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Definición de funciones circulares

L E C C I Ó N

13.1CONDENSADA

Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 13 193©2010 Key Curriculum Press

(continúa)

En esta lección

● aprenderás cómo se definen las funciones circulares y � cos x e y � sin x

● hallarás el dominio, el rango y el periodo de y � cos x e y � sin x

● hallarás valores de seno y de coseno usando los ángulos de referencia

Muchos fenómenos, incluyendo las mareas y el movimiento de un caballo en un carrusel, siguen patrones repetitivos, o cíclicos. Puedes usar las funciones seno y coseno para modelar estos fenómenos.

Investigación: Rueda de paletasResuelve la investigación en tu libro y después compara tus resultados con los siguientes.

Paso 1 Una rotación es de 360°, por lo tanto la rana gira 360° en 6 minutos, ó 60° por minuto. Esto es 1° por segundo.

Paso 2 Asegúrate de que tu calculadora esté configurada en grados.

Paso 3 Puedes hallar los valores x e y de cualquier punto al recorrer la gráfica o al sustituir los valores de t en las ecuaciones para x e y. Las coordenadas del punto donde llega el sapo en un tiempo t son (cos t, sin t). Coseno y seno podrían ser nombres más adecuados para hpos y vpos.

Paso 4 Los valores x e y se repiten después de 360°. Los valores x e y son cíclicos. Los valores en grados de x e y en el Cuadrante I son positivos. En el Cuadrante II, los valores x son negativos y los valores y son positivos. En el Cuadrante III, los valores x e y son negativos. En el Cuadrante IV, los valores x son positivos y los valores y son negativos. El emparejamiento de los valores x e y es siempre igual: es decir, �0.866 siempre se empareja con �0.5, y así sucesivamente.

Paso 5

a. El patrón se repite cada 360° (ó 360 s). Dado que 1215° � 3(360°) � 135°, la ubicación de la rana en 1215 s es la misma que su ubicación en 135 s, la cual es (�0.707, 0.707). La rana también está en esta ubicación en 360 � 135, ó 495 s, y en 2(360) � 135, ó 855 s.

b. La tabla muestra que la rana está a una altura de �0.5 m a los 210 s y a los 330 s. Debido al patrón cíclico, la rana también está a esta altura en estos tiempos, más los múltiplos de 360 s. Para las primeras tres rotaciones, estos tiempos son 210 s, 330 s, 570 s, 690 s, 930 s y 1050 s.

c. �1 � x � 1, �1 � y � 1

Lección 13.1 • Definición de funciones circulares (continuación)

(continúa)

194 CHAPTER 13 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

©2010 Key Curriculum Press

Paso 6 Las siguientes son gráficas de dispersión de (tiempo, hpos) y (tiempo, vpos). A los 0 segundos la rana está en (1, 0), por lo tanto, la gráfica hpos empieza en (0, 1), mientras que la gráfica vpos empieza en (0, 0). Ambas gráficas pasan por un ciclo completo y regresan al mismo punto de partida luego de 360 segundos, o 360° alrededor del círculo. Las gráficas parecen ser traslaciones la una de la otra. Para hallar la posición de la rana en el tiempo t, resta a t los múltiplos de 360° hasta que el resultado esté entre 0° y 360°, y después halla el valor y en cada gráfica. La posición de la rana es (hpos, vpos), o (cos t, sin t). En ocasiones, las funciones del coseno y el seno son llamadas funciones circulares porque sus valores se repiten con cada rotación alrededor de un círculo.

Así como lo aprendiste en lecciones anteriores, un círculo con un radio de 1 unidad, centrado en el origen, se llama círculo unitario. Usando el círculo unitario en la investigación, descubriste que los valores de las funciones seno y coseno se repiten en un patrón regular. Cuando los valores de salida de una función se repiten en un patrón regular, la función es periódica. El periodo de una función es la distancia mínima entre los valores de la variable independiente, antes de que el ciclo empiece a repetirse.

Lee el Ejemplo A en tu libro, que muestra que la función coseno tiene un periodo de 360°. Después lee el texto entre los Ejemplos A y B que demuestra que la función seno también tiene un periodo de 360°. Observa el diagrama en la página 738 atentamente. Asegúrate de que entiendes el significado de posición estándar, lado terminal y ángulo de referencia. Lee el Ejemplo B atentamente y después lee el siguiente ejemplo.

EJEMPLO Halla el valor del coseno o seno para cada ángulo.

a. cos 225°

b. sin �290°

� Solución Para cada ángulo en las partes a y b, rota el punto (1, 0) en el sentido opuesto a las manecillas del reloj sobre el origen. Dibuja una semirrecta desde el origen hacia el punto de la imagen que será el lado terminal. Traza una línea perpendicular desde el punto de la imagen hasta el eje x para crear un triángulo de referencia y después identifica el ángulo de referencia.

