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CENTRO UNIVERSITÁRIO PLANALTO DO DISTRITO FEDERAL – UNIPLAN

APOSTILA DE CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA – CGA

CURSO: ENGENHARIA CIVILPROFª: MARIA BEATRIZ SENA BRIGNOL

ÁGUAS CLARAS- DF

- 2017/2 -

CURSO: ENGENHARIA – CICLO BÁSICO DISCIPLINA: CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA – CGA UNIDADES – I/II/III/IV – LIMITES E DERIVADAS PROFª: Maria Beatriz Sena Brignol

S U M Á R I O

UNIDADE I – NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITES/LIMITES LATERAIS

1. Noção Intuitiva de Limite............................................................................................................ 032. Definição Intuitiva de Limite ...................................................................................................... 043. Principais Propriedades dos Limites .......................................................................................... 054. Funções Contínuas .................................................................................................................... 065. Limites Infinitos e Limites Para x Tendendo ao Infinito ............................................................ 06

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 01 – NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITES ................................................................. 08

UNIDADE II – DERIVADAS: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA E CINEMÁTICA – TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO

6. Derivadas .................................................................................................................................... 097. Interpretação Geométrica da Derivada ...................................................................................... 098. Interpretação Cinemática da Derivada ....................................................................................... 099. A Derivada de uma Função num Ponto, utilizando a Definição de Derivadas............................. 1010. Sinal da Derivada ......................................................................................................................... 1011. Sumário das Informações que podem ser obtidas com as derivadas.......................................... 1012. Critério Geral para Classificação dos Pontos Críticos de uma Função.......................................... 1113. Dez Passos para o Traçado de Gráfico de Funções....................................................................... 11

UNIDADE III – REGRAS OPERACIONAIS/TABELA DE DERIVADAS

14. Regras Operacionais de Derivadas ................................................................................................ 1115. TABELA DE DERIVADAS .................................................................................................................. 12

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 02/03 – II – DERIVADAS: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA/CINEMÁTICA............. 13

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 04 – UNIDADE IV – PROBLEMAS APLICADOS – DERIVADAS ................................ 14

16. ELASTICIDADE ................................................................................................................................. 16

CENTRO UNIVERSITÁRIO PLANALTO DO DISTRITO FEDERAL – UNIPLAN Página 2


1. Noção Intuitiva de Limite : Considere a função f ( x )=x2−1 , esta função está definida para todo x∈❑R , isto é, qualquer que seja o nº real x ,❑o valor de f ( x ) está bem definido.

Exemplo 1. Se x0=2 então f (2 )=4−1=3. Dizemos que a Imagem de x0=2 é o valor f (2 )=3.Graficamente, temos: y

3

0 2 x

Considere agora uma outra função g( x )=x2−1x−1

. Esta função está definida para qualquer x∈❑R− {1 } . Isto significa que

não podemos estabelecer uma Imagem quando x❑assume o valor 1. g(1 )=12−11−1

=00

?? Quando dividimos a por b

procuramos um nº c tal que b×c resulte em a. Portanto, ab=c⟺b×c=a .

❑

Por exemplo: 62=3⟺2×3=6.

❑

Se fizermos 00=x⟺0×x=0 , paraqualquer valor de x∈❑R , isto é, infinitos valores de x .❑Dai a indeterminação

no valor de x….❑ 00 simboliza uma Indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminação serão tratados mais

adiante. Como a variável x não pode assumir o valor 1na função g ,❑vamos estudar o comportamento desta função quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a seguinte pergunta: Qual o comportamento da função g❑quando x❑assume valores muito próximos (ou numa vizinhança) de 1, porém diferente de 1?A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função, numa vizinhança de um ponto(que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f ,❑qualquer valor atribuído a x❑determina imagem única, sem problema algum. Mas na função g❑existe o ponto x=1❑que gera indeterminação. Estudemos os valores da

função g( x )=x2−1x−1

quando x❑assume valores próximos de 1, mas diferente de 1. Para isso vamos utilizar as tabelas

de aproximações. Podemos nos aproximar do ponto 1: Por valores de x❑pela direita:

1 +∞ Por valores de x❑pela esquerda:

−∞ 1 Tabelas de aproximações: São utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto.Atribuindo a x❑valores próximos de 1, porém menores (pela esquerda) do que 1: (Tabela A)x❑ 0 0,

50,75 0,9 0,99 0,99

90,9999

g( x ) 1 1,5

1,75 1,9 1,99 1,999

1,9999

Atribuindo a x❑valores próximos de 1, porém maiores (pela direita) do que 1: (Tabela B)x❑ 2 1,5 1,25 1,1 1,0

11,001 1,0001

g( x ) 3 2,5 2,25 2,1 2,01

2,001 2,0001

Observe que podemos tornar g( x ) tão próximo de 2 quanto desejarmos bastando para isso tornarmos x❑

suficientemente próximo de 1. De outra forma, convencionaremos:



“O limite da função g( x ) quando x❑se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2”.

Simbolicamente escrevemos: limx→ 1−¿ g ( x )=2¿

¿ ou lim

x→ 1+¿ x2−1x−1 =2.¿

¿

Os dois tipos de aproximações que vimos nas Tabelas A e B são chamados de Limites Laterais. Quando x❑tende a 1 por valores menores do que 1 (Tabela A), dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos

simbolicamente por x→1−1 . Temos então que: lim

x→ 1−¿ g ( x )=2ou limx→1−¿ x2−1

x−1=2 ¿

¿ ¿¿

Obs: O sinal negativo no expoente do nº

1 simboliza apenas que x❑se aproxima do nº 1 pela esquerda. Quando x❑tende a 1 por valores maiores do que 1 (Tabela B), dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos

simbolicamente por x→1+1 . Temos então que: lim

x→1+¿ g ( x )=2ou limx→ 1+ ¿ x2−1

x−1=2 ¿

¿ ¿¿

Obs: O sinal positivo no expoente do nº 1 simboliza apenas que x❑se aproxima do nº 1 pela direita.

