MOVIMIENTO RELATIVO A SISTEMA DE REFERENCIA EN TRASLACION Sean dos sistemas de referencia F y M que se mueven uno respecto del otro con velocidad constante.

En este caso, el movimiento relativo de uno respecto del otro ser rectilneo

uniforme

M se mueve con respecto de F. (Note sin embargo que el movimiento es relativo).

Supongamos que en el instante inicial dos orgenes coinciden por lo que

Llamamos y a la posicin de una partcula vista desde F y M respectivamente.

Adems se cumple a identidad vectorial . La relacin entre las posiciones vistas desde los dos sistemas de referencia es:

La relacin entre la velocidad se obtiene derivando esta expresin respecto del tiempo:

Y para obtener la relacin entre aceleraciones se vuelve a derivar:

al ser constante. EN COMPONENTES:

Si elegimos los ejes de forma que , y sean paralelos y que este dirigido a lo largo del eje X, podemos expresar de forma sencilla las ecuaciones anteriores en componentes:

EJEMPLO: INTERPRETACION GRAFICA DE Una barca es capaz de desarrollar una velocidad en aguas tranquilas. Sea la velocidad del agua de un ro respecto de la orilla. Con que ngulo debemos dirigir la barca para conseguir atravesar el ro siguiendo la direccin perpendicular a la orilla?

http://aransa.upc.es/ED/diego/apuntes/mov_rel_trasla.pdf

CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO Cuerpo Rgido Sistema dinmico que no presenta deformaciones entre sus partes ante la accin de fuerzas. Matemticamente, se define como cuerpo rgido aquel en que la distancia entre dos puntos cualesquiera del cuerpo permanece invariante. En estricto rigor, todos los cuerpos presentan algn grado de deformacin. Sin embargo, la supocision de rigidez total es aceptable cuando las deformaciones son de magnitud despreciable frente a los desplazamientos de cuerpo rgido y no afectan la respuesta del cuerpo ante las acciones extremas. Cuerpo Rgido en Movimiento Plano Caso en que cada partcula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo. Note que este caso incluye tanto el caso de cuerpos planos propiamente, tales como laminas, discos, etc. Movindose en su propio plano, como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita. Configuracin Supngase un cuerpo rgido en movimiento plano. Dos rectos AB y CD fijas al cuerpo, formando ngulos respectivamente con una referencia fija. Pero

donde es constante. Esto quiere decir que si se conoce la posicin angular de cualquier recta fija al cuerpo, se conoce la posicin angular del cuerpo. Adems,

por lo tanto, la velocidad angular y la aceleracin angular son las mismas para cualquier recta fija al cuerpo.

Para especificar la configuracin de un cuerpo rgido en movimiento plano es conveniente utilizar un sistema de referencia S fijo al cuerpo con origen en O. La configuracin del cuerpo rgido queda completamente determinada mediante las coordenadas y el ngulo que forma con

http://www.ociv.utfsm.cl/asignaturas/mecanica_racional/files/CAP5.pdf

TIPOS DE MOVIMIENTOS DE UN CUERPO RIGIDO EN EL PLANO En el plano, un cuerpo puede moverse de tres formas diferentes: traslacin, rotacin al rededor de un eje fijo y movimiento plano general.

Traslacion: Un cuerpo est en traslacin si todas las partculas (puntos) que lo componen describen la misma trayectoria. La traslacin puede ser rectilnea o curvilnea. [Figuras a y b].

(a) Traslacin rectilnea

(b) Traslacin curvilnea

Una caracterstica del movimiento de traslacin es que cualquier recta, considerada como perteneciente al cuerpo, permanece siempre en la misma direccin. Esto se puede apreciar en la figura a donde la recta AB es paralela a la recta AB.

Como el cuerpo no tiene movimiento rotacional a=0 entonces , la

fuerza resultante pasa por el centro de masa y se debe cumplir que .

ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE TRASLACION El movimiento de un cuerpo est completamente definido si se puede determinar la posicin de cualquier punto perteneciente a l en cualquier tiempo. A continuacin se presentarn para cada tipo de movimiento las relaciones matemticas que permiten definir el movimiento de un cuerpo con base en los conceptos explica. Consideremos dos puntos A y B de un cuerpo en traslacin, [Fig. 3-5]

La posicin de A y B con respecto a un sistema xy de referencia se representan por medio de los vectores de posicin y

respectivamente, y la posicin de B con respecto de A

por . Como

se tiene que

Figura 3-5

Donde , y representan las derivadas con respecto del tiempo de los vectores , y

respectivamente. Puesto que en un movimiento de traslacin

no vara entonces es cero; por consiguiente

y como , en traslacin

[3-1]

Es decir, en traslacin, todos los puntos de un cuerpo tienen la misma velocidad.

De otra parte, la aceleracin de B es:

donde , y representan la segunda derivada con respecto del tiempo de los vectores , y

respectivamente. Como es cero, entonces

[3-2]

Entonces, en traslacin las aceleraciones de todos los puntos de un cuerpo tambin son iguales.

De las consideraciones anteriores con

respecto a , se puede postular que las derivadas respecto al tiempo de un vector que pertenece a un cuerpo en traslacin son cero

[3-3]

Rotacion Rotacin con respecto a un eje fijo. En este movimiento, las partculas que constituyen el cuerpo rgido se desplaza en planos paralelos, a lo largo de crculos centrados en el mismo eje fijo (figura 1.15) si este eje, llamado eje de rotacin, interseca el cuerpo rgido, las partculas localizadas en el eje tienen velocidad y aceleracin cero. No se debe confundir la rotacin con ciertos tipos de traslacin curvilnea. Por ejemplo, la placa mostrada en la (figura 1.16) esta sometida a una traslacin curvilnea, por que todas sus partculas se desplazan a lo largo de crculos paralelos, mientras que la placa mostrada en la figura 1.16b se encuentra sometida a rotacin, por que todas sus partculas se desplazan a lo largo de crculos concntricos. En el primer caso, cualquier lnea recta trazada en la placa conservara la misma direccin, mientras que, en el segundo caso, el punto O permanece fijo. Como cada partcula se mueve en un plano dado, se dice que la rotacin de un cuerpo con respecto a un eje fijo es un movimiento plano.

Figura 1.15

Figura 1.6 a y b http://ssfe.itorizaba.edu.mx/industrial/reticula/fisicaI/contenido/unidad%201/tema1_4.html

Movimiento alrededor de un eje fijo

Sin perder generalidad supongamos que el eje de rotacin es el eje z. Sea A un punto del cuerpo rgido y su vector de posicin, [Fig. 3-6]. Como se sabe, la velocidad de A, , es tangente a la trayectoria y sta est contenida en un plano perpendicular al eje de rotacin. El desplazamiento angular de la recta OA se denota

por y su velocidad angular por .

(a) (b)

Figura 3-6

Al vector contenido en el eje de

rotacin , se le define como el vector velocidad angular. Si la rotacin es en sentido antihorario vista desde el eje positivo, el vector velocidad angular se considera positivo, de otra forma es negativo. Cuando se considera una lmina representativa del cuerpo en rotacin, [Fig. 3-6b] sale del plano si es positivo y entra si es negativo; como de cualquier manera el vector se ve como un punto, la velocidad angular se representa por medio de un arco circular indicando con una cabeza de flecha el sentido de rotacin. Sin embargo no se debe perder de vista que el vector velocidad angular entra o sale del plano del dibujo.

