin embargo, trataremoscon conjuntos que no son conexos pero pueden ser dotados de estructurade superficie de Riemann. Recordemos que las componentes conexas de unconjunto son abiertos, por lo que heredaran la estructura. Recıprocamente,si definimos una estructura de superficie de Riemann sobre cada una delas componentes conexas de un conjunto, como son disjuntas, la union dedichas estructuras configura al conjunto total como superficie de Riemann,aunque no conexa. Por este motivo, nos centraremos fundamentalmente enlos espacios conexos.

La condicion de segundo numerable es tecnica, para excluir ciertos ejem-plos patologicos ([Spr57, p.56]). Si la estructura compleja se puede definirmediante un atlas numerable, entonces se tiene que X es segundo numera-ble.

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1.2. Ejemplos de superficies de Riemann

Ejemplo 1.2.1. Sea X = C, considerado topologicamente como R2, y laestructura compleja definida por la identidad. Esta superficie de Riemann sedenomina plano complejo.

Ejemplo 1.2.2. Sea X = S2 la esfera unidad en R3, definida por

S2 = (x, y, w) ∈ R3 | x2 + y2 + w2 = 1.

Consideremos el plano w = 0 como una copia del plano complejo C, iden-tificando (x, y, 0) con x + iy. Sea φ1 : S2 − (0, 0, 1) → C definida por laproyeccion estereografica desde (0, 0, 1). En concreto,

φ1(x, y, w) =x

1− w + iy

1− w.

La inversa de φ1 es

φ−11 (z) =

1

1 + |z|2(2Re(z), 2 Im(z), |z|2 − 1

).

Definimos φ2 : S2−(0, 0,−1) → C como la proyeccion estereografica desde

(0, 0,−1), seguida de una conjugacion:

φ2(x, y, w) =x

1 + w− i y

1 + w.

La inversa de φ2 es

φ−12 (z) =

1

1 + |z|2(2Re(z),−2 Im(z), 1− |z|2

).

El dominio comun es S2−(0, 0,±1), y se aplica biyectivamente tanto por φ1

como por φ2 en C∗ = C−0. La composicion φ2φ−1

1 (z) = 1/z es holomorfaen C∗. Entonces las cartas son compatibles, y S2 con esta estructura complejase denomina esfera de Riemann.

Nota 1.2.3. Para definir una superficie de Riemann, partimos de un espaciotopologico, segundo numerable, en general conexo, y Hausdorff, y definimosun atlas complejo en el. En otras palabras, primero necesitamos la topologıay luego imponemos la estructura compleja.

Sin embargo, con frecuencia usamos los datos que definen el atlas paradefinir la topologıa. Consideremos un recubrimiento abierto Uα de un espa-cio topologico dado. Un subconjunto U ⊂ X es abierto de X si y solamente

6 Depto. de Algebra


si U ∩Uα es abierto de Uα. De forma mas general, si partimos de una familiade subconjuntos Uα que recubren un conjunto X , y tenemos una topologıapara cada Uα, entonces se puede definir una topologıa en X , declarando unconjunto U abierto de X si y solamente si U ∩Uα es abierto de Uα para cadaα.

Supongamos ahora que tenemos un recubrimiento Uα de un conjuntoX (X =

⋃α Uα), y un conjunto de biyecciones φα : Uα → Vα, donde cada

Vα es un abierto de C. Cada Vα tiene su topologıa como subconjunto de C,y mediante φα podemos transportar esta topologıa a Uα (topologıa inicial):un conjunto U ⊂ Uα es abierto si y solamente si φα(U) es abierto de Vα (oabierto de C, que es lo mismo).

Ahora definimos una topologıa en X : un conjunto U de X es un abiertosi y solamente si U ∩ Uα es abierto en Uα. Este metodo da una topologıaen X en la que cada Uα es un abierto si y solamente si para cada α y β, elsubconjunto Uα ∩ Uβ es abierto de Uα. De la definicion de topologıa en Uα,esta condicion es equivalente a preguntar si φα(Uα ∩ Uβ) es abierto en Vα (oC).

En resumen, tenemos los siguientes puntos para definir una superficie deRiemann:

Partimos de un conjunto X .

Encontramos una coleccion numerable de conjuntos Uα de X querecubra a X .

Para cada α, encontramos una aplicacion biyectiva φα de Uα en unabierto Vα del plano complejo.

Verificamos que para cada α y β, φα(Uα ∩ Uβ) es un abierto en Vα.En este punto, por lo que hemos comentado, tenemos definida unatopologıa en X , tal que cada Uα es abierto. Ademas, por definicion,cada φα es una carta compleja en X .

Verificamos que las cartas son dos a dos compatibles.

Verificamos que X es conexo y Hausdorff.

Depto. de Algebra 7


1.2.1. Recta proyectiva compleja

Sea X = P1(C) la recta proyectiva compleja, esto es, el conjunto de subes-pacios 1-dimensionales de C, o bien el conjunto cociente (C×C)−(0, 0)/ ∼,definido por la relacion de equivalencia (z1, w1) ∼ (z2, w2) si y solamente siexiste λ 6= 0 tal que (z1, w1) = λ(z2, w2). Las clases de equivalencia las nota-remos, como es habitual, por [z : w].

Usaremos el metodo que hemos explicado para dotar de estructura desuperficie de Riemann a X . Sean

U0 = [z : w] | z 6= 0 y U1 = [z : w] | w 6= 0.

Observemos que X = U0 ∪ U1, y definimos

ϕ0 : U0 → C

[z : w] 7→ wz,

ϕ1 : U1 → C

[z : w] 7→ zw.

Tanto ϕ0 como ϕ1 son biyecciones, y tenemos lo necesario. Observemos queϕi(U0 ∩ U1) = C

∗, que es abierto de C.La composicion ϕ1 ϕ−1

0 (s) = 1/s, y esto implica que las cartas son com-patibles. Como U0 y U1 son conexos (homeomorfos a C), y tienen interseccionno vacıa, su union, que es X , es conexo.

Veamos ahora que X es Hausdorff. Si p y q estan ambos en U0 o U1,podemos separarlos por abiertos, pues los Ui son Hausdorff. Podemos suponerentonces que p ∈ U0 − U1 y q ∈ U1 − U0. Esto obliga a que p = [1 : 0] yq = [0 : 1]. Estos puntos se pueden separar mediante ϕ−1

0 (D) y ϕ−11 (D),

donde D es el disco abierto unidad de C.Notemos tambien que X es la union de dos conjuntos cerrados ϕ−1

0 (D) yϕ−11 (D), donde D es el disco cerrado unidad de C. Como D es compacto, X

es compacto.Por tanto, la recta proyectiva compleja es una superficie de Riemann

compacta y conexa.

8 Depto. de Algebra


1.2.2. Toro complejo

Sean ω1, ω2 ∈ C linealmente independientes sobre R. Definimos el retıculo

Λ = m1ω1 +m2ω2 | m1, m2 ∈ Z = Zω1 + Zω2.

Un subconjunto ∆ de un espacio topologico es discreto si para cada puntop ∈ ∆ existe un entorno abierto U de p tal que U ∩∆ = p. El conjunto Λes cerrado y discreto, y es un subgrupo aditivo de C.

Necesitaremos el siguiente lema:

Lema 1.2.4. Sea Λ 6= 0 un subgrupo discreto de C. Entonces existe λ1 ∈Λ− 0 tal que

0 < |λ1| = ınf|λ| | λ ∈ Λ− 0.

Demostracion. Como Λ es discreto, existe ε > 0 tal que B(0, ε)∩(Λ−0) =∅. Entonces para cualquier λ ∈ Λ, el disco B(λ, ε) no corta a Λ−λ, pues siz ∈ Λ verifica que |z−λ| < ε, se tiene que z−λ es un elemento de Λ (es grupoaditivo) a distancia menor que ε de cero. Luego cada λ ∈ Λ es el centro de undisco de radio ε, independiente de λ, que no contiene ningun otro elementode Λ. Por tanto, los discos de radio 1

2ε, centrados en cada elemento de Λ, son

disjuntos dos a dos.

Ahora escojamos un disco B(0, r), con r suficientemente grande para quecontenga al menos un elemento de Λ−0, junto a su disco de radio 1

2ε. Este

disco tiene area πr2, por lo que contiene un numero finito de discos disjuntosde radio 1

2ε (a lo mas 4r2ε−2). Ası, existe un numero finito de elementos

de Λ− 0 a distancia menor que r de 0, y de entre ellos escogemos λ1 quetenga menor modulo. Por supuesto, λ1 no es unico, pues −λ1 serıa igualmentebueno.

Nota 1.2.5. La condicion de subgrupo es fundamental en el resultado anterior.Consideremos el conjunto S = 1

n| n ∈ N. Es un conjunto discreto, pero

contiene elementos de modulo tan pequeno como queramos. Observemos queS no es cerrado.

El conjunto X = C/Λ es un grupo aditivo, y lo dotamos de la topologıacociente, dada por la proyeccion π : C → C/Λ, donde un conjunto G ⊂ Xes abierto si y solamente si π−1(G) es abierto de C. Esta definicion hace a πcontinua, y como C es conexo, tambien lo es X .

Todo abierto en X es imagen de un abierto en C, ya que si U es abiertoen X , U = π(π−1(U)), pues π es sobreyectiva. Ademas, π es una aplicacionabierta, es decir, dado un abierto de C, su imagen es abierto en X . Si V ⊂ C

Depto. de Algebra 9


es abierto, entonces para ver que π(V ) es abierto en X debemos probar queπ−1(π(V )) es abierto en C. Pero se tiene que

π−1(π(V )) =⋃

ω∈Λ(ω + V ),

que es una union de trasladados de V , y todos son abiertos de C.Para cada z ∈ C, definimos el paralelogramo cerrado

Pz = z + λ1ω1 + λ2ω2 | λi ∈ [0, 1].

Cada punto de C es congruente modulo Λ a un punto de Pz. La proyeccionπ aplica Pz sobre todo X . Como Pz es compacto, X tambien lo es. Bastaverlo para P0. Dado w ∈ C, consideramos las proyecciones w1, w2 de w sobrelas rectas λω1 y µω2, respectivamente. Existen enteros k1, k2 tales que k1 <w1/ω1 ≤ k1 + 1, k2 < w2/ω2 ≤ k2 + 1, y tenemos la congruencia.

Veamos que X es separado. Sean z1 + Λ, z2 + Λ puntos distintos de X .Entonces z2 − z1 6∈ Λ. Como Λ es un subgrupo discreto de C, existe ε > 0tal que B(ω, ε) ∩ Λ = ω para todo ω ∈ Λ; el valor de ε no depende delpunto ω del retıculo (1.2.4). A lo mas, z2 − z1 pertenece a una unica bolaB(ω0, ε). Tomemos ε′ = 1

2|(z2 − z1)− ω0|, y entonces z2 − z1 6∈ B(ω, ε′) para

todo ω ∈ Λ. De aquı, |z2 − z1 − ω| > ε′ > 0 para todo ω ∈ Λ. Por tanto,

η = ınfω∈Λ|z1 − (z2 + ω)| > 0.

Sean V1 y V2 discos de radio η/2 centrados en z1 y z2, respectivamente.Entonces

(V1 + ω) ∩ V2 = ∅, para todo ω ∈ Λ,

pues si existe z ∈ V1, ω ∈ Λ, con z + ω ∈ V2, entonces

|z2 − (z1 + ω)| ≤ |z2 − (z + ω)|+ |(z + ω)− (z1 + ω)|= |z2 − (z + ω)|+ |z − z1|<η

2+η

2= η,

que contradice la definicion de η. Como π es una aplicacion abierta, π(V1) yπ(V2) son abiertos disjuntos de z1 + Λ y z2 + Λ en C/Λ.

Fijemos el ε > 0 tal que |ω| > 2ε para todo ω ∈ Λ no nulo, y para z0 ∈ Cconsideremos el disco abierto D = B(z0, ε). La eleccion de ε garantiza queno hay dos puntos en D cuya diferencia sea un elemento del retıculo Λ. Esdecir, si z 6= z′ ∈ D entonces π(z) 6= π(z′).

10 Depto. de Algebra


Es claro que π|D : D → π(D) es sobreyectiva, continua y abierta. Por laeleccion de ε, es inyectiva. Por tanto, π|D es un homeomorfismo entre D yπ(D).

Para cada z0 ∈ C sea Dz0 = B(z0, ε), y consideremos Φz0 : π(Dz0)→ Dz0

la inversa de la aplicacion π|Dz0. Tenemos ası un recubrimiento abierto de X

y una familia de homeomorfismos Φz0 sobre abiertos de C. Debemos ver lacompatibilidad de las cartas. Sean z1, z2 dos puntos distintos, y consideremoslas aplicaciones

Φ1 = Φz1 : π(Dz1)→ Dz1 ,Φ2 = Φz2 : π(Dz2)→ Dz2 .

Sea U = π(Dz1)∩ π(Dz2). Si U es vacıo, no hay nada que probar. Si U es novacıo, sea T (z) = Φ2(Φ

−11 (z)) = Φ2(π(z)), para z ∈ Φ1(U). Debemos probar

que T es holomorfa en Φ1(U). Observemos que π(T (z)) = π(z) para todoz ∈ Φ1(U). Entonces T (z)− z = ω(z) ∈ Λ para todo z ∈ Φ1(U). La funcionası definida ω : Φ1(U) → Λ es continua. Como Λ es un conjunto discreto, ωes localmente constante en Φ1(U) (es constante en las componentes conexasde U). Por tanto, de manera local, T (z) = z + ω, para algun ω ∈ Λ, y esholomorfa.

El conjunto X = C/Λ con esta estructura compleja se denomina torocomplejo, y es ua superficie de Riemann compacta y conexa. Para una de-mostracion similar, vea [JS87, p. 170-171].

Depto. de Algebra 11


1.2.3. Curvas afines lisas

Nuestro siguiente ejemplo son las curvas planas afines y lisas. Usaremosel teorema de la funcion implıcita para dos variables (A.2.1).

Definicion 1.2.6. Una curva afın plana es el lugar geometrico de los cerosen C2 de un polinomio f(z, w). Un polinomio f(z, w) es no singular en unpunto p del lugar si ∂f/∂z(p) 6= 0 o bien ∂f/∂w(p) 6= 0. La curva afın planaX asociada al polinomio f es no singular en p si f es no singular en p. Lacurva X es no singular o lisa si es no singular en cada uno de sus puntos.

Nuestro objetivo es dotar de estructura de superficie de Riemann a unacurva afın plana no singular. Las cartas se podran definir gracias al teoremade la funcion implıcita enunciado anteriormente.

Consideremos entonces una curva afın plana lisa X , definida por un po-linomio f(z, w). X es un subespacio topologico de C2. Sea p = (z0, w0) ∈ X .Si ∂f/∂w(p) 6= 0, existe una funcion holomorfa gp(z) y un entorno U de ptal que si (z, w) ∈ U entonces w = gp(z). Ası, la proyeccion

πz : U → C

(z, w) 7→ z

es un homeomorfismo de U sobre su imagen V , que es un abierto de C.Tenemos de esta forma una carta compleja definida en X .

Si partimos de ∂f/∂z(p) 6= 0, hacemos una construccion analoga mediantela proyeccion πw. Es perfectamente posible que sobre un punto haya definidasdos cartas.

Como X es lisa, al menos una de estas derivadas parciales es no nula encada punto, y los dominios de las cartas complejas recubren X .

Ahora tenemos que comprobar que las cartas son compatibles entre sı.Supongamos en primer lugar que ambas cartas se obtienen mediante proyec-ciones de la forma πz. Entonces, si sus dominios se cortan, la composicion dela inversa de una con la otra es la identidad, que es una funcion holomorfa.Lo mismo se tiene si ambas cartas proceden de πw.

Supongamos entonces que una carta es πw y la otra πz. Escojamos unpunto p = (z0, w0) en su dominio comun U ; podemos asumir que en unentorno de p, los puntos de X se escriben en la forma (z, g(z)), para unafuncion g holomorfa. Entonces en un entorno de z0 dentro de πz(U), la funcioninversa de πz actua como π−1

z (z) = (z, g(z)). De aquı, la composicion πw π−1z (z) = g(z) es holomorfa.Por tanto, dos cartas cualesquiera son compatibles, y tenemos ası definido

un atlas complejo en X .



El espacio X es segundo numerable (ejercicio) y Hausdorff, como subes-pacio de C2. Bajo ciertas condiciones podemos verificar que X es conexo. Enun principio, esto no es trivial. Por ejemplo, si el polinomio f que define aX es el producto de dos factores lineales que definen rectas paralelas, comof(z, w) = (z+w)(z+w+1), entonces X es la union de dos rectas complejasque no se cortan, y es no singular. Sin embargo, no es conexa.

Por tanto, hay que exigirle algo mas al polinomio f . Por ejemplo, quef sea un polinomio irreducible. Veremos mas adelante que si f(z, w) es unpolinomio irreducible, entonces la curva plana que define es conexa ([Gri89,p.56–66]). Por tanto, si f es irreducible y no singular, X es una superficie deRiemann conexa.

Una ligera generalizacion nos hara falta mas adelante. Si f(z, w) es unpolinomio irreducible, entonces el conjunto de puntos singulares de la curva Cque define es finito ([Gri89]). Si borramos dichos puntos, el conjunto abiertoresultante C∗ es una superficie de Riemann, con las mismas cartas que hemosdefinido anteriormente. Hablaremos de la parte lisa o regular de la curva afınplana C.

Ninguna curva afın plana es compacta: como subconjunto de C2 = R4, esun conjunto no acotado, ya que para cualquier z0 existen raıces del polinomiof(z0, w).



1.2.4. Curvas proyectivas

Comencemos recordando unos hechos basicos sobre el plano proyectivoP2(C). Es el conjunto de los espacios 1-dimensionales de C3, o bien, el con-junto cociente C3 − 0/ ∼ por la relacion de equivalencia

(x, y, z) ∼ (x′, y′, z′)⇔ existe λ 6= 0 | x′ = λx, y′ = λy, z′ = λz.

Las clases de equivalencia se notaran por [x : y : z] o [x0 : x1 : x2]. El conjuntoP2(C) hereda una topologıa de C3 − 0 mediante la proyeccion.

Los elementos [x : y : z] se denominan coordenadas homogeneas del puntocorrespondiente en el plano proyectivo. Las coordenadas homogeneas no sonunicas, y esto nos obligara tener cuidado a la hora de hablar de curvas enP2(C). El espacio P2(C) se puede recubrir mediante tres abiertos

Ui = [x0 : x1 : x2] | xi 6= 0, i = 0, 1, 2.

Cada abierto Ui es homeomorfo al plano afın C2, mediante las aplicaciones

ϕ0 : U0 → C2

[x0 : x1 : x2] 7→ (x1x0, x2x0),

ϕ1 : U1 → C2

[x0 : x1 : x2] 7→ (x0x1, x2x1),

ϕ2 : U2 → C2

[x0 : x1 : x2] 7→ (x0x2, x1x2).

Las inversas son ϕ−10 (a, b) = [1 : a : b], ϕ−2

1 (a, b) = [a : 1 : b], ϕ−12 (a, b) = [a :

b : 1].Notemos que el plano proyectivo es un conjunto compacto: puede ser

recubierto por ϕ−10 (K) ∪ ϕ−1

1 (K) ∪ ϕ−12 (K), donde K = (a, b) ∈ C2 | |a|2 +

|b|2 ≤ 2, que es una union finita de compactos. (Para una prueba a travesde la esfera, vea [Kir92, p.39]).

El espacio proyectivo P2(C) es Hausdorff ([Kir92, p.40]).Un polinomio F es homogeneo si cada termino tiene el mismo grado. Sea

F (x, y, z) un polinomio homogeneo de grado d. No tiene sentido evaluar elpolinomio F en un punto del plano proyectivo P2(C): si [x0 : y0 : z0] ∈ P2(C),entonces F (x0, y0, z0) no esta bien definido. En particular,

F (λx0, λy0, λz0) = λdF (x0, y0, z0).

Sin embargo, lo anterior muestra que determinar si vale cero o no sı tienesentido. Por tanto, el lugar geometrico

X = [x : y : z] ∈ P2(C) | F (x, y, z) = 0



esta bien definido, y se denomina curva proyectiva plana asociada al polino-mio F . Es un cerrado de P2(C). La interseccion Xi = X ∩ Ui, i = 0, 1, 2, esuna curva afın en C2. Por ejemplo, X0 = (a, b) ∈ C2 | F (1, a, b) = 0 es lacurva afın descrita por el polinomio f(a, b) = F (1, a, b).

Vamos a probar que bajo condiciones de no singularidad sobre F , la curvaproyectiva plana X definida por F tiene estructura de superficie de Riemann.

Definicion 1.2.7. Un polinomio homogeneo F (x, y, z) es no singular si noexiste solucion del sistema

F =∂F

∂x=∂F

∂y=∂F

∂z= 0

en el plano proyectivo P2(C).

Esta condicion es equivalente a pedir soluciones no nulas del sistemaanterior en C3.

Cualquier polinomio homogeneo, en las variables xi, verifica la formulade Euler:

F =1

d

∑

i

xi∂F

∂xi,

donde d es el grado de F . La prueba se deja como ejercicio al lector.

Lema 1.2.8. Supongamos que F (x, y, z) es un polinomio homogeneo de gradod. Entonces F es no singular si y solamente si cada Xi es una curva planaafın lisa en C2.

Demostracion. Supongamos en primer lugar que alguna de las curvas Xi,digamos X0, es singular. Definimos f(u, v) = F (1, u, v), y X0 esta definidapor f = 0 en C2. Como X0 no es lisa, existe una solucion comun (u0, v0) delsistema de ecuaciones

f =∂f

∂u=∂f

∂v= 0.

Vamos a probar que [1 : u0 : v0] es un punto singular de F . En efecto,

F [1 : u0 : v0] = f(1, u0, v0) = 0,

∂F

∂y[1 : u0 : v0] =

∂f

∂u(u0, v0) = 0,

∂F

∂z[1 : u0 : v0] =

∂f

∂v(u0, v0) = 0,

∂F

∂x[1 : u0 : v0] = (dF − u0

∂F

∂y− v0

∂F

∂z)[1 : u0 : v0] = 0,

donde la ultima igualdad procede de la formula de Euler. El recıproco essimilar.



Ahora supongamos que F (x, y, z) es un polinomio homogeneo no singular,que define una curva proyectiva plana X .

Lema 1.2.9. Un polinomio homogeneo no singular es irreducible.

Demostracion. Partimos del resultado de que dos curvas proyectivas C1 y C2

en P2(C) se cortan en al menos un punto ([Kir92, Thm. 3.8]. Si F = F1F2

es reducible, consideramos Ci la curva proyectiva asociada a Fi, i = 1, 2. Sip ∈ C1 ∩ C2, es facil ver que se trata de un punto singular.

Cada uno de los abiertos Xi de X son curvas planas afines irreducibles, ypor tanto son superficies de Riemann. Recordemos que las cartas en Xi sonlas proyecciones, que en nuestro caso son faciles de describir. Por ejemplo,en X0 son las funciones y/x y z/x. En los otros abiertos son los cocientescorrespondientes.

Lo que vamos a probar es que la estructura compleja dada por separadoen cada Xi es compatible. Tomemos un punto p ∈ X , y supongamos quep ∈ X0 ∩ X1. Entonces, si p = [x : y : z] tenemos que x 6= 0, y 6= 0. Siφ0 = y/x es una carta en un entorno de p en X0, y φ1 = z/y es una carta enun entorno de p en X1, tenemos que probar que φ1 φ−1

0 es holomorfa. Comoφ−10 (w) = [1 : w : h(w)] para una funcion holomorfa h, entonces

φ1 φ−10 (w) = h(w)/w,

que es holomorfa, pues w 6= 0, dado que p ∈ X1.Un razonamiento similar se aplica para todas las combinaciones posibles

de cartas, por lo que se tiene la compatibilidad.

Proposicion 1.2.10. Sea F (x, y, z) un polinomio homogeneo no singular.Entonces la curva proyectiva plana X definida por F es una superficie deRiemann compacta y conexa. Ademas, en cada punto de X, las cartas soncocientes de las coordenadas homogeneas.

Demostracion. El caracter compacto se tiene por ser un cerrado dentro de uncompacto. La conexion se tiene por [Gri89, Theorem 2.11], pues es la unionde conexos que se cortan.

Vamos a estudiar lo que ocurre cuando la curva proyectiva X tiene puntossingulares.

Proposicion 1.2.11. Sea F (x, y) ∈ C[x, y] un polinomio irreducible. Enton-ces existe un conjunto finito de valores x ∈ C tales que las ecuaciones

F (x, y) = 0 =∂F

∂y(x, y)

tienen una solucion comun y ∈ C.



Demostracion. Sea F (x, y) = a0(x)yn + a1(x)y

n−1 + . . .+ an(x), con ai(x) ∈C[x]. Por el algoritmo de division, existen polinomios bi ∈ C[x], i ≥ 0, ypolinomios Aj , Qj ∈ C[x, y], j ≥ 1 tales que

b0F = A1∂F∂y

+Q1, degyQ1 < degy∂F∂y

= n− 1,

b1∂F∂y

= A2Q1 +Q2, degyQ2 < degyQ1,...

bk−2Qk−3 = Ak−1Qk−2 +Qk−1, degyQk−1 < degyQk−2,bk−1Qk−2 = AkQk−1 +Qk, degyQk < degyQk−1.

Podemos suponer que degyQk = 0, es decir, que Qk ∈ C[x], porque el procesode division acaba. Ademas se tiene que Qk(x) 6= 0. Si fuera identicamentecero, a partir de la ultima ecuacion, tendrıamos que un factor primo P deQk−1 con degy P > 0 dividirıa a bk−1Qk−2, y por tanto a Qk−2, porque bk−1 ∈C[x]. De la ecuacion

bk−2Qk−3 = Ak−1Qk−2 +Qk−1

seguirıa que P divide a bk−2Qk−3, de donde P divide a Qk−3. Mediante re-peticion de este argumento, P dividirıa a todos los Qj , j ≥ 1, y por tanto aF y a ∂F

∂y, que contradice la irreducibilidad de F . Por tanto, Qk ∈ C[x] es no

nulo.Si ahora a, b ∈ C verifican que

F (a, b) = 0 =∂F

∂y(a, b),

de las ecuaciones anteriores se sigue que Q1(a, b) = 0, de donde Q2(a, b) =0, . . . , Qk(a, b) = Qk(a) = 0. Como Qk es un polinomio no nulo, tenemos que

x ∈ C | existe y ∈ C con F (x, y) = 0 =∂F

∂y(x, y) ⊂ x ∈ C | Qk(x) = 0

es finito.

Corolario 1.2.12. Sea X una curva proyectiva irreducible. Entonces X tie-ne, a lo mas, un numero finito de puntos singulares.

Demostracion. De la proposicion anterior de deduce que la parte afın delconjunto de puntos singulares de X es un conjunto finito, posiblemente vacıo.Como la curva X y la recta del infinito en P2 se pueden cortar, a lo mas, enun numero finito de puntos, los puntos singulares que pudiera haber en dicharecta son un numero finito, y tenemos el resultado.



Teorema 1.2.13. Sea X una curva proyectiva irreducible. Entonces tantoX como X∗ = X−Sing(X), el conjunto de puntos lisos de X, son conjuntosconexos en P2(C).

Demostracion. El caracter conexo de X se tiene, como ya vimos, por [Gri89,Theorem 2.11], y si a un conjunto conexo le quitamos un numero finito depuntos, obtenemos un conexo.



1.3. Orientacion y genero

Cualquier aplicacion holomorfa que aplica un abierto U ⊂ C en un abiertoV ⊂ C de la forma w = f(z), con w = u+ iv, z = x+ iy, es al mismo tiempouna aplicacion lisa de un abierto U ⊂ R2 en el abierto V ⊂ R2 de la forma

u = u(x, y), v = v(x, y). (1.3.1)

Por tanto, toda superficie de Riemann es una 2-variedad real C∞, que abrevia-remos como 2-variedad. Hagamos algunas observaciones sobre la topologıa ensuperficies de Riemann. En variedades, conexion y conexion por caminos sonequivalentes. Por tanto, una superficie de Riemann es conexa por caminos.

La aplicacion definida por las ecuaciones (1.3.1) debe satisfacer las ecua-ciones de Cauchy-Riemann:

∂u∂x

= ∂v∂y,

∂u∂y

= −∂v∂x.

Los conceptos de orientacion y genero se aplican, en general, a variedadesX lisas reales de dimension n. Un atlas orientado A+ en X es un atlasconsistente con la estructura diferencial de X y que cumple lo siguiente:para cada carta φ : U → Rn del atlas, fijamos un sistema de coordenadasen Rn, que dota de orientacion a la carta. Entonces, para cartas adyacentes(U, φ), (V, ψ), esto es, con U ∩V 6= ∅, la aplicacion de cambio de carta ψφ−1

tiene un jacobiano positivo:

det

(∂yj∂xi

)> 0,

donde (x1, . . . , xn) son coordenadas en U , y y1, . . . , yn son coordenadas en V .Una variedad X dotada de un atlas A orientado se denomina variedad

orientada. Cualquier otro atlas A′ define la misma orientacion si el atlasA ∪ A′ es orientado. Si cambiamos el sistema de coordenadas (x1, . . . , xn)mediante una transformacion lineal de determinante positivo, obtenemos unacarta con la misma orientacion.

Una variedad X es orientable si existe un atlas orientado A+. Tomemosuna carta arbitraria (U, φ) de A+, y consideremos la carta (U, σ φ), dondeσ : Rn → Rn esta definida por

σ(x1, . . . , xn) = (−x1, . . . , xn).El conjunto de cartas (U, σ φ) es un atlas orientado, notado por A−. Laorientacion definida por A− se denomina opuesta a la orientacion definidapor A+.



Si X es una superficie de Riemann, con cartas (U, φ), vemos el planocomplejo como R2, y coordenadas (x, y) que representan al numero complejoz = x + iy. Si fijamos el orden de las coordenadas en el plano, fijamos unaorientacion en la carta φ. Consideremos cualquier carta adyacente (V, ψ), conw = ρ(z) la funcion holomorfa de cambio de carta. Si escribimos w = u+ iv,entonces

det

( ∂u∂x

∂u∂y

∂v∂x

∂v∂y

)=∂u

∂x

∂v

∂y− ∂u

∂y

∂v

∂x

=

(∂u

∂x

)2

+

(∂u

∂y

)2

> 0.

Por tanto, el atlas de la superficie de Riemann define un atlas orientado,y a esta orientacion de la superficie de Riemann la llamamos canonica. Dadauna superficie de Riemann compacta, es entonces una 2-variedad compac-ta y orientable, y podemos usar el teorema de clasificacion: una 2-variedadcompacta y orientable es homeomorfa a una esfera con asas o agujeros; elnumero g de asas o agujeros es lo que se denomina genero, y es un invariantetopologico basico. Si g = 0, no hay agujeros, y la superficie es una esfera.Cuando g = 1, la superficie es un toro simple, homeomorfa a S1 × S1. Parag ≥ 2, la superficie se obtiene pegando g asas a la 2-esfera.

La caracterıstica de Euler de una 2-variedad compacta y orientable degenero g es el numero χ = 2 − 2g. La volveremos a encontrar mas adelantecuando hablemos de triangulaciones.


Capıtulo 2

Morfismos

Una vez definida una estructura, el paso siguiente natural es establecerlas aplicaciones entre los objetos. Hay que pedir una compatibilidad entredicha aplicacion y las cartas que definen a la superficie de Riemann.

2.1. Conceptos iniciales

Definicion 2.1.1. Una aplicacion F : X → Y es un morfismo en p ∈ X siexisten cartas ϕ1 : U1 → V1 en X con p ∈ U1 y ϕ2 : U2 → V2 en Y conF (p) ∈ U2 tales que la composicion ϕ2 F ϕ−1

1 es holomorfa en ϕ1(p).Tambien decimos que F es holomorfa en p.

Si F esta definida en un abierto W ⊂ X , decimos que F es un morfismou holomorfa en W si lo es en cada punto de W .

Proposicion 2.1.2. Sea F : X → Y una aplicacion entre superficies deRiemann.

1. F es holomorfa en p si y solamente si para cada par de cartas φ1 :U1 → V1 en X con p ∈ U1 y φ2 : U2 → V2 en Y con F (p) ∈ U2, lacomposicion

φ2 F φ−11

es holomorfa en φ1(p).

2. F es holomorfa enW si y solamente si existen dos colecciones de cartasφ(i)

1 : U(i)1 → V

(i)1 en X con W ⊂ ⋃i U

(i)1 y φ(j)

2 : U(j)2 → V

(j)2 en Y

con F (W ) ⊂ ⋃j U(j)2 tales que

φ(j)2 F φ(i)−1

1

es holomorfa para todo i, j donde este definida.

21


3. Si F es holomorfa en p, entonces F es holomorfa en un entorno de p.

Demostracion. Sean (U1, ϕ1), (U2, ϕ2) cartas respectivas en p y F (p) tales que

ϕ2 F ϕ−11 es holomorfa en ϕ1(p), y sean (U

(1)1 , φ1), (U

(1)2 , φ2) otras cartas

en p y F (p), respectivamente. Entonces, en un entorno de φ1(p),

φ2 F φ−11 = (φ2 ϕ−1

2 ) (ϕ2 F ϕ−11 ) (ϕ1 φ−1

1 ),

es holomorfa, pues los cambios de cartas son holomorfos. La segunda partees corolario de la primera, y la tercera se deduce de las propiedades de lasfunciones holomorfas sobre conjuntos abiertos de C.

Definicion 2.1.3. Si W ⊂ X es un abierto, definimos

OX(W ) = O(W ) = f : W → C | f es morfismo .

Estas funciones se denominan funciones holomorfas en W .

El conjunto anterior tiene estructura de C-algebra (anillo y C-modulo).

Lema 2.1.4. 1. Si F es morfismo, entonces es continua.

2. La composicion de morfismos es un morfismo: si F : X → Y y G : Y →Z son morfismos de superficies de Riemann, entonces G F : X → Zes morfismo.

3. Si F : X → Y es un morfismo y g : W → C es una funcion holomorfaen un abierto W ⊂ Y , entonces g F es una funcion holomorfa enF−1(W ).

Consideremos un morfismo F : X → Y , y W ⊂ Y un abierto. EntoncesF induce un morfismo de C-algebras F ∗ : OY (W )→ OX(F−1(W )) medianteF ∗(g) = g F .

Proposicion 2.1.5. Si XF−→Y G−→Z son morfismos, entonces (G F )∗ =

F ∗ G∗.

Definicion 2.1.6. Un isomorfismo entre superficies de Riemann es un mor-fismo F : X → Y biyectivo, con inversa F−1 : Y → X morfismo. Si X = Ylo denominamos automorfismo.

Ejemplo 2.1.7. La recta proyectiva es isomorfa a S2 ([Mir95, Lema 3.7])Por ello, identificamos P1(C) con C∞ = C ∪ ∞.



2.2. Teoremas sobre morfismos

Proposicion 2.2.1 (Teorema de la aplicacion abierta.). Sea F : X → Yun morfismo no constante de superficies de Riemann. Entonces F es unaaplicacion abierta.

Demostracion. Se basa en A.1.2, y seguimos [Con78, p.238]. Sea U un abiertode X y q = F (p) ∈ F (U). Sea (V2, ψ) una carta local en q, y (V1, ϕ) cartalocal en p tal que F (V1) ⊂ V2 y ψF ϕ−1 holomorfa. Consideremos el abiertoW = U ∩ V1; entonces ϕ(W ) es un abierto del plano complejo, y como F esno constante, se sigue del teorema A.1.2 que ψ(F (W )) = (ψF ϕ−1)(ϕ(W ))es un abierto de C. Pero esto implica que F (W ) = ψ−1(ψ(F (W ))) es abierto,y q ∈ F (W ) ⊂ F (U). Por tanto, F (U) es abierto.

p

U

V1

ϕ

C

-

F (p)

F (U)

V2ψ

C

F

Figura 2.1: Funcion abierta

Proposicion 2.2.2. Sea F : X → Y un morfismo inyectivo entre superficiesde Riemann. Entonces F es un isomorfismo entre X y su imagen F (X).

Demostracion. Basta tener en cuenta que una aplicacion holomorfa y biyec-tiva tiene inversa holomorfa, por A.1.1.



Teorema 2.2.3 (Teorema de la identidad.). Sean F,G : X → Y morfismosde superficies de Riemann. Si F = G en un conjunto S ⊂ X con un puntode acumulacion en X, entonces F = G.

Demostracion. Se basa en A.1.3, y seguimos [Con78, p.237–238]. Definimosel conjunto

A = x ∈ X | F = G en un entorno de x.Claramente, A es un conjunto cerrado. Ademas, A es abierto: si p ∈ A,entonces existe un entorno U de p donde F y G coinciden, por lo que p ∈U ⊂ A. Vamos a probar que A es no vacıo, por lo que entonces A = X . Porhipotesis, existe un punto p ∈ X tal que para todo entorno U de p existeun x ∈ U distinto de p para el que F (x) = G(x). Por unicidad del lımite, sesigue que F (p) = G(p) = q. Si (V2, ψ) es una carta en Y con q ∈ V2, existeuna carta (V1, ϕ) en p tal que F (V1), G(V1) ⊂ V2, y ψ F ϕ−1, ψ G ϕ−1

funciones holomorfas en un disco D alrededor de z0 = ϕ(p). La hipotesis nosdice que z0 es un punto de acumulacion del conjunto

Σ = z ∈ D | ψ F ϕ−1(z) = ψ G ϕ−1(z).

Es mas, si F (x) = G(x) entonces ϕ(x) ∈ Σ. Por tanto, por el teorema A.1.3,

ψ F ϕ−1(z) = ψ G ϕ−1(z) para todo z ∈ D,

o bien, F (x) = G(x) para todo x ∈ V1 ∩ ϕ−1(D). De aquı, p ∈ A, y es novacıo.

Teorema 2.2.4. Sea X compacta y F : X → Y un morfismo no constante.Entonces Y es compacta y F es sobreyectiva.

Demostracion. Como F es un morfismo, F (X) es abierto en Y , por el teo-rema de la aplicacion abierta. Por otro lado, como X es compacto, F (X)es compacto. Dado que Y es Hausdorff, los compactos son cerrados, por loque F (X) es abierto y cerrado en Y , que es conexo. Entonces F (X) = Y , ytenemos el resultado.

Teorema 2.2.5 (Caracter discreto de las imagenes inversas.). Sea F : X →Y un morfismo no constante de superficies de Riemann. Entonces, para cadaq ∈ Y , el conjunto F−1(q) es un subconjunto discreto de X. En particular,si X es compacto, F−1(q) es finito para todo q ∈ Y .

Demostracion. Tomemos q ∈ Y , y supongamos que F−1(q) 6= ∅. Sea (V1, ψ1)carta local centrada en q, y (U1, φ1) carta centrada en p ∈ F−1(q). Entoncesla funcion g(z) = (φ1F ψ−1

1 )(z) es holomorfa, y g(0) = 0. Como el conjunto



de ceros de una funcion holomorfa no constante es discreto ([Apo96, teorema16.23]), en un entorno de p, dicho punto es la unica pre-imagen de q. Portanto, F−1(q) es discreto.

Si X es compacto, F es sobre, y todo punto tiene anti-imagen. Ademas,los conjuntos discretos en compactos son finitos.

Teorema 2.2.6 (Modulo maximo). Sea f una funcion holomorfa en unabierto conexo V de una superficie de Riemann X. Supongamos que exis-te p ∈ V tal que |f(x)| ≤ |f(p)| para todo x ∈ V . Entonces f es constanteen V .

Demostracion. Basta aplicar el teorema A.1.4 a la composicion de f con unacarta en p.

Corolario 2.2.7. Sea X una superficie de Riemann compacta. EntoncesOX(X) son las funciones constantes, es decir, OX(X) = C.

Demostracion. Sea F : X → C un morfismo de superficies de Riemann. Si Fes no constante, entonces F es abierta, por lo que F (X) es un abierto de C.Como F es continua y X compacto, entonces F (X) es compacto. Ası, F (X)serıa un abierto y compacto de C. Como C es conexo, tendrıa que ser todoC, que no es compacto.

Nota 2.2.8. Una consecuencia del teorema de la funcion abierta para funcio-nes analıticas sobre en un abierto de C aparece en [Con78, prop. 7.6, p.99]:si f : G → Ω es biyectiva y analıtica, entonces f−1 : Ω → G es analıtica.Esto implica que si F : X → Y es un morfismo biyectivo, entonces F−1 esmorfismo. Una justificacion mas acertada se tiene en [Lan99, Thm. 6.4, p.82], donde se prueba que si f ′(z0) = 0, la funcion f no es inyectiva en unentorno de z0.



2.3. Funciones meromorfas

Definicion 2.3.1. Sea X una superficie de Riemann, y F : X → P1(C) unaaplicacion. Decimos que F es meromorfa en p ∈ X si F es un morfismo enp. La funcion F es una funcion meromorfa en X si F es un morfismo en Xtal que F no es constantemente igual a ∞ = (0 : 1).

Esta definicion es equivalente a decir que F−1(∞) es un conjunto discreto.LlamaremosM(X) al conjunto de funciones meromorfas sobre X .

Nota 2.3.2. Podemos considerar C como un subconjunto deM(X). Si z0 ∈ Cdefinimos F : X → P1(C) como F (p) = (1 : z0).