2. Definição Intuitiva de Limite (para um caso geral): Seja f❑uma função definida num intervalo I⊂R❑contendo a❑ , exceto possivelmente no próprio a❑ . Dizemos que o limite de f ( x )quando x❑se aproxima de a❑é L∈R ,❑e escrevemos limx→a❑

f ( x )=L, se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a❑são iguais a L , isto é lim

x→a−¿ f ( x )= limx→a+¿ f ( x )=¿L .¿

¿¿¿¿ Caso contrário, dizemos que o limite não existe. Portanto, ∄ lim

x→a+¿ f (x ) . ¿¿

Então, em relação à função g( x )=x2−1x−1

, podemos concluir, pela Definição, que: limx→1

x2−1x−1

=2 , porque os limites

laterais lim

x→1−¿ x2−1x−1 e lim

x →1+¿ x 2−1x−1

são iguais a2.

¿¿¿

¿

De forma equivalente: limx→1

g ( x )=¿2¿ porque os limites laterais limx→ 1−¿g ( x ) e lim

x→1+¿ g( x )=2¿¿ ¿

¿.

Obs.: Será necessário sempre construir Tabelas de aproximações para determinar o limite de uma função, caso ele

exista?? Não!! Há uma forma bem mais simples, como veremos à seguir: Cálculo de uma indeterminação do tipo 00

Sempre que nos deparamos com uma indeterminação do tipo 00 , deveremos “simplificar” a expressão da função

envolvida. Logo após, calculamos o limite da função substituindo, na expressão já simplificada, o valor de x .❑Para simplificar a expressão você pode utilizar fatoração, conjugado de radical, dispositivo prático de Briot-Ruffini para dividir polinômio, etc...

Exemplo 1: Determine y=¿❑¿ limx→1

g ( x ) , onde g( x )=x2−1x−1

. Observe que substituindo x❑por 1 na função g❑

obtemos g(1 )=00 que representa uma indeterminação matemática (Quando a variável

x❑ está cadavezmais próximade1 , a função g está cada vez mais próxima de quanto??) . Devemos então simplificar a expressão da função g❑e depois fazer a substituição direta .

g(1 )=x2−1x−1

=( x−1 ) ( x+1 )

( x−1 )= ( x+1 ) paraqualquer x≠1.❑Então

limx→1

g ( x )= limx→ 1

x2−1x−1

=( x−1 ) ( x+1 )

( x−1 )= (x+1 )=1+1=2. Logo, lim

x→1

x2−1x−1

=( x−1 ) ( x+1 )

( x−1 )=2.

Chegamos na mesma conclusão da análise feita pelas Tabelas de aproximações, porém de uma forma mais rápida e sistemática.



Vale lembrar que a expressão limx→1

x2−1x−1

=2 significa que a função g( x )=x2−1x−1

está tão próxima de 2 assim como x❑

está suficientemente próximo de 1, porém diferente de 1. Graficamente podemos verificar isso:

Gráfico da função g( x )=x2−1x−1

, ∀ x≠1 .

Exemplo 2: Determine y=¿❑ limx→1

√x−1x2−1

¿ (Observe a indeterminação 00 no ponto x=1¿ .¿❑

Para resolver esse limite utilizaremos a técnica do conjugado: limx→1

(√x−1)(√ x+1)(x2−1 )(√x+1)

=( x−1)

( x−1 ) ( x+1 )(√x+1)=

1( x+1 )(√x+1)=

1(1+1 )(√1+1) =

14 . Conclusão: y=¿❑ lim

x→1

√x−1x2−1

¿ está cada vez mais próximo de 14 à medida que x

se aproxima de 1 tanto pela esquerda quanto pela direita.


x3−83 x2−12

¿ (Observe a indeterminação 00 no ponto x=2¿ .¿❑Para resolver este

limite utilizaremos a técnica da fatoração, dispositivo prático de Briot-Ruffini para dividir polinômios. (Numerador e

denominador): limx→2

x3−83 x2−12

=(x¿¿2+2x−4)(x−2)

(3 x+6)(x−2)¿=1212

=1. Conclusão: y=¿❑ limx→2

x3−83 x2−12

¿ está cada vez

mais próximo de 1 à medida que x❑se aproxima de 2 tanto pela esquerda quanto pela direita.-


2 x3+3 x−54 x2−3 x−1

¿ (Observe a indeterminação 00 no ponto x=1¿ . ¿❑Para resolver este

limite utilizaremos a técnica da fatoração, dispositivo prático de Briot-Ruffini para dividir polinômios. (Numerador e

denominador): y=¿❑ limx→1

2 x3+3 x−54 x2−3 x−1

=95.¿ Conclusão: y=¿❑ lim

x→1

2 x3+3 x−54 x2−3 x−1

¿ está cada vez mais próximo de

95 à medida que x❑se aproxima de 1 tanto pela esquerda quanto pela direita.

