@dddffsSDSDDDAAAdiciembre 14, 2010locoraphaelDeja un comentarioGo to comments

La integración es fundamental en las matemáticas avanzadas especializadas en los campos del cálculo. Una integral es una ANTIDERIVADA, es decir, la operación inversa a la derivada.Formulas básicas de integración.Recordemos que como en las derivadas, las integrales poseen reglas, propiedades y formulas para su procedimiento. Las integrales poseen un signo en su inicio en forma de S alargada y con una terminación de dx, esto las diferencia de otras ecuaciones. Una integral a realizar siempre ira acompañada de una S alargada al inicio y un dx al final. Estas son las formulas básicas de integración.

La integral de “n” numero siempre será nx + C. Ejemplo

La integral de una constante siempre será constante * variable +C (ax+C)

La integral de X elevado a “n” numero será Xn+1, lo que se haga en la exponenciación de la X se pondrá también abajo dividiéndola, es una regla establecida. Ejemplo

La integral que divide arriba sobre una variable abajo será logaritmo natural de variable mas C. La formula marca lnX+C porque arriba en dx no tiene constante ni variable pero sí un 1 imaginario, ejemplo.

La integral de un producto se puede separar siempre y cuando no se altere su ecuación. De esta forma se integra en partes. No tienen que ser 3 productos necesariamente para usar la

formula ;)  Ejemplo.

La integral de un Binomio (V) es parecida a la formula 3, solo que acá al sacar la derivada del binomio (dv) se comprueba que exista la derivada fuera de V, en caso que no exista, se iguala hasta quedar exacto y se elimina, quedando solo el binomio (V) mas la exponenciación + 1.

Se saca el binomio que es (2+X2)La derivada del binomio es 2X y se le agrega dx, queda 2Xdx. Se comprueba que 2X coincida con el producto de afuera que es X, como es 2X y tenemos X solamente, entonces se tiene que igualar a 2X…¿Cómo?, multiplicando  2(X), lo que hagamos dentro se hace afuera pero en reciproco. Y se elimina la igualdad quedando lo restante.

Ya que se elimino el producto de afuera, se procede con la formula 3, y el ½ estará multiplicando al resultado que quede de la formula.

El 2 que esta en la división del binomio tiene que desaparecer, no se puede multiplicar directo con el 2 de afuera. Para eliminarlo se debe multiplicar medios con medios, extremos con

extremos.

En realidad se ven muchos pasos en este último problema, pero al realizarlo apenas alcanza unas 6 líneas de cuaderno. No son todas las formulas, hay mas formulas que son las de exponenciación y las formulas trigonométricas. También existen identidades trigonométricas y métodos (casos) que hacen de los problemas complicadísimos mas fáciles de entender y solucionar, pero eso lo explicare más adelante.Dudas, aclaraciones, mentadas de máuser por acá abajo, sí, en los comentarios ;

strategia para derivar por partes

a) Tomar como u la función que al derivarla se simplifica. También ayuda seguir un orden de

prelación de escogencia para u:

1. Función Inversa 2. Función Logarítmica 3. Función Algebraica 4. Función Trigonométrica 5.

Función Exponencial.

b) Si las 2 funciones tienen el mismo grado de complejidad, al ser derivadas tomar como dv la

función que al integrarla se simplifica.

c) Notar que lo que se desea integrar es un producto entre dos funciones.

D) ojo: una forma facil de poder encontrar quien es U y qn es dv es que para u se busca el mas

facil de derivar y para dv el resto. Aplica para muchas integrales que se resuelven por partes. e)

Una integral por parte se puede identificar como ciclica de una manera muy sencilla, si se ve una

exponencial con una trigonometrica especificamente seno o coseno esa integral es ciclica.

Ejemplo #1

Encuentre LA PRIMITIVA  de

Hacemos   y  . Entonces u, v, du y dv son,

Usando la ecuación de integración por partes,

Este nuevo integral es fácil de evaluar.

Ejemplo # 2

Encontrar:

Hacemos   y 

Entonces u, v, du y dv son:

Ahora tenemos:

Y nuevamente hacemos:

Para obtener:

Ejemplo #3

Encontrar:

Haciendo:

y sabiendo que 

Obtenemos:

Nuevamente hacemos para:

Sustituir y operar:

 = 

Ejemplo #4

Encontrar:

Haciendo:

y sabiendo que 

Obtenemos:

Ejemplo #5

Encontrar:

Haciendo:

y sabiendo que 

Obtenemos:

Ejemplo #6

 

Hacemos: 

 

 

 

 

Usando la ecuación de integración por partes:

 

Tenemos que: 

 

 

Ejemplo # 7

Encontrar:

 

Hacemos:

 

 

 

 

Entonces, usando la ecuación de integración por partes   tenemos:

 

 

Ejemplo #8

Encontrar:

 

Hacemos :   

 

 

 

Tenemos:

 

 

Usamos integración por partes nuevamente para   : 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo # 9

Encontrar:

 

Hacemos: 

 

 

 

 

Entonces: 

 

 lo guardamos un momento mientras encontramos la respuesta de nuestra nueva integral

para nuestra nueva integral   volvemos a integrar por partes: 

 

 

 

 

 

 

por lo tanto, nuestra respuesta sería:

Ejemplo # 10

Encontrar:

 

Hacemos: 

 

 

 

 

Entonces: 

 

A simple vista no parece haber mejorado , pero volvamos a integrar por partes otra vez.

