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Matemáticas I - UD 7: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO SOLUCIONARIO

1

CUESTIONES INICIALES de la página 154

1. Sean los puntos P (2, - 1) y Q (- 3, 0). ¿Cuánto debe valer a para que el punto R (- 2, a) esté alineado con P y Q?

El valor de a es 51

−=a .

2. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, 5) en cada uno de los siguientes casos:

a) Si forma un ángulo de 135º con el eje OX.

b) Si es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Las ecuaciones de las rectas son:

a) x + y – 7 = 0

b) x – y + 3 = 0

3. Halla el baricentro del triángulo de vértices A (- 4, 3), B (2, 3) y C (0, 7).

El baricentro de un triángulo de vértices A (x1, y1), B (x2, y2) y C (x3, y3) tiene de coordenadas:

++++

=3

,3

321321 yyyxxxG

En nuestro caso queda

−=

313,

32G .

4. Halla el perímetro del triángulo de vértices P (- 1, 1), Q (3, 5) y R (5, 1).

Calculamos las longitudes de los lados del triángulo:


2

( ) 2432, ==QPd ( ) 6, =RPd ( ) 5220, ==RQd

El perímetro mide:

..13,1652624 luPerímetro ≈++=

ACTIVIDADES de la página 157

1. Con los vectores libres )3,2( −=v y )5,1(−=w , efectúa las siguientes operaciones de forma analítica y de forma gráfica:

a) wv + b) uw − c) v2 d) wv 3−

Los resultados de las operaciones indicadas son:

a) )2,1(=+ wv c) )6,4(2 −=v

b) )8,3(−=− uw d) )18,5(3 −=− wv

Pueden verse en la gráfica.


3

2. Resuelve estas cuestiones:

a) Halla el punto medio del segmento de extremos A(2, − 5) y B(− 4, 1).

b) El punto medio de un segmento PQ tiene de coordenadas (3, 7). Sabiendo que el extremo P tiene de coordenadas (1, −4), determina las coordenadas del punto Q.

a) El punto medio es M (- 1, - 2).

b) Las coordenadas del punto Q son (5, 18).ACTIVIDADES de la página 159

3. A partir de los vectores libres ( )4,1)5,12(;)4,3( =−=−= uywv . Halla:

a) ( )uw −· b) ( )uwv +· c) ( ) ( )wv 3·2 d) vuw −;2;

Los resultados de las operaciones son:

a) ( ) 82012· =+−=− uw c) ( ) ( ) 3363·2 −=wv

b) ( ) 43· −=+ uwv d) 51722;13 =−== vyuw

4. Halla un vector v que sea ortogonal al vector )1,2( −=w y otro vector u que sea ortonormal

(ortogonal y de módulo unidad) al vector ).12,5( −−=w

Un vector ortogonal al )1,2( −=w es, por ejemplo, el vector ).2,1(=v

Un vector u ortonormal al vector

−=

135,

1312u .


4


5. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto A (3, 2) y uno de sus vectores directores es )1,2( −=v . Exprésala en todas las formas dadas en el texto.

Las ecuaciones son:

- Vectorial: (x, y) = (3, 2) + t · (2, - 1); t ∈ R.

- Paramétricas:

∈−=+=

Rttytx;2

23

- Continua: 12

23

−−

=− yx

- Explícita: 27

21

+−= xy

- General o implícita: x + 2y – 7 = 0

6. Escribe las ecuaciones continua, general y explícita de la recta que pasa por los puntos P (1, -2) y Q (4, 2).

Las ecuaciones son:

- Continua: 4

23

1 +=

− yx

- Explícita: 3

1034

−= xy

- Implícita: 4x -3y – 10 = 0


5

7. Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene de pendiente (- 3). Escribe un vector director de esa recta y dos puntos de la misma.

La ecuación explícita de la recta es y = - 3x.

Un vector director de la recta es )3,1( −=v .

Dos puntos de la recta son P (2, - 6) y Q (- 5, 15).


8. Determina el ángulo que forman las dos rectas siguientes:

+==−33142

xyyx .

Las pendientes de las rectas son, respectivamente, 21 y 3.

Utilizando la expresión del ángulo que forman dos rectas en función de sus pendientes, obtenemos:

º451

2525

21·31

213

=⇒==+

−= ααtg

Por tanto, el ángulo que forman ambas rectas es de 45º.

9. Estudia la posición relativa de estos pares de rectas:

a)

−=−=+

75123

yxyx b)

=+−−=−34

228yx

yx c)

−=+−=+

1596532

yxyx

a) Las rectas son secantes, y se cortan en el punto P (- 1,2), ya que 1

253

−≠ .

b) Las rectas son paralelas: 32

12

48 −

≠−

=−

.

c) Las rectas son coincidentes: 155

93

62

−−

== .


6

10. Encuentra un vector director y un vector normal de la recta de ecuación 2x – 3y + 5 = 0. Determina las ecuaciones de las rectas paralela y perpendicular a la dada que pasan por el origen de coordenadas.

Tomamos dos puntos de la recta 2x – 3y + 5 = 0, por ejemplo P (- 1, 1) y Q (2, 3).

Un vector director es )2,3(== PQu . Un vector normal es )3,2( −=n .

La recta paralela a 2x – 3y + 5 = 0 que pasa por el punto O (0, 0) es 2x – 3y = 0.

La recta perpendicular a 2x – 3y + 5 = 0 que pasa por el punto O (0, 0) es 3x + 2y = 0.

11. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1, - 4) y forma un ángulo de 60º con la recta

x – y = 1.

Llamamos m a la pendiente de la recta que pide el enunciado. La pendiente de la recta x – y = 1 vale 1.