Lección 13.1 • Definición de funciones circulares (continuación)


a. Para 225°, el ángulo de referencia mide 45°. Los valores x en el Cuadrante III son negativos, por lo tanto cos 225° � �cos 45°. Usando tus conocimientos de la razón entre las longitudes laterales en un triángulo de ángulos 45°-45°-90° y el dato de que la hipotenusa del triángulo es 1, puedes hallar que la longitud de ambos catetos es de 1

___ �

__ 2 , ó �

__ 2 ___ 2 . Por lo tanto las coordenadas del punto son

� � � __

2 ____ 2 , � � __

2 ____ 2 � y el coseno del ángulo es � � __

2 ____ 2 � �0.707.

xx

y

y1

45°

225°

b. Dado que la medida del ángulo �290° es negativa, rota el punto 290° en el sentido de las manecillas del reloj. El ángulo de referencia mide 70°. Dado que las coordenadas y de los puntos del Cuadrante I son positivas, entonces sin �290° � sin 70° � 0.940.

xx

y

y

–290°

70°

Los ángulos en posición estándar son coterminales si comparten el mismo lado terminal. Por ejemplo, los ángulos que miden 70°, �290° y 430° son coterminales. A menudo las letras griegas como � (theta) y � (alfa) se usan para representar medidas de ángulos.

Medición en radianes


(continúa)

En esta lección

● calcularás longitudes de arcos

● convertirás las mediciones angulares de grados a radianes

● hallarás el área de un sector de un círculo

● calcularás la velocidad angular de un objeto que sigue una trayectoria circular

Hasta ahora, has trabajado con ángulos medidos en grados. En esta lección aprenderás una medición de ángulo diferente llamada radián. Antes de comenzar a resolver la investigación, puedes repasar las fórmulas para las medidas y las longitudes de arcos analizando la lección “Refreshing Your Skills” (Repasar tus habilidades) para el Capítulo 13 en tu libro.

Investigación: Transportador en radianesUsa el semicírculo de la derecha para completar los Pasos 1–4 por tu cuenta. Después analiza el resto de la investigación y compara tus resultados con los siguientes para los Pasos 5–7.

Paso 5 Si el radio del círculo es r, entonces la circunferencia es 2�r unidades. Por lo tanto la mitad del círculo tiene una longitud de �r unidades. Es decir, � radianes.

Paso 6 Dado que un ángulo recto intercepta un cuarto del círculo, la longitud del arco interceptado sería la mitad de la longitud de un semicírculo, ó �

�2� r. Es decir, �

�2� radianes.

Paso 7 Usando el mismo razonamiento de los Pasos 5 y 6, puedes hallar los valores radianes para los ángulos comunes.

30° � � __ 6 radianes 45° � � __ 4 radianes 60° � � __ 3 radianes

120° � 2� ___ 3 radianes 135° � 3� ___ 4 radianes 150° � 5� ___ 6 radianes

Asegúrate de marcar todo en tu transportador en radianes. Debes tener marcas

rotuladas 0, 0.5, � __ 6 , � __ 4 , 1, � __ 3 , 1.5, � __ 2 , 2, 2� __ 3 , 3�

__ 4 , 2.5, 5� __ 6 , 3, y �, en el sentido contrario

a las manecillas del reloj.

��6

��4

�

��3

��22��

33��4

5��6

3

2.5

2 1.51

0.5

0

L E C C I Ó N

13.2CONDENSADA

Lección 13.2 • Medición en radianes (continuación)



En la investigación descubriste que un círculo completo, o una revolución, mide 2� radianes, por lo tanto medio círculo, o media revolución, mide � radianes, un cuarto de revolución mide �

�2� radianes, y así sucesivamente. Puedes escribir

proporciones para expresar estas relaciones equivalentes.

ángulo en grados _______________ 360

� ángulo en radianes ________________ 2�

ángulo en grados _______________ 180

� ángulo en radianes ________________ �

Resolver cualquiera de estas proporciones para el ángulo en grados o el ángulo en radianes te dará una fórmula que puedes usar para convertir grados en radianes, o viceversa.

Observa que no es necesario rotular las medidas en radianes con unidades. Para practicar la conversión entre grados y radianes, completa las partes a–d del Ejemplo A en tu libro. Después compara tus resultados con las soluciones.

El texto en la página 746 de tu libro muestra cómo puedes usar el análisis dimensional para convertir grados a radianes. Lee este texto atentamente.

