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ÓPTICA PURA Y APLICADA. www.sedoptica.es

Opt. Pura Apl. 45 (2) 189‐199 (2012) ‐ 189 ‐ © Sociedad Española de Óptica

Sección Especial: Optoel’11 / Special Section: Optoel’11

Influencia del tipo de haz de entrada en el grado de polarización a la salida de despolarizadores de Lyot

Dependence of the polarization degree at the output of a Lyot depolarizer

on the input beam type

Juan Carlos G. de Sande(1,*), Gemma Piquero(2), Cristina Teijeiro(2) 1. Departamento de Circuitos y Sistemas, Universidad Politécnica de Madrid, 28031, Madrid, Spain.

2. Departamento de Óptica, Universidad Complutense de Madrid, 28040 Madrid, Spain.

(*) Email: [email protected]

Recibido / Received: 30/09/2011. Revisado / Revised: 23/12/2011. Aceptado / Accepted: 17/01/2012.

RESUMEN:

Los despolarizadores de Lyot consisten en dos láminas de fase en contacto óptico, una de espesor doble de la otra y con sus ejes ópticos girados 45º, de forma que pueden despolarizar la luz policromática. En este trabajo se investiga la influencia de las características del haz incidente sobre el grado de polarización del haz a la salida de un despolarizador de Lyot. Se analizan las siguientes dos situaciones: en primer lugar haz incidente monocromático no uniformemente polarizado, tanto para haces con grado de polarización estándar nulo y no nulo, y en segundo lugar un haz incidente generado como superposición de haces monocromáticos, en general, con distinta longitud de onda y distinto estado de polarización. En concreto, se analiza cómo varía el grado de polarización a la salida, en función de la relación de irradiancias para varias combinaciones de longitudes de onda de los haces que se superponen y se obtienen diversas situaciones en donde este dispositivo aumenta del grado de polarización en vez de despolarizar.

Palabras clave: Despolarizadores, Polarización, Haces no Uniformemente Polarizados.

ABSTRACT:

Lyot depolarizers are manufactured with two parallel synthetic crystal quartz plates assembled with their optic axes lying in the plane of the plates and forming a 45º angle. They are used for producing unpolarized beams from totally polarized incident polychromatic light. In this work, the effect of this device on different types of incident fields is investigated. The output polarization characteristics are obtained for several examples of monochromatic and non uniformly polarized incident beams and for incident light synthesized by superposition of monochromatic totally polarized beams with different wavelengths. In the last case, the variation of the degree of polarization of the output beam is analyzed as a function of the irradiances ratio for several wavelengths combinations of superposed beams. It is shown that, in some cases, the Lyot depolarizer increases the degree of polarization instead of depolarize.

Key words: Depolarizers, Polarization, Non Uniformly Polarized Beams.

REFERENCIAS Y ENLACES / REFERENCES AND LINKS

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1. Introducción

La polarización es una de las propiedades más

importantes de la luz para diversos dispositivos

ópticos y aplicaciones, tales como cristales

líquidos, aisladores ópticos, etc. Sin embargo

existen muchas situaciones en las cuales es

deseable que la luz esté despolarizada para

obtener buenos resultados, por ejemplo en

láseres de bombeo para amplificadores de fibra

óptica dopadas, en giróscopos ópticos

despolarizados o en diversas aplicaciones de

espectrometría. Existen diversos dispositivos

capaces de despolarizar un haz de luz [1–4]. Uno

de los dispositivos usados para tal fin es el

despolarizador de Lyot (DL) [5–10]. Estos

dispositivos están fabricados con dos láminas

plano paralelas de un medio anisótropo

uniáxico, con espesores una el doble de la otra y

la segunda de ellas con el eje óptico girado 45º respecto al eje óptico de la primera lámina.

Normalmente se utiliza con haces incidentes de

diversas longitudes de onda uniformemente y

totalmente polarizados con el mismo estado de

polarización. Este dispositivo desfasa las

distintas longitudes de onda de forma que el

grado de polarización estándar del haz a la salida

es aproximadamente nulo. Los DL han sido

investigados suponiendo casos concretos de luz

incidente policromática y monocromática.

