curso ingeniería sísmica

UNIENSEÑA Estructuras

Curso

Ingeniería Sísmica

INGENIERÍA SÍSMICAIng. Waldo Inga Docente JP UNI/FIC-CIP:194293

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1.1. RIGIDEZ LATERAL DE COLUMNAS

1. RIGIDEZ LATERAL DE PÓRTICOS

Definición de rigidez

Se define como rigidez a la capacidad que tiene un elemento o estructura de oponerse a las deformaciones ante la acción

de una determinada carga.

Para verticales como columnas y muros, se determina como la fuerza lateral aplicada dividida por el desplazamiento

lateral que esta genera.

Rigidez lateral de una columna bi-empotrada

Momentos en los extremos:

𝑀𝑖𝑗 = −𝑀𝑗𝑖 =6𝐸𝐼∆

ℎ2

Fuerza lateral:

𝑉ℎ = 𝑀𝑖𝑗 +𝑀𝑗𝑖

𝑉ℎ =12𝐸𝐼∆

ℎ2→ 𝑉 =

12𝐸𝐼∆

ℎ3

Rigidez lateral (V/Δ):

𝐾𝑏𝑒 =12𝐸𝐼

ℎ3

Donde:

V , es la fuerza lateral

Δ , es la deformación lateral

E , módulo de elasticidad

I , momento de inercia

h , altura de la columna

Kbe , rigidez lateral bi-empotrada

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1.2. MÉTODOS APROXIMADOS PARA DETERMINAR LA RIGIDEZ LATERAL DE PÓRTICOS


a) Fórmulas de Muto

Kvi : Rigidez relativa de vigas (Iv/Lv)

Kc : Rigidez relativa de columna (Ic/Lc)

ഥ𝐾 =𝐾𝑉1 + 𝐾𝑉2

𝐾𝐶

𝑎 =0.50 + ഥ𝐾

2 + ഥ𝐾

ഥ𝐾 =𝐾𝑉1 + 𝐾𝑉2

𝐾𝐶

𝑎 =0.50ഥ𝐾

1 + 2ഥ𝐾

ഥ𝐾 =𝐾𝑉1 + 𝐾𝑉2 + 𝐾𝑉3 + 𝐾𝑉4

2𝐾𝐶

𝑎 =ഥ𝐾

2 + ഥ𝐾

Se debe tener en cuenta que

para el cálculo de la rigidez

lateral de una columna se

debe multiplicar el valor “a”

por la rigidez de la misma

columna bi-empotrada.

𝐾𝑐𝑜𝑙 = 𝑎(𝐾𝑏𝑒)

Caso (a) Caso (b) Caso (c)


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Ejemplo 1.1) Determine la rigidez lateral usando las expresiones de Muto del siguiente pórtico de concreto f’c=280kgf/cm².

Considere que las dimensiones están dadas a los ejes.

Solución) Primero se calculan el módulo de elasticidad y las inercias de cada sección.

𝐸𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝐸 = 15100 𝑓𝑐′ = 15100 280 = 252671.33𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2

𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐴𝐵: 𝐼𝐴𝐵 =(25)(453)

12= 189843.75𝑐𝑚4

𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐶𝐷: 𝐼𝐶𝐷 =(25)(303)

12= 56250𝑐𝑚4

𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝐵𝐶: 𝐼𝐵𝐶 =(25)(403)