Utilizando la expresión del ángulo que forman dos rectas en función de sus pendientes, obtenemos:

32...11

31·1

1º60 −−=⇒⇒

+−

=⇒+−

= mmm

mm

tg

La ecuación de la recta pedida es:

( ) ( ) ( )2332)1(·324 −+−−=⇒−−−=+ xyxy

Hay otra solución y es:

23...1

13

·111

º60 −=⇒⇒+−

=⇒+−

= mm

mmm

tg

La ecuación de la otra recta es: ( ) ( ) ( )3223)1(·234 −−+−=⇒−−=+ xyxy


7


12. Halla las siguientes distancias:

a) Del punto A(1, −3) al punto P(4, 5).

b) Del punto B(3, 0) a la recta de ecuación 3x − 4y − 8 = 0.

c) Entre las rectas 4x + 3y − 12 = 0 y 8x + 6y + 1 = 0.

a) La distancia entre los puntos A y B es: ( ) ( ) ..54,8733514),( 22 luBAd ≈=++−=

b) La distancia del punto B a la recta es: ..20,051

)4(3

80·43·3),(

22lurAd ==

−+

−−=

c) Al ser las rectas paralelas, la distancia de la primera recta a la segunda es la distancia de un punto cualquiera de la primera recta, por ejemplo P (3, 0) a la segunda recta. Esa distancia es:

..50,21025

68

10·63·8),(),(

22lusPdsrd ==

+

++==

13. Determina la ecuación de la recta paralela a 12x + 5y − 10 = 0 y que diste de ella dos unidades.

Todas las recta paralelas a la recta 12x + 5y – 10 = 0 tienen por expresión 12x + 5y + C = 0.

Tomamos un punto de la recta 12x + 5y – 10 = 0, por ejemplo P (0, 2) e imponemos la condición del enunciado, obteniendo:

.213

10

512

2·50·12),(),(

22=

+=

+

++==

CCsPdsrd

Operando:

−==

⇒

−=+=+

⇒=+⇒=+

3616

26102610

2610213

10CC

CC

CC

Obtenemos dos soluciones, las rectas 12x + 5y + 16 = 0 y 12x + 5y – 36 = 0.


8


1. Puentes. En una ciudad hay un parque acuático en forma rectangular con puentes de piedra rectos, como muestra la figura, que unen los distintos puntos y el resto es agua.

Si siempre hago el mismo recorrido OPQSTROPQSTR… por los puentes ¿En que letra terminaré después de pasar por 16430 puntos? ¿Podría hacer un recorrido pasando por todos los puentes una sola vez empezando en O? ¿Y empezando en P? Explícalo.

Siguiendo el orden natural, numeramos las letras del recorrido OPQSTROPQSTR… y obtenemos:

O P Q S T R

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 …

Observamos que las letras se repiten de 6 en 6. Dividimos 16430 entre 6 y obtenemos: 16430 = 6 · 2738 + 2

Como el resto es 2 el recorrido acaba en la letra P.

Empezando en el punto O podemos hacer el recorrido de esta forma: OPTORTSPQSRQ.

El recorrido propuesto comenzando en P no es posible. Una posible explicación puede ser la que sigue:

En el punto P confluyen 4 puentes, con estos 4 puentes puedo salir y entrar (en el punto citado) dos veces y ya no puedo salir. En el posible recorrido, en los puntos O y Q confluyen 3 puentes de forma que con ellos pueden entrar, salir y entrar, y ya no puedo salir. Esto hace que sea imposible el recorrido propuesto.


9

2. Cromos. Juan colecciona cromos de los dos equipos de fútbol que hay en su ciudad, el equipo A y el equipo B. Los cromos los pega en las seis hojas de un álbum, de modo que en cada hoja hay jugadores del equipo A o del equipo B, pero nunca están mezclados. El número de cromos que hay pegados en cada hoja son 6, 12, 14, 15, 23 y 29. Juan, señalando una de las hojas, afirma: «si regalo esta hoja de cromos quedarán el doble de cromos del equipo A que del equipo B». ¿Es posible que la hoja a la que se refiere Juan sea la de 14 cromos? ¿Podría ser la de 15 cromos? ¿Y la de 12 cromos? Formula un criterio sencillo para decidir qué hojas no podría regalar.

Procuramos comprender el enunciado y el significado de las condiciones que en él aparecen. Una vez entendido optamos por la estrategia de experimentación: probar con los datos del problema si se cumple o no la afirmación de Juan.

a) Si regala la hoja de 14 cromos quedan las hojas de 6, 12, 15, 23 y 29 cromos. ¿Es posible separarlos en dos grupos, de forma que en uno queden el doble de cromos que en otro?

Hacemos pruebas con los números 6, 12, 15, 23 y 29:

6 + 29 = 35 12 + 15 + 23 = 50, no se cumple.

12 + 23 = 35 6 + 15 + 29 = 50, no se cumple.

Sumamos todos los cromos: 6 + 12 + 15 + + 23 + 29 = 85 y este número es imposible dividirlo en dos partes, donde una sea el doble que la otra. La razón es que 85 no es un número múltiplo de 3.

Por tanto, la hoja de 14 cromos no puede ser.

b) Si regala la hoja de 15 cromos quedan las hojas de 6, 12, 14, 23 y 29 cromos. ¿Es posible separarlos en dos grupos, de forma que en uno queden el doble de cromos que en otro?


6 + 29 = 35 12 + 14 + 23 = 49, no se cumple.

12 + 23 = 35 6 + 14 + 29 = 49, no se cumple.


10

Sumamos todos los cromos: 6 + 12 + 14 + + 23 + 29 = 84. Este número es posible dividirlo en dos partes, donde una sea el doble que la otra, estas son 56 + 28 = 84. Sin embargo, con los números que tenemos no podemos obtener sumándolos estos números.

Por tanto, la hoja de 15 cromos no puede ser.

c) Si regala la hoja de 12 cromos quedan las hojas de 6, 14, 15, 23 y 29 cromos. ¿Es posible separarlos en dos grupos, de forma que en uno queden el doble de cromos que en otro?


6 + 29 = 35 14 + 15 + 23 = 52, no se cumple.

14 + 15 = 29 6 + 23 + 29 = 58, si se cumple.

29 6 + 14 + 14 + 23 = 58, si se cumple.

23 + 6 = 29 14 + 15 + 29 = 58, si se cumple.

La hoja de 12 cromos puede ser la regalada.

d) Observamos que, para poder separar un número en dos grupos, de forma que en un grupo quede el doble de cantidad que, en el otro, el número original debe ser un múltiplo de 3.

El criterio buscado para decidir que hojas no puede regalar podría formularse en la forma:

Sumamos todos los cromos 6 + 12 + 14 + 15 + 23 + 29 = 99, restamos de 99 cada uno de los números 6, 12, 14, 15, 23 y 29 y la diferencia no debe ser un número múltiplo de 3.

Probando con cada hoja, obtenemos:

● 99 – 6 = 93, al ser múltiplo de 3, la hoja de 6 cromos podría regalar.



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● 99 – 14 = 85, al no ser múltiplo de 3, la hoja de 14 cromos no podría regalar.