Nota 2.3.3. Sea X abierto de C, conexo, y F : X → P1(C) un morfismode superficies de Riemann, no constante e igual a (0 : 1). Si F−1(∞) = ∅entonces F (X) ⊂ C y vemos que F es una funcion holomorfa.

Definicion 2.3.4. Sea f : X → C holomorfa en un entorno agujereado de p,es decir, un conjunto de la forma U − p, donde U es un entorno de p.

1. Decimos que f tiene una singularidad evitable en p si y solamente siexiste una carta φ : U → V con p ∈ U tal que f φ−1 tiene unasingularidad evitable en φ(p).

2. Decimos que f tiene un polo en p si y solamente si existe una cartaφ : U → V con p ∈ U tal que f φ−1 tiene un polo en φ(p).

3. Decimos que f tiene una singularidad esencial en p si y solamentesi existe una carta φ : U → V con p ∈ U tal que f φ−1 tiene unasingularidad esencial en φ(p).

Lema 2.3.5. Con la notacion anterior, f tiene una singularidad evitable(respectivamente polo, singularidad esencial) si y solamente si para cada cartaφ : U → V , con p ∈ U , la composicion f φ−1 tiene una singularidad evitable(respectivamente polo, singularidad esencial).

Lema 2.3.6. 1. Si |f(x)| esta acotada en un entorno de p, entonces ftiene una singularidad evitable. Ademas, en tal caso existe lımx→p f(x),y si definimos este lımite como f(p), entonces f es holomorfa en p.

2. Si |f(x)| tiende a ∞ cuando x se aproxima a p, entonces f tiene unpolo en p.

3. Si |f(x)| no tiene lımite cuando x se aproxima a p, entonces f tieneuna singularidad esencial.



Demostracion. Son corolarios de los resultados correspondientes para funcio-nes complejas. Por ejemplo, la primera parte es un corolario del teorema deMorera ([Car68, p.82], [Con78, p.103]).

Proposicion 2.3.7. Si f tiene singularidades evitables o polos, entonces laaplicacion F : X → P1(C) definida como

F (p) =

[1 : f(p)] si p no es polo,[0 : 1] si p es polo.

es una funcion meromorfa, donde f(p) = lımx→p f(x).

Demostracion. En las singularidades evitables, existe lımx→p f(x), y tienesentido la definicion. Sea p ∈ X , y φ carta centrada en p. Recordemos queen P1(C) tenemos los abiertos

U0 = [1 : w0] | w0 ∈ C, U1 = [z0 : 1] | z0 ∈ C.

Si p no es polo, F (p) ∈ U0 y

ϕ0 F φ−1(z) = ϕ0[1 : f(φ−1(z))] = f(φ−1(z)),

que es holomorfa.Si p es un polo, entonces F (p) = [0 : 1], y tomamos la carta ϕ1. Por un

lado, (ϕ1 F )(p) = 0, y por otro

ϕ1 F φ−1(z) = ϕ1[1 : f(φ−1(z))] =1

f(φ−1(z)),

que tiende a cero cuando z → 0.

Proposicion 2.3.8. Sea F : X → P1(C) funcion meromorfa, y ∆ la imageninversa del punto (0 : 1). Entonces la funcion f : X −∆→ C definida comof = ϕ0 F es holomorfa, y tiene polos en ∆.

Esto establece una correspondencia biyectiva entre las funciones mero-morfas y las funciones con polos. Una funcion meromorfa no puede ser escri-ta globalmente como un cociente de funciones holomorfas, sino solamente deforma local.

Vamos a dotar aM(X) de una estructura algebraica. Sean f, g ∈M(X),y consideremos D = f−1(∞)∪ g−1(∞). Es un conjunto discreto y cerrado, yX −D es abierto. Las aplicaciones

f|X−D : X −D → C, g|X−D : X −D → C



son holomorfas. Tenemos entonces que f|X−D, g|X−D ∈ O(X−D), que es unaC-algebra. Podemos construir f|X−D + g|X−D : X −D → C. El problema esextender esta aplicacion a todo X . Sea p ∈ D y V un entorno abierto de ptal que V ∩D = p. Consideremos ϕ : V → Ω carta en V centrada en p. Setrata de estudiar el valor del lımite lımz→p(f + g) ϕ−1(z). Aunque sea unpolo de las dos funciones, la suma sera, a lo mas, un polo de f + g, nuncasingularidad esencial. Entonces podemos prolongar a una funcion meromorfaf + g : X → P1(C). El producto admite un tratamiento analogo, y tenemosentonces la siguiente proposicion.

Proposicion 2.3.9. Si X es una superficie de Riemann, entoncesM(X) esuna C-algebra.

Podemos decir algo mas.

Proposicion 2.3.10. M(X) es un cuerpo.

Demostracion. Se basa en el caracter conexo de X . Sea f : X → P1(C) unaaplicacion meromorfa, y D1 = f−1(∞), que es un conjunto discreto. Supon-gamos que f no es constante e igual a cero. Entonces D2 = f−1(0) tambienes discreto y la union D = D1 ∪D2 tambien lo es. Consideremos

X −D f|X−D−→ C∗ 1/z→ C∗.

Entonces 1/f|X−D es holomorfa. Si p ∈ f−1(∞) se extiende con valor 0. Sip ∈ f−1(0), se extiende con valor ∞.

Si F : X → Y es un morfismo de superficies de Riemann, y W ⊂ Y es unabierto, se induce un morfismo de C-algebras F ∗ :M(W ) → M(F−1(W )),como F ∗(g) = g F .Nota 2.3.11. Tratamiento de superficies no conexas. En [DD79, 6.3.1], seestablece el concepto de morfismo que no sean constantes e iguales a∞ sobreninguna componente conexa de X . Esto permite hablar del algebra M(X)incluso para superficies no conexas. En [DD79, 6.2.10] hay un diccionario,donde aparece la igualdad

M(X1

⊔X2) =M(X1)×M(X2).

Si F : X → B es un recubrimiento ramificado, entoncesM(X) es una exten-sion de M(B) si y solamente si X es conexo. En general, las componentesconexas de X se corresponden biyectivamente con los ideales maximales deM(X). en general, en dicho texto se tratan morfismos que no sean constan-tes sobre ninguna componente conexa de X , como en la proposicion [DD79,prop. 6.1.5].



2.4. Desarrollos de Laurent

Sea f : X → C una funcion holomorfa en un entorno agujereado de p ∈ X .Sea φ : U → V una carta de X con p ∈ U , y z0 = φ(p). Entonces es posiblecalcular el desarrollo de Laurent de f φ−1 en un entorno de z0:

f(φ−1(z)) =∑

n

cn(z − z0)n.

Por supuesto, esta serie depende de la eleccion de la carta φ. La llamaremosserie de Laurent de f en un entorno de p asociada a φ. No obstante, se puedeusar este desarrollo para averiguar el tipo de singularidad de f en p.

Lema 2.4.1. Con la notacion anterior,

f tiene una singularidad evitable en p si y solamente si su serie deLaurent no tiene terminos negativos.

La funcion f tiene un polo en p si y solamente si su serie de Laurenttiene un numero finito no nulo de terminos negativos.

La funcion f tiene una singularidad esencial en p si y solamente si suserie de Laurent tiene un numero infinito de terminos negativos.

Demostracion. Basta recordar que el tipo de singularidad no depende dela carta elegida, y de los teoremas correspondientes para variable compleja([Con78, p. 109]).

Definicion 2.4.2. Sea f una funcion meromorfa en p, con∑

n cn(z − z0)nserie de Laurent en un entorno de p. El orden de f en p, notado por ordp(f),es

ordp(f) = mınn | cn 6= 0.

Hay que probar que la definicion no depende de la carta elegida. Seaψ : U ′ → V ′ otra carta con p ∈ U ′, con ψ(p) = w0. Consideremos el cambiode carta z = T (w) = φ(ψ−1(w)). Como T es invertible en w0, sabemos queT ′(w0) 6= 0. Si escribimos la serie de potencias para T , nos queda

z = T (w) = z0 +∑

n≥1

an(w − w0)n,

donde a1 6= 0.



Supongamos que cn0(z − z0)n0+ (terminos de orden superior) es la seriede Laurent en p asociada a φ, con cn0 6= 0. Entonces el orden de f en estaserie es n0. Tenemos que ver la serie de f ψ−1.

f(ψ−1(w)) = (f φ−1)(φ ψ−1)(w)

= cn0(a1(w − w0) + . . .)n0 + . . .

= cn0an01 (w − w0)

n0 + . . . ,

y como cn0an01 6= 0, vemos que el orden de f con la nueva carta es tambien

n0.

Lema 2.4.3. Supongamos que f es meromorfa en p. Entonces

f es holomorfa en p si y solamente si ordp(f) ≥ 0. En este caso f(p) =0 si y solamente si ordp(f) > 0.

f tiene un polo en p si y solamente si ordp(f) < 0.

f no tiene ni un cero ni un polo en p si y solamente si ordp(f) = 0.

Decimos que f tiene un cero de orden n en p si ordp(f) = n ≥ 1. Analo-gamente, f tiene un polo de orden n si ordp(f) = −n < 0.

Lema 2.4.4. Sean f y g funciones meromorfas en un punto p ∈ X. Entonces

1. ordp(fg) = ordp(f) + ordp(g).

2. ordp(f/g) = ordp(f)− ordp(g).

3. ordp(1/f) = − ordp(f).

4. ord(f ± g) ≥ mınordp(f), ordp(g).



2.5. Funciones meromorfas en P1(C)

Lema 2.5.1. Si p(z, w) y q(z, w) son polinomios homogeneos del mismogrado no nulos, primos entre sı, entonces r(z, w) = [p(z, w) : q(z, w)] defineun morfismo en P1(C).

Demostracion. Como los polinomios p(z, w) y q(z, w) son homogeneos delmismo grado, la funcion r(z, w) esta bien definida. Como son primos entresı, no se pueden anular simultaneamente. Analizamos los distintos casos quese pueden presentar. Sea (z0 : w0) ∈ U0, con lo que la carta en el espacioorigen es ϕ0. Si p(z0, w0) 6= 0, entonces r(z0, w0) ∈ U0, y podemos usar comocarta en el espacio destino a ϕ0. Ası,

ϕ0 r ϕ−10 (s) =

q(1, s)

p(1, s),

que es una funcion holomorfa en un entorno de ϕ0(z0, w0) = w0/z0, puesp(1, s) 6= 0 en un entorno del punto.

Si p(z0, w0) = 0, entonces r(z0, w0) = (0 : 1), y la carta en el espaciodestino es ϕ1. Ahora queda

ϕ1 r ϕ−10 (s) =

p(1, s)

q(1, s),

y q(1, s) 6= 0 en un entorno de w0/z0. El caso (z0 : w0) = (0 : 1) se trataanalogamente, y siempre queda una funcion racional donde el denominadorno se anula.

Si en el enunciado anterior alguno de los polinomios es nulo, tendrıamosla funcion constante igual a cero o la constante igual a ∞. Esta ultima laevitamos en las funciones meromorfas.

Nota 2.5.2. Una funcion racional de la forma p(s)/q(s) se puede ver como

un morfismo f : C∞ → C∞, con la asignacion f(∞) = lıms→∞p(s)q(s)

. Para

expresarlo en P1(C), basta considerar f(x1/x0), y separar en [Q(x0, x1) :P (x0, x1)] homogeneos del mismo grado, o como un cociente

P (x0, x1)

Q(x0, x1)

de polinomios homogeneos del mismo grado.

Todo polinomio homogeneo en z, w factoriza en factores lineales. Enton-ces, un cociente de polinomios homogeneos del mismo grado se puede expresaren la forma

r(z, w) =∏

i

(biz − aiw)ei,



donde suponemos que los factores son primos entre sı. Es facil ver que, conesta notacion, ord(ai:bi)(r) = ei cuando consideramos r como funcion mero-morfa en P1. A partir de aquı, tenemos el recıproco del resultado anterior.

Proposicion 2.5.3. Toda funcion meromorfa en P1 es un cociente de poli-nomios homogeneos del mismo grado y primos entre sı.

Demostracion. Sea f una funcion meromorfa en P1, no identicamente nula.Como P1 es compacto, f tiene un numero finito de ceros y polos, que losescribimos como (ai : bi), y notemos por ei = ord(ai:bi)(f). Consideremosla funcion racional

r(z, w) = wn∏

i

(biz − aiw)ei,

donde n se escoge para que r sea un cociente de polinomios homogeneos delmismo grado, esto es, n = −∑i ei. El cociente g = f/r no tiene ceros nipolos, excepto posiblemente en el punto (1 : 0), donde w = 0. Queremosprobar que g es constante.

Si g tiene un polo en (1 : 0), entonces g no tiene ceros. Dicho de otraforma, 1/g no tiene polos y tiene un cero en el punto (1 : 0). Como P1

es compacto, la funcion 1/g es constante e igual a cero, lo que nos da unacontradiccion, pues 1/g = r/f no es identicamente nula.

Entonces g no tiene polos, y eso significa que es holomorfa en todo P1.Sabemos que, en tal caso, g es constante, pues P1 es compacto.

Mediante el isomorfismo P1 ≃ S2, llegamos a que toda funcion mero-morfa sobre la esfera de Riemann es una funcion racional p(z)/q(z). Esto loexpresamos diciendo que

M(P1) ≃M(S2) ≃ C(z),

el cuerpo de funciones racionales con coeficientes complejos.

2.6. Funciones meromorfas sobre una curva

proyectiva

Miranda, p. 35-36, y calculo de una funcion meromorfa concreta en Kir-wan, p. 168 (dentro de la prueba de la prop. 3.31).



2.7. Funciones meromorfas sobre un toro com-

plejo

2.7.1. Resultados previos

Recordemos algunas definiciones y resultados de Analisis Complejo. Seaf : W → C∞ una funcion meromorfa, con W un subconjunto abierto de C.Si f tiene un polo en a, la serie de Laurent de f en un entorno de a es de laforma

f(z) =∑

n≥−mcn(z − a)n =

g(z)

(z − a)m ,

con m > 0, y g(z) es una funcion holomorfa en un entorno abierto de a, yg(a) = c−m 6= 0. El numero m se denomina orden o multiplicidad del polo.El coeficiente c−1 es el residuo de f(z) en a, y lo notaremos por Resa(f(z)).

Nota 2.7.1. En esta situacion, la funcion

f ′(z)

f(z)

tiene un polo simple (orden 1) en a, con residuo igual a −m. Analogamente,si f tiene un cero de orden m en a, esto es, en un entorno de a podemosescribir

f(z) = (z − a)mg(z),con g(z) una funcion holomorfa en un entorno abierto de a, y g(a) 6= 0,entonces

f ′(z)

f(z)

tiene un polo simple en a con residuo m.

Los residuos de las funciones meromorfas en los polos estan muy rela-cionados con las integrales de funciones a lo largo de caminos en el planocomplejo C. Recordemos que un camino diferenciable a trozos en un abiertoW de C es una aplicacion continua γ : [c, d] → W , que es el ensamblado deun numero finito de caminos diferenciables γ1, . . . , γt en W . Esto quiere decirque existen numeros reales

c = c0 < c1 < . . . < ct = d

y aplicaciones γi : [ci−1, ci]→ W para 1 ≤ i ≤ t tales que

γ(t) = γi(t) si t ∈ [ci−1, ci],



y las partes real e imaginaria de de la restriccion de γi al abierto (ci−1, ci)tienen derivadas continuas que se extienden continuamente al intervalo ce-rrado [ci−1, ci]. El camino γ es cerrado si γ(c) = γ(d) y simple si γ(t) 6= γ(s)a menos que s = t o bien s, t = c, d.

Si f : W → C es una funcion continua, entonces la integral de f a lo largode un camino diferenciable a trozos γ : [c, d]→W es, por definicion,

∫

γ

f(z)dz =

∫ d

c

f(γ(t))γ′(t)dt,

donde γ′(t) se interpreta como γ′i(t) para t ∈ (ci−1, ci).Un contorno en C es un camino simple y cerrado, que es el ensamblado de

caminos γ1, . . . , γt, cada uno de los cuales es un segmento recto o un arco decircunferencia en C. Por el teorema de la curva de Jordan, el complementoen C de la imagen γ∗ de un contorno γ tiene dos componentes conexas, unaacotada (interior I(γ) de γ), y otra no acotada (exterior de γ).

El teorema fundamental sobre integrales de funciones holomorfas sobrecaminos en C es

Teorema 2.7.2. Teorema de Cauchy Sea γ un contorno en C y f unafuncion holomorfa en un abierto de C que contenga a I(γ) ∪ γ∗. Entonces

∫

γ

f(z)dz = 0.

Una consecuencia es el teorema de los residuos:

Teorema 2.7.3. Sea γ un contorno en C y f una funcion meromorfa en unabierto de C que contenga a I(γ)∪ γ∗, sin polos sobre γ y polos a1, . . . , at enel interior de γ. Entonces

∫

γ

f(z)dz = ±2πit∑

j=1

Resaj (f(z)).

El signo en la igualdad anterior depende del sentido de recorrido de γ.Existe una especie de recıproco del teorema de Cauchy:

Teorema 2.7.4. Teorema de Morera Si f : W → C es una funcioncontinua en un abierto W de C y

∫

γ

f(z)dz = 0

para todos los caminos cerrados diferenciables a trozos en subconjuntos con-vexos de W , entonces f es holomorfa en W .



Mediante este teorema se puede probar el siguiente resultado, que es muyutil para construir funciones holomorfas y meromorfas.

Teorema 2.7.5. Sea fn : W → C una sucesion de funciones holomorfasen un abierto W de C que converge uniformemente a una funcion f : W →C. Entonces f es holomorfa en W , y la sucesion de derivadas f ′

n convergeuniformemente a f ′ en W .

Y una aplicacion directa de este teorema es:

Teorema 2.7.6. Criterio M de Weierstrass. Sea fn : W → Cn≥1

una sucesion de funciones holomorfas definidas en un conjunto abierto W deC. Supongamos que existen numeros reales Mn, n ≥ 1 tales que la serie

∑

n≥1

Mn

converge, y|fn(z)| ≤Mn para todo z ∈ W.

Entonces la serie ∑

n≥1

fn(z)

converge uniformemente en W a una funcion holomorfa f(z) tal que

f ′(z) =∑

n≥1

f ′n(z).

Nota 2.7.7. El resultado correspondiente se sigue verificando para una suce-sion doble

fn,m : W → Cn,m≥1

de funciones holomorfas en W .

2.7.2. Funciones doblemente periodicas

Definicion 2.7.8. Una funcion f de variable compleja se llama periodicacon periodo ω 6= 0 si

f(z + ω) = f(z)

para todo z tal que z y z + ω esten en el dominio de f .

Si ω es un periodo entonces nω tambien es un periodo para todo enteron. Si ω1 y ω2 son periodos, entonces mω1 + nω2 tambien es un periodo paracualesquiera enteros m y n.



Definicion 2.7.9. Una funcion f se llama doblemente periodica si tiene dosperiodos ω1 y ω2 cuya razon ω2/ω1 no es real.

Exigimos que la razon no sea real para evitar casos degenerados. Porejemplo si ω1 y ω2 son periodos cuya razon es un numero racional es facilprobar que cada ω1 y ω2 son multiplos enteros de un mismo periodo. Siω2/ω1 = a/b, donde a y b son primos entre si, entonces existen enteros m yn tales que mb+ na = 1. Sea ω = mω1 + nω2. Entonces ω es un periodo y setiene

ω = ω1

(m+ n

ω2

ω1

)= ω1

(m+ n

a

b

)=ω1

b(mb+ na) =

ω1

b,

ası ω1 = bω y ω2 = aω. Por tanto ω1 y ω2 son multiplos enteros de ω.Si la razon ω2/ω1 es un numero irracional, la situacion es un poco mas

complicada. Vamos a comprobar que, en este caso, la funcion f posee periodosde modulo tan pequeno com queramos. Para ello, necesitamos el teorema deaproximacion de Dirichlet.

Teorema 2.7.10. Sea θ un numero real y N un numero natural. Entoncesexisten enteros k y h tales que 0 < k ≤ N y

|kθ − h| < 1

N.

Demostracion. Llamamos [x] a la parte entera de un numero real x, y x =x− [x] a su parte fraccionaria. Entonces 0 ≤ x < 1 para cualquier numeroreal x.

Consideremos los N + 1 numeros

θ , 2θ , . . . , (N + 1)θ

del intervalo [0, 1]. Dividimos este intervalo en N partes iguales de la forma[k−1N, kN], para k = 1, 2, . . . , N . Entonces debe haber dos numeros de la forma

mθ en una misma division. Esto es, hay dos enteros N+ <≥ a > b ≥ 1tales que

|aθ − bθ| < 1

N,

o bien

|(a− b)θ − ([aθ]− [bθ])| < 1

N.

Si escribimos k = a − b, que es estrictamente positivo, y menor o igual queN , y h = [aθ]− [bθ], obtenemos el resultado



Con este resultado es facil ver ahora que f tendra periodos tan pequenoscomo se desee. Sea θ = ω1

ω2, y fijamos ε > 0. Sea N un numero natural tal

que 1N< ε

|ω1| . Por el teorema anterior, existen enteros k y h tales que

|kθ − h| =∣∣∣∣kω1

ω2− h∣∣∣∣ <

1

N<

ε

|ω1|,

de donde |kω2 − hω1| < ε. El numero kω2 − hω1 es un periodo de modulomenor que el valor ε fijado inicialmente.

Una funcion con periodos arbitrariamente pequenos es constante en cual-quier abierto conexo donde la funcion f es analıtica. Si f es analıtica en unabierto conexo G y z0 ∈ G, entonces

f ′(z0) = lımω→0

f(z0 + ω)− f(z0)ω

.

Podemos tomar una sucesion de periodos ωn que sea convergente a 0. Enton-ces

f ′(z0) = lımn→∞

f(z0 + ωn)− f(z0)ωn

se anula, pues f(z0 + ωn) = f(z0). Luego f′ se anula en G, y f es constante

en G.

2.7.3. Periodo fundamental

Una funcion doblemente periodica f tiene al menos dos periodos ω1 y ω2

cuyo cociente no es un numero real. Todas las combinaciones de la formamω1+nω2, m, n ∈ Z siguen siendo periodos, Estamos interesados en obtenerun par de periodos distinguidos de f en el sentido de que todos los demasperiodos de f se expresen como combinacion lineal entera de dichos periodos.Esto motiva la siguiente definicion.

Definicion 2.7.11. Sea f con periodos ω1 y ω2 cuya razon ω2/ω1 no es real.El par (ω1, ω2) se llama fundamental si todo periodo de f es de la formamω1 + nω2, donde m y n son enteros.

Cada par de periodos fundamentales ω1, ω2 determina una red de parale-logramos. Estos paralelogramos se llaman paralelogramos periodicos. Al con-junto de todas las combinaciones mω1+nω2 con m y n enteros lo denotamospor Ω(ω1, ω2), o simplemente por Ω. Cuando el par (ω1, ω2) es fundamental,cualquier periodo de f lo encontraremos en los nodos de la red. Normalmenteconsideraremos unicamente como puntos del paralelogramo los del interior y



los de los lados que se cortan en el vertice inferior izquierdo. De manera for-mal, si ω = mω1+nω2 es un nodo de la red, el paralelogramo que determinaes

Pω = λω1 + µω2 | 0 ≤ λ, µ < 1.

El siguiente teorema nos da un criterio para reconocer un par fundamen-tal.

Teorema 2.7.12. Si (ω1, ω2) es un par fundamental de f , entonces el triangu-lo con vertices 0 , ω1 , ω2 no contiene periodos en su interior ni en su frontera.Recıprocamente, cualquier par de periodos con esta propiedad es fundamental.

Demostracion. Supongamos en primer lugar que el par (ω1, ω2) es fundamen-tal. Consideremos el paralelogramo P0, con vertices 0, ω1, ω2 y ω1 + ω2. Losunicos periodos de f en este paralelogramo son los vertices, pues ningun otropunto de P0 se expresa como combinacion lineal entera de ω1 y ω2. Por tanto,el triangulo de vertices 0, ω1 y ω2 no tiene periodos en su interior.

Recıprocamente, supongamos que el triangulo de vertices 0, ω1 y ω2 nocontiene periodos en su interior. Sea ω otro periodo de f . Como ω1 y ω2

son R-linealmente independientes, forman una base de C como R-espaciovectorial, y existen entonces escalares t1, t2 ∈ R tales que ω = t1ω1 + t2ω2. Siconsideramos la funcion [·] parte entera, escribimos t1 = [t1]+r1, t2 = [t2]+r2,donde 0 ≤ r1, r2 ≤ 1. Entonces

ω − [t1]ω1 − [t2]ω2 = r1ω1 + r2ω2.

Si algun ri es no nulo, entonces r1ω1 + r2ω2 es un periodo de f , que ademasse encuentra en el paralelogramo de vertices 0, ω1, ω2 y ω1 + ω2. Entonces ωo su simetrico ω1+ω2−ω respecto al centro del paralelogramo, que tambienes un periodo, se halla en el triangulo de vertices 0, ω1 y ω2. Esto implica queambos valores ri, i = 1, 2 son nulos, y obtenemos ω como combinacion linealentera de ω1 y ω2.

Los periodos fundamentales de una funcion doblemente periodica no sonunicos, pues otro par puede generar el mismo retıculo.

Definicion 2.7.13. Dos pares de numeros complejos (ω1, ω2) y (ω′1, ω

′2), con

razon no real, se dicen equivalentes si generan los mismo periodos, es decir,Ω(ω1, ω2) = Ω(ω′

1, ω′2).

La pregunta natural es si podemos caracterizar pares equivalentes.



Teorema 2.7.14. Dos pares (ω1, ω2) y (ω′1, ω

′2) son equivalentes si y sola-

mente si existe una matriz de enteros 2× 2,(a bc d

)con determinante ad− bc = ±1,

tal que (ω′1

ω′2

)=

(a bc d

)=

(ω1

ω2

).

Dicho de otra forma,

ω′1 = aω1 + bω2,

ω′2 = cω1 + dω2.

Demostracion. Si existe tal matriz, es claro que los retıculos son los mismos,dado que la matriz es invertible. Recıprocamente, supongamos que ambos pa-res generan el mismo retıculo: Entonces ω′

1, ω′2 se expresan como combinacion

lineal entera de ω1 y ω2, y al reves:

ω′1 = α1ω1 + β1ω2,ω′2 = α2ω1 + β2ω2,

,ω1 = γ1ω

′1 + δ1ω

′2,

ω2 = γ2ω′1 + δ2ω

′2,, αi, βi, γi, δi ∈ Z, i = 1, 2.

Unimos ambas expresiones, y en forma matricial nos queda(ω′1

ω′2

)=

(α1 β1α2 β2

)(γ1 δ1γ2 δ2

)(ω′1

ω′2

).

El vector complejo

(ω′1

ω′2

)se traduce como una matriz 2×2 real no singular,

por lo que (α1 β1α2 β2

)(γ1 δ1γ2 δ2

)= I2,

y estas matrices enteras son no singulares, de donde su determinante es ±1.

Definicion 2.7.15. Una funcion f se dice elıptica si tiene las siguientes dospropiedades:

1. f es doblemente periodica.

2. f es meromorfa.

Las funciones constantes son ejemplos triviales de funciones elıpticas. Enel desarrollo de este capitulo intentaremos buscar funciones elıpticas no tri-viales.



Teorema 2.7.16. Una funcion elıptica no constante tiene un periodo fun-damental.

Si f y g son funciones elıptica con periodos ω1 y ω2 entonces su suma,diferencia, producto y conciente son tambien funciones elıpticas con el mismoperiodo. Tambien f ′ es elıptica con los mismos periodos.

Como consecuencia de esto, para estudiar propiedades de funciones elıpti-cas a veces es suficiente estudiar lo que ocurre en un paralelogramo periodico.

Teorema 2.7.17. Si una funcion elıptica f no tiene polos en un paralelo-gramo periodico, entonces es constante.

Demostracion. Si f no tiene polos en un paralelogramo periodico, entoncesf es continua y ası esta acotada en la clausura del paralelogramo. Por laperiodicidad, f esta acotada en todo el plano complejo. Por tanto, por elteorema de Liouville, f es constante.

Teorema 2.7.18. Si una funcion elıptica f no tiene ceros en un paralelo-gramo periodico, entonces es constante.

Demostracion. Si f no tiene ceros en un paralelogramo periodico entonces1/f no tiene polos en ese paralelogramo. Aplicando el teorema anterior setiene que 1/f es constante y ası f es constante.

A veces no conviene tener ceros o polos en la frontera de un paralelogra-mo periodico. Puesto que una funcion menomorfa tiene solamente un numerofinito de ceros o polos en una porcion limitada del plano, un paralelogramoperiodico puede siempre trasladarse de manera congruente a un paralelogra-mo que no tenga ceros ni polos en la frontera. A este tipo de paralelogramosse les da el nombre de celda y sus vertices no tienen por que ser periodos.

Teorema 2.7.19. La integral cerrada de una funcion elıptica a lo largo deuna curva que limita una celda es cero.

Teorema 2.7.20. La suma de los residuos de una funcion elıptica en suspolos en cualquier paralelogramo periodico es cero.

Este teorema prueba que cualquier funcion elıptica no constante tiene almenos dos polos simples o al menos dos polos dobles en cada paralelogramoperiodico.

Teorema 2.7.21. El numero de ceros de una funcion elıptica en cualquierparalelogramo periodico es igual al numero de polos, contando multiplicida-des.



El numero de ceros (o polos) de una funcion elıptica en cualquier para-lelogramo periodico se llama orden de la funcion. Toda funcion elıptica noconstante tiene orden mayor o igual que 2.

El siguiente lema sera necesario posteriormente para justificar la existen-cia de unos coeficientes.

Lema 2.7.22. Si α es un numero real, la serie

∑

ω ∈ Ωω 6= 0

1

ωα

converge absolutamente si y solamente si α > 2.

Demostracion. Consideramos el paralelogramo de la figura C.2.2, y sean r yR la mınima y maxima distancia de 0 al borde del paralelogramo. Si ω escualquiera de los 8 periodos no nulos que aparecen en el dibujo entonces

r ≤ |ω| ≤ R (para los 8 periodos w).

0

ω

ω

− ω

− ω

ω + ω

ω − ω

ω − ω

− ω − ω

1

2

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

rR

En los proximos periodos concentricos a estos 8 (hay 2 · 8 = 16) se tiene

2r ≤ |ω| ≤ 2R (para los 16 nuevos periodos ω).

En los siguientes 24 periodos se tiene

3r ≤ |ω| ≤ 3R (para los 24 nuevos periodos ω),

y ası sucesivamente. Entonces tenemos las siguientes desigualdades

1

Rα≤ 1

|ω|α ≤1

rαpara los 8 primeros periodos ω,

1

2Rα≤ 1

|ω|α ≤1

2rαpara los 16 siguientes periodos ω,



y ası sucesivamente. Por tanto si llamamos S(n) =∑ |ω|−α, tenemos la

siguiente desigualdad

8

Rα+

2 · 8(2R)α

+ · · ·+ n · 8(nR)α

≤ S(n) ≤ 8

rα+

2 · 8(2r)α

+ · · ·+ n · 8(nr)α

,

o tambien8

Rα

n∑

k=1

1

kα−1≤ S(n) ≤ 8

rα

n∑

k=1

1

kα−1.

Esto prueba, usando el criterio de comparacion, que la serie converge si ysolo si α > 2.

2.7.4. Funcion ℘ de Weierstrass

Sean ω1 y ω2 numeros complejos no nulos, linealmente independientessobre R, es decir, que ω2/ω1 6∈ R. Consideremos el retıculo Λ = Zω1 + Zω2.

Lema 2.7.23. Existe un δ > 0 tal que

|xω1 + yω2| ≥ δ√x2 + y2

para cualquier par (x, y) ∈ R2.

Demostracion. La funcion f : [0, 2π]→ R definida como

f(θ) = |ω1 cos(θ) + ω2 sin(θ)|

es continua. Como el intervalo [0, 2π] es compacto, f esta acotada inferior-mente, y alcanza la cota. Ademas, f(θ) > 0 para todo θ ∈ [0, 2π], pues ω1 yω2 son linealmente independientes sobre R. Entonces existe δ > 0 tal que

f(θ) > δ para todo θ ∈ [0, 2π].

De aquı se obtiene|xω1 + yω2| ≥ δ

√x2 + y2

para todo par (x, y) ∈ R2.

Teorema 2.7.24. Existe una funcion meromorfa ℘(z) en C definida como

℘(z) =1

z2+

∑

ω∈Λ−0

(1

(z − ω)2 −1

ω2

),

y cuya derivada es

℘′(z) = −2∑

ω∈Λ

1

(z − ω)3 .



Demostracion. Observemos que la suma de una funcion holomorfa y unafuncion meromorfa en un abierto de C es una funcion meromorfa. Enton-ces, por el criterio M de Weierstrass, para probar que ℘(z) es una funcionmeromorfa bien definida en C, y que su derivada se pude obtener derivandotermino a termino de la serie, basta probar que para cualquier R > 0 existeun subconjunto finito ΛR de Λ tal que la serie

∑

ω∈Λ−ΛR

(1

(z − ω)2 −1

ω2

)

converge absoluta y uniformemente en el disco

z ∈ C | |z| ≤ R.Sea

ΛR = ω ∈ Λ | |ω| ≤ 2R.Entonces

ΛR ⊂ nω1 +mω2 | n,m ∈ Z, n2 +m2 ≤ 4R2δ−2,donde δ es el valor del lema anterior. Por tanto, ΛR es finito. Ademas, si

ω = nω1 +mω2 ∈ Λ− ΛR y |z| ≤ R,

entonces |z| ≤ 12|ω|, y de aquı

∣∣∣∣1

(z − ω)2 −1

ω2

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ω2 − (z − ω)2ω2(z − ω)2

∣∣∣∣

= | z(2ω − z)(z − ω)2ω2

|

≤ 5R|ω|/2|ω|4/4

=10R

|ω|3

≤ 10R

δ3(n2 +m2)3/2.

El resultado se sigue por la comparacion de las series:

∑

(n,m)6=(0,0)

1

(n2 +m2)3/2=∑

k≥1

∑

max(|n|,|m|)=k

1

(n2 +m2)3/2

≤ 8∑

k≥1

1

k2< +∞.



Definicion 2.7.25. La funcion ℘(z) se denomina funcion ℘ de Weierstrassasociada al retıculo Λ.

Lema 2.7.26. ℘(−z) = ℘(z) = ℘(z + ζ) para todo z ∈ C y ζ ∈ Λ.

Demostracion. Observemos que si ζ ∈ Λ entonces

℘′(z + ζ) = −2∑

ω∈Λ

1

(z + ζ − ω)3 .

Esta serie converge absolutamente, y ω− ζ recorre todo el retıculo Λ cuandoω varıa en Λ. Podemos entonces reordenar los terminos de la serie, y sustituirω por ω − ζ , y obtenemos

℘′(z + ζ) = ℘′(z) para todo z ∈ C.

Esto implica que℘(z + ζ) = ℘(z) + c(ζ),

donde c(ζ) depende de ζ , pero no de z. Si hacemos el cambio z = −12ζ ,

obtenemos

c(ζ) = ℘(1

2ζ)− ℘(−1

2ζ).

Observemos ahora que

℘(−z) = 1

z2+∑

ω∈Λ−0

(1

(−z + ω)2− 1

ω2

),

y si reordenamos la serie, cambiando ω por −ω, obtenemos

℘(z) = ℘(−z) para todo z ∈ C.

En particular, c(ζ) = ℘(12ζ)− ℘(−1

2ζ) = 0, y ası

℘(z + ζ) = ℘(z) para todo z ∈ C.

Definicion 2.7.27. Las funciones de variable compleja que verifican

f(z + ζ) = f(z)

para todo z y z + ζ en el dominio de f , y ζ ∈ Λ, o de forma equivalente

f(z + ω1) = f(z) = f(z + ω2)

para todo z en el dominio de f , se denominan funciones doblemente periodi-cas, con retıculo Λ, o con periodos ω1 y ω2.



La funcion ℘ de Weierstrass es una funcion meromorfa doblemente pe-riodica sobre C.

Lema 2.7.28. Una funcion f holomorfa doblemente periodica con retıculoΛ sobre C es constante.

Demostracion. Como f es holomorfa, es continua, y entonces es acotadasobre cualquier subconjunto cerrado acotado de C, como el paralelogramo

P = sω1 + tω2 | s, t ∈ [0, 1].

Pero dado cualquier z ∈ C, existe ζ ∈ Λ tal que z + ζ ∈ P , y como f esdoblemente periodica,

f(z + ζ) = f(z).

Entonces f esta acotada en C, y por el teorema de Liouville, f es constante.

Teorema 2.7.29. Sea r = mın|ω| | ω 6= 0. Entonces para 0 < |z| < r setiene que

℘(z) =1

z2+

∞∑

n=1

(2n+ 1)G2n+2z2n,

donde

Gn =∑

ω 6=0

1

ωnpara n ≥ 3.

Demostracion. Si 0 < |z| < r entonces |z/ω| < 1 y tenemos

1

(z − ω)2 =1

ω2(1− z

ω

)2 =1

ω2

(1 +

∞∑

n=1

(n + 1)( zω

)n),

y de aquı1

(z − ω)2 −1

ω2=

∞∑

n=1

n+ 1

ωn+2zn.

Si sumamos sobre todos los valores de ω, encontramos, por convergenciaabsoluta,

℘(z) =1

z2+

∞∑

n=1

(n + 1)∑

ω 6=0

1

ωn+2zn =

1

z2+

∞∑

n=1

Gn+2zn,

donde Gn es el indicado en el enunciado. Por el lema C.2.15, esta bien de-finido. Como ℘(z) es una funcion par, los coeficientes G2n+1 se anulan, yobtenemos el resultado.



Lema 2.7.30. La funcion ℘(z) satisface la ecuacion diferencial

℘′(z)2 = 4℘(z)3 − g2℘(z)− g3,

dondeg2 = g2(Λ) = 60G4, g3 = g3(Λ) = 140G6.

Demostracion. Vamos a formar una combinacion lineal de potencias de ℘ y℘′ que elimine el polo en z = 0. Esto proporciona una funcion elıptica sinpolos, por lo que debe ser constante. En un entorno de z = 0, se verifica que

℘′(z) = − 2

z3+ 6G4z + 20G6z

3 + . . . ,

una funcion elıptica de orden 3. Su cuadrado tiene orden 6, ya que

[℘′(z)]2=

4

z6− 24G4

z2− 80G6 + . . . ,

donde + . . . indica una serie de potencias en z que se anula en z = 0. Ahora

4℘(z)3 =4

z6+

36G4

z2+ 60G6 + . . . ,

y de aquı

[℘′(z)]2 − 4℘(z)3 = −60G4

z2− 140G6 + . . . ,

de donde[℘′(z)]

2 − 4℘(z)3 + 60G4℘(z) = −140G6 + . . . .

El miembro izquierdo no tiene polo en z = 0, por lo que no tiene polos enningun paralelogramo de periodos. Entonces tiene que ser constante, e iguala −140G6.

Proposicion 2.7.31. La funcion

℘ : C− Λ→ C

es sobreyectiva. Ademas, ℘(z) = ℘(z′) si y solamente si z′ ∈ Λ± z.Demostracion. Tomemos c ∈ C y sea f(z) = ℘(z) − c. Entonces la funcionf ′(z)/f(z) es meromorfa en C, con polos simples de residuo −m donde ftenga polos de multiplicidad m, y polos simples de residuo m donde f tengaceros de multiplicidad m, y ningun otro polo. Por el teorema de los residuos,si γ es un contorno en C que no pase por ningun cero o polo de f , entonces

1

2πi

∫

γ

f ′(z)

f(z)dz = Z − P,



donde Z y P son, respectivamente, los numeros de ceros y polos de f dentrode γ, contados con la multiplicidad. Tomemos γ el borde del paralelogramo

P (a) = a+ sω1 + tω2 | s, t ∈ [0, 1],donde a se ha elegido de forma que el borde de P (a) no pase por ninguncero o polo de f . En particular, esto significa que existe precisamente ununico valor ζ ∈ Λ en el interior de γ. La funcion f ′/f es elıptica, con losmismos periodos que f , y la integral a lo largo del borde de P (a) es cero,pues las integrales se cancelan a lo largo de los lados paralelos, por la dobleperiodicidad. Es decir, ∫

γ

f ′(z)

f(z)dz = 0.

Entonces Z = P , y la funcion f , como ℘, tiene polos de multiplicidad 2 entodos los puntos del retıculo ζ ∈ Λ, y ningun otro. Por tanto, P = 2 = Z, yexiste algun w0 ∈ P (a) tal que f(w0) = 0, esto es,

℘(w0) = c.

Esto prueba la sobreyectividad de ℘.Como ℘(z) es par y doblemente periodica, se verifica que

℘(z) = ℘(w0) = c para todo z ∈ Λ± w0.

Existe un valor w1 ∈ Λ − w0 que pertenece al paralelogramo P (a), y ambosw0 y w1 son ceros de f en el interior de γ. Por tanto, si w0 6= w1 contarıancomo los dos ceros de f dentro de γ, y los unicos ceros de f vendrıan dadospor

z ∈ Λ± w0.