La razón entre la longitud del arco y la circunferencia es igual a la razón entre la medida del ángulo intersecado y la medida de una revolución completa, independientemente de las unidades de medición del ángulo: grados o radianes.

�2�s

r� � �2��, ó s � r �

Puedes hallar la longitud de un arco multiplicando el radio por la medida del ángulo en radianes. Y, dado que s � r � es equivalente a � � �r

s�, puedes hallar la

medida de un ángulo intersecado al dividir la longitud del arco por el radio.

Ahora, lee el Ejemplo B, que muestra cómo hallar el área de un sector de un círculo. Éste es otro ejemplo.

EJEMPLO El círculo P tiene un radio de 12 cm y la medida del

P

12 cm

E

D

s

ángulo central DPE es �23�� radianes. ¿Cuánto mide s, la

longitud del arco intersecado DE� ? ¿Cuánto mide el área del sector sombreado?

� Solución Para hallar s, sustituye r � 12 cm y � � �23�� radianes en

la fórmula de la longitud de arco.

s � r� � 12 � �23�� 8� cm

Para hallar el área del sector, usa este dato:

A sector ______ A

círculo � medida del arco intersecado��2�

El área del círculo es �r2, ó 144�. Por lo tanto:

�A14

se

4ct

�or� �

�23��

�2� � �13�

Asector � �13� � 144� � 48�

El área del sector es 48� cm2.

Lee el resto de la lección en tu libro. Asegúrate de que entiendes la definición de velocidad angular.

Representación de funciones trigonométricas


(continúa)

En esta lección

● hallarás ecuaciones para sinusoides

● identificarás la amplitud, el periodo y la desviación de fase de un sinusoide

● modelarás datos reales con una función sinusoidal

● hallarás ecuaciones para transformaciones de la función tangente

Las gráficas de y � sin x e y � cos x, y sus transformaciones se llaman ondas sinusoidales o sinusoides. El Ejemplo A en tu libro muestra que transformar y � sin x es muy similar a transformar cualquier otra función. Lee ese ejemplo atentamente.

La amplitud de un sinusoide es la mitad de la diferencia de los valores máximo y mínimo de la función. Esto es igual al valor absoluto del factor de escala vertical, o ⏐b⏐. La traslación horizontal de una gráfica de seno o coseno se llama desviación de fase (phase shift). En el Ejemplo A, la función y � 3 � 2 sin(x � �) tiene una amplitud de 2 y una desviación de fase de ��.

Para practicar transformaciones de la gráfica coseno, resuelve el siguiente ejemplo.

EJEMPLO La gráfica de un ciclo (0 � x � 2�) de y � cos x está a continuación. Dibuja la gráfica de un ciclo de y � �1 � 3 cos �x � �

�2��. Da la amplitud, el periodo y la

desviación de fase de la función transformada.

x

y

2�

2

–2�_2

3�__2

�

� Solución El coeficiente 3 significa que la gráfica de y � cos x está dilatada verticalmente por un factor de 3. La gráfica también está trasladada �

�2� unidades hacia la izquierda y

1 unidad hacia abajo. Escoge algunos puntos de la gráfica original para ver cómo se transforman. Los interceptos x, ��

�2�, 0� y � 3�

__ 2 , 0�, no están afectados por la dilatación vertical, dado que 3 · 0 = 0. Ahora, haz la traslación. La imagen de

��2�, 0� después de una traslación hacia la izquierda �

�2� unidades y 1 unidad hacia

abajo es (0, �1) y la imagen de � 3� __ 2 , 0� es (�, �1). Ahora, considera un punto

bajo de la gráfica original, digamos (�,�1). La dilatación vertical transforma este punto en (�, �3). Aplica la traslación para obtener ��

�2�, �4�. Este punto está en

la función transformada siguiente.

x

y

2

–4

–2�_2

�

�_2

3�__2

–

El periodo de la función transformada es 2�, la amplitud es 3 y la desviación de fase es ��

�2�.

L E C C I Ó N

13.3CONDENSADA

Lección 13.3 • Representación de funciones trigonométricas (continuación)

(continúa)



Investigación: El péndulo IILee la investigación en tu libro. Si tienes el equipo necesario, reúne tus propios datos y ajusta una función seno y una función coseno. Si no, puedes usar estos datos.