● 99 – 23 = 76, al no ser múltiplo de 3, la hoja de 23 cromos no podría regalar.

● 99 – 29 = 70, al no ser múltiplo de 3, la hoja de 29 no cromos podría regalar.

3. Enlosados. Quiero embaldosar una senda del jardín que mide 210 cm de largo y 60 cm de ancho. Las baldosas miden 30 cm por 60 cm, ¿cuántas baldosas necesito? ¿De cuántas formas diferentes puedo embaldosarlas? Un ejemplo de embaldosado puede verse en el dibujo.

Estudia distintos tamaños de senderos desde el que mide 30 x 60 hasta el del problema.

Embaldosamos senderos más pequeños con el mismo tipo de baldosas y tenemos:

● Sendero 30 x 60: 1 forma.

● Sendero 60 x 60: 2 formas.



12




13



14


El número de formas de embaldosar 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… es la sucesión de Fibonacci, en la cual cada término es igual a la suma de los dos términos anteriores.


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4. La edad de mi hermana. Mi hermana Ana nació en el siglo XXI y jugando con su edad observo que el 6 de enero de 2024 cumplirá tantos años como la suma de los dígitos de su año de su nacimiento. ¿Sabrías determinan en qué año nació mi hermana Ana?

Ana nació en el año 20ab.

Imponiendo las condiciones del enunciado obtenemos: 2024 – 20ab = 2 + 0 + a + b.

De modo que: (2 · 1000 + 2 · 10 + 4) – (2 · 1000 + a · 10 + b) = 2 + a + b ⇒ 11 · a + 2 · b = 22

Como a y b han de ser números naturales, los únicos valores que verifican la ecuación son a = 2 y b = 0.

Por lo que Ana nació en el año 2020.


1. Dibuja cuatro vectores equipolentes al vector fijo ABu = de extremos los puntos A(3, 4) y B(5, 7) cuyo origen sean los puntos O(0, 0); C (– 2, – 2); D (3, – 2) y E(– 2, 5).

Procedemos como en el apartado de VECTORES EN EL PLANO y obtenemos:

2. Determina el ángulo existente vectores ABu = y entre los

BCv = siendo A(0, 0); B(4, 3) y C(6, 2).


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Seguimos los pasos: a) Repite los primeros apartados de la construcción de vectores. b) Con la herramienta Ángulo, dibuja el ángulo entre los dos vectores. c) Arrastra el punto B o el punto C y observa cómo varía el valor del ángulo.

3. Halla las distancias siguientes:

a) Del punto P(3, 4) al punto Q(– 2, 6).

b) Del punto P(7, 8) a la recta r ≡ 3x + 4y – 12 = 0.

c) Entre las rectas paralelas r1: 4x + 3y = 12 y r2: 4x + 3y = 20.

a) Los pasos a seguir son: i) En el Campo de Entrada introduce los puntos P = (3, 4) y Q = (-2, 6). ii) Dibuja, con Segmento, el segmento PQ y muestra su valor. También puede dibujarse el vector de extremos P y Q y determinar su longitud.

iii) También podemos hallar la longitud del segmento con el comando Longitud (<Objeto>), esta aparece en la Vista Algebraica.

iv) Arrastra el punto P o el punto Q y observa cómo cambia el valor de la distancia.

b) Seguimos los pasos indicados:


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i) En el Campo de Entrada introduce la recta r ≡ 3x + 4y = 12. ii) Arrastra el origen de coordenadas para dejarlo como aparece en el dibujo. iii) En el Campo de Entrada, introduce el punto P = (7, 8) y muestra su valor. iv) Dibuja una recta perpendicular desde P a r. Halla el punto Q, intersección de las dos rectas. v) Oculta la recta perpendicular. Dibuja el

segmento PQ y muestra su valor.

vi) Arrastra el punto P o haz doble-clic en la Ventana Algebraica sobre la recta, y modifícala y observa cómo cambia el valor de la distancia.

c) Realizamos las etapas que siguen: i) En el Campo de Entrada introduce las rectas r1: 4x + 3y = 12 y r2: 4x + 3y = 20. ii) Dibuja un punto P sobre la recta r1. Traza la perpendicular por P a la recta r2. Halla el punto Q, intersección de las dos rectas. iii) Oculta la recta perpendicular. Dibuja el segmento PQ y muestra su valor.

iv) Arrastra cualquiera de la rectas, el punto P o haz doble-clic en la Ventana Algebraica sobre la rectas, y modifícalas y observa cómo cambia el valor de la distancia.

ACTIVIDADES FINALES de la página 171

1. Para cada uno de los siguientes polígonos regulares, indica cuales de los vectores dibujados son equipolentes.


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Son equipolentes los siguientes vectores:

a) En el cuadrado: QCyAP ; BCyAD ; RAyCR .

b) En el pentágono: UFyHT ; SIyGT .

c) En el hexágono: NOyLK ; OJyML .

2. Las coordenadas de un vector fijo v son (3, 2), si su origen es el punto A (5, 2) halla las coordenadas de su extremo.

El extremo del vector es el punto de coordenadas (8, 4).

3. Un vector fijo w tiene de coordenadas (- 4, 5) y su extremo es el punto P de coordenadas (0, - 3). Halla las coordenadas de su origen.

El origen del vector es el punto de coordenadas (4, - 8).

4. Dados los vectores )12,5()4,3();5,1( =−== uywv , determina:

a) uwv ,,

b) El coseno del ángulo que forman dos a dos.

c) Los ángulos que forman dos a dos.

d) uwv −+ analítica y gráficamente.

e) - v3


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f) Un vector normal a w

Las soluciones de los diferentes apartados son:

a) 13;5;26 === uwv

b) ( )265

17,cos =wv ( )265

261365,cos ==uv ( )

6533,cos =uw

c) ( ) ´´47´10º48, =wv ( ) ´´36´18º11, =uv ( ) ´´23´29º59, =uw

d) )21,3(=++ uwv

e) v3 = 3 · (1, 5) = (3, 15).

f) Un vector normal a )3,4()4,3( nesw −= .