12= 133333.33𝑐𝑚4


Caso A) Columna empotrada

Viga 1

b1 : 0 cm base

h1 : 0 cm peralte

L1 : 0 cm longitud

I1 : 0.00 cm⁴ inercia

Kv1 : 0.00 cm³ rigidez realtiva

Viga 2

b2 : 25 cm base

h2 : 40 cm peralte

L2 : 400 cm longitud

I2 : 133333.33 cm⁴ inercia


Columna

bc : 25 cm base

hc : 45 cm peralte

Lc : 300 cm longitud

Ic : 189843.75 cm⁴ inercia

Kc : 632.81 cm³ rigidez realtiva

Kbe : 21.32 tonf/cm rigidez lateral bi-empotrada

Rigidez lateral de columna

Ǩ : 0.527

a : 0.406

KAB : 8.663 tonf/cm rigidez lateral de la columna

Caso B) Columna articulada

Viga 1

b1 : 0 cm base

h1 : 0 cm peralte

L1 : 0 cm longitud

I1 : 0.00 cm⁴ inercia


Viga 2

b2 : 25 cm base

h2 : 40 cm peralte

L2 : 400 cm longitud

I2 : 133333.33 cm⁴ inercia


Columna

bc : 25 cm base

hc : 30 cm peralte

Lc : 300 cm longitud

Ic : 56250.00 cm⁴ inercia

Kc : 187.50 cm³ rigidez realtiva

Kbe : 6.32 tonf/cm rigidez lateral bi-empotrada

Rigidez lateral de columna

Ǩ : 1.778

a : 0.195

KCD : 1.233 tonf/cm rigidez lateral de la columna

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1. RIGIDEZ LATERAL DE PÓRTICOSINGENIERÍA SÍSMICAIng. Waldo Inga Docente JP UNI/FIC-CIP:194293

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La rigidez lateral del pórtico viene dada por la sumatoria de las rigideces de las columnas que lo componen.

𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜: 𝐾𝐿 = 𝐾𝐴𝐵 + 𝐾𝐶𝐷

𝐾𝐿 =8.663𝑡𝑜𝑛𝑓

𝑐𝑚+1.233𝑡𝑜𝑛𝑓

𝑐𝑚𝐾𝐿 = 9.896𝑡𝑜𝑛𝑓/𝑐𝑚


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1.2. MÉTODOS APROXIMADOS PARA DETERMINAR LA RIGIDEZ LATERAL DE PÓRTICOS


b) Fórmulas de Wilbur

Con estas fórmulas se encuentran rigideces de todo un nivel, con la condición de que las columnas estén todas

empotradas o todas articuladas.

Parámetros a tener en cuenta:

𝐾𝑛: 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 n

𝐾𝑣𝑛: 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 n

𝐾𝑐𝑛: 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 n

ℎ𝑛: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 n

𝑚, 𝑛, ϴ: í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛 3 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎


8


Rigidez lateral para el 1er nivel

Columnas empotradas

𝐾1 =48𝐸

ℎ14ℎ1∑𝐾𝑐1

+ℎ1 + ℎ2

∑𝐾𝑣1 +∑𝐾𝑐112

Columnas articuladas

𝐾1 =24𝐸


+2ℎ1 + ℎ2∑𝐾𝑣1

Rigidez lateral para el 2do nivel

Columnas empotradas

𝐾2 =48𝐸


+ℎ1 + ℎ2

∑𝐾𝑣1 +∑𝐾𝑐112

+ℎ2 + ℎ3∑𝐾𝑣2

Columnas articuladas

𝐾2 =48𝐸


+2ℎ1 + ℎ2∑𝐾𝑣1

+ℎ2 + ℎ3∑𝐾𝑣2

Rigidez lateral para el 3er nivel y niveles superiores

𝐾𝑛 =48𝐸

ℎ𝑛4ℎ𝑛∑𝐾𝑐𝑛

+ℎ𝑚 + ℎ𝑛∑𝐾𝑣𝑚

+ℎ𝑛 + ℎϴ∑𝐾𝑣𝑛


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2.1. ESTRUCTURAS DE 1GDL Y SUS PARÁMETROS DINÁMICOS

2. DINÁMICA ESTRUCTURAL PARA 1GDL

Existen muchas estructuras que pueden analizarse como sistemas de un grado de libertad (1GDL), esto debido a que su

simplicidad estructural ayudan a simplificar la respuesta dinámica. Dentro de estas estructuras tenemos a los pórticos de

un nivel, tanques elevados, edificaciones de baja altura, pilares de puentes, etc.


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Las estructuras en general tienen características importantes como:

- Masa (m)

- Rigidez (K)

- Amortiguamiento (C), este parámetro depende del parámetro de amortiguamiento crítico.

Dentro de los parámetros más importantes en los sistemas dinámicos se tienen los siguientes:

- Frecuencia angular: 𝜔 = Τ𝐾 𝑚 (𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)- Frecuencia natural: 𝑓 = 1/𝑇

- Periodo fundamental: T =2𝜋

𝜔(𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜)


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2. DINÁMICA ESTRUCTURAL PARA 1GDLINGENIERÍA SÍSMICAIng. Waldo Inga Docente JP UNI/FIC-CIP:194293

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2.2. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA


La ecuación general de movimiento para sistemas de 1GDL viene dada por la siguiente expresión:

𝒎 ሷ𝒖 + 𝒌𝒖 = 𝟎Donde:

m, es la masa de la estructura

k, es la rigidez lateral de la estructura

𝑢, es el desplazamiento

ሷ𝑢, es la aceleración

Chopra A.K. Dynamics of Structures. 2a edición. Prentice Hall, N.J. 2001.