Volviendo a la figura 3-6a y

[3-5]

La aceleracin de A es por definicin

de la ecuacin [3-5], entonces

[3-6]

donde es la aceleracin angular del cuerpo.

El vector aceleracin angular tiene el

recordando que la velocidad de A es

y teniendo en cuenta que se tiene que:

Notando que y que

la direccin de coincide con la direccin del vector ; se define vectorialmente la velocidad de A como

[3-4]

puesto que tambin

se puede generalizar que la derivada de un vector que pertenece a un cuerpo que rota alrededor de un eje fijo es

mismo sentido de la velocidad angular si sta aumenta y sentido contrario si tiende a disminuir. La ecuacin [3-6] expresa que la aceleracin de una partcula que pertenece a un cuerpo que rota alrededor de un eje fijo tiene dos componentes: una tangencial y

una normal . Las magnitudes de estas componentes son respectivamente

[3-7]

Donde res la distancia perpendicular de la partcula al eje de rotacin.

Ambas componentes estn en el plano del movimiento. Esta es la razn por la cual el movimiento se puede considerar como un movimiento en el plano.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_2.htm

Movimiento alrededor de un eje fijo

Sin perder generalidad supongamos que el eje de rotacin es el eje z. Sea A un punto del cuerpo rgido y su vector de posicin, [Fig. 3-6]. Como se sabe, la velocidad de A, , es tangente a la trayectoria y sta est contenida en un plano perpendicular al eje de rotacin. El desplazamiento angular de la recta OA se denota

por y su velocidad angular por .

(a) (b)

Figura 3-6

Al vector contenido en el eje de

rotacin , se le define como el vector velocidad angular. Si la rotacin es en sentido antihorario vista desde el eje positivo, el vector velocidad angular se considera positivo, de otra forma es negativo. Cuando se considera una lmina representativa del cuerpo en rotacin, [Fig. 3-6b] sale del plano si es positivo y entra si es negativo; como de cualquier manera el vector se ve como un punto, la velocidad angular se representa por medio de un arco circular indicando con una cabeza de flecha el sentido de rotacin. Sin embargo no se debe perder de vista que el vector velocidad angular entra o sale del plano del dibujo.

Volviendo a la figura 3-6a y

[3-5]

La aceleracin de A es por definicin

de la ecuacin [3-5], entonces

[3-6]

donde es la aceleracin angular del cuerpo.

El vector aceleracin angular tiene el

recordando que la velocidad de A es

y teniendo en cuenta que se tiene que:

Notando que y que

la direccin de coincide con la direccin del vector ; se define vectorialmente la velocidad de A como

[3-4]

puesto que tambin

se puede generalizar que la derivada de un vector que pertenece a un cuerpo que rota alrededor de un eje fijo es

mismo sentido de la velocidad angular si sta aumenta y sentido contrario si tiende a disminuir. La ecuacin [3-6] expresa que la aceleracin de una partcula que pertenece a un cuerpo que rota alrededor de un eje fijo tiene dos componentes: una tangencial y

una normal . Las magnitudes de estas componentes son respectivamente

[3-7]

Donde res la distancia perpendicular de la partcula al eje de rotacin.

Ambas componentes estn en el plano del movimiento. Esta es la razn por la cual el movimiento se puede considerar como un movimiento en el plano.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_2.htm

MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO Es el movimiento de un cuerpo rgido que no puede clasificarse como Traslacin Pura, ni como Rotacin Pura. El movimiento general se asume una combinacin simultnea de Traslacin y Rotacin.

MOVIMIENTO GENERAL = TRASLACION + ROTACION (M.G. = T + R) Teorema de Chasle Cualquier movimiento general en el plano de un cuerpo rgido se explica como la combinacin de dos movimientos ms simples: Una traslacin tomando como referencia un punto cualquiera del slido y Una Rotacin alrededor de dicho punto.

Movimiento general de un slido rgido

Un slido fijo se caracteriza por ser indeformable, las posiciones relativas de los puntos del slido se mantienen fijas aunque se apliquen fuerzas al mismo.

En la figura vemos que la posicin del punto P del slido es

rP=rc+R

Donde C se refiere al centro de masas del slido. El vector R que va del centro de masas al punto P es un vector cuyo mdulo es constante.

Derivando la expresin anterior respecto del tiempo obtenemos

El primer trmino es la velocidad del punto P, el segundo la velocidad del centro de masas y el tercero es la velocidad del punto P respecto del centro de masas

Dado que el vector R tiene mdulo constante, el nico movimiento posible de P respecto de C es una rotacin con velocidad angular alrededor de un eje instantneo que pase por C, tal como vemos en la figura.

As pues, el movimiento de un punto P del slido lo podemos considerar como la suma de un movimiento de traslacin del centro de masas ms una rotacin alrededor de un eje instantneo que pasa por el centro de masas.

Movimiento de rodar sin deslizar

El movimiento general de un slido rgido, es la composicin de un movimiento de traslacin del centro de masa y de un movimiento de rotacin alrededor de un eje que pasa por el centro de masa. En el movimiento de rodar sin deslizar, la rueda se traslada a la vez que gira.

En el movimiento de traslacin, todos los puntos del slido se mueven en trayectorias paralelas. La velocidad de un punto del slido es la misma que la velocidad del centro de masas.

En el movimiento de rotacin alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, la velocidad de un punto del slido es proporcional la radio de la circunferencia que describe, y su direccin es tangente a dicha circunferencia.

En el movimiento de rodar sin deslizar, existe una relacin entre el movimiento de rotacin y traslacin. El punto de la rueda que est en contacto en un instante dado con el suelo tiene velocidad nula. Por tanto, se debe de cumplir que

vc= R

La velocidad de traslacin vc es igual a la velocidad de rotacin por el radio de la rueda R.

Calculamos la velocidad de cualquier punto P, que dista r del centro de una rueda de radio R, y que forma un ngulo , con la horizontal. Los ngulos se miden en sentido de las agujas del reloj, que es el sentido del movimiento de rotacin de la rueda.

El mdulo y el ngulo que forman con el eje horizontal X son, respectivamente

VELOCIDAD Y ACELERACION EN LA TRASLACION:

A, B: Dos partculas arbitrarias del slido. OXYZ: Marco referencia inercial o fijo a tierra en la posicin mostrada Correspondiente a un instante cualquiera t. _ RA: Vector posicin de la partcula A. _ RB: Vector posicin de la partcula B. _ RB/A: Vector definido por la recta que une A y B, o vector posicin relativa de B Con respecto a A. DESDE EL TRIANGULO VECTORIAL OAB: _ _ _ RB= RA+RB/A (1) Derivando (1) dos veces contra el tiempo: _ _ _ _ _ _ RB= RA+RB/A VB= VA+VB/A _ _ _ _ _ _ (2) RB= RA+RB/A Ab= Aa+Ab/a EL VECTOR (RB/A) ES CONSTANTE PORQUE:

a) Lo es en magnitud (por definicin de cuerpo rgido b) Lo es en direccin (por definicin de traslacin) _ _ _ * RB/A= constante RB/A= VB/A=0 _ _ RB/A= Ab/a=0 * Sustituyendo en (2): _ _ Ab = Aa _ _ En traslacin en cualquier Vb = Va Instante todas las partculas Del cuerpo rgido tienen igual Velocidad e igual aceleracin. Desde el punto de vista Cinemtica un cuerpo rgido Puede considerarse como una MASA PUNTUAL O PARTICULA BIBLIOGRAFIA: Apuntes del profesor Manuel segura

TEOREMA DE OMEGA Aplicaciones graficas del teorema de omega

Anlisis vectorial del teorema de omega

MOVIMIENTO DE ROTACION CON ACELERACION ANGULAR CONSTANTE

Definicin Matemtica

Est dada por:

Donde representa el ngulo que ha recorrido en funcin de t y la velocidad angular.

