deformación en medio continuo
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Tema 3 de la asignatura elasticidad y resistencia de materiales para la ingeniería.TRANSCRIPT
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Elasticidad y resistencia de materialesCurso 2013-2014
Capítulo 3
Deformación en Deformación en medio continuo
Dpto. IngenieríaÁrea de Ingeniería Construcción
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1. Introducción
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2. Deformaciones en el entorno del punto
Sean P y Q puntos de un sólido elástico
y Los corrimientos o desplazamientos
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Teniendo en consideración que los corrimientos o de splazamientos son muy pequeños, podemos expresar las componentes en función de las de y de sus derivadas, por medio del desarrollo de la serie de Taylor, habiendo despreciado los infinitésimos de orden superior.
Relación entre (u’, v’,w’) y v(u,v,w):
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3. Matriz de giro
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4. Matriz de deformación. Significado de sus compone ntes
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5. Vector deformación unitaria en una dirección cua lquiera. Componentes intrínsecas
Deformación Unitaria en la dirección determinada por
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La proyecciones del vector sobre la dirección es la deformación
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- Las raíces de la ecuación característica representan deformaciones longitudinales unitarias en las direcciones unitarias en las direcciones principales.
- Las deformaciones angulares en los planos principales son nulas.
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G Módulo de elasticidad transversal
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6. Deformaciones Volumétrica y Desviadora.
Dilatación cúbica unitaria
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7. Condiciones de compatibilidad entre las componen tes de la matriz de deformación
- Si se conoce el vector deformación δ para todos los puntos del sólido se puede conocer la matriz [D]
- A partir de una matriz [D] no se pueden conocer las coordenadas u, v, w del vector δ
- Ecuaciones del vector de deformación para cada punto del sólidosólido
- Seis ecuaciones con tres incógnitas (u, v, w)
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂=
z
v
y
w
x
w
z
u
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
yzxzxy
zyx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 γγγ
εεε
- Las componentes de la matriz [D] no pueden ser arbitrarias
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7. Condiciones de compatibilidad entre las componen tes de la matriz de deformación
• Condiciones para que el sistema sea compatible y por tanto integrable
• Usando las ecuaciones anteriores y esta:
• Queda:
∂∂−
∂∂=
∂∂−
∂∂=
∂∂−
∂∂=
y
u
x
vp
x
w
z
up
z
v
y
wp zyx
2
1
2
1
2
1
zxyzyxz
xyzyzxy
yxzzxyx
z
wp
y
wp
x
w
pz
v
y
vp
x
v
pz
up
y
u
x
u
εγγ
γεγ
γγε
=∂∂+=
∂∂−=
∂∂
−=∂∂=
∂∂+=
∂∂
+=∂∂−=
∂∂=
∂∂
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
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7. Condiciones de compatibilidad entre las componen tes de la matriz de deformación
• Equivalente a:
• Siendo u, v y w las componentes del vector corrimiento
• Cuyas condiciones de integrabilidad se obtienen igualando las derivadas cruzadas
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7. Condiciones de compatibilidad entre las componen tes de la matriz de deformación
• Este sistema permite despejar las derivadas de px. py, pz respecto de las variables:
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7. Condiciones de compatibilidad entre las componen tes de la matriz de deformación
• Equivalente a:
• Este sistema de ecuaciones diferenciales nos permite determinar los valores de las componentes px, py, pz del rotacional del vector corrimiento
•Condiciones de integrabilidad ó compatibilidad de la matriz de deformación
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7. Condiciones de compatibilidad entre las componen tes de la matriz de deformación
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8. Cambio de Sistema de referencia
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9. Circulo de Mohr• Estudio igual que en estado tensional• Cambio
– σn por εn
– τ por 1/2γn
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Circulo de Mohr (I)
• Ecuación del vector deformación
=
=γεβεαε
γβα
εε
εε
3
2
1
3
2
1
00
00
00r
22
3
22
2
22
1
2
321
γεβεαεε
γεβεαεε
++=
⋅+⋅+⋅=r
rrrrkji
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Circulo de Mohr (II)• Cálculo de las direcciones del vector deformación
• Ángulo α
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Circulo de Mohr (III)• Cálculo de las direcciones del vector deformación
• Ángulo β
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Circulo de Mohr (IV)• Cálculo de las direcciones del vector deformación
• Ángulo α y β
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Circulo de Mohr (V)
• Representación gráfica Cálculo de las componentes intrínsecas a partir de los ángulos
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Círculo de Mohr (VI)
• Deformaciones transversales máximas
Corresponde a las direcciones coincidentes con las bisectrices de las direcciones principales que corresponden a las deformaciones extremas