5. Halla el producto escalar wv · en los siguientes casos:

a) ( ) º45,;6;4 === wvwv c) )5,12();4,3( −−=−= wv

b) ( ) ( ) º60,;5,2;3 === wvwv d) )20,15();4,3( −=−= wv

La solución de cada apartado es:

a) ( ) 97,16212º45cos·6·4,cos··· ==== wvwvwv

b) ( ) 5,429º60cos·3·3,cos··· ==== wvwvwv


20

c) 16)5,12(·)4,3(· −=−−−=wv

d) 125)20,15(·)4,3(· −=−−=wv

6. Calcula el valor del producto escalar OBOA · en los siguientes polígonos regulares, cuyo lado mide 1 m.

En un polígono regular de n lados el ángulo central, α , mide n

º360=α .

La relación entre el radio de un polígono regular y el lado L es

2·2 αsen

Lr = .

En nuestro caso, L = 1, y el producto escalar vale:

2·4

coscos·

2·2

1·

2·2

1cos···2 αα

ααα

αsensensen

OBOAOBOA ===

a) En el triángulo equilátero º120=α y el producto escalar es: 1667,0º60·4

º120cos· 2 −==

senOBOA .

b) En el pentágono regular º72=α y el producto escalar es: 2236,0º36·4

º72cos· 2 ==

senOBOA .

c) En el hexágono regular º60=α y el producto escalar es: 5,0º30·4

º60cos· 2 ==

senOBOA .

d) En el octógono regular º45=α y el producto escalar es: 2071,1º5,22·4

º45cos· 2 ==

senOBOA .


21

7. Encuentra los puntos que dividen al segmento de extremos A (2, 0) y B (6, 6) en:

a) Dos partes iguales

b) Tres partes iguales

c) Cuatro partes iguales.

a) El punto medio M es el punto que divide al segmento de extremos A y B.

Las coordenadas del punto medio son: ( )3,42

60,

262

MM =

++ .

b) Sean P (a, b) y Q (c, d) los puntos que dividen al segmento de extremos A y B en tres partes iguales.

El punto P (a, b) cumple:

( )

⇒

=

=⇒

=

=−⇒=−⇒= 2,

310

23

10

2342

)6,4(·31,2·

31 P

b

a

b

abaABAP

El punto Q (c, d) cumple:

( )

⇒

=

=⇒

=

=−⇒=−⇒= 4,

314

43

14

4382

)6,4(·32,2·

32 Q

d

c

d

cdcABAQ

c) Los puntos que dividen al segmento de extremos A y B en cuatro partes iguales son:

( )

29,53,4,

23,3 EyDC

8. Un paralelogramo tiene tres vértices en los puntos de coordenadas (- 1, 1); (0, - 1) y (3, 2). Halla las coordenadas del cuarto vértice. ¿Cuántos resultados puedes obtener?

Existen tres soluciones que son los puntos D1 (2, 4); D2 (- 4, - 2) y D3 (4, 0).


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9. Dados los vectores ).,12();4,( ywxv == Calcula x e y, de modo que ambos vectores sean

perpendiculares y .15=w

Hay dos valores posibles: x1 = - 3 con y1 = 9 y x2 = - 3 con y2 = - 9.

10. Dados los vectores )6,2()1,3( −== wyv , halla un vector u unitario y perpendicular al vector

.wv +

Las soluciones son los vectores unitarios

22,

22 y

−−

22,

22 .

11. Sean wyv dos vectores unitarios. Demuestra que el vector suma de ambos es ortogonal al vector diferencia de ambos.

La demostración aparece a continuación:

Como wyv son unitarios, entonces 1== wv .

Calculemos el producto escalar de ( wv + ) por ( wv − ): ( ) 0···)( 22=−=−=−+ wvwwvvwvwv .

Al ser su producto escalar nulo, podemos decir que son ortogonales.


23

12. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son los puntos A (2, 3) y B (5, - 1). Halla las coordenadas de los otros vértices y el área del cuadrado.

El vector que une los vértices A y B es )4,3( −=ABv .

Mediante los vectores perpendiculares y paralelos al vector )4,3( −=ABv obtenemos las dos soluciones del problema como se observa en el dibujo.

Cualquiera de los dos cuadrados tiene de lado 5 unidades y de área 25 u. c.

13. Justifica vectorialmente que el triángulo de vértices A (3, - 1), B (5, 3) y C (- 1, 1) es rectángulo e isósceles.

Sean los vectores )2,4()4,2( −== ACyAB . Se cumple: 02·4)4(·2· =+−=ACAB . Por tanto, el triángulo es rectángulo en el vértice A.

Además: 2042 22 =+=AB y 202)4( 22 =+−=AC . Los lados AB y AC tiene la misma

longitud y el triángulo es isósceles.


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14. Halla, de todas las formas que conozcas, las ecuaciones de las rectas en cada uno de los siguientes casos:

a) Pasa por el punto P (4, - 2) y tiene por vector director )3,1(−=v .

b) Pasa por los puntos P (- 2, - 5) y Q (2, 1).

c) Pasa por el punto A (-3, 4) y tiene de pendiente m = 3.

d) Pasa por el origen de coordenadas y forma un ángulo de 45º con el eje OX.

e) Pasa por el punto (1, - 3) y es paralela al eje de abscisas.

Las ecuaciones de las rectas aparecen en la tabla:

Ecuación

Vectorial

Ecuaciones

paramétricas

Ecuación

continua

Ecuación

general

Ecuación explícita

a)

(x, y) = (4, - 2) + t (- 1, 3)

+−=−=

tytx

324

32

14 +=

−− yx

3x + y - 10= 0

y = - 3x + 10

b)

)6,4(=u

(x, y) = (- 2, - 5) + t (4, 6)

+−=+−=

tytx

6542

65

42 +=

+ yx

3x - 2y – 4 = 0

223

−= xy


25

c)

)3,1(=u

(x, y) = (- 3, 4) + t (1, 3)

+=+−=

tytx

343

34

13 −=

+ yx

3x - y + 13 = 0

y = 3x + 13

d)

(x, y) = (0, 0) + t (1, 1)

==

tytx

11yx

=

x - y = 0

y = x

e)

)0,2(=u

(x, y) = (1, - 3) + t (2, 0)

−=+=3

21y

tx

03

21 +=

− yx

y + 3 = 0

y = - 3

15. Escribe en forma continua, paramétrica, vectorial y explícita la recta de ecuación 3x + 2y - 8 = 0

Dos puntos de esa recta son P (0, 4) y Q (4, -2). Un vector director pude ser )6,4(1 −=v o )3,2(2 −=v .