En el movimiento plano tanto la velocidad angular como la aceleracin angular son vectores perpendiculares al plano en el que se produce el movimiento.

Aceleracin Constante

Para todos los valores constantes del torque, de un cuerpo, la aceleracin angular ser tambin constante. Para este caso especial de aceleracin angular constante, la ecuacin producir un definitivo valor para la aceleracin:

.

Rotacin con aceleracin angular constante En este ejercicio vamos a medir la aceleracin del disco pesado cuando le aplicamos un torque externo. Ver la figura 5. El torque externo lo produce la tensin en una cuerda que sostiene a un objeto que cae, y est atada a un carrete en el eje de giro. Para calcular su valor usamos la definicin = r T. Ver la figura 6. El brazo de palanca, r, y la tensin en la cuerda, T, son perpendiculares entre s por lo tanto 121 = rT, siendo r el radio del carrete donde se encuentra arrollado el hilo en el eje de giro y T, la tensin en el hilo que sostiene al objeto que cae

Figura 5 Aparato para el experimento de movimiento de rotacin

Figura 6 Rotacin del disco pesado con aceleracin constante Por otro lado, = I, con I el momento de inercia del disco pesado y , su aceleracin angular. Obtendremos la grfica de velocidad angular vs. tiempo y, de su pendiente, deduciremos la aceleracin angular, El anlisis dinmico del sistema es el siguiente, Tmg= ma donde T es la tensin en la cuerda y m, la masa del objeto que cae ms la del porta pesas que lo sostiene. La aceleracin, a, con la que el cuerpo cae, es la misma que la aceleracin tangencial de cualquier punto en el permetro del carrete, es decir, a = aT = r. Por otro lado, como = I = r T = rm(g a) = rm(g - r) podemos despejar el momento de inercia I, y expresarlo en cantidades conocidas, o medidas en el experimento, por lo tanto,

I mr2( g/r -1) Identificaremos este valor como el momento de inercia del disco pesado, medido en el laboratorio, mientras que al valor obtenido de la ecuacin

I = MR2, Le llamaremos el momento de inercia terico, o el valor que se reporta en la literatura. 122

Figura 7 El disco pesado, visto por abajo, tiene un carrete con la cuerda atada a l

Movimiento circular uniformemente acelerado

En este movimiento, la velocidad angular vara linealmente respecto del tiempo, por estar sometido el mvil a una aceleracin angular constante. Las ecuaciones de movimiento son anlogas a las del rectilneo uniformemente acelerado, pero usando ngulos en vez de distancias:

W2 = W0 2 + 2 ( - 0 )

W2 = W0 2 + 2

Siendo la aceleracin angular, constante.

GRUPO II CIV-202 SEC.: 10 Diaz Espinal, Dilenia BH7062 Diaz M, Luis CB0730 Encarnacin Castillo, Esperanza BH1164 Encarnacin Gonzalez, Jhonathan CC3202 Encarnacin Sebastin, Yafreisy BH0797 Estevez Howley, Miguel BH0384 Estrella J, David BH2255 Fabian Capellan, Jose BB0273 Fernandez Cepeda, Juan BH0494 Figueroa D, Yoryinell CA9071 Firpo R, Ariel CB1609 Furcal Guerrero, Denny BH5254 Garden F, Amelia BH0875 Gonzalez, Pedro David BE1172 (sec. 09) Grullon Gomez, Victor BH7840 Guerra Capellan, Eury AD9722 Herrera Contreras, Anabel CB2855 Hughes Pea, Victor BH1567

EJERCICIO # 1. El movimiento de un rotor, se define mediante la relacin =8t- 6 (t-2), donde se expresa en radianes y t en seg. Determine: a) en que momento la aceleracin angular es cero. b) la coordenada angular y la velocidad angular en ese momento. Parte a) La aceleracin angular se obtiene buscando la segunda derivada de la ecuacin de posicin que en este caso dicha ecuacin es =8t3-6(t-2)2 o la derivada de la velocidad angular la cual es la primera derivada de la ecuacin posicin. -Derivaremos la ecuacin posicin una vez para obtener la velocidad angular:

8t3-6(t-2)2 = 24t2-12(t-2) (1) = 24t2-12t+24 Si derivamos la velocidad angular = 24t2-12t+24 respecto del tiempo podemos encontrar la aceleracin angular, veamos:

=

24t2-12t+24

48t-12 Ya obtenida la ecuacin de la aceleracin angular en funcin del tiempo 48t-12 procederemos a determinar lo que se nos pide en la parte a: Debemos determinar el momento t en el que la aceleracin angular es igual a cero, es decir, debemos igualar la ecuacin de la aceleracin angular a cero y despejar el tiempo t, veamos:

48t-12 = 0 t = _12_ 48 48t-12 = 0 t = _1_ segundos 4 48t =12 La aceleracin angular es cero en un tiempo de de segundos.

Parte b) La coordenada angular en el tiempo t = 1/4 segundos, se refiere a la posicin que tenia el rotor en dicho tiempo. Para esto, sustituiremos t (tiempo en el que la aceleracin angular se hace cero) en la expresin de la posicin del rotor =8t3-6(t-2)2 =8t3-6(t-2)2 =8(1/4)3-6((1/4)-2)2 =8(1/4)3-6(-7/4)2 =8(1/64)-6(49/16) = (1/8)-(147/8) = -73/4 radianes = -18.25 radianes La velocidad angular en el tiempo t=1/4 segundos, se refiere a la velocidad que tenia el rotor en dicho tiempo. Para esto sustituiremos t (tiempo en el que la aceleracin angular se hace cero) en la expresin de la Velocidad angular = 24t2-12t+24 =24t2-12t+24 =24(1/4)2-12(1/4)+24 =24(1/16)-12(1/4)+24 =24/16)-(12/4)+24 = (3/2)-3+24 =(45/2) radianes/segundos = 22.5 radianes/segundos

EJERCICIO # 2. El bloque rectangular que se muestra gira alrededor de la diagonal OA con velocidad angular constante de 6.76 rad./seg. Si la rotacin es en sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando se observa desde A. Determine velocidad y aceleracin del punto B en el instante indicado.

