curso de semiconductores
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Curso de Semiconductores. SESIÓN 2-3 Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr. Eng. E-mail: [email protected] Departamento de Ingeniería Electrónica Grupo de Microelectrónica - Control Universidad de Antioquia. Repaso de algunos conceptos de física moderna. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Curso de Semiconductores
SESIÓN 2-3Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr. Eng.
E-mail: [email protected] de Ingeniería Electrónica
Grupo de Microelectrónica - ControlUniversidad de Antioquia
Repaso de algunos conceptos de física moderna
Es necesario recordar algunos conceptos fundamentales. El
Objetivo de esta sesión es recordar los siguientes temas:
- El efecto fotoeléctrico.- Modelo del átomo de hidrogeno (modelo cuantizado
de Bohr).- Ecuación de Schrodinger.
Repaso de algunos tópicos de física moderna
El efecto fotoeléctrico
La interacción de la luz con la materia constituía comienzos del siglo XX uno de los problemas más difíciles de resolver a luz de la física clásica.
La descripción básica del efecto fotoeléctrico:
“Es la liberación de electrones desde la superficie de un material cuando es irradiado por una radiación electromagnética (luz)”
Fue observado por Heinrich Hertz en 1887.
Repaso de algunos tópicos de física moderna
El efecto fotoeléctrico
Experimento de J. Thomson y Philipp Lernard (1898)
Para que un electrónescape necesita queEl electrón reciba unaCantidad mínima de Energía(función trabajo)
Vf Potencial de frenado
Repaso de algunos tópicos de física moderna
El efecto fotoeléctrico
Hechos físicos:
• Existe una frecuencia umbral por debajo de la cual no se
emiten electrones de la superficie. <la corriente es cero (es independiente de
la intensidad de la luz)
• Para > 0 los electrones presentan una energía cinética
máxima (Kmax), de tal forma que si Vf es potencial de frenado:
eVf = Kmax (no de depende la intensidad de la
luz)
Repaso de algunos tópicos de física moderna
El efecto fotoeléctrico
Hechos físicos:
• El valor de la energía cinética máxima depende linealmente de la frecuencia de luz incidente.
• Los experimentos mostraban que no existía un
retraso apreciable entre la incidencia de la luz sobre la superficie y la emisión de los electrones.
Repaso de algunos tópicos de física moderna
El efecto fotoeléctrico
En 1905, Eisntein propuso la teoría corpuscular de la luz. Se baso en la hipótesis de Max Planck (1901):
“ La radiación emitida o absorbida por un cuerpo (calentado) es en unidades discretas llamadas fotones”. La energía emitida es restringida a ciertos valores discretos dados por:
En = nh para n= 1,2.3 … frecuencia de la radiación. h constante de Planck (6.62x10-34 J-S)
Repaso de algunos tópicos de física moderna
El efecto fotoeléctrico
Eisntein propuso que la luz monocromática de frecuencia que se propaga en el vacío consiste de un flujo de partículas o cuantos llamados fotones. Los fotones viajan a la velocidad de la luz y tienen un valor discreto de energía dado por:
E = h donde h es la constante de Planck y es la frecuencia.
Los fotones interaccionan con los electrones intercambiando
energía.
Repaso de algunos tópicos de física moderna
El efecto fotoeléctrico
Explicación:
1. Para que electrón escape del metal debe tener al menos una
energía igual a la función trabajo . Si la energía h adquirida por electrón al absorber el fotón es menor que este
valor el electrón no puede ser “arrancado”. Luego:
0 = h donde 0 es la frecuencia umbral el electrón puede ser “arrancado” si >
0
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El efecto fotoeléctrico
Explicación:
2. Si la radiación incidente tiene frecuencia la energía cinética que adquiere el electrón será:
Kmax = h- 0
En el experimento: Como Kmax = eVf Siendo Vf el potencial eléctrico
aplicado lo que se llamó potencial de frenado.
luego: Vf = (h/e)( – 0)
Repaso de algunos tópicos de física moderna
El efecto fotoeléctrico
Explicación:
Considerando que = c/para los fotones)
Vf = (hc/e)( 1/– 1/0)
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Resumen de la teoría dual de la luz
La luz consiste de un flujo de partículas llamadas fotones que
viajan a la velocidad de la luz. Estas partículas tienen asociada
una cantidad de movimiento y una energía. La masa asociada es
cero Ecuaciones importantes: E = (p2c2 + m2c4)1/2 con
m=0 E = pc (p momentum y c V. de luz)
como E = h y = c/entonces p= E/c = h/c = h/
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Ejercicio:
Si sobre la superficie del Na cuya función trabajo es = 3.7x10-19 J = 2.3 eV, incide una luz monocromática con
unalongitud de onda de 450 nm determinar:
1. La energía de los fotones. 2. La energía cinética máxima de los electrones emitidos. 3. La frecuencia umbral para el Na. 4. El módulo de la cantidad de movimiento de los fotones
de la luz incidente.