Recientemente se han propuesto y generado

diversos tipos de haces como aquellos cuyas

características de polarización varían punto a

punto, otros que se pueden representar como

una superposición incoherente de haces con

igual o diferente estado de polarización, etc. [11]

Todo ello nos sugiere un estudio detallado del

comportamiento del DL en estos casos. Por otro

lado, además del grado de polarización estándar

[12], en la literatura se han introducido otros

parámetros de polarización que son útiles para

obtener una información más detallada de las

características de polarización de los haces

luminosos [11]. En este trabajo se investiga

cómo se comporta un DL, analizando las

características de polarización a través de los



parámetros anteriormente citados, para

diversos tipos de haces de entrada. Como

ejemplos concretos se estudian: haces

monocromáticos con distribución no uniforme

de la polarización en la sección transversal a la

dirección de propagación del haz y

superposición de haces monocromáticos con

distintos estados de polarización y distintas

longitudes de onda. Algunos resultados

preliminares han sido publicados recientemente

en la literatura [13].

La estructura de este trabajo es la siguiente:

después de esta sección de introducción,

describimos el formalismo empleado para

estudiar el efecto de un DL sobre la luz incidente

en la segunda sección. Posteriormente, en la

sección 3 se estudiarán las características de

polarización cuando el haz de entrada es

monocromático con una distribución no

uniforme de polarización en la sección

transversal, perpendicular a la dirección de

propagación del haz. En la sección 4, se analizará

el grado de polarización a la salida del DL para

un haz de entrada constituido por la

superposición de haces monocromáticos con

distintas longitudes de onda y distintos grados y

estados de polarización. En la sección 5 se

describirá con detalle el caso de un haz incidente

formado por la superposición de dos haces

monocromáticos con distinta longitud de onda y

diversos estados de polarización. Finalmente, se

resumirán las conclusiones más relevantes de

este trabajo en la sección 6.

2. Formalismo

En esta sección presentaremos el formalismo

empleado para estudiar las características de

polarización de la luz y para representar el

comportamiento del DL

2.a. Parámetros de polarización de la luz

Consideremos un haz colimado y mono‐

cromático de longitud de onda propagándose a

lo largo del eje z, con un grado y un estado de

polarización que pueden variar de punto a punto

a través de su sección transversal. Las

características de polarización vendrán dadas

por un vector de Stokes:

2Re

2Im

, 1

donde es el punto en la sección transversal del

haz y los subíndices s y p se refieren a las

componentes del campo ortogonales a la

dirección de propagación. Se pueden expresar

los parámetros de Stokes en términos de los

elementos de la matriz de polarización, ,

definida de la siguiente manera [14,15]:

, , , 2

donde

⟨ ∗ , , ⟩, 3

siendo ∗ con j, k = s, p, y ⟨ ⟩ representa un

promedio temporal. Los elementos de la

diagonal de describen las irradiancias

asociadas a cada componente del haz, mientras

los términos fuera de la diagonal son las

correlaciones entre las componentes s y p en un

punto .

Los parámetros de Stokes son cantidades

medibles que se pueden determinar a partir de

las irradiancias a la salida de un polarizador

lineal y una lámina de cuarto de onda. En ese

caso [12],

=

0º + 90º

0º 90º

45º + 135º

/4,45º + /4,135º

, 4

donde ( ) e /4, ( ) son las irradiancias en

cada punto de la sección transversal del haz, el

subíndice se refiere al ángulo entre el eje de

transmisión del polarizador y la dirección s y /4

indica la presencia de una lámina de cuarto de

onda. El término representa la irradiancia

en cada punto , es la diferencia entre las

irradiancias medidas con el polarizador lineal a

0º y a 90º. El significado de es similar al de

pero con el polarizador lineal a 45º y 135º. Por último, indica la diferencia entre la

irradiancia de luz circularmente polarizada a

izquierdas y a derechas en el punto .

A partir de los parámetros de Stokes, se

define el grado de polarización local como:



. 5

El grado de polarización local satisface la

desigualdad 0 1. Si 1, se tiene

un campo totalmente polarizado y para 0

el campo es totalmente despolarizado en el

punto .

Para campos totalmente polarizados se

define el azimut local, , y la elipticidad local,

, en cada punto de la sección transversal del

haz como:

1

2arctan , 6

1

2arcsen , 7

con las condiciones 0 y /4

/4.