ALGUMAS FÓRMULAS QUE AUXILIAM AS SIMPLIFICAÇÕES NOS CÁLCULOS DOS LIMITES:PRODUTOS NOTÁVEIS:1º) QUADRADO DA SOMA: (a+b)2=a2+2ab+b2

2º) QUADRADO DA DIFERENÇA: (a−b)2=a2−2ab+b2

3º) PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA: (a+b ) (a−b )=a2−b2

4º) CUBO DA SOMA: (a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3

5º) CUBO DA DIFERENÇA: (a−b )3=a3−3a2b+3ab2−b3

FATORAÇÕES:6º) FATOR COMUM: ax ±ay=a (x± y)7º) DIFERENÇA DE QUADRADOS: a2−b2=(a+b)(a−b)


g

2

0 1 x

{x→1−¿⟹g=2¿ x→1+¿⟹ g=2¿⟺ limx→1

x2−1x−1

=2.


8º) TRINÔMIO DO 2º GRAU:ax2+bx+c=a ( x−x' ) (x−x ' ' ) , onde x ' e x ' ' sãoraízes daequação

obtidas pela Fórmulade Bháskara :−b±√b2−4 ac2a

9º) SOMA DE CUBOS: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)10º) DIFERENÇA DE CUBOS: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)CONJUGADO DE RADICAIS:11º) CONJUGADO DE √a−√bé √a+√b , pois (√a−√b ) (√a+√b )=a−bPROPOSIÇÃO (UNICIDADE DO LIMITE):Se lim

x→a❑f ( x )=L1 e lim

x→a❑f (x )=L2 ,então L1=L2. Se o Limite de uma função num ponto existe, então ele é único.

3. PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS LIMITES: Se limx→a❑

f ( x )e limx→a❑

g( x ) existem, e k é um número real qualquer, então:

(a) limx→a

[ ( f ( x)± g(x))¿]=limx→a

f (x)± limx→a

g(x)¿.

(b) limx→a

k . f (x)=k . limx→a

f (x)

(c) limx→a

[ ( f ( x). g(x))¿]=limx→a

f ( x ) . limx→a

g(x)¿.

(d) limx→a

f ( x)

g( x)=limx→a

f (x)

limx→a

g( x), limx→a

g(x)≠0

(e) limx→a

K=K (Limite de uma constante é a própria constante).

4. FUNÇÕES CONTÍNUAS: Seja f ( x ) uma função definida em um intervalo J e seja a∈J , dizemos que a função é

contínua no ponto a se : limx→a

f ( x )=f (a ) .❑

Da definiçãodecorre que f (x)é contínuano ponto a ,❑ se , e somente se , forem verificadastrês condições :

1 ª ¿ Existe f (a) 2 ª ¿Existe limx→a

f ( x ) 3 ª ¿ limx→a

f (x )=f (a ) .❑

5. LIMITES INFINITOS E LIMITES PARA x❑TENDENDO AO INFINITO:Ampliaremos agora o conceito de limite, introduzindo o elemento infinito, que representaremos por ∞. O símbolo ∞ não representa um número; portanto, não se efetuam com ele as operações que realizamos com os nºs reais.1º EXEMPLO:

f ( x)=1x

y

x

¿

¿ limx→−∞

¿ f (x )=¿ limx→+∞

f (x )=¿ limx→∞

f ( x )=¿0 . Portanto , limx→∞

f ( x )=0¿¿¿

¿ Quando x se aproxima de zero pela direita, f(x) assume valores cada vez maiores, tornando-se maior

que qualquer número positivo fixado. Quando x se aproxima de zero pela esquerda, f(x) assume valores cada vez menores, tornando-se

menor que qualquer número negativo fixado.



2º EXEMPLO:

f ( x)=1x2

y

x

¿

¿

3º EXEMPLO:

f ( x)=12x

4º EXEMPLO:

f ( x)=−12

x

y

x

y

x

¿

¿

5º EXEMPLO:f ( x)=x2

6º EXEMPLO:f ( x)=−x2

y

x

y

x

¿

¿

7º EXEMPLO:f ( x)=x3

8º EXEMPLO:f ( x)=−x3

y

x

y

x

¿

¿

Limite de uma função Exponencial9º EXEMPLO: 1º Caso: Para base a>1❑

¿

10º EXEMPLO: 2º Caso: Para base 0<a<1❑

¿

11º EXEMPLO: UM LIMITE ESPECIAL: BASE DO SISTEMA DE LOGARÍTMOS NEPERIANOS: UM NÚMERO IRRACIONAL: Nº DE EULER: O NÚMERO “e” ONDE e ≅ 2,71828...CENTRO UNIVERSITÁRIO PLANALTO DO DISTRITO FEDERAL – UNIPLAN Página 7


e=limn→∞ (1+ 1n )

n

, comn∈N ¿ limn→+∞ (1+ 1n )

n

= limn→−∞ (1+ 1n )

n

=e=2,71828…

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 01 – NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITES – LIMITES LATERAIS

Nos Problemas de 1 a 6, calcule limx→a

f (x) , se existir .

1. y

b

0 a

2. y

b

0 a x

3. y c b

0 a x4. y

C b

0 a x

5. y

b

o a x

6. y

b

0 a x

Nos problemas de 7 a 28, calcule o limite indicado, se existir.

7. limx→2

(3 x2−5 x+2) 8. limx→−1

(x3−2 x2+ x−3) 9. limx→0

(x5−6 x4+7) 10. limx→0

(1−5 x3) 11.

limx→3

( x−1 )2(x+1) 12. limx→−1

(x2+1)(1−2 x)2 13. limx→2

x+1x+2 14. lim

x→1

2 x+3x+1 15. lim

x→5

x+35−x

16. limx→3

2 x+3x−3 17. lim

x→1

x2−1x−1

18. limx→3

9−x2

x−3 19. lim

x→5

x2−3 x−10x−5

20. limx→2

x2+ x−6x−2

21. limx→ 4

(x+1)(x−4)(x−1)(x−4)

22. limx→0

x (x2−1)x2

23. limx→−2

x2−x−6x2+3 x+2

24. limx→1

x2+4 x−5x2−1

25. limx→ 4

√ x−2x−4

26.

limx→9

√ x−3x−9

27. limx→1

x−1√ x−1

28. limx→9

x−9√ x−3

Nos problemas de 29 a 41, verifique se a função dada é contínua no valor fixado para x .❑

29. f ( x )=5 x2−6 x+1; x=2. 30. f ( x )=x3−2 x2+x−5 ; x=0. 31. f ( x )=

x+2x+1

; x=1.

