NOMBRE:FECHA: 2015-04-19

TAREA BLOQUE 1 AULA VIRTUAL

DERIVADA DE FUNCIÓN COMPUESTA Y FUNCIÓN IMPLÍCITA

Calcular la derivada de las siguientes funciones:

1. f ( x )=ln √ x2+1−x

√ x2−1+x

y=ln (√x2+1−x)−ln (√x2−1+x )

y '=1

√ x2+1−x ( x

√ x2+1−1)− 1

√ x2−1+ x ( x

√x2−1+1)

y '=1

√x2+1−x ( x

√x2+1 )− 1

√ x2+1−x−

1

√ x2−1+x ( x

√ x2−1 )− 1

√ x2−1+x

2. y=√a2+ x2−a lna+√a2+x2

x

y=√a2+ x2−a ( ln (a+√a2+x2)−lnx )

y '=2 x

2√a2+x2−a ( 1

a+√a2+x2−1x )

y '= x

√a2+x2− a

a+√a2+ x2+ a

x

3. y=arctan 2x

1−x2

y '=( 2 x1−x2 )

'

1−( 2 x

1−x2 )2

y '=(2 (1−x2 )−2x (−2 x)

(1−x2)2 )'

1−( 2x

1−x2 )2

y '= 2

1−x2

4. y=√a2+ x2−aarctanxa

y '= 2x

2√a2+x2−a

1/a1+(x /a)2

y '= x

√a2+x2− 1

1+(x /a)2

5. f ( x )=ln 1+x √2−x2

1− x√2+x2+2arc tan

x √21−x2

y=ln(1+x √2−x2)−ln (1−x √2+ x2)+2arc tanx √21−x2

y= √2−2x1+x √2−x2

− −√2+2 x1−x √2+x2

+

√2 (1−x2 )−x√2(−2 x)

(1−x2 )2

1−( x√21−x2

)2

y= √2−2x1+x √2−x2

+ √2−2x1−x√2+x2

+

√2 (1−x2 )−x √2(−2 x)

(1−x2 )2

1−( x √21−x2

)2

Calcular la derivada de las siguientes funciones implícitas:

1. x2+ y2=r2

2 x+2 yy '=0

y '=−xy

2.x2

a2+ y2

b2=1

1

a22 x+ 1

b22 yy '=0

y '=−b2 xa2 y

3. √ x+√ y=√a

1

2√x+ 1

2√ yy '=0

y '=−√ yx

4. x− y=arc sinx−arc siny

1− y '= 1

√1− x2− 1

√1− y2y '

1

√1− y2y '− y '= 1

√1−x2−1

y '=

1−√1−x2

√1−x2

1−√1− y2

√1− y2

y '=(1−√1−x2 )√1− y2

(1−√1− y2 )√1−x

2

5. y=1+x e y

y '=e y+x ye y y 'y '−x ye y y '=e y

y ' (1−x ye y)=e y

y '= e y

1−x ye y

TASAS DE CAMBIO

1. Esta semana en una fábrica de muebles de oficina se produjeron 50 escritorios y la cantidad producida aumenta a razón de 2 unidades por semana. Si C(x) = 0.08x3 + x2 + 10x + 48 es el costo de producción de x unidades, calcule la rapidez actual con la que el costo de producción aumenta.

C (x)=0.08x3+x2+10 x+48

dC (x )dx

=0.24 x2+2 x+10

dC (x )dx

=0.24(50)2+2(50)+10

dC (x )dx

= $710escritorio

×2escritorio

semana= $1420

semanade producción

2. Una compañía de transporte, con una tarifa de 20 dólares, transporta 800 pasajeros al día. Al considerar un aumento de la tarifa, la compañía determinó que perderá 80 pasajeros por cada 5 dólares de aumento en estas condiciones. ¿Cuál debe ser el aumento para que el ingreso sea máximo?

T arifa= $20pasajero

Viajes=800 pasajerosdía

x=¿

Pérdidas=80 xAumento=5 x

Ecuación de ingreso

I=(20+5 x)(800−80 x)I '=(5 ) (800−80 x )+(20+5 x)(−80)=0

x=4.8

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LAS CIENCIAS

1. La ley de Boyle para gases encerrados a temperatura constante es PV=T, donde P es la presión y V es el volumen. Si en cierto instante el volumen es 600 cm3 y la presión es 150 kg/cm2 y la presión crece a razón de 20 kg/cm2 /min, ¿Con que tasa está variando el volumen en ese instante?