Datos: = 6.76 rad./seg. vb = ? b = ? Solucin: 1) Ubicar las coordenadas de los puntos que nos interesa. Tomando en cuenta que O es el origen tenemos que: Las coordenadas del punto A son: A (5,31.2,12) Las coordenadas del punto B son: B (5,15.6,0) 2) Trazar los radios vectores desde el origen a los puntos en cuestin. ro/A = 5i+31.2j+12k ro/B = 5i+15.6j+ok 3) Determinar el vector unitario landa de ro/A: o/A = (5) + (31.2) + (12) = 33.8 4) Determinar velocidad angular: = 6.76((5/33.8)i + (31.2/33.8)j + (12/33.8)k)

= i + 6.42j + 2.4k 5) Determinar la velocidad en el punto B: Vb = x ro/B Recordando que: = i + 6.42j + 2.4k ro/B = 5i+15.6j+ok Nota: Una posible solucin para resolver esta multiplicacin en cruz de vectores es utilizar el mtodo de matrices o la regla de la mano derecha, en este caso utilizaremos es el mtodo de las matrices. i j k Vb = 1 6.24 2.4 5 15.6 o Vb = -37.4i + 12.0j -15.6k (m/s) 6) Determinar la aceleracin en el punto B: b = x vb i j k b = 1 6.24 2.4 -37.4 12.0 -15.6 b = -126.1i 74.3j + 2.46k (m/s)

EJERCICIO # 3. La fig. est compuesta por dos varillas y una placa rectangular BCDE soldadas entre si. El ensamble gira alrededor del eje AB con velocidad angular constante de 10 rad./seg. Si la rotacin es en sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando se observa desde B. Determine velocidad y aceleracin para la esquina E. A (0,0.225,0) B (0.5,0,0.3) E (0.5,0,0) rB/A = 0.5 i 0.225 j + 0.3 k L AB = (0.5) + (0.22) + (0.3) L AB =0.625 mt. W = W . rB/A L AB

W = 10 . (0.5 i 0.225 j + 0.3 k) 0.625 W = 8 i 3.6 j + 4.8 k rE/B = - 0.3 k VE = W * rE/B

aE = W * VE

MOVIMIENTO PLANO GENERAL. Es un movimiento plano que no es ni una traslacin ni una rotacin. Sin embargo un movimiento plano general siempre puede considerarse como la suma de una traslacin y una rotacin.

VELOCIDAD ABSOLUTA Y VELOCIDAD RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO: VB = VA + VB/A

VB = VA + VB/A

VB = VA + WK * rB/A

VA = VB + VB/A

EJEMPLO # 1: La varilla AB puede deslizarse libremente a lo largo del piso y el plano inclinado. En el instante que se muestra la velocidad del extremo A es de 4.2 pie/seg. hacia la izquierda. Determine la velocidad angular de la varilla y la velocidad del extremo B de la varilla.

Sen = _12_ ; = 36.87 20 tag = _12_ ; = 67.38 5

VA = 4.2 pie/seg. VB/A = r WAB = _ 20 _ WAB 12 VB = VB VB = VA + VB/A

= 180 (90 - ) = 59.49

Ley de los senos: VB/A = VB = VA _ Sen sen (90-) sen

EJEMPLO # 2: Si el disco tiene velocidad angular constante de 15 rad/seg en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la velocidad angular de la barra BD y la velocidad del collarn D cuando: a) = 0 b) = 90 c) = 180

WA = 15 rad/seg AB = 2.8 VB = AB WA = 2.8 (15) VB = 42 pulg / seg

a) = 0 VD = VB + VD/B Sen = 2.8__ = 16.26 10 Cos = __VB__ VD/B Cos = __VB__ VD/B = ___42____ VD/B cos (16.26) VD/B = 43.75 pulg./seg. VD/B = DB WDB WDB = VDB _ = 43.75 _ DB 10 WDB = 4.38 rad/ seg tg = VD _ VD = VB tg = 12.25 pulg/seg VB

b) = 90

Sen = _5.6_ = 34.06 10 VD = VB + VD/B VD/B = 0 VD = VB = 42 pulg/seg.

c) = 180 VB = 42 m/seg Sen = _2.8_ = 16.26 10 Cos = __VB__ VD/B = 43.75 VD/B Cos = ____ 42 ___ Cos (16.26) WDB = __VD/B__ = _43.75_ WDB = 4.38 DB 10 VD = tg VB VD = 12.25 pulg/seg.

EJEMPLO # 3: Si en el instante mostrado la velocidad angular de la varilla BE es de 4rad./seg. en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine: a) La velocidad angular de la varilla AD b) La velocidad del collarn D c) la velocidad el punto A Barra BE: VE = 0

VB = rB/E WBE VB = (192) (4) = 768 mm/seg. Barra ABD:

VD = VD VD = VB + VD/B VD = 768 + 360 WAD a) Sen 30 = __VB__ VD/B Sen 30 (360 WAD) WAD = 4.27 rad./seg. b) 768 = VD tg 30 VD = 1330 m/seg. c) VA/B = AB WAB ; WAB = WAD VA/B = 240 (4.27) = 1024mm/seg. VA = VB + VA/B VA = 768 + 1024 = 1557 mm/seg.

EJEMPLO # 4: En la posicin que se muestra en la barra AB tiene velocidad angular de 4rad./seg. En el sentido de la manecilla del reloj. Determine la velocidad angular de la barra BD y DE.

La barra AB esta en rotacin para alrededor de A VB = WAB * rB/A = (-4k) * (-0.25)j VB = -1.0 m/s i La barra ED en rotacin en E VD = WDE k * rD/E VD = WDE k * (-0.07i 0.15j) VD = 0.15 WDE i 0.07 WDE j La barra BD: traslacin con B + rotacin en B VD/B = WBD k * rD/B = WBD k * 0.2 i VD/B = 0.2 WBD j VD = VB + VD/B 0.15WDE i 0.07 WDE j = -i + 0.2 WBD j En i : 0.15 WDE = -1.0 WDE = -6.667 rad -0.075 WDE = 0.2 WBD WBD = -0.075 (-6.667) = 2.5 rad/seg. 0.2

EJEMPLO # 5: En el instante que se muestra, la barra tiene velocidad angular constante de 35rad/seg., horario. Determinar para este instante: a) La velocidad angular de la placa rectangular. b) En punto sobre la placa FBDH con velocidad cero.

La barra DE en rotacin alrededor de E WDE = 35 rad/seg. VD = rD/E WDE = 8 (35) = 280 pulg./seg. La barra AB, rotacin alrededor de A VB = VB VB = 8 WAB Placa EDHF, movimiento plano general; referenciado al punto D VB = VD + VB/D

__VB/D__ = ___VD__ VB/D = __280__ = 560 pulg/seg Sen 90 Sen 30 Sen 30 WBDHF = __VD/B__ = __560__ = 35 rad/seg LDB 16 b) El punto con velocidad cero es : = __VD__ = __280__ = 8 Encima del punto D WBDHF 35

CENTRO INSTANTANEO DE ROTACION En El Movimiento Plano

Cuando un cuerpo est en movimiento plano general. Existe un punto del

cuerpo o fuera del cuya velocidad es cero, dicho punto se llama centro instantneo de rotacin (CIR).

Localizado el centro instantneo de rotacin, todas las velocidades podrn

calcularse, asumiendo rotacin pura alrededor de dicho punto. Como el CIR cambia de un instante a otro, por tanto su aceleracin no es cero; siendo imposible el clculo de aceleracin asumiendo rotacin pura alrededor del CIR.

El centro instantneo de rotacin, referido al movimiento plano de un

cuerpo, se define como el punto del cuerpo o de su prolongacin en el que la velocidad instantnea del cuerpo es nula.

Para localizar el CIR:

Si el cuerpo realiza una rotacin pura alrededor de un punto, dicho punto es el centro instantneo de rotacin.

Si el cuerpo realiza una traslacin pura el centro instantneo de rotacin se encuentra en el infinito en direccin normal a la velocidad de traslacin.