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2.2. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA


Chopra A.K. Dynamics of Structures. 2a edición. Prentice Hall, N.J. 2001.


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2.2. VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA


Chopra A.K. Dynamics of Structures. 4th edition. Prentice Hall, N.J. 2012.

La ecuación general de movimiento para sistemas de 1GDL amortiguados, viene dada por la siguiente expresión:

𝒎 ሷ𝒖 + 𝒄 ሶ𝒖 + 𝒌𝒖 = 𝟎Donde:

m, es la masa de la estructura

k, es la rigidez lateral de la estructura

𝑢, es el desplazamiento

ሶ𝑢, es la velocidad

ሷ𝑢, es la aceleraciónSuele

considerarse el

parámetro de

amortiguamiento

crítico ξ, también

por el término β.


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2.2. VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA


Chopra A.K. Dynamics of Structures. 4th edition. Prentice Hall, N.J. 2012.

Para las estructuras en el área

de la ingeniería civil, se

consideran estructuras sub-

amortiguadas (underdamped).


Ejemplo 2.1) Del ejemplo 1.1 del acápite anterior, considere que se tiene una carga distribuida de 5tonf/m sobre la viga BC,

esta carga incluye el peso del pórtico. Se pide calcular sus parámetros dinámicos y la gráfica de respuesta en

desplazamiento cuando el movimiento se inicia con un desplazamiento inicial de 1cm a la derecha. Considere 𝛽 = 5%.

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Solución) Primero se calculan las características dinámicas.

𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧: 𝑘 = 989.6𝑡𝑜𝑛𝑓/𝑚𝑚𝑎𝑠𝑎: 𝑚 = (5𝑡𝑜𝑛𝑓/𝑚)(4𝑚)/𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 = 2.04𝑡𝑜𝑛𝑓. 𝑠2/𝑚

𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝜔 = 9.896/2.04 = 22.03𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑎: 𝜔𝐷 = 𝜔 1 − 𝛽2 = 22.00𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙: 𝑇 = 2𝜋/22.03 = 0.29𝑠


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Datos iniciales Respuesta dinámica

w : 5 tonf/m carga distribuida

k : 989.6 tonf/m rigidez lateral

β : 5% fracción de amortiguamiento

g : 9.81 m/s² aceleración de la gravedad

u(o) : 0.01 m desplazamiento inicial

ů(o) : 0 m/s velocidad inicial

Características dinámicas

P : 20.00 tonf peso de la estructura

m : 2.04 tonf-s²/m masa de la estructura

Ꞷ : 22.03 rad/s frecuencia angular

ꞶD : 22.00 rad/s frecuencia angular

T : 0.29 s periodo natural

f : 3.51 Hz frecuencia natural

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

De

sp

laza

mie

nto

u(c

m)

Tiempo t(s)


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3. ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO (E030-2016)INGENIERÍA SÍSMICAIng. Waldo Inga Docente JP UNI/FIC-CIP:194293

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3. ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO (E030-2016)

Ejemplo 3.1) Calcular las fuerzas laterales que se generan al considerar un análisis estático según la norma peruana

sismorresistente E030-2016.


20


Solución) Primero se calculan los parámetros sísmicos brindados en la norma E030-2016.

𝒁 = 𝟎. 𝟒𝟓


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Zona sísmica

Categoría de edificaciones y factor de uso Regularidad estructural

Factor de amplificación sísmica𝑼 = 𝟏. 𝟑

𝑰𝒂 = 𝟏; 𝑰𝒑 = 𝟏


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Parámetros de sitio

Coeficiente de reducción



𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒆𝒍𝒐:𝑺 = 𝟏. 𝟎𝟓

𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒐:𝑻𝑷 = 𝟎. 𝟔𝟎𝒔

𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒓𝒈𝒐:𝑻𝑳 = 𝟐. 𝟎𝟎𝒔


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Periodo fundamental

La estructura en estudio está constituidapor muros estructurales:

𝑪𝑻 = 𝟔𝟎

Altura total de l edificio:𝒉𝒏 = 𝟐𝟖. 𝟒𝟎𝒎

Periodo fundamental aproximado:

