CURVATURAS - TRIEDRO DE FRENET

Curvatura de una curva en un punto

Dada la curva de ecuacin y = f (x) y x = a un punto del dominio de f(x) donde la misma admita

derivada 1ra finita y 2da no nula, se define curvatura C de f(x) en x = a, a la variacin de ngulo dz

girado por la recta tg a f (x) en x = a debida a la variacin infinitesimal de arco ds, o sea:

(1)

con d z = elemento infinitesimal de ngulo girado por la recta tg a f en a, y

ds = elemento infinitesimal de arco de curva correspondiente a dz

d zC

d s

Recordando que f(a) = y(a) = tg z z = arctg y(a) diferenciando

2

1 ( )

dydz

y

y

2 2 2 2 2( ) 1 ( ) ds dx dy dx y dx y dx . Es fcil probar que r es un infinitsimo de

orden superior (despreciable), cuando dx tiende a cero, frente a y, dy, y a dx:

0 0 0 0

lim lim lim lim( 1) 0

dx dx dx dx

yr y dy y y dx dx

dy y dx y dx y

ya que 0

lim dx

yy

dx

.

Tambin 0 0 0 0

lim lim lim( ) lim( ) 0dx dx dx dx

r y dy y y dx yy

dx dx dx dx dx

Y 0 0 0 0 0

lim lim lim(1 ) lim(1 ) lim(1 ) 0

dx dx dx dx dx

r y dy y dx y y

yy y y y

dx

Entonces se puede tomar a dy como una buena aproximacin de y ya que la diferencia entre ambos

r es un infinitsimo de orden superior a los dos. O sea y dy. O simplemente pensar que en un

entorno de x = a, el elemento de curva ds puede ser reemplazado por un tramo infinitesimal de recta

tg a f en a.

Reemplazando todo en (1)

2

1 3 32 2 22 2 2

11 ( )

1 ( ) ( ) ( )

dy dyyy dxC

Ry dx y y

, todas estas derivadas calculadas en x = a.

Y llamamos a R = radio de curvatura de f en a.

Si y (a) = 0 (en la ecuacin de la recta, por ejemplo, y = m x + b ), la curvatura C = 0, y el radio de

curvatura es infinitamente grande. Cuando en una curva y(a) = 0 significa que en ese punto la curva

tiene curvatura nula y radio de curvatura infinito, y se dice que presenta en ese punto un elemento

infinitesimal de recta (elemento de geodsica), pudiendo corresponder a un punto de inflexin, donde

la curva no es ni cncava (la curva queda por arriba de la recta tg en el punto), ni convexa (la curva

queda por debajo de la recta tg en el punto). La curva es atravesada por la recta tg en el punto.

Cuando la curvatura C de una curva en un punto es muy grande, su radio de curvatura R es pequeo.

sta curvatura as definida se llama curvatura de flexin.

CRCULO OSCULADOR

Sabemos que por 3 puntos no alineados siempre pasa una circunferencia (que circunscribe al

tringulo formado por los 3 puntos), y que el centro de dicha circunferencia se llama circuncentro.

Conceptualmente se dice que 3 puntos consecutivos no alineados de una curva (no quedan definidos

en virtud del axioma de extremo superior de los reales) determinan el crculo osculador de la curva

en el punto del medio, bien que la curva sea plana o alabeada. Y estos 3 puntos no alineados

determinan 2 rectas que son las 2 tgs consecutivas de la curva, y el ngulo formado por dichas tgs

consecutivas es infinitamente pequeo. La pendiente de la semirrecta tg por izquierda en un punto la

da la derivada lateral izquierda de la funcin en el punto. La pendiente de la semirrecta tg por

derecha la da la derivada lateral derecha de la funcin en el punto. Cuando ambas derivadas laterales

son iguales, existe recta tg a la funcin en el punto y el punto de la curva se dice regular. Cuando

ambas derivadas laterales son distintas, no existe derivada de la funcin en el punto y la curva no

admite recta tg y el punto se denomina singular.