Si el cuerpo realiza un movimiento general el centro instantneo de rotacin se mueve respecto al cuerpo de un instante a otro (de ah que se llame centro instantneo de rotacin). Su posicin se puede

conocer en cada instante por interseccin de las direcciones perpendiculares a la velocidad de dos de sus puntos.

Rotacin Del Solido Rgido

Rotacin de un slido rgido se da cuando la trayectoria de todos los puntos de dicho slido son circunferencias situadas en planos paralelos y cuyos centros se alinean sobre una misma recta o eje de rotacin

En la figura anterior se muestra en lnea azul la trayectoria circunferencial de un punto P perteneciente a un slido rgido que describe un movimiento de rotacin alrededor del eje de rotacin OZ.

Traslacin Del Solido Rgido

La traslacin de un slido rgido se da cuando cualquier recta del slido permanece en la misma direccin durante el movimiento.

De este modo, si observamos la figura anterior se cumple, para los vectores de posicin de los puntos A y B que:

Y por tanto las velocidades de dichos puntos:

El ltimo trmino del sumando de la ecuacin anterior se anula ya que se trata de la derivada de un vector de mdulo constante (condicin de slido rgido) y de direccin tambin constante (movimiento de traslacin). Por tanto:

As, la traslacin tambin se puede definir como el movimiento del slido rgido en el que todos los puntos del mismo se mueven con la misma velocidad en todo instante y por lo tanto la trayectoria de todos los puntos es la misma.

Ejemplo anterior usando CIR:

= arc tan (150/75) =63.44

180-(63.44+90) = 26.56

BD/sen 26.56 = CD CD = 200/(0.45) = 444.4 mm

BC/sen 63.44(CD)

BC= 0.895(444.4) = 397.7 mm

VB= WAB (AB)

VB= 4rad/seg (0.25) = 1m/s

VB = WBD (BC) ---> WBD= VB/BC

WBC= 1m/ (0,3977m) = 25. 14 rad/seg.

VD= WBD (CD) = 25.14(1.04444m)

VD= 1.117m/s

WDE= VD/ED= 1.117 m/s / (0.1677) = 6.66 rad/seg.

USANDO CIR: Ejemplo Anterior

Vd = WDE x ED = 35 rad/seg x 8 = 280 pulg/seg

Vd = WBD x CD -> WBD = Vd/CD

Wbd = 280/8 = 35 rad/seg

Wbd = Wbdhf

El punto con velocidad cero es:

Vd/Wbdhf

D, es el punto fijo en este instante, solamente

Ejemplo:

.-Si en el instante mostrado la velocidad angular de la barra DC es de 18 Rad/Seg. en sentido contrario al de las manecillas del reloj, Determine:

A) La velocidad angular de la barra AB

B) La velocidad angular de la barra BC

C) La velocidad del punto medio de la barra BC

0.20"

0.10"0.1

0"

A

B

C

D

30

30

VC

A

B

YB

WAB

P

C

WCD

30

30 6030 60

60

30

30

PC= 10

CD= 10

C= 60

IP= 10

VC= (WCD)*(CD)

VC= (18)(10)= 180 In/seg

VB= (WBC)*(IB)

VB= (18Rad/Seg)*

CIR=(I)

IC= 10; IB= (300^2)=17.32

WBC= (VC)/(IC)=(180IN/Seg)/(10IN)=18Rad/Seg

VB=(18Rad/Seg)*(17.32)=311.76In/Seg

VP= (WBC)*(IP)=(18Rad/Seg)*(10)=180

ACELERACION ABSOLUTA Y RELATIVA EN EL MOVIMIENTO:

Plano General

Vamos a analizar ahora el movimiento de un sistema rgido aplicando una metodologa distinta a la vista recientemente.

Para ello analizaremos el movimiento del slido respecto de una terna que se mueve con respecto a otra considerada fija y a la cual se desea referir el movimiento.

A la terna "fija" la llamamos absoluta y a la mvil, de arrastre siendo el

vector rotacin absoluta de la terna mvil y la velocidad de dicho punto tambin absoluta, pueden distinguirse 3 movimientos:

1) Movimiento Relativo: es el movimiento del sistema rgido con respecto a la terna de arrastre como si sta estuviese fija.

2) Movimiento de Arrastre: Es el movimiento del slido como si estuviera solidariamente unido a la terna mvil y sta lo "arrastrase" en su movimiento.

3) Movimiento Absoluto: Es el movimiento del sistema rgido respecto de la terna absoluta como consecuencia de la simultaneidad de los dos movimientos anteriores.

Habr siempre un movimiento absoluto y uno relativo pero puede haber muchos de arrastre segn las ternas que se intercalen; todos ellos pueden reducirse a uno solo por composicin de movimientos.

Notar que es la velocidad de rotacin de los ejes mientras que la velocidad de rotacin del slido es (ambas

absolutas). Tomemos un punto P del slido y analicemos cul sera su velocidad con respecto a la terna absoluta como consecuencia de los movimientos relativos y de arrastre. Ser:

(19)

derivando con respecto al tiempo:

(19)

pero siendo vectores de posicin con respecto a la terna absoluta, sus derivadas temporales darn las velocidades de P y 01 respecto del sistema absoluto;

Con respecto a los 3 ltimos sumandos del lado derecho de la igualdad, pueden aplicarse las frmulas de Poisson, obtenindose:

Por lo tanto y teniendo en cuenta que los 3 primeros sumandos representan la velocidad de P como si la terna mvil estuviese quieta:

(20)

donde: = velocidad absoluta de P

= velocidad relativa de P

= sera la velocidad de P como si ste fuese arrastrado por la

terna mvil (velocidad de arrastre); as, rotara con y 01 sera el centro de reduccin del movimiento.

Luego:

(20)

Es decir que la velocidad absoluta de un punto cualquiera de un sistema rgido resulta de la suma de sus velocidades de arrastre y relativa.

Veamos ahora qu ocurre con la aceleracin; derivamos dos veces la expresin (19):

(21)

resolvamos el primer parntesis:

=

=

el segundo parntesis nos da:

; por (20)

=

Reemplazamos en (21)

(22)

donde: aceleracin absoluta de P

Aceleracin relativa de P

es la forma impropia de la ley de distribucin de

aceleraciones en un sistema rgido (tal como si ste fuese arrastrado por la terna mvil) y se denomina aceleracin de arrastre.

Aceleracin complementaria o de Coriolis, aparece por la rotacin de los ejes de la terna mvil y representa la diferencia en aceleracin de P como si fuera medida a partir de unos ejes (0,i,j,k) no giratorios y de otros (01, i1, j1, k1) giratorios, ambos con origen en 01. Se anula si no hay rotacin o bien si no

hay movimiento relativo y tambin en los movimientos helicoidales permanentes donde

As resulta: (22)

Ejemplo:

La barra de la figura rota en 0 con = 3t + 1 mientras que el punto P se desplaza sobre la barra con una ley r = 4 t2 + 4. Encontrar la velocidad y

aceleracin absolutas de P respecto del sistema y graficar los vectores.