Con estos datos obtenemos las ecuaciones:

Ecuación vectorial: )3,2(·)4,0(),( −+= tyx Ecuaciones paramétricas:

−==

tytx

342

Ecuación continua: 34

2 −−

=yx Ecuación explícita: 4

23

+−= xy


26

16. Halla las ecuaciones de los ejes coordenados y de las bisectrices de cada uno de los cuadrantes.

Las ecuaciones de las rectas pedidas son:

● Eje OX: Pasa por el punto (0, 0) y uno de sus vectores directores es )0,1(=v . La ecuación será: y = 0.

● Eje OY: Pasa por el punto (0, 0) y uno de sus vectores directores es )1,0(=v . La ecuación será: x = 0.

● Bisectriz 1er y 3er cuadrante: Pasa por el punto (0, 0) y forma un ángulo de 45º con el eje OX, es decir: m = tg 45º = 1. La ecuación será: y = x.

● Bisectriz 2o y 3o cuadrante: Pasa por el punto (0, 0) y forma un ángulo de 135º con el eje OX, es decir: m = tg 135º = - 1. La ecuación será: y = - x.

17. Halla, de todas las formas que conozcas, las ecuaciones de las rectas en cada uno de los casos:

a) La recta viene determinada por el punto P (2, 1) y el vector )1,2(=u .

Sus ecuaciones son:

- Vectorial en coordenadas: (x, y) = (2, 1) + t · (2, 1); t ∈ R. - Paramétricas:

∈+=+=

Rttytx

;122

- Continua: 1

12

2 −=

− yx - Implícita: x – 2y = 0 - Explícita: xy21

=


27

b) La recta viene determinada por el punto P (1, 2) y el vector )1,2( −== PQu .

Sus ecuaciones son:

- Vectorial en coordenadas: (x, y) = (1, 2) + t · (2,-1); t ∈ R. - Paramétricas:

∈−=+=

Rttytx;2

21

- Continua: 12

21

−−

=− yx - Implícita: x + 2y – 5 = 0 - Explícita:

25

21

+−= xy

c) La recta viene determinada por el punto P (1, 1) y la pendiente m = - 2.

Sus ecuaciones son:

- Vectorial en coordenadas: (x, y) = (1, 1) + t · (2, - 4); t ∈ R. - Paramétricas:

∈−=+=

Rttytx;41

21

- Continua: 41

21

−−

=− yx - Implícita: 2x + y – 3 = 0 - Explícita: 32 +−= xy

d) La recta viene determinada por el punto P (2, 0) y el ángulo con el eje OX, º120=α .


28

Sus ecuaciones son:

- Vectorial en coordenadas: ( )32,2·)0,2(),( −+= tyx ; t ∈ R. - Paramétricas:

∈=

−=

Rtty

tx

;32

22

- Continua: 322

2 yx=

−− - Implícita: 0323 =−+ yx - Explícita: 323 −−= xy

18. Estudia la posición relativa de cada uno de los siguientes pares de rectas.

a)

=+−=−+

0924:032:

yxsyxr

b)

=+−

+=

02410:21

25:

yxs

xyr

c) ( ) ( ) ( )

=−+−+−=

0164:2,31,2,:

yxstyxr

La posición relativa de los pares de rectas es:

a) Secantes b) Coincidentes c) Paralelas

19. Halla un vector director y uno normal a las rectas de ecuaciones:

a) 4x + 3y - 5 = 0 b) 4

23 +=−

yx c) y = - 3x – 6 d)

−=+−=ty

tx2

1

Los vectores directores y normales son, respectivamente:

a) )3,4()4,3( =−= nyu c) )1,3()3,1( =−= nyu

b) )1,4()4,1( −== nyu d) )1,1()1,1( =−= nyu


29

20. Calcula el ángulo que forman las rectas r y s en cada uno de los siguientes casos:

a)

=+−+=

0528:34:

yxsxyr

b)

+=−

−=

−12:

31

4:

yxs

yxr c)

=

=−=

)6,8(),(:4

32:

tyxsty

txr

Los ángulos de las rectas son:

a) 0º b) 81º 52´ 12´´ c) 90º

21. Sea la recta de ecuación 2x + ay – 6 =0. Halla el valor de a en cada uno de los siguientes apartados:

a) La recta pasa por el punto (7, -2).

b) Tenga de pendiente m = - 3.

c) Sea paralela a la recta de ecuación 4x – 3 y + 1 = 0

Los valores del parámetro a en cada caso son:

a) a = 4 b) 32

=a c) 23

−=a


22. Calcula el perímetro del rectángulo de vértices A (0, 2), B (6, 10), C (10, 7) y D (4, - 1).

El perímetro del rectángulo mide 30 unidades lineales.

23. Halla la distancia del punto A (3, 2) a la recta 5x - 12y - 4 = 0.

La distancia del punto A (3, 2) a la recta r: 5x - 12y - 4 = 0 es:

( ) .11313

125

42·123·5,

22linealunidadrAd ==

+

−−=


30

24. Determina el área del cuadrado que tiene dos de sus lados en las rectas r: 4x + 3y - 5 = 0; s: 8x + 6y + 7 = 0.

La longitud del lado del cuadrado es la distancia que separa a las rectas paralelas r: 4x + 3y - 5 = 0 y s: 8x + 6y + 7 = 0.

Esta longitud es la distancia entre el punto P (2, - 1) perteneciente a la recta r, y la recta s:

( ) 7,11017

68

7)1(·62·8,

22==

+

+−+=sPd .

El área del cuadrado es 1,72 = 2,89 unidades cuadradas.

25. Calcula, en cada uno de los casos, las ecuaciones de la recta paralela y perpendicular a la dada por el punto que se indica:

a) 7x – 2y + 3 = 0; P (0, 0)

b) y = - 3x + 4; P (- 1, 2)

c) 5

32

+=

−yx ; P (3, 4)

Las rectas pedidas son:

a) Paralela: 7x – 2y = 0 Perpendicular: 2x + 7y = 0

b) Paralela: 3x + y + 1 = 0 Perpendicular: x – 3y + 7 = 0

c) Paralela: 5x + 2y - 23 = 0 Perpendicular: 2x – 5y + 14 = 0


31

26. Halla la ecuación de la recta paralela a la bisectriz del primer cuadrante y que pasa por el punto de intersección de las rectas 5x + 2y + 4 = 0; 3x - 4y +18 = 0.

El punto de intersección es (-2, 3). La recta es x – y + 5 = 0.