Ası, lo que queda por probar es que si w1 = w0 entonces f tiene un cerode multiplicidad 2 en w0, o lo que es lo mismo, f ′(w0) = 0. De esta formatendrıamos contados todos los ceros de f en el interior de γ. Si w0 = w1

entonces Λ + w0 = Λ − w0, y como ℘′(z) es una funcion impar doblementeperiodica,

℘′(w0) = −℘′(−w0) = −℘′(w0).

De aquı concluimos que ℘′(w0) = 0, y que f ′(w0) = 0.

2.7.5. Curva elıptica asociada a ℘

Definicion 2.7.32. Notaremos por e1, e2, e3 los valores de la funcion ℘ enlos semiperiodos:

e1 = ℘(ω1

2

), e2 = ℘

(ω2

2

), e3 = ℘

(ω1 + ω2

2

).



Definicion 2.7.33. Sea CΛ la curva proyectiva definida por el polinomio

QΛ(x0, x1, x2) = x22x0 − 4x31 + g2x1x20 + g3x

30,

donde g2 = g2(Λ), g3 = g3(Λ).

Lema 2.7.34. Los numero e1, e2, e3 son distintos dos a dos.

Demostracion. Si, por ejemplo, e1 = e2, aplicamos la proposicion C.3.9, yobtendrıamos que 1

2ω2 = Λ ± 1

2ω1, lo que es imposible. Analogamente para

los otros casos.

Lema 2.7.35. QΛ(x0, x1, x2) = x22x0 − 4(x1 − e1x0)(x1 − e2x0)(x1 − e3x0) yla curva asociada CΛ es no singular.

Demostracion. Como ℘ es una funcion doblemente periodica y par, su deri-vada ℘′ es doblemente periodica e impar, con los mismos periodos ω1 y ω2.Entonces

℘′(1

2ω1) = ℘′(

1

2ω1 − ω1) = ℘′(−1

2ω1) = −℘′(

1

2ω1),

por lo que ℘′(12ω1) = 0 si es finito. Como ℘′(z) no tiene polos en 1

2ω1,

12ω2,

12(ω1+

ω2), son ceros de ℘′(z).Por la ecuacion diferencial,

4e3i − g2ei − g3 = ℘′(ei)2 = 0,

por lo que e1, e2 y e3 son las raıces del polinomio 4x3 − g2x− g3. Entonces

QΛ(x0, x1, x2) = x21x0 − 4(x1 − e1x0)(x1 − e2x0)(x1 − e3x0).

La parte afın de la curva CΛ para x0 = 1 es no singular, pues es de la formay2 = h(x), con h polinomio de grado tres con raıces distintas. El unico puntoque falta es el (0 : 0 : 1), que se prueba facilmente que es no singular.

2.7.6. El discriminante ∆

El numero ∆ = g32 − 27g23 se llama discriminate. Recordamos que enrealidad g2, g3 y por tanto ∆ son funciones que dependen de ω1 y ω2, es decir

g2 = g2(ω1, ω2), g3 = g3(ω1, ω2), ∆ = ∆(ω1, ω2).

Es facil probar que g2 y g3 son funciones homogeneas de grados −4 y −6,respectivamente, es decir

g2(λω1, λω2) = λ−4g2(ω1, ω2) y g3(λω1, λω2) = λ−6g3(ω1, ω2)



para todo λ 6= 0. Por tanto ∆ es homogeneo de grado −12,

∆(λω1, λω2) = λ−12∆(ω1, ω2).

Llamando λ a 1/ω1 y τ a ω2/ω1 tenemos

g2(1, τ) = ω41g2(ω1, ω2), g3(1, τ) = ω6

1g3(ω1, ω2),

∆(1, τ) = ω121 ∆(ω1, ω2).

De esta forma podemos considerar que g2, g3 y ∆ son funciones de unavariable compleja. Podemos siempre elegir ω1 y ω2 de tal forma que τ = ω2/ω1

tenga parte imaginaria positiva y estudiar estas funciones en el semiplanosuperior Im(τ) > 0, que denotaremos por H.

Si τ ∈ H escribiremos g2(τ), g3(τ) y ∆(τ) en lugar de g2(1, τ), g2(1, τ) y∆(1, τ), respectivamente. Ahora podemos escribir

g2(τ) = 60+∞∑

m,n=−∞(m,n)6=(0,0)

1

(m+ nτ)4,

g3(τ) = 140

+∞∑

m,n=−∞(m,n)6=(0,0)

1

(m+ nτ)6.

∆(τ) = g2(τ)3 − 27g3(τ)

2.

El teorema anterior prueba que ∆(τ) 6= 0 para todo τ ∈ H.



2.8. Propiedades locales de los morfismos

Teorema 2.8.1 (Teorema de forma local). Sea F : X → Y un morfismo desuperficies de Riemann en p ∈ X, no constante. Entonces existe un unicoentero m ≥ 1 que satisface la siguiente propiedad: para toda carta φ2 : U2 →V2 centrada en q = F (p), existe una carta φ1 : U1 → V1 centrada en p tal queφ2(F (φ

−11 (z))) = zm.

Demostracion. Fijemos una carta φ2 centrada en q, y escojamos una cartaarbitraria ψ : U → V centrada en p. Entonces la serie de Taylor para lafuncion T (w) = φ2(F (ψ

−1(w))) debe ser de la forma

T (w) =∞∑

i=m

ciwi,

con cm 6= 0, y m ≥ 1, pues T (0) = 0. Podemos escribir T (w) = wmS(w),donde S(w) es una funcion holomorfa en w = 0, y S(0) 6= 0. Entonces existeuna funcion R(w) holomorfa en un entorno de 0 tal que R(w)m = S(w)(por la existencia de raız m-esima A.2.4), de donde T (w) = (wR(w))m. Seaη(w) = wR(w). Como η′(0) 6= 0, la funcion η es invertible en un entornode cero (teorema de la funcion implıcita A.2.3), y holomorfa. Entonces lacomposicion φ1 = η ψ es una carta en X centrada en p. Si vemos η comouna nueva coordenada z (z = η(w)), entonces

φ2(F (φ−11 (z))) = φ2(F (ψ

−11 (η−1(z))))

= T (η−1(z))

= T (w)

= (wR(w))m

= zm

La unicidad de m se obtiene al observar que, en un entorno de p, hay exac-tamente m preimagenes de puntos cercanos a F (p). Entonces este exponentem queda determinado por las propiedades topologicas de la aplicacion en unentorno de p, y es independiente de las cartas elegidas.

Definicion 2.8.2. La multiplicidad de F en p, o ındice de ramificacion deF en p, es el unico entero m tal que existen cartas locales en entornos de py F (p) donde F tiene la forma z 7→ zm. Lo notaremos por ep(F ).

Ejemplo 2.8.3. Sea φ : U → V una carta local en X , considerada comofuncion holomorfa. Entonces tiene ındice de ramificacion igual a 1 en todopunto de U .



Proposicion 2.8.4. Sea F : X → Y un morfismo no constante, p ∈ X, q =F (p) ∈ Y . Son equivalentes:

1. ep(F ) = 1.

2. F es un isomorfismo local en p, es decir, existen U0 entorno abierto dep y V0 entorno abierto de q tales que F : U0 → V0 es isomorfismo.

Demostracion. Sea p ∈ X . Por el teorema de forma local (2.8.1), existencartas centradas en p y q tales que el diagrama

U F //

≃

V

≃

Ω1ψ // Ω2

con ψ(z) = zd es conmutativo. Ademas, d = ep(F ). Si F es un isomorfismolocal, entonces al componer con las cartas tenemos que ψ tambien lo es, porlo que la unica posibilidad es que ep(F ) = 1. Recıprocamente, si ep(F ) = 1,entonces ψ es un isomorfismo, y F es un isomorfismo local.

Observemos que ep(F ) ≥ 1 siempre. Existe una forma simple de calculareste ındice sin necesidad de las cartas especiales que ponga a F en forma localnormal, o incluso sin que las cartas esten centradas en el punto y su imagen.Consideremos una carta local φ en p, y ψ en F (p), y z0 = φ(p), w0 = ψ(F (p)).Entonces w = h(z) = ψ(F (φ−1(z))) es holomorfa, y w0 = h(z0).

Lema 2.8.5. El ındice de ramificacion de F en p es

ep(F ) = 1 + ordz0(h′(z)).

En particular, el ındice de ramificacion es el exponente del menor terminoestrictamente positivo del desarrollo en serie de h, esto es, si h(z) = h(z0)+∑∞

i=m ci(z − z0)i, con m ≥ 1, y cm 6= 0, entonces ep(F ) = m.

Demostracion. Vimos en la prueba del teorema de forma local que el ındicede ramificacion era el termino de menor grado que aparecıa en la serie depotencias de T para F , cuando se usaban cartas centradas en p y F (p). Conla notacion anterior, φ − z0 y ψ − w0 son cartas centradas. Por tanto, comow−w0 = h(z)−h(z0), el ındice de ramificacion es el termino de menor gradoque aparece en el desarrollo en serie de h(z)−h(z0) alrededor de z = z0. Porel teorema de Taylor, es uno mas que el orden de la derivada de h en z0.

Los puntos donde ep(F ) > 1 son los ceros de una funcion holomorfa, laderivada de h, por lo que forman un conjunto cerrado y discreto.



Definicion 2.8.6. Sea F : X → Y un morfismo no constante. Un puntop ∈ X es un punto de ramificacion de F si ep(F ) > 1. Un punto y ∈ Y es unpunto rama de F si es la imagen de un punto de ramificacion de F .

Por tanto, los puntos de ramificacion y los puntos rama de un morfismoson conjuntos discretos, el primero en X y el segundo en Y .

Lema 2.8.7. Sea F una funcion meromorfa sobre una superficie de RiemannX.

1. Si p ∈ X es un cero de F , entonces ep(F ) = ordp(F ).

2. Si p ∈ X es un polo de F , entonces ep(F ) = − ordp(F ).

3. Si p no es ni cero ni polo, entonces ep(F ) = ordp(F − F (p)).

Demostracion. Identificamos P1 con C∞. Si p no es un polo, sea z0 = F (p).Entonces F − z0 tiene un cero en p, y ep(F ) = ordp(F −F (p)), por el criteriode la derivada. Si p es un polo, entonces el orden de F en p es negativo, y pes un cero de 1/F . En tal caso, ep(F ) = − ordp(F ).

Nota 2.8.8. Lo anterior no significa que no haya otros puntos de ramificacion,que no sean ni ceros ni polos. Es mas, un cero o un polo de orden igual a 1no es un punto de ramificacion.



2.9. Puntos de ramificacion de curvas

Lema 2.9.1. Sea X una curva afın lisa definida por f(x, y) = 0. Sea π :X → C la primera proyeccion π(x, y) = x. Entonces p = (x0, y0) ∈ X espunto de ramificacion de π si y solamente si (∂f/∂y)(p) = 0.

Demostracion. Supongamos que (∂f/∂y)(p) 6= 0. Entonces π es una cartalocal en p, y ep(π) = 1.

Supongamos entonces que (∂f/∂y)(p) = 0. Como X es lisa en p, se tieneque (∂f/∂x)(p) 6= 0, y la segunda proyeccion es una carta local. Por elteorema de la funcion implıcita, en un entorno de p, X es el grafo de unafuncion holomorfa g(y). De aquı f(g(y), y) = 0 en un entorno de y0. Siderivamos con respecto a y, vemos que

(∂f/∂x)g′(y) + (∂f/∂y)

es nula en un entorno de p. Como el segundo sumando es cero en p, y(∂f/∂x)(p) 6= 0, se tiene que g′(y0) = 0. Por el criterio de la derivada(2.8.5), los puntos de ramificacion son los ceros de la derivada de la fun-cion id π πy(s) = g(s), por lo que p es punto de ramificacion.

Lema 2.9.2. Sea X una curva proyectiva lisa definida por un polinomiohomogeneo F (x, y, z) = 0. Consideremos la aplicacion G : X → P1 definidapor G(x : y : z) = (x : z), siempre que (0 : 1 : 0) 6∈ X. Entonces p ∈ X espunto de ramificacion de G si y solamente si (∂F/∂y)(p) = 0.

Demostracion. La idea es analoga a la prueba anterior. Necesitamos cartasen X y en P1, alrededor de p = (x0 : y0 : z0) y G(p) = (x0 : z0). Para que Gtenga sentido, debe ocurrir que x0 6= 0 o bien z0 6= 0.

Supongamos en primer lugar que z0 6= 0. Entonces el punto p esta enla curva afın dada por X2 = X ∩ U2, definida por el polinomio f(x, y) =F (x, y, 1). Podemos escribir p = (x0 : y0 : 1). Las cartas en el punto sonlas proyecciones πx : X2 → V1, si (∂f/∂y)(x0, y0) 6= 0, y πy : X2 → V2, si(∂f/∂x)(x0, y0) 6= 0. En el primer caso, existe una funcion holomorfa g1(z)tal que π−1

x (z) = (z : g(z) : 1), y f(z, g(z)) = 0 en un entorno de x0. Para elsegundo caso, existe una funcion holomorfa h1(z) tal que π

−1y (z) = (h1(z) :

z : 1), y f(h1(z), z) = 0 en un entorno de y0.Como G(p) = (x0 : z0), z0 6= 0, la carta en P1 es ϕ1(z : w) = z/w. Si

(∂f/∂y)(x0, y0) 6= 0, tenemos que estudiar la funcion ϕ1Gπ−1x , que resulta

(ϕ1 G π−1x )(z) = ϕ1(G(z : g1(z) : 1)) = ϕ1(z : 1) = z,

y cuya derivada no se anula en ningun punto. Por tanto, en este caso no haypuntos de ramificacion.



Si (∂f/∂y)(x0, y0) = 0, entonces tenemos que estudiar la funcion ϕ1Gπ−1y :

(ϕ1 G π−1y )(z) = ϕ1(F (h1(z) : z : 1)) = ϕ1(h1(z) : 1) = h1(z).

Como

h′1(z) = −∂f/∂y

∂f/∂x(h1(z), z),

por lo que los puntos de ramificacion son los que (∂f/∂y)(x, y) = 0, que eslo mismo que (∂F/∂y)(p) = 0.

Supongamos ahora que x0 6= 0. Trabajamos entonces en X0 = X ∩U0, lacurva afın definida por q(y, z) = F (1, y, z). Como antes, las cartas aquı sonπy : X0 → V1 si (∂q/∂z)(y0, z0) 6= 0, y πz : X0 → V2 si (∂q/∂y)(y0, z0) 6= 0.Para el primer caso, existe una funcion holomorfa g2(z) tal que π

−1y (z) = (1 :

z : g2(z)) y q(z, g2(z)) = 0 en un entorno de y0, y en el segundo existe unafuncion holomorfa h2(z) tal que π−1

z (z) = (1 : h2(z) : z) y q(h2(z), z) = 0en un entorno de z0. La carta que tomamos en G(p) = (x0 : z0) es ϕ0. Si(∂q/∂z)(y0, z0) 6= 0, consideramos

(ϕ0 G π−1y )(z) = g1(z),

cuya derivada es

g′1(z) = −∂q/∂y

∂q/∂z(z, g1(z)).

Se anula cuando ∂q/∂y = 0, que es lo mismo que ∂F/∂y = 0. Si ahora(∂q/∂y)(y0, z0) 6= 0, la funcion a estudiar es

(ϕ0 G π−1z )(z) = z,

que no aporta puntos de ramificacion.


Capıtulo 3

Propiedades globales de los

morfismos

3.1. Recubrimiento etale

Definicion 3.1.1. Sean X, Y espacios topologicos y F : X → Y una aplica-cion continua. Decimos que F es un recubrimiento etale o espacio recubridorsi para todo q ∈ Y existe V entorno abierto de q tal que

F−1(V ) =⊔

i∈IUi,

union disjunta de abiertos Ui de X , con F|Ui: Ui → V homeomorfismo para

todo i.

Sea F : X → Y un recubrimiento etale, q ∈ Y y V entorno abierto de qcomo en la definicion anterior. Entonces, en cada Ui hay un unico pi tal queF (pi) = q, y el cardinal de F−1(q) es igual al cardinal del conjunto de ındicesI (puede ser infinito). Para cualquier q′ ∈ V se tiene lo mismo, por lo quecard(F−1(q′)) = card(I). Entonces la aplicacion que a cada q ∈ Y le asociael numero card(F−1(q)) es localmente constante. Tiene sentido la siguientedefinicion.

Definicion 3.1.2. Sea F : X → Y un recubrimiento etale, con Y conexo.Entonces el numero card(F−1(q)) es constante, y se denomina grado del re-cubrimiento etale.

Ejemplo 3.1.3. 1. La identidad id : X → X es un recubrimiento etalede grado 1.

55


2. Sea Y un espacio topologico y I un conjunto no vacıo. Consideramosel espacio X = I × Y y π : X → Y la proyeccion. En el conjuntoI consideramos la topologıa discreta, y en X la topologıa producto.Entonces π es un recubrimiento etale. En concreto,

π−1(Y ) = I × Y =⊔

i∈Ii × Y.

Este recubrimiento se denomina trivial.

3. Sea F : C∗ → C∗ la aplicacion definida por F (z) = zd, d ≥ 1. EntoncesF es un recubrimiento etale de grado d. Por el teorema de la funcioninversa (F ′(z) 6= 0 en C∗) es un isomorfismo local de superficies deRiemann. Si q ∈ C∗, entonces F−1(q) son las raıces d-esimas de q, quellamaremos p1, . . . , pd. Existe un entorno U0 de p1 y un entorno V0de q tal que F|U0

: U0 → V0 es un homeomorfismo. Entonces

F−1(V0) = U0 ∪ ωU0 ∪ . . . ∪ ωd−1U0,

donde ω es una raız primitiva d-esima de la unidad; por ejemplo, ω =exp(2πi/d). Entonces los conjuntos Uj = ωjU0, j = 0, 1, . . . , d − 1 sondisjuntos dos a dos, y cada FUj

: Uj → V0 es un homeomorfismo.

4. La aplicacion exp : C → C∗ es un espacio recubridor. Supongamosque q ∈ C∗ y p ∈ C con exp(p) = q. Como la aplicacion exp es unhomeomorfismo local, existe un entorno abierto U0 de p y un entornoabierto V0 de q tales que exp|U0

: U0 → V0 es un homeomorfismo.Entonces

exp−1(V0) = ∪n∈ZUn, donde Un = 2πin+ U0.

Los abiertos Un son disjuntos dos a dos, y cada restriccion exp|Un:

Un → V0 es un homeomorfismo.

Lema 3.1.4. Sea Y una superficie de Riemann, X un espacio topologicoHausdorff y conexo, y F : X → Y un recubrimiento etale (topologico). En-tonces existe una unica estructura de superficie de Riemann en X para laque F es un morfismo de superficies de Riemann.

Demostracion. Si p ∈ X , sea q = F (p) y V entorno de q tal que F−1(V ) =⊔Ui. Podemos tomar (V, ϕ) carta en q, y consideramos (Ui, ϕ F|Ui

) cartaen p. Definimos un homeomorfismo sobre un abierto de C, y si (U ′

i , ψ F|U ′i)

es otra carta, se tiene que

(ψ F ) (ϕ F )−1 = ϕ ψ−1,



que es holomorfa. Es facil ver que estas cartas recubren el espacio X . Tenemosası un atlas complejo U en X .

Para la unicidad, supongamos que (X,U ′) es otro atlas complejo, tal quela aplicacion F : (X,U ′)→ Y es morfismo. Vamos a probar que la aplicacionidX : (X,U) → (X,U ′) es un morfismo. Sea x ∈ X , y una carta en el puntoes de la forma ψ F|U , donde ψ es una carta de F (x) en Y . Si (U, ψ′) esuna carta con respecto a U ′, la hipotesis de que F : (X,U ′)→ Y es morfismoimplica que ψF|U ψ′−1 es holomorfa. Entonces ψ1 id ψ′−1 = ψF|U ψ′−1

es holomorfa, y la aplicacion id es un morfismo biyectivo.



3.2. Recubrimiento ramificado

Definicion 3.2.1. Sean X, Y superficies de Riemann y F : X → Y un mor-fismo. Diremos que F es un recubrimiento ramificado si para todo q ∈ Y setiene que

F−1(q) es finito y no vacıo.

Existe una aplicacion t : V → Σ carta de Y centrada en q tal quesi F−1(q) = p1, . . . , pr entonces existen cartas si : Ui → Ωi de Xcentradas en pi, con F

−1(V ) igual a la union disjunta de los entornosUi (F

−1(V ) =⊔ri=1 Ui) y el diagrama

UiF //

si

V

t

Ωiψi // Σ

es conmutativo, donde ψi(z) = zei para ciertos ei.

Si todos los numeros ei son iguales a 1, entonces F|Uies un homeomorfis-

mo, y lo que tenemos es un recubrimiento etale.

Nota 3.2.2. La clave de la definicion es la igualdad de F−1(V ) con la unionde los abiertos disjuntos. El teorema de estructura local siempre nos permiteconstruir abiertos para tener la aplicacion ψi.

Ejemplo 3.2.3. Sean X = C − 1, Y = C, y F : X → Y definida porF (w) = w2. Para todo p 6= 0, es un isomorfismo local. En q = 1, tenemos queF−1(q) = −1, pero si V es un entorno de q suficientemente pequeno, severifica que F−1(V ) = U1∪(U2−1), con U1, U2 disjuntos. Ası U1 F−1(V ),y nunca tendremos la igualdad.

Ejemplo 3.2.4. Sea F : C → C dada por F (z) = zd, d ≥ 2. Entonces F esun recubrimiento ramificado.



3.3. Aplicaciones propias

Definicion 3.3.1. Un espacio X es localmente compacto si cada punto de Xtiene una base de entornos compuesta de conjuntos compactos.

Proposicion 3.3.2. Un espacio de Hausdorff X es localmente compacto siy solamente si en cada punto de X existe un entorno compacto.

Demostracion. [Wil70, p.130]

Corolario 3.3.3. Un espacio Hausdorff y compacto es localmente compacto.

Ejemplo 3.3.4. Las superficies de Riemann son espacios localmente com-pactos.

Definicion 3.3.5. Sean X, Y espacios localmente compactos y Hausdorff.Una aplicacion F : X → Y continua se dice propia si para todo compactoK ⊂ Y se tiene que F−1(K) es compacto en X .

Ejemplo 3.3.6. 1. La identidad es siempre una aplicacion propia.

2. La funcion constante F (x) = y para todo x ∈ X es propia si y solamentesi X es compacto.

3. Sea X = V (xy − 1) ⊂ R2, y consideremos la proyeccion π : X →R, π(x, y) = x. No es una aplicacion propia, pues para K = [−1, 1], elconjunto π−1(K) no es acotado.

4. Si X es compacto, toda aplicacion F : X → Y continua es propia,pues si K ⊂ Y es compacto, entonces es cerrado. Como F es continua,F−1(K) es cerrado en X , y por tanto compacto.

5. Si f : U ⊂ C→ V ⊂ C es f(z) = ze, entonces f es propia.

Proposicion 3.3.7. Toda aplicacion propia es cerrada.

Demostracion. Sea A ⊂ X cerrado. Para cada y0 ∈ Y , existe un entornoK(y0) compacto. Entonces

F (A) ∩K(y0) = F (A ∩ F−1(K(y0))).

El conjunto A∩F−1(K(y0)) es la interseccion de un cerrado y un compacto,por lo que es compacto. Entonces F (A∩F−1(K(y0))) es compacto, contenidoen el compacto K(y0), por lo que es un cerrado de K(y0). Entonces

F (A) ∩K(y0) = F (A) ∩K(y0) para todo y0 ∈ Y,y si hacemos la union de todos estos conjuntos tenemos que F (A) = F (A).



El siguiente resultado topologico nos hara falta para el teorema de carac-terizacion de recubrimientos ramificados.

Lema 3.3.8. Sea F : X → Y una aplicacion continua entre espacios local-mente compactos. Si F es localmente propia, es decir, si para todo q ∈ Yexiste un entorno V de q tal que F|F−1(V ) : F

−1(V )→ V es propia, entoncesF es propia.

Demostracion. Sea K ⊂ Y compacto. Para cada q ∈ K existe un entornoabierto Vq tal que F|F−1(Vq) : F−1(Vq) → Vq es propia. Sea Wq un entornocompacto de q, con Wq ⊂ Vq, y Uq entorno abierto de q contenido en Wq.Entonces la restriccion de F a F−1(Wq) tambien es propia. Podemos escribirK ⊂ ⋃

q∈K Uq ⊂⋃q∈KWq, y extraemos un subrecubrimiento finito K ⊂⋃n

i=1 Uqi ⊂⋃ni=1Wqi. De aquı, F−1(K) ⊂ ⋃n

i=1 F−1(Wqi), que es una union

finita de compactos, por el caracter propio de la restriccion. Entonces F−1(K)es un cerrado contenido en un compacto, por lo que es compacto.



3.4. Teorema de caracterizacion

Teorema 3.4.1. Caracterizacion de los recubrimientos ramificados. SeanX, Y superficies de Riemann, y F : X → Y un morfismo no constante. Sonequivalentes:

1. F es un recubrimiento ramificado.

2. Para cada q ∈ Y , el conjunto F−1(q) es finito y no vacıo (F es de fibrafinita) y la aplicacion que a cada q ∈ Y le asocia el numero

∑

p∈F−1(q)

ep(F )

es constante.

3. F es una aplicacion propia.

Demostracion. 1) ⇒ 2) Por la definicion, un recubrimiento ramificado essobreyectivo, con fibra finita. Consideremos la aplicacion

v : Y → N+

q 7→ ∑p∈F−1(q) ep(F ).

Vamos a probar que v es localmente constante. Dado q ∈ Y , existe una cartat : V → Σ centrada en q, con F−1(q) = p1, . . . , pr y cartas si : Ui → Ωicentradas en cada pi tales que F

−1(V ) =⊔ri=1 Ui y el diagrama

UiF //

si

V

t

Ωiψi // Σ

es conmutativo, donde ψi(z) = zei para ciertos ei. Tenemos que ei = epi(F )por definicion de ındice de ramificacion. Sea q′ ∈ V, q′ 6= q. La imagen inversade q′ esta en

⊔ri=1 Ui. Dentro de U1, el comportamiento es como el de la

aplicacion z 7→ ze1 . Como q′ 6= q, estamos en Ω1 − 0, y tenemos entoncese1 puntos en U1 que se aplican en q′, con ındice de ramificacion igual a 1.Lo mismo ocurre en cada Ui. Entonces v(q

′) = e1 + . . .+ er, por lo que v eslocalmente constante. Como Y es conexo, v es constante.

1)⇒ 3). Aplicaremos el lema 3.3.8. Consideremos el recubrimiento abier-to de Y dado por los entornos V de cada punto q ∈ Y . La restriccion F|F−1(V )

tiene un comportamiento igual al de z 7→ zei en cada Ui, que es una aplica-cion propia. Por tanto, F es localmente propia, y por el lema 3.3.8, es unaaplicacion propia.



3)⇒ 1). Supongamos que F es una aplicacion propia. Entonces es cerra-da, y F (X) es un cerrado de Y .

Por otro lado, como F es un morfismo, es una aplicacion abierta. EntoncesF (X) es abierto y cerrado en el conexo Y , de donde F (X) = Y .

Sabemos tambien que F−1(q) es un conjunto discreto. Como F es propia,tambien F−1(q) es compacto, por lo que es un conjunto finito.

Tomemos un punto q ∈ Y , y llamemos F−1(q) = p1, . . . , pr. Por elteorema de forma local de morfismos (teorema 2.8.1), para cualquier cartat : V ′′ → Σ′′ en Y centrada en q existen cartas si : U

′′i → Ω′′

i en X centradasen pi tales que, para cada i = 1, . . . , r, el diagrama

U ′′i

F //

si

V ′′

t

Ω′′i

ψi // Σ′′

es conmutativo, con ψi(z) = zei y ei = epi(F ). Podemos suponer que losentornos U ′′

i son disjuntos. Tenemos que⊔ri=1 U

′′i ⊂ F−1(V ′′), y debemos

encontrar entornos donde se tenga la igualdad.Definamos

V ′ =

r⋂

i=1

F (U ′′i ) ⊂ V ′′.

Es un abierto, pues F es abierta. Sea

U ′i = U ′′

i ∩ F−1(V ′) ⊂ U ′′i .

Son entornos abiertos de cada pi.Tenemos el diagrama

U ′i

F //

si

V ′

t

Ω′i

ψi // Σ′

Sea D1/m = B(0, 1/m) ⊂ Σ′ y llamemos Vm = t−1(D1/m). Supongamos quepara todo m≫ 0 la inclusion

r⊔

i=1

(U ′i ∩ F−1(Vm)) F−1(Vm)

es estricta, esto es, para todo m≫ 0 existe xm ∈ F−1(Vm) tal que

xm 6∈r⊔

i=1

(U ′i ∩ F−1(Vm)).



Entonces F (xm) ∈ Vm = t−1(D1/m), y estos conjuntos forman una base deentornos de q. Por tanto, la sucesion F (xm) tiende a q. El conjunto K =F (xm), q es compacto, y por el caracter propio de F , el conjunto F−1(K)es compacto. Este compacto contiene a la sucesion xm, de donde existe unasubsucesion xmn

que converge a un elemento p ∈ X . Por la continuidad deF , la sucesion F (xmn

) converge a F (p), pero tambien converge a q, por loque q = F (p). De aquı, p ∈ F−1(q) = p1, . . . , pr. Ası, existe i0 ∈ 1, . . . , rtal que p = pi0 ∈ U ′

i0∩ F−1(Vm), y xmn

∈ Ui0 ∩ F−1(Vm) para todo n ≫ 0,que es contradictorio con la eleccion de los xm.

2) ⇒ 1). Sea q ∈ Y , con F−1(q) = p1, . . . , pr. Para cada pi existe unacarta si : Ui → Ωi centrada en pi. Podemos suponer que los entornos Ui sondisjuntos dos a dos. Tambien tenemos una carta t : V → Σ centrada en q,con

r⊔

i=1

Ui ⊂ F−1(V )

y el diagrama

UiF|Ui //

si

V

t

Ωizei // Σ

es conmutativo. Sea q′ 6= q. Entonces

∑

p∈F−1(q′)

ep(F ) =r∑

i=1

ei

y, por tanto, el numero de puntos de F−1(V ) que se aplican en q′ es iguala e1 + . . . + er, y en

⊔ri=1 Ui hay igual numero de puntos. Ası tenemos la

igualdad.

Definicion 3.4.2. Si F : X → Y es un recubrimiento ramificado, al numero∑p∈F−1(q) ep(F ) se le denomina grado del recubrimiento.

Corolario 3.4.3. Sean X, Y superficies de Riemann, con X compacta. SiF : X → Y es un morfismo no constante entonces F es un recubrimientoramificado.

Demostracion. Si K ⊂ Y es compacto, entonces F−1(K) es cerrado, quedentro del compacto X es tambien compacto.

Nota 3.4.4. En el caso anterior, sabemos que, ademas, F es sobreyectiva y elespacio Y es compacto.



Corolario 3.4.5. Sea X una superficie de Riemann compacta. Toda funcionmeromorfa no constante en X tiene tantos ceros como polos.

Demostracion. Sea F : X → P1(C) el morfismo asociado. Entonces F es unrecubrimiento ramificado, y para q = 0, q′ = ∞ se verifica que el grado delrecubrimiento es igual a

∑

p∈F−1(q)

ep(F ) =∑

p∈F−1(q′)

ep(F ),

lo que nos indica que el numero de ceros, con su multiplicidad, es igual alnumero de polos, con su orden.

Lema 3.4.6. Sean X, Y, Z superficies de Riemann, y supongamos que setiene el siguiente diagrama conmutativo de recubrimientos ramificados:

ZH //

Q

X

F~~~~~~~~~~

Y

.

Entonces deg(Q) = deg(H) deg(F ).

Demostracion. Ejercicio para el lector.

Nota 3.4.7. Si F : X → Y es un recubrimiento ramificado y V ⊂ Y es unabierto, entonces F|F−1(V ) : F

−1(V )→ V es un recubrimiento ramificado.

Proposicion 3.4.8. Sea F : X → Y un recubrimiento ramificado y

R = p ∈ X | ep(F ) > 1el conjunto de puntos de ramificacion. Entonces F (R) es un conjunto discretoy cerrado. Ademas, R es vacıo si y solamente si F es un recubrimiento etale.

Demostracion. Sea q ∈ Y y F−1(q) = p1, . . . , pr. Por la definicion de re-cubrimiento ramificado, existe t : V → Σ carta centrada en q y si : Ui → Ωicartas centradas en pi tales que F−1(V ) =

⊔ri=1 Ui. Sea q

′ ∈ V, q′ 6= q. En-tonces F−1(q′) esta en la union de los entornos Ui.

En cada entorno Ui, F solamente se ramifica en el punto pi. Por tanto,si p′ ∈ F−1(q′) tenemos que ep′(F ) = 1. Entonces para todo q ∈ Y existe unentorno abierto V tal que V − q ⊂ Y − F (R).

Ası, si q ∈ F (R) tenemos que V ∩F (R) = q, de donde F (R) es discreto.Ademas, si q 6∈ F (R), entonces V − q ⊂ Y − F (R), lo que implica queV ⊂ Y − F (R), dado que q 6∈ F (R). Esto significa que F (R) es cerrado.

Si F es un recubrimiento etale, no hay ramificacion y R = ∅. Recıproca-mente, si no hay ramificacion, todas las formas locales son de potencia iguala 1, y entonces F es un recubrimiento etale.



Nota 3.4.9. Recordemos que los isomorfismos locales estan caracterizados porla condicion ep(F ) = 1 en todos los puntos.

Corolario 3.4.10. Sea F : X → Y morfismo de superficies de Riemann,no constante, tal que F es un isomorfismo local. Si la aplicacion que a cadaq ∈ Y le asigna el numero de elementos de F−1(q) es constante y finito,entonces F es un recubrimiento etale.

Demostracion. Consideremos la aplicacion que a cada q ∈ Y le asocia elnumero ∑

p∈F−1(q)

ep(F ).

Por la hipotesis, ep(F ) = 1, por lo que esta aplicacion es constante. Por elteorema de caracterizacion 3.4.1, F es un recubrimiento ramificado, y por laproposicion anterior, es un recubrimiento etale.



3.5. Triangulacion de superficies de Riemann

Sea∆ = (x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1

el triangulo estandar en R2 con vertices (0, 0), (1, 0) y (0, 1). Su interior es

∆0 = (x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0, x+ y < 1.

Sea S una superficie compacta, posiblemente con borde. Una triangulacionde S es una descomposicion de S en subconjuntos cerrados, cada uno ho-meomorfo a un triangulo ∆, tales que cada dos triangulos son disjuntos, secortan solamente en un vertice o a lo largo de una arista.

Definicion 3.5.1. Sea S una superficie compacta, posiblemente con borde.Supongamos dada una triangulacion de S, con v vertices, e aristas y f caras.Llamamos numero de Euler de S respecto a la triangulacion a χ(S) = v−e+f .

Teorema 3.5.2. Si X es una superficie de Riemann compacta, entonces estriangulable.

Demostracion. [Rey89, cap. 2, secc. 1], [DD79].

La existencia de una triangulacion se puede deducir de la existencia de unafuncion meromorfa no constante en X , levantando una triangulacion de P1.El mismo razonamiento se aplicara para la prueba de la formula de Hurwitz.Por ejemplo, segun [FK92, p.51], sea F : X → P1 una funcion meromorfano constante. Tomamos una triangulacion en P1 formada por ∆1, . . . ,∆k

tal que la imagen por F de un punto de ramificacion sea un vertice de latriangulacion, y F restringida al interior de cada componente de F−1(∆j)sea inyectiva. Entonces la triangulacion de P1 se levanta a una de X .

Segun [JS87, p.197], se parte de una triangulacion T de P1 que contenga alas imagenes de los puntos de ramificacion de F . Entonces la imagen inversade la triangulacion T = F−1(T ) es triangulacion en X , donde los vertices yaristas de T son los puntos y caminos de X que se aplican por F en ellos.Deja como ejercicio verificar que:

1. toda arista tiene dos puntos finales, que son vertices;

2. las aristas se cortan unicamente en sus puntos finales;

3. la union de las aristas A es conexo;

4. las componentes del complemento X − A son homeomorfas a discosabiertos.



Hay otras pruebas directas, destinadas a superficies, tal como se comentaen [Mas72], que a su vez redirecciona a [AS60].

En [Arm87, p.173] se hace referencia al artıculo clasico de Rado, con unboceto de la prueba. Tambien da una referencia a [DM68] como una pruebacorta.

Por ultimo, tenemos una prueba en [Jos02, Sect. 2.3.A] basada en metricassobre superficies de Riemann.

Vamos a seguir a [Kir92], donde se hace una prueba de como se puedelevantar una triangulacion de Y a una triangulacion de X entre superficiesde Riemann compactas para las que existe Φ : X → Y un recubrimientoramificado. En dicha referencia se toma X como una curva C y Y = P1, y seevita el uso explıcito del grupo fundamental, aunque esta de manera constan-te en la prueba. Ası, no tiene que introducir otro concepto que aumentarıalos apendices en exceso y hace el texto todo lo autocontenido que puede. Enel fondo lo que prueba son los teoremas de levantamiento de caminos sobreespacios recubridores. Ademas, construye una triangulacion de P1 y luegodemuestra la existencia de una aplicacion meromorfa sobre una curva alge-braica C. Entonces puede levantar la triangulacion, y ası tiene probada laexistencia de triangulacion sobre C y la formula de Hurwitz para ese caso.

Definicion 3.5.3. [Kir92, p.98] Sea X una superficie de Riemann compacta.Una triangulacion de X esta dada por los siguientes datos:

1. un conjunto finito V de puntos llamados vertices;

2. un conjunto finito E de aplicaciones continuas e : [0, 1]→ X llamadasaristas;

3. un conjunto finito F de aplicaciones continuas f : ∆ → X llamadascaras,

que verifican

V = e(0), e(1) : e ∈ E, es decir, los vertices son los puntos finales delas aristas.

Si e ∈ E, entonces la restriccion de e al intervalo abierto (0, 1) esun homeomorfismo sobre su imagen en X , y esta imagen no contienepuntos de V o de la imagen de alguna otra arista e ∈ E.

Si f ∈ F , entonces la restriccion de f a ∆0 es un homeomorfismo sobreuna componente conexa Kf de X − Γ, donde

Γ =⋃

e∈Ee([0, 1])



es la union de las imagenes de las aristas. Ademas, si r : [0, 1]→ [0, 1]y σi : [0, 1]→ ∆, para i = 1, 2, 3 se definen como

r(t) = 1− t, σ1(t) = (t, 0), σ2(t) = (1− t, t), σ3(t) = (0, 1− t),

entonces alguna de las aplicaciones f σi, f σi r es una arista eif ∈ E,para i = 1, 2, 3.

La aplicacion f 7→ Kf desde F al conjunto de componentes conexas deX − Γ es una biyeccion.

Para cada e ∈ E hay exactamente una cara f+e ∈ F tal que e = f+

e σi,para algun i ∈ 1, 2, 3, y exactamente una cara f−

e ∈ F tal que e =f−e σi r para algun i ∈ 1, 2, 3.

Nota 3.5.4. La ultima condicion se refiere a que sea coherentemente orienta-da. No la usaremos en general.

Definicion 3.5.5. El numero de Euler χ de una triangulacion es

χ = card(V )− card(E) + card(F ).

Teorema 3.5.6. El numero de Euler χ de una triangulacion de una superfi-cie no depende de la triangulacion elegida, sino unicamente de la superficie.

Demostracion. [Kir92, p.240], [Mas72, p.29].

Nota 3.5.7. Dada una triangulacion (V,E, F ) sobre una superficie compactaM , y p ∈ M que no sea vertice, se puede construir una nueva triangulacion(V ′, E ′, F ′) tal que V ∪ p ⊂ V ′.

Lema 3.5.8. 1. Sea π : Y → X una aplicacion recubridora, y f : A→ Xuna aplicacion continua, con A simplemente conexo, conexo por arcosy localmente conexo por arcos. Entonces, dado a ∈ A y y ∈ Y tales quef(a) = π(y), existe una unica aplicacion continua F : A → Y tal queF (a) = y y π F = f .

2. Ademas, si f es un homeomorfismo sobre su imagen f(A), entonces Fes un homeomorfismo sobre una componente conexa de π−1(f(A)).

Demostracion. 1. Lo podemos ver en [Kos86, Teorema 21.2], recordandoque simplemente conexo significa que su grupo fundamental es trivial.



2. Supongamos que f : A → X es un homeomorfismo sobre su imagen.Como la restriccion de una aplicacion recubridora π a π−1(f(A)) esuna aplicacion recubridora, podemos suponer que f(A) = X . Como Aes conexo, tambien lo son entonces X = f(A) y F (A).

Cada x ∈ X tiene un entorno conexo Ux en X tal que π−1(Ux) esunion disjunta de abiertos de Y , cada uno de los cuales es homeomorfomediante π a Ux. Como F (f−1(Ux)) es conexo (f es homeomorfismo)y esta contenido en π−1(Ux), entonces tiene que estar dentro de unode estos abiertos Vx. Tenemos a Y recubierto con los abiertos π−1(Ux).Vamos a probar que F (A) es abierto y cerrado en Y viendo que esF (A) ∩ π−1(Ux) es abierto y cerrado en la topologıa relativa. Comoπ F = f y π : Vx → Ux es homeomorfismo, se sigue que

F : f−1(Ux)→ Vx

es la composicion π−1 f , y de aquı

F (A) ∩ π−1(Ux) = F (f−1(Ux)) = Vx

es abierto y cerrado en π−1(Ux). Se tiene entonces que F (A) es abiertoy cerrado en Y , por lo que es una componente conexa de Y .