Normalmente se requiere información global

acerca de las características de polarización del

haz, para lo cual se suele emplear el grado de

polarización estándar [12]:

. 8

con

, 0,1,2,3. 9

El vector de Stokes para cada longitud de onda

se puede expresar en términos de los

parámetros definidos en las Ecs. (5)‐(7) como:

cos2 cos2

sen2 cos2

sen2

. 10

Otros parámetros útiles para caracterizar

globalmente la polarización del haz son el grado

de polarización ponderado, la elipticidad

ponderada y el azimut ponderado dados por

[11]:

∬

∬, 11

∬

∬, 12

∬

∬, 13

Nótese que , y contienen información

acerca de los valores predominantes del grado

de polarización, del azimut y la elipticidad en la

región donde la irradiancia es significativa.

2.b. Despolarizador de Lyot

El despolarizador de Lyot consiste en dos

láminas de fase, la primera con su eje óptico

paralelo al eje x y la segunda con un espesor

exactamente el doble de la primera y su eje

óptico formando 45º con el eje x (véase Fig. 1). Para una longitud de onda determinada, la

lámina más delgada del DL introduce un desfase

entre las componentes s y p para cada longitud

de onda dado por:

2|Δ | , 14

donde es el espesor de esa primera lámina y

Δ , con y los índices

de refracción ordinario y extraordinario,

respectivamente. La segunda lámina introduce

un desfase 2 . Con estas orientaciones y en el

formalismo de Stokes el DL viene representado

por una matriz de Müller que se calcula

multiplicando las matrices de Müller

correspondientes a las dos láminas de fase,

resultando:

__________________________________________________________________

1 0 0 00 cos2 sen2 sen sen2 cos0 0 cos sen0 sen2 sen cos2 cos2 cos

15

__________________________________________________________________



A partir de la matriz de Müller del DL, resulta

inmediato comprobar que, para un haz

monocromático uniformemente polarizado, no

se puede obtener ningún cambio en el grado de

polarización estándar, ni en el local ni en el

ponderado. En las siguientes secciones se

estudiará qué ocurre cuando consideramos otro

tipo de haces incidentes sobre el DL.

Fig. 1: Esquema del despolarizador de Lyot

3. Haces incidentes monocromáticos no uniformemente polarizados en la sección transversal del haz

Para haces monocromáticos uniformemente

polarizados es fácil comprobar que el sólo

cambia el estado pero no el grado de

polarización estándar del haz de entrada [5–7].

Consideremos un haz no uniformemente y

parcialmente polarizado (NUP) de longitud de

onda , cuyo grado y estado de polarización de la

componente totalmente polarizada puede variar

de un punto a otro de la sección transversal del

haz. A partir del vector de Stokes que representa

a este tipo de haz, , (dado por la Ec. (1)) es

inmediato calcular el vector de Stokes del haz a

la salida del DL, ,

__________________________________________________________________

cos2 sen2 sen sen2 cos

cos sen

sen2 sen cos cos2 cos

16

__________________________________________________________________

A partir de este vector de Stokes del haz de

salida y aplicando la Ec. (5), resulta sencillo

comprobar que el grado de polarización local no

cambia, con lo cual el grado de polarización

ponderado (véase la Ec. (8)) tampoco cambia.

Por último, para calcular el grado de

polarización estándar del haz de salida, se deben

promediar los valores de las componentes del

vector de Stokes , con lo cual el grado de

polarización estándar tampoco cambia,

, 17

, 18

. 19

Sin embargo el DL sí que cambia el estado de

polarización del haz de salida punto a punto.

3.a. Haces no uniformemente y totalmente

polarizados con = 0

Para enfatizar el hecho de que el despolarizador

cambia el estado de polarización del haz a la

salida manteniendo el grado de polarización

estándar, podemos estudiar un caso particular

de un haz no uniformemente y totalmente

polarizado (NUTP): los haces espiralmente

polarizados(SPB) [16], que tienen 0. Estos

haces están totalmente y linealmente

polarizados pero con distinto azimut en cada

punto. Su vector de Stokes es:

cos 2 2

sen 2 20

, 20

donde , es el vector de posición en la

sección del haz y es un ángulo constante. En la

Fig. 2a y 2b se muestra cómo es el estado de

polarización para este tipo de haces para dos

valores particulares del ángulo

correspondientes a polarización azimutal

0 y radial /2 .