𝑻 =𝟐𝟖. 𝟒𝟎

𝟔𝟎𝑻 = 𝟎. 𝟒𝟕𝒔 < 𝑻𝑷 = 𝟎. 𝟔𝟎𝒔


Tipo de sistemas estructurales

Distribución de fuerzas sísmicas

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Regularidad estructural

Factor de amplificación sísmica

𝑻 = 𝟎. 𝟒𝟕𝒔 < 𝑻𝑷 = 𝟎. 𝟔𝟎𝒔 → 𝑪 = 𝟐. 𝟓

𝑹𝒐 = 𝟔


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𝑹 = 𝟔 𝟏 𝟏 = 𝟔





𝑻 = 𝟎. 𝟒𝟕𝒔 < 𝟎. 𝟓𝒔 → 𝒌 = 𝟏


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NIVEL h (m) H (m) Peso (ton) P*H^k αi Fi (ton) Vi (ton)

8 3.50 28.40 340.00 9,656 0.166 158.82 158.82 158.82 →

7 3.50 24.90 480.00 11,952 0.205 196.59 355.41 196.59 →

6 3.50 21.40 480.00 10,272 0.177 168.95 524.36 168.95 →

5 3.50 17.90 480.00 8,592 0.148 141.32 665.68 141.32 →

4 3.50 14.40 480.00 6,912 0.119 113.69 779.37 113.69 →

3 3.50 10.90 480.00 5,232 0.090 86.06 865.43 86.06 →

2 3.50 7.40 480.00 3,552 0.061 58.42 923.85 58.42 →

1 3.90 3.90 520.00 2,028 0.035 33.36 957.21 33.36 →

∑= 3,740 58,196

Finalmente en el siguiente cuadro se calculan las fuerzas inerciales en cada nivel y las fuerzas cortantes de cada entrepiso.


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Proyecto usando el programa de cómputo SAP2000

Datos: Edificio de 5 niveles

𝑈𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐿𝑖𝑚𝑎𝑈𝑠𝑜: 𝑂𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎𝑠

𝑆𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜: 𝑆2𝐶𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜: 𝑓𝑐

′ = 280𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2

𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠: 𝐶30𝑥40𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑋: 𝑉30𝑥60𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑌: 𝑉30𝑥40

𝐿𝑜𝑠𝑎 𝑚𝑎𝑐𝑖𝑧𝑎: 𝑒 = 15𝑐𝑚𝐴𝑐𝑎𝑏𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑤𝑎𝑐𝑏 = 100𝑘𝑔𝑓/𝑚2

𝑡𝑎𝑏𝑖𝑞𝑢𝑒𝑟í𝑎: 𝑤𝑡𝑎𝑏 = 100𝑘𝑔𝑓/𝑚2


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4. MODOS DE VIBRACIÓN Y FRECUENCIAS ANGULARES

Matriz de masa y rigidez

Apuntes de clase, curso de Ingeniería Sismorresistente, Dr. Javier Piqué


29


Matriz de masa y rigidez


𝑲 =

𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 −𝒌𝟐 𝟎 𝟎−𝒌𝟐 𝒌𝟐 + 𝒌𝟑 −𝒌𝟑 𝟎

𝟎𝟎

−𝒌𝟑𝟎

⋱−𝒌𝒏−𝟏

−𝒌𝒏−𝟏𝒌𝒏

𝑴 =

𝒎𝟏 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝒎𝟐 𝟎 𝟎

𝟎𝟎

𝟎𝟎

⋱𝟎

𝟎𝒎𝒏

Las matrices de masa y rigidez se pueden generalizar obteniéndose las siguientes expresiones:


30


Ch

op

raA

.K.D

ynam

ics

of

Str

uct

ure

s.2a

ed

ició

n.P

rentice

Hall,

N.J.2001.

Modos de vibración


31


Ch

op

raA

.K.D

ynam

ics

of

Str

uct

ure

s.2a

ed

ició

n.P

rentice

Hall,

N.J.2001.

N raíces

correspondientes

a N frecuencias

angulares.


32


Ap

un

tes

de

clase

,cu

rso

de

Ing

enie

ría

Sis

mo

rresi

stente

,D

r.Ja

vier

Piq

ué


33


Ap

un

tes

de

clase

,cu

rso

de

Ing

enie

ría

Sis

mo

rresi

stente

,D

r.Ja

vier

Piq

ué


34


Ap

un

tes

de

clase

,cu

rso

de

Ing

enie

ría

Sis

mo

rresi

stente

,D

r.Ja

vier

Piq

ué


35




36


Ejemplo 4.1) Calcular los modos de vibración y sus respectivas frecuencias angulares para un edificio de 3 pisos.


