fem mecanica medio continuo 01
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Teoría de los Elementos Finitos
Andrés Guzmán
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
Universidad del Norte
Tel.: 3509236
Teoría de los Elementos Finitos
Introducción a la Mecánica del Medio
Continuo
Mecánica del Medio Continuo
CONTENIDO
• Introducción
• Preliminares de Matemática
• Cinemática
• El principio de los Esfuerzos
• Teoría Lineal de la Elasticidad
Prof. Andrés Guzmán - Universidad del Norte
Introducción – Objetivo de la
Mecánica del Continuo• Objetivo:
El objetivo de la mecánica del medio continuo
clásica es la descripción matemática del
comportamiento de materiales sometidos a
cargas o deformaciones y el desarrollo de
teorías que permiten modelar este
comportamiento, para el tratamiento de
problemas de ingeniería.
Prof. Andrés Guzmán - Universidad del Norte
Mecánica del Continuo
• La materia esta formada de moléculas, las
cuales a su vez están formadas por átomos y
partículas subatómicas. Por lo tanto, la
materia no es continua.
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Izquierda: Molécula atisano. Derecha: átomo de Helio (1 Ångström=100.000 fm) (Tomado de: Wikipedia)
Mecánica del Continuo
• Sin embargo, muchos aspectos de la experiencia
diaria relacionados con el comportamiento de los
materiales, tales como el L de una barra de acero
bajo la acción de fuerzas dadas, la Vdescarga de agua
en una tubería bajo una diferencia de P dada, la
Ffricción que experimenta un cuerpo moviéndose en
el aire, etc. pueden ser descritos y predichos con
teorías que no prestan ninguna atención a la
estructura molecular de los materiales.
Prof. Andrés Guzmán - Universidad del Norte
Mecánica del Continuo
• La teoría que describe relaciones entre los grandres
fenómenos, despreciando la estructura de los
materiales en pequeña escala, es conocida como la
teoría del continuo.
• La teoría del continuo considera la materia como
divisible indefinidamente. Por lo tanto, con esta
teoría se acepta la idea del volumen infinitesimal de
material, relacionado con una partícula en el
contínuo. En las vecindades de la partícula siempre
habrá muchas partículas.
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Mecánica del Continuo
• Que la teoría del continuo sea justificable
(aplicable) o no, depende de la situación
dada.
• Por ejemplo, la dimensión molecular del agua
es aproximadamente 1 Å (10-8 cm); si se trata
de un problema con agua, en el cual no se
tengan que considerar deformaciones
menores que p.e. 10-5 cm, es justificado y
seguro tratar el agua como un continuo.Prof. Andrés Guzmán - Universidad del Norte
Mecánica del Continuo
• El diámetro de los glóbulos rojos en nuestro cuerpo
es aproximadamente 8.5x10-4 cm; la sangre puede
considerarse como un continuo cuando se trata un
problema de flujo de sangre por arterias con
diámetros de 0.05 mm.
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Esquema de Glóbulos rojos a través de un vaso sanguíneo (Tomado de: NYU, Langone Medical Center)
Mecánica del Continuo
• El concepto de material continuo como
idealización matemática del mundo real es
aplicable a problemas en los cuales se pueda
ignorar la fina estructura de la materia.
• Cuando es importante considerar la
estructura de la materia, se deben usar
principios de física de partículas, mecánica
estadística o teorías de continuo micropolar o
continuo de Cosserat.Prof. Andrés Guzmán - Universidad del Norte
Preliminares de Matemática
CONTENIDO
• Matrices
• Vectores
• Tensores
• Análisis Vectorial
• Análisis Tensorial
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Matrices
• Definición: Una matriz pxq es un esquema
rectangular de números, conformado por p
filas y q columnas.
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Matrices
• Matrices especiales– Matriz cuadrática: Matriz nxn
– Matriz de una fila: Matriz 1xn
– Matriz de una columna: Matriz nx1
– Matriz nula Õ: Todos los elementos de la matriz son 0.
– Matriz unitaria nxn : Todos los elementos de la diagonal
principal son 1.
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1
Matrices
– Por ejemplo la matriz unitaria de 3x3:
• Adición: de la adición de dos matrices pxq se
obtiene de nuevo una matriz pxq (es decir,
solamente se pueden adicionar matrices del
mismo tipo).
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Matrices
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Matrices
• Regla de suma de Einstein:
– En un producto con notación indicial la suma se
realiza sobre los índices que aparezcan dobles.