32. f ( x )=2 x−43 x−2

; x=2 33. f ( x )=x+1x−1

; ; x=1. 34. f ( x )=2 x+13x−6

;1 ; x=2. 35. f ( x )=¿ √x−2x−4

; x=4.



36. f ( x )=¿ √x−2x−4

; x=2 37. f ( x)={x+1 , se x≤2.x=22 , se x>2.

38. f ( x)={ 0 , se x<1.x=1

x−1 , se x ≥1.

39. f ( x)={x+1 , se x<0.x=0x−1 , se x ≥0.

40. f ( x)={ x2+1 , se x≤3.

x=32x+4 , se x>3.

41. f ( x)={ x2−1x+1

, se x←1.

x=−1x2−3 , se x ≥−1.

NOS PROBLEMAS 42 A 54, DETERMINE TODOS OS VALORES DE x❑PARA OS QUAIS A FUNÇÃO DADA NÃO É CONTÍNUA:

42. f ( x )=3 x2−6 x+9. 43. f ( x )=x5−x3 . 44. f ( x )=

x+1x−2

. 45. f ( x )=3 x−12x−6 . 46. f ( x )=

3x+3x+1

47. f ( x )=x2−1x+1

48. f ( x )=3x−2

(x+3)(X−6) 49. f ( x )=x

(x+5)(x−1) 50. f ( x )=x

x2−x 51. f ( x )=

x2−2x+1x2−x−2

52. f ( x)={ 2x+3 , se x≤1.¿6 x−1, se x>1. 53. f ( x)={x2 , se x≤2.¿9 , se x>2. 54. f ( x)={1, se x−1 , se x<1.x=1

1−x , se x>1.

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES:

1. limx→a

f ( x )=b 3. limx→a

f ( x )=b 5. O limite não existe. 7. 4 9. 7

11. 16 13. 34 15. O limite não existe. 17. 2 19. 7

21. 53 23. 5 25.

14 27. 2 29. Sim.

31. Sim 33. Não 35. Não 37. Não 39. Não.41. Sim. 43. Nenhum. 45. x=3❑ 47. x=−1❑

49. x=−5e x=1❑ 51. x=−1e x=2 53. x=2❑

UNIDADE – II DERIVADAS: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA E CINEMÁTICA – TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO

6. DERIVADAS: O estudo de derivadas é devido a Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Leibnitz (1646-1716), na procura do método geral do traçado da reta tangente a uma curva dada num ponto dado.DEFINIÇÃO: Seja a função y=f (x) , definida e contínua em um intervalo I, e um ponto x0 no intervalo I.

Chamamos razão incremental da função f ( x) relativa ao ponto x0, a função: f ( x)−f (x0¿)

x−x0¿ . Dizemos que a função

y=f (x) é derivável no ponto x0 se: limx→x0

f ( x)−f ( x0¿)x−x0

¿ lim∆ x→0

∆ y∆x

=f '(x0¿)❑ ¿¿ O valor deste limite é denominado

derivada da função y=f (x) no ponto x0. A derivada da função y=f (x) é representada por y ' ou f '( x) ou dydx .

y



f ( x)

∆ y=¿❑ f (x)−f (x0¿)¿¿

f ( x0 )

0 x0 x❑ x

∆ x=x−x0❑

7. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA : O significado geométrico da derivada de uma função em um ponto A(x¿¿1 , y1)¿ é dado pelo coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto A(x¿¿1 , y1)¿.

a=tg α=f '(x1¿)¿ → Equação da RetaTangente : y− y1=a(x−x1). Obs: tg α=∆ y∆ x

❑

Exemplo : Achar a equação da reta tangente à curva f ( x)¿ x2, em A(1 ,1)❑

Solução : y− y1=a(x−x1) → y−1=a ( x−1 ) ea= f '( x )=2x→x=1 , a=2❑

y−1=2 (x−1 )→ y=2 x−2+1→Equaçãoda RetaTangente : y=2 x−1

8. INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA DA DERIVADA: Numa corrida de Fórmula 1, dizemos que o vencedor fez o percurso com uma velocidade média vm , equivalente à variação do espaço (∆ y ) dividida pela variação do

tempo(∆ x ) .❑ vm=Δ yΔ x

→(velocidademédia). A velocidade instantânea (v i ) é dada pelo limite lim∆ x→0

Δ yΔ x

Como vemos, a velocidade representa a derivada do espaço em relação ao tempo. v=dydx

❑

De maneira

análoga, a Aceleração é dada por: a=dvdx

=d2 ydx2

É a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Exemplo: A equação de um movimento de um ponto é y=2x2+3. Calcular a velocidade e a aceleração.Solução: v= y '=4 xe a=v '=4❑

9. A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO, UTILIZANDO A DEFINIÇÃO DE DERIVADAS: A derivada de uma função f ( x) no ponto x1, denotada por f ' (x1 ) , (lê-se f❑linha de x❑no pontox1¿, é definida pelo

limite: f ' (x1 ) ,= lim∆ x→ 0

f (x1+∆ x )−f (x1)❑

∆x, quando este limite existe. Também podemos escrever:

f ' (x1 ) ,= limx2→x1

f x2− f x 1

x2−x1 . Como já é sabido, este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva y=f (x)

no ponto (x1; f (x1 )¿. Portanto, geometricamente, a derivada da função y=f (x) no ponto x1 representa a inclinação da curva neste ponto.