En un punto de inflexin de una curva las 2 tgs consecutivas son absolutamente coincidentes, y la

curva tiene 3 (o mas) puntos consecutivos alineados, o sea un elemento infinitesimal de recta

(elemento de geodsica). En el punto de inflexin la curvatura es nula ( y = 0 ), y el radio de

curvatura es infinitamente grande.

Vimos que la curvatura y el radio de curvatura, son inversos multiplicativos. El radio de curvatura de

una curva en un punto es el radio de su crculo osculador en dicho punto, y el centro de dicho crculo

es el centro de curvatura de la curva en el punto. Al lugar geomtrico de los centros de curvatura de

una curva (plana o alabeada), se lo llama curva evoluta de la curva dada. A una evoluta dada le

corresponden infinitas curvas evolventes (o desarrollantes o invulotas), y son todas curvas paralelas,

o sea curvas cuyos centros de curvatura estn sobre la evoluta dada..

La flecha azul indica la direccin de la normal principal de la hlice y el punto rojo es el centro de

curvatura de la hlice en el punto considerado (naranja). La curva roja es la evoluta de la hlice, y la

hlice es la evolvente, desarrollante o tambin involuta, de la evoluta.

La curva azul es la evoluta de la elipse roja. La elipse es la involuta de la azul..

Evoluta (roja) y evolvente o involuta (celeste)

CURVATURA DE TORSIN

Cuando una curva no es plana se dice que es gausa, alabeada o de doble curvatura, porque tiene

curvatura de flexin (la definida anteriormente, o sea la variacin de la tg a la curva) y curvatura de

torsin.

La curvatura de torsin de una curva en un punto es la razn de cambio del vector binormal respecto

del vector tg.

Cuando una curva posee curvatura de torsin (adems de la de flexin ) no nula es alabeada. En una

curva plana la torsin es nula ya que el vector binormal es continuamente perpendicular al plano que

contiene a la curva (plano osculador nico para todos los puntos de la curva).Y en una curva

alabeada, al ir cambiando el plano osculador (que contiene al crculo osculador), va cambiando,

punto a punto, tambin la recta binormal.

TRIEDRO DE FRENET EN UN PUNTO Dos tgs consecutivas de una curva ( son rectas conceptualmente distintas, pero en la prctica

opuestas ) en un punto determinan el plano osculador de la curva y en dicho plano, perpendicular a

la recta tg t se ubica la recta normal principal n a la curva en A. Y sobre dicha recta se encuentra el

centro de curvatura A, a una distancia igual al radio de curvatura R. La recta perpendicular al plano

osculador en el punto se llama binormal b. Y el plano formado por la binormal y la normal principal

es el plano normal a la curva en el punto A y es perpendicular a la recta tg a la curva en dicho punto.

El plano formado por la reta tg y la binormal se llama plano rectificante, que es ortogonal a la recta

normal principal.

El vector velocidad instantnea se ubica tg a la trayectoria ( recta tg t ), en el plano osculador , y

sobre dicho plano tambin se encuentra la normal principal n. El vector aceleracin tambin yace

sobre el plano osculador , hacia la parte cncava de la curva, y se lo descompone en dos

direcciones, la tangencial (vector t), y la normal (vector n); se obtiene as la aceleracin tangencial y

la centrpeta ( hacia el centro del crculo osculador ).

El clculo de la curvatura de torsin de una curva en un punto requiere disponer de la funcin

vectorial cuya imagen sea la curva, y en funcin de las derivadas 1ra y 2da de dicha funcin vectorial

se calcula esta curvatura.

Ejemplo de utilizacin de curvas.

El 25 de diciembre de 2004, a las 02:01:04.1830 CT, la sonda Huygens se separ de la nave

Cassini que la haba transportado desde la tierra hasta las cercanas de Titn, una luna se Saturno.

La nave Cassini sigui orbitando Saturno, y la sonda Huygens se empez a preparar para navegar

hacia Titn y tomar contacto con su superficie.

En estos grficos se puede ver la trayectoria de la Cassini. El punto naranja indica la posicin de la

nave en el momento en que se desprendi la sonda Huygens.

El 14 de Enero de 2005 a las 12:06:58.7910 CT la Huygens se posaba en la superficie de Titn,