37


Solución)

Resumen de valores para las frecuencias:

w1 = 20.357 rad/seg → T1 = 0.3087 seg

w2 = 52.327 rad/seg → T2 = 0.1201 seg

w3 = 77.392 rad/seg → T3 = 0.0812 seg

Resumen de valores para las frecuencias:

w1 = 20.357 rad/seg → T1 = 0.3087 seg

w2 = 52.327 rad/seg → T2 = 0.1201 seg

w3 = 77.392 rad/seg → T3 = 0.0812 seg


38


Modo 1: w1 = 20.357 rad/seg

1426.81 -750.00 0.00 x11 0 x11 = 1.0000

-750.00 1197.93 -600.00 x x12 = 0 → x12 = 1.9024

0.00 -600.00 447.93 x13 0 x13 = 2.5483

1.000 1.902 2.548 0.418 0.000 0.000 1.000 φ11 = 0.492

0.000 0.367 0.000 1.902 φ12 = 0.936

2.032 0.000 0.000 0.367 2.548 φ13 = 1.254


455.64 -750.00 0.00 x11 0 x21 = 1.0000

-750.00 345.20 -600.00 x x12 = 0 → x22 = 0.6075

0.00 -600.00 -404.80 x13 0 x23 = -0.9005

1.000 0.608 -0.900 0.418 0.000 0.000 1.000 φ21 = 1.084

0.000 0.367 0.000 0.608 φ22 = 0.659

0.922 0.000 0.000 0.367 -0.900 φ23 = -0.976


-903.29 -750.00 0.00 x11 0 x31 = 1.0000

-750.00 -848.01 -600.00 x x12 = 0 → x32 = -1.2044

0.00 -600.00 -1598.01 x13 0 x33 = 0.4522

1.000 -1.204 0.452 0.418 0.000 0.000 1.000 φ31 = 0.988

0.000 0.367 0.000 -1.204 φ32 = -1.189

1.013 0.000 0.000 0.367 0.452 φ33 = 0.447

1 𝑥1 =

1 𝑥1 =

1 𝑥1 =

1 𝑥1 =

1 𝑥1 =

1 𝑥1 =


39


Modo 1

20.357 rad/seg frecuencia angular

0.309 rad/seg periodo

0.492 nivel 1

0.936 nivel 2

1.254 nivel 3

Modo 2



1.084 nivel 1

0.659 nivel 2

-0.976 nivel 3

Modo 3



0.988 nivel 1

-1.189 nivel 2

0.447 nivel 3

1 =

T1 =

1 =

1.254

0.936

0.492

00

1

2

3

2 =

T2 =

2 =

-0.976

0.659

1.084

00

1

2

3

3 =

T3 =

3 =

0.447

-1.189

0.988

00

1

2

3


40

5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)

Ap

un

tes

de

clase

,cu

rso

de

Ing

enie

ría

Sis

mo

rresi

stente

,D

r.Ja

vier

Piq

ué


41


Ap

un

tes

de

clase

,cu

rso

de

Ing

enie

ría

Sis

mo

rresi

stente

,D

r.Ja

vier

Piq

ué


42


Ap

un

tes

de

clase

,cu

rso

de

Ing

enie

ría

Sis

mo

rresi

stente

,D

r.Ja

vier

Piq

ué


43

5. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO MODAL ESPECTRAL (E030-2016)INGENIERÍA SÍSMICAIng. Waldo Inga Docente JP UNI/FIC-CIP:194293

44


Ejemplo 5.1) Calcular los desplazamientos máximos y derivas máximas esperadas usando un análisis modal con el espectro

de la normativa peruana sismorresistente E030-2018. Utilice una combinación cuadrática para las respuestas máximas

esperadas y verifique si cumplen con los límites de la norma.