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Modelos de Bohr del átomo de hidrogeno
Desarrolló dos modelos:
- Modelo clásico. Basado en la física clásica.- Modelo cuantizado. Donde incluye la teoría cuántica de
Planck
Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”)
- Existe una fuerza electrostática debido a las cargas.- Existe un fuerza centrípeta debido al movimiento
circular.
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”)
r
Existe una fuerza atractiva:
F = -q2/(40r2)
0 es permitividad del espacio vacío
El campo eléctrico definido como la fuerzaPor unidad de carga:
E = q/(40r2 ) V/m
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”)
r
El potencial electrostática debido alCampo eléctrico esta dado por:
v = Edx
Considerando un simetría esférica: v = qdr/(40r2) = q/(40r)
x
r
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”)
r
La energía potencial a la una distancia r desde el núcleo: Ep = V(-q) = -q2/(40r)
La fuerza centrípeta sería: mv2/r
La aceleración angular es: v2/r La fuerza eléctrica se balancea con la fuerza centrípeta en
magnitud: mv2/r = q2/(40r2)
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”)
r
Luego de la ecuación anterior se puede calcular la energía cinética:
EK = mv2/2 = q2/(80r)
La energía total sería:
Et = Ek + Ep = q2/(80r) + -q2/(40r)
= - q2/(80r)
Cuál era problema con este modelo ?
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Modelo cuantizado Bohr estableció los siguientes postulados
1. Los electrones giran alrededor del núcleo únicamente en ciertas orbitas circulares definidas. Cada orbita corresponde a cierto nivel de energía.
2. Estas orbitas son llamadas estacionarias. Los electrones pueden
ocupar estas orbitas sin radiar ninguna energía.3. La transferencia de un electrón desde una orbita de baja
energía a otra de mayor energía requiere de la absorción de radiación por el átomo, mientras que la transferencia de una órbita de mayor energía a una de menor energía resulta en la emisión de radiación. Luego:
E2 – E1 = hSiendo la frecuencia de la radiación
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Modelo Cuantizado
Bohr estableció los siguientes postulados
4. Las únicas orbitas estacionarias permitidas de los electrones son aquellas en las cuales el momentum orbital angular está
cuantizado. Siendo un múltiplo entero de h/2 . Luego:
(1) mvrn = nh/2 con n = 1,2,3,…. (número cuántico P)
considerando que: mv2/r = q2/(40r2)
se calcula: v= (q2/(40rm))1/2
Sustituyendo en (1) y despejando rn se tiene: rn =n2h20/(mq2)
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Modelo cuantizado
Bohr estableció los siguientes postulados
4. Con rn =n2h20/(mq2) y sabiendo que la energía total es
Et= - q2/(80r) sustituyendo el valor de r tenemos que
En = -q4m /(8n2h202)
Considerando la energía en electrón voltios:
En (eV) = -13.6/n2 con n= 1,2,3 …
Repaso de algunos tópicos de física moderna
A luz de la física clásica lo siguiente no era conciliable:
Amplitud (A) velocidad de fase (w) Onda Longitud de onda (λ) Frecuencia (Intensidad (I)
Velocidad (v)Partícula Energía (E) Momentum (p) Masa (m)
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Hipotesis de Broglie
En 1924, postulo que las partículas tales como los electrones se
comportan (o manifiestan propiedades) como ondas,
Similar a los fotones:Se cumplen las siguientes relaciones para las “ondas de
materia”:
= E / h
= h / p
Lectura interesante: En que consistió el experimento de C. Davisson y L.
Germer (de los Laboratorios Bell), con el cual mostraron
experimentalmente la hipótesis de Broglie.
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Que pasa entonces con el modelo cuantizado de Bohr del átomo
de hidrógeno ?.
Cuál es la onda asociada con el electrón que gira alrededor del
núcleo ?Asumamos una onda asociada con el electrón de tal
forma que:
2r = 2r = 2
Repaso de algunos tópicos de física moderna
En forma general podemos establecer:
2r = n con n= 1, 2, 3, ….
Como = h / p (Broglie) entonces la ecuación anterior queda:
rp = nh/2
como p = mv, podemos concluir que:
mvr = nh/2con n= 1, 2, 3, ….