f ' (x1 ) ,= lim∆ x→ 0

f (x1+∆ x )−f (x1)❑

∆x

Exemplo: Utilizando a Definição de Derivadas, dada a função f ( x)=5 x2+6 x−1 , encontre f ' (2 ) .❑

f ' (2 )=¿ lim∆ x→0

f (2+∆x )−f (2)❑

∆ x→ lim

∆x→0¿¿



→ lim∆x→0

26∆ x+5. (∆ x )2

∆ x=lim∆ x→ 0

∆ x (26+5.∆x )

∆ x¿26❑

10.SINAL DA DERIVADA: A partir do comportamento (constante, crescente ou decrescente) da função f ( x) no

intervalo fechado I = [a, b] que conclusões podemos tirar sobre o sinal da derivada f ' ( x ) , suposta existente no intervalo

aberto I 1=¿a ,b ¿

1º) Se f ( x) é uma função constante em I, então f ' ( x ) ,=0 para todo x∈ I .❑

2º) Se f ( x) é uma função crescente em I, então f ' ( x ) ,>0 para todo x∈ I .❑

3º) Se f ( x) é uma função decrescente em I, então f ' ( x ) ,<0 para todo x∈ I .❑

Obs.: Estudamos o comportamento(sinal) da 1ª derivada da função.

11.SUMÁRIO DAS INFORMAÇÕES QUE PODEM SER OBTIDAS COM AS DERIVADAS DE PRIMEIRA/SEGUNDA ORDEM

PRIMEIRA DERIVADA: Considere a função y=f (x) no ponto ❑❑ x=a.

f ' (a )>0⟹ f ( x ) é uma função crescente de xem x=a .f ' (a )<0⟹ f (x )é uma função decrescente de x em x=a .

¿

¿{ f '(x)mudade+ para−em x=a→Máximorelativo emx=af '(x )mudade−para+emx=a→Mínimo relativoem x=a

f '(x)nãomuda desinal em x=a→∄Máximo ouMínimorelativo em x=a

❑

SEGUNDA DERIVADA: Considere a função y=f (x) no ponto ❑❑ x=a.

f ' ' (a )>0⟹ f ( x ) é côncava paracima (convexa)em x=a .f ' ' (a )<0⟹ f ( x ) é côncava parabaixoem x=a .

¿ { f ' '(x)mudade+ para−em x=a→C .V .B .f ' ' ( x )mudade−para+em x=a→C.V .C .

f ' '(x)muda desinal em x=a→∃Pontode Inflexão (P . I .)em x=af ' '(x)nãomuda desinal em x=a→∄Ponto de Inflexão(P . I .)em x=a

❑

12. CRITÉRIO GERAL PARA CLASSIFICAÇÃO DOS PONTOS CRÍTICOS DE UMA FUNÇÃO, UTILIZANDO DERIVADAS:

Se f '(x0¿)=f ' '( x0¿)=…=f (n−1 ) ( x0 )=0, comf (n ) ( x0)≠0,então :¿ ¿

(1) n❑par ef (n ) (x0 )>0⟹ x0é ponto demínimo (P .m. )de f .

(2) n❑par ef (n ) (x0 )<0⟹ x0é ponto deMáximo (P .M . )de f .

(3) n❑ ímpar ⟹ x0nãoé ponto demínimo (P .m. ) nem ponto demáximo (P . M . ) de f .



13.DEZ PASSOS PARA O TRAÇADO DE GRÁFICO DE FUNÇÕES, UTILIZANDO A 1ª E A 2ª DERIVADAS:

1º) Determinar a derivada de ordem um (f '( x )¿ ;

2º) Teorema de Fermat: f '( x )=0, Para determinar Pontos Críticos;

3º) Estudar o Sinal da derivada f '( x ) = [f ' ( x ) ,=0 (Nula ); f ' ( x ) ,>0 (Positiva ); f ' (x ),<0(Negativa);

4º) Escrever os intervalos de crescimentof '( x ),>0¿ e decrescimentof '( x ),<0¿ da função;

5º) Classificar o(os) Ponto(os) Crítico(s) em P.M.; P.m.(quando houver variação de sinal) ;

6º) Determinar a derivada de ordem dois (f ' ' ( x ) ¿ ;

7º) Teorema de Fermat: f ' ' (x )=0, Para determinar Ponto de Inflexão(P.I.);

8º) Estudar o Sinal da derivada f ' ' ( x ) = [f ' ' ( x ) ,>0(CVC ); f ' (x ) ,<0(CVB )¿ ;

9º) Substituir as abscissas dos pontos críticos na função original para obter o valor da coordenada y ;e❑

10º) Traçar o gráfico da função no Sistema de Coordenadas Retangulares (Gráfico Cartesiano).