Solucin

Adoptemos una terna mvil de origen 01 0 y con su eje fijo a la barra, es decir rotando con As:

y ;

Luego

Obsrvese que est en por lo tanto acta sobre el mdulo de

y sobre la direccin

Diag. De Velocidades Diag. De Aceleracin

El primer plano pasa por el circulo de aceleraciones en un anlisis de velocidad, con el objetivo de conocer y/o calcular todas las velocidades angulares(W); ya que estas velocidades, aparecen en la ecuacin de aceleracin.-

aB= aA+ a b/a

El mtodo geomtrico no es muy prctico pues la ecuacin de

aceleracin consta de cuatro (4) trminos; por lo que no representa un triangulo vectorial:

aA= aB+ a A/B

Movimiento En Plano General

a. MOVIMIENTO EN EL PLANO GENERAL

Vectorial Geomtrico CIR Velocidad Si Si si Aceleracin Si Si o no no

Ejemplo.

Los collarines B y D se conectan por medio de pasadores a la barra ABD y pueden deslizarse a lo largo de varillas fijas. En el instante que se muestra, la velocidad angular de la barra ABD es de cero y su aceleracin angular es de 12 rad/seg2 en el sentido de las manecillas del reloj. Determine a) la aceleracin del punto D; b) la aceleracin del punto B y c) la aceleracin del punto A.

WABD= 0; ABD= = 12 rad/ seg2 en sentido horario.

AB= AD + AB/D

AB= AD + AB/Dot + AB/Dn

Para AB: Observar diagrama, punto B.

Para AD:

AD

Para AB/D: Relativa. Observar diagrama.

De donde:

AB/Dt

AB/Dn

Componentes:

(+)

AB cos 60= AD + AB/Dt cos 60 + AB/Dn cos 30

AB cos 60= AD + BD rDB cos 60 + W2BD rDB cos 30

AB cos 60= AD + 12 (0.45) cos 60 - (0) (0.45) cos 30

AB cos 60= AD + 12 (0.45) cos 60

- AB sen 60= 0 + 12 (0.45) sen 60

AB=- 5.4 m/seg2

AD= AB cos 60 - 5.4 cos 60

AD= - 5.4 cos 60 - 5.4 cos 60

AD= - 5.4 m/seg2

AD= 5.4 m/seg2

AB= 5.4 m/seg2

c) AA= AD + AA/Dt + AA/Dn

= 5.4 + 12 (0.9) + (0) (0.9)

(+)

AA= - 5.4 + 10.8 cos 60

AA= 0

(+)

(+)

An= 0 + 10.8 sen 60

An= 9.35 m/seg2

AB= 0

AB= AA + AB/A

AA= 0

De donde:

AB= AB/A= AB AB + W2AB AB

AB= 0 + [(200) (4)2]

AB= 3,200 mm/seg2

AB= At + An At= 0

AD/B= [(BD) BD ] + [(BD) WBD]

AD= AB + AD/B

EJEMPLO:BARRAABW,CONSTANTE,4RAD/S

Determinar:BD:DE

Tg=60/120

=26.565

DE=120/cos=134.16mm

VB=(AB)WAB=

VB=VB(200)(4)=800mm/s

VD=VD

C,eselcentroinstant.Rot.

BarraBD

BC=BD/tg=160/tg=320mm.

CD=BC/cos=357.77mm

WBD=VB/BC=800/320=2.5Rad/s

RAZON DE CAMBIO DE UN VECTOR CON RESPECTO A UN SISTEMA DE REFERENCIA EN ROTACION

**Fuente: Imgenes del libro de Beer y Johnston, Mecnica vectorial para ingenieros: Dinmica, 5ta. ed.

OXYZ, Sistema de referencia fijo. Oxyz, Sistema de referencia que gira alrededor del eje fijo OA. , velocidad angular del sistema Oxyz. Q, vector fijo en O.

Considerar una funcin vector Q (t):

Razn de cambio respecto a OXYZ.

Razn de cambio respecto a Oxyz. Objetivo: Determinar la relacin que existe entre estas dos razones

de cambio. Componentes de Q, respecto al sistema de referencia rotatorio: Q=Qxi+ Qyj+ Qzk Talque: Qoxyz= Qxi+ Qyj+ Qzk Para el sistema fijo Oxyz, hay que considerar a i, j, k, como

variables. Talque: Qoxyz= Qxi+ Qyj+ Qzk + Qx (di/dt) + Qy (dj/dt) + Qz (dk/dt) Talque: Qx (di/dt) + Qy (dj/dt) + Qz (dk/dt)= x Q

Talque: = = + Q CONCLUSION: la razn de cambio del vector Q con respecto al

sistema de referencia fijo OXYZ se compone de dos partes:

Primera parte: razn de cambio respecto Oxyz rotatorio Segunda parte: se induce por la rotacin del sistema de referencia

Oxyz.

MOVIMIENTO PLANO DE UNA PARTICULA, RELATIVA AUN SISTEMA DE REFERENCIA EN ROTACION.

Aceleracin De Coriolis

Efecto Coriolis

**fuente: www.wikipedia.com Una bolita se mueve sin friccin sobre un plato de seccin parablica que

est girando a velocidad constante. La gravedad tira de la bolita hacia el centro con una fuerza directamente proporcional a la distancia respecto a ste. La fuerza centrfuga (o, mejor dicho, la ausencia de fuerza centrpeta) tira de la bolita hacia afuera. La conservacin del momento angular cambia la velocidad angular de la bolita cuando sta se mueve hacia dentro (acelera) y hacia afuera (frena). Tambin puede expresarse diciendo que, para mantener su velocidad lneal, la bolita cambia su velocidad angular al variar la distancia respecto al eje. En cualquier caso, la magnitud subyacente es la inercia y la desviacin que sufre la bolita con respecto a la direccin de los radios es el efecto Coriolis. Izquierda: El movimiento observado desde un punto de vista externo (movimiento verdadero). Derecha: El movimiento visto desde un punto de vista solidario con el sistema inercial.

El efecto Coriolis, descrito en 1835 por el cientfico francs Gaspard-Gustave Coriolis, es la aceleracin relativa que sufre un objeto que se mueve dentro de un sistema de referencia no inercial en rotacin cuando vara su distancia respecto al eje de giro. El efecto Coriolis hace que el objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacin tienda a acelerarse o a frenarse con respecto a ese disco segn si el movimiento es hacia el eje de giro o alejndose de ste, respectivamente. Por el mismo principio, en el caso de una esfera en rotacin, los movimientos de un objeto sobre los meridianos resultan afectados por esta fuerza ficticia, ya que dichos movimientos reducen o hacen crecer la distancia respecto al eje de giro.

Como el objeto se acelera (en relacin con el marco de referencia no inercial) sin que se le aplique ninguna fuerza, a veces el efecto Coriolis se denomina fuerza de Coriolis, y en ese caso se aclara que se trata de una fuerza ficticia.

La magnitud fsica subyacente al efecto Coriolis es la inercia del cuerpo -denominada conservacin del momento angular, en el caso de cuerpos girando alrededor de un eje-, que hace que la aceleracin que tiene el marco de referencia (el giro implica una aceleracin puesto que el vector velocidad vara de forma continua), al no ser aplicada al cuerpo, produzca la apariencia de que ste se est acelerando absolutamente.

En trminos ms rigurosos, se denomina fuerza de Coriolis a la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo para que no modifique su velocidad angular cuando vara su distancia respecto al eje, es decir, la fuerza que hay que ejercer para que el efecto Coriolis no se manifieste. Esto es anlogo al caso de la fuerza necesaria para que un cuerpo con una distancia fija respecto al eje la mantenga, fuerza que se denomina fuerza centrpeta y cuya ausencia produce la apariencia de fuerza (o fuerza ficticia), llamada fuerza centrfuga.