F es inyectiva, porque π F es f , que es un homeomorfismo sobre suimagen. Entonces F : A→ F (A) es una biyeccion continua, cuya inver-sa es la aplicacion continua π : F (A)→ A. Ası, F es un homeomorfismosobre su imagen.

Lema 3.5.9. Sea π : Y → X una aplicacion continua, y supongamos quepara cada x ∈ X existe un entorno U en X tal que cada componente conexade π−1(U) contiene a lo mas un punto de π−1(x).

Supongamos que Y es compacto, y que V ⊂ X es un abierto tal queπ : π−1(V )→ V es una proyeccion recubridora. Si f : [0, 1]→ X (f : ∆→ X)es continua, y f−1(V ) contiene al intervalo abierto (0, 1) (al triangulo sinvertices ∆∗), entonces dado τ ∈ (0, 1) (τ ∈ ∆∗) y un punto y ∈ Y tales queπ(y) = f(τ), existe una unica aplicacion continua

F : ∆ = [0, 1]→ Y

tal que F (τ) = y, π F = f .

Demostracion. Por el lema 3.5.8, existe una unica aplicacion continua

F : ∆∗ = (0, 1)→ Y



tal que F (τ) = y y π F = f|(0,1) (π F = f|∆∗).Hay que probar que F (t) tiende a un unico lımite p1 cuando t tiende

a 0 (t tiende a (0, 0)), y lo analogo cuando t tiende a 1 (t tiende a (1, 0)y t tiende a (0, 1)). De esta forma, F se puede extender de manera unicaa una aplicacion continua F : [0, 1] → Y asignando F (0) = p1, F (1) = p2(F (0, 0) = p1, F (1, 0) = p2, F (0, 1) = p3).

Por hipotesis, f(0) (f(0, 0)) tiene un entorno U tal que cada componenteconexa de π−1(U) contiene a lo mas un punto de π−1(f(0)) (π−1(f(0, 0))).Para δ suficientemente pequeno, tenemos que f((0, δ]) ⊂ U (f(B(0, δ)∩∆∗) ⊂U), pues f es continua.

Entonces F ((0, δ]) ⊂ π−1(U) (F (B(0, δ)∩∆∗) ⊂ π−1(U)). Como F ((0, δ])es conexo (F (B(0, δ) es conexo), esta contenido en una componente conexaW de π−1(U).

Sea tn una sucesion en (0, δ] que tienda a 0 (tn ⊂ B(0, δ) ∩ ∆∗ quetiende a (0, 0)). Como Y es compacto, existe una sub-sucesion tnk

tal queF (tnk

)→ p1 ∈ Y cuando k →∞. Entonces

π(p1) = lım(π F )(tnk) = lım f(tnk

) = f(0) ∈ U,

de donde p1 ∈ π−1(U).Como F (tn) ⊂ W para todo n, y W es abierto y cerrado en π−1(U), se

sigue que p1 tiene que ser el unico punto de π−1(f(0)) que esta en W . Estoimplica que F (t) → p1 cuando t ∈ [0, δ) tiende a 0 (t ∈ B(0, δ) tiende a(0, 0)).

Se hace un procedimiento analogo para los otros puntos.

Nota 3.5.10. Observemos que un recubrimiento ramificado verifica las con-diciones de la aplicacion π en el lema anterior.

Teorema 3.5.11. Sea X una superficie de Riemann compacta, y Φ : X → Yun morfismo de grado d. Sea (V,E, F ) una triangulacion sobre Y tal que Vcontiene a la imagen de los puntos de ramificacion R de Φ. Entonces existeuna triangulacion (V , E, F ) de X tal que

V = Φ−1(V ),

E = e : [0, 1]→ X | e continua, Φ e ∈ E,F = f : ∆→ X | f continua, Φ f ∈ F.

Ademas,

card(V ) = d card(V )−∑

p∈R(ep(Φ)−1), card(E) = d card(E), card(F ) = d card(F ).



Demostracion. Si f ∈ F y p ∈ X , con Φ(p) = f(t) para algun t ∈ ∆∗ =∆− (0, 0), (1, 0), (0, 1), existe una unica aplicacion continua

f : ∆→ X

tal que Φ f = f y f(t) = p, por el lema 3.5.9. Como p no es punto deramificacion (Φ(p) no es vertice), el conjunto Φ−1(f(t)) contiene exactamented puntos de X . Entonces existen exactamente, por la unicidad, d funcionescontinuas f : ∆ → X con Φ f = f, f(t) = pi. Esto hace que card(F ) =d card(F ).

Se deduce tambien que

X − Φ−1(V ) = Φ−1f(t) | f ∈ F, t ∈ ∆∗= f(t) | f ∈ F , t ∈ ∆∗.

En particular,

G =⋃

f∈F

f(∆)

contiene a X−Φ−1(V ), y es denso en X , porque Φ−1(V ) contiene un numerofinito de puntos. Como ∆ es compacto, G es union finita de compactos, yes tambien compacto, luego cerrado. Ası, G es cerrado y denso en X , lo quesignifica que G = X . Esto implica que

Φ−1(V ) = f(t) | f ∈ F , t = (0, 0), (1, 0), (0, 1).

Si f ∈ F entonces Φ f ∈ F , luego Φ f σi ∈ E o bien Φ f σi r ∈ E para1 ≤ i ≤ 3. Entonces, si f ∈ F se tiene que f σi ∈ E o bien f σi r ∈ E.Por tanto,

f(t) ∈ e(0), e(1) | e ∈ E si t ∈ (0, 0), (1, 0), (0, 1).

Esto nos indica que

Φ−1(V ) = e(0), e(1) | e ∈ E,

pues lo anterior nos asegura que la inclusion, pero ademas Φ(e(0)) = e(0) ∈V,Φ(e(1)) = e(1) ∈ V para todo e ∈ E.

Por el lema 3.5.9, si e ∈ E y p ∈ X , con Φ(p) = e(t) para algun t ∈ (0, 1),existe una unica aplicacion continua

e : [0, 1]→ X tal que Φ e = e, e(t) = p.



Ademas, por el lema 3.5.8, la restriccion de e al intervalo abierto (0, 1) es unhomeomorfismo sobre su imagen en X . Se tiene ası la segunda condicion detriangulacion. Ademas,

Φ−1e(t) | e ∈ E, t ∈ (0, 1) = e(t) | e ∈ E, t ∈ (0, 1).

Por tanto, si

Γ =⋃

e∈Ee([0, 1]) = V ∪ e(t) | e(t) | e ∈ E, t ∈ (0, 1)

entonces

Φ−1(Γ) = Φ−1(V ) ∪ e | e ∈ E, t ∈ (0, 1) = Γ,

donde

Γ =⋃

e∈E

e([0, 1]).

Ademas, si t ∈ (0, 1) (intervalo abierto) y e ∈ E, entonces Φ−1e(t) contieneexactamente d puntos de X , pues e(t) no pertenece a Φ(R). Por tanto, hayexactamente d aplicaciones e : [0, 1]→ X tales que Φ e = e. Entonces

card(E) = d card(E).

Por el lema 3.5.8, si f ∈ F es una cara, entonces la restriccion de f a ∆0

es un homeomorfismo sobre su imagen, que es una componente conexa deΦ−1(f(∆0)), donde f = Φ f . Como f(∆0) es una componente conexa deY − Γ, se sigue que f(∆0) es una componente conexa de

Φ−1(Y − Γ) = X − Φ−1(Γ) = X − Γ.

Con esto se tiene la primera parte de la tercera condicion de triangulacion.La aplicacion f 7→ Kf de F en las componentes conexas de X − Γ es

una biyeccion, pues cada componente conexa Kf se levanta a d componentesconexas Kf .

Sea v ∈ V un vertice. El numero de pre-imagenes de v enX es card(Φ−1(v)),que lo podemos escribir como

card(Φ−1(v)) =∑

p∈Φ−1(v)

1

= deg(Φ) +∑

p∈Φ−1(v)

(1− ep(Φ)).



Entonces el numero total de pre-imagenes de vertices de Y , que es el numerocard(V ) de vertices de X , es

card(V ) =∑

vertices v∈V(deg(Φ) +

∑

p∈Φ−1(v)

(1− ep(Φ)))

= deg(Φ) card(V )−∑

vertices v∈V

∑

p∈Φ−1(v)

(ep(Φ)− 1)

= deg(Φ) card(V )−∑

vertices p∈V

(ep(Φ)− 1).



3.6. Formula de Hurwitz

Corolario 3.6.1. Formula de Hurwitz. Sea Φ : X → Y un morfismo noconstante entre superficies de Riemann compactas. Entonces

2g(X)− 2 = deg(Φ)(2g(Y )− 2) +∑

p∈X(ep(Φ)− 1).

Demostracion. Como X es compacto, el conjunto de puntos de ramificaciones finito, por lo que la suma es una suma finita. Sea g(X) el genero de lasuperficie X , y g(Y ) el genero de Y . Consideramos una triangulacion comola del teorema anterior 3.5.11. Entonces

2g(X)− 2 = −χ(X)

= − card(V ) + card(E)− card(F )

= − deg(Φ) card(V ) +∑

vertices p∈X(ep(Φ)− 1)

+ deg(Φ) card(E)− deg(Φ) card(F )

= − deg(Φ)χ(Y ) +∑

vertices p∈X(ep(Φ)− 1)

= deg(Φ)(2g(Y )− 2) +∑

p∈X(ep(Φ)− 1),

donde la ultima igualdad se tiene porque todo punto de ramificacion de Φ esun vertice.

Esta misma prueba es la que aparece en [BK86, p.613], pero obviando losresultados sobre existencia de la triangulacion y su levantamiento. Tambienes interesante la comparacion con [Mir95, p.52]

Ejemplo 3.6.2. Vamos a dar una formula para el genero topologico deuna curva proyectiva lisa definida por un polinomio homogeneo de gradod ([Pal05, cap. 9, p.12], [Kir92, secc. 4.19, p. 104]). Sea p un polinomio ho-mogeneo no singular de grado d en C3 y X la curva proyectiva en P2 definidapor el polinomio p. Vamos a probar que

g(X) =(d− 1)(d− 2)

2

mediante la aplicacion de la formula de Hurwitz a una proyeccion. Escogemosun sistema de referencia (z0 : z1 : z2) en P2 tal que la recta r : z0 = z1 = 0



no corte a la superficie X = z ∈ C3 | p(z) = 0, z 6= 0. La aplicacionπ : X → C2 − 0, π(z) = (z0, z1) esta bien definida, y da lugar al morfismoρ : Y → P1, ρ(x0 : x1 : x2) = (x0 : x1). El grado de ρ es igual a d. Los puntosde ramificacion de ρ son los puntos p = (α0 : α1 : α2) tales que

p(α0, α1, α2) =∂p

∂z2(α0, α1, α2) = 0.

Mediante un cambio de sistema de referencia adicional, podemos conseguirque los puntos de ramificacion tengan ındice igual a 2 ([Kir92, Lema 4.8,p. 97], pues se trata de que el punto (0 : 0 : 1) no pertenezca a ningunatangente a X en sus puntos de inflexion (que son un numeo finito). Entoncesel numero de puntos de ramificacion es igual a d(d− 1) ([Kir92, Lema 4.7, p.97], y aplicamos la formula de Hurwitz:

2g(X)− 2 = deg(ρ)(2g(P1)− 2) + d(d− 1)

= −2d+ d2 − d = d2 − 3d,

de donde

g(X) =1

2(d− 1)(d− 2).


Capıtulo 4

Ejemplos de superficies de

Riemann

4.1. Pegado de superficies

Sean X, Y espacios topologicos, con abiertos U ⊂ X y V ⊂ Y no vacıos,y supongamos que existe un homeomorfismo φ : U → V . Formamos la uniondisjunta X

∐Y = (X ×1)∪ (Y ×2). Tenemos las inclusiones iX : X →

X∐Y, iY : Y → X

∐Y definidas por iX(x) = (x, 1), iY (y) = (y, 2). Los

abiertos de X∐Y son los subconjuntos cuyas preimagenes por iX , iY son

abiertos respectivos de X, Y .Consideremos el espacio cociente (X

∐Y )/[u ≃ φ(u) para u ∈ U ]. Tene-

mos una particion de X∐Y formada por

conjuntos de un elemento x para x ∈ X − U ,

conjuntos de un elemento y para y ∈ Y − V ,

pares u, φ(u) para u ∈ U .

Este cociente, que llamaremos Z, se suele notar comoX⋃φ Y o comoX

∐Y/φ,

y se llama el pegado del espacio X y el espacio Y a lo largo de U y V medianteφ . La proyeccion π : X

∐Y → Z es continua, y un subconjunto W ⊂ Z es

abierto si y solamente si π−1(W ) es abierto de X∐Y .

Lema 4.1.1. Las aplicaciones jX = π iX , jY = π iY son inmersiones, yaplicaciones abiertas.

Demostracion. Si π(iX(x)) = π(iX(x′)), distinguimos los casos x ∈ X −

U, x ∈ U . En el primero, π(iX(x)) = x, y entonces π(iX(x′)) tiene que

77


ser tambien un conjunto de un elemento, luego x = x′. El segundo caso esanalogo.

Si A ⊂ X es un abierto, tenemos que probar que (π iX)(A) es abiertode Z, o lo que es lo mismo, que π−1(π(iX(A))) es abierto de X

∐Y . Es facil

ver que π−1(π(iX(A))) = A∐φ(A), y tenemos el resultado.

Lema 4.1.2. Si X y Y son espacios conexos, entonces Z es conexo.

Demostracion. Sea A ⊂ X∐Y/φ abierto y cerrado no vacıo. Entonces

j−1X (A) es abierto y cerrado en X , por lo que j−1

X (A) = ∅ o bien j−1X (A) = X .

Si j−1X (A) = ∅, entonces j−1

Y (A) ⊂ Y − V . Como A es no vacıo, resulta quej−1Y (A) es un abierto, cerrado, no vacıo de Y , por lo que se tiene entoncesque verificar que j−1

Y (A) = Y , lo que obliga a que V = ∅.Si j−1

X (A) = X , entonces j−1Y (A) es abierto y cerrado de Y . Si es vacıo,

entonces, como en el caso anterior, j−1X (A) ⊂ X−U , y esto implica que U = ∅.

Si es el total, entonces las condiciones j−1X (A) = X, j−1

Y (A) = Y implican queA = Z.

Nuestro interes es estudiar lo que ocurre cuando X y Y son superficiesde Riemann.

Proposicion 4.1.3. Sea X, Y superficies de Riemann, con U ⊂ X y V ⊂ Yabiertos no vacıos tales que existe un isomorfismo φ : U → V . Si Z esHausdorff, existe una estructura de superficie de Riemann en Z = X

∐Y/φ

tal que las inclusiones jX , jY son morfismos.

Demostracion. Consideremos las inclusiones

jX : X → Z, jY : Y → Z.

Para cada carta ψ : Uα → ψ(Uα) en X , consideremos el abierto jX(Uα) enZ, y definimos un homeomorfismo

ψ j−1X : jX(Uα)→ ψ(Uα).

Hacemos lo analogo para cartas (ϕ, Vβ) en Y . Vamos a ver que estas cartasson compatibles.

Supongamos que jX(Uα) ∩ jY (Vβ) 6= ∅. Entonces

j−1X (jX(Uα) ∩ jY (Vβ)) ⊂ Uα, j

−1Y (jX(Uα) ∩ jY (Vβ)) ⊂ Vβ,

y

(ψ j−1X (ϕ jY )−1)(s) = (ψ j−1

X jY ϕ−1)(s) = (ψ φ−1 ϕ−1)(s),



que es holomorfa, por ser φ−1 morfismo.Como X, Y son conexas, Z tambien lo es, y con la hipotesis de Hausdorff,

tenemos que Z es superficie de Riemann. Ademas, las inclusiones jX , jY sonmorfismos. Sea p ∈ X , y (U, ψ) una carta en p, por lo que (jX(U), ψ j−1

X )es carta en jX(p). Entonces

(ψ j−1X jX ψ−1)(s) = s

es holomorfa.

Ejemplo 4.1.4. La esfera de Riemann C∞ se puede obtener como el pegadode X = Y = C a lo largo de U = V = C∗, mediante φ(z) = 1/z. SeaZ = X

∐Y/φ. En este espacio, hablando de una manera informal, podemos

distinguir tres tipos de puntos: el 0 de X , que notaremos por 0X , los pares(z, 1/z), con z 6= 0, y el punto 0Y . El espacio Z es Hausdorff. DefinimosF : Z → P1(C) como F (z) = (1 : z), si z ∈ X , y F (0Y ) = (0 : 1). Recordemosque las cartas en X y en Y son la identidad en C. Si p = z ∈ X , una cartaen p es j−1

X , yϕ0 F (j−1

X )−1(s) = s,

que es una funcion holomorfa. Para p = 0Y , tenemos que

ϕ1 F (j−1Y )−1(s) = ϕ1 F (sY ),

y vemos sY como punto de Y . Como F esta definido para puntos de X ,

hacemos la identificacion sYφ−1

→ sX = 1/sY , y obtenemos

ϕ1 F (1/s) = ϕ1(1 : 1/s) = s,

que tambien es holomorfa. Claramente, es biyectiva, por lo que es isomorfis-mo.

Nota 4.1.5. El pegado de X = Y = C a lo largo de U = V = C∗ medianteel isomorfismo φ(z) = z da lugar a un espacio Z = X

∐Y/φ que no es

Hausdorff: los puntos 0X y 0Y no se pueden separar.



4.2. Superficies de Riemann hiperelıpticas

Sea h(x) un polinomio de grado 2g + 1 o 2g + 2, con raıces distintas.Formamos la curva plana afın X dada por la ecuacion y2 = h(x). Sea

U = (x, y) ∈ X | x 6= 0,

que es un abierto de X . Sea k(z) = z2g+2h(1/z). Observemos que k(z) esun polinomio en z, y que tambien tiene raıces distintas como h(x). Vamos aestudiar el grado de k(z) y sus raıces.

1. Supongamos que el grado de h(x) es 2g + 2.

a) Si h(x) no tiene la raız cero, entonces las raıces de k(z) son lasinversas de las raıces ri de h(x), y es de grado 2g + 2.

b) Si h(x) tiene la raız cero, entonces k(z) es de grado 2g + 1, y susraıces son las inversas de las raıces no nulas de h(x).

En ambos casos, k(z) no tiene la raız cero.

2. Supongamos que el grado de h(x) es 2g + 1.

a) Si h(x) no tiene la raız cero, entonces las raıces de k(z) son lasinversas de las raıces de h, mas el cero, y es de grado 2g + 2.

b) Si h(x) tiene la raız cero, entonces k(z) es de grado 2g + 1, y susraıces son las inversas de la raıces no nulas de h(z), mas el cero.

En ambos casos, k(z) tiene la raız cero.

Consideremos la curva plana afın Y definida por la ecuacion w2 = k(z),y sea

V = (z, w) ∈ Y | z 6= 0.Definimos la aplicacion φ : U → V por

φ(x, y) = (z, w) =

(1

x,y

xg+1

).

Claramente es biyectiva, con inversa

φ−1(z, w) =

(1

z,w

zg+1

).

Formamos el espacio pegado Z = X⋃φ Y , y vamos a probar que es una

superficie de Riemann, que llamaremos superficie de Riemann hiperelıptica



asociada a la curva X , o curva hiperelıptica . En primer lugar, veamos queφ es un morfismo. Llamemos F (x, y) = y2 − h(x), G(z, w) = w2 − k(z). Seap = (x0, y0) ∈ U , con x0 6= 0. Si y0 6= 0, entonces ∂F/∂y(p) 6= 0, y πx escarta en U . Como φ(p) = (z0, w0) verifica que w0 6= 0, la carta en φ(p) es πz.Entonces

(πz φ π−1x )(s) = (πz φ)(s, r(s)) =

1

s,

que es holomorfa en πx(U).

Si y0 = 0, entonces πy es la carta en U , y πw es la carta en φ(p). En talcaso

(πw φ π−1y )(s) = (πz φ)(t(s), s)) =

s

t(s)g+1,

que es holomorfa en πy(U), pues t(s) 6= 0 (recordemos que t(0) = 1/x0 6= 0).

Ademas, Z es Hausdorff. El unico caso a estudiar es cuando p ∈ X −U yq ∈ Y − V . Entonces p = (0, α) y q = (0, β), y el abierto Up = (x, y) ∈ X ||x| < 1 no corta a Vq = (z, w) ∈ Y | |z| < 1. En efecto, si (x0, y0) ∈ Up,con x0 = 0, entonces es un punto que esta en X y no puede estar en Y .Si x0 6= 0, entonces se identifica con (1/x0, λ), y ‖1/x0‖ > 1, por lo que noesta en Vq.

Lema 4.2.1. Z es una superficie de Riemann compacta tal que la aplicacionπ : Z → P1 definida por

π(x, y) =

(1 : x) si (x, y) ∈ X,(0 : 1) si (x, y) ∈ Y − V,

es un morfismo de grado 2, y el genero de Z es g.

Demostracion. El caracter compacto de Z se deduce a partir de la igualdad

Z = (x, y) ∈ X | ‖x‖ ≤ 1 ∪ (z, w) ∈ Y | ‖z‖ ≤ 1.

Sea p = (x0, y0) ∈ X . Si y0 6= 0, la carta en X de p es πx, y la carta en Z esπx j−1

X . Analogamente, si y0 = 0, la carta en Z de p es πy j−1X . En ambos

casos, la carta en π(p) = (1 : x0) es ϕ0. Entonces

h1(s) = ϕ0 π (πx j−1X )−1(s) = ϕ0(1 : s) = s,

h2(s) = ϕ0 π (πy j−1X )−1(s) = ϕ0(r(s), s) = r(s),

donde s2 = h(r(s)), y r(s) una funcion holomorfa.

Sea ahora (0, β) ∈ Y − V , y β2 = k(0). Distinguimos dos casos:



deg(h) = 2g + 2. Entonces existen β1, β2 6= 0 tales que β2i = k(0), pues

0 no es raız de k(z). La carta en p es πz j−1Y , la carta en π(p) es ϕ1, y

h3(s) = ϕ1 π (πz j−1Y )(s)

= ϕ1 π jY (s, t(s)), donde t(s)2 = k(s),

= ϕ1 π(1/s, t(s)/sg+1) = s.

deg(h) = 2g + 1. En este caso, k(0) = 0, y tenemos que considerar unsolo punto (0, 0). La carta en p es πw j−1

Y , y

h4(s) = ϕ1 π (πw j−1Y )(s)

= ϕ1 π jy(u(s), s), con s2 = k(u(s)),

= ϕ1 π(1/u(s), s/u(s)g+1) = u(s),

que es holomorfa en πw j−1Y (p) = 0.

La imagen inversa de un punto arbitrario de P1 consta de dos puntos, porlo que el grado es 2. Ası, los puntos de ramificacion tendran un ındice iguala dos. Calculemos dichos puntos. Para ello, necesitamos las funciones hi quehemos calculado anteriormente para los diferentes casos. En particular,

Puntos p = (x0, y0) ∈ X , con y0 6= 0. La funcion a estudiar es h1(s) = s,cuya derivada no se anula. Por tanto, estos puntos no son de ramifica-cion.

Puntos p = (x0, 0) ∈ X , y πy j−1X (p) = 0. Se corresponden con las

raıces de h(x). La funcion a estudiar es la derivada de h2(s) = r(s), cons2 = h(r(s)) en s = 0. Entonces 2s = h′(r(s))r′(s). Como h(r(0)) = 0,entonces h′(r(0)) 6= 0, y se sigue que r′(0) = 0. Por tanto, estos puntosson de ramificacion. Hay tantos como el grado de h.

Puntos p = (0, β1), (0, β2) ∈ Y , para deg(h) = 2g + 2. A partir de h3,es inmediato que no son de ramificacion.

Punto p = (0, 0) ∈ Y , para deg(h) = 2g + 1. Hay que estudiar laderivada de la funcion h4(s) = u(s) en s0 = πw j−1

Y (p) = 0. Comok(u(0)) = 0, k′(u(0)) 6= 0, tenemos que 2s = k′(u(s))u′(s), por lo queu′(0) = 0, y es punto de ramificacion.

En conclusion, de manera independiente al grado de h, obtenemos 2g +2 puntos de ramificacion, con ındice igual a 2. Si aplicamos la formula de



Hurwitz, nos queda

2g(Z)− 2 = deg(π)(2g(P1)− 2) +∑

p∈R(ep(π)− 1)

= 2(−2) + 2g + 2 = 2g − 2,

de donde g(Z) = g.

Nota 4.2.2. Una forma clasica de definir las superficies hiperelıpticas la en-contramos en [Pal05, RS1, Example 4]. Es interesante la comparacion con eldesarrollo anterior.



4.3. Accion de un grupo

Sea G un grupo y X una superficie de Riemann. Supondremos que G esun grupo finito, aunque algunos resultados son tambien validos para el casoinfinito.

Una accion de G sobre X es una aplicacion G×X → X , que notaremospor (g, p) 7→ g · p, que verifica:

1. (gh) · p = g · (h · p), para g, h ∈ G y p ∈ X ,

2. e · p = p para p ∈ X y e ∈ G el elemento neutro.

Tecnicamente, esta es una accion por la izquierda.Fijado g ∈ G, la aplicacion ϕg(p) = g ·p es una biyeccion, de inversa ϕg−1.La orbita de un punto p ∈ X es el conjunto G ·p = g ·p | g ∈ G ⊂ X . Si

A ⊂ X es un subconjunto, notaremos por G ·A = g · a | g ∈ G, el conjuntode orbitas de puntos de A.

El estabilizador de un punto p ∈ X es el subgrupo Gp = g ∈ G | g · p =p ⊂ G.

Lema 4.3.1. Gg·p = gGpg−1.

Demostracion. Sea h ∈ Gg·p. Entonces h·(g·p) = g·p, de donde (g−1hg)·p = py g−1hg = r, con r ∈ Gp. Entonces h = grg−1, con r ∈ Gp. El recıproco esigual.

Lema 4.3.2. |G · p||Gp| = |G|.Demostracion. Consideremos las clases laterales (G : Gp). Sabemos que elcardinal card(G : Gp) = |G|/|Gp|. Es facil ver que la aplicacion φ : G · p →G : Gp dada por φ(g · p) = gGp es biyectiva, y tenemos el resultado.

El nucleo de una accion es el subgrupoK = g ∈ G | g·p = p para todo p ∈X. Es inmediato ver que

K =⋂

p∈XGp,

y que es un subgrupo normal de G.

Proposicion 4.3.3. El grupo cociente G/K actua sobre X con nucleo trivial,y tiene las mismas orbitas que la accion de G sobre X.

Demostracion. La accion de G/K se define como gK · p = g · p. No dependedel representante g elegido, por la definicion de K. Su nucleo es trivial, puessi gK ·p = p para todo p ∈ X , entonces g ·p = p para todo p, de donde g ∈ K.Ademas, es evidente que la orbita G/K · p = g · p | g ∈ G = G · p.



Definicion 4.3.4. Decimos que una accion es efectiva si tiene nucleo trivial.

Por la proposicion anterior, podemos suponer que las acciones son efecti-vas. Observemos que si la accion del grupo G es efectiva, entonces si para doselementos g, h ∈ G se tiene la igualdad de las aplicaciones ϕg = ϕh, entonces(h−1g) · p = p para todo punto p ∈ X , de donde g = h.

La accion es continua, respectivamente holomorfa, si para cada g ∈ G, labiyeccion ϕg(p) = g ·p es una aplicacion continua, respectivamente holomorfa.En el caso holomorfo tenemos un automorfismo de X .

Definicion 4.3.5. El espacio cociente X/G es el espacio formado por lasorbitas.

Tenemos una aplicacion π : X → X/G definida por π(p) = G · p. Induci-mos la topologıa final en X/G, que hace a π continua: U ⊂ X/G es abiertosi y solamente si π−1(U) es abierto de X .

Lema 4.3.6. Si la accion es continua, entonces π es una aplicacion abierta.

Demostracion. Sea A ⊂ X un abierto. Hay que probar que π−1(π(A)) esabierto de X . No es difıcil ver que

π−1(π(A)) =⋃

g∈Gϕ−1g (A),

que es una union de abiertos.

Nuestro objetivo es dar a X/G una estructura compleja de forma que πsea un morfismo de superficies de Riemann.

Para definiciones de grupos topologicos y grupos discretos, ver [JS87,p.60–62] (algunos resultados en [Wil70, 13G]).

Proposicion 4.3.7. Sea G un grupo finito con accion holomorfa y efectivasobre una superficie de Riemann X. Entonces los puntos de X con estabili-zadores no triviales forman un conjunto discreto.

Demostracion. Supongamos que existe una sucesion pn que converge a unpunto p, tal que cada pi tiene un elemento gi 6= e que lo estabiliza. Como Ges finito, podemos pasar a una subsucesion y suponer que todos los pi sonfijados por el mismo elemento no trivial g. Si la accion es continua, tambiendeja fijo al punto lımite p. Sin embargo, como la accion es holomorfa, tieneque ser la identidad, esto es, ϕg = id = ϕe. Como la accion es efectiva,llegamos a que g = e. Por tanto, los puntos con estabilizador no trivial nopueden acumular y forman un conjunto discreto.



Proposicion 4.3.8. Sea G un grupo finito con accion holomorfa y efectivasobre una superficie de Riemann X. Fijamos un punto p ∈ X. Entoncesexiste un entorno abierto U de p tal que:

1. U es invariante por la accion del estabilizador Gp, esto es, g · u ∈ Upara todo g ∈ Gp y u ∈ U .

2. U ∩ (g · U) = ∅ para todo g 6∈ Gp.

3. La aplicacion natural inducida α : U/Gp → X/G por la que a cadaq ∈ U lo envıa en su orbita G·q es un homeomorfismo sobre un conjuntoabierto de X/G.

4. Ningun punto de U , excepto p, es fijo por la accion de Gp:

Si q 6= p, q ∈ U, entonces g · q 6= q para todo g ∈ Gp − e.

Demostracion. Sea G−Gp = g1, . . . , gn los elementos deG que no dejan fijoa p. Como X es Hausdorff, para cada i = 1, . . . , n existen entornos abiertosVi(p) y Wi(gi · p) con Vi ∩Wi = ∅. Observemos que g−1

i ·Wi es un entornoabierto de p, para cada i. Sea Ri = Vi ∩ (g−1

i ·Wi), y consideremos

R =n⋂

i=1

Ri y U =⋂

g∈Gp

g · R.

Entonces

U es un entorno abierto de p, pues es la interseccion finita de entornosabiertos de p,

g · U = U para g ∈ Gp, pues lo que se obtiene es la interseccion de losmismos abiertos, pero en diferente orden.

Con esto tenemos la primera parte. Para la segunda, observemos que

Ri ∩ (gi · Ri) ⊂ Vi ∩Wi = ∅,

de donde

R ∩ (gi · R) = ∅ y U ∩ (gi · U) = ∅, para todo i = 1, . . . , n.

Finalmente, consideremos la aplicacion α : U/Gp → X/G.

El conjunto U/Gp tiene sentido por 1): el conjunto U permanece inva-riante por la accion de Gp.



La aplicacion α(Gp · q) = G · q esta bien definida. Si Gp · q1 = Gp · q2,con q1, q2 ∈ U , entonces q1 = h · q2, para h ∈ Gp, y G · q1 = G · (hq2) =(Gh) · q2 = G · q2.

La aplicacion α es inyectiva. Supongamos que G · q1 = G · q2. Tenemosque

G · q1 = g · q1 | g ∈ Gp ∪ h · q1 | h 6∈ Gp = Gp · q1 ∪ (G−Gp) · q1,

y son conjuntos disjuntos por 1) y 2), con el primero contenido en U , yel segundo con ningun elemento en U . Lo mismo para G · q2. Entonceslos primeros conjuntos son iguales, esto es, Gp · q1 = Gp · q2.

La aplicacion α es continua y abierta. Consideremos el siguiente dia-grama:

UπU //

π|U !!CCC

CCCC

CCU/Gp

α

X/G

Entonces απU = π|U . Como πU es sobreyectiva, se tiene que α−1(W ) =πU(π

−1|U (W )) y α(V ) = π|U(π

−1U (V )). Como πU y π|U son continuas y

abiertas, tambien lo es α. Por tanto, es un homeomorfismo sobre suimagen.

Lo ultimo que nos queda es verificar que todo punto de U , distinto de p, nopermanece fijo por la accion de los elementos de Gp − e. Basta para elloreducir U para que no tenga en su interior puntos con estabilizador no trivial,salvo p, que forman un conjunto discreto.

La proposicion anterior nos indica como definir las cartas en X/G: defi-nimos cartas en U/Gp y las transportamos a X/G mediante α.

Escojamos un punto p ∈ X/G, y supongamos que p es la orbita de unpunto p ∈ X .

Caso 1: |Gp| = 1, esto es, el estabilizador de p es trivial. La proposicion4.3.8 implica que existe un entorno U(p) tal que π|U : U → W ⊂ X/Ges un homeomorfismo sobre un entorno W de p. Mediante un ajustede tamano, podemos suponer que U es el dominio de una carta φ :U → Ω en X . Entonces tomamos como carta en X/G la composicionψ = φ π−1

|U : W → Ω. Tanto φ como π|U son homeomorfismos, luego

ψ es carta en X/G.



Caso 2: |Gp| = m ≥ 2. Por la proposicion 4.3.8, escogemos un entornoU(p), que es invariante por Gp, tal que la aplicacion α : U/Gp →W ⊂ X/G es un homeomorfismo sobre un entorno W de p. Ademas, laaplicacion πU : U → U/Gp es exactamente m a 1 en todo punto distintode p. En efecto, si g1 · q = g2 · q, con g1, g2 ∈ Gp, entonces g

−12 g1 ∈ Gp

dejarıa fijo a q, y la proposicion nos dice que eso solamente le ocurre ap.

Buscamos una aplicacion φ : W → C que nos sirva como carta alrededorde p. Supongamos que la tenemos construida. Entonces, en el diagrama

UπU−→U/Gp

α−→W φ−→C,

tendrıamos la aplicacion h = φ α πU : U → C, que es una aplica-cion Gp-invariante. Sea ϕ una carta en X centrada en p, con U comodominio, y consideremos la aplicacion h : U → C definida por

h(q) =∏

g∈Gp

ϕ(g · q).

Observemos que

• h esta bien definida, pues el entorno U es Gp-invariante.

• h es holomorfa, pues es producto de funciones holomorfas. Portanto, tambien es abierta.

• h(ϕ−1(z)) =∏

g∈Gpϕ(g · ϕ−1(z)), y cada aplicacion ψg(z) = ϕ(g ·

ϕ−1(z)) es una biyeccion, de ındice de ramificacion igual a 1 en elpunto z = 0. Entonces el ındice de ramificacion de la aplicacion hen el punto p es igual a m, pues el orden del producto es la sumade los ordenes. Ademas, en un entorno de p, la aplicacion h es ma 1.

• h es Gp-invariante: h(g · q) = h(q) para g ∈ Gp, pues se reordenanlos factores.

Entonces tiene sentido considerar h : U/Gp → C definida como

h(Gp · q) = h(q), o lo que es lo mismo, h = h πU .

Como h y πU son continuas y abiertas, h es continua y abierta.

Ademas, h es inyectiva. Si h(Gp·q1) = h(Gp·q2), entonces, por definicionh(q1) = h(q2), con q1, q2 ∈ U . Sea h(q1) = z1 ∈ C. Entonces h−1(z1) =



g · q1 | g ∈ Gp, porque card(h−1(z1)) = m y h(g · q1) = h(q1) paratodo g ∈ Gp. Entonces las orbitas Gp · q1 y Gp · q2 coinciden.

Como h es inyectiva, continua, y abierta, es un homeomorfismo sobresu imagen. Si la componemos con la inversa de α nos queda la carta φsobre W . Ademas, h es holomorfa, pues, al igual que h se expresa comoproducto de funciones holomorfas.

Wα−1

//

φ ##GGG

GGGG

GGU/Gp

h

Ω ⊂ C

Observemos que el primer caso de multiplicidad 1 es un caso especial delsegundo: si m = 1, entonces h(ϕ−1(z)) = z, y recuperamos las cartas origi-nales.

Teorema 4.3.9. Sea G un grupo finito con accion efectiva y holomorfa sobreX. Entonces la construccion anterior de cartas complejas sobre X/G dota deestructura de superficie de Riemann a X/G. Ademas, la aplicacion cocienteπ : X → X/G es un morfismo de grado |G| (caso compacto), y ep(π) = |Gp|.Demostracion. Las cartas cubren a X/G. Hay que verificar que son compa-tibles. Como los puntos con estabilizadores no triviales forman un conjuntodiscreto, podemos suponer que dos cartas construidas en el caso m ≥ 2 nose cortan.

1. Consideremos dos cartas del tipo m = 1. Las cartas son de la formaϕi = φi π−1

|U , i = 1, 2, con φi, i = 1, 2 cartas en X , y

ϕ2 ϕ−11 = φ2 φ−1

2 ,

que es holomorfa.

2. Supongamos ahora que φ1 : U1 → Ω1 es una carta del caso m = 1y φ2 : U2 → Ω2 es una carta del caso m ≥ 2, para puntos respectivosp1, p2. Sean U1 y U2 los abiertos deX usados para construir estas cartas.

Puede ocurrir que U1 y U2 no se corten, pero en tal caso consideramosun trasladado de U1 que corte a U2. Sean ϕ1, ϕ2 cartas locales de X enU1 y U2, respectivamente. Por un lado tenemos que φ1 = ϕ1 π−1

|U1, y

por otro consideremos el diagrama

U2

ϕ2

πU2// U2/Gp2α //

h ##GGG

GGGG

GGU2

φ2

Σ2 Ω2,



y la carta local en U2 es h α−1. Entonces

φ−11 (z) = π|U1

(ϕ−11 (z)) = G · ϕ−1

1 (z),

φ2(G · q) = h(α−1(G · q)) = h(Gp · q) = h(q) =∏

g∈Gp2

ϕ2(g · q),

y

(φ2 φ−11 )(z) = φ2(G · ϕ−1

1 (z))

=∏

g∈Gp2

ϕ2(g · ϕ−11 (z))

=∏

g∈Gp2

(ϕ2 ϕg ϕ−11 )(z),

que es un producto de funciones holomorfas, dado que la accion esholomorfa.

Como G es finito y X es Hausdorff, tambien lo es X/G: sean G · q1 6= G ·q2 orbitas distintas. Ya que se componen de un numero finito de puntos,podemos separar los puntos de G · q1 de los puntos de G · q2. De π abierta, sededuce que las imagenes de estos entornos no se cortan en X/G (ver [Kos86,p.60]).

X/G tambien es conexo, pues π : X → X/G es sobreyectiva y continua,y X conexo.

No es difıcil ver que π es morfismo: con la construccion anterior, φ1 π ϕ−12 = hϕ−1

2 , que es holomorfa. Ademas, ep(π) es la multiplicidad de h, porlo que ep(π) = m = |Gp|. Si X es compacto, tiene sentido hablar de deg(π),y el numero de anti-imagenes de G · p, contando multiplicidades, es |G|.Nota 4.3.10. Es bien conocida la propiedad universal de la aplicacion π : X →X/G para espacios topologicos: una aplicacion f : X/G→ Z es continua si ysolamente si f π : X → Z es continua. Se tiene un resultado analogo parasuperficies de Riemann. Sea G un grupo finito con accion holomorfa efectivasobre una superficie de Riemann X , y consideremos una aplicacion continuaf : X/G → Z entre superficies de Riemann. Entonces f es morfismo si ysolamente si f π : X → Z es morfismo.

Es claro que si f es morfismo, entonces f π es morfismo. Para el recıprocotenemos que recordar las formas de las cartas en la superficie de RiemannX/G. Sea G · p un punto de X/G y q = f(G · p). Sea ψ carta de q en Z.

El estabilizador de p es trivial. En este caso, la carta de G · p en elcociente es de la forma φ = ϕ π−1

|U , donde ϕ es carta de p en X .Entonces

ψ f φ−1 = ψ f π|U ϕ−1



es holomorfa, pues f π es morfismo.

El estabilizador de p no es trivial. La carta en G · p es de la formaφ = h α−1. Recordemos que h es holomorfa y biyectiva, por lo queh−1 es una funcion holomorfa. Si notamos h−1(s) = Gp · q(s) ∈ U ,entonces s =

∏g∈Gp

ϕ(g · q(s)), donde ϕ es carta de p en X . Entonces

ψ f φ−1(s) = ψ f π(q(s)), pues α h−1(s) = G · q(s) = π(q(s)).

Basta entonces probar que la aplicacion que a cada s le asigna q(s),con s =

∏g∈Gp

ϕ(g ·q(s)) es un morfismo de un abierto de C en U ; pero

esta aplicacion no es mas que h−1, de donde tenemos el resultado.

Vamos a ver ahora una forma especial que pueden tener las cartas en unasuperficie X/G. Es una version del teorema de forma normal de cartas localespara este tipo de superficies de Riemann. Comenzamos con un resultadoprevio.