27. Las ecuaciones de dos rectas son: 3x – 5y + 2 = 0 y 6x + my = 1. Halla el valor de m para que:

a) Las rectas sean paralelas.

b) Las rectas sean perpendiculares.

c) Las rectas sean coincidentes.

d) La segunda recta pase por el punto (6, 5).

El valor de m en cada uno de los apartados es:

a) El valor de las pendientes de las rectas es m

mym 653

21−

=−−

= . Si son paralelas las pendientes deben

coincidir:

.10653

21 −=⇒−

=−−

⇒= mm

mm

b) El valor de las pendientes de las rectas es m

mym 653

21−

=−−

= . Si son perpendiculares sus pendientes

cumplen m1 · m2 = - 1:

.5

1816·531· 21 =⇒−=

−−−

⇒−= mm

mm

c) No existe ningún valor de m para que sean coincidentes.

d) Si el punto P (6, 5) pertenece a la recta 6x + my = 1, se cumplirá: 36 + 5m = 1, es decir, m = - 7.


32

28. Halla la ecuación de la recta mediatriz del segmento de extremos A(4, −3) y B(−6, 5).

La ecuación de la recta buscada es 5x – 4y + 9 = 0.

29. La recta de ecuación 2x + 3y = 7 es mediatriz del segmento PQ. Sabiendo que Q tiene de coordenadas (7, 2), halla las coordenadas del punto P.

El punto es P (3, -4).

30. Halla el punto de la recta 3x – 2y + 8 = 0 que equidiste de los puntos P (5, 3) y Q (1, - 1).

El punto de la recta que equidista de los dos del enunciado es (0, 4).

31. Halla la proyección del punto B (2, 2) sobre la recta x + 2y + 4 = 0.

El punto proyección es (0, - 2).

32. Halla el punto de la recta 2x + 3y – 13 = 0 que esté más próximo al origen de coordenadas.

El punto de la recta 2x + 3y – 13 = 0 más cercano al origen de coordenadas es (2, 3).

33. La trayectoria de un barco sigue la recta de ecuación x – y + 2 = 0.

a) ¿En qué punto de su trayectoria se encontrará más cerca de un faro situado en el punto (6, 0)?

b) ¿Cuál es el valor de esa distancia mínima?

a) La recta perpendicular a la recta x – y + 2 = 0 por el punto F (6, 0) es x + y – 6 = 0.


33

La posición del barco, B, más cercana al punto F (6, 0) es el punto intersección de las rectas:

)4,2(42

62

Byx

yxyx

⇒

==

⇒

=+−=−

b) La distancia mínima es ( ) 2432)04(62),( 22 ==−+−=BFd unidades lineales.

Esta distancia coincide con la distancia del punto F a la recta x – y + 2 = 0.

34. Un rayo láser parte del punto A (3, 4) y se refleja sobre la recta x + y – 13 = 0 en el punto C (8, 5). Halla la ecuación del rayo reflejado.

La recta perpendicular a la recta x + y – 13 = 0 que pasa por el punto C (8, 5) es x – y – 3 = 0.

El punto simétrico de A (3, 4) respecto a la recta x – y – 3 = 0 es el punto A´ (7, 0).

El rayo reflejado es la recta que pasa por los puntos C (8, 5) y A´ (7, 0) y tiene por ecuación 5x – y – 35 = 0.

35. Entre todas las rectas que pasan por el punto P (3, 4), encuentra la que determina dos segmentos al cortar a los dos ejes cartesianos, de forma que uno tenga el doble de longitud que el otro.

La ecuación de las rectas que pasan por el puno P (3, 4) y tienen pendiente m es:

y – 4 = m · (x – 3) ⇒ mx – y - 3m + 4 = 0

Las coordenadas del punto A, punto de corte de la recta anterior con el eje OX son:

−

⇒

=

−=

⇒

=−=−

0,43

0

43

043

mm

Ay

mm

xy

mymx


34

Las coordenadas del punto B, punto de corte de la recta anterior con el eje OY son:

( )43,043

00

43+−⇒

+−==

⇒

=−=−

mBmy

xx

mymx

■ Supongamos que OA = 2 · OB:

⇒=−−⇒⇒+−=−

0456...)43(·243 2 mmm

mm

−=

==

±=

+±=⇒

21

34

12115

124·6·455

2

12

m

mm

- Para 34

=m , los puntos de corte con los ejes son: A (0, 0) y B (0, 0). La ecuación de la recta es 4x – 3y =

0. Esta solución que carece de sentido.

- Para 21

−=m , los puntos de corte con los ejes son: A (11, 0) y B (0, 11/2). La ecuación de la recta es x +

2y – 11 = 0.

■ Supongamos que OB = 2 · OA:

⇒=−+⇒⇒−

=+− 0823...43

·243 2 mmm

mm

−=

==

±−=

+±−=⇒

234

6102

68·3·442

2

1

m

mm

- Para 34

=m , los puntos de corte con los ejes son: A (0, 0) y B (0, 0). La ecuación de la recta es 4x – 3y =

0. Esta solución que carece de sentido.

- Para 2−=m , los puntos de corte con los ejes son: A (5, 0) y B (0, 10). La ecuación de la recta es 2x + y – 10 = 0.


35

36. Los puntos medios de los lados de un triángulo ABC son, respectivamente, M (7, 5), N (1, 3) y P (2, - 2).

a) Halla las coordenadas de los vértices del triángulo ABC.

b) Determina las ecuaciones de los lados del triángulo ABC.

c) Encuentra el valor de los ángulos de ambos triángulos.

a) Sean A (a, b), B (c, d) y C (e, f) las coordenadas de los vértices del triángulo ABC.

Se cumple: 22

22

32

12

52

72

−=+

=+

=+

=+

=+

=+ fdecfbeadbca

Resolviendo el sistema, obtenemos:

−=−=

====

⇒⇒

−=+=+=+=+=+=+

44

08106

...

44610214

fedcba

fdecfbdbeaca

Los vértices del triángulo ABC son A (6, 10), B(8, 0) y C (- 4, - 4).

b) Las ecuaciones de los lados son:

AB: 5x + y – 40 = 0

AC: 7x – 5y + 8 = 0

BC: x – 3y – 8 = 0

c) Los ángulos del triángulo ABC son:


36

- Ángulo en el vértice A, con los vectores )14,10()10,2( −−=−= ACyAB .