Tiempo (s) Distancia (m)

0.05 0.900

0.10 0.903

0.15 0.899

0.20 0.888

0.25 0.873

0.30 0.855

0.35 0.836

0.40 0.814

0.45 0.791

0.50 0.768

0.55 0.749

0.60 0.730

0.65 0.714

0.70 0.704


0.75 0.698

0.80 0.697

0.85 0.702

0.90 0.712

0.95 0.727

1.00 0.745

1.05 0.766

1.10 0.786

1.15 0.809

1.20 0.830

1.25 0.850

1.30 0.867

1.35 0.881

1.40 0.891


1.45 0.894

1.50 0.894

1.55 0.889

1.60 0.863

1.65 0.844

1.70 0.824

1.75 0.802

1.80 0.814

1.85 0.779

1.90 0.760

1.95 0.740

2.00 0.724

Ésta es una gráfica de los datos:

Primero ajusta una función coseno. El máximo valor de la distancia es 0.903 y el mínimo es 0.697, por lo tanto la amplitud de la función es �

12�(0.903 � 0.697),

ó 0.103. Éste es el factor de escala vertical.

Un ciclo completo, de un punto máximo al siguiente, va de 0.10 a 1.475, así que el periodo es 1.375. El factor de escala horizontal que dilata 2� a 1.375 es 1.375

____ 2� .

La función y � cos x tiene un punto máximo en x � 0. Esta curva tiene un punto máximo en x � 0.10. Por lo tanto la desviación de fase es 0.10.

Para y � cos x, el valor y que está en la mitad entre los valores mínimo y máximo es 0. Para esta curva, este valor es �

12�(0.903 � 0.697), ó 0.8. Por consiguiente, la

traslación vertical es 0.8.

Reuniendo toda esta información, se obtiene la función:

y � 0.103 cos� 2� _____ 1.375 (x � 0.1)� � 0.8

Lección 13.3 • Representación de funciones trigonométricas (continuación)


Una transformación de la función seno tiene los mismos factores de escala y desviación vertical, pero la función debe desviarse otro cuarto de ciclo, ó 1.375 _____ 4 . Usando la desviación de fase �� 1.375 _____

4 � 0.1�, la función seno es:

y � 0.103 sin � 2� _____ 1.375 �x � �� 1.375 _____ 4

� 0.1�� 0.8

En estas ecuaciones, 0.8 representa la distancia promedio desde el sensor de movimiento hasta la arandela, 0.103 es la distancia desde esta distancia promedio a la distancia mínima o máxima, 0.1 es el número de segundos antes de que la arandela llegue por primera vez a la distancia máxima y 1.375 es el número de segundos que le lleva completar un ciclo. Puedes verificar el ajuste con tu calculadora. Asegúrate de que tu calculadora esté configurada en radianes.

El Ejemplo B en tu libro da otra situación que puede modelarse con una función sinusoidal. Intenta resolver el problema de ese ejemplo antes de leer la solución.

Hasta ahora, en este capítulo, has trabajado principalmente con senos y cosenos. La tangente del ángulo A es la razón entre la coordenada y y la coordenada x de un punto rotado A° (o A radianes) en sentido opuesto a las manecillas del reloj desde la parte positiva del eje x.

tan A � �ccoooorrdd

eenn

aadd

aa xy

�

coordenada x

Ax

(x, y)

y

coordenada y

Ésta es la gráfica de la función y � tan x.

x

y

� 2�–�

2

4

–2

–4

6

–6

�_2

3�__2

Observa que tan A es indefinida para los puntos del círculo cuya coordenada x es cero. La gráfica muestra esto mediante las asíntotas verticales en ��

�2�, �

�2�, �

32��,

y así sucesivamente.

El Ejemplo C en tu libro halla la ecuación de una transformación de y � tan x. Lee ese ejemplo atentamente.

Inversos de funciones trigonométricas


(continúa)

En esta lección

● trazarás y examinarás gráficas de los inversos de y � sin x y de y � cos x

● definirás las funciones y � sin�1 x e y � cos�1

x mediante la restricción de los rangos de x � sin y, y de x � cos y

● resolverás ecuaciones que implican funciones trigonométricas

Las funciones seno, coseno y tangente tienen valores que se repiten. Por lo tanto, si quieres hallar un ángulo cuyo coseno es 0.75, habrá muchas respuestas. Por esta razón, usar una función inversa en tu calculadora no siempre te dará el ángulo que buscas. Esto se ilustra en el Ejemplo A de tu libro. Lee ese ejemplo atentamente.

En capítulos anteriores viste que el inverso de una relación se halla al intercambiar las coordenadas x e y para todos los puntos. Una gráfica y su inverso son reflexiones una de otra con respecto a la recta y � x. La página 769 en tu libro muestra las gráficas de la función exponencial y � bx y su inverso, x � b y �ó y � log b x�, y de la ecuación y � x2 y su inverso, x � y 2. En el caso de y � bx, el inverso es una función. En el caso de y � x2, no lo es. En la investigación, explorarás los inversos de las funciones trigonométricas.