P .V =T=cte

VdPdt

+PdVdt

=0

V=600cm3 ydPdt

=20

(600)(20)=+150 dVdt

=0

dVdt

=−80cm3/min

2. Cierta cantidad de agua fluye hacia el interior de un depósito en forma de cono invertido a razón de 3π m3/min. Si el recipiente tiene un radio de 2,5m en su parte superior y una profundidad de 10m, ¿Que tan rápido cambia dicha profundidad cuando tiene 8m?

V=13

π R2 H

dVdt

=13

π R2 dHdt

dHdt

= 3

π R2dVdt

dVdt

=3 π

dHdt

= 3

π 2.523 π

dHdt

=1.44m /min

GRAFICAS DE FUNCIONES

Investigue y trace el gráfico de las funciones siguientes:

1. y=x3−3x2−x+3

0 1 2 3 4 5 6-10

0

10

20

30

40

50

60

𝑦= ^3−3 ^2− +3𝑥 𝑥 𝑥

Eje x

Eje

y

2. y= 3√x−√x

0 1 2 3 4 5 6

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

y=(x)^1/3-(x)^1/2

Eje x

Eje

y

OPTIMIZACIÓN

1. Se va a tender un cable desde una planta eléctrica ubicada a un lado de un río de 900 metros de ancho hasta una fábrica que se encuentra al otro lado, 3000 metros río abajo. El costo de tender el cable bajo el agua es US$5 por metro, mientras que el costo de tenderlo sobre tierra es US$4 por metro. ¿Cuál es la ruta más económica para tender el cable?

Planta 3000 m

Río x 900 m

x2= y2+z2

x=metros enrutaefectivay=metros ruta por ríoz=metros ruta por tierra

x2= y2+z2

C=5 y+4 zC ostototal=5 (900)+4 (3000)

Costototal=16500

C=5(0)+4 z

Costo por tierra=4 (3000)Costot ierra=12000

C=5( y )+4 (0)Costo por agua=5(900)

Costo agua=4500

Se minimiza el costo cuando va el cable por agua

2. Un agricultor de la costa cultiva frutas cítricas y estima que si se siembran 60 naranjas, la producción media por árbol será 400 naranjas. El rendimiento medio se reducirá en 4 naranjas por árbol por cada árbol adicional que se plante en la misma cantidad de hectáreas. ¿Cuántos árboles debería plantar el agricultor para maximizar la producción total?

Rendimiento= Naranjas producidasÁrboles plantados

Rendimiento=400 naranjas60árboles

=6.67naranjas/ árboles

y=(400+x)(60−4 x )x=arboles

y=(400+x)(60−4 x )

Para maximizar la producción total el agricultor debería plantar 415 arboles

3. Los agricultores pueden obtener US$2 por arroba de papa el 1° de Julio; posteriormente el precio cae 2 centavos por arroba cada día. El 1° de Julio, un agricultor tiene 80 arrobas de papa en el campo y estima que la cosecha está aumentando a una tasa de 1 arroba por día. ¿Cuándo debería cosechar la papa para maximizar la producción?

I=(80+x)(2−0.02 x)x=¿días

I=(80+0 ) (2−0 )=160

I=(80+x)(2−0.02 x)

I=0.4−0.04 x=0x=10

x=0es el 1Juliox=1es el2Julio …… ..

x=10es el11 Julio

La máxima cosecha es el 11 de Julio

4. Se ha solicitado a un carpintero que construye una caja sin tapa y con base cuadrada. Los lados de la caja costaran US$3 por metro cuadrado y la base costará US$4 por metro cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de máximo volumen que puede construirse con US$48?

YX

Áreatotal=x2+4 xyCosto total=4 x2+12xy=48

y= 48−4 x2

12 x

Volumen total=x2 y

Volumen total=x2( 48−4 x2

12x )Volumen total=4 x−1

3x3

0=4−x2

x=2y=4 /3

Las dimensiones de la mayor caja que se puede construir con $48 son 2 metros por 4/3