UNIDADE III – REGRAS OPERACIONAIS/TABELA DE DERIVADAS

14. REGRAS OPERACIONAIS DE DERIVADAS:

y=U ±V❑ y '=U ' ±V '❑ SOMA OU SUBTRAÇÃOy=U .V❑ y '=U .V '+U ' .V❑ PRODUTO

y=UV

❑

com V≠0 y '=V .U '−U .V 'V 2

❑ QUOCIENTE

15. TABELA DE DERIVADAS (DERIVAÇÃO)FUNÇÃO DERIVADA OBSERVAÇÕES

1 y=k y '=0❑ Derivada de uma Constante, com k ∈ ℝ2 y=x y '=¿ 1 Derivada da Identidade

3 y=¿Ax y '=¿ A Derivada da Função Linear

4 y=Ax+b❑ y '=¿ A Derivada da Função do 1º Grau

5 y=ax2+bx+c y '=2ax+b❑ Derivada da Função do 2º Grau

6 y=¿ xn y '=n . xn−1 Derivada da Potência com Expoente n 𝛜 ℕ7 y=A . xn y '=n . A . xn−1

8 y=xα y '=α . xα−1 Derivada da Potência com Expoente 𝛂 ∈ ℝCENTRO UNIVERSITÁRIO PLANALTO DO DISTRITO FEDERAL – UNIPLAN Página 12


9 y=¿ n√ x → y= (x )1n y '=1

n. x

1n −1 Caso particular da Potência, com

expoente racional.

10 y=¿[u(x )¿¿α y '=¿𝛂u(x )¿α−1 . u' (x )¿❑ REGRA DA CADEIA

11 y=¿ eu( x) y '=eu ( x ) .u '( x)

12 y=¿ ex y '=e x Caso Particular da Regra 9 com u(x) = x.

13 y=au (x) y '=au (x ) . u' ( x ) . ln a Derivada da Potência de base “a”

14 y=ax y '=au (x ) . ln a Caso Particular da Regra 13.

15 y=ln [u ( x )]❑ y '=u ' (x )u(x )

16 y=ln x❑

y '=¿ 1x

❑ Caso Particular da Regra 15.

17 y=loga[u ( x )]

y '= u' (x)u ( x ) . ln a

18 y= logax

y '= 1u ( x ) . ln a

Caso Particular da Regra 17.

19 y=senu❑ y '=¿ u’.cos u

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS

20 y=cosu❑ y '=−¿ u’.sen u

21 y=tgu y '=u' . sec2 .u

22 y=sec u y '=u' . sec .u . tgu

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 02 - II DERIVADAS: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA E CINEMÁTICA55. Determine a Equação da reta tangente à curva y=x2 , no ponto P(2, 4).56. Qual é a Equação da reta tangente à curva y=x2+1 , no ponto B(o, 1)?

57. Calcule o Coeficiente Angular da reta tangente à curva f ( x )=x3+1, naorigem .58. Ache a equação da reta tangente à curva y=x3+1 ,❑no ponto B(1, 2).

59. Ache o ângulo que a reta tangente à curva y=x2+1 faz com o sentido positivo do eixo x❑no pontox=12 .❑

60. Determine x❑se a reta tangente à curva y=2x2−8 x+1 é paralela ao eixo dos x .61. Qual é a equação da reta tangente à curva y=x2−2 x+7 , no ponto x=0.❑

62. Encontre a equação da reta tangente à y=x3−3x , em x=1.❑

63. Para que valores de x❑a reta tangente à y=x2−6 x é paralela à reta y−2x+5=0.❑



64. Qual é a equação da reta tangente a y=ex , em x=0?65. A curva de equaçãoy=x2−6x , admite uma tangente horizontal no ponto A. Encontre as coordenadas de A.66. A equação horária de um movimento é y=3 x2+x+1. Calcular (a) Velocidade Média; (b) Aceleração Média.67. A equação horária de um movimento é y=2x2−2 x+4. Calcular a velocidade e a aceleração, se o tempo “x” considerado for de 3 segundos.68. A equação horária de um ponto e movimento é y=5 x2−3 x+1. Calcular a velocidade e a aceleração, se o tempo “x” considerado for de 5 segundos.69. Calcule a velocidade de um ponto em movimento, cuja equação horária é y=4 x2−8 x, ao final de 2s.70. Utilizando a Definição de Derivadas, encontre f ' ( x )=−1❑para as funções abaixo:(a) y=x2−3 x (b) y=−x2+x−1 (c) y=5 x2−3 x−2 (d) y=−5x2+13 x−171. UTILIZANDO AS REGRAS, CALCULAR AS DERIVADAS A SEGUIR:

(a) y=x2+10 x−1 (b) y=−x2+x+1 (c) y= x2+10x5 x

(d) y=3x (e) y=(2x2+5 x )3 (f) y=−(x2−5x )2

(g) y=ex (h) y=e5 x (i) y=e−x (j) y=ex−e−2x (k) y=71+2x2

(l) y=374 x−1 (m) y= ln x❑(n) y=e2 x . ln x(o) y=sen 4 x2 (p) y=cos4 x2 (q) y=tg4 x2 (r) y=sec 4 x2 Nos Problemas de 72 a 77, determine os valores de x❑para os quais a f ' (x)❑é positiva ou negativa:

72. f ( x )=4−3 x❑ 73. f ( x )=2x2+4 x+6 74. f ( x )=x3−9 x2+27 x−10 75. f ( x )= xx−1

❑

76. f ( x )=13x3−4 x+12 77. f ( x )=x3−7x2+8 x+3

NOS PROBLEMAS DE 78 A 83 DETERMINE OS VALORES DE x❑PARA OS QUAIS A DUNÇÃO f ' ' (x)❑É POSITIVA OU NEGATIVA:78. f ( x )=x2−10 x+21 79. f ( x )=x3−7x2+8 x+3 80. f ( x )=x3−9 x2+27 x−10

81. f ( x )=x4−2 x3−36 x2+3 x 82. f (x)❑=x4+4 x3+6 x2+7 83. f ( x )= xx−1

❑

NOS PROBLEMAS DE 84 A 100 DETERMINE OS VALORES DE X PARA OS QUAIS AS FUNÇÕES SÃO CRESCENTES, DECRESCENTES OU POSSUEM TANGENTES HORIZONTAIS:84. f ( x )=3 x+4❑ 85. f ( x )=−3x+4❑ 86. f ( x )=x2−6x−7❑87. f ( x )=−x2+6 x+7