Investigación: Exploración de los inversosCompleta la investigación en tu libro y después compara tus resultados con los siguientes.

Pasos 1–4 A continuación están las gráficas de y � sin x y de x � sin y.

x

y

� 2�

5

5

3�

–5

–10

10

–2�

–5

–3�

–3�

–10

–�

–�

10–2�

�

2�

3�

La gráfica de x � sin y no es una función porque existe más de un valor y para cada valor x. Se ha sombreado la parte de la gráfica entre y � ��

�2� e y � �

�2�. Esta

porción de la gráfica es una función porque hay exactamente un valor y para cada valor x.

L E C C I Ó N

13.4CONDENSADA

Lección 13.4 • Inversos de funciones trigonométricas (continuación)

(continúa)



Paso 5 A continuación están las gráficas de y � cos x y x � cos y. Cualquier intervalo y de la forma n� � y � (n � 1)�, donde n es un entero, contiene una parte de la gráfica de x � cos y que es una función. Una posibilidad es 0 � y � �.

x

y

� 2�

5

5

3�

–5

–10

10

–2�

–5

–3�

–3�

–10

–�

–�

10–2�

�

2�

3�

La función y � sin�1 x es la parte de la gráfica de x � sin y correspondiente al

intervalo ��2� � y � �

�2�. (Ésta es la parte sombreada en la investigación). Del

mismo modo, la función y � cos�1 x es la porción de la gráfica de x � cos y

correspondiente al intervalo 0 � y � �. Al restringir el intervalo, se garantiza que haya un valor y para cada valor x. Por lo tanto, aunque, por ejemplo, la ecuación sin x � 0.5 tiene un número infinito de soluciones, la ecuación x � sin�1(0.5) tiene una sola solución: �

�6�. El valor �

�6� se llama valor principal de sin�1(0.5).

El Ejemplo B en tu libro muestra cómo resolver una ecuación que implica una función trigonométrica. Resuelve el ejemplo usando papel y lápiz. Después verifica que entiendes las ideas resolviendo el problema del siguiente ejemplo.

EJEMPLO Halla los primeros cuatro valores positivos de x para los cuales 1 � 4 sin � x � �

____ 2 � � 3.

� Solución En la gráfica, esto es equivalente a hallar las primeras cuatro intersecciones positivas de y � 1 � 4 sin � x � �

____ 2 � e y � 3. Puedes hallar las siguientes intersecciones aproximadas trazando la gráfica.

x

y

� 7�2� 3� 4� 5� 6�

2

4

–2

–4

(4.189, 3) (8.378, 3) (16.755, 3) (20.944, 3)

Lección 13.4 • Inversos de funciones trigonométricas (continuación)


Hallarás una solución resolviendo la ecuación de manera simbólica.

1 � 4 sin��x �2

�� 3

�4 sin��x �2

�� 2

sin��x �2

��

12�

�x �

2 �� sin�1��

12�

x � 2 sin�1��12� � �

El círculo unitario muestra que sin�1��12��

�6�. �Recuerda, la función

y � sin�1 x tiene un rango de ��2� � y � �

�2�.�

x

1

y

–0.5

– �__6

Por lo tanto, una solución es x � 2��6��

43��. Sin embargo, estás

buscando soluciones positivas. Debido a que el periodo de y � 1 � 4 sin � x � � ____ 2 �

es 4�, ��43�� 4�, ó �

83��, es una solución. Esto es aproximadamente 8.378, que

corresponde a la segunda solución positiva en la gráfica.

Puedes usar la simetría de la gráfica para hallar la primera solución positiva. La primera solución positiva está a la misma distancia de 2� que la segunda solución, �

83��. Esta distancia es �

23��. Por lo tanto, 2� � �

23��, ó �

43��, también es una

solución. Esto es aproximadamente 4.189. Usando el dato de que el periodo es 4�, las siguientes dos soluciones son:

x � �43�� 4� � �

163�� 16.755

x � �83�� 4� � �

203�� 20.944

Modelación con ecuaciones trigonométricas


(continúa)

En esta lección

● interpretarás ecuaciones trigonométricas que modelan situaciones reales

● escribirás ecuaciones trigonométricas para modelar situaciones reales

● hallarás frecuencias de funciones periódicas

El Ejemplo A en tu libro muestra cómo la altura del agua en la boca de un río se puede modelar con una ecuación trigonométrica. Analiza el ejemplo atentamente. Asegúrate de que entiendas cómo los números en la ecuación corresponden a la situación real.