Proposicion 4.3.11. Sea G un grupo con accion holomorfa y efectiva sobreuna superficie de Riemann, y fijemos p ∈ X. Supongamos que Gp es finito.Entonces Gp es un grupo cıclico. En particular, si G es finito, todos lossubgrupos estabilizadores son subgrupos cıclicos.

Demostracion. Sea ϕ una carta local centrada en p. Para cualquier g ∈ Gp,consideremos el automorfismo ϕg, y el desarrollo en serie

ϕ ϕg ϕ−1(z) =∑

n≥0

anzn.

Como ϕg(p) = p, vemos que a0 = 0. Ademas, a1 6= 0, pues ϕg es automorfis-mo. Tenemos ası definida una aplicacion a1 : Gp → C∗. Si g, h ∈ Gp, entoncesϕgh = ϕg ϕh, de donde el desarrollo en serie queda

ϕ (ϕg ϕh) ϕ−1(z) =∑

n≥1

an(g)

(∑

m≥1

am(h)zm

)n

= a1(g)a1(h)z + terminos de orden superior,

de donde a1(gh) = a1(g)a1(h). Hemos probado que la aplicacion a1 es unhomomorfismo de grupos. Veamos que, ademas, es inyectivo. Sea g ∈ Gp unelemento del nucleo de a1. Entonces

ϕ ϕg ϕ−1(z) = z + terminos de orden superior.



Debemos probar que esta funcion es la identidad, esto es, que no hay terminosde orden superior. Supongamos que no es el caso, y sea m ≥ 2 el exponentedel primer termino no nulo de esa parte de la serie. Entonces

ϕ ϕg ϕ−1(z) = z + azm mod zm+1, con a 6= 0.

Por induccion se tiene que

ϕ (ϕg)k ϕ−1(z) = z + kazm mod zm+1.

Pero suponemos que Gp es finito, por lo que existe k tal que gk = e, de dondeϕkg = id. Por tanto, para algun k, el termino ka es nulo, lo que implica quea = 0. En conclusion, ϕg = id, y g = e.

Ası, Gp es isomorfo a un subgrupo finito de C∗, pero estos grupos soncıclicos. Por tanto, Gp es cıclico.

Corolario 4.3.12. Sea G un grupo finito con accion holomorfa y efectivasobre una superficie de Riemann X. Sea p ∈ X un punto con estabilizadorno trivial de orden m, y sea h ∈ Gp un generador (recordemos que es cıclico).Entonces existe una carta local ϕ de X centrada en p tal que ϕ ϕh = λϕ,donde λ es una raız primitiva m-esima de la unidad.

Demostracion. Por el teorema de forma local, existe una carta ψ en X/Gcentrada en π(p), y una carta ϕ centrada en p tal que

(ψ π ϕ−1)(z) = zm.

Si w0 6= 0, y zm0 = w0, entonces las pre-imagenes por ψ π ϕ−1 son loselementos z0, εz0, . . . , ε

m−1z0, donde ε es una raız primitiva m-esima de launidad. Entonces,

(ψ π ϕ−1)(εkz0) = w0, k = 0, 1, . . . , m− 1.

Por otro lado, sea p0 = ϕ(z0). Entonces su orbita contiene los puntos

p0, h · p0, . . . , hm−1 · p0,

y (ψ π ϕkh)(p0) = w0, por lo que los puntos hk · p0 se corresponden biyecti-vamente con los puntos ϕ−1(εjkz0). Se concluye que (ϕ ϕh)(p0) = λz0, conλ raız primitiva m-esima de la unidad.



4.4. Ramificacion de la aplicacion cociente

Sea G un grupo finito, con accion holomorfa y efectiva sobre una superficiede Riemann compacta X . Consideremos Y = X/G, y la proyeccion π : X →Y . Dado y ∈ Y un punto rama de la proyeccion π, sean x1, . . . , xs los puntosde X que se aplican en y:

π−1(y) = x1, . . . , xs.

Sabemos que alguno de los xi es un punto de ramificacion. Pero en es-te caso podemos decir mucho mas. Todos los xi estan en la misma orbita(G ·x1 = x1, . . . , xs), por lo que sus grupos estabilizadores Gxi son subgru-pos conjugados. En particular, todos estos estabilizadores tienen el mismonumero de elementos: |Gxi| = r. Ademas, el numero s de puntos de la orbitaes el ındice del subgrupo estabilizador (recordemos que |Gp| · |G · p| = |G|),y s = |G|/r. En las condiciones anteriores, tenemos que exi = |Gxi| = r,es decir, todos los puntos de la orbita son puntos de ramificacion con ındiceigual a r.

Vamos a aplicar la formula de Hurwitz, pues lo anterior nos permite daruna expresion sencilla. Sean y1, . . . , yk los puntos rama de π. Para cada xij ∈π−1(yi), es punto de ramificacion, y exij (π) = ri, con card π−1(yi) = |G|/ri.Entonces

2g(X)− 2 = deg(π)(2g(X/G)− 2) +R

= |G|(2g(X/G)− 2) +

k∑

i=1

(ri − 1)|G|ri

= |G|(2g(X/G)− 2 +

k∑

i=1

(1− 1

ri

)).

Lema 4.4.1. Sean k enteros r1, r2, . . . , rk, con ri ≥ 2, y consideremos la

suma S =∑k

i=1

(1− 1

ri

).

1. S < 2⇔ k, ri =

k = 1, cualquier r1.k = 2, cualesquiera r1, r2.k = 3, 2, 2, r3.k = 3, 2, 3, 3, 2, 3, 4, 2, 3, 5.

2. S = 2⇔ k, ri =k = 3, 2, 3, 6, 2, 4, 4, 3, 3, 3.k = 4, 2, 2, 2, 2.

3. S > 2⇒ S ≥ 2 + 142, que se alcanza en k = 3, ri = 2, 3, 7.



4.4.1. Caso g(X) = 0

Sea X una superficie de Riemann de genero g = 0, y G un grupo finito,con accion holomorfa y efectiva. Entonces g(X/G) = 0 y

−2 = |G|(−2 +

k∑

i=1

(1− 1

ri

)).

Llamemos S =∑k

i=1

(1− 1

ri

), y obtenemos la expresion −2 = |G|(−2 + S).

Si G 6= e es un grupo no trivial, entonces S 6= 0, de donde hay ramificacion,es decir, k ≥ 1. Ademas, S < 2. Veamos las condiciones del lema anterior.

Si k = 1, y cualquier r ≥ 2, entonces

0 < S = 1− 1

r< 1, de donde − 2 < −2 + S < −1.

Pero entonces la expresion −2 = |G|(−2 + S) implica que |G| no esentero. Por tanto, este caso no se puede tener.

Si k = 2, y cualesquiera r1, r2, entonces

1

r1+

1

r2=

2

|G| .

Recordemos que ri es el orden de un subgrupo de G, de donde ri ≤ |G|.Entonces r1 = r2 = |G|. Existen entonces dos puntos x1, x2 ∈ X fijospor la accion del grupo G, y los estabilizadores verifican Gx1 = Gx2 =G. Ademas, G es cıclico. Por ejemplo, sea φ(z) = ωz, donde ω es unaraız primitiva r-esima de la unidad. Entonces G = 〈φ〉 es un grupo deorden r, y los puntos de ramificacion de la aplicacion cociente son 0 y∞. En cierta manera, este ejemplo es el unico posible ([DD79, Ejercicio3]).

Si k = 3, existen ejemplos para todas las posibilidades.

• ri = 2, 2, r. Entonces |G| = 2r, y se consigue con la accion delgrupo diedrico. En concreto, si φ1(z) = exp(2πi/r)z, φ2(z) = 1/z,entonces G = 〈φ1, φ2〉 es isomorfo al grupo diedrico D2r de orden2r, y da lugar a tres puntos rama. Ademas, bajo estas condicionesse puede probar que G es isomorfo a un grupo diedrico ([DD79,p.169]). En efecto, sea y3 ∈ X/G correspondiente a r3 = r. En-tonces y3 = G · x es una orbita con G/|r| = 2 elementos. Sean



x′, x′′ ∈ y3. Entonces Gx′ es un grupo cıclico de orden r, e ındi-ce 2. Por tanto, Gx′ es un subgrupo normal de G. Como Gx′′ esconjugado de Gx′, tiene que ser el mismo, es decir, Gx′ = Gx′′ ,que llamaremos H . Sea σ ∈ G − H . Entonces G = 1 · H ∪ σ · H(ındice 2), por lo que x′ no permanece invariante por σ. Dado quela orbita G ·x′ = x′, x′′, la unica posibilidad es que σ(x′) = x′′, yσ(x′′) = x′. Por otro lado, como σ es un automorfismo de C∞, esuna transformacion de Mobius, y tiene, al menos, un punto fijo x1.Entonces G · x1 6= y3. Podemos suponer entonces que G · x1 = y1,correspondiente a r1 = 2. Esto implica que Gx1 es un grupo cıclicode orden 2, de donde σ es un automorfismo de orden 2. Hemosdemostrado que G es un grupo de 2r elementos, con un subgrupoH normal cıclico de orden r, y todo elemento σ ∈ G − H tieneorden 2. Si H = 〈φ, entonces el elemento σ φ es de orden 2, estoes,

σ φ σ φ = id⇒ σ φ = φ−1 σ,que es la relacion que verifica el grupo diedrico D2r = 〈x, y | xr =1, y2 = 1, yx = x−1y〉. Tenemos ası el isomorfismo.

• ri = 2, 3, 3. Entonces |G| = 12, y se consigue con la acciondel grupo A4, visto como el conjunto de rotaciones del tetraedro.

• ri = 2, 3, 4. Entonces |G| = 24, y se corresponde con S4, bajoel punto de vista de las rotaciones del cubo/octaedro.

• ri = 2, 3, 5. Entonces |G| = 60, correspondiente a S5, vistocomo el grupo de rotaciones del dodecaedro/icosaedro.

4.4.2. Caso g(X) ≥ 2

Uno de los resultados mas sorprendentes en la teorıa de superficies deRiemann es que el grupo de automorfismos de una superficie de Riemanncompacta X de genero g ≥ 2 es finito. No vamos a demostrar tal resultadoaquı, pero damos una cota del tamano del grupo.

Teorema 4.4.2 (Teorema de Hurwitz). Sea G un grupo finito que actua demanera holomorfa y efectiva sobre una superficie de Riemann compacta Xcon g(X) = g ≥ 2. Entonces

|G| ≤ 84(g − 1).

Demostracion. Sabemos que

2g(X)− 2 = |G| (2g(X/G)− 2 + S) , donde S =

k∑

i=1

(1− 1

ri

).



Si g(X/G) ≥ 1, puede ocurrir que:

• S = 0, por lo que π no tiene ramificacion, y g(X/G) ≥ 2: no puedeser igual a 1, porque entonces 2g(X)− 2 = 0. Ası,

|G| ≤ g − 1.

• S 6= 0, de donde S ≥ 1/2. Entonces

2g(X/G)− 2 + S ≥ 1/2

implica que

2g − 2 = |G|(2g(X/G)− 2 + S) ≥ |G|/2 de donde |G| ≤ 4(g − 1).

Si g(X/G) = 0, entonces

2 ≤ 2g − 2 = |G|(−2 + S), de donde S > 2.

Entonces S − 2 ≥ 1/42, y

|G|(−2 + S) ≥ |G|/42⇒ |G| ≤ 84(g − 1).

El grupo de automorfismos de una superficie de Riemann compacta Xactua de manera holomorfa y efectiva sobre ella, por lo que si g(X) ≥ 2 setiene el resultado

|Aut(X)| ≤ 84(g − 1).

Definicion 4.4.3. Un grupo de automorfismos de una superficie de Riemanncompacta X , con g(X) ≥ 2 de orden 84(g−1) se denomina grupo de Hurwitz.

Teorema 4.4.4. 1. No existen grupos de Hurwitz de orden 84.

2. Para g = 3 existe un grupo de Hurwitz.

Demostracion. 1. Sea X una superficie de Riemann de genero g = 2, con|Aut(X)| = 84. Por el primer teorema de Sylow, existe un subgrupode Aut(X) con 7 elementos, que tiene que ser cıclico, lo que implica laexistencia de un automorfismo de orden 7. Sea f : X → X un automor-fismo de orden 7, y G = 〈f〉. Entonces la proyeccion π : X → X/G esun morfismo de grado 7, y supongamos que tiene s puntos de ramifi-cacion. Recordemos que dichos puntos son los que tienen un subgrupoestabilizador no trivial, y el ındice de ramificacion es igual al orden del



subgrupo. Como 7 es primo, los subgrupos no triviales tienen orden 7.Por la formula de Hurwitz,

2g − 2 = 7(2g(X/G)− 2) +s∑

i=1

(7− 1) = 14g(X/G)− 14 + 6s.

Como g = 2, las posibilidades para g(X/G) son 0, 1, 2, y entonces

2 = 14g(X/G)− 14 + 6s⇒ 7g(X/G) + 3s = 8.

Si g(X/G) = 0 entonces 3s = 8, que no es posible.

Si g(X/G) = 1 entonces 7 + 3s = 8, que no es posible.

Si g(X/G) = 2 entonces 14 + 3s = 8, que tampoco.

Por tanto, no existe tal automorfismo f .

2. [JS87, p.266]

La cota se alcanza para infinitos valores de g, y no se alcanza para infinitosvalores de g (ejercicios 5W, X, Y en [JS87]). Los valores concretos para los quese alcanza la cota son desconocidos. Los primeros valores son g = 3, 7, 14, 17.

Mas cuestiones interesantes sobre este asunto se pueden ver en

http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz%27s_automorphisms_theorem

http://rigtriv.wordpress.com/2008/08/01/hurwitzs-theorem-on-automorphisms/

http://www.neverendingbooks.org/index.php/what-does-the-monster-see.html

Nota 4.4.5. El caso g(X) = 1 lo trataremos mas adelante, al describir losmorfismos entre toros complejos (6.2.1).


Capıtulo 5

Equivalencia con curvas

algebraicas

5.1. Espacio recubridor universal

Definicion 5.1.1. Sean X, Y espacios topologicos conexos y p : X → Y unaaplicacion recubridora. Decimos que p es el recubrimiento universal de Y sipara toda aplicacion recubridora q : Z → Y , con Z conexo, y cada eleccionde puntos x0 ∈ X, z0 ∈ Z con p(x0) = q(z0), existe una unica aplicacioncontinua f : X → Z tal que p = q f y f(x0) = z0.

Z ∋ z0q

x0 ∈ X

f99ssssssssss p // Y

Un espacio topologico conexo Y tiene, salvo homeomorfismo, un unicorecubrimiento universal. Supongamos que q : Z → Y es tambien un recubri-miento universal. Entonces existe una aplicacion g : Z → X tal que p g = qy g(z0) = x0. Las composiciones gf : X → X y f g : Z → Z son continuas,y (g f)(x0) = x0, (f g)(z0) = z0. Ademas, p = p (g f), q = q (f g),y por la unicidad aplicada a p con idX , y a q con idZ , tenemos que g f =idX , f g = idZ , y f : X → Z es un homeomorfismo.

Teorema 5.1.2. Sean X, Y superficies de Riemann, con X simplementeconexa y X

p→ Y una aplicacion recubridora. Entonces p es el recubrimientouniversal de Y

Demostracion. [For81, Thm. I.5.2].

99


Ejemplo 5.1.3. Dado un toro complejo C/Λ, la proyeccion π : C → C/Λes el espacio recubridor universal, pues π es aplicacion recubridora y C essimplemente conexa.

Teorema 5.1.4. Sea X una superficie de Riemann. Entonces existe unasuperficie de Riemann X simplemente conexa y una aplicacion recubridoraX

p→ X.

Demostracion. [For81, Thm. I.5.3], [For81, Thm. I.4.6].

Nota 5.1.5. Ademas, la estructura analıtica de X es unica ([JS87, Thm.4.19.5], 3.1.4).

Definicion 5.1.6. Sean X, Y espacios topologicos, y p : X → Y una apli-cacion recubridora. Un automorfismo de p, tambien llamado transformacionrecubridora, es un homeomorfismo H : X → X tal que p H = p.

XH 77p // Y

Con la composicion de aplicaciones, el conjunto de automorfismos de pforman un grupo que notaremos por Aut(X|Y ) (Deck(X|Y ) en [For81]). Si

hay posibilidad de confusion escribiremos Aut(Xp→ Y ).

Teorema 5.1.7. Supongamos que X es una superficie de Riemann y seap : X → X su recubrimiento universal. Entonces para cada par de puntosy0, y1 ∈ X tales que p(y0) = p(y1), existe un automorfismo H : X → X de ptal que H(y0) = y1.

XH((

p

H(y0) = y1

X p(y0) = p(y1)

Demostracion. Por la definicion de recubrimiento universal, aplicado al dia-grama

X

p

X

p // X,

existe una aplicacion continua H : X → X tal que p H = p y H(y0) = y1.Tenemos que probar que H es homeomorfismo. Como antes, sabemos queexiste G : X → X con p G = p y G(y1) = G(y0). Entonces H G y G Hson continuas, y

p G H = p, p H G = p.



Como (G H)(y0) = y0, (H G)(y1) = y1, ambas composiciones son laidentidad en X . Por tanto, H es un automorfismo de de p.

Nota 5.1.8. Por el teorema de levantamiento de caminos ([For81, Thm.I.4.8]),existe a lo mas un automorfismo H : X → X con H(y0) = y1.

Ejemplo 5.1.9. 1. La aplicacion exp : C → C∗ es el recubrimiento uni-versal de C∗, pues C es simplemente conexo. Para n ∈ Z, sea τn : C→ C

la traslacion τn(z) = z+2πin. Entonces exp(τn(z)) = exp(z) para todoz ∈ C, de donde τn es un automorfismo de exp. Si σ es un automor-fismo de exp, entonces exp(σ(0)) = exp(0) = 1, y existe n ∈ Z tal queσ(0) = 2πin. Como τn(0) = 2πin, se deduce, por la nota anterior, queσ = τn. En conclusion,

Aut(Cexp→ C∗) = τn | n ∈ Z.

2. Sea H = z ∈ C | Re(z) < 0 el semi-plano izquierdo, y D∗ el discopunteado. Entonces exp : H → D∗ es el recubrimiento universal de D∗.Como antes, se puede probar que

Aut(Hexp→ D∗) = τn | n ∈ Z ≃ Z.

Definicion 5.1.10. Sean X, Y espacios topologicos, p : X → Y una aplica-cion recubridora y G ⊂ Aut(X|Y ) un subgrupo. Dos puntos x, x′ se dicenequivalentes modulo G si existe σ ∈ G tal que σ(x) = x′.

Teorema 5.1.11. Sean X, Y superficies de Riemann, q : Z → X una apli-cacion recubridora, y p : X → X el recubrimiento universal. Sea f : X → Zuna aplicacion continua tal que q f = p, que existe por la definicion derecubrimiento universal.