Un Ejemplo Cannico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un obs desde el Ecuador en direccin norte. El can est girando con la tierra hacia el este y, por tanto, imprime al obs esa velocidad (adems de la velocidad hacia adelante de la carga de impulsin). Al viajar el obs hacia el norte, sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad lneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente. La inercia del obs hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que, por tanto, adelante a los puntos que sobrevuela. Si el vuelo es suficientemente largo (ver clculos al final del artculo), el obs caer en un meridiano situado al este de aqul desde el cual se dispar, a pesar de que la direccin del disparo fue exactamente hacia el norte. Anlogamente, una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentar su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya. Finalmente, el efecto Coriolis, al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias, induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo.

Introduccin

La fuerza de Coriolis es una fuerza ficticia que un observador de un sistema en rotacin a velocidad angular constante ve actuar sobre un cuerpo, cuando ste est en movimiento con respecto al sistema en rotacin. La fuerza de Coriolis no incluye la fuerza centrfuga. La fuerza de Coriolis siempre es perpendicular a la direccin del eje de rotacin del sistema y a la direccin del movimiento del cuerpo vista desde el sistema en rotacin. La fuerza de Coriolis tiene dos componentes:

una componente tangencial, debido a la componente radial del movimiento del cuerpo, y

una componente radial, debido a la componente tangencial del movimiento del cuerpo.

La componente del movimiento del cuerpo paralela al eje de rotacin no engendra fuerza de Coriolis.

El valor de la fuerza de Coriolis es:

donde:

es la masa del cuerpo. es la velocidad del cuerpo en el sistema en rotacin . es la velocidad angular del sistema en rotacin vista desde

un sistema inercial. indica producto vectorial.

Demostracin por conservacin del momento angular

Recordemos que cuando un observador en un sistema no inercial, como lo es un sistema en rotacin, trata de comprender el comportamiento de su sistema como si fuese un sistema inercial, ve aparecer fuerzas ficticias. En el caso de un sistema en rotacin, el observador ve que todos los objetos que no estn sujetos se alejan de manera radial como si actuase sobre ellos una fuerza proporcional a sus masas y a la distancia a una cierta recta (el eje de rotacion). Esa fuerza es la fuerza centrfuga que hay que compensar con la fuerza centrpeta para sujetar los objetos. Por supuesto, para un observador externo, situado en un sistema inercial (sistema fijo), la nica fuerza que existe es la fuerza centrpeta, cuando los objetos estn sujetos. Si no lo estn, los objetos tomarn la tangente y se alejarn del eje de rotacin.

En un sistema de coordenadas cilndricas, la velocidad (en negro) de un

punto puede descomponerse en una velocidad radial (en magenta), una velocidad axial (en azul) y una velocidad tangencial (en verde).

Si los objetos no estn inmviles con respecto al observador del sistema en rotacin, otra fuerza ficticia aparece: la fuerza de Coriolis. Visto del sistema en rotacin, el movimiento de un objeto se puede descomponer en una componente paralela al eje de rotacin, otra componente radial (situada sobre una lnea que pasa por el eje de rotacin y perpendicular a ste), y una tercera componente tangencial (tangente a un crculo centrado en el eje y perpendicular a ste) (ver dibujo).

Un objeto que se desplaza paralelamente al eje de rotacin, visto de un sistema fijo, gira con el sistema en rotacin a la misma velocidad angular y radio constante. La nica fuerza que acta sobre el objeto es la fuerza centrpeta. El observador del sistema en rotacin slo ve la fuerza centrfuga contra la cual hay que oponerse para que se quede a la misma distancia del eje.

Cuando se reduce el radio de rotacin de un cuerpo sin aplicar un torque, el

momento angular se conserva y la velocidad tangencial aumenta. En cambio, si se obliga el cuerpo a conservar la misma velocidad angular, la velocidad tangencial disminuye. El dibujo est visto desde un sistema fijo (inercial).

Supongamos que un observador en el sistema en rotacin mantiene una masa a una distancia del eje de rotacin mediante un hilo de masa despreciable. El observador tira del hilo y modifica ligeramente el radio de rotacin de la masa de . Eso le ha tomado un tiempo . Como se trata de un hilo y no puede crear torques, el momento angular de la masa se conserva. Si llamamos la velocidad tangencial de la masa, la conservacin del momento angular nos dice:

El signo menos indica que cuando el radio aumenta la velocidad tangencial disminuye.

Si la masa se moviese siguiendo una trayectoria radial, fija con respecto al sistema en rotacin, conservando en consecuencia la misma velocidad angular del sistema en rotacin, su velocidad lineal habra aumentado de (o disminuido, si es negativo). Para un observador fijo, entre la velocidad de la masa que se ve obligada a seguir una trayectoria radial y la velocidad de la masa que conserva su momento angular hay una diferencia de:

Como el objeto no est sujeto al sistema en rotacin, el observador en ese sistema ve la masa tomar una velocidad lateral . Eso lo interpreta como la aplicacin de una fuerza lateral (de Coriolis). Si el cambio de velocidad tom

segundos, la aceleracin de Coriolis ser (en valor absoluto):

,

donde es la velocidad radial. Esa aceleracin corresponde a una fuerza (de Coriolis) de:

Ocupmonos de un objeto con velocidad tangencial vista por el observador en el sistema en rotacin. Esta vez, la misma masa tenida por un hilo tiene una velocidad angular diferente del sistema en rotacin. Para el observador en el sistema en rotacin, las fuerzas que ve aplicadas a la masa para que siga una

trayectoria circular son: la fuerza centrfuga que ve aplicada en todos los

objetos, ms la fuerza centrfuga debido a la rotacin aparente de la masa . Pero eso no basta. Hay an otra fuerza aparente, y es precisamente la fuerza de Coriolis. Calculemos la fuerza centrpeta que ve un observador fijo. La velocidad tangencial que ve es . Para este observador, la fuerza centrpeta que mantiene la masa a distancia constante es:

El primer trmino es la fuerza centrfuga comn a todos los objetos que giran con el sistema en rotacin. El tercero es la fuerza centrfuga debida a la rotacin de la masa con respecto al sistema en rotacin. Y el segundo trmino es la fuerza de Coriolis. Es un trmino suplementario debido al hecho de que la fuerza centrfuga depende del cuadrado de la velocidad tangencial y no puede obtenerse sumando las fuerzas centrfugas debido a velocidades parciales. La fuerza de Coriolis es:

Como hemos dicho, esa fuerza es radial.

Demostracin por la derivacin en base mvil

Para esta demostracin utilizaremos el subndice abs para indicar magnitudes vistas desde el sistema de referencia inercial, es decir, uno donde el espacio sea homogneo e isotrpico y donde el tiempo sea constante. El subndice rel (relativa) se refiere a magnitudes vistas desde una referencia no galileana o no inercial. El subndice ar (arrastre) hace referencia al movimiento de la base mvil respecto a la base fija.

Tambin es necesario conocer cmo se deriva en una base mvil:

Una aceleracin es un cambio en la magnitud o en la orientacin de la velocidad. Para esa demostracin consideraremos un movimiento que no vara la magnitud de su velocidad, es decir, que no est sometido a fuerzas que tengan alguna componente en la direccin del movimiento.