Cuando la variable independiente es el tiempo, el periodo de una función es el tiempo que le lleva a la función completar un ciclo. La frecuencia de una función es el recíproco del periodo. Es el número de ciclos completados en una unidad de tiempo. Por ejemplo, si una onda tiene un periodo de 0.1 segundos, entonces tiene una frecuencia de 10 ciclos por segundo.

Investigación: Un muelle en movimientoLee la investigación en tu libro. Si tienes el equipo necesario, reúne los datos y completa los pasos de la investigación. Si no lo tienes, completa los pasos usando estos datos de muestra. Los siguientes resultados se basan en los datos de muestra.

Tiempo (s)

Altura (m)

0 0.561397

0.05376 0.563182

0.10752 0.578284

0.16128 0.604919

0.21504 0.639792

0.2688 0.673841

0.32256 0.699653

0.37632 0.71805

0.43008 0.724229

0.48384 0.719698

0.5376 0.729446

0.59136 0.701163

0.64512 0.632653

0.69888 0.603409

0.75264 0.576362

0.8064 0.564005

Tiempo

(s)Altura

(m)

0.86016 0.587071

0.93912 0.597093

0.96768 0.640204

1.02144 0.668624

1.0752 0.705831

1.12896 0.729308

1.18272 0.741253

1.23648 0.738919

1.29024 0.724366

1.344 0.695946

1.39776 0.656984

1.45152 0.620983

1.50528 0.587895

1.55904 0.567712

1.6128 0.5673

1.66656 0.581991

Tiempo

(s)Altura

(m)

1.72032 0.607665

1.77408 0.630044

1.82784 0.665192

1.8816 0.699241

1.93536 0.720659

1.98912 0.731937

2.04288 0.728622

2.09664 0.715167

2.1504 0.687845

2.20416 0.664505

2.25792 0.631417

2.31168 0.607391

2.36544 0.592975

2.4192 0.586934

2.47296 0.592837

Tiempo

(s)Altura

(m)

2.52672 0.609038

2.58048 0.632104

2.63424 0.657778

2.688 0.682628

2.74176 0.702261

2.79552 0.713794

2.84928 0.714206

2.90304 0.705419

2.9568 0.690454

3.01056 0.667938

3.06432 0.64144

3.11808 0.618374

3.17184 0.60588

3.2256 0.597505

3.27936 0.597917

L E C C I Ó N

13.5CONDENSADA

Lección 13.5 • Modelación con ecuaciones trigonométricas (continuación)



Paso 2 Ésta es una gráfica de los datos:

El máximo promedio es 0.728 y el mínimo promedio es 0.575,

por lo tanto la amplitud es �0.728 �2

0.575� � 0.076. El valor

promedio, que es la traslación vertical, es 0.652. Los mínimos están en 0, 0.80640, 1.61280, 2.41920 y 3.22560, a intervalos de 0.8064, entonces el periodo es 0.8064 s. La frecuencia es entonces 1

_____ 0.8064 , ó 1.240 ciclos por segundo. El primer máximo está en t � 0.43, por lo tanto si escoges una función coseno, deberá tener una desviación de fase de 0.43.

Paso 3 h � 0.652 � 0.076 cos � 2�(t � 0.43) ________ 0.8064 �

Una gráfica de la curva con los datos muestra un buen ajuste.

Paso 4

a. La altura promedio del muelle es 0.652 m. La distancia hacia arriba y hacia abajo en la que el muelle se desplaza desde la altura promedio es 0.076 m. El tiempo que le lleva completar un ciclo es 0.8064 s. El tiempo en el que se presenta el primer máximo es 0.43 s.

b. Si alejaras el sensor 1 m, la traslación vertical aumentaría en 1. Todos los demás valores permanecerían iguales.

c. Si jalaras el muelle más abajo, la amplitud aumentaría. El periodo también podría cambiar.

El Ejemplo B en tu libro presenta otra situación que se puede modelar mediante una función periódica. Resuelve el ejemplo usando papel y lápiz. El siguiente ejemplo corresponde al Ejercicio 8a en tu libro. Intenta escribir la ecuación sin mirar la solución.

EJEMPLO El tiempo entre la marea alta y la baja en el puerto de un río es aproximadamente 7 h. La marea alta con una profundidad de 16 pies se presenta al mediodía y la profundidad promedio del puerto es de 11 pies. Escribe una ecuación que modele esta relación.