88. f (x)=x2−10x+21 89. f ( x )=4 x2−7 x−15 90. f ( x )=x3−3x2−9x+15

91. f ( x )=2x3−7 x2+4 x−2 92. f ( x )=2x3−12 x2+24 x 93. f ( x )=x3−3x+3 94. f ( x )=x3−2x2 95. f ( x )=2x3−9 x2+27 x−10 96. f ( x )=¿❑5 x3−4 x2+12 x−8❑¿ 97. f ( x )=x4−3 x3+2x2−6

98. f ( x )=x4+8 x3+18 x2−8 99. f ( x )=x3−3x2+2 x+1 100. f ( x )=x3−2x2−3 x+2 101. Utilizando os Dez Passos, representar graficamente as funções dos problemas 84 ao 100.

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 04 - UNIDADE IV – PROBLEMAS APLICADOS/DERIVADAS

102. O lucro obtido por um fabricante com a venda de determinado produto é dado pela função L ( x )=400 (15−x ) ( x−2 ) ,❑onde x❑é o preço de venda de cada unidade. Calcule o preço ótimo de venda.

103. Calcula-se que, daqui a x meses, a população de uma certa comunidade será de P ( x )=x2+20 x+8.000 habitantes. (a) Qual será a taxa de variação da população desta comunidade daqui a 15 meses? (b) Qual será a variação real da população durante o 16º mês?



104. Calcula-se que a produção semanal de certa fábrica seja Q ( x )=−x3+60x2+1.200 x unidades, onde x representa o número de operários da fábrica. Atualmente, há 30 operários trabalhando. Usando o Cálculo, avalie a variação que ocorrerá na produção semanal da fábrica caso se acrescente um operário à força de trabalho existente.

105. Suponha que o custo total para se fabricar q❑unidades de um certo produto seja de C (q )=3q2+5q+10. (a) Deduza a fórmula do Custo Marginal. (b) Calcule o custo de produção da 51ª unidade, empregando a aproximação fornecida pelo custo marginal. (c) Calcule o custo real da 51ª unidade.

106. Se y=f ( x ) ,❑a porcentagem de variação de y❑em relação a x é dada pela fórmula:

Porcentagem de Variação = 100× f ' (x )f (x)

,❑

resolva o problema à seguir. O produto nacional bruto de um certo país,

t❑anos após 1980, era N ( t )=t2+5 t+100bilhões de dólares. (a) Qual era a taxa de variação, em relação ao tempo, do produto nacional bruto em 1985? (b) Qual era a porcentagem de variação, em relação ao tempo, do produto nacio0nal bruto em 1985?

107. Avalia-se que, daqui a t❑anos, a circulação de um jornal local será de C ( t )=100 t 2+400 t+5.000exemplares. (a) Deduza a expressão da taxa de variação da circulação do jornal daqui a t❑anos.(b) Qual será a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos? A circulação aumentará ou diminuirá?(c) Qual será a variação real da circulação durante o 6º ano?

108. Um objeto se move ao longo de uma reta e, após t❑minutos, a sua distância a um ponto de referência fixo é de

D (t )=10 t+ 5t+1

❑

metros. (a) Qual é a velocidade do objeto após 4 minutos? (b) Qual é a distância percorrida pelo

objeto durante o 5º minuto?

109. Um estudo sobre a eficiência do turno da manhã de uma fábrica indica que um operário médio, chega ao trabalho às 8 horas, monta f ( x )=−x3+6 x2+15 x rádios, x horas depois de iniciado o trabalho.(a) Deduza a expressão da taxa à qual o operário montará rádios após x horas de trabalho.(b) A que taxa o operário estará montando rádios às 9 horas da manhã?(c) Quantos rádios serão realmente montados pelo operário entre 9 e 10 horas da manhã?

110. Calcula-se que, daqui a x meses, a população de determinada cidade será de P ( x )=2x+4 x32+5.000

habitantes. (a) Qual será a taxa de variação da população, em relação ao tempo, daqui a 9 meses?(b) Qual será a porcentagem de variação da população, em relação ao tempo, daqui a 9 meses?

111. O imposto anual pago pelo aluguel de determinada máquina x anos após 2010 era de I ( x )=20 x2+400 x+600. (a) Qual foi a taxa de crescimento do imposto, em relação ao tempo, em 2016?(b) Qual foi a porcentagem de crescimento do imposto, em relação ao tempo, em 2016?

112. A área de um quadrado é função de seu lado. Determinar: (a) A taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3m; (b) A taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4m.



113. Uma cidade x é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t❑(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é,

aproximadamente, dado por: f ( t )=64 t− t3

3

. (a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t=4?❑

(b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t=8?❑ (c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia?114. Analistas de produção verificaram que, em uma montadora x ,❑o número de peças produzidas nas primeiras t❑

horas diárias de trabalho é dado por:

f ( t )=¿❑{ 50 ( t2+t ) , para0≤ t ≤4.200 (t+1 ) , para 4≤ t ≤8.

¿

(a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho?(b) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 7 horas de trabalho?(c) Quantas peças são produzidas na 8ª hora de trabalho?

115. Um reservatório de água está sendo esvaziado para a limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t❑horas após o escoamento ter começado é dado por: V ( t )=50(80−t)2 . Determinar: (a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de escoamento. (b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento. (c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento.