´´4,51´50º466839,0296·104

120cos =⇒== AA

- Ángulo en el vértice B, con los vectores )4,12()10,2( −−=−= BCyBA .

´´06,30´7º971240,0160·104

16cos =⇒−=

−= BB

- Ángulo en el vértice C, con los vectores )4,12()14,10( == CByCA .

´´54,38´1º368087,0160·296

176cos =⇒== CC

Procediendo de forma idéntica hallamos los ángulos del triángulo MNP:

- Ángulo en el vértice M: 36º 1´ 38,54´´

- Ángulo en el vértice N: 97º 7´ 30,06´´

- Ángulo en el vértice P: 46º 50´ 51,4´´


37

37. Sean las rectas de ecuación x + y = 5 y x – y = - 5.

a) Calcula la distancia del origen a cada una de dichas rectas.

b) Halla los puntos A y B de dichas rectas para los que la distancia anterior es mínima.

c) Halla el área del triángulo OAB.

a) Las distancias del origen O (0, 0) a las rectas r: x + y – 5 = 0 y s: x – y + 5 = 0 son:

2

252

5

11

500),(

22==

+

−+=rOd unidades lineales.

2

252

5

)1(1

500),(

22==

−+

+−=sOd unidades lineales.

b) Sea A el punto buscado en la recta x + y – 5 = 0. Este será el punto intersección de la citada recta con la perpendicular a ella por el origen, cuya ecuación es x – y = 0.

Las coordenadas del punto A son las soluciones del sistema:

⇒

=

=⇒

=−=+

25,

25

2525

05

Ay

x

yxyx

Sea B el punto buscado en la recta x - y + 5 = 0. Este será el punto intersección de la citada recta con la perpendicular a ella por el origen, cuya ecuación es x + y = 0.

Las coordenadas del punto B son las soluciones del sistema:

−⇒

=

−=⇒

=+−=−

25,

25

25

25

05

By

x

yxyx

c) En el triángulo AOB tenemos que la longitud de la base es la distancia entre los puntos A y B:

5250525

25

25

25),( 22

22

==+=

−+

+=BAd


38

La longitud de la altura coincide con las ordenadas de A y B, es decir, 25 .

El área del triángulo será: 25,6425

25·5·

21

== unidades cuadradas.


38. En el triángulo de vértices A (- 3, 2), B (1, 6) y C (4, - 3), halla las ecuaciones de:

a) La mediatriz del lado AB.

b) La mediana trazada desde el vértice C.

c) La altura desde el vértice C y el punto donde corta al lado AB.

a) La ecuación de la recta que pasa por los vértices A (- 3, 2) y B (1, 6) es:

05532313

262

=+−⇒+=⇒+=−⇒++

=−− yxxyxyxy

La mediatriz del lado AB pasa por su punto medio M (- 1, 4) y es perpendicular al lado AB. Su ecuación es:

y – 4 = - (x + 1) ⇒ y = - x + 3 ⇒ x + y - 3 = 0.

b) La mediana desde C es la recta que pasa por C (4, - 3) y M (- 1, 4). Su ecuación es:

01357)4(573

414

343

=−+⇒−−=+⇒−−−

=++ yxxyxy .

c) La altura desde el vértice C (4, - 3) pasa por este punto y es perpendicular a la recta AB. Su ecuación es:

y + 3 = - (x – 4) ⇒ y = - x + 1 ⇒ x + y – 1 =0.


39

El punto, P, de corte de la altura con el lado AB es la solución del sistema:

).3,2(3

21

5−⇒

=−=

⇒

=+−=−

Pyx

yxyx

39. Dados los puntos A (4, -1) y B (2, 5) y la recta x +2 y - 7 = 0, halla:

a) El simétrico del punto B respecto del origen de coordenadas.

b) El simétrico del punto A respecto de la recta dada.

La solución queda:

a) El simétrico del punto B (2, 5) respecto del origen de coordenadas es B´ (- 2, - 5).

b) El simétrico del punto A (4, - 1) respecto de la recta x + 2y – 7 = 0 es A´ (6, 3).

40. Dada la recta 3x + 4y – 1 = 0, determina:

a) Las ecuaciones de las rectas paralelas a la dada y que disten de ella tres unidades de longitud.

b) Las ecuaciones de las rectas perpendiculares a la dada que disten seis unidades del origen de coordenadas.

Las respuestas son:

a) Todas las rectas paralelas a la dada tiene por ecuación 3x + 4y + K = 0. Basándonos en esto, calcularemos el valor de K que cumpla las condiciones dadas.

Tomamos un punto de la recta 3x + 4y – 1 = 0, por ejemplo P (- 1, 1), entonces:

−==

⇒=+⇒=+

⇒=+

++−

1614

15135

13

43

1·4)1(·322 K

KK

KK


40

Hay dos rectas paralelas que disten 3 unidades de la dada y son las rectas de ecuaciones:

3x + 4y + 14 = 0 3x + 4y – 16 = 0

b) Todas las rectas perpendiculares a la dada tiene por ecuación 4x - 3y + K = 0. Si distan 6 unidades del origen de coordenadas, se cumplirá:

−==

⇒=⇒=⇒=−+

+−30

30306

56

)3(4

0·3)0(·422 K

KK

KK

Hay dos rectas perpendiculares que disten 36unidades del origen de coordenadas y son las rectas de ecuaciones:

4x - 3y + 30 = 0 4x - 3y – 30 = 0

41. Un triángulo isósceles ABC tiene por lado desigual el segmento que une los puntos A (-1, 7) y B (5, 3). El vértice C está situado sobre la recta 2x + y - 16 = 0. Halla las coordenadas de este vértice y el área del triángulo.

El vértice C es el punto C (4, 8) y el área del triángulo isósceles es 13 unidades cuadradas.

42. Euler demostró que en un triángulo el ortocentro, el circuncentro y el baricentro pertenecen a una recta y esta se llama recta de Euler. En el triángulo de vértices A (0, 0), B (-2, 6) y C (8, 0) halla estos puntos notables y demuestra que están alineados. Halla la ecuación de la recta de Euler.

Las coordenadas de los puntos notables son: ortocentro

−−

310,2 , circuncentro

314,4 y baricentro (2, 2).

Puede comprobarse que los puntos anteriores están sobre la recta de Euler, de ecuación 4x – 3y – 2 = 0.