� Solución La marea completa medio ciclo en 7 h, por lo tanto el periodo es de 14 h. El factor de escala horizontal que dilata 2� a 14 es �

�7

�. La profundidad promedio, 11, es la traslación vertical. La amplitud es 5, resultante de la diferencia entre la profundidad de la marea alta y la profundidad promedio. Si supones que t � 0 corresponde al mediodía, entonces la función empieza en un punto máximo. Por lo tanto si utilizas la función coseno, no hay desviación de fase. La ecuación es:

d � 11 � 5 cos ��7t

�

Identidades trigonométricas fundamentales


(continúa)

En esta lección

● definirás funciones cotangente, secante y cosecante

● aplicarás identidades recíprocas y las usarás para comprobar otras identidades trigonométricas

● derivarás y comprobarás tres identidades pitagóricas

Una identidad es una ecuación cierta para todos los valores para los cuales se definan las expresiones. Por ejemplo, sin A � cos �A � �

�2�� es una identidad porque

es cierta sin importar el valor con el que sustituyes a A. Lee la introducción de la lección en tu libro que muestra que tan A � �c

sions

AA� es una identidad.

Los recíprocos de las funciones tangente, coseno y seno también son funciones trigonométricas. El recíproco de la tangente es la cotangente, abreviada como cot. El recíproco del coseno es la secante, abreviada como sec. El recíproco del seno es la cosecante, abreviada como csc. Estas definiciones conducen a las siguientes seis identidades recíprocas.

cot A � �tan1

A� sec A � �co1s A� csc A � �sin

1 A�

tan A � �co1t A� cos A � �se

1c A� sin A � �cs

1c A�

Tu calculadora puede no tener teclas especiales para cotangente, secante y cotangente. Por ejemplo, para representar y � cot x, necesitarías usar la expresión y � �ta

1n x�. Para que te familiarices con las nuevas funciones, representa

gráficamente cada par de funciones recíprocas, un par por vez, en tu calculadora (es decir, representa gráficamente la cotangente y la tangente, luego la secante y el coseno, y después la cosecante y el seno).

Un método para comprobar una identidad implica escribir expresiones equivalentes para un lado de la ecuación hasta que sea igual al otro lado. Puedes usar cualquier identidad que ya hayas comprobado. El ejemplo en tu libro demuestra esto. Resuelve ese ejemplo usando papel y lápiz.

Investigación: Identidades pitagóricasIntenta completar la investigación por tu cuenta. A continuación se dan las respuestas, por si las necesitas.

Paso 1 La gráfica de y � sin2 x � cos2

x es la recta horizontal y � 1. Basándote en esta gráfica, puedes escribir la identidad sin2

x � cos2 x � 1.

Paso 2 Las longitudes de los catetos del triángulo dado son sin A y cos A, y la hipotenusa tiene una longitud de 1. Según el Teorema de Pitágoras, sin2

A � cos2 A � 1.

L E C C I Ó N

13.6CONDENSADA

Lección 13.6 • Identidades trigonométricas fundamentales (continuación)



Paso 3 La ecuación sin2 x � cos2

x � 1 se llama identidad pitagórica, porque se deriva utilizando el Teorema de Pitágoras. (En un círculo unitario con un triángulo de referencia, sin x y cos x son las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo y 1 es la longitud de la hipotenusa. Por lo tanto, usando el Teorema de Pitágoras, sin2

x � cos2 x � 1.)

Paso 4

cos2 x � 1 � sin2

x

sin2 x � 1 � cos2

x

Paso 5 La identidad es tan2 x � 1 � sec2

x. La siguiente derivación sirve como prueba, pero deberías practicar el método del ejemplo, manipulando el lado izquierdo de la identidad, tan2

x � 1, hasta que sea igual al lado derecho, sec2 x.

sin2 x � cos2

x � 1 Identidad original.

sin2

x�cos2

x � cos2

x�cos2

x � 1�cos2

x Divide ambos lados por cos2 x.

(sin x)2

�(cos x)2 � (cos x)2

�(cos x)2 � 1�(cos x)2 sin2 x significa (sin x)2 y cos2 x significa (cos x)2.

� sin x�cos x �

2

� �cos x�cos x�

2

� � 1�cos x�

2

a 2 __

b 2 � ��

ab��

2

tan2 x � 1 � sec2

x Usa las identidades �csions

xx� � tan x y �co

1s x� � sec x.

Paso 6 Tanto y � tan2 x � 1 como y � sec2

x tienen la misma gráfica, lo cual verifica la identidad. La identidad es indefinida cuando cos x � 0, o cuando x � � __ 2 � �n ó x � 90° � 180°n, donde n es un entero.

Paso 7 La identidad es 1 � cot2 x � csc2

x. La siguiente derivación sirve como prueba:

sin2 x � cos2

x � 1 Identidad original.

sin2

x�sin2

x � cos2

x�sin2

x � 1�sin2

x Divide ambos lados por sin2 x.