Tras el DL el vector de Stokes para el haz de

salida en este caso es:



__________________________________________________________________

cos 2 2 cos2 sen 2 2 sen2 sen

sen 2 2 cos

cos 2 2 sen2 sen 2 2 sen cos2

, 21

__________________________________________________________________

que continúa siendo un haz NUTP pero con un

estado de polarización que cambia en cada

punto de su sección. Esto se puede comprobar

comparando el azimut y la elipticidad local del

haz de entrada:

/2, 22

0, 23

con el azimut y la elipticidad local del haz a la

salida del DL:

__________________________________________________________________

1

2arctan

sen 2 2 cos

cos 2 2 cos2 sen 2 2 sen2 sen, 24

1

2arcsen sen 2 2 cos2 sen cos 2 2 sen2 25

__________________________________________________________________

Fig. 2: Distribución de la polarización de un haz incidente espiralmente polarizado con (a) 0, polarización azimutal, y (b) /2, polarización radial. Distribución de la polarización del haz a la salida de un DL formado por láminas /4 y /2 para un haz de entrada con polarización azimutal (c) y polarización radial (d).

Es interesante notar que se pasa de una

elipticidad local nula a una elipticidad local, en

general distinta de cero.

Para un haz incidente de tipo SPB

(independientemente del valor de y del

espesor del DL) se obtiene a la salida del DL:

1, 26

0, 27

1. 28

Esto significa que tanto el haz de entrada como

el de salida son localmente totalmente

polarizados pero globalmente despolarizados

0 . Para un DL con /2 y un haz de

entrada radialmente polarizado /2 se

obtiene a la salida un haz con vector de Stokes:

1cos20

sen2

, 29

mientras que si el haz de entrada es

azimutalmente polarizado ( 0), a la salida

tenemos:

1cos20

sen2

, 30

es decir, se intercambia la polarización vertical

por horizontal y a izquierdas por derechas. La

distribución de estados de polarización local

para el caso particular de un DL con /2 se

representa esquemáticamente en la Fig. 2c y 2d

respectivamente.



3.b. Haces no uniformemente y totalmente

polarizados con > 0

Para ilustrar este caso, vamos a estudiar un tipo

particular de haz de entrada no uniformemente

y totalmente polarizado en cada punto de su

sección transversal, con un grado de

polarización estándar no nulo. Haces de este tipo

se pueden generar mediante un interferómetro

de Mach‐Zenhder en el que en cada brazo se ha

insertado una transmitancia en amplitud. La

expresión genérica de este tipo de haz es [17]:

, ,exp

exp, 31

con

1

2, 32

donde y son parámetros que definen la

anchura y el índice de la transmitancia. En este

caso, el vector de Stokes a la entrada se puede

expresar como:

exp 2 exp 2

exp 2 exp 2

2exp

0

, 33

siendo un factor constante. El vector de Stokes

del haz a la salida del DL resulta:

__________________________________________________________________

exp 2 exp 2

exp 2 exp 2 cos2 2exp sen2 sen

2exp cos

exp 2 exp 2 sen2 2exp cos2 sen

. 34

__________________________________________________________________

Un caso para el cual resulta sencillo calcular

el vector de Stokes promedio del haz tanto a la

entrada como a la salida del DL se obtiene

eligiendo 1/2. Si además llamamos

2 y 2Δ , las expresiones

de los promedios de los vectores de Stokes a la

entrada y a la salida del DL se reducen,

respectivamente a:

4

1Δ

2Δ

1Δ

0

, 35

y

__________________________________________________________________

4

1Δ

ω

2Δcos2 1

Δsen2 sen

1Δ

cos

2Δsen2 1

Δcos2 sen

. 36

__________________________________________________________________

Con esto se comprueba que el grado de

polarización estándar tanto a la entrada como a

la salida es:

2Δ1

Δ

1Δ

. 37



En este caso se observa que para este tipo de

haces monocromáticos parcialmente polarizados

globalmente, aunque sean no uniformemente

polarizados, el grado de polarización estándar

no cambia al pasar el haz por el DL. Sin embargo,

tanto el estado de polarización local como el

vector de Stokes promedio cambian cuando este

tipo de haces parcialmente polarizados pasan a

través del DL.

