DEMOSTRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI MODIFICADA (Modificación de la ecuación de balance de energía):

Aunque no es el tema de interés del presente trabajo, es de suma importancia el manejo de la presente ecuación en los problemas sobre flujos de fluidos, pues nos da una explicación de los cambios energéticos que se producen en el sistema de estudio. En nuestro caso, evaluaremos para problemas de cavitación y sistemas con bombas, la fórmula de “Bernoulli modificadas” se demuestra a continuación:

La ecuación general del balance de energía, se expresa de la siguiente forma:

La cual expresada matemáticamente nos queda:

d [m(u+e p+ek)]dt syst

=(u+e p+ek)ent ment−(u+e p+ek )sal m sal−ðQN+ð W N

Donde:

ð QN=Flujo neto decalor

ð W N=Flujo neto de trabajo ( potencia)

u=Energí a interna

e p=Energ í a potencial

ek=Energ í acin é tica

NOTA: En el caso de flujo neto de trabajo, se consideran diversas formas de este, incluyendo al trabajo de inyección, que se presenta cuando hay movimiento de fluido.

Acumulación de energía dentro del

sistema

Transferencia de energía a través de

la frontera del sistema

Transferencia de energía fuera de la

frontera del sistema

Energía generada dentro del sistema

Energía consumida dentro del sistema

Energías que atraviesan las fronteras del sistema y no se

acumulan

Energías que puede acumular un sistema

En estos casos (al haber trabajo de inyección) alternativamente, podemos unir el término de trabajo de inyección con la energía interna y trabajaríamos con la entalpía.

Figura 4: Sistema en el que aplicamos la ecuación de balance de energía

Podemos simplificar la expresión anterior para situaciones específicas, como en el caso mostrado en la figura anterior, podemos considerar.

1. No hay acumulación de energía dentro del sistema2. No hay acumulación de masa dentro del sistema

Tomamos nuestro volumen de control desde el punto 1 al punto 2. Con las restricciones hechas la ecuación de balance de energía quedaría:

ment=msal=m

ð QN−ðW N=(h+ep+ek )ent m−(h+ep+ek )sal m

Si multiplicamos el flujo másico por las diversas formas de energía obtendremos:

H ent=hent m; H sal=hsal m ; ΔH=H ent−H sal

Epent=epent m ; Epsal=epsal m; Δ E p=Epent−E psal

E kent=ekent m; Ek sal=ek sal m; Δ Ek=Ekent−Eksal

Entonces tendremos:

ð QN−ðW N=ΔH+ΔEp+ΔEk

Pero tenemos que, por la definición de entalpía, y por tener un volumen prácticamente constante, al tratarse de un líquido:

∆ H=∆U+∆ (PV )=∆U+V ∆ (P )=∆U+∆ (P )ρ

Reemplazando en la ecuación y ordenando convenientemente:

ð QN−ðW N=∆U+∆ (P )ρ

+ΔE p+ΔEk

ð QN−ðW N=∆U+∆ (P )ρ

+∆v2

2gc+ g ∆zgc

0=(∆U−ð QN )+ð W N+∆ (P )ρ

+∆v2

2 gc+ g∆ zgc

0=(∆U−ð QN )+ð W N+Psal−Pent

ρ+v sal2 −vent

2

2 gc+g (zsal−zent)

gc

La forma de la ecuación aún no es lo suficientemente conveniente que quisiéramos. Deseamos encontrar resultados en términos de distancias que nos faciliten el cálculo

de potencias y/o trabajos, para ello multiplicamos por gcg

:

0=(∆U−ð QN )gcg

+ðW N

gcg

+P sal−Pent

ρggc

+vsal2 −vent

2

2 g+z sal−zent

De aquí podemos simplificar los términos de la manera siguiente:

(∆U−ð QN )gcg

=hf Que nos representa las pérdidas por fricción dentro de las

tuberías (al haber fricción hay pérdidas de calor y cambios en la energía interna del líquido)

ð W N

gcg

=hw Que representa cualquier clase de trabajo en el sistema

(generalmente viene a ser el trabajo de una bomba o una turbina)

ρggc

=γ Peso específico

Finalmente tendremos:

0=hf +hW+Psal−Pent

γ+v sal2 −vent

2

2g+zsal−zent

Que es la ecuación de Bernoulli modificada:

Pentγ

+vent2

2g+zent=

P salγ

+vsal2

2g+zsal+hf+hW

. Análisis entre los puntos 1 y 2 para obtener una relación para el tubo de Pitot

Análisis del tubo de Pitot:

Para encontrar la velocidad con ayuda de un tubo de Pitot, es necesario hacer un

análisis en el sistema aplicando la ecuación de Bernoulli modificada, ecuación que es

demostrada en el apéndice.

Aplicando la ecuación de Bernoulli modificada entre los puntos 1 y 2 de la Figura 3 se

obtiene

P1γ

+v12

2g+z1=

P2γ

+v22

2g+z2+hf+hW

Se puede observar lo siguiente:

La velocidad en el punto 2 es cero, ya que el fluido está estancado.

La distancia es muy corta, podemos despreciar las pérdidas por fricción.

No hay trabajo que entre ni salga del sistema.

Los puntos se encuentran al mismo nivel,

La ecuación quedaría de la siguiente manera:

P1γ

+v12

2g−P2γ

=0

Despejando ν1 se tendrá:

v1=√2 g (P2−P1 )γ sust

.........................(1)

Ahora para hallar la presión en el punto 1 y 2 se debe tener en cuenta las lecturas del

manómetro inclinado, analizando en los puntos A y B:

PA=PB

P1+H .γ sust+h . γm=P2+(H+h). γsust

P2−P1=H .γ sust+h . γm−(H+h). γ sust

P2−P1=h .(γm−γsust ) ...................(2)

Combinando (1) y (2) obtendremos:

v1=√2 g h .(γm−γsust )γsust

Donde:

γm Peso específico del líquido manométrico

γ sust Peso específico de la sustancia que fluye

Diferencia de alturas en el manómetro

g Aceleración de la gravedad

v1 Velocidad puntual del fluido

Teniendo en cuenta que el equipo de Pitot tiene un factor de corrección Cp, igual a 0.98 la ecuación anterior quedará finalmente:

v1=Cp√2g h .(γm−γ sust)γ sust