116. Em muitas situações práticas a quantidade em estudo é dada por uma função composta. Neste caso, para determinar a taxa de variação, devemos usar a regra da cadeia. Um quadrado de lado l❑está se expandindo segundo a equação l=2+t 2 , onde a variável t❑representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado no tempo ❑❑ t=2.

117. O raio de uma circunferência cresce à razão de 21 cm/s. Qual a taxa de crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo?

118. Um ponto P(x , y)❑se move ao longo do gráfico da função y=1x .❑

Se a abscissa varia à razão de 4 unidades por

segundo, qual é a taxa de variação da ordenada quando a abscissa é x= 110 ?

❑

119. Acumula-se areia em um monte com forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10m3/h , a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4m?

h

r

16. ELASTICIDADE: Dada uma função y=f ( x ),❑a elasticidade de y❑em relação a ❑❑ x é definida por:



E ( x )= lim∆ x→0

∆ yy∆xx

❑

e representa a taxa de variação percentual da variável dependente y❑em relação à variável

percentual na variável independente ❑❑ x . Podemos reescrever esta Equação como: E ( x )= lim∆ x→0

∆ y∆ x ∙

xy

❑

Se

a função y=f ( x ) é derivável, resulta em: E ( x )=dydx ∙

xy

❑❑

A Elastididade E(x )❑mede a tendência de resposta de y❑

a pequenas variações de x .❑Se E ( x ) é positiva, um aumento percentual em x acarretará uma variação percentual positiva em y .❑ Se E ( x ) é negativa, um aumento percentual em x acarretará uma variação percentual negativa em

y .❑ Em situações práticas, geralmente, uma aproximação da equação E ( x )= lim∆ x→0

∆ yy∆xx

, como segue: Sejam τ o

acréscimo percentual da variável independente x❑e ∆ a variação percentual correspondente em y .❑Temos, então: ∆ ≅ E ( x ) τ .❑

120. Supor que o custo total, no período de um mês, de uma empresa que produz q❑unidades de um produto é dado

por: C (q )={ 100+2q ,0≤q≤6001.300+√q−600 ,600<q≤1.500

1.330+(q−1.500 )2 , q>1.500 e queareceita totalé dada por :R (q )=1,32q .

❑

Determinar:(a) O custo médio por unidade produzida a um nível de produção q=1.000❑

(b) O custo marginal para q=1.000❑ (c) O nível de produção q❑para o qual o custo marginal iguala a receita marginal.(d) O intervalo em que pode variar o nível de produção de forma a manter a empresa viável, isto é, tal que a receita total é maior que o custo total.

121. A quantidade de televisores demandada em uma cidade X, num determinado período, é função de seu preço e é expressa por: q=300−0,1 p .❑Calcular e interpretar o valor da elasticidade para um nível de preço p=400❑unidades monetárias.

122. A elasticidade da demanda em relação à tarifa do sistema de transporte público de uma cidade X é −0,30 ,❑

quando a tarifa média é de 80 centavos por viagem. Supor que o sistema transporta 200.000 passageiros no período de pico matutino diário.(a) Estimar a queda na demanda se a tarifa média cresce 2,5%. (b) Ilustrar a sensibilidade desse resultado em relação ao valor da elasticidade.

123. Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas

W ( t )={ 20+ 12

( t+4 )2

24 ,4 t+604 ,60≤ t ≤90,0≤ t ≤60

❑

onde t❑é medido em dias. Determinar:

(a) Qual a razão de aumento do peso da ave quanto t=50?❑

(b) Quanto a ave aumentará no 51º dia?(c) Qual a razão de aumento do peso quanto ❑❑ t=80?



124. Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante t=0.❑Após t❑horas, sua temperatura, em graus

centígrados, é dado por: T ( t )=30−5 t+ 4t+1 ,0≤t ≤5.

❑

125. A função q=20.000−400 p❑representa a demanda de um produto em relação a seu preço p .❑Calcular e interpretar o valor da elasticidade da demanda ao nível de preço p=4.❑

126. Na Biologia, encontramos a fórmula ϕ=V . A ,❑onde ϕ é o fluxo de ar na traquéia, V é a velocidade do ar e A a área do círculo formado ao seccionarmos a traqueia.

A

Quando tossimos, o raio diminui, afetando a velocidade do ar na traqueia. Sendo r0 o raio normal da traqueia, a relação entre a velocidade V e o raio r da traqueia durante a tosse é

dada por V (r )=a .r2 (r0−r ) , onde a❑é uma constante positiva.

(a) Calcular o raio r❑em que é maior a velocidade do ar.(b) Calcular o valor de r❑com o qual teremos o maior fluxo possível.

127. Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada na margem de um rio de 500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2.000 metros abaixo da central. O custo da obra através do rio é de R$ 640,00 por metro, enquanto, em terra custa R$ 312,00. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável?

128. Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 m2. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 m na frente, 20 m atrás e 12 m em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão.

129. Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja 2.500 m3. O material da base vai custar R$ 1.200,00 por m2 e o material dos lados R$ 980,00 por m2. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.

130. Supor que o custo total C (q)❑de produção q❑toneladas de um produto, em milhares de reais, é dado por

C (q )=0,03q3−1,8q2+39q , supondo que a empresa possa vender tudo o que produz, determinar o lucro máximo que pode ser obtido, se cada tonelada do produto é vendida a um preço de 21 milhares de reais.

131. O custo e a receita total com a produção e comercialização de um produto são dados por: C (q )=600+2,2q❑ e R (q )=10q−0,00q2 , sendo 0≤q≤900. (a) Encontrar a quantidade q❑que maximiza o lucro com a venda desse produto. (b) Qual o nível de produção que minimiza o lucro? (c) Qual o nível de produção correspondente ao prejuízo máximo?


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