4. Haz incidente formado por una superposición de haces monocromáticos, uniformemente y parcialmente polarizados con diferentes longitudes de onda y estados de polarización

A partir de este punto vamos a considerar haces

uniformemente polarizados, con lo cual el grado

de polarización estándar, el local y el ponderado

son iguales. Por este motivo, en adelante sólo

hablaremos del grado de polarización estándar.

Además, omitiremos la dependencia con .

Si a la entrada de un DL tenemos una

superposición finita de haces monocromáticos,

uniformemente y parcialmente polarizados con

diferentes longitudes de onda y estados de

polarización podemos escribir su vector de

Stokes como:

, 38

donde viene dado por la Ec. (1). Hemos

hecho explícita la dependencia de la longitud de

onda mediante la variable . Dado que se trata

de una superposición incoherente el grado de

polarización de este haz de entrada sería:

.

39

A la salida del DL obtenemos el siguiente vector

de Stokes:

, 40

donde viene dado por la Ec. (16). Se

puede obtener el grado de polarización del haz

de salida mediante una expresión similar a la Ec.

(39).

Cuando todas las componentes espectrales

están completamente y uniformemente

polarizadas con el mismo estado de polarización,

a la salida se obtiene un haz con un grado de

polarización próximo a cero, es decir, el haz de

salida es local y globalmente despolarizado [5–

10]. Sin embargo, cuando cada componente

espectral en la superposición de entrada tiene su

propio estado de polarización, el grado de

polarización del haz de salida se puede modificar

variando adecuadamente las características del

haz de entrada y el desfase del DL (bien su

espesor o el material).

5. Superposición de haces uniformemente y linealmente polarizados con distintas longitudes de onda

Para mostrar el efecto del DL en una

superposición de componentes espectrales

vamos a suponer que cada componente

espectral es linealmente polarizada con distinto

azimut .

Para este caso la Ec. (38) se reduce a:

1cos2

sen2

0

, 41

con lo cual el grado de polarización a la entrada

es:

1 2 42

1 cos 2 2 .

A la salida del DL se obtiene un haz con un

vector de Stokes:

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__________________________________________________________________

1cos2 cos2 cos2 sen2 sen

sen2 cos

cos2 sen2 sen2 sen cos2

, 43

a partir del cual podemos obtener el grado de polarización del haz de salida como

1 2 1 sen2 sen2 cos cos

sen2 sen2 sen sen cos2 cos2 cos 2 2

sen2 cos2 sen cos2 cos2 sen sen 2 2 .

44

__________________________________________________________________

Se observa que en general, el grado de

polarización del haz de salida puede ser mayor

que el del haz de entrada. En concreto, si se

superponen dos haces de igual irradiancia y

linealmente polarizados con polarizaciones

ortogonales, el grado de polarización del haz de

entrada es 0 siendo un haz despolarizado.

Sin embargo, para este caso concreto, el grado de

polarización del haz de salida es

|sen | que será mayor que el del haz de

entrada salvo para el conjunto de pares de

longitudes de onda que satisface la condición

. En la Fig. 3 se observa este

comportamiento para un haz de longitud de

onda fijo (632.8nm) y el segundo haz de longitud

de onda variable. Por otro lado, en la Fig. 4 se

comparan los grados de polarización a la entrada

y a la salida del DL para un haz de entrada

formado por una superposición de dos haces con

distintas longitudes de onda, uno de ellos de

632.8 nm y el otro de 632.8 nm, 594 nm, 532 nm

ó 589.3 nm y con distinta irradiancia. Se puede

observar que para todos pares de longitudes de

onda distintas el grado de polarización a la

salida del DL siempre es mayor que a la entrada

(el grado de polarización del haz de entrada

coincide en todos los casos con el de salida para

las dos longitudes de onda iguales a 632.8 nm,

curva roja).

En la Fig. 5 se observa cómo el grado de

polarización pasa de 1 a 0 para un haz incidente

que sea una superposición de dos haces de igual

irradiancia, con distinta longitud de onda (o

incoherentes) y linealmente polarizados al ir

girando la polarización de un haz respecto al

Fig. 3: Grado de polarización a la salida de un DL cuando a la entrada se tiene un haz formado por la superposición de dos haces de igual irradiancia, uniformemente y linealmente polarizados con polarizaciones ortogonales. Uno de ellos tiene longitud de onda =632.8 nm y el otro variable. El grado de polarización del haz de entrada es 0.