Hacemos: 

 

 

 

 

Entonces:

 

Al sustituir esto en el primer resultado quedaria de la siguiente forma : 

 

Se pueden dar cuenta que el último termino de la ecuación puede pasar a sumar al otro lado de la

ecuación. 

Entonces : 

 

Resultado de esto es : 

 

Metodo por tabulacionEjemplo # 11

tomamos a u como 

tomamos a dv como 

Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.

multiplicamos u y dv en diagonal, y empezamos a color los signos +,-,+,-,+,...... sucesivamente hata

que lleguemos al 0.

Entonces la primitiva nos quedira.

Ejemplo # 12

tomamos a u como 

tomamos a dv como 

Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.

No olvidar hacer el respectivo cambio de signos.

Resultado:

--Antonio Moran 19:36 31 jul 2009 (CST)tonymoran 

tomamos a u como 

tomamos a dv como 

Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.

No olvidar el cambio de signos

Resultado:

Ejemplo # 13

respuesta..

Ejemplo # 14

escogemos u y dv de la siguiente forma:

  ; 

entonces obtenemos

  ; 

utilizando nuestra ecuacion para la integración por partes sustituimos los valores

podemos notar que de nuevo tenemos otra vez una integral por partes y la resolvemos de la

siguiente manera

  ; 

  ; 

sustituimos siguiendo nuestra ecuación y tenemos

de los dos lados de la ecuación aparece   entonces el del lado derecho de la

ecuación lo pasamos sumando al otro lado y obtenemos

ahora ya solo despejamos y obtenemos la integral

Ejemplo # 15

Entonces:

Ejemplo 16

Demostración integral ciclico que contiene exponencial y coseno Ciclico I

Ejemplo 17

Usando la formula de integracion por partes

Todavia queda una integral la cual se puede volver a usar la formula de integracion por partes para

que quede mas sencilla.

La integral que nos queda no es muy obvia todavia podemos volver a utilizar la formula de

integracion por partes.

Nos queda de una forma sencilla que podemos integrar sin ningun problema.

Expandimos.

Simplificamos.

EJEMPLO 18

Evaluar la integral:

Entonces; hacemos las respectivas sustituciones;

Entonces;

Nuestro resultado; 

EJEMPLO 19

Evaluar la integral:

Entonces; hacemos las respectivas sustituciones;

 "help" -->6

Nuestro resultado; 

EJEMPLO 20

Evaluar la integral:

Entonces, hacemos nuevamente nuestras respectivas sustituciones;

Nuestro resultado; 

EJEMPLO 21

Evalúe la integral:

Hacemos nuestras sustituciones correspondientes;

Nuestro resultado; 

Ejemplo 22

luego definimos cual seria nuestra U y dv

 y 

luego derivamos u:

E integramos dv por metodo de sustitucion:

entonces por la ecuacion de integracion por partes nos quedaria:

como podemos ver la integral que nos queda no tiene integracion inmediata entonces integramos

otra ves por partes siguiendo el mismo metodo de arriba tomando como   y dv= 

luego derivamos u:

E integramos dv por metodo de sustitucion:

sustituyendo otra ves con la ecuacion de integracion por partes nos quedaria otra ves asi:

como podemos ver aun no nos ya el integral:

ya lo podemos integrar por medio de sustitucion y la respuesta nos qedaria asi

 --Alfredotoledo 23:47 31 oct

2010 (CST)

Ejemplo 23

primero escojemos cual va a ser nuestra u y dv para poder empezar, entonces quedarían asi:

 y 

derivamos u y nos quedaría asi:

y utilizamos el metodo de sustitución para poder integrar dv y nos quedaría asi:

y al sustituir nos quedaría asi:

y al integrar nos quedaría asi:

al sustituir en la ecuación de integración por partes nos quedará todo asi:

podemos ver que aun el integral   no tiene integración inmediata entonces

utilizaremos otra vez el metodo de integración por partes.

entonces volvemos a escojer un u y dv

e integramos nuestro dv:

al integrar nos quedaría asi :

al sustituir otra ves en la ecuación de integración por partes nos quedaría:

como podemos ver ya el termino   ya se puede integrar por medio de sustitución la

respuesta nos quedaría asi:

--Alfredotoledo 01:24 1 nov 2010 (CST)

Ejemplo # 24

Determinar la Integral de:

Sean:

Al integrar por partes se obtiene:

       

Como la integral que se obtuvo aun no es inmediata, volvemos a utilizar una

segunda vez la integración por partes, esta vez con   

,   ,   y   obteniendo:

           

Como de ambos lados aparece   podemos agrupar términos

semejantes quedando de la siguiente manera:

         

Despejando y simplificando la expresión obtenemos la integral:

         

Videos de Apoyo

Videos por Ing. Carlos Zelada

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Teorema fundamental del cálculo

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo  nos indica que la derivación y la

integración son operaciones inversas.

Al integrar una función ccontinua y luego derivarla se recupera la función

original.

Teorema de la media o del valor medio para integrales

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c

en el interior del intervalo tal que:

Ejemplos