45


Solución)


46


𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧: 𝐾 = 𝐾1 + 𝐾2 −𝐾2 0−𝐾2 𝐾2 + 𝐾3 −𝐾3

0 −𝐾3 𝐾3

𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎: 𝑀 = 𝑚1 0 00 𝑚2 00 0 𝑚3


47


Modo 1



0.492 nivel 1

0.936 nivel 2

1.254 nivel 3

Modo 2



1.084 nivel 1

0.659 nivel 2

-0.976 nivel 3

Modo 3



0.988 nivel 1

-1.189 nivel 2

0.447 nivel 3

1 =

T1 =

1 =

1.254

0.936

0.492

00

1

2

3

2 =

T2 =

2 =

-0.976

0.659

1.084

00

1

2

3

3 =

T3 =

3 =

0.447

-1.189

0.988

00

1

2

3


48


49


50


51


52


Desplazamientos elásticos máximos de entrepisos

Desplazamientos para el modo 1:

0.492 nivel 1 0.221 nivel 1

1.009 0.444 0.936 nivel 2 = 0.419 nivel 2 (cm)

1.254 nivel 3 0.562 nivel 3


1.084 nivel 1 0.025 nivel 1

0.337 0.067 0.659 nivel 2 = 0.015 nivel 2 (cm)

-0.976 nivel 3 -0.022 nivel 3


0.988 nivel 1 0.004 nivel 1

0.140 0.031 -1.189 nivel 2 = -0.005 nivel 2 (cm)

0.447 nivel 3 0.002 nivel 3

Combinacion cuadrática

0.222 nivel 1 →

0.420 nivel 2 (cm) →

0.562 nivel 3 →

𝑢1 =

𝒖𝟏 = 𝟏𝑺𝒅𝟏( 𝟏)

𝑢2 =

𝒖𝟐 = 𝟐𝑺𝒅𝟐( 𝟐)

𝑢3 =

𝒖𝟑 = 𝟑𝑺𝒅𝟑( 𝟑)

𝑢 =

(0.221)2+(0.025)2+ (0.004)2

(0.419)2+(0.015)2+ (−0.005)2

(0.562)2+(−0.022)2+ (0.002)2


53


Derivas inelásticas máximas

Derivas para el modo 1:

0.0029 nivel 1 →

0.0034 nivel 2 →

0.0025 nivel 3 →


0.0003 nivel 1 →

0.0002 nivel 2 →

0.0006 nivel 3 →


0.0001 nivel 1 →

0.0002 nivel 2 →

0.0001 nivel 3 →

Combinacion cuadrática

0.0029 nivel 1 →

0.0035 nivel 2 →

0.0025 nivel 3 →

∆1=

𝟏 = 𝟎.𝟕𝟓 (𝒖𝒊𝟏 −𝒖𝒊−𝟏

𝟏 )/𝒉𝒊

∆2=

𝟐 = 𝟎.𝟕𝟓𝑹(𝒖𝒊𝟐 −𝒖𝒊−𝟏

𝟐 )/𝒉𝒊

0.75𝑥6𝑥 (0.365 − 0) /340

0.75𝑥6𝑥 (0.222 − 0.365) /260

0.75𝑥6𝑥 (−0.329 − 0.222) /260

0.75𝑥6𝑥 (0.221 − 0) /340

0.75𝑥6𝑥 (0.419 − 0.221) /260

0.75𝑥6𝑥 (0.562 − 0.419) /260

∆3=

𝟑 = 𝟎.𝟕𝟓𝑹(𝒖𝒊𝟑 −𝒖𝒊−𝟏

𝟑 )/𝒉𝒊

0.75𝑥6𝑥 (0.004 − 0) /340

0.75𝑥6𝑥 (−0.005 − 0.004) /260

0.75𝑥6𝑥 (0.002 + 0.005) /260

∆ =

(0.0029)2+(0.0003)2+ (0.0001)2

(0.0034)2+(0.0002)2+ (0.0002)2

(0.0025)2+(0.0006)2+ (0.0001)2


54


Proyecto usando el programa de cómputo ETABS

Datos: Edificio de 5 niveles

𝑈𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐿𝑖𝑚𝑎𝑈𝑠𝑜: 𝑂𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎𝑠

𝑆𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜: 𝑆2𝐶𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜: 𝑓𝑐

′ = 280𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2

𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠: 𝐶30𝑥40𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑋: 𝑉30𝑥60𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑌: 𝑉30𝑥40

𝐿𝑜𝑠𝑎 𝑚𝑎𝑐𝑖𝑧𝑎: 𝑒 = 15𝑐𝑚𝐴𝑐𝑎𝑏𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑤𝑎𝑐𝑏 = 100𝑘𝑔𝑓/𝑚2

𝑡𝑎𝑏𝑖𝑞𝑢𝑒𝑟í𝑎: 𝑤𝑡𝑎𝑏 = 100𝑘𝑔𝑓/𝑚2


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