“Esta es precisamente una de las hipótisis de Bohr”
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Igualmente:
si es la frecuencia asociada a la onda, entonces la velocidad
de fase se define:
w =
Usando las hipótesis de Broglie: = E / h y = h / p
w = E/ p
Asumiendo que: E = (1/2)mv2 = p2/2m
entonces w = p /2m luego w = v/2
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Vamos a asumir la energía negativa, ya que es debida al enlace
(interacción eléctrica con el núcleo):
El valor de la energía debe ser: E = - h como: = w / y w= v/2
Entonces: E = - hv/2
Como: = 2r/n la ecuación de la energía quedará:
E = - nhv/4r,
Repaso de algunos tópicos de física moderna
E = - nhv/4r,
De acuerdo con la cuantización del momentum se estableció que las
orbitas circulares obedecen a las siguientes ecuaciones:
r = n2h20/(mq2) y v = q2/(20nh) Luego la energía quedaría:
E = -q4m/(8n2h202) que es la misma establecida por
el el modelo de Bohr !!
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La ecuación de SchrÖdinger
Es una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica.
Si la función de onda asociada a una partícula es (x,y,z) la
Ecuación de onda de estado estacionario es:
2 + (82m/h2)(E – W)= 0
siendo m la masa de la partícula. W es la energía potencial. E es la energía total.
Repaso de algunos tópicos de física moderna
La ecuación de SchrÖdinger
Interpretación de (x,y,z):
Consideremos un volumen elemental dV = dxdydz centrado en el punto (x,y,z), la probabilidad
diferencial dP de que la partícula se encuentre en ese volumen
esta dada por:
dP = |(x,y,z)|2 dV
Densidad de probabilidadDensidad de probabilidad
Repaso de algunos tópicos de física moderna
La ecuación de SchrÖdinger
Interpretación de (x,y,z):
La probabilidad PV de que la partícula se encuentre en un volumen V está dada por:
PV = ∫v |(x,y,z)|2 dV
de lo anterior se tiene que:
∫∞ |(x,y,z)|2 dV = 1
Repaso de algunos tópicos de física moderna
La ecuación de SchrÖdinger
Para el cálculo de (x,y,z) se debe tener en cuenta:
1. Que la función (x,y,z) y su primer derivada debe se finita
y continua.
2. La densidad de probabilidad (probabilidad por unidad de longitud en el caso unidimensional, o la probabilidad por unidad de volumen en el caso tridimensional) esta dada
por:
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Muy importante para solucionar el ecuación de onda en caso en que la energía potencial es periódica:
El teorema de Bloch Establece que si un sistema presenta un energía potencial
periódica (con periodo a), entonces las soluciones de la ecuación de onda son de la forma:
x) = k(x)eiKx donde k(x) es periodica con periodo a
o sea que k(x)= k(x+a)= k(x+na)
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Problemas a resolver:
1. Encontrar la ecuación de onda para los siguientes casos:
2. Encontrar la ecuación de onda asociada
E
W=∞
W=0x=0 x=L
El electrón esta confinado enuna caja de potencial
x=0
W=0
WRegión 1
Región 2
El electrón se mueve en las Dos regiones
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Problemas a resolver:
3. Encontrar la ecuación de onda asociada:
W
x=0 x=a
El electrón se encuentra en estaregión
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r
4. Encontrar la ecuación de onda asociada para átomo de hidrogeno:
( , , )r - q
q
22 2
2
2 2 2 2
1 1( ) ( )
1 8[ ( )] 0
r senr r r r sen
E V rr sen h
Ecuación de SchrÖdinger en coordenadas esféricas:
La energía potencial está dada por:EP = -q2/40r
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( , , ) ( ). ( ). ( ) r R r
2
0
( )4
qV r
r
Mm
M m
22
2 2 2 2 2
2
1 1 1( ) ( )
8[ ( )] 0
r senr r r r sen r sen
E V rh
Con y
Solución (separación de variables):
Masa reducida E. Potencial
x
a
L
x=0
n=1n=2
n=3
Epo
a
5. Encontrar la ecuación de onda asociada a un electrón en medio
de una energía potencias que varia periódicamente (modelo de Kronig-Penny)
b= a-L
Repaso de algunos tópicos de física moderna
Repaso de algunos tópicos de física moderna
0 0W con x a 0,W en x x a
2
20
d
dx
2k
Problema de la caja de potencial:
E
W=∞
W=0
x=0 x=a
Un electrón
W=∞ Energía potencial
2
2
8
mEk
h
Con:
Solución: ( )Asen kx