Actividad 2. Calculo vectorial

Resuelve el siguiente problema: calcula la posición de un objeto en un espacio tridimensional de acuerdo a dos observadores.

A la caza del submarino amarillo

El submarino amarillo se encuentra bajo la superficie del mar y hay dos barcos caza submarinos en la superficie que intentan localizar la posición del submarino amarillo para darle las coordenadas a un avión amigo que intercepte al submarino y le lance unas cargas explosivas para hundirlo. En un momento determinado, los dos caza submarinos, U y V se encuentran en las posiciones (10,0,0) y (0,25,0) respectivamente, tal y como se muestra en la figura.

Las coordenadas están expresadas en millas náuticas. La nave U localiza al submarino en la dirección del vector 4i + 6j- 2k. Y la nave V lo localiza en la dirección 10i – 6j - k Hace cuatro minutos el submarino se localizaba en las coordenadas (10, -5,-10). El avión llegará a la zona en 20 minutos. El submarino se está moviendo en línea recta a velocidad constante.

¿Qué posición y dirección deberán reportar las naves de la superficie al piloto del avión para que éste intercepte al submarino?

Solución:

Vector dirección u=4i-6j-2kposición nave U (10, 0, 0)

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Vector dirección de v=10i-6j-2k

posición nave V (0, 25, 0)

Posición inicial del submarino (10, -5, -10)

Básicamente se pide encontrar una recta que vaya en igual dirección al movimiento del submarino y que pase por (10, -5, -10), además encontrar el punto de intercepción donde será cazado el submarino en tiempo t=4+20 minutos, graficando el problema.

U la recta en dirección al vector u y ecuación paramétrica U:{ x=10+4u, y=6u, z=-2u}

V la recta en dirección al vector v y ecuación paramétrica V:{x=10v, y=25-6v, z=-v}

L recta en dirección al vector dirección del submarino  y ecuación paramétrica L:{x=10+at, y=-5+bt, z=-10+ct}

P1 el punto donde la nave U detecta al submarino.

P2 el punto donde la nave V detecta al submarino.

Los valores de los componentes de la recta paramétrica del submarino a, b y c son las incógnitas a encontrar, encontrando el valor de estas encontramos la ecuación paramétrica que describe el movimiento del submarino, así como también su vector dirección.

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Debemos encontrar valores para a, b y c de tal forma que la recta L (dirección del submarino) sea intersecada en P1 y P2 por U y V respectivamente.

Intersección en P1

En el punto P1 se intersecan las rectas L y U

x1:  10 + a t= 10+ 4u         y1: -5 + bt = 6u          z1: -10 + ct = -2u

Multiplicando  estas ecuaciones por (1/t) y desarrollando obtenemos una ecuación en términos de a, b y c.

7a + 4b - 2c = 0    (1)

En el punto de intersección P2 se intersecan las rectas L y V, entonces

x2: 10 + at = 10v            y2: -5 + bt = 25 - 6v    z2: -10 + ct = -v

Multiplicando  estas ecuaciones por (1/t) y desarrollando obtenemos una ecuación en términos de a, b y c.

a+3b-8c=0     (2)

Obtenemos un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

7a+4b-2c=0      (1)

a+3b-8c=0        (2)

Suponiendo que el submarino vaya en recta ascendente, en algún momento llegara a la superficie donde z=0, o sea

z = -10 + ct = 0

Y suponiendo además que alcance la superficie en un tiempo t > 4+20 minutos, demos un valor de t = 25 minutos.

z = -10 + ct = 0   -10+ct=0    ct =10  c=10/t      c=10/25  c=2/5

Sustituyendo este valor en (1) y (2)

7a+4b-2(2/5)=0          

7a+4b=0.8         (1)

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a+3b-8(2/5)=0         

a+3b=3.2          (2)

Obtenemos un nuevo sistema de ecuaciones con dos incógnitas y resolviendo por Gauss- Jordan, se obtienen soluciones para a y b.

a=0.416

b=0.928

el valor previamente encontrado de c  es:  c=0.4

La recta que describe la trayectoria del submarino es:

L:{x=10+at, y=-5+bt, z=-10+ct}

sustituyendo los valores encontrados de a, b y c en ella, obtenemos la ecuación de la recta siguiente:

L: {x = 10 + (0.416)t , y = -5 + (0.928)t, z = -10 + (0.4)t}

La dirección del submarino es el vector l = ai + bj + ck = 0.416i + 0.928j + 0.4k.

La posición donde será cazado el submarino es al transcurrir un  tiempo   t=4+20 minutos.

x=10+0.416(24)=10+9.984=19.984

y=-5+0.928(24)=-5+22.272=17.272

z=-10+0.4(24)=-10+9.6=-0.4

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La grafica muestra los puntos donde el submarino es detectado en P1 y en P2, el punto donde es interceptado por la carga explosiva y el punto en la superficie donde debe salir el submarino en la superficie, en caso de no ser destruido. Recordemos que las coordenadas están expresadas en millas náuticas.

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