X

p

f

~~~~~~~~~~

Zq // X.

Entonces f es una aplicacion recubridora y existe G ⊂ Aut(X|X) subgrupotal que dos puntos x, x′ ∈ X se aplican en el mismo punto por f si sonequivalentes modulo G.

Demostracion. [For81, Thm.I.5.9]



Teorema 5.1.12. (Teorema [For81, Thm. I.5.10]) Sea X una superficie deRiemann y f : X → D∗ un recubrimiento etale. Entonces se tiene una de lassiguientes situaciones:

1. Si el recubrimiento es de grado infinito, entonces existe un isomorfismoϕ : X → H en el semiplano izquierdo tal que el diagrama siguiente esconmutativo:

Xϕ //

f BBB

BBBB

B H

expD∗

2. Si el recubrimiento es de grado d finito, entonces existe un isomorfismoϕ : X → D∗ tal que el diagrama siguiente es conmutativo:

Xϕ //

f BBB

BBBB

B D∗

pdD∗

donde pd(z) = zd.

Demostracion. Como exp : H → D∗ es el espacio recubridor universal, existeun morfismo ψ : H → X tal que exp = f ψ. La aplicacion ψ es sobreyectiva,pues exp lo es. Sea G ⊂ Aut(H|D∗) el subgrupo asociado a ψ dado por elteorema anterior. Tenemos que ψ(z) = ψ(z′) si y solamente si z ∼ z′ conrespecto a G.

Si G = id, entonces ψ es inyectiva, por lo que es isomorfismo, y tenemosel primer caso.

Si G 6= id, entonces G = τnd | n ∈ Z para un cierto d, donde τnd(z) =z + 2πind son las traslaciones (los subgrupos de Z son de la forma dZ). Seag : H → D∗ el recubrimiento etale definido por g(z) = exp(z/d). Entoncesg(z) = g(z′) si y solamente si z−z′ ∈ G, por lo que g(z) = g(z′) si y solamentesi ψ(z) = ψ(z′). Definimos ϕ : X → D∗ como ϕ(x) = exp(z/d), donde ψ(z) =x. Si para otro z′ se verifica que ψ(z′) = x = ψ(z), entonces g(z) = g(z′), ytenemos que ϕ esta bien definida. La aplicacion ϕ es sobreyectiva, porque explo es. Si ϕ(x) = ϕ(x′), sean z, z′ ∈ H tales que ψ(z) = x, ψ(z′) = x′. Comoexp(z/d) = exp(z′/d), entonces ψ(z) = ψ(z′), y tenemos la inyectividad de ϕ.Por ultimo, ϕ es morfismo, pues exp y ψ lo son (son isomorfismos locales). Enconclusion, ϕ es un isomorfismo, y pd ϕψ = f ψ. Como ψ es sobreyectiva,pd = ϕ f (compare con [Mir95, Ejemplo 4.2, p. 86]).



Corolario 5.1.13. Sea X una superficie de Riemann, y f : X → D un re-cubrimiento ramificado que es etale sobre D∗. Entonces existe un numeronatural d ≥ 1 y un isomorfismo ϕ : X → D tal que el diagrama

Xϕ //

f @@@

@@@@

@ D

pdD

es conmutativo, donde pd(z) = zd.

Demostracion. Sea X∗ = f−1(D∗). Entonces f|X∗ : X∗ → D∗ es un recubri-miento etale de grado finito. Por el teorema anterior, tenemos un diagramaconmutativo

X∗ ϕ //

f !!CCC

CCCC

C D∗

pdD∗

con ϕ un isomorfismo. Vamos a ver que f−1(0) contiene un unico punto.Sea f−1(0) = b1, . . . , bn. Entonces podemos encontrar entornos Vi de bi,disjuntos dos a dos, y un disco D(r) = z ∈ C | |z| < r, con 0 < r < 1, talque

f−1(D(r)) ⊂ V1 ∪ . . . ∪ Vn.SeaD∗(r) = D(r)−0 el disco agujereado. Como f−1(D∗(r)) es homeomorfoa p−1

d (D∗(r)) = D∗( d√r), se tiene que f−1(D∗(r)) es tambien conexo. Pero

esto no puede ocurrir si n ≥ 2. Por tanto, f−1(0) es un unico punto b ∈ X .Definimos ahora ϕ(b) = 0, que continua la aplicacion ϕ : X∗ → D∗ a unisomorfismo ϕ : X → D que hace el diagrama conmutativo.



5.2. Prolongacion de recubrimientos

5.2.1. Lemas previos

Lema 5.2.1. Sea H : X → Y una aplicacion que es, localmente, un morfismode superficies de Riemann, es decir, existe Ui un recubrimiento abierto deX tal que H|Ui

: Ui → Y es un morfismo de superficies de Riemann. EntoncesH es un morfismo de superficies de Riemann.

Demostracion. Consideremos p ∈ X y q = H(p), con cartas respectivas(U, φ) y (V, ψ). Existe i0 tal que p ∈ Ui0 , y entonces ψ H φ−1 es holomorfaen φ(p), pues ψ H|U∩Ui0

φ−1|U∩Ui0

lo es.

Lema 5.2.2. Sea H : X → Y una aplicacion continua entre superficies deRiemann, y D un conjunto cerrado y discreto tal que H|X−D : X − D →Y es un morfismo de superficies de Riemann. Entonces H es morfismo desuperficies de Riemann.

Demostracion. Basta probarlo localmente en los puntos de D. Sea p ∈ D yq = H(p) ∈ Y . Tomemos (V, ψ) carta de Y centrada en q y (U, ϕ) carta deX centrada en p tal que U ⊂ H−1(V ). Podemos suponer que U ∩D = p.En el diagrama

p ∈ U H //

ϕ

V ∋ qψ

0 ∈ Ω1 Ω2 ∋ 0

la aplicacion H|U−p es morfismo, por hipotesis, e induce una aplicacionh = ψ H ϕ−1 : Ω1 → Ω2, con h(0) = 0. La aplicacion h es continuay h|Ω1−0 holomorfa. Entonces h es holomorfa, y en consecuencia H|U esmorfismo.

Proposicion 5.2.3. Sean X, Y y S superficies de Riemann, con F : X → Sy G : Y → S recubrimientos ramificados. Sea H : X → Y aplicacion continuaque hace conmutativo el diagrama

XH //

F

Y

G~~~~~~~~~~

S

,

esto es, F = G H. Entonces H es un morfismo de superficies de Riemannque, ademas, es un recubrimiento ramificado.



Demostracion. Sea D = p ∈ X | ep(F ) > 1. Es un conjunto discreto ycerrado, y consideremos X0 = X −D. El lema 5.2.2 anterior nos indica quebasta probar que H|X0

es morfismo. Sea p ∈ X0 y q = H(p). Tenemos queep(F ) = 1. Por hipotesis, r = F (p) = G(q). Por definicion de recubrimientoramificado, existe t1 :W → Ω1 carta de S centrada en r, tal que si F−1(r) =

p = p1, p2, . . . , pr1, existen s(1)i : Ui → Ω(1)i cartas de X centradas en pi con

F−1(W ) =⊔r1i=1 Ui, y el diagrama

UiF //

s(1)i

W

t1

Ω

(1)i

ψ(1)i // Ω1

es conmutativo, donde ψ(1)i (z) = z. Analogamente se tiene para el recubri-

miento ramificado G, lo que nos proporciona una carta t2 : W → Ω2 centradaen r, con G−1(r) = q = q1, q2, . . . , qr2, y cartas s

(2)i : Vi → Ω

(2)i centradas

en qi, con G−1(W ) =

⊔r2i=1 Vi, y el diagrama

ViG //

s(2)i

W

t2

Ω

(2)i

ψ(2)i // Ω2

es conmutativo, donde ψ(2)i (z) = ze

(2)i .

Cada Ui es conexo, y la imagen por H es un conexo. Como F−1(W ) =H−1(G−1(W )), la aplicacion H aplica

⊔Ui en

⊔Vi. Dado que H(U1) es co-

nexo, tiene que estar contenido en alguno de los Vi. Recordemos que H(p1) =q1 ∈ V1, y como p1 ∈ U1, se sigue que H(U1) ⊂ V1. Ademas, si p′ ∈ U1−p,entonces H(p′) 6= q, pues si H(p′) = H(p), entonces F (p′) = G(H(p′)) =G(H(p)) = F (p), pero en U1 la aplicacion F es biyectiva. Podemos entoncesconsiderar el diagrama

U1 − p H //

F

V1 − q

Gxxqqqqqqqqqq

W − rque, al traducirlo a cartas, nos queda

Ω(1)1 − 0 h //

id

Ω(1)2 − 0

ψ(2)1 (z)=ze

(2)1wwppp

pppppppp

Ω− 0



(consideramos Ω = Ω1 ∩ Ω2 y reajustamos Ω(1)i , i = 1, 2).

Para abreviar la notacion, llamemos e = e(2)1 . Entonces h(z)e = z para

todo z ∈ Ω(1)1 −0, y h(0) = 0. Consideremos la ecuacion implıcita J(z, w) =

z−we. Para un punto (z0, w0), con z0 6= 0, existe una unica funcion holomorfag(z) tal que w = g(z) en un entorno de z0. Entonces esta funcion tiene que

ser h, con lo que hemos probado que h es holomorfa en Ω(1)1 − 0. Ademas,

lımz→0 |h(z)| = 0, h es continua en 0 y, por tanto, holomorfa. Entonces H esmorfismo en U1 − p, y por tanto en U1. Ademas, H es no constante. Faltaverificar que es propia. Si K ⊂ Y es un compacto, entonces H−1(K), que escerrado, esta contenido en F−1(G(K)), que es compacto. Por tanto, H−1(K)es compacto.

5.2.2. Primer teorema de extension

Definicion 5.2.4. Sea S una superficie de Riemann, y consideremos recu-brimientos ramificados Gi : Xi → S, i = 1, 2. Un morfismo de recubrimientosde G1 en G2 es un morfismo H : X1 → X2 tal que G2 H = G1.

X1H //

G1

X2

G2

S

Sea ahora D ⊂ S un conjunto discreto y cerrado, y tomemos un recubri-miento ramificado G : X → S tal que G(RG) ⊂ D, donde RG es el conjuntode puntos de ramificacion del morfismo G. Entonces podemos construir lassuperficies de Riemann S = S − D y X = X − G−1(D), y considerar larestriccion G = G|X : X → S. Es claro que G es un recubrimiento etale degrado finito.

Consideremos ahora Gi : Xi → S, i = 1, 2 recubrimientos ramificadoscon Gi(RGi

) ⊂ D, y construimos las superficies de Riemann Xi = Xi −G−1i (D), i = 1, 2, S = S − D con los recubrimientos etale de grado finito

Gi : Xi → S, i = 1, 2. Si H : X1 → X2 es un morfismo de recubrimientos deG1 en G2, entonces G2 H = G1, por lo que

G−11 (D) = H−1(G−1

2 (D))

y

X1 = X −G−11 (D) = X1−H−1(G−1

2 (D)) = H−1(X2 −G−12 (D)) = H−1(X2),



y tiene sentido considerar H = H|X1: X1 → X2. Ademas, verifica que

G2 H = G1.

X2

G2

X1

H==||||||||

G1 // S

, X2

G2

X1

H

??G1 // S.

Por tanto, un morfismo de recubrimientos H entre G1 y G2 da lugar a unmorfismo de recubrimientos H entre las restricciones G1 y G2.

Teorema 5.2.5. Sean Gi : Xi → S recubrimientos ramificados con Gi(RGi) ⊂

D para i = 1, 2.

1. Sea H un morfismo de recubrimientos entre G1 y G2. Entonces Hesta determinado por su restriccion H.

2. Dado f : X1 → X2 un morfismo de recubrimientos entre G1 y G2, existeH : X1 → X2 un morfismo de recubrimientos entre G1 y G2 tal que surestriccion H es igual a f .

Por el primer apartado, dicho morfismo H es unico.

Demostracion. El morfismo H esta determinada por su restriccion H , porquela clausura de X es X : si dos aplicaciones continuas coinciden en un denso,son iguales en todo el espacio.

Sea q ∈ D, y (W,ψ) una carta de S centrada en q tal que W ∩ S =q.Entonces

G−11 (W ) =

m1⊔

i=1

Ui, G−12 (W ) =

m2⊔

j=1

Vj,

y G−11 (q) = p1, . . . , pm1, G−1

2 (q) = q1, . . . , qm2. La aplicacion f esta defi-nida en cada Ui − pi, y

f :⊔

(Ui − pi)→⊔

(Vj − qj),

por la conmutatividad del diagrama. Para definir la funcion H buscada hayque dar los valores de H(pi) para que sea una funcion continua, y por laproposicion 5.2.3 tendremos que sera un morfismo.

Cada Ui−pi es conexo, de donde f(Ui−pi) es conexo. Entonces tieneque estar contenido en algun Vji − qji. Puede ocurrir que dos puntos pi1 ypi2 se apliquen en el mismo punto.

Definimos

H(p) =

f(p) si p ∈ Ui − pi,qji si p = pi.



Entonces el diagrama

Ui − pif //

G1 ''NNNN

NNNN

NNN

Vji − qjiG2

W − q

pasa, mediante cartas centradas en cada punto, a

Ω1 − 0f //

ze &&MMMM

MMMM

MMΩ2 − 0

zr

Σ− 0

y la extension H verifica H(0) = 0, que es continua.

Por ultimo, hay que probar que G2H = G1. Pero (G2H)|X1= G2f =

G1, de donde G2 H y G1 coinciden en un denso. Por continuidad, coincidenen todo X1.

5.2.3. Segundo teorema de extension

Lema 5.2.6. ([Gir70, Lema 5.2.5]) Sea S una superficie de Riemann, D ⊂ Sun subconjunto cerrado y discreto. Llamemos S = S −D, y sea g : X0 → Sun recubrimiento etale de grado finito n. Fijado s ∈ D, existe una cartaψ : U → D centrada en s, un entero r ≥ 1 y cartas ϕi : Vi → D∗, 1 ≤ i ≤ ren X0 tales que:

1. g−1(ψ−1(D∗)) =⊔ri=1 Vi.

2. Para todo i ∈ 1, . . . , r existe un entero ei ≥ 1 tal que

(ψ g)(x) = (ϕi(x))ei, para todo x ∈ Vi, tales que

r∑

i=1

ei = n.

Vi ⊂ϕi

X0g // S ⊂ S ⊃ U ∋ s

ψ

D∗ D



Demostracion. Como D es un conjunto discreto, podemos elegir una cartaψ : U → D centrada en s tal que U ∩D = s. Entonces la restriccion de ga la imagen inversa de ψ−1(D∗) = U − s = U∗ ⊂ S0 es un recubrimientoetale de grado n de D∗:

ψ−1(D∗) ⊂ S yg : g−1(ψ−1(D∗))→ ψ−1(D∗) es recubrimiento etale de grado n.

Este grado n no depende del punto s. Sean V1, . . . , Vr, r ≥ 1 las compo-nentes conexas (r sı depende del punto s) de g−1(ψ−1(D∗)). Son un numerofinito, porque g es una aplicacion recubridora de grado finito. Para cadai ∈ 1, . . . , r tenemos que

Vig|Vi // U∗ ψ // D∗, f = ψ g|Vi

es un recubrimiento etale de D∗. Por el lema 5.1.12, existe un entero ei ≥ 1y ϕi : Vi → D∗ isomorfismo tal que

(ψ g)(x) = (ϕi(x))ei , para todo x ∈ Vi.

Como g es un recubrimiento etale de grado n, se verifica que∑r

i=1 ei = n.

Teorema 5.2.7. ([Gir70, Nota 5.2.2]) Sea S superficie de Riemann, D ⊂ Sun conjunto cerrado y discreto, y definimos S = S −D. Sea g : X0 → S unrecubrimiento etale de grado n. Entonces existe una superficie de RiemannX y G : X → S recubrimiento ramificado con G(RG) ⊂ D tal que

X

G

← X0

g

S ⊃ S,

donde X0 = G−1(S) = X −G−1(D) y g = G|X0.

Demostracion. Se basa en el lema anterior. Fijamos s ∈ D, y obtenemos los

isomorfismos ϕi. Para cada i, efectuamos el pegado deX0 y D a traves de Viϕi≃

D∗. De manera informal, consiste en anadir a X0 un punto que notaremos por0i. Este espacio es Hausdorff, pues solamente hay que considerar la separacionentre un punto de X0 y el punto 0i. Los entornos de 0i son los entornosDρ = B(0, ρ) del 0 en el disco D, o bien sus imagenes isomorfas ϕ−1

i (Dρ) enVi. Consideremos entonces un punto x ∈ X0 y el punto 0i. Si x 6∈ Vi, no haynada que probar. Si x ∈ Vi, entonces el punto ϕi(x) esta en D∗, y lo podemosseparar de 0.



DefinimosG : X0

⊔D/ϕi → S ∪ sG(0i) = s,G(x) = g(x) si x ∈ X0.

Recordemos las inmersiones jX0 y jD en el espacio pegado, y un entorno Wde 0i verifica que j−1

X0(W ) es un abierto contenido en Vi, y j−1

D (W ) es unabierto de 0 dentro del disco D. Tenemos que estudiar la continuidad de Gen s. Sea U un entorno de s contenido en la definicion de la carta ψ, conψ(U) = B(0, ρ) para cierto ρ < 1. Entonces

G−1(U) = 0i ∪ x ∈ Vi | G(x) ∈ U,

y ψ(p(x)) = (ϕi(x))ei, de donde ϕi(x)

ei ∈ B(0, ρ). Esto significa que G−1(U)es igual a B(0, ρ1/ei), que es un entorno de 0i.

En consecuencia, G es un morfismo, y el ındice de ramificacion de 0i esigual a ei. Hacemos este pegado para todos los i asociados al punto s. Denuevo, el espacio es Hausdorff, porque los Vi son disjuntos dos a dos, y Ges un recubrimiento ramificado, porque es morfismo y la suma de los ındicesde ramificacion es constante e igual a n. Repetimos la operacion para todoslos punto s ∈ ∆, pero tomando las cartas (Us, ψs) disjuntas dos a dos. Estogarantiza que el espacio completo, tras todos los pegados, es Hausdorff, y portanto superficie de Riemann. El morfismo G es un recubrimiento ramificadoporque es de fibra finita, y la suma de los ındices de ramificacion permanececonstante.

Nota 5.2.8. Ahora veremos que la superficie X construida en el teoremaanterior es unica salvo isomorfismo. Consideremos el diagrama

X

G

X0oo

S X ′

G′oo

S

OO

con (X ′, G′) en las condiciones de (X, p) del teorema anterior, es decir,

G′(RG′) ⊂ D,X0 = G′−1(S) = X ′ −G′−1(D), G′|X0

= g.

Entonces X0 = X −G−1(D) = X ′−G′−1(D), g = G|X0 = G′|X0

. Si aplicamos



el teorema 5.2.5 al diagrama

X0

g

X0

idX0

>> g // S

existe H : X → X ′ morfismo de recubrimientos entre G y G′ tal que H|X0 =idX0 . Ası, G

′ H = G. En el otro sentido, existe H ′ : X ′ → X morfismo derecubrimientos entre G′ y G tal que H ′

|X0= idX0, y G H = G′. Por tanto,

G (H ′ H) = G, y el morfismo H ′ H se restringe en X0 a la aplicacionidentidad idX0. Por la unicidad establecida por el teorema 5.2.5 al diagrama

X

G

idX

AAA

AAAA

A

S XG

oo

se tiene que H ′ H = idX . Por simetrıa, tambien H H ′ = idX′ , y tenemosque H es un isomorfismo entre X y X ′.

Corolario 5.2.9. Sea S superficie de Riemann, D ⊂ S un conjunto cerradoy discreto, y definimos S = S −D. Sea G : X0 → S un recubrimiento rami-ficado, y R su conjunto de puntos de ramificacion. Supongamos que G(RG)es cerrado y discreto en S. Entonces existe una superficie de Riemann X yun recubrimiento ramificado G′ : X → S Z = X −G′−1(D) y G′

|Z = G.

Demostracion. Sea D1 = G(RG) ⊂ S. Es discreto y cerrado en S, por lo queD ∪ D1 es discreto y cerrado en S. Sea S ′ = S − D1 = S − (D ∪ D1). Larestriccion deG a Z = Z−G−1(D∪D1) es un recubrimiento etale G : Z → S ′.Por el teorema 5.2.7, existe una superficie de Riemann X y un recubrimientoramificado G′ : X → S tal que G′

|Z = G|Z . Debemos probar que la superficie

de Riemann X es una extension de Z. Consideremos la restriccion de G′ aX−G′−1(D). Es un recubrimiento ramificado G′ : X−G′−1(D)→ S−D = S.En el diagrama

Z //

X −G′−1(D)

G′

ZG // S

tenemos dos recubrimiento ramificados G y G′ sobre S que prolongan alrecubrimiento etale G : Z → S ′, pues

G′|Z = G|Z .



Por la nota 5.2.8, las superficies X − G′−1(D) y Z son isomorfas, de dondeexiste una inmersion de Z en X .

5.2.4. Aplicacion a curvas algebraicas

Ejemplo 5.2.10. Sea C la curva definida por el polinomio X2−Y 2. Tiene unpunto singular en p = (0, 0), y consideramos X = C − p, que es superficiede Riemann. Sea π : X → C∗ la primera proyeccion, que es un recubrimientoetale de grado 2.

card π−1(x) = (x, x), (x,−x), luego deg(π) = 2.

La aplicacion π es propia. Dado un compacto en C∗, esta contenido en unacorona Σr,R = z ∈ C∗ | r < |z| < R. Entonces π−1(Σr,R) es un compacto.Por tanto, π es un recubrimiento ramificado. Como el cardinal π−1(x) esconstante, es de tipo etale. Lo que hemos probado en los teoremas anterioreses que existe una superficie de Riemann X y un morfismo π : X → C queextiende al anterior.

Ejemplo 5.2.11. Consideremos la curva algebraica definida por F (X, Y ) =Y 2−X2+X3. El conjunto de puntos singulares es (0, 0). Eliminamos el pun-to (1, 0), donde la derivada con respecto a Y se anula. Entonces C−0, 1 =P1(C) − 0, 1,∞, y πX es un recubrimiento etale sobre este conjunto. Seprolonga a un recubrimiento ramificado de todo P1(C), y X0 se prolonga auna superficie de Riemann. Este proceso da lugar a lo que se conoce comodesingularizacion o normalizacion de la curva.

Proposicion 5.2.12. Sea F ∈ C[x, y] un polinomio irreducible, de la forma

F (x, y) = an(x)yn + · · ·+ a1(x)y + a0(x), an(x) 6= 0.

Consideremos la curva C = (x, y) ∈ C2 | F (x, y) = 0, y formemos losconjuntos

S0 = x ∈ C | an(x) = 0, S1 = x ∈ C | existe y ∈ C con F (x, y) = 0 =∂F

∂y.

Si π : C → C es la proyeccion π(x, y) = x, entonces la restriccion

π : π−1(C− (S0 ∪ S1))→ C− (S0 ∪ S1)

es un recubrimiento etale de grado n.



Demostracion. La aplicacion π es un morfismo de superficies de Riemann, noconstante, por el teorema de la funcion implıcita, tal como vimos al definirlas cartas sobre una curva afın. Como eliminamos los puntos donde se anulala derivada parcial respecto a la variable y, π es un isomorfismo local (es unacarta). En todos estos puntos, ep(π) = 1. Para cada x0 ∈ C − (S0 ∪ S1), elnumero de elementos de π−1(x0) es constante y finito, pues an(x0) 6= 0, y elpolinomio a resolver tiene n soluciones. Por tanto, por el corolario 3.4.10, larestriccion de π es un recubrimiento etale de grado n.

El teorema 5.2.9 de la seccion anterior nos indica como modificamos Csobre los puntos S0 ∪ S1 y el punto del infinito de P1 para definir un recu-brimiento ramificado sobre P1. Observemos que, en tal caso, la superficie deRiemann construida C ′ es compacta, pues π′ es propia, y C ′ = π′−1(P1). Estoes lo que se conoce como normalizacion de la curva C o desingularizacion.

Es interesante compararlo con la exposicion de [Gri89, Cap. II].



5.3. Teorıa de Galois de recubrimientos

Sea F : X → Y un recubrimiento ramificado entre superficies de Rie-mann, y consideremos R el conjunto de puntos de ramificacion de F , que escerrado y discreto. Entonces D = F (R) tambien es cerrado y discreto, porla proposicion 3.4.8. Sea Y = Y −D, y X = X − F−1(D). Consideremos eldiagrama

X = X − F−1(D) //

F

X

F

Y = Y −D // Y

en donde la aplicacion F es un recubrimiento etale. Tenemos dos gruposde automorfismos asociados a este diagrama: Aut(X|Y ) y Aut(X|Y ). Unelemento H ∈ Aut(X|Y ) es un morfismo de recubrimientos de F en F , ypodemos considerar entonces su restriccion H, que e sun morfismo de recu-brimientos de F en F . La pregunta natural es si hay una correspondenciaentre automorfismos.

Teorema 5.3.1. Sean X, Y superficies de Riemann, y F : X → Y un re-cubrimiento ramificado. Entonces, con la notacion anterior, |Aut(X|Y )| =|Aut(X|Y )|, y deg(F ) = deg(F ).

Demostracion. Si H ∈ Aut(X|Y ), existe H ′ : X → X con H H ′ =idX , H

′ H = idX , y H ′ tambien es un morfismo de recubrimientos de Fen F . Consideremos las restricciones H y H ′. Si x ∈ X ⊂ X , entonces

(H H ′)(x) = H(H ′(x)) = x y (H ′ H)(x) = x,

por lo que la restriccion H es un automorfismo de X.Recıprocamente, sea h ∈ Aut(X|Y ), con h′ su inverso. Existen H,H ′ :

X → X morfismos de recubrimientos de F en F tales que sus restriccionesverifican H = h, H ′ = h′. Vamos a probar que H es un automorfismo. Larestriccion de H H ′ a X es igual a idX , pues h h′ = idX . Entonces H H ′

es un morfismo de recubrimientos de F en F cuya restriccion es la identidaden X . Por el teorema 5.2.5, tiene que coincidir con idX . De forma similar, setiene que H H ′ = idX . Por tanto, H ∈ Aut(X|Y ).

Entonces la aplicacion restriccion de Aut(X|Y ) en Aut(X|Y ) es una bi-yeccion. Ademas, deg(F ) es igual al grado de F , pues es la restriccion a unrecubrimiento etale.

Definicion 5.3.2. Sean X, Y superficies de Riemann. Un recubrimiento ra-mificado F : X → Y es de Galois o galoisiano cuando |Aut(X|Y )| = deg(F ),



donde Aut(X|Y ) es el conjunto de automorfismos H : X → X tales queF H = F .

El conjunto Aut(X|Y ) tiene estructura de grupo. El teorema anteriorindica que basta definirlo para recubrimientos etale.

Ejemplo 5.3.3. Consideremos el morfismo F : P1 → P1 definido por F (z :w) = [zd : wd], d ≥ 1. La parte no ramificada de F se restringe a C∗, y siH : C∗ → C∗ procede de un automorfismo de P1, tiene la forma H(z) =az + b, a 6= 0. La condicion F H = F implica que ad = 1, b = 0. EntoncesAut(X|Y ) = ωz | ωd = 1, que es isomorfo al grupo cıclico de d elementos.Como deg(F ) = d, tenemos que F es de Galois.

Proposicion 5.3.4. Sean X, Y superficies de Riemann, y F : X → Y unrecubrimiento ramificado. Entonces |Aut(X|Y )| ≤ deg(F ).

Demostracion. Podemos suponer, por el teorema 5.3.1, que F : X → Y esun recubrimiento etale. Sea entonces q0 ∈ Y y F−1(q0) = p1, . . . , pm, conm = deg(F ). A cada automorfismo H ∈ Aut(X|Y ) le asociamos el puntoH(p1). Como F H = F , se tiene que F (H(p1)) = F (p1) = q0, de dondeH(p1) ∈ p1, . . . , pm. Si probamos que la aplicacion

Φ: Aut(X|Y ) → p1, . . . , pmH 7→ H(p1)

es inyectiva, tendremos el resultado. Sean H,H ′ ∈ Aut(X|Y ) con H(p1) =H ′(p1). Entonces H1 = H−1 H ′ ∈ Aut(X|Y ), y H1(p1) = p1. Consideremosel conjunto A = p ∈ X | H1(p) = p. Es un cerrado de X , y no vacıo.Vamos a probar que es abierto.

Tomemos p ∈ A y q = F (p) ∈ Y . Existe V entorno abierto de q tal queF−1(V ) =

⊔mi=1 Ui, con F|Ui

: Ui → V un isomorfismo (F es etale). ComoF H1 = F , se verifica que H1(F

−1(V )) ⊂ F−1(V ), por lo que podemosrestringir el morfismo H1 a F−1(V ), que se aplica en F−1(V ).

Entonces p ∈ Ui0 para algun i0 ∈ 1, . . . , m. Podemos suponer V conexo,y cada Ui tambien. Mediante H1, el punto p se aplica en algun Uk. ComoH1(p) = p, se sigue que H1 envıa Ui0 en Ui0 . Tenemos el diagrama

Ui0H1 //

F|Ui0

Ui0

F|Ui0

V

y F|Ui0H1|Ui0

= F|Ui0. Como F|Ui0

es isomorfismo, se tiene que H1|Ui0= idUi0

,y el abierto Ui0 esta entonces contenido en A. Como X es conexo, concluimosque A = X , y H1 = idX , de donde H = H ′.



Corolario 5.3.5. Sean X, Y superficies de Riemann, y F : X → Y un recu-brimiento etale. Entonces F es de Galois si y solamente si Aut(X|Y ) actuatransitivamente sobre las fibras de F .

Demostracion. En la prueba de la proposicion anterior tenemos que si Fes de Galois, entonces su accion es transitiva, es decir, dado cualquier pi ∈p1, . . . , pm = F−1(q), existe H ∈ Aut(X|Y ) tal que H(p1) = pi. Recıpro-camente, si la accion es transitiva, la aplicacion Φ de la proposicion anteriores sobreyectiva, y entonces |Aut(X|Y )| = deg(F ).

Nota 5.3.6. Si X es una superficie no conexa, entonces el numero deelementos de Aut(X|Y ) no esta acotado por el grado. Por ejemplo, con-sideremos la union disjunta X =

⊔ni=1 Y , y F : X → Y el recubrimiento

etale trivial. Entonces deg(F ) = n, pero Aut(X|Y ) ≃ Sn. En este caso,sin embargo, el grupo Aut(X|Y ) actua de forma transitiva sobre lasfibras.

Si F : X → Y es un recubrimiento etale, con X no conexa, tal queAut(X|Y ) actua de forma transitiva sobre las fibras de F , entonces larestriccion de F a cada componente conexa de X es un recubrimientode Galois. En efecto, sea Fi la restriccion de F a una componenteconexa Xi de X . Entonces Fi es un recubrimiento etale, y tomemos dospuntos p, p′ ∈ F−1

i (y). Por la accion transitiva de Aut(X|Y ), existe unautomorfismo H : X → X tal que F H = F y H(p) = p′. Comop, p′ ∈ Xi, esto significa que H tiene que aplicar la componente conexaXi en ella misma, es decir, Hi = H|Xi

es un automorfismo de Xi, quees el buscado.

Si p : Z → Y es una aplicacion recubridora, con Y conexa, entonces larestriccion de p a cualquier componente conexa de Z es una aplicacionrecubridora.

Proposicion 5.3.7. Sean X, Y superficies de Riemann, y F : X → Y unrecubrimiento ramificado. Entonces existe Z superficie de Riemann, y recu-brimiento ramificados de Galois Q : Z → Y,H : Z → X tales que F H = Q.Se dice en tal caso que F es cociente de un recubrimiento de Galois.

ZH

Q

XF // Y



Demostracion. En primer lugar, vamos a reducir el problema al caso etale.En F : X → Y consideramos la restriccion F : X → Y sin ramificacion.Supongamos que hemos probado el resultado en este caso, y obtenemos H :X → Y y Q : Z → X recubrimientos etale tales que F H = Q. Por extensionde H , existe una superficie de Riemann Z y un recubrimiento ramificadoH : Z → X . Entonces el morfismo Q = F H es una extension de Q, yes ramificado, porque es composicion de recubrimientos ramificados. TantoH como Q son de Galois, pues |Aut(Z|X)| = |Aut(Z|X)| y |Aut(Z|Y )| =|Aut(Z|Y )|.

Por tanto, sea n = deg(F ), con F : X → Y un recubrimiento etale.Definamos

Z = (p1, . . . , pn) ∈ Xn | si i 6= j entonces pi 6= pj y F (pi) = F (pj).

El conjunto Z es un subespacio topologico de Xn, que ademas es Hausdorff.No es conexo, en general. Definimos

Q : Z → Y,Q(p1, . . . , pn) 7→ F (p1).

Es una aplicacion continua y sobreyectiva. Nuestro objetivo es dotar de es-tructura de superficie de Riemann al conjunto Z, en cada componente conexa.

Aserto: El par (Z,Q) es un espacio recubridor. En efecto, sea q ∈ Y .Entonces existe un entorno abierto V en Y tal que F−1(V ) =

⊔ni=1 Ui, con

cada Ui isomorfo a V mediante la restriccion de F a Ui. Sea (p1, . . . , pn) ∈Q−1(q) ⊂ Z y tomemos una permutacion σ ∈ Sn. Definimos

Wσ = (α1, . . . , αn) ∈ Z | αi ∈ Uσ(i),

que es un abierto de Z, pues

Wσ = Z ∩n∏

i=1

Uσ(i).

Los conjuntos Wσ son disjuntos dos a dos.

Ademas,Q−1(q) = (pσ(1), . . . , pσ(n) | σ ∈ Sn,

por lo que cardQ−1(q) = n!.

Por otro lado,

Q−1(V ) =⊔

σ∈Sn

Wσ.



Si (r1, . . . , rn) ∈ Q−1(V ), entonces y = Q(r1, . . . , rn) = F (r1) ∈ V . Sesigue que r1 ∈ F−1(V ) =

⊔nj=1Uj . Como ri 6= ri′ para i 6= i′, tenemos

que F−1(y) = r1, . . . , rn. Dado que F|Ujes homeomorfismo, no puede

haber dos rj distintos en el mismo Uj, esto es, cada rj se aplica en uncierto entorno Uσ(j), y encontramos la permutacion.

Por ultimo, Q|Wσ: Wσ → V es un homeomorfismo, pues podemos

encontrar la inversa

(Q|Wσ)−1 : V → Wσ

y 7→ (F−1σ(1)(y), F

−1σ(2)(y), . . . , F

−1σ(n)(y)),

donde Fi = F|Ui.

Por tanto, Q es una aplicacion recubridora de grado n!. Esto dota de estruc-tura de superficie de Riemann a cada componente conexa de Z, por el lema3.1.4, y Q es un morfismo. Ahora vamos a ver que Aut(Z|X) actua de formatransitiva sobre las fibras. Sean p,p′ ∈ Q−1(y). Entonces

Q(p) = F (p1) = y = F (p′1) = Q(p′).

Esto significa que p y p′ contienen las mismas componentes, salvo una per-

mutacion. Podemos escribir que existe τ ∈ Sn tal que

p′ = (p′1, . . . , p

′n) = (pτ(1), . . . , pτ(n)).

Definimos la aplicacion G : Z → Z como G(z) = (zτ(1), . . . , zτ(n)). Es biyec-tiva. Si probamos que G es un morfismo, entonces G es un automorfismo queintercambia las fibras, por lo que tendremos que Aut(Z|X) actua de formatransitiva.

Sea entonces z ∈ Z, con Q(z) = F (z1) ∈ Y . Tomemos (V, ϕ) carta enF (z1). Recordemos que la estructura de superficie de Riemann (aunque no seaconexo) sobre Z esta dada por Q−1(V ) =

⊔σ∈Sn

Wσ. Por una reordenacionadecuada, una carta en z es (Wσ0 , ϕ Q|Wσ0

), donde σ0 es la permutacionidentidad.

Si G(z) = z′, entonces las componentes de z′ son una permutacion de las

componentes de z, y z′ = (zτ(1), . . . , zτ(n)). Como Q(z′) = F (z1), la carta en

z′ es de la forma (Wτ , ϕ Q|Wτ

). Es una sencilla comprobacion que

ϕ Q|WτG Q−1

|Wσ0 ϕ−1(s) = s.

En efecto, si y(s) = ϕ−1(s), entonces Q−1|Wσ0

(y(s)) = z(s), donde Q(z(s)) =

F (z1(s)) = y(s), y

G(z(s)) = (zτ(1)(s), . . . , zτ(n)(s)), Q|Wτ(zτ(1)(s), . . . , zτ(n)(s)) = F (zτ(1)(s) = y(s).



Por tanto, ϕ(y(s)) = s. En consecuencia, esta aplicacion es holomorfa, y Ges un automorfismo de Z.

Por la nota 5.3.6, la restriccion de Q a una componente conexa Z de Zes un morfismo de Galois.

Ahora definimos H : Z → X como la proyeccion sobre la primera com-ponente. Veamos en primer lugar que H es un morfismo de superficies deRiemann, con respecto a la estructura compleja que hemos definido sobre Z.Dado z ∈ Z, una carta en el punto sera de la forma (W,ϕ Q|W , donde

(V, ϕ) es una carta de Y en el punto y = F (z1) = F (zi),

F−1)(V ) =⋃ni=1Ui, F|Ui

: Ui → V homeomorfismo,

W = Z ∩∏ni=1 Ui.

Sea (U1, ψ) carta en z1. Si s ∈ ϕ(V ), entonces

ψ H (ϕ Q|W )−1(s) = (ψ H)(z1(s), . . . , zn(s)) donde F (zi(s)) = ϕ−1(s)

= ψ(z1(s)) = ψ F−1U1 ϕ−1)(s), que es holomorfa.

Ahora comprobamos que H es una aplicacion recubridora. Dado x ∈ X ,sea y = F (x), y existe un entorno V de y tal que F−1(V ) =

⋃ni=1 Ui, y

Fi = F|Ui: Ui → V es homeomorfismo. Entonces

H−1(Ui) =⋃

τ

Wτ ,Wτ = Z ∩ (U1 ×n∏

i=2

Uτ(i), τ permutacion de 2, . . . , n.

Podemos identificar τ con las permutaciones de Sn que dejan invariante elprimer elemento. Entonces H|Wτ

: Wτ → U1 es un homeomorfismo, pues

(H|Wτ

)−1: U1 → Wτ

x 7→ (x, F−1τ(2)(y), . . . , F

−1τ(n)(y)).

Por ultimo, el grupo Aut(Z|X) actua de forma transitiva sobre la fibre dadaporH , de forma completamente analoga a como se ha hecho conQ. Por tanto,la restriccion de H a cualquier componente conexa Z de Z es un morfismoetale de Galois.

Para acabar, es evidente que F H = Q.

Nota 5.3.8. Podemos comparar este ultimo razonamiento con [DD79, prop.6.1.6], donde trata las superficies de Riemann con varias componentes cone-xas.



Corolario 5.3.9. Sean X, Y superficies de Riemann compactas y F : X →Y un recubrimiento ramificado. Entonces existe Z superficie de Riemanncompacta y recubrimientos de Galois Q : Z → Y y H : Z → X tales queF H = Q.

Demostracion. Como X es compacta, y Z es cerrado en Xn, entonces Z escompacta. El resto sigue de la anterior proposicion.

Nota 5.3.10. La primera de las anteriores proposiciones se puede cambiar porla existencia del espacio recubridor universal de Y , y la proposicion [For81,prop. I.5.9]. En el teorema [For81, I.5.6] se prueba que el espacio recubridoruniversal es Galois. Sin embargo, la segunda no, pues el espacio recubridoruniversal no es compacto en general, y no son de grado finito, como es el casode π : C→ C/Λ, con C/Λ un toro complejo.



5.4. Caracterizacion de M(X)

Necesitamos el siguiente resultado.

Teorema 5.4.1. Teorema de separacion de Riemann. Sea X una superficiede Riemann compacta, y p ∈ X. Entonces existe una funcion ϕ : X → P1

meromorfa tal que ϕ−1(∞) = p.

Nota 5.4.2. El resultado anterior se puede ver en [FK92, Spr57, Gun66]. En[For81, p.116] hay una prueba algebraica basada en la definicion de generocomo dimension de un grupo de cohomologıa, y se expresa diciendo que elcuerpo de funciones meromorfas de una superficie de Riemann separa puntos.En [Mir95, VI.1.1] se define una curva algebraica como una superficie deRiemann cuyo cuerpo de funciones meromorfas separa puntos y tangentes.Ası, en el teorema [Mir95, VI.1.9], enuncia que toda superficie de Riemanncompacta es una curva algebraica, en el sentido anterior. Posteriormente,usara Riemann-Roch para probarlo.

Vamos a notar por SRCC a la categorıa de las superficies de Riemanncompactas. Los morfismos en esta categorıa son los morfismos de superficiesde Riemann, que por ser compactas, son recubrimientos ramificados.

Notaremos por CK la categorıa cuyos objeto son las extensiones de Cfinitamente generadas, y con grado de trascendencia igual a 1. Los morfismosson los morfismos de cuerpos que dejan a C invariante.

Nuestro objetivo es probar que estas categorıas son equivalentes, a travesdel funtor F que a cada superficie de Riemann X compacta y conexa le asociasu cuerpo de funciones meromorfasM(X).

A lo largo de esta seccion trataremos con superficies de Riemann com-pactas.

Proposicion 5.4.3. Sean X, Y superficies de Riemann compactas. La apli-cacion que a cada recubrimiento ramificado F : X → Y le asocia el homo-morfismo de cuerpos F ∗ :M(Y )→M(X) es inyectiva.

Demostracion. Sean F,G : X → Y recubrimientos ramificados, y F ∗, G∗ :M(Y ) → M(X) los homomorfismos de cuerpos asociados. Si F 6= G, en-tonces existe p ∈ X tal que F (p) 6= G(p). Por el teorema de separacion deRiemann, existe ϕ ∈M(Y ) que tiene un polo en F (p), y G(p) no es polo deϕ. Entonces

(ϕ F )(p) = ϕ(F (p)) =∞, (ϕ G)(p) = ϕ(G(p)) 6=∞,

de donde ϕ F 6= ϕ G, esto es, F ∗(ϕ) 6= G∗(ϕ).



Proposicion 5.4.4. Sea F : X → Y un morfismo de Galois entre superficiesde Riemann compactas, y G = Aut(X|Y ). Entonces X/G es isomorfa a Y .

Demostracion. La accion de un elemento de G sobre un punto de X esta de-finida por H · p = H(p). Esta accion es holomorfa (evidente), y efectiva.Consideremos el diagrama

XF //

π

Y

X/GF

==zzzzzzzz

donde F (G · p) = F (p). Esta aplicacion esta bien definida, porque

G · p = H(p) | H : X → X automorfismo, F H = F, y F (H(p)) = F (p).

La aplicacion F es continua y morfismo, porque F π = F es continua y mor-fismo. Como X/G es compacto, F es un recubrimiento ramificado. Recorde-mos que π es un recubrimiento ramificado de grado deg(π) = |Aut(X|Y )| =deg(F ), por lo que deg(F ) = 1. Entonces F es isomorfismo.

Dado F : X → Y morfismo, tenemos el morfismo inyectivo F ∗ :M(Y ) →M(X), y tiene sentido considerar el grupo de Galois

Gal(M(X)|F ∗(M(Y )) = Aut(M(X)|F ∗(M(Y )))

= H∗ :M(X)→M(X) autom. | H∗ F ∗ = F ∗,

es decir, los automorfismos deM(X) que son la identidad sobre F ∗(M(Y )).

X H≃

//

F

X

F~~

Y

M(X) M(X)H∗

≃oo

M(Y )

F ∗

OO

F ∗

99ttttttttt

Recordemos que una extension de cuerposK|L se dice de Galois si |Aut(K|L)| =[K : L]. Si K|L es de Galois, el grupo de automorfismos Aut(K|L)| se deno-mina el grupo de Galois de K|L.

Proposicion 5.4.5. La aplicacion Φ : Aut(X|Y )→ Aut(M(X)|F ∗(M(Y ))),definida por Φ(H) = (H∗)−1 es un homomorfismo de grupos inyectivo.

Demostracion. Por un lado tenemos que Φ(H1 H2) = ((H1 H2)∗)−1 =

(H∗2 H∗

1 )−1) = (H∗

1 )−1 (H∗

2)−1. Ademas, si (H∗)−1 = idM(X), entonces

H∗ = idM(X) y por la proposicion 5.4.3, H = idX .



Proposicion 5.4.6. Sea F : X → Y un morfismo de Galois entre superficiesde Riemann compactas de grado n. Entonces

M(X) es una extension de Galois de F ∗(M(Y )),

[M(X) : F ∗(M(Y ))] = n, y

Aut(M(X)|F ∗(M(Y ))) ≃ Aut(X|Y ).Demostracion. Sea G = Aut(X|Y ), el grupo de automorfismos H de X talesque F H = F . Notemos por

(M(X))G = ϕ ∈M(X) | H∗(ϕ) = ϕ para todo H ∈ G,es decir, el cuerpo fijo por la accion del grupo G. Vamos a probar queM(X)G = F ∗(M(Y )).

Si ψ ∈ M(Y ), entonces F ∗(ψ) = ψ F ∈M(X), y para H ∈ G, se tieneque ψ F H = ψ F , esto es, F ∗(ψ) ∈M(X)G.

Sea ahora ϕ ∈ M(X)G. Esto significa que ϕ : X → P1 es un morfismocon ϕ H = ϕ, para todo H ∈ G. Por la invariancia de ϕ por la accion deG, tiene sentido considerar ϕ : X/G → P1 definida por ϕ(p) = ϕ(p). Estaaplicacion es morfismo, pues ϕ π = ϕ. Tenemos el diagrama

Xϕ //

π

P1

X/G

ϕ==zzzzzzzz

F≃

// Y

y definimos ψ = ϕ F−1. Entonces

F ∗(ψ) = ψ F = ϕ,

pues

(ψ F )(p) = (ϕ F−1)(F (p)) = ϕ(p) = ϕ(p) para todo p ∈ X.Por el teorema de Artin ([DF04, Thm. 9, p.550], [DF04, corolario 11, p.552],D.0.8), como F ∗(M(Y )) es el cuerpo fijo por la accion de un grupo, la ex-tensionM(X) de F ∗(M(Y )) es finita y de Galois, con

[M(X) : F ∗(M(Y ))] = |G| = deg(F ), pues F es de Galois.

Ademas, la aplicacion Φ de la proposicion 5.4.5 es biyectiva (igual numerode elementos), y

Aut(M(X)|F ∗(M(Y ))) ≃ Aut(X|Y ).



Teorema 5.4.7. Sea F : X → Y un morfismo entre superficies de Riemanncompactas, con n = deg(F ). Entonces

[M(X) : F ∗(M(Y ))] = n.

Demostracion. Por el teorema 5.3.9, existe Z superficie de Riemann compac-ta, y recubrimientos de Galois Q : Z → Y y H : Z → X tales que F H = Q.Entonces tenemos los diagramas

ZH //

Q

X

F

Y

M(Z) M(X)H∗

oo

M(Y )

Q∗

OO

F ∗

::uuuuuuuuu

con Q,H recubrimientos de Galois. Entonces, por la proposicion anterior,

[M(Z) : Q∗(M(Y ))] = deg(Q) = deg(F ) deg(H),[M(Z) : Q∗(M(Y ))

]= [M(Z) : H∗(M(X))][M(X) : F ∗(M(Y ))] =

= deg(H)[M(X) : F ∗(M(Y ))],

y deg(F ) = [M(X) : F ∗(M(Y ))], como querıamos probar.

Nota 5.4.8. Se debe tener especial cuidado con la notacion. El morfismoentre cuerpos F ∗ :M(Y )→M(X) es inyectivo, y permite identificar, comocuerpos, a M(Y ) y a F ∗(M(Y ). Consideremos el siguiente ejemplo paratener cuidado con dicha identificacion. El morfismo F : P1 → P1 definido porF (z) = zd es de grado d, por lo que

[M(P1) : F∗(M(P1))] = d.

Recordemos que M(P1) = C(T ), donde la indeterminada T representa lafuncion identidad. Podemos escribir F ∗(M(P1)) = C(T

d), por lo que [C(T ) :C(T d)] = d. Recordemos que esta extension es como C(T d)-espacios vecto-riales. Sin embargo, como cuerpos, C(T ) y C(T d) son isomorfos, a partir delmorfismo de anillos Φ : C(T ) → C(T d),Φ(T ) = T d (o por la identificacionde C(T ) con F ∗(C(T )). Por tanto, no podemos escribir [C(T ) : C(T d)] =[C(T ) : C(T )], pues llegamos a un absurdo.