Fig. 4: Grado de polarización a la salida de un DL cuando a la entrada se tiene un haz formado por la superposición de un haz con =632.8 nm y otro con la longitud de onda indicada, en función de la relación de irradiancias. Ambos haces son uniformemente y linealmente polarizados con polarizaciones ortogonales. El grado de polarización de entrada coincide con el de salida para la superposición de longitudes de onda iguales (curva roja).



Fig. 5: Grado de polarización a la salida de un DL cuando a la entrada se tiene un haz formado por la superposición de un haz con =632.8 nm y otro con la longitud de onda indicada en función de la diferencia de azimut. Ambos haces son uniformemente y linealmente polarizados y de igual irradiancia. El grado de polarización de entrada coincide con el de salida para la superposición de longitudes de onda iguales (curva roja).

otro (la diferencia de azimut varía de 0 a /2). El

grado de polarización a la salida del DL (uno de

ellos de 632.8 nm y el otro de 632.8 nm, 594 nm,

532nm ó 589.3nm) es menor que el de entrada

para diferencias de azimut próximos a cero (el

DL despolariza en esta situación, como es de

esperar). Sin embargo, a partir de una

determinada diferencia de azimut (varía

dependiendo del par de longitudes de onda

tomados) el DL aumenta el grado de polarización

de la luz que pasa por él.

Se han realizado una serie de medidas

experimentales para corroborar alguno de los

resultados anteriores. Para ello se han

superpuesto dos haces láser mediante un divisor

de haz (BS en la Fig. 6). Para obtener el primero

de ellos se ha empleado siempre un láser de He‐

Ne estabilizado en intensidad y frecuencia con

longitud de onda =632.8 nm. El segundo haz se

ha obtenido intercambiando tres láseres

diferentes: un segundo láser de He‐Ne ( =632.8

nm), un láser He‐Ne emitiendo en amarillo

( =594 nm) y un láser de diodo verde ( =532

nm). Se han empleado filtros neutros (F) para

controlar la irradiancia de los haces y

polarizadores lineales para seleccionar el estado

de polarización vertical u horizontal. Esta

superposición de haces pasa por un DL de

cuarzo con láminas de espesores de 2 y 4 mm,

respectivamente. Finalmente, el grado de

Fig. 6: Montaje experimental para la síntesis del haz de entrada descrito en la Sección 5 y para medir el grado de polarización estándar a la entrada y a la salida del DL. F es un filtro neutro, P polarizadores lineales y BS divisor de haz.

Tabla I

Valores teóricos y experimentales del grado de polarización estándar para distintas combinaciones de longitudes de onda

Laser 1 Laser 2

nm nm Teoría Exp. Teoría Exp.

632.8 632.8 0.017 0.015 0.017 0.014632.8 594 0.068 0.011 0.197 0.195632.8 532 0.050 0.090 0.220 0.300

polarización se midió con un polarímetro y la

potencia mediante un medidor de potencia

óptica.

Los resultados teóricos y experimentales se

muestran en la Tabla I, observándose un buen

acuerdo entre ellos.

6. Conclusiones

En este trabajo se analiza el comportamiento del

despolarizador de Lyot, denominado así por

producir haces de salida con grado de

polarización estándar próximos a cero a partir

de haces policromáticos totalmente polarizados,

para diversos tipos de haces incidentes. Cuando

a la entrada se tienen haces monocromáticos

NUP el DL sólo modifica la distribución de la

polarización pero no modifica los grados de

polarización. En cambio para superposición de

haces totalmente polarizados con distinta

polarización y con distintas longitudes de onda

se demuestra teórica y experimentalmente que

el DL puede polarizar en vez de despolarizar.

Además, se puede modificar el grado de

polarización estándar variando la relación de

irradiancias y las longitudes de onda de los haces

incidentes superpuestos.



Agradecimientos

G.P. agradece al proyecto FIS2010‐17543 del

Ministerio de Ciencia e Innovación de España.

del tipo de haz de entrada en el grado de polarización … · influencia del tipo de haz de...

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