– Consideremos la suma: . Ésta
puede ser escrita en forma compacta como:
– Aplicando la regla de la suma de Einstein, la
suma anterior puede expresarse como:
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Matrices
• Regla de suma de Einstein:
– Los índices i, j, m (que aparecen dobles) son
índices mudos en el sentido que la suma es
independiente de la letra usada.
– Cuando los índices de una expresión aparezcan
entre < >, significa que no se debe aplicar la
regla de suma de Einstein.
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Matrices
• Regla de suma de Einstein:
– De acuerdo con esta regla la multiplicación de
matrices se abrevia de la siguiente forma:
en donde k es el índice de la suma (sobre el cual
se suma) e i y j son índices de ecuación.
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Matrices
• Ejemplo Regla de suma de Einstein:
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2221
1211~
AA
AAA
2221
1211~
BB
BBB
2222211212221112
2221211112211111
2221
1211
2221
1211~~~
BABABABA
BABABABA
BB
BB
AA
AABAC
kjikij BAC
211211111111 BABABAC kk
Matrices
• Matriz cuadrática regular (no singular)
– Una matriz cuadrática se denomina regular (o
no singular) cuando el determinante de es
diferente de cero:
• Inversa de una matriz
– Como consecuencia de lo anterior, existe una
matriz denominada la inversa de y que
tiene la propiedad:
– Si y son regulares, entonces el producto
también es regular y:Prof. Andrés Guzmán - Universidad del Norte
A~
A~
0~
det A
1~A A~
1~~~~~ 11 AAAA
A~
B~
BA~~
Matrices
• Transposición de matrices:
– La matriz transpuesta de la matriz p x q, es la
matriz q x p la cual se obtiene del intercambio
de filas por columnas de la matriz , es decir:
– Para matrices cuadradas la transposición
significa un reflejo de los elementos con respecto
a la diagonal principal.
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A~
TA~
Matrices
• Transposición de matrices:
– Reglas de cálculo:
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Matrices
• Matriz cuadrática ortogonal:
– Las matrices ortogonales son siempre regulares,
es decir:
• Matriz cuadrática simétrica:
• Matriz cuadrática antisimétrica:
– Los elementos en la diagonal principal son todos=0Prof. Andrés Guzmán - Universidad del Norte
ijji
T AAAA ~~
Matrices
• Teorema:
– Toda matriz cuadrática se puede descomponer
en la suma de una matriz simétrica y una matriz
antisimétrica :
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M~
S~
A~
Matrices
• Traza de una matriz :
– Se cumple:
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nnMM ~
Matrices
• Producto interno de matrices:
– No es lo mismo que multiplicación escalar.
– El producto interno de matrices asigna un escalar
a dos matrices reales de igual construcción.
– Reglas de cálculo:
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Matrices
• Norma o magnitud de una matriz
• Determinante de una matriz (con símbolos de
permutación)
– Definición equivalente:
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M~
Matrices
• Símbolo de permutación eijk con tres índices
– Cambio de signo por cambio de orden de
índices:
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Matrices
• Determinantes – Reglas de cálculo
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(Matriz Antisimétrica)
Preliminares de Matemática
CONTENIDO
• Matrices
• Vectores
• Tensores
• Análisis Vectorial
• Análisis Tensorial
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Vectores
• Adición – Reglas de cálculo
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Vectores
• Multiplicación escalar – Reglas de cálculo
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Vectores
• Magnitud (longitud) de un vector – Vector
unitario
– Un vector con una longitud 1 se denomina vector
unitario o vector normalizado.
– Vector unitario en la dirección :
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u
Vectores
• Producto interno – Reglas de cálculo:
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Vectores
• Ángulo entre dos vectores:
• Relación ortogonal:
– Relación ortogonal: dos vectores son
perpendiculares entre sí cuando se cumple:
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Vectores
• Representación de vectores en espacio
euclídeo tridimensional:
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Vectores
• Notación indicial – Regla de la Suma de
Einstein
– Cuando los índices aparecen exactamente dos veces en
un término, esos índices tomarán los valores de 1, 2 y 3
sucesivamente, y los términos resultantes serán
sumados.
– Esto ayuda a simplificar la escritura de las ecuaciones en
mecánica del medio continuo.
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Vectores
• Delta Kronecker
– Por convención de Einstein:
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ij
Vectores
• Producto vectorial (producto cruz)
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u v
Vectores
• Producto vectorial (producto cruz)– El producto vectorial de los vectores base
empleando el símbolo de permutación es definido como:
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u v
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Agradecimientos y Créditos
• Agradecimientos
– Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental,
Universidad de los Andes,
Bogotá, Colombia
El material usado en esta presentación es parte del
curso de Mecánica del Medio Continuo de la
Maestría en Ing. Civil (Prof. Lizcano).
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