Preuniversitario D-2Matemticas PSU

Matemtica 2015Datos y Azar

Gua Terico-Prctica D-2Distribucin Normal

Distribucin normal

La distribucin normal(o gaussiana) es aquella en que los datos de una variable aleatoria continua se concentran alrededor de la media con cierta desviacin estndar (tpica) . Se escribe N(,) y su grafica se conoce como la campana de Gauss

Media : Varianza : 2

Cuando la poblacin se distribuye N(,) , se puede asegurar que:Aproximadamente el 68,27% 68,3% de la poblacin se encuentra en el intervalo ]-,+ [

Aproximadamente el 95,45% 95,5% de la poblacin se encuentra en el intervalo ]-2,+2 [

Aproximadamente el 99,7% de la poblacin se encuentra en el intervalo ]-3,+3 [

Ejercicios Resueltos

1. La estatura de los integrantes de una delegacin de 180 deportistas se describe aproximadamente con una distribucin normal N( 184, 9)

a)Cul es aproximadamente el porcentaje de deportistas en la delegacin cuya estatura es mayor a 175cm?

Aproximadamente - = 184-9=175y + = 184+9=193La estatura en cm del 68,3% de los deportistas se encuentra entre ]175,193[

b)Cuntos deportistas aproximadamente son de estatura mayor que 157cm y menor que 211cm?Aproximadamente -3 = 184-27=157y +3 = 184+27=211La estatura en cm del 99,7% de los deportistas se encuentra entre ]157,211[

Ejercicios propuestos PSU

Para responder las preguntas de 1 a 4 , se sabe que el promedio de notas de Matemticas de un curso es una variable aleatoria que se distribuye de forma normal con media =4,8 y =0,7

1. entre que promedios de notas se encuentra aproximadamente el 95,5% de los estudiantes?

2. desde que promedio comienza el 15,85% de mejor rendimiento del curso?

3. Qu porcentaje de estudiantes obtuvo promedio de notas menor que 4,8 en el curso?

4. Qu porcentaje de estudiantes obtuvo promedio de notas menor que 5,5 en el curso?

Para responder las preguntas 5 a 8 , de un colegio mixto egresaron 210 varones y 225 damas. Las edades de los varones se distribuyen N(18,8; 0,4) y las edades de las damas N( 18,2 ; 0,6)

5. Cuntos varones tenan ms de 18 aos?

6. Cuntas damas tenan ms de 17 aos?

TipificacinExisten muchos fenmenos reales que pueden representarse estadsticamente mediante la distribucin normal. No obstante el anlisis matemtico solo se considera para la distribucin normal tipificada(es decir de promedio (media) 0 y de desviacin estndar 1).Para el estudio de una distribucin estndar de media y desviacin estndar , esta se puede transformar en una distribucin normal tipificada realizando un cambio de variable, para luego aplicar todo el anlisis valido para este tipo de distribucin

Cualquier variable X que se distribuya N(,) puede transformarse a una variable Z de distribucin N(0,1) mediante el siguiente cvsmbio de variable

Existe una tabla que permite conocer el rea bajo la curva hasta cualquier valor de la variable, lo que indica directamente la proporcin de datos que son menores o iguales que dicho valor

Ejemplo:

Las estaturas de un grupo de personas se distribuye normalmente con media 152cm y desviacin estndar 10cm, se requiere conocer el porcentaje de personas que tiene una estatura menor o igual a 160cm

Primero se realiza el cambio de variable , Determinamos el valor de z para un x=150, Se busca el rea bajo la curva del intervalo en la tabla de distribucin normal tipificada

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