Otra forma de escribir la extension es a partir del polinomio mınimo de Tsobre C(T d), que esW d−T d. Este polinomio es irreducible en C(T d)[W ], porlo que la extension es isomorfa a C(T d)[W ]/〈W d− T d〉, como C(T d)-espaciovectorial.



Corolario 5.4.9. Si X es una superficie de Riemann compacta, entoncesM(X) es una extension finitamente generada de C(T ), extension de C degrado de trascendencia 1, de la forma C(f)[g], donde f, g : X → P1.

Demostracion. Por el teorema de separacion de Riemann, existe f : X → P1

no trivial. Entonces C → M(X), con f 6∈ C. Como C es algebraicamentecerrado, f es trascendente sobre C, y C(f) es una extension pura de grado detrascendencia igual a 1. Recordemos queM(P1) = C(T ), donde T representala funcion identidad id : P1 → P1. Entonces la inclusion f ∗ : M(P1) →M(X) indica C(f) = f ∗(M(P1)) ≃ C(T ), y de [M(X) : C(f)] = deg(f)deducimos queM(X) es una extension finitamente generada de C(f) ≃ C(T )(como cuerpos).

Ejemplo 5.4.10. Consideremos la curva hiperelıptica Z asociada a la curvay2 = h(x). Recordemos que el morfismo π : Z → P1 asociado a la proyeccionsobre la primera componente es de grado 2. Por ello, [M(Z) : π∗(M(P1))] =2. Ademas, podemos escribirM(Z) = C(π)[ρ], donde ρ es la proyeccion sobrela segunda componente.



5.5. Curva asociada a una superficie de Rie-

mann

Sea Y superficie de Riemann compacta, y K =M(Y ). Por el teorema deseparacion de Riemann, existe f : Y → P1 no constante sobre Y , de grado n.Definimos entonces

f ∗ :M(P1)→M(Y ), con [M(Y ) : f ∗(M(P1))] = n.

Sabemos queM(P1) = C(T ), donde T representa la funcion identidad en larecta proyectiva compleja, y f ∗(M(P1)) = C(f). Por el teorema del elementoprimitivo aplicado a la extension de cuerpos anterior, existe g : Y → P1 queverificaM(Y ) = C(f)[g], y un polinomio irreducible

P (W ) =W n + bn−1(f)Wn + · · ·+ bn(f), con bi(f) ∈ C(f)

tal que P (g) = 0. Si ponemos un denominador comun, podemos escribir

P (W ) =Q(Z,W )

G(Z), donde Q(Z,W ) ∈ C[Z,W ], G(Z) ∈ C[Z].

Por el lema de Gauss, Q(Z,W ) es irreducible en C[Z,W ], y Q(f, g) = 0.Escribamos

Q(Z,W ) = an(Z)Wn + an−1(Z)W

n−1 + . . .+ a0(Z) ∈ C[Z,W ].

Esto nos da una pista para la construccion de una superficie de RiemannC tal que su cuerpo de funciones meromorfas sea uno de la forma C(f)[g],extension algebraica de C(f). El paso inicial es definir una curva asociada a lasuperficie de Riemann Y , que tendra como ecuacion la dada por el polinomiomınimo Q(Z,W ).

Consideremos la curva afın C = V (Q(Z,W )), y tomemos la proyeccionπ0 : C → C, definida por π0(x, y) = x. Sabemos que, en general, C no es unasuperficie de Riemann, pues no hay garantıa de que C sea lisa. Como Q(T,W )es irreducible, C es conexa. Sea Sing(C) el conjunto de puntos singulares(que es finito). Entonces C − Sing(C) sı es una superficie de Riemann, yπ0 : C − Sing(C) → C es un morfismo. Buscamos un subconjunto de C −Sing(C) donde π0 sea un recubrimiento etale. Para ello, tenemos que eliminarlos puntos donde la derivada parcial respecto a W se anule, pues ahı π0ramifica. Estos puntos vienen definidos por los ceros comunes de Q y de∂Q/∂W , tambien conocido como discriminante respecto de W , y viene dadopor un polinomio D(W ). Ademas, debemos quitar los puntos que eliminenel termino lıder del polinomio Q(Z,W ). Esto es lo que ya habıamos visto enla proposicion 5.2.12, que recordamos aquı.



Proposicion 5.5.1. Sea F ∈ C[x, y] un polinomio irreducible, de la forma

F (x, y) = an(x)yn + · · ·+ a1(x)y + a0(x), an(x) 6= 0.

Consideremos la curva C = (x, y) ∈ C2 | F (x, y) = 0, y formemos losconjuntos

S0 = x ∈ C | an(x) = 0, S1 = x ∈ C | existe y ∈ C con F (x, y) = 0 =∂F

∂y.

Si π : C → C es la proyeccion π(x, y) = x, entonces la restriccion

π : π−1(C− (S0 ∪ S1))→ C− (S0 ∪ S1)

es un recubrimiento etale de grado n.

Sea S0 = C∞ − (a ∈ C | an(a) = 0 ∪ a ∈ C | D(a) = 0 ∪ ∞).Entonces la aplicacion

π0 : π−10 (S0)→ S0

es un recubrimiento etale de grado n. Es claro que C0 = π−1(S0) ⊂ C −Sing(C) es un abierto de C − Sing(C), por lo que es superficie de Riemann.

Lema 5.5.2. Para todo p ∈ Y0 = f−1(S0) se tiene que g(p) ∈ C, esto es, gno tiene polos en Y0.

Demostracion. Si p fuera polo de g, entonces 1/g(p) = 0. De la relacionalgebraica,

an(f)gn + . . .+ a1(f)g + a0(f) = 0,

se sigue que

an(f) + . . .+ a1(f)1

gn−1+ a0(f)

1

gn= 0,

y al evaluar en el punto p obtenemos que an(f(p)) = 0, lo que es falso enY0.

Proposicion 5.5.3. Sea Y0 = f−1(S0), que es abierto de Y , y f0 = f|Y0.Entonces la aplicacion m0 : Y0 → C0 definida por m0(p) = (f(p), g(p)) es unisomorfismo de superficies de Riemann, que hace conmutativo el diagrama

Y0m0

∼//

f0

C0

π0~~

S0



Demostracion. Por el lema anterior, m0 esta bien definida (recordemos quetambien se tiene f(p) ∈ S0 ⊂ C). Por otro lado,

an(f(p))g(p)n + . . .+ a1(f(p))g(p) + a0(p) = 0,

por lo que m0(p) ∈ C0. Por construccion, el diagrama

Y0m0 //

f0

C0

π0~~

S0

es conmutativo. Ademas, f0 y π0 son morfismos, por lo que m0 tambien lo es.El grado de π0 es n, por la construccion, y f es un recubrimiento ramificadode grado

[M(Y ) : f ∗(M(P1))] = n, de donde deg(f0) = n.

Por la formula del grado, deg(m0) = 1, y esto significa quem0 es isomorfismo.

5.6. Superficie de Riemann de un cuerpo

El primer objetivo es demostrar que si dos superficies de Riemann com-pacta tienen cuerpos de funciones meromorfas isomorfos, entonces las super-ficies son isomorfas.

Teorema 5.6.1. Sean X e Y superficies de Riemann compactas.

1. Si F,G : X → Y son morfismos distintos, entonces los morfismos decuerpos inducidos F ∗, G∗ :M(Y )→M(X) son diferentes.

2. Si ϕ : M(Y ) → M(X) es un morfismo de cuerpos, entonces existesF : X → Y tal que F ∗ = ϕ.

Demostracion. 1. Es la proposicion 5.4.3.

2. Consideremos entonces X, Y superficies de Riemann con M(X) =C(f)[g] extension finita de C(f), donde f, g : Y → P1 son funcionesmeromorfas, y g es algebraico sobre C(f), con Q(f, g) = 0 la rela-cion polinomial. Sea ϕ : M(Y ) → M(X) un morfismo (inyectivo)de cuerpos, y f ′ = ϕ(f). Como f es no constante, dado que f 6∈ C,tenemos que ϕ(f) 6∈ C, o lo que es lo mismo, f ′ : X → P1 no es



constante. Analogamente obtenemos g′ = ϕ(g) ∈ M(X). Nuestro ob-jetivo es definir un morfismo F : X → Y tal que F ∗ = ϕ, esto es, queF ∗(f) = f ′, F ∗(g) = g′.

Por el teorema anterior, podemos encontrar un diagrama conmutativo

Y0m0

∼//

f0

C0

π0~~

S0

donde m0 es isomorfismo de un abierto de Y sobre un abierto denso deuna curva, y S0 es un subconjunto de P1.

Sea X0 = (f ′)−1(S0), y definimos la aplicacion

λ0 : X0 → C0

p 7→ (f ′(p), g′(p)).

Notemos que

Q(f ′, g′) = Q(ϕ(f), ϕ(g)) = ϕ(Q(f, g)) = 0,

por lo que la imagen de λ0 esta en C. Recordemos que S0 se obtenıade P1 quitando los puntos ∞, las primeras coordenadas de los puntossingulares (caracterizados por el discriminante), y los puntos que anulenel termino lıder del polinomio Q. Por ejemplo, si (f ′(p), g′(p)) fuerapunto singular, entonces

Q(f ′(p), g′(p)) = 0,∂Q

∂x(f ′(p), g′(p)) = 0,

∂Q

∂y(f ′(p), g′(p)) = 0,

de donde

ϕ(Q(f(p), g(p))) = 0, ϕ(∂Q

∂x(f ′(p), g′(p))) = 0, ϕ(

∂Q

∂y(f ′(p), g′(p))) = 0,

y como ϕ es inyectivo, (f(p), g(p)) serıa punto singular. Analogo paralos restantes.

Dado que Q(f ′, g′) = 0 y X0 = (f ′)−1(S0), la funcion g′ no puede tenerpolos en X0, y entonces λ0 es un morfismo. Definimos F0 : X0 → Y0como F0 = m−1

0 λ0. Consideremos los diagramas

Y0m0 //

f0 AAA

AAAA

C0

π0

X0λ0oo

f ′0~~||||||||

S0



que son conmutativos, por lo que

Y0

f0

X0F0oo

f ′0~~

S0

es conmutativo, y es un morfismo de recubrimientos. Por el teorema deprolongacion, F0 se prolonga de forma unica a un diagrama

Y

f

XFoo

f ′~~

P1

con f F = f ′. Queremos probar que F ∗ = ϕ. Ya tenemos que F ∗(f) =f ′, y nos falta que g′ = F ∗(g). Sea π′ : C0 → C la proyeccion sobre lasegunda componente. Entonces el diagrama

X0

F0

~~

λ0

g′|X0

@@@

@@@@

@

Y0m0 // C0

π′// C

es conmutativo, y como g|Y0 = π′ m0, tenemos que g|Y0 F0 = g′|X0.

Por densidad, F ∗(g) = g′.

Corolario 5.6.2. Sean X, Y superficies de Riemann compactas, con cuer-pos de funciones meromorfas isomorfos M(X) ≃ M(Y ). Entonces X esisomorfa a Y .

Demostracion. Sea ϕ :M(Y ) → M(X) un isomorfismo de cuerpos, y ψ =ϕ−1. Entonces existen F : X → Y,G : Y → X morfismos de superficies deRiemann tales que F ∗ = ϕ,G∗ = ψ. Ya que tenemos que

(F G)∗ = ψ ϕ = idM(Y ),

se deduce que F G = idY . Analogamente, G F = idX , por lo que F es unisomorfismo.

Lema 5.6.3. [Gir70, Lema 6.8.2] Sea f una funcion meromorfa en el discoD, y g0 una funcion holomorfa en D∗. Supongamos que existe una relacionde la forma

a0(f)gn0 + · · ·+ an(f) = 0,

donde cada ai es una funcion meromorfa en D. Entonces g0 se extiende auna funcion meromorfa en D.



Demostracion. Si f es una funcion meromorfa, podemos suponer, multipli-cando por una potencia adecuada de la variable, que f es holomorfa. Siescogemos cartas adecuadas, podemos incluso poner que f = ze. Entonces

a0(ze)gn0 + · · ·+ an(z

e) = 0,

con cada ai holomorfa. Sea r ∈ N tal que a0(ze)zr

tiende a un lımite finito nonulo cuando z → 0. Si zrg0 no esta acotada en un entorno de z = 0, existeuna sucesion zk que tiende a cero y zrkg0(zk) tiende a infinito. Entonces

a0(zek)

zrk+

a1(zek)

zrkg0(zk)+ · · ·+ an(z

ek)

zrkg0(zk)n→ e′ 6= 0,

cuando k → ∞, lo que es absurdo. Entonces g0 se puede definir de formameromorfa en 0.

Teorema 5.6.4. Sea K un cuerpo de la forma C(ξ)[η], extension algebraicafinita de C(ξ), con ξ ∈ K − C trascendente. Entonces existe una superficiede Riemann compacta tal queM(X) ≃ K.

Demostracion. Sea Q(Z,W ) ∈ C[Z,W ] el polinomio asociado al polinomiomınimo de η sobre C(ξ), y n = [K : C(ξ)] el grado de la extension. FormamosC0 la superficie de Riemann asociada a V (Q), y π0 el recubrimiento etaleπ0 : C0 → S0 asociado a la proyeccion sobre la primera componente. Entoncesdeg π0 = n, y por el teorema de extension, existe X superficie de Riemanncompacta y π′ : X → P1 que extiende a π0, con deg π′ = n. Ademas,M(X) esuna extension finita de C(π′) de grado n. Queremos probar queM(X) ≃ K.

Consideremos la proyeccion π1 : C0 → C sobre la segunda componente,que es un recubrimiento ramificado. Como Q(π0, π1) = 0, π1 se prolonga a unafuncion meromorfa π′′ : X → P1, por el lema anterior, pues se prolonga deforma meromorfa a los puntos que anadimos a C0 para construir X (comparecon [DD79, apdo. 6.2.8]).

Si π′0(p) =∞, estudiamos lo que ocurre en 0 en la relacion Q(1/z, w) = 0,

que se transforma en un polinomio G(z, w) = 0. En cualquier caso, obtenemosa lo mas un polo para π′′ en p.

Tenemos entonces

C(π′) ⊂ C(π′)[π′′] ⊂M(X),

y [M(X) : C(π′)] = n = [C(π′)[π′′] : C(π′)], por lo que son iguales. ComoC(π′)[π′′] ≃ C(ξ)[η], pues verifican el mismo polinomio mınimo, tenemos elresultado.



Proposicion 5.6.5. Sea X = C/Λ un toro complejo y definimos las funcio-nes f, g : X → P1 dadas por

f(u+ Λ) =

(1 : ℘(u)) si u 6∈ Λ,(0 : 1) si u ∈ Λ.

, g(u+ Λ) =

(1 : ℘′(u)) si u 6∈ Λ,(0 : 1) si u ∈ Λ.

.

Entonces f y g son funciones meromorfas, con deg(f) = 2, y M(X) =C(f)[g].

Demostracion. Como el grado de f es igual a 2, tenemos que [M(X) :f ∗(C(Z))] = 2, y f ∗(C(Z)) = C(f). Como gyf verifican una ecuacion dela forma g2 = h(f), con h(Z) un polinomio irreducible de grado 3, se tie-ne que [C(f)[g] : C(f)] = 2, y de C(f) ⊂ C(f)[g] ⊂ M(X), tenemos laigualdad.

Corolario 5.6.6. Sea X = C/Λ un toro complejo, y CΛ la curva proyectivadefinida por x0x

22 = 4x31 − g2x1x

20 − g3x

30, donde g2, g3 son los invariantes

asociados al retıculo Λ. Entonces X es isomorfa a CΛ.

Demostracion. La parte afın de CΛ esta parametrizada por x = ℘(u), y =℘′(u), con u + Λ ∈ X . Entonces M(CΛ) = C(x)[y] ≃ C(f)[g], de dondeX ≃ CΛ.


Capıtulo 6

Toros complejos

6.1. Morfismos entre toros complejos

6.1.1. Caracterizacion

Sean Λ1 y Λ2 retıculos en C, que definen a los toros complejos X = C/Λ1

y Y = C/Λ2. Sea ahora F : X → Y un morfismo. La formula de Hurwitz nosdice que F es no ramificado (luego etale), y F : X → Y es una aplicacionrecubridora en el sentido topologico. Por tanto, tambien lo es la composicionF π : C → X → Y . Como el dominio es simplemente conexo, tiene queser isomorfo, como espacio recubridor, al espacio recubridor universal de Y ,que es π : C→ Y . Existe entonces un unico homeomorfismo G : C→ C y undiagrama conmutativo

CG //

π1

C

π2

XF // Y

.

La aplicacion G tambien es un morfismo, porque las otras aplicaciones deldiagrama son morfismos etale. Por tanto, G es un isomorfismo, y tiene que serde la forma G(z) = γz+β, con γ 6= 0. Sea ω ∈ Λ1. Entonces π1(ω) = 0+Λ1,y

F (π1(ω)) = F (0 + Λ1) = π2(G(0)) = β + Λ2,

F (π1(ω)) = π2(G(ω)) = γω + β + Λ2.

Entonces γω + β + Λ2 = β + Λ2, de donde γω ∈ Λ2. En consecuencia, siF es un morfismo, existe γ ∈ C∗ tal que γΛ1 ⊂ Λ2, y este γ es unico, por

la unicidad de G. Si C/Λ1F1→ C/Λ2

F2→ C/Λ3 son morfismos con constantes

133


asociadas γ1, γ2 ∈ C∗, entonces F2 F1 es un morfismo de constante asociadaγ2γ1.

Si F es un isomorfismo, entonces sea γ′ la constante no nula asociada aF−1. Como la identidad tiene constante asociada igual a 1, se deduce queγγ′ = 1. Entonces, si F es isomorfismo tenemos que γΛ1 ⊂ Λ2, γ

′Λ2 ⊂ Λ1, dedonde γγ′Λ2 ⊂ γΛ1 ⊂ Λ2, esto es, γΛ1 = Λ2.

Recıprocamente, si γΛ1 = Λ2, consideremos la aplicacion H(z) = γ−1(z−β), que induce una aplicacion F ′ : C/Λ2 → C/Λ1, que es la inversa de F .

Proposicion 6.1.1. Sean X = C/Λ1, Y = C/Λ2 dos toros complejos. En-tonces un morfismo F : X → Y esta inducido por una aplicacion linealG : C→ C de la forma G(z) = γz+ β, donde γ ∈ C es tal que γΛ1 ⊂ Λ2. Laconstante β se pude tomar igual a cero si y solamente si F (0+Λ1) = 0+Λ2.En este caso, F es un morfismo de grupos. El morfismo F es isomorfismo siy solamente si γΛ1 = Λ2. En general, F es un recubrimiento etale de gradoigual al orden del grupo cociente Λ2/γΛ1.

Demostracion. F es un recubrimiento etale, porque π1, π2 y G lo son. En-tonces deg(F ) = cardF−1(0 + Λ2). Consideremos la aplicacion

Φ: F−1(0 + Λ2) → Λ2/γΛ1

z + Λ1 7→ γz + β + γΛ1.

Esta bien definida y es biyectiva, con lo que tenemos el resultado.

Corolario 6.1.2. Aut(X|Y ) ≃ Λ2/γΛ1 y F es de Galois.

Demostracion. Sea H : X → X un automorfismo tal que F H = F .Entonces H esta inducido por una aplicacion h : C→ C de la forma h(z) =λz + a, y

γz + Λ2 = γ(λz + a) + Λ2 para todo z ∈ C.

Pero esto significa que γ(1 − λ)z − γa ∈ Λ2, para todo z ∈ C, y Λ2 es unconjunto discreto. La unica posibilidad es que λ = 1, por lo que γa ∈ Λ2.Consideremos entonces la aplicacion

Ψ: Aut(X|Y ) → Λ2/γΛ1

H 7→ γa+ γΛ1.

Es un homomorfismo de grupos biyectivo, y esto implica que |Aut(X|Y )| =deg(F ), por lo que F es de Galois.



6.1.2. Parametrizacion

Vamos a estudiar un poco mas los isomorfismos entre toros complejos. SeaF : X → Y un isomorfismo entre toros complejos. La condicion γΛ1 = Λ2

se puede escribir en forma matricial de la forma siguiente. Si Λ1 = Zω1 +Zω2,Λ2 = Zω′

1 + Zω′2, la relacion γΛ1 ⊂ Λ2 es equivalente a que existan

a1, a2, b1, b2 ∈ Z tales que

γω1 = a1ω′1 + a2ω

′2,

γω2 = b1ω′1 + b2ω

′2,

que es lo mismo que

γ

(ω1

ω2

)=

(a1 a2b1 b2

)(ω′1

ω′2

).

Como F es isomorfismo, entonces existen a′1, a′2, b

′1, b

′2 ∈ Z tales que

1

γ

(ω′1

ω′2

)=

(a′1 a′2b′1 b′2

)(ω1

ω2

).

En resumen, si ω = (ω1, ω2)t,ω′ = (ω′

1, ω′2)t, entonces

γω = Aω′,1

γω

′ = A′ω.

Como ω1, ω2 son linealmente independientes como vectores en R2, esto sig-nifica que A′ = A−1, por lo que det(A) = ±1. Si intercambiamos ω1 por ω2,podemos suponer que det(A) = 1, esto es, que A ∈ SL2(Z).

Dado un toro complejo X , vamos a estudiar su grupo de automorfismos.Si F : X → X es un automorfismo, entonces existe γ ∈ C∗ tal que γΛ1 = Λ1,o bien, existe A matriz de determinante ±1 tal que Aω = γω. Entonces γes autovalor de A, y por tanto |γ|2 = | det(A)| = 1. Ademas, γ es raız de launidad. Consideremos la sucesion γkω1 ⊂ Λ1. Si todos sus elementos fuerandistintos, entonces serıa un conjunto acotado infinito dentro de un conjuntodiscreto, lo cual no es posible. Entonces tiene que repetirse en algun k0, dedonde existe k tal que γk = 1.

Si F1 y F2 son dos automorfismos definidos por

F1(z + Λ1) = γ1z + β1 + Λ1, F2(z + Λ1) = γ2z + β2 + Λ1

y F1 = F2, entonces γ1z+β1+Λ1 = γ2z+β2+Λ1 para todo z ∈ C. Si z = 0,entonces β1 + Λ1 = β2 + Λ1, de donde

(γ1 − γ2)z ∈ Λ1 para todo z ∈ C.



Como Λ1 es discreto, se tiene que γ1 = γ2. En consecuencia,

Aut(X) = z + Λ1 7→ γz + β, γΛ1 = Λ1, β ∈ C/Λ1.

Vamos a determinar los valores de γ que verifican lo anterior. Siempre pode-mos tener γ = ±1, y todos los toros complejos tienen estos automorfismos.

Supongamos que γ no es real, y sea λ de modulo mınimo en Λ1 − 0. En-tonces γλ tambien sera de modulo mınimo, linealmente independiente sobreR con γ, por lo que Λ1 = Zλ + Zγλ.

Como γ2λ esta tambien en Λ1, podemos escribir γ2λ = mγλ + nλ paraciertos enterosm,n. Si dividimos por λ, observamos que γ verifica la ecuacioncuadratica z2 − mz − n = 0. Las unicas raıces de la unidad que satisfacenecuaciones cuadraticas son las raıces cubicas, cuartas y sextas. Las cubicaslas podemos incluir en estas ultimas. Por tanto, podemos suponer que γ = io bien que γ = exp(πi/3).

En el primer caso, Λ1 es un retıculo cuadrado, con generadores ortogonalesλ y iλ de la misma longitud. En el segundo caso, Λ1 es un retıculo hexagonal,con generadores de la misma longitud separados por un angulo π/3.

Nota 6.1.3. Esta parte es la propuesta como ejercicio en [JS87, ej. 4Q, 3G,3H].

Proposicion 6.1.4. Sea X = C/Λ1 un toro complejo. Entonces el grupo deautomorfismos de X es de la forma:

1. si Λ1 es un retıculo cuadrado,

Aut(X) = z 7→ γz + β, γ4 = 1, β ∈ X,

2. si Λ1 es un retıculo hexagonal,

Aut(X) = z 7→ γz + β, γ6 = 1, β ∈ X,

3. en otro caso,

Aut(X) = z 7→ γz + β, γ = ±1, β ∈ X

.

Si notamos por Aut0(X) a los automorfismos de X que dejan fijo a 0+Λ,tenemos que

Aut0(X) ≃ Z/4Z si Λ es cuadrado;

Aut0(X) ≃ Z/6Z si Λ es hexagonal;

Aut0(X) ≃ Z/2Z en otro caso.



En particular, el toro complejo definido mediante un retıculo cuadradono es isomorfo al definido por un retıculo hexagonal. Por tanto, existen toroscomplejos que no son isomorfos, a pesar que desde el punto de vista topologicoson homeomorfos como superficies de genero 1.

Vamos a expresar las clases de isomorfıa de otra forma. El toro complejoC/Λ, con Λ = Zω1 + Zω2 es isomorfo a un toro Xτ definido por el retıculoΛτ = Z1 + Zτ , donde Im(τ) > 0. Basta considerar como factor γ = 1/ω1,que aplica Λ en el retıculo generado por 1 y ω2/ω1. Si este cociente esta en elsemi-plano superior H, este valor es τ . En otro caso, tomamos τ = −ω2/ω1.

Ahora plantemos el problema de cuando Xτ y X ′τ son isomorfos. Como

hemos visto, tiene que existir γ ∈ C tal que γΛτ = Λτ ′. Esto es equivalente aque γ y γτ generen Λτ ′. Para que esten en Λτ ′, tienen que existir a, b, c, d ∈ Ztales que

γ = c+ dτ ′, γτ = a + bτ ′.

Si eliminamos γ de estas ecuaciones, nos queda que

τ =a+ bτ ′

c+ dτ ′.

Ademas, para que γ y γτ generen Λτ ′ tiene que ocurrir que ad− bc = ±1 (larelacion sea invertible). Como las partes imaginarias de τ y τ ′ son positivas,tiene que ser ad − bc = 1. Podemos concluir entonces que Xτ y X ′

τ sonisomorfos si y solamente si existe una matriz

(a bc d

)∈ SL2(Z)

tal que τ = a+bτ ′

c+dτ ′.

El grupo SL2(Z) actua sobre el semi-plano H mediante la correspondencia

τ 7→ a + bτ

c + dτ,

y las clases de isomorfıa del toro complejo estan en correspondencia biyectivacon los puntos del espacio de orbitas H/ SL2(Z).

El conjunto de las transformaciones de Mobius de la forma

τ =a+ bτ ′

c+ dτ ′,

con ad− bc = 1 se denomina grupo modular.Este espacio de orbitas es isomorfo a C a traves de la funcion modular J

[Apo90].Por ultimo, la proposicion 6.1.4 se puede expresar de la siguiente forma:



Proposicion 6.1.5. Consideremos el toro complejo Xτ , y sea j raız cubicaprimitiva de la unidad. Entonces

1. Si τ 6∈ Q(i), Q(j), entonces

Aut(Xτ ) = z 7→ γz + β, γ = ±1, β ∈ Xτ.

2. Si τ ∈ Q(i), entonces

Aut(Xτ ) = z 7→ γz + β, γ4 = 1, β ∈ Xτ.

3. Si τ ∈ Q(j), entonces

Aut(Xτ ) = z 7→ γz + β, γ6 = 1, β ∈ Xτ.

Como se comenta en [Pal05, RS9, p. 2], el espacio de moduli para genero1 es de dimension 1.

6.2. Isomorfismo con el toro complejo

A partir del retıculo Λ podemos construir el toro complejo asociado X =C/Λ. Observemos que la funcion ℘ : X → P1 es una funcion meromorfa sobreel toro complejo; esta bien definida por el caracter elıptico de la funcion ℘.Vamos a probar que existe una estrecha relacion entre toro X y la curva CΛ.

Proposicion 6.2.1. La aplicacion u : C/Λ→ CΛ definida como

u(z + Λ) =

(1 : ℘(z) : ℘′(z)) si z 6∈ Λ,(0 : 0 : 1) si z ∈ Λ

es un homeomorfismo.

Demostracion. Probaremos que u es una biyeccion, y que tanto u como u−1

son aplicaciones continuas.Verifiquemos que u es inyectiva. Supongamos que z, w ∈ C−Λ, y u(z) =

u(w). Entonces ℘(z) = ℘(w) y ℘′(z) = ℘′(w), y por la proposicion C.3.9,sabemos que

z ∈ Λ± w.Queremos probar que z ∈ Λ + w. Supongamos que z ∈ Λ − w. Como ℘′ esimpar y elıptica, tenemos que

℘′(z) = −℘′(w).



Pero como ℘′(z) = ℘′(w), se tiene que ℘′(z) = ℘′(w) = 0. Por la ecuaciondiferencial, un cero de ℘′ tiene que ser alguno de los ei, es decir,

℘(w) = ei para algun i = 1, 2, 3.

Entonces

w ∈ 1

2Λ,

y esto implica queΛ− w = Λ + w.

Por tanto, z ∈ Λ + w, y hemos probado la inyectividad.Veamos ahora que u es sobreyectiva, y para ello consideremos un punto

(a0 : a1 : a2) ∈ CΛ. Si a0 = 0, la condicion de ser un punto de CΛ obliga aque a1 = 0, y por tanto es el punto (0 : 0 : 1), que esta en la imagen de u.

Supongamos entonces que a0 = 1. Por la proposicion C.3.9, existe z ∈ Ctal que

℘(z) = a1.

Esto implica, por (1 : a1 : a2) ∈ CΛ y la ecuacion diferencial, que

℘′(z)2 = 4℘(z)3 − g2℘(z)− g3 = 4a31 − g2a1 − g3 = a22,

de donde ℘′(z) = ±a2. Como ℘′ es una funcion impar, tenemos que

u(Λ + z) = (1 : a1 : a2) o bien u(Λ− z) = (1 : a1 : a2).

Esto prueba que u es sobreyectiva.Como ℘ y ℘′ son holomorfas en C−Λ, es claro que u es continua excepto

posiblemente en Λ + 0. Como ℘ y ℘′ tienen polos de multiplicidad 2 y 3 en0, respectivamente, podemos escribir

℘(z) =1

z2g(z), ℘′(z) =

1

z3h(z),

donde g y h son funciones holomorfas en 0, y g(0) 6= 0, h(0) 6= 0. Entonces,para z en un entorno suficientemente pequeno de 0, se verifica que

u(z + Λ) = (1 : ℘(z) : ℘′(z)) = (z3 : zg(z) : h(z)),

y esta expresion tiende a (0 : 0 : 1) cuando z tiende a 0. Por tanto, u escontinua en 0 + Λ.

Tenemos ası que u es una aplicacion biyectiva y continua entre un espaciocompacto y un espacio Hausdorff. Entonces u es cerrada, y es un homeomor-fismo.



Ahora damos un paso mas. Hemos visto que estos conjuntos son, desdeel punto de vista topologico, iguales. Queremos compararlos ahora como su-perficies de Riemann, para lo que necesitamos las cartas definidas en cadauno de ellos.

Proposicion 6.2.2. El homeomorfismo u : C/Λ→ CΛ definido como

u(z + Λ) =

(1 : ℘(z) : ℘′(z)) si z 6∈ Λ,(0 : 0 : 1) si z ∈ Λ

es holomorfa, y es entonces un isomorfismo.

Demostracion. Debemos verificar que si w + Λ ∈ C/Λ es un punto del torocomplejo, entonces

ψβ u φ−1α : φα(Uα ∩ u−1(Wβ))→ Yβ

es una funcion compleja holomorfa, para cartas φα : Uα → Vα en C/Λ yψβ : Wβ → Yβ en la curva CΛ, tales que w + Λ ∈ Uα y u(w + Λ) ∈ Wβ .

Recordemos que φα es la inversa de la proyeccion

π : Vα → Uα = π(Vα),

donde Vα es un disco suficientemente pequeno en C (no contenga puntos quevaya a la misma clase de equivalencia). Entonces φ−1

α = π : Vα → Uα.Si w 6∈ Λ, entonces u(w + Λ) = (1 : ℘(w) : ℘′(w)), y la carta ψβ en la

curva CΛ puede ser

π01(x0, x1, x2) = x1/x0 o bien π02(x0, x1, x2) = x2/x0.

Ası, ψβ u φ−1α es la restriccion de ℘ o ℘′, y ambas son holomorfas en un

entorno de w.Si w ∈ Λ, entonces u(w + Λ) = (0 : 0 : 1). La curva afın asociada para

x2 6= 0 esta definida por Q2 : x0 = x31 − g2x1x20 − g3x30, y

∂Q2

∂x0(0 : 0 : 1) 6= 0.

Entonces la carta en la curva afın es πx1 , que se traduce en la curva proyectivacomo π21(x0, x1, x2) = x1/x2. Entonces

ψβ u φ−1α =

℘(z)/℘′(z) si z 6∈ Λ,0 si z ∈ Λ.



Se trata de ver que esta funcion es holomorfa en 0. Por la doble periodicidad,sera holomorfa en cualquier punto de Λ. En un entorno de 0 podemos escribir

℘(z) =1

z2g(z), ℘′(z) =

1

z3h(z),

donde g y h son funciones holomorfas en 0, y g(0) 6= 0, h(0) 6= 0. Entonces

℘(z)

℘′(z)= z

g(z)

h(z),

que tiende a 0 cuando z → 0. Por tanto, es holomorfa.

Teorema 6.2.3. Sean Λ y Λ retıculos en el plano complejo C, y consideremoslos toros complejos respectivos X = C/Λ y X = C/Λ, y C y C cubicas nosingulares proyectivas definidas por las ecuaciones

C : x22x0 = 4x31 − g2x1x20 − g3x30, C : x22x0 = 4x31 − g2x1x20 − g3x30.

Son equivalentes:

1. X y X son isomorfos.

2. Λ = aΛ para algun a ∈ C− 0.

3. J(Λ) = J(Λ), donde

J(Λ) =g2(Λ)

3

g2(Λ)3 − 27g3(Λ)2.

6.2.1. Ramificacion

El problema que estudiamos aquı es el estudio de la ramificacion de laaplicacion cociente π : X → X/G cuando X es un toro complejo, y G ungrupo finito de automorfismos de X . En principio, podemos tener g(X/G) =1, 0.

Caso g(X/G) = 1. Lo que tenemos es un morfismo entre toros, por loque no hay ramificacion, esto es, k = 0. Tenemos un ejemplo con untoro cualquiera X = C/Λ, y a ∈ C− Λ tal que existe un entero n ≥ 2con na ∈ Λ. Consideramos φ(z+Λ) = z+a+Λ, que es una traslacion,y el grupo G = 〈φ〉, que es finito. La proyeccion π : X → X/G no tieneramificacion (si z +ma + Λ = z + Λ, para m ≤ |G|, entonces ma ∈ Λ,lo que implica que m = |G|, y obtenemos la identidad.



Caso g(X/G) = 0. La formula de Hurwitz queda

0 = |G|(−2 +

k∑

i=1

(1− 1

ri

))⇒

k∑

i=1

(1− 1

ri

)= 2.

Por el lema 4.4.1, para g(X/G) = 0 tenemos las siguientes posibilidades:

k = 3, ri = 2, 3, 6, 2, 4, 4, 3, 3, 3.

k = 4, ri = 2, 2, 2, 2.

Vamos a comprobar que cada uno se da con algun ejemplo.

1. Sea X = C/Λ un toro complejo, y consideremos el automorfismo de Xdado por σ(z+Λ) = −z+Λ. El grupo G2 = 〈σ〉 tiene dos elementos, ycalculamos los puntos de ramificacion de la proyeccion π : X → X/G2.Buscamos los puntos p ∈ X con estabilizador Gp no trivial, que tieneque coincidir con G2. Por tanto, tenemos que calcular los puntos doblesde σ, y resolver σ(z + Λ) = z + Λ. Entonces

2z ∈ Λ = Zω1 + Zω2 ⇒ z = 0,1

2ω1,

1

2ω2,

1

2ω1 +

1

2ω2.

Obtenemos cuatro puntos de ramificacion, todos con ındice igual a 2.Por la formula de Hurwitz, no queda que g(X/G2) = 0. La orbita decada uno de estos puntos contiene un solo elemento:

G2 · (0 + Λ) = 0 + Λ, G2 · (12ω1 + Λ) = 12ω1 + Λ,

G2 · (12ω2 + Λ) = 12ω2 + Λ, G2 · (12ω1 +

12ω2 + Λ) = 1

2ω1 +

12ω2 + Λ.

Tenemos ası cuatro puntos rama, y sobre cada uno de ellos se aplica ununico punto de ramificacion de ındice 2. Este es el caso k = 4, ri =(2, 2, 2, 2).

2. Sea X = C/Λ, donde Λ = Z · 1+Z · i, y consideremos el automorfismode X definido como φ(z+Λ) = iz+Λ. El grupo G4 = 〈φ〉 tiene cuatroelementos, y consideramos la proyeccion π : X → X/G4. Los puntos deramificacion de π son los que tienen un estabilizador no trivial, que secorresponden con los puntos dobles de φ y φ2.

a) Si φ(z + Λ) = z + Λ, entonces

(i− 1)z = m1 +m2i⇒ z =m1 −m2

2+ i

m1 +m2

2.



Si m1 y m2 son de la misma paridad, entonces obtenemos el punto0 + Λ, y y3 = G4 · (0 + Λ) = 0 + Λ. En otro caso, obtenemos elpunto 1

2+ i1

2+Λ, con orbita y2 = G4 · (12 + i12 +Λ) = 1

2+ i1

2+Λ.

Tenemos ası dos puntos de ramificacion, cada uno de ellos conındice igual a 4.

b) Si φ2(z + Λ) = z + Λ, entonces

2z = m1 +m2i⇒ z =1

2m1 + i

1

2m2.

Como es logico, los puntos dobles de φ se obtienen aquı tambien,y los nuevos son

1

2+ Λ,

1

2i+ Λ,

con orbitas coincidentes:

G4 · (1

2+ Λ) = 1

2+ Λ,

1

2i+ Λ = G4 · (

1

2i+ Λ = y1.

En resumen, tenemos tres puntos rama y1, y2, y3 (caso k = 3), y lospuntos de ramificacion correspondientes tienen ındices 2, 4, 4.

3. Sea X = C/Λ, con Λ = Z · 1 + Z · τ , y τ = exp(πi/3). Sea φ3 elautomorfismo de X dado por φ(z + Λ) = ωz + Λ, y ω = exp(2πi/3).El grupo G3 = 〈φ3〉 tiene orden 3. Los puntos de ramificacion de laproyeccion π : X → X/G3 se corresponden con los puntos dobles deφ3.

φ3(z + Λ) = z + Λ⇒ ωz + Λ = z + Λ

⇒ (−1 + ω)z = m1 +m2τ

⇒ z =1

−1 + ωm1 +

τ

−1 + ωm2.

La expresion anterior la queremos expresar en la forma α + βτ , conα, β ∈ Q, de forma que podamos conseguir restricciones numericassobrem1 ym2. Si desarrollamos en parte real e imaginaria, e igualamos,nos queda el sistema

−12m1 = α + 1

2β,

−√36m1 −

√33m2 =

√32β.⇒α = −m1+m2

3,

β = −m1−2m2

3.

El resto modulo 3 de −m1 +m2 y el de −m1 − 2m2 es el mismo, porlo que tenemos lo siguiente:



−m1+m2 ≡ 0 mod 3. Entonces el punto es p0 = 0+Λ, y ep0(π) =3, con G3 · p0 = p0 = y1.

−m1 +m2 ≡ 1 mod 3. Entonces el punto es p1 = 13+ 1

3τ + Λ, y

ep1(π) = 3, con G3 · p1 = p1 = y2 (comprueba en el dibujo quep1 = ωp1 = ω2p1).

−m1 +m2 ≡ 2 mod 3. Entonces el punto es p2 = 23+ 2

3τ + Λ, y

ep2(π) = 3, con G3 · p2 = p2 = y3 (comprueba en el dibujo quep2 = ωp2 = ω2p2).

Estamos en el caso k = 3, ri = 3, 3, 3.

4. Sea X = C/Λ, con Λ = Z · 1 + Z · τ , y τ = exp(πi/3). Sea φ6 elautomorfismo de X dado por φ(z + Λ) = τz + Λ. El grupo G6 = 〈φ6〉tiene orden 6. Los puntos de ramificacion de la proyeccion π : X →X/G3 se corresponden con los puntos dobles de φ2

6 y los puntos doblesde φ3

6. Los puntos dobles de φ6 son los puntos dobles comunes a φ26 y

φ36.

Como φ26 = φ3, ya sabemos del apartado anterior sus puntos dobles:

p0 = 0 + Λ, p1 =1

3+

1

3τ + Λ, p2 =

2

3+

2

3τ + Λ.

Es facil ver que

G6 · p0 = p0 = y1, G6 · p1 = p1, p2 = G6 · p2 = y2,

y ep0(π) = 6, ep1(π) = 3, ep2(π) = 3 (orden del subgrupo estabilizadoro cociente de |G6| con el cardinal de la orbita).

Tambien se verifica que φ36(z + Λ) = −z + Λ, y los puntos dobles de

esta aplicacion son

q0 = 0 + Λ, q1 =1

2+ Λ, q2 =

1

2τ + Λ, q3 =

1

2+

1

2τ + Λ.

Ademas,

G6 · q1 = q1, q2, q3 = G6 · q2 = G6 · q3 = y3,

por lo que eq1(π) = eq2(π) = eq3(π) = 2.

Este caso representa a k = 3, ri = 2, 3, 6.Nota 6.2.4. Falta probar una especie de recıproco, que aparece en [DD79,ejercicio 6.7.1(e)]. Sea X un toro complejo, y G un grupo finito de automor-fismos de X . Consideremos G′ el subgrupo de G formado por las traslaciones,y construimos X ′ = X/G′. Entonces:



X ′ es un toro complejo.

π : X → X/G′ es un recubrimiento no ramificado.

Si G′ 6= G, entonces la superficie de Riemann X ′ con la relacion deequivalencia dada por G (aclara esto) es isomorfa a una de las dadaspor k = 3, 4.


Apendice A

Resultados de Analisis

Complejo

A.1. Teoremas basicos de analisis complejo

Teorema A.1.1. [Con78, p.39, prop. 2.20] Sean G y Ω abiertos de C. Su-pongamos que f : G → C y g : Ω → C son funciones continuas tales quef(G) ⊂ Ω, y g(f(z)) = z para todo z ∈ G. Si g es diferenciable y g′(z) 6= 0,entonces f es diferenciable y

f ′(z) =1

g′(f(z)).

Si g es analıtica, entonces f es analıtica.

Teorema A.1.2. [Apo96, prop. 16.30] Si f es holomorfa y no constante enun abierto y conexo S, entonces f es una aplicacion abierta.

Teorema A.1.3. [Apo96, teorema 16.25] Supongamos que f es holomorfaen un abierto conexo S de C. Sea T un subconjunto de S que tiene un puntode acumulacion en S. Si f(z) = 0 para todo z ∈ T , entonces f(z) = 0 paratodo z ∈ S.

Teorema A.1.4. [Apo96, teorema 16.27] Sea f una funcion holomorfa noconstante en un abierto conexo S. Entonces |f | no tiene un maximo local enS.

147


A.2. Teorema de la funcion inversa e implıci-

ta.

Teorema A.2.1. [Car68, p.159] Sean fj(x1, . . . , xn, z1, . . . , zp), j = 1, . . . , nfunciones holomorfas en el entorno de un punto (a, c) = (a1, . . . , an, c1, . . . , cp).

Supongamos que el determinante funcional det(∂fj∂xj

)es distinto de cero en

el punto (a, c). Entonces pueden resolverse las ecuaciones

yj = fj(x1, . . . , xn, z1, . . . , zp) = f(x, z), j = 1, . . . , n

cuando x ∈ U , entorno de a, z ∈ V entorno de c, y ∈ W entorno deb = (b1, . . . , bn), bj = fj(a, c), de la siguiente forma

xj = gj(y1, . . . , yn, z1, . . . , zp),

donde las gj son funciones holomorfas en el entorno del punto (b, c).

Corolario A.2.2. [Car68, p. 26] Sea f una funcion holomorfa en cero talque f(0) = 0 y f ′(0) 6= 0. Entonces existe g funcion holomorfa en 0 tal queg(0) = 0 y g f = id en un entorno de cero.

Corolario A.2.3. [Mar78, p. 495] Si F (z, w) es una funcion analıtica de dosvariables en el entorno |z − z0| < r, |w − w0| < ρ y satisface las condiciones

F (z0, w0) = 0,∂F

∂w(z0, w0) 6= 0,

entonces, en cierto entorno |z − z0| < r′ < r, |w − w0| < ρ′ < ρ del punto(z0, w0), la ecuacion F (z, w) = 0 tiene para cada z una raız g(z), y solouna. Esta funcion g es uniforme y analıtica en el cırculo |z − z0| < r′ yrepresenta una funcion implıcita, determinada por la ecuacion F (z, g(z)) = 0y la condicion complementaria g(z0) = w0.

Corolario A.2.4. Existencia de raız d-esima. Sea f(z) una funcion holo-morfa en un entorno de z0, tal que f(z0) 6= 0. Dado m ∈ Z, m ≥ 1 existe unentorno V de z0 y una funcion holomorfa g(z) en V tal que f(z) = g(z)m

para todo z ∈ V .

Demostracion. Sea F (z, w) = wm − f(z) y w0 una raız m-esima de f(z0).Entonces

∂F

∂w(z0, w0) = mwm−1

0 6= 0,

por lo que tenemos el teorema.



A.3. Extension de funciones holomorfas.

Consideremos una funcion holomorfa f definida en el disco perforado0 < |z| < ρ. Nos preguntamos si esta funcion se puede prolongar a unafuncion holomorfa en todo el disco |z| < ρ, incluido el centro.

Proposicion A.3.1. [Car68, p.99] Para que la prolongacion sea posible esnecesario y suficiente que la funcion f(z) este acotada en el entorno de cero.

Definicion A.3.2. Sea f(z) una funcion holomorfa en el disco perforado0 < |z| < ρ. Se dice que 0 es un punto singular aislado de f si la funcion fno puede prolongarse a una funcion holomorfa en el disco completo.

Una condicion necesaria y suficiente para que 0 sea un punto singularaislado es que los coeficientes an del desarrollo de Laurent no sean todosnulos para n < 0. Hay dos casos posibles:

1. Hay un numero finito de enteros n < 0 tales que an 6= 0. Se diceentonces que 0 es un polo de la funcion f .

2. Existen infinitos enteros n < 0 tales que an 6= 0. Se dice que 0 es unpunto singular esencial de f .

Proposicion A.3.3 (Teorema de Casorati-Weierstrass). [Lan99, p.168, Thm.3.2] Si 0 es una singularidad esencial aislada de una funcion holomorfa f(z)en el disco perforado 0 < |z| < ρ entonces, para todo ǫ > 0, la imagen por fdel disco perforado 0 < |z| < ǫ es denso en C.

Demostracion. Supongamos que existe un disco de centro a y radio r > 0que sea exterior a la imagen por f del disco perforado 0 < |z| < ǫ. Entonces

|f(z)− a| ≥ r para 0 < |z| < ǫ.

La funcion

g(z) =1

f(z)− aes holomorfa y acotada en el disco perforado 0 < |z| < ǫ. Por la proposicionanterior, esta funcion se prolonga a una funcion holomorfa en el disco |z| < ǫ.Entonces 1

g(z)es meromorfa en el disco |z| < ǫ y

f(z) = a+1

g(z)

tendrıa a 0 como polo.



Teorema A.3.4. [Car68, p. 42] Sea f una funcion analıtica en un abiertoconexo Ω, y x0 ∈ Ω. Son equivalentes:

1. f (n)(x0) = 0 para todo entero n ≥ 0.

2. f es identicamente nula en un entorno de x0.

3. f es identicamente nula en todo Ω.


Apendice B

Resultados generales

B.1. Equivalencias de categorıas

Teorema B.1.1. [Rey89, p.8–9] Existe una equivalencia de categorıas entre:

1. Superficies de Riemann compactas + funciones meromorfas no cons-tantes.

2. Cuerpos de funciones de una variable (extensiones de tipo finito y gradode trascendencia 1 sobre C) + morfismos no nulos de C-algebras.

3. Curvas algebraicas sobre C + morfismos racionales no constantes.

4. Curvas algebraicas planas sobre C + morfismos racionales no cons-tantes.

5. Curvas proyectivas lisas sobre C + morfismos no constantes (los mor-fismos racionales son automaticamente regulares).

Explicitamos brevemente los funtores.

SR compactas → Cuerpos de funciones. X 7→ M(X) cuerpo de lasfunciones meromorfas.

Cuerpos de funciones→ SR compactas.K 7→ v(K) valoraciones de Kcon la estructura analıtica o algebraica: un punto de X se correspondecon la valoracion ordx sobreM(X).

Cuerpos de funciones → curvas proyectivas lisas. Igual que el anterior.

Curvas algebraicas → Curvas proyectivas lisas. Normalizacion y com-plecion de una curva algebraica.

151


Curvas proyectivas lisas → SR compactas. Estructura analıtica de unavariedad algebraica (ceros de polinomios, que son funciones analıticas)+ criterio jacobiano.

Cuerpos de funciones → Curvas planas. Escribamos K = C(x, y) (teo-rema del elemento primitivo), donde x, y tienen una relacion algebraica.El polinomio P = Irr(x, y) define una curva plana.

Curvas algebraicas → Cuerpos de funciones. C 7→ k(C) cuerpos defunciones racionales.

Curvas planas → SR compactas. Normalizacion analıtica local.

Curvas planas → Curvas algebraicas. Inclusion.

Curvas proyectivas lisas → Curvas algebraicas. Inclusion.

B.2. Definiciones de genero

Consideramos superficies de Riemann compactas. [Rey89, p.14–17]

1. (Topologico) En terminos de la homologıa (simplicial o singular), elgenero g de la superficie de Riemann X es

g =1

2dimH1(X,Z).

2. (Topologico) La superficie X es homeomorfa a un toro con g agujeros.

3. (Topologico) En terminos de conexion, g es el numero maximal de ciclos(arcos cerrados) disjuntos que pueden quitarse de X .