(sin x)2

�(sin x)2 � (cos x)2

�(sin x)2 � 1�(sin x)2 sin2 x significa (sin x)2 y cos2 x significa (cos x)2.

� sin x�sin x �

2

� �cos x�sin x �

2

� � 1�sin x �

2

a 2 __

b 2 � ��

ab��

2

1 � cot2 x � csc2

x Usa las identidades �csions xx

� � cot x y �sin1

x� � csc x.

Paso 8 Tanto y � 1 � cot2 x como y � csc2

x tienen la misma gráfica, lo cual verifica la identidad. La identidad es indefinida cuando sin x � 0, o cuando x � �n ó x � 180°n, donde n es un entero.

Las identidades pitagóricas que comprobaste en la investigación se resumen en la página 785 de tu libro.

Combinación de funciones trigonométricas


(continúa)

En esta lección

● modelarás un sonido con una suma de dos ecuaciones sinusoidales

● desarrollarás o comprobarás varias identidades trigonométricas

● usarás identidades trigonométricas para hallar los senos y cosenos de ángulos

El sonido de una nota tocada por un instrumento musical puede modelarse con la combinación de más de una función trigonométrica. Lee el texto que precede a la investigación en tu libro para aprender más sobre este tema.

Investigación: Onda de sonidoLa investigación te pide tocar un diapasón y después reunir los datos usando una sonda de micrófono. A continuación están las ecuaciones y las gráficas de los datos reunidos con los diapasones A-440 Hz y E-329.6 Hz.

A: y � 0.01587 sin� 2� _______ 0.00229 (x � 0.0001)�� 0.00696

E: y � 0.02326 sin� 2� _______ 0.00304 (x � 0.0001)� � 0.0062

Para escribir un modelo para las gráficas combinadas, puedes sumar las dos ecuaciones de senos y después ajustar sus coeficientes. La frecuencia de cada gráfica de senos debe ser aproximadamente la misma en la ecuación combinada. Sin embargo, deberás experimentar para hallar los otros coeficientes. La siguiente ecuación se ajusta a los datos razonablemente bien.

y � 0.004 sin� 2� _______ 0.00229 � (x � 0.0074)� � 0.0075 � 0.0033 sin� 2� _______ 0.00304 � (x � 0.00687)� � 0.00034

L E C C I Ó N

13.7CONDENSADA

Lección 13.7 • Combinación de funciones trigonométricas (continuación)

Un sinusoide trasladado de manera horizontal puede escribirse como la suma de dos curvas no trasladadas. Por ejemplo, puedes usar tu calculadora para verificar que y � cos(x � 0.6435) es equivalente a y � 0.8 cos x � 0.6 sin x. El texto en la página 791 de tu libro comprueba la identidad:

cos(A � B) � cos A cos B � sin A sin B

Resuelve los pasos usando papel y lápiz.

El Ejemplo A de tu libro muestra cómo puedes usar la identidad anterior para hallar los valores exactos del coseno para más ángulos usando valores que ya conoces. Éste es otro ejemplo.

EJEMPLO A Halla el valor exacto de cos �71�2�.

� Solución cos �71�2� � cos��1102��

31�2� Vuelve a escribir �

71�2� como la diferencia de

dos fracciones.

� cos��56��

�4� Reduce.

� cos �56�� cos �

�4� � sin �

56�� sin �

�4� cos(A � B) � cos A cos B � sin A sin B.

� � �

__ 3

�2 � �

__ 2

�2 � �12� �

� __

2 �2

Sustituye los valores exactos del seno y del coseno, �

56�� y �

�4�, respectivamente.

� � �

__ 6 � �

__ 2

��4 Combina los términos.

El Ejemplo B en tu libro utiliza la identidad cos(A � B) � cos A cos B � sin A sin B para desarrollar la identidad:

cos(A � B) � cos A cos B � sin A sin B

Lee ese ejemplo atentamente. El siguiente ejemplo desarrolla la identidad:

sin(A � B) � sin A cos B � cos A sin B

EJEMPLO B Usa la identidad de cos(A � B) y las identidades sin A � cos��2� � A� y

cos A � sin��2� � A� para desarrollar una identidad para sin(A � B).

� Solución sin(A � B) � cos��2� � (A � B)� sin A � cos ��

�2� � A�.

� cos��2� � A� � B� Escribe �

�2� � (A � B) como ��

�2� � A� � B.

� cos��2� � A� cos B � sin��

�2� � A� sin B Usa la identidad de cos(A � B).

� sin A cos B � cos A sin B cos A � sin��2� � A� y

sin A � cos ��2� � A�.

El recuadro en la página 793 de tu libro da más identidades. Comprobarás estas identidades en los ejercicios.



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