41

43. Los puntos B (3, 2) y D (5, 4) son vértices opuestos de un rombo ABCD. El vértice A esta en el eje de ordenadas. Halla los vértices A y C.

Los vértices A y C son los puntos A (0, 7) y C (8, - 1).

44. Un triángulo ABC tiene dos vértices en los puntos A (1, 3) y B (2, 1). El tercer vértice está situado en la recta x + y + 3 = 0 y el área del triángulo es de seis unidades cuadradas. Halla las coordenadas del tercer vértice.

El vértice C por pertenecer a la recta es C (a, - 3 – a).

−==

==⇒=

58),(

5).,(

2·

arCdaltura

BAdbasealturabaseÁrea

AB

Operando:

( )( )

−⇒−=−⇒=

⇒=−⇒−

=1,4423,2020

1285

8·5·216

CaCa

aa

45. Los puntos A (3, 5) y B (7, 1) son los vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice C está en la bisectriz del cuarto cuadrante. Determina los vértices C y D y el área del rectángulo.

El vértice C está en la intersección de la recta perpendicular a AB por B y la bisectriz del 4º cuadrante.


42

⇒−= )4,4(ABV la recta perpendicular tiene por vector )4,4(=w y pasa por B (7, 1) ⇒

).3,3(06

006

41

47

−⇒

=−−=+

⇒=−−⇒−

=−

⇒ Cyxyx

yxyx

El vector )4,4( −−=BCV es paralelo e igual a ADV , luego D (- 1, 1)

Área del rectángulo = base · altura = d (B, C) · d (A, B) =

= .32)4(4·44 22222 u=−++

46. Un paralelogramo tiene un vértice en el punto P (4, 6) y dos lados en las rectas y = 5x + 2; x + 3y + 10 = 0. Halla los vértices del paralelogramo y su área.

Los vértices del paralelogramo buscado son: A (4, 6); el punto B es el punto en el cual se corta la recta y = 5x + 2 y la paralela a x + 3y + 10 = 0, pasando por A (4, 6).

Es decir:

)7,1(0223

25B

yxxy

⇒

=−++=

)3,1(0103

25−−⇒

=+++=

Cyxxy

)4,2(0103

145D

yxxy

⇒

=++−=

El área vale 32 unidades cuadradas.


43

47. Desde el punto A (3, 0) se observa, bajo un ángulo recto, el pico más alto de una montaña situado en el punto B (1, 3), y una gasolinera situada en el punto C de la carretera. Determina las coordenadas de la gasolinera, sabiendo que la recta que contiene a la carretera tiene por ecuación 2x + y + 2 = 0.

La solución queda:

El punto C, por pertenecer a la recta, será de la forma C (a, - 2a – 2).

A la vista del dibujo se debe cumplir:

⇒=−−−−⇒= 0)3,2(·)22,3(0· aaVV ACAB ).2,0(0 −⇒= Ca

48. Dos depósitos de combustible están situados en los puntos M (0, 4) y N (3, 0). Se quiere construir una estación de distribución que esté a la misma distancia de M y de N, y a 10 km de una tubería recta que une M y N. ¿Cuál es el lugar adecuado para situar la estación?

La ecuación de la recta que pasa por los puntos M (0, 4) y N (3, 0) es:

01234)3(34

303

040

=−+⇒−−=⇒−−

=−− yxxyxy

Como el lugar de la estación, punto P, está a la misma distancia de M y de N, este punto estará en la mediatriz del segmento de extremos M y N. La ecuación de la mediatriz es la recta perpendicular a la recta

que pasa por A y por B, que pasa por el punto medio del segmento de extremos M y N,

2,

23Q :

87

43

23

432 +=⇒

−=− xyxy

Sea

+

87

43, aaP un punto cualquiera de la mediatriz, su distancia al punto Q será 10 km. Imponiendo

esta condición obtenemos:

10287

43

2310),(

22

=

−++

−⇒= aaQPd


44

Elevamos al cuadrado y operando, obtenemos la ecuación 100a2 – 300a – 6175 = 0. Las soluciones son:

a = 9,5 y a = - 6,5

Con las soluciones anteriores obtenemos dos posibles ubicaciones de la estación de distribución:

P1 (9,5; 8) y P2 (- 6,5; - 5,75)

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN de la página 175

Matemáticas en el arte

En tu localidad de residencia es probable que exista algún monumento o construcción especial: iglesia, palacio, museo, muralla, monasterio, plaza, parque, etc. Si no lo hubiere puedes buscarla en tu provincia o comunidad autónoma.

Estudia e investiga sobre las matemáticas que se encuentran en estos monumentos. Algunos aspectos a tener en cuenta:

● Historia del monumento.

● Planta del edificio: forma, simetrías, orientación, medidas, escalas, polígonos, proporciones.

● Elementos representativos: fachada, ventanas, arcos, rosetones, cúpulas, cimborrios, etc.

● Decoración de suelos y paredes: frisos, teselas, mosaicos, recubrimientos, etc.

● Análisis de los principales elementos de los arcos: centros, dimensiones, alturas, figuras tangentes.

El estudio de la geometría contenida en los elementos estudiados, así como sus propiedades, pueden ser dibujados con un programa de geometría dinámica o con regla y compás, además de ilustrarlo con fotografías.


45

Existe una amplísima bibliografía sobre la relación entre matemáticas y arte. Ofrecemos algunos textos significativos.

CORBALÁN, Fernando. (2010) La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza. RBA. Barcelona.

FERNÁNDEZ, I. y REYES, M. A. (2006) Geometría con el hexágono y el octógono. Proyecto Sur. Granada.

LIVIO, Mario. (2006) La proporción áurea. La historia de phi, el número más sorprendente del mundo. Ariel. Barcelona.

MARTÍN CASALDERREY, F. (2010) La burla de los sentidos. El arte visto con ojos matemáticos. RBA. Barcelona.

MEAVILLA SEGUÍ, V. (2007) Las matemáticas del arte. Inspiración ma(r)temática. Almuzara. Córdoba.

VV. AA. (2005) Geometría en los Reales Alcázares de Sevilla. Junta de Andalucía. Sevilla.

VV. AA. (2009) La proporción: arte y matemáticas. Graó. Barcelona.

VV. AA. (2009) Matemáticas en la catedral de Burgos. Caja Círculo. Burgos.

cuestiones iniciales de la página 154...matemáticas i - ud 7: geometrÍa analÍtica en el plano...

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