4. Dada una triangulacion de X con v vertices, e lados y f caras, entonces

2− 2g = v − e + f.

5. (Recubrimientos) Sea f : X → P1(C) una funcion meromorfa sobreX , que es un recubrimiento. Sea n = deg(f), y para cada p ∈ Xconsideramos ep(f) el ındice de ramificacion de f en p. entonces

g = 1− n +1

2

∑

p∈X(ep(f)− 1).



6. (Recubrimientos) Sea Y el espacio recubridor universal de X . Si Y ≃P1(C) (resp. C), entonces X es de genero 0 (resp. 1). En otro caso,X es el cociente del semi-plano de Poincare con un grupo fuchsiano.Notemos por F un dominio fundamental. entonces

g = 1 +1

4π

∫ ∫

F

dxdy

y2.

7. (Cuerpos de funciones) Supongamos que X esta definida por un cuerpode funciones de 1 variable, extension de C de tipo finito y grado detrascendencia 1. Notemos por ΩK/C el cociente del K-espacio vectorialengendrado por los sımbolos df, f ∈ K con el subespacio engendradopor las relaciones clasicas de derivacion:

d(f + f ′)− df − df ′, d(ff ′)− fdf ′ − f ′df y dc,

con f, f ′ ∈ K, c ∈ C. Si v : K∗ → Z es una valoracion de K, todoelemento ω ∈ ΩK/C se escribe como ω = fvdtv, con fv, tv ∈ K y v(tv) =1. Los elementos ω ∈ ΩK/C tales que v(fv) ≥ 0 para toda valoracion vforman un C-espacio vectorial notado por Ω[K]. Entonces

g = dimCΩ[K].

8. (Geometrıa analıtica) Sea ω una diferencial meromorfa sobre X . No-tamos por deg(ω) el numero de ceros menos el numero de polos de ω,contando multiplicidades. Entonces

deg(ω) = 2g − 2.

9. (Geometrıa analıtica) El genero es el numero de diferenciales holomor-fas sobre X linealmente independientes sobre C.

10. (Geometrıa analıtica) Para casi todo punto p ∈ X (todos salvo unnumero finito),

g = 1 +max(ordp(ω) | ω diferencial holomorfa sobre X).

11. (Geometrıa analıtica) Sea O el haz de funciones holomorfas sobre X .Entonces

g = dimCH1(X,O).



12. (Geometrıa algebraica) Representamos X como una curva algebraicade grado d con n puntos dobles singulares y ninguna otra singularidad.Entonces

g =1

2(d− 1)(d− 2)− n.

13. Sea d el grado de la curva X en su prolongacion canonica (al menoscuando X no es hiperelıptica). Entonces

g = 1 +d

2.

14. (Geometrıa algebraica) Sea ∆ el divisor diagonal en X×X . El ındice deinterseccion I(∆,∆) es el numero de puntos de interseccion de ∆ con undivisor linealmente equivalente a ∆ y que corta a ∆ transversalmente.Entonces

g = 1 +I(∆,∆)

2.

15. (Geometrıa algebraica) SeaX definida en Pn(C) por un ideal homogeneoI de C[X0, . . . , Xn]. Notamos por h(d) = dimCC[X0, . . . , Xn]d/Id (par-tes d-homogeneas). Para d ≫ 0, h(d) = PX(d), donde PX es el polino-mio de Hilbert de X . Entonces

g = 1− PX(0).

16. (Geometrıa algebraica) A la curva X se le asocia un morfismo X →J(X) en una variedad abeliana ( la jacobiana de X), tal que todomorfismo racional X → A en una variedad abeliana se factoriza:X →J(X)→ A. Entonces

g = dim J(X).

17. (Geometrıa riemanniana) Supongamos dada sobre X una metrica rie-manniana. Se puede definir entonces una curvatura K y un elementode area dA. Entonces

g = 1− 1

4π

∫ ∫

X

KdA.

18. (Deformaciones) Si X ≃ P1 entonces g = 0. Si X es un toro, entoncesg = 1. En otro caso,

g =1

3(m+ 3),

con m el numero de parametros de una deformacion completa de X(dimension del espacio de moduli).


Apendice C

Funcion ℘ de Weierstrass

C.1. Resultados previos

Recordemos algunas definiciones y resultados de Analisis Complejo. Seaf : W → C∞ una funcion meromorfa, con W un subconjunto abierto de C.Si f tiene un polo en a, la serie de Laurent de f en un entorno de a es de laforma

f(z) =∑

n≥−mcn(z − a)n =

g(z)

(z − a)m ,

con m > 0, y g(z) es una funcion holomorfa en un entorno abierto de a, yg(a) = c−m 6= 0. El numero m se denomina orden o multiplicidad del polo.El coeficiente c−1 es el residuo de f(z) en a, y lo notaremos por Resa(f(z)).

Nota C.1.1. En esta situacion, la funcion

f ′(z)

f(z)

tiene un polo simple (orden 1) en a, con residuo igual a −m. Analogamente,si f tiene un cero de orden m en a, esto es, en un entorno de a podemosescribir

f(z) = (z − a)mg(z),con g(z) una funcion holomorfa en un entorno abierto de a, y g(a) 6= 0,entonces

f ′(z)

f(z)

tiene un polo simple en a con residuo m.

Los residuos de las funciones meromorfas en los polos estan muy rela-cionados con las integrales de funciones a lo largo de caminos en el plano

155


complejo C. Recordemos que un camino diferenciable a trozos en un abiertoW de C es una aplicacion continua γ : [c, d] → W , que es el ensamblado deun numero finito de caminos diferenciables γ1, . . . , γt en W . Esto quiere decirque existen numeros reales

c = c0 < c1 < . . . < ct = d

y aplicaciones γi : [ci−1, ci]→W para 1 ≤ i ≤ t tales que

γ(t) = γi(t) si t ∈ [ci−1, ci],

y las partes real e imaginaria de de la restriccion de γi al abierto (ci−1, ci)tienen derivadas continuas que se extienden continuamente al intervalo ce-rrado [ci−1, ci]. El camino γ es cerrado si γ(c) = γ(d) y simple si γ(t) 6= γ(s)a menos que s = t o s, t = c, d.

Si f : W → C es una funcion continua, entonces la integral de f a lolargo de un camino diferenciable a trozos γ : [c, d]→W es, por definicion,

∫

γ

f(z)dz =

∫ d

c

f(γ(t))γ′(t)dt,

donde γ′(t) se interpreta como γ′i(t) para t ∈ (ci−1, ci).Un contorno en C es un camino simple y cerrado, que es el ensamblado de

caminos γ1, . . . , γt, cada uno de los cuales es un segmento recto o un arco decircunferencia en C. Por el teorema de la curva de Jordan, el complementoen C de la imagen γ∗ de un contorno γ tiene dos componentes conexas, unaacotada (interior I(γ) de γ), y otra no acotada (exterior de γ).

El teorema fundamental sobre integrales de funciones holomorfas sobrecaminos en C es

Teorema C.1.2. Teorema de Cauchy Sea γ un contorno en C y f unafuncion holomorfa en un abierto de C que contenga a I(γ) ∪ γ∗. Entonces

∫

γ

f(z)dz = 0.

Una consecuencia es el teorema de los residuos:

Teorema C.1.3. Sea γ un contorno en C y f una funcion meromorfa enun abierto de C que contenga a I(γ)∪ γ∗, sin polos sobre γ y polos a1, . . . , aten el interior de γ. Entonces

∫

γ

f(z)dz = ±2πit∑

j=1

Resaj (f(z)).



El signo en la igualdad anterior depende del sentido de recorrido de γ.Existe una especie de recıproco del teorema de Cauchy:

Teorema C.1.4. Teorema de Morera Si f : W → C es una funcioncontinua en un abierto W de C y

∫

γ

f(z)dz = 0

para todos los caminos cerrados diferenciables a trozos en subconjuntos con-vexos de W , entonces f es holomorfa en W .

Mediante este teorema se puede probar el siguiente resultado, que es muyutil para construir funciones holomorfas y meromorfas.

Teorema C.1.5. Sea fn : W → C una sucesion de funciones holomorfasen un abierto W de C que converge uniformemente a una funcion f : W →C. Entonces f es holomorfa en W , y la sucesion de derivadas f ′

n convergeuniformemente a f ′ en W .

Y una aplicacion directa de este teorema es:

Teorema C.1.6. Criterio M de Weierstrass. Sea fn : W → Cn≥1 unasucesion de funciones holomorfas definidas en un conjunto abierto W de C.Supongamos que existen numeros reales Mn, n ≥ 1 tales que la serie

∑

n≥1

Mn

converge, y|fn(z)| ≤Mn para todo z ∈ W.

Entonces la serie ∑

n≥1

fn(z)

converge uniformemente en W a una funcion holomorfa f(z) tal que

f ′(z) =∑

n≥1

f ′n(z).

Nota C.1.7. El resultado correspondiente se sigue verificando para una suce-sion doble

fn,m : W → Cn,m≥1

de funciones holomorfas en W .



C.2. Funciones elıpticas

C.2.1. Funciones doblemente periodicas

Definicion C.2.1. Una funcion f de variable compleja se llama periodicacon periodo ω 6= 0 si

f(z + ω) = f(z)

para todo z tal que z y z + ω esten en el dominio de f .

Si ω es un periodo entonces nω tambien es un periodo para todo enteron. Si ω1 y ω2 son periodos, entonces mω1 + nω2 tambien es un periodo paracualesquiera enteros m y n.

Definicion C.2.2. Una funcion f se llama doblemente periodica si tiene dosperiodos ω1 y ω2 cuya razon ω2/ω1 no es real.

Exigimos que la razon no sea real para evitar casos degenerados. Porejemplo si ω1 y ω2 son periodos cuya razon es un numero racional es facilprobar que cada ω1 y ω2 son multiplos enteros de un mismo periodo. Siω2/ω1 = a/b, donde a y b son primos entre si, entonces existen enteros m yn tales que mb+ na = 1. Sea ω = mω1 + nω2. Entonces ω es un periodo y setiene

ω = ω1

(m+ n

ω2

ω1

)= ω1

(m+ n

a

b

)=ω1

b(mb+ na) =

ω1

b,

ası ω1 = bω y ω2 = aω. Por tanto ω1 y ω2 son multiplos enteros de ω.Si la razon ω2/ω1 es un numero irracional, la situacion es un poco mas

complicada. Vamos a comprobar que, en este caso, la funcion f posee periodosde modulo tan pequeno com queramos. Para ello, necesitamos el teorema deaproximacion de Dirichlet.

Teorema C.2.3. Sea θ un numero real y N un numero natural. Entoncesexisten enteros k y h tales que 0 < k ≤ N y

|kθ − h| < 1

N.

Demostracion. Llamamos [x] a la parte entera de un numero real x, y x =x− [x] a su parte fraccionaria. Entonces 0 ≤ x < 1 para cualquier numeroreal x.

Consideremos los N + 1 numeros

θ , 2θ , . . . , (N + 1)θ



del intervalo [0, 1]. Dividimos este intervalo en N partes iguales de la forma[k−1N, kN], para k = 1, 2, . . . , N . Entonces debe haber dos numeros de la forma

mθ en una misma division. Esto es, hay dos enteros N+ <≥ a > b ≥ 1tales que

|aθ − bθ| < 1

N,

o bien

|(a− b)θ − ([aθ]− [bθ])| < 1

N.

Si escribimos k = a − b, que es estrictamente positivo, y menor o igual queN , y h = [aθ]− [bθ], obtenemos el resultado

Con este resultado es facil ver ahora que f tendra periodos tan pequenoscomo se desee. Sea θ = ω1

ω2, y fijamos ε > 0. Sea N un numero natural tal

que 1N< ε

|ω1| . Por el teorema anterior, existen enteros k y h tales que

|kθ − h| =∣∣∣∣kω1

ω2− h∣∣∣∣ <

1

N<

ε

|ω1|,

de donde |kω2 − hω1| < ε. El numero kω2 − hω1 es un periodo de modulomenor que el valor ε fijado inicialmente.

Una funcion con periodos arbitrariamente pequenos es constante en cual-quier abierto conexo donde la funcion f es analıtica. Si f es analıtica en unabierto conexo G y z0 ∈ G, entonces

f ′(z0) = lımω→0

f(z0 + ω)− f(z0)ω

.

Podemos tomar una sucesion de periodos ωn que sea convergente a 0. Enton-ces

f ′(z0) = lımn→∞

f(z0 + ωn)− f(z0)ωn

se anula, pues f(z0 + ωn) = f(z0). Luego f′ se anula en G, y f es constante

en G.

C.2.2. Periodo fundamental

Una funcion doblemente periodica f tiene al menos dos periodos ω1 y ω2

cuyo cociente no es un numero real. Todas las combinaciones de la formamω1+nω2, m, n ∈ Z siguen siendo periodos, Estamos interesados en obtenerun par de periodos distinguidos de f en el sentido de que todos los demasperiodos de f se expresen como combinacion lineal entera de dichos periodos.Esto motiva la siguiente definicion.



Definicion C.2.4. Sea f con periodos ω1 y ω2 cuya razon ω2/ω1 no es real.El par (ω1, ω2) se llama fundamental si todo periodo de f es de la formamω1 + nω2, donde m y n son enteros.

Cada par de periodos fundamentales ω1, ω2 determina una red de parale-logramos. Estos paralelogramos se llaman paralelogramos periodicos. Al con-junto de todas las combinaciones mω1+nω2 con m y n enteros lo denotamospor Ω(ω1, ω2), o simplemente por Ω. Cuando el par (ω1, ω2) es fundamental,cualquier periodo de f lo encontraremos en los nodos de la red. Normalmenteconsideraremos unicamente como puntos del paralelogramo los del interior ylos de los lados que se cortan en el vertice inferior izquierdo. De manera for-mal, si ω = mω1+nω2 es un nodo de la red, el paralelogramo que determinaes

Pω = λω1 + µω2 | 0 ≤ λ, µ < 1.El siguiente teorema nos da un criterio para reconocer un par fundamen-

tal.

Teorema C.2.5. Si (ω1, ω2) es un par fundamental de f , entonces el triangu-lo con vertices 0 , ω1 , ω2 no contiene periodos en su interior ni en su frontera.Recıprocamente, cualquier par de periodos con esta propiedad es fundamental.

Demostracion. Supongamos en primer lugar que el par (ω1, ω2) es fundamen-tal. Consideremos el paralelogramo P0, con vertices 0, ω1, ω2 y ω1 + ω2. Losunicos periodos de f en este paralelogramo son los vertices, pues ningun otropunto de P0 se expresa como combinacion lineal entera de ω1 y ω2. Por tanto,el triangulo de vertices 0, ω1 y ω2 no tiene periodos en su interior.

Recıprocamente, supongamos que el triangulo de vertices 0, ω1 y ω2 nocontiene periodos en su interior. Sea ω otro periodo de f . Como ω1 y ω2

son R-linealmente independientes, forman una base de C como R-espaciovectorial, y existen entonces escalares t1, t2 ∈ R tales que ω = t1ω1 + t2ω2. Siconsideramos la funcion [·] parte entera, escribimos t1 = [t1]+r1, t2 = [t2]+r2,donde 0 ≤ r1, r2 ≤ 1. Entonces

ω − [t1]ω1 − [t2]ω2 = r1ω1 + r2ω2.

Si algun ri es no nulo, entonces r1ω1 + r2ω2 es un periodo de f , que ademasse encuentra en el paralelogramo de vertices 0, ω1, ω2 y ω1 + ω2. Entonces ωo su simetrico ω1+ω2−ω respecto al centro del paralelogramo, que tambienes un periodo, se halla en el triangulo de vertices 0, ω1 y ω2. Esto implica queambos valores ri, i = 1, 2 son nulos, y obtenemos ω como combinacion linealentera de ω1 y ω2.



Los periodos fundamentales de una funcion doblemente periodica no sonunicos, pues otro par puede generar el mismo retıculo.

Definicion C.2.6. Dos pares de numeros complejos (ω1, ω2) y (ω′1, ω

′2), con

razon no real, se dicen equivalentes si generan los mismo periodos, es decir,Ω(ω1, ω2) = Ω(ω′

1, ω′2).

La pregunta natural es si podemos caracterizar pares equivalentes.

Teorema C.2.7. Dos pares (ω1, ω2) y (ω′1, ω

′2) son equivalentes si y solamen-

te si existe una matriz de enteros 2× 2,

(a bc d

)con determinante ad− bc = ±1,

tal que (ω′1

ω′2

)=

(a bc d

)=

(ω1

ω2

).

Dicho de otra forma,

ω′1 = aω1 + bω2,

ω′2 = cω1 + dω2.

Demostracion. Si existe tal matriz, es claro que los retıculos son los mismos,dado que la matriz es invertible. Recıprocamente, supongamos que ambos pa-res generan el mismo retıculo: Entonces ω′

1, ω′2 se expresan como combinacion

lineal entera de ω1 y ω2, y al reves:

ω′1 = α1ω1 + β1ω2,ω′2 = α2ω1 + β2ω2,

,ω1 = γ1ω

′1 + δ1ω

′2,

ω2 = γ2ω′1 + δ2ω

′2,, αi, βi, γi, δi ∈ Z, i = 1, 2.

Unimos ambas expresiones, y en forma matricial nos queda

(ω′1

ω′2

)=

(α1 β1α2 β2

)(γ1 δ1γ2 δ2

)(ω′1

ω′2

).

El vector complejo

(ω′1

ω′2

)se traduce como una matriz 2×2 real no singular,

por lo que (α1 β1α2 β2

)(γ1 δ1γ2 δ2

)= I2,

y estas matrices enteras son no singulares, de donde su determinante es ±1.



Definicion C.2.8. Una funcion f se dice elıptica si tiene las siguientes dospropiedades:

1. f es doblemente periodica.

2. f es meromorfa.

Las funciones constantes son ejemplos triviales de funciones elıpticas. Enel desarrollo de este capitulo intentaremos buscar funciones elıpticas no tri-viales.

Teorema C.2.9. Una funcion elıptica no constante tiene un periodo funda-mental.

Si f y g son funciones elıptica con periodos ω1 y ω2 entonces su suma,diferencia, producto y conciente son tambien funciones elıpticas con el mismoperiodo. Tambien f ′ es elıptica con los mismos periodos.

Como consecuencia de esto, para estudiar propiedades de funciones elıpti-cas a veces es suficiente estudiar lo que ocurre en un paralelogramo periodico.

Teorema C.2.10. Si una funcion elıptica f no tiene polos en un paralelo-gramo periodico, entonces es constante.

Demostracion. Si f no tiene polos en un paralelogramo periodico, entoncesf es continua y ası esta acotada en la clausura del paralelogramo. Por laperiodicidad, f esta acotada en todo el plano complejo. Por tanto, por elteorema de Liouville, f es constante.

Teorema C.2.11. Si una funcion elıptica f no tiene ceros en un paralelo-gramo periodico, entonces es constante.

Demostracion. Si f no tiene ceros en un paralelogramo periodico entonces1/f no tiene polos en ese paralelogramo. Aplicando el teorema anterior setiene que 1/f es constante y ası f es constante.

A veces no conviene tener ceros o polos en la frontera de un paralelogra-mo periodico. Puesto que una funcion menomorfa tiene solamente un numerofinito de ceros o polos en una porcion limitada del plano, un paralelogramoperiodico puede siempre trasladarse de manera congruente a un paralelogra-mo que no tenga ceros ni polos en la frontera. A este tipo de paralelogramosse les da el nombre de celda y sus vertices no tienen por que ser periodos.

Teorema C.2.12. La integral cerrada de una funcion elıptica a lo largo deuna curva que limita una celda es cero.



Teorema C.2.13. La suma de los residuos de una funcion elıptica en suspolos en cualquier paralelogramo periodico es cero.

Este teorema prueba que cualquier funcion elıptica no constante tiene almenos dos polos simples o al menos dos polos dobles en cada paralelogramoperiodico.

Teorema C.2.14. El numero de ceros de una funcion elıptica en cualquierparalelogramo periodico es igual al numero de polos, contando multiplicida-des.

El numero de ceros (o polos) de una funcion elıptica en cualquier para-lelogramo periodico se llama orden de la funcion. Toda funcion elıptica noconstante tiene orden mayor o igual que 2.

El siguiente lema sera necesario posteriormente para justificar la existen-cia de unos coeficientes.

Lema C.2.15. Si α es un numero real, la serie

∑

ω ∈ Ωω 6= 0

1

ωα

converge absolutamente si y solamente si α > 2.

Demostracion. Consideramos el paralelogramo de la figura C.2.2, y sean r yR la mınima y maxima distancia de 0 al borde del paralelogramo. Si ω escualquiera de los 8 periodos no nulos que aparecen en el dibujo entonces

r ≤ |ω| ≤ R (para los 8 periodos w).

0

ω

ω

− ω

− ω

ω + ω

ω − ω

ω − ω

− ω − ω

1

2

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

rR



En los proximos periodos concentricos a estos 8 (hay 2 · 8 = 16) se tiene

2r ≤ |ω| ≤ 2R (para los 16 nuevos periodos ω).

En los siguientes 24 periodos se tiene

3r ≤ |ω| ≤ 3R (para los 24 nuevos periodos ω),

y ası sucesivamente. Entonces tenemos las siguientes desigualdades

1

Rα≤ 1

|ω|α ≤1

rαpara los 8 primeros periodos ω,

1

2Rα≤ 1

|ω|α ≤1

2rαpara los 16 siguientes periodos ω,

y ası sucesivamente. Por tanto si llamamos S(n) =∑ |ω|−α, tenemos la

siguiente desigualdad

8

Rα+

2 · 8(2R)α

+ · · ·+ n · 8(nR)α

≤ S(n) ≤ 8

rα+

2 · 8(2r)α

+ · · ·+ n · 8(nr)α

,

o tambien8

Rα

n∑

k=1

1

kα−1≤ S(n) ≤ 8

rα

n∑

k=1

1

kα−1.

Esto prueba, usando el criterio de comparacion, que la serie converge si ysolo si α > 2.

C.3. Funcion ℘ de Weierstrass

Sean ω1 y ω2 numeros complejos no nulos, linealmente independientessobre R, es decir, que ω2/ω1 6∈ R. Consideremos el retıculo Λ = Zω1 + Zω2.

Lema C.3.1. Existe un δ > 0 tal que

|xω1 + yω2| ≥ δ√x2 + y2

para cualquier par (x, y) ∈ R2.

Demostracion. La funcion f : [0, 2π]→ R definida como

f(θ) = |ω1 cos(θ) + ω2 sin(θ)|



es continua. Como el intervalo [0, 2π] es compacto, f esta acotada inferior-mente, y alcanza la cota. Ademas, f(θ) > 0 para todo θ ∈ [0, 2π], pues ω1 yω2 son linealmente independientes sobre R. Entonces existe δ > 0 tal que

f(θ) > δ para todo θ ∈ [0, 2π].

De aquı se obtiene|xω1 + yω2| ≥ δ

√x2 + y2

para todo par (x, y) ∈ R2.

Teorema C.3.2. Existe una funcion meromorfa ℘(z) en C definida como

℘(z) =1

z2+

∑

ω∈Λ−0

(1

(z − ω)2 −1

ω2

),

y cuya derivada es

℘′(z) = −2∑

ω∈Λ

1

(z − ω)3 .

Demostracion. Observemos que la suma de una funcion holomorfa y unafuncion meromorfa en un abierto de C es una funcion meromorfa. Enton-ces, por el criterio M de Weierstrass, para probar que ℘(z) es una funcionmeromorfa bien definida en C, y que su derivada se pude obtener derivandotermino a termino de la serie, basta probar que para cualquier R > 0 existeun subconjunto finito ΛR de Λ tal que la serie

∑

ω∈Λ−ΛR

(1

(z − ω)2 −1

ω2

)

converge absoluta y uniformemente en el disco

z ∈ C | |z| ≤ R.

SeaΛR = ω ∈ Λ | |ω| ≤ 2R.

Entonces

ΛR ⊂ nω1 +mω2 | n,m ∈ Z, n2 +m2 ≤ 4R2δ−2,

donde δ es el valor del lema anterior. Por tanto, ΛR es finito. Ademas, si

ω = nω1 +mω2 ∈ Λ− ΛR y |z| ≤ R,



entonces |z| ≤ 12|ω|, y de aquı∣∣∣∣

1

(z − ω)2 −1

ω2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ω2 − (z − ω)2ω2(z − ω)2

∣∣∣∣

= | z(2ω − z)(z − ω)2ω2

|

≤ 5R|ω|/2|ω|4/4

=10R

|ω|3

≤ 10R

δ3(n2 +m2)3/2.

El resultado se sigue por la comparacion de las series:

∑

(n,m)6=(0,0)

1

(n2 +m2)3/2=

∑

k≥1

∑

max(|n|,|m|)=k

1

(n2 +m2)3/2

≤ 8∑

k≥1

1

k2< +∞.

Definicion C.3.3. La funcion ℘(z) se denomina funcion ℘ de Weierstrassasociada al retıculo Λ.

Lema C.3.4. ℘(−z) = ℘(z) = ℘(z + ζ) para todo z ∈ C y ζ ∈ Λ.

Demostracion. Observemos que si ζ ∈ Λ entonces

℘′(z + ζ) = −2∑

ω∈Λ

1

(z + ζ − ω)3 .

Esta serie converge absolutamente, y ω− ζ recorre todo el retıculo Λ cuandoω varıa en Λ. Podemos entonces reordenar los terminos de la serie, y sustituirω por ω − ζ , y obtenemos

℘′(z + ζ) = ℘′(z) para todo z ∈ C.

Esto implica que℘(z + ζ) = ℘(z) + c(ζ),

donde c(ζ) depende de ζ , pero no de z. Si hacemos el cambio z = −12ζ ,

obtenemos

c(ζ) = ℘(1

2ζ)− ℘(−1

2ζ).



Observemos ahora que

℘(−z) = 1

z2+∑

ω∈Λ−0

(1

(−z + ω)2− 1

ω2

),

y si reordenamos la serie, cambiando ω por −ω, obtenemos

℘(z) = ℘(−z) para todo z ∈ C.

En particular, c(ζ) = ℘(12ζ)− ℘(−1

2ζ) = 0, y ası

℘(z + ζ) = ℘(z) para todo z ∈ C.

Definicion C.3.5. Las funciones de variable compleja que verifican

f(z + ζ) = f(z)

para todo z y z + ζ en el dominio de f , y ζ ∈ Λ, o de forma equivalente

f(z + ω1) = f(z) = f(z + ω2)

para todo z en el dominio de f , se denominan funciones doblemente periodi-cas, con retıculo Λ, o con periodos ω1 y ω2.

La funcion ℘ de Weierstrass es una funcion meromorfa doblemente pe-riodica sobre C.

Lema C.3.6. Una funcion f holomorfa doblemente periodica con retıculo Λsobre C es constante.

Demostracion. Como f es holomorfa, es continua, y entonces es acotadasobre cualquier subconjunto cerrado acotado de C, como el paralelogramo

P = sω1 + tω2 | s, t ∈ [0, 1].

Pero dado cualquier z ∈ C, existe ζ ∈ Λ tal que z + ζ ∈ P , y como f esdoblemente periodica,

f(z + ζ) = f(z).

Entonces f esta acotada en C, y por el teorema de Liouville, f es constante.



Teorema C.3.7. Sea r = mın|ω| | ω 6= 0. Entonces para 0 < |z| < r setiene que

℘(z) =1

z2+

∞∑

n=1

(2n+ 1)G2n+2z2n,

donde

Gn =∑

ω 6=0

1

ωnpara n ≥ 3.

Demostracion. Si 0 < |z| < r entonces |z/ω| < 1 y tenemos

1

(z − ω)2 =1

ω2(1− z

ω

)2 =1

ω2

(1 +

∞∑

n=1

(n+ 1)( zω

)n),

y de aquı1

(z − ω)2 −1

ω2=

∞∑

n=1

n + 1

ωn+2zn.

Si sumamos sobre todos los valores de ω, encontramos, por convergenciaabsoluta,

℘(z) =1

z2+

∞∑

n=1

(n+ 1)∑

ω 6=0

1

ωn+2zn =

1

z2+

∞∑

n=1

Gn+2zn,

donde Gn es el indicado en el enunciado. Por el lema C.2.15, esta bien de-finido. Como ℘(z) es una funcion par, los coeficientes G2n+1 se anulan, yobtenemos el resultado.

Lema C.3.8. La funcion ℘(z) satisface la ecuacion diferencial

℘′(z)2 = 4℘(z)3 − g2℘(z)− g3,

dondeg2 = g2(Λ) = 60G4, g3 = g3(Λ) = 140G6.

Demostracion. Vamos a formar una combinacion lineal de potencias de ℘ y℘′ que elimine el polo en z = 0. Esto proporciona una funcion elıptica sinpolos, por lo que debe ser constante. En un entorno de z = 0, se verifica que

℘′(z) = − 2

z3+ 6G4z + 20G6z

3 + . . . ,

una funcion elıptica de orden 3. Su cuadrado tiene orden 6, ya que

[℘′(z)]2=

4

z6− 24G4

z2− 80G6 + . . . ,



donde + . . . indica una serie de potencias en z que se anula en z = 0. Ahora

4℘(z)3 =4

z6+

36G4

z2+ 60G6 + . . . ,

y de aquı

[℘′(z)]2 − 4℘(z)3 = −60G4

z2− 140G6 + . . . ,

de donde

[℘′(z)]2 − 4℘(z)3 + 60G4℘(z) = −140G6 + . . . .

El miembro izquierdo no tiene polo en z = 0, por lo que no tiene polos enningun paralelogramo de periodos. Entonces tiene que ser constante, e iguala −140G6.

Proposicion C.3.9. La funcion

℘ : C− Λ→ C

es sobreyectiva. Ademas, ℘(z) = ℘(z′) si y solamente si z′ ∈ Λ± z.

Demostracion. Tomemos c ∈ C y sea f(z) = ℘(z) − c. Entonces la funcionf ′(z)/f(z) es meromorfa en C, con polos simples de residuo −m donde ftenga polos de multiplicidad m, y polos simples de residuo m donde f tengaceros de multiplicidad m, y ningun otro polo. Por el teorema de los residuos,si γ es un contorno en C que no pase por ningun cero o polo de f , entonces

1

2πi

∫

γ

f ′(z)

f(z)dz = Z − P,

donde Z y P son, respectivamente, los numeros de ceros y polos de f dentrode γ, contados con la multiplicidad. Tomemos γ el borde del paralelogramo

P (a) = a+ sω1 + tω2 | s, t ∈ [0, 1],

donde a se ha elegido de forma que el borde de P (a) no pase por ninguncero o polo de f . En particular, esto significa que existe precisamente ununico valor ζ ∈ Λ en el interior de γ. La funcion f ′/f es elıptica, con losmismos periodos que f , y la integral a lo largo del borde de P (a) es cero,pues las integrales se cancelan a lo largo de los lados paralelos, por la dobleperiodicidad. Es decir, ∫

γ

f ′(z)

f(z)dz = 0.



Entonces Z = P , y la funcion f , como ℘, tiene polos de multiplicidad 2 entodos los puntos del retıculo ζ ∈ Λ, y ningun otro. Por tanto, P = 2 = Z, yexiste algun w0 ∈ P (a) tal que f(w0) = 0, esto es,

℘(w0) = c.

Esto prueba la sobreyectividad de ℘.Como ℘(z) es par y doblemente periodica, se verifica que

℘(z) = ℘(w0) = c para todo z ∈ Λ± w0.

Existe un valor w1 ∈ Λ− w0 que pertenece al paralelogramo P (a), y ambosw0 y w1 son ceros de f en el interior de γ. Por tanto, si w0 6= w1 contarıancomo los dos ceros de f dentro de γ, y los unicos ceros de f vendrıan dadospor

z ∈ Λ± w0.

Ası, lo que queda por probar es que si w1 = w0 entonces f tiene un cerode multiplicidad 2 en w0, o lo que es lo mismo, f ′(w0) = 0. De esta formatendrıamos contados todos los ceros de f en el interior de γ. Si w0 = w1

entonces Λ + w0 = Λ − w0, y como ℘′(z) es una funcion impar doblementeperiodica,

℘′(w0) = −℘′(−w0) = −℘′(w0).

De aquı concluimos que ℘′(w0) = 0, y que f ′(w0) = 0.

C.4. Curva elıptica asociada a ℘

Definicion C.4.1. Notaremos por e1, e2, e3 los valores de la funcion ℘ en lossemiperiodos:

e1 = ℘(ω1

2

), e2 = ℘

(ω2

2

), e3 = ℘

(ω1 + ω2

2

).

Definicion C.4.2. Sea CΛ la curva proyectiva definida por el polinomio

QΛ(x0, x1, x2) = x22x0 − 4x31 + g2x1x20 + g3x

30,

donde g2 = g2(Λ), g3 = g3(Λ).

Lema C.4.3. Los numero e1, e2, e3 son distintos dos a dos.

Demostracion. Si, por ejemplo, e1 = e2, aplicamos la proposicion C.3.9, yobtendrıamos que 1

2ω2 = Λ ± 1

2ω1, lo que es imposible. Analogamente para

los otros casos.



Lema C.4.4. QΛ(x0, x1, x2) = x22x0 − 4(x1 − e1x0)(x1 − e2x0)(x1 − e3x0) yla curva asociada CΛ es no singular.

Demostracion. Como ℘ es una funcion doblemente periodica y par, su deri-vada ℘′ es doblemente periodica e impar, con los mismos periodos ω1 y ω2.Entonces

℘′(1

2ω1) = ℘′(

1

2ω1 − ω1) = ℘′(−1

2ω1) = −℘′(

1

2ω1),

por lo que ℘′(12ω1) = 0 si es finito. Como ℘′(z) no tiene polos en 1

2ω1,

12ω2,

12(ω1+

ω2), son ceros de ℘′(z).Por la ecuacion diferencial,

4e3i − g2ei − g3 = ℘′(ei)2 = 0,

por lo que e1, e2 y e3 son las raıces del polinomio 4x3 − g2x− g3. Entonces

QΛ(x0, x1, x2) = x21x0 − 4(x1 − e1x0)(x1 − e2x0)(x1 − e3x0).

La parte afın de la curva CΛ para x0 = 1 es no singular, pues es de la formay2 = h(x), con h polinomio de grado tres con raıces distintas. El unico puntoque falta es el (0 : 0 : 1), que se prueba facilmente que es no singular.

C.5. El discriminante ∆

El numero ∆ = g32 − 27g23 se llama discriminate. Recordamos que enrealidad g2, g3 y por tanto ∆ son funciones que dependen de ω1 y ω2, es decir

g2 = g2(ω1, ω2), g3 = g3(ω1, ω2), ∆ = ∆(ω1, ω2).

Es facil probar que g2 y g3 son funciones homogeneas de grados −4 y −6,respectivamente, es decir

g2(λω1, λω2) = λ−4g2(ω1, ω2) y g3(λω1, λω2) = λ−6g3(ω1, ω2)

para todo λ 6= 0. Por tanto ∆ es homogeneo de grado −12,

∆(λω1, λω2) = λ−12∆(ω1, ω2).

Llamando λ a 1/ω1 y τ a ω2/ω1 tenemos

g2(1, τ) = ω41g2(ω1, ω2), g3(1, τ) = ω6

1g3(ω1, ω2),

∆(1, τ) = ω121 ∆(ω1, ω2).



De esta forma podemos considerar que g2, g3 y ∆ son funciones de unavariable compleja. Podemos siempre elegir ω1 y ω2 de tal forma que τ = ω2/ω1

tenga parte imaginaria positiva y estudiar estas funciones en el semiplanosuperior Im(τ) > 0, que denotaremos por H.

Si τ ∈ H escribiremos g2(τ), g3(τ) y ∆(τ) en lugar de g2(1, τ), g2(1, τ) y∆(1, τ), respectivamente. Ahora podemos escribir

g2(τ) = 60

+∞∑

m,n = −∞(m,n) 6= (0, 0)

1

(m+ nτ)4,

g3(τ) = 140

+∞∑

m,n = −∞(m,n) 6= (0, 0)

1

(m+ nτ)6.

∆(τ) = g2(τ)3 − 27g3(τ)

2.

El teorema anterior prueba que ∆(τ) 6= 0 para todo τ ∈ H.

C.6. Isomorfismo con el toro complejo

A partir del retıculo Λ podemos construir el toro complejo asociado X =C/Λ. Observemos que la funcion ℘ : X → P1 es una funcion meromorfa sobreel toro complejo; esta bien definida por el caracter elıptico de la funcion ℘.Vamos a probar que existe una estrecha relacion entre toro X y la curva CΛ.

Proposicion C.6.1. La aplicacion u : C/Λ→ CΛ definida como

u(z + Λ) =

(1 : ℘(z) : ℘′(z)) si z 6∈ Λ,(0 : 0 : 1) si z ∈ Λ

es un homeomorfismo.

Demostracion. Probaremos que u es una biyeccion, y que tanto u como u−1

son aplicaciones continuas.

Verifiquemos que u es inyectiva. Supongamos que z, w ∈ C−Λ, y u(z) =u(w). Entonces ℘(z) = ℘(w) y ℘′(z) = ℘′(w), y por la proposicion C.3.9,sabemos que

z ∈ Λ± w.



Queremos probar que z ∈ Λ + w. Supongamos que z ∈ Λ − w. Como ℘′ esimpar y elıptica, tenemos que

℘′(z) = −℘′(w).

Pero como ℘′(z) = ℘′(w), se tiene que ℘′(z) = ℘′(w) = 0. Por la ecuaciondiferencial, un cero de ℘′ tiene que ser alguno de los ei, es decir,

℘(w) = ei para algun i = 1, 2, 3.

Entonces

w ∈ 1

2Λ,

y esto implica queΛ− w = Λ + w.

Por tanto, z ∈ Λ + w, y hemos probado la inyectividad.Veamos ahora que u es sobreyectiva, y para ello consideremos un punto

(a0 : a1 : a2) ∈ CΛ. Si a0 = 0, la condicion de ser un punto de CΛ obliga aque a1 = 0, y por tanto es el punto (0 : 0 : 1), que esta en la imagen de u.

Supongamos entonces que a0 = 1. Por la proposicion C.3.9, existe z ∈ Ctal que

℘(z) = a1.

Esto implica, por (1 : a1 : a2) ∈ CΛ y la ecuacion diferencial, que

℘′(z)2 = 4℘(z)3 − g2℘(z)− g3 = 4a31 − g2a1 − g3 = a22,

de donde ℘′(z) = ±a2. Como ℘′ es una funcion impar, tenemos que

u(Λ + z) = (1 : a1 : a2) o bien u(Λ− z) = (1 : a1 : a2).

Esto prueba que u es sobreyectiva.Como ℘ y ℘′ son holomorfas en C−Λ, es claro que u es continua excepto

posiblemente en Λ + 0. Como ℘ y ℘′ tienen polos de multiplicidad 2 y 3 en0, respectivamente, podemos escribir

℘(z) =1

z2g(z), ℘′(z) =

1

z3h(z),

donde g y h son funciones holomorfas en 0, y g(0) 6= 0, h(0) 6= 0. Entonces,para z en un entorno suficientemente pequeno de 0, se verifica que

u(z + Λ) = (1 : ℘(z) : ℘′(z)) = (z3 : zg(z) : h(z)),



y esta expresion tiende a (0 : 0 : 1) cuando z tiende a 0. Por tanto, u escontinua en 0 + Λ.

Tenemos ası que u es una aplicacion biyectiva y continua entre un espaciocompacto y un espacio Hausdorff. Entonces u es cerrada, y es un homeomor-fismo.

Ahora damos un paso mas. Hemos visto que estos conjuntos son, desdeel punto de vista topologico, iguales. Queremos compararlos ahora como su-perficies de Riemann, para lo que necesitamos las cartas definidas en cadauno de ellos.

Proposicion C.6.2. El homeomorfismo u : C/Λ→ CΛ definido como

u(z + Λ) =

(1 : ℘(z) : ℘′(z)) si z 6∈ Λ,(0 : 0 : 1) si z ∈ Λ

es holomorfa, y es entonces un isomorfismo.

Demostracion. Debemos verificar que si w + Λ ∈ C/Λ es un punto del torocomplejo, entonces

ψβ u φ−1α : φα(Uα ∩ u−1(Wβ))→ Yβ

es una funcion compleja holomorfa, para cartas φα : Uα → Vα en C/Λ yψβ : Wβ → Yβ en la curva CΛ, tales que w + Λ ∈ Uα y u(w + Λ) ∈ Wβ .

Recordemos que φα es la inversa de la proyeccion

π : Vα → Uα = π(Vα),

donde Vα es un disco suficientemente pequeno en C (no contenga puntos quevaya a la misma clase de equivalencia). Entonces φ−1

α = π : Vα → Uα.Si w 6∈ Λ, entonces u(w + Λ) = (1 : ℘(w) : ℘′(w)), y la carta ψβ en la

curva CΛ puede ser

π01(x0, x1, x2) = x1/x0 o bien π02(x0, x1, x2) = x2/x0.

Ası, ψβ u φ−1α es la restriccion de ℘ o ℘′, y ambas son holomorfas en un

entorno de w.Si w ∈ Λ, entonces u(w + Λ) = (0 : 0 : 1). La curva afın asociada para

x2 6= 0 esta definida por Q2 : x0 = x31 − g2x1x20 − g3x30, y

∂Q2

∂x0(0 : 0 : 1) 6= 0.



Entonces la carta en la curva afın es πx1 , que se traduce en la curva proyectivacomo π21(x0, x1, x2) = x1/x2. Entonces

ψβ u φ−1α =

℘(z)/℘′(z) si z 6∈ Λ,0 si z ∈ Λ.

Se trata de ver que esta funcion es holomorfa en 0. Por la doble periodicidad,sera holomorfa en cualquier punto de Λ. En un entorno de 0 podemos escribir

℘(z) =1

z2g(z), ℘′(z) =

1

z3h(z),

donde g y h son funciones holomorfas en 0, y g(0) 6= 0, h(0) 6= 0. Entonces

℘(z)

℘′(z)= z

g(z)

h(z),

que tiende a 0 cuando z → 0. Por tanto, es holomorfa.


Apendice D

Teorıa de Galois

Exponemos las definiciones y resultados fundamentales usados en el texto.Sea K un cuerpo.

1. A cada cuerpo L ⊂ K le hacemos corresponder el subgrupo de Aut(K)formado por los automorfismos de K que son la identidad restringidosa L.

2. Dado un subconjunto C de Aut(K), consideramos el conjunto de ele-mentos de K que permanecen fijos por la accion de los automorfismosde C.

Vamos a estudiar primero la segunda relacion.

Definicion D.0.3. Si K es un cuerpo y C ⊂ Aut(K) un subconjunto, re-presentamos por KC al conjunto de puntos fijos por C, es decir

KC = x ∈ K | σ(x) = x, ∀σ ∈ C.

Nota D.0.4. Es evidente que KC es un subcuerpo de K y que si C1 ⊂ C2

entonces KC1 ⊃ KC2 .

Proposicion D.0.5. Si K es un cuerpo y C ⊂ Aut(K) es un subconjuntofinito, entonces

[K : KC ] ≥ #C.

Definicion D.0.6. Si K|L es una extension, representamos por Gal(K|L)al conjunto de automorfismos de K que dejan fijos a todos los elementos deL.

Nota D.0.7. Los siguientes hechos son muy faciles:

177


1. Gal(K|L) es un subgrupo del grupo Aut(K), que llamaremos grupo deGalois de la extension.

2. KGal(K|L) ⊃ L.

3. Si K|L1|L2, entonces Gal(K|L1) ⊂ Gal(K|L2) es un subgrupo.

4. Si C ⊂ Aut(K) es un subconjunto entonces Gal(K|KC) ⊃ C.

Vamos a mejorar la proposicion anterior, estableciendo una igualdad don-de se tenıa solo una desigualdad. Ademas, hemos definido dos construc-ciones: un grupo Gal(K|L) a partir de una extension K|L y una exten-sion K|KG a partir de un grupo G. La nota anterior, punto 2, indica que,en general, no es una construccion la inversa de la otra, ya que ’exten-sion’→’grupo’→’extension’ no es la identidad. Sin embargo el teorema si-guiente demuestra que en el sentido ’grupo’→’extension’→’grupo’ sı se ob-tiene la identidad.

Teorema D.0.8. (Artin). Si K es un cuerpo y G ⊂ Aut(K) es un subgrupofinito, entonces:

[K : KG] = |G|.

Corolario D.0.9. Sea K|L una extension finita. Entonces

|Gal(K|L)| ≤ [K : L]

y la igualdad se tiene si y solamente si L es el cuerpo fijo de Gal(K|L).

Corolario D.0.10. Sea G un subgrupo finito de Aut(K). Entonces

G = Gal(K|KG),

es decir, todo automorfismo de K que deje fijo a KG esta en G.

Corolario D.0.11. Si G1 y G2 son subgrupos finitos de Aut(K), entoncesKG1 = KG2 implica que G1 = G2.

Definicion D.0.12. Una extension K|L se dice normal o de Galois si esfinita y

KGal(K|L) = L.


Indice alfabetico

Aut(X, Y ), 100OX , 22

abiertateorema de la aplicacion, 23

accioncontinua, 85efectiva, 85holomorfa, 85

accion de un grupo, 84aplicacion recubridora

isomorfismo, 100universal, 99

atlas, 4equivalentes, 4

caracterıstica de Euler, 20carta, 3

centrada, 3compatible, 4dominio, 3subcarta, 3

conexasuperficie no, 28

curvaafın lisa, 12afın plana, 12parte lisa, 13proyectiva plana, 14

curva hiperelıptica, 81curva proyectiva

no singular, 16cartas, 16

desingularizacion, 113discreto, 9

imagen inversa, 24

equivalencia modulo un grupo, 101esencial

singularidad, 26esfera de Riemann, 6espacio localmente compacto, 59espacio recubridor, 55estabilizador, 84estructura compleja, 5evitable

singularidad, 26

formula de Euler, 15formula de Hurwitz, 74funcion de transicion, 4funcion holomorfa, 22funcion meromorfa, 26

cuerpo, 28desarrollo de Laurent, 29recta proyectiva, 31

genero, 19, 20grado

recubrimiento, 63grupo de automorfismos, 100

hiperelıpticasuperficie, 81

Hurwitzformula, 74

identidad

179


teorema de la, 24ındice de ramificacion, 50

calculo, 51isomorfismo, 22

Laurentdesarrollo, 29

modulo maximoteorema, 25

morfismo, 21morfismo de recubrimientos, 106multiplicidad, 50

numero de Euler, 66normalizacion, 113

orbita, 84orden

de un cero, 30de un polo, 30propiedades, 30

orden de un punto, 29orientacion, 19

pegado de superficies, 77plano complejo, 6polinomio

no singular, 15polo

singularidad, 26propia

aplicacion, 59localmente, 60

punto de ramificacion, 52curvas, 53

punto rama, 52

recta proyectiva compleja, 8pegado, 79

recubrimientoetale, 55grado, 55, 63

ramificado, 58caracterizacion, 61

recubrimiento de Galois, 114recubrimiento universal, 99

C∗, 101D∗, 101existencia, 100

singularidad, 26esencial, 26evitable, 26polo, 26

superficie de Riemanndefinicion, 5

superficie hiperelıptica, 81

teorema de forma local, 50toro complejo, 9transformacion recubridora, 100triangulacion, 66


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depto. de algebra´ 2 de agosto de 2013 · introduccion segu´n gian-carlo rota, en “indiscrete...

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