Entonces:

Por una parte:

Por otra:

Donde:

Como no consideramos el movimiento alrededor del Sol, sino slo el giro de la tierra en torno a si misma:

Adems, como estamos imaginando un movimiento sin aceleracin relativa (como un proyectil):

La cosa queda as:

Pero:

Entonces:

Volviendo al principio:

La aceleracin de Coriolis es el primer sumando:

La aceleracin centrpeta es el segundo:

Ver Coriolis Grficamente

Como , es un vector normal al plano de movimiento y en consecuencia a Vp/F, la magnitud de la aceleracin de coriolis

ac=2 x Vp/F

90

A continuacin, se explican los efectos de la aceleracin de Coriolis y la centrfuga, sobre el movimiento de un cuerpo que cae verticalmente en el hemisferio Norte desde una altura h.

Supondremos que el observador est en un sistema NO inercial, en rotacin solidariamente con la Tierra. En el captulo Dinmica Celeste se dar una explicacin de los efectos de la aceleracin de Coriolis desde el punto de vista de un observador inercial.

Aceleracin de Coriolis

La frmula de la aceleracin de Coriolis es

Ac=-2 v

Donde w es la velocidad angular de rotacin del planeta, y v es la velocidad del cuerpo medida por el observador no inercial. El ngulo es la latitud del lugar considerado situado en el hemisferio Norte.

Como podemos apreciar en la figura de ms abajo, el vector velocidad angular forma un ngulo igual a la latitud con la direccin Norte-Sur en el plano local

La aceleracin de Coriolis en el hemisferio Norte est dirigida hacia el Este y su mdulo es

ay=2 vsen (90+) =2 vcos

A lo largo del eje Z la aceleracin es la de la gravedad az=g

En el plano local tenemos la composicin de dos movimientos

Uniformemente acelerado a lo largo del eje Z

Acelerado (aceleracin variable) a lo largo del eje Y

Se ha supuesto que el cuerpo parte del reposo desde la posicin z=h, y=0.

La aceleracin de Coriolis de un cuerpo que cae es mxima en el ecuador =0 y es nula en los polos =90 En el polo coinciden las direcciones de los vectores velocidad angular de rotacin y la velocidad v del cuerpo que cae, el producto vectorial de ambos vectores es por tanto, cero.

COLABORADORES Nombres Y APELLIDOS Matricula SECCION

Patricia Marrero CF-6586 10 Yeison Mateo CF5640

Marlix Martnez Santana CH6972 10 Carmela Moya DC6885 10

Jos R Lebreault DC7077 10 Grecia Moreno BH3208 10

Emil Inoa CB2634 10 Oscar Mena BH5485 10 Yajar Medina BB2969 10 Eladio Medina 09

Gabriel Meja Ramrez CF6411 10 Joel Macea DC4716 10 Alfri Lpez BI8938 10

Jonathan Luperon BH2606 10

el collarin E, se desliza hacia el punto A con velocidad relativa constante de 3 m/s a lo largo de la Varilla AB, la cual gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj a velocidad angular constante de 15 rad/seg. Para el instante mostrado; determine la velocidad angular y la aceleracin angular de la varilla de:

smVE 3=

smU 3= velocidad relativa

0* =u

sradWab 15= 0= ab

0

45)4.0( senVE = smWrV AEAEE /24.4. ==

Como 0=ab , slo tenemos ( )nEa ( ) 0 =tEa ( ) smsenrWa AEabE 64.63)454()15(. 022 === El collarin E, se desliza enana barra AB que rota alrededor de A.

+=+= 324.4/ ABVVV EEE Coriolis = 2 smUWab /90)3)(15)(2( ==

= 2/90 smac [ ] 9064.639064.63 +=++=++= aaaa cabEE Barra de DEW y DE

hay que arreglar la imagen Movimiento plano = traslacin en E + rotacin alrededor de E

EDED VVV /+= DED WV 4.0324.4 ++=

EDDEED rWV ./ = Componentes

sradW

senW

DE

oDE

61.10

454.030

==

nEDEDEEDED ataaaaa )()( /// ++=+= DEDa 4.09064.63 ++= a 45 bajo la horizontal + 24.0 DEW a 45 sobre la

horizontal Componentes:

srad

sradw

srad

sensen

DE

DE

DE

DE

ooDE

5.112

61.10

52.1122828.082.31

82.312828.064.63045)61.10(4.0454.064.630

2

2

==

==+=

+=

smV

ABE /3= const.

sradwAB 15= const.

0=AB

FPPP

oxy

o

xroxy

o

P

VVV

rrV

/+`=

+=

=

oxyxoxyxrxxro

cFPPP

xr

aaaa

)(2)(

`***

/

+++=++=

MOVIMIENTO ROTACIONAL ( )

smsenwVsma

sensradAEwa

oABE

E

oAB

ABE

/242.445)4.0(

/63.63

45)4.0(15

`

2`

2

===

==

+=++=+=

+====

++=

22

`

`

2/`

9063.63

3242.4

/90)/3)(15(22

sm

sma

aaaas

ms

mV

VVV

smsmVaaaaa

E

CAB

EEE

E

ABEEE

ABEc

cFPPP

BARRA DE: MOVIMIENTO PLANO GENERAL. Traslacin + rotacin.

Giro alrededor del punto E.

horizontallabajoaa

horizontallasobreaaaa

aaa

VVV

o

TED

o

NEDED

EDED

EDED

45

45

+

+=

+=+=

Componentes.

segrad

senw

senw

horizontallabajoawsmsmV

horizontallabajoaahorizontallasobreaaaa

aaa

VVV

oDE

oDE

oDED

o

TED

o

NEDED

EDED

EDED

61.10454.0

3

45)4.0(30

45)4.0(/3/242.4

4545

===

++=

+

+=

+=+=

2

0

*2

41.112454.0

79.31454.04503.4563.630

454.04503.459063.63

45459063.63

segrad

sen

sensen

horizontallabajoahorizontallasobreaa

horizontallabajoahorizontallasobreaEDwa

oDE

DEo

oDE

oD

oEDDE

oDED

==+=

+++=+++=

La barra AB gira en el sentido de las manecillas del reloj con velocidad angular constante de 8 rad/seg. Y la varilla EF gira en el sentido de las manecillas del reloj con velocidad angular constante de 6 rad/s, para el instante mostrado, determine a) la velocidad angular de la barra BD, b) la velocidad relativa del collarin D, respecto a la varilla EF. IMAGEN 4 Barra AB: Rotacin alrededor de A.

seginABwVs

radw

ABB

AB

/9612*8*

8

====

Varilla EF: Sistema referencial en rotacin:

00

72126*

=

====

TEFDDE

DED

a

sradxEDwV

Asumir velocidad relativa

= ?EF

DV

Barra BD: Movimiento Plano General.

Asumir horariosentidoenwBD Velocidad

++=+

+=+=

DBDBD

BD

DBD

BDBD

wwsmVsenBDw

BDwsmV

VVV

2412/96*

cos*/96

Collar D: deslizamiento rotacin barra EF con velocidad relativa

EFDD

EFDDD

VsmV

VVV

/

`

/72 +=+=

Componentes:

==

===

=++

segftV

sradw

sInV

Vw

w

EFD

BD

EFD

EFDBD

BD

28

14

336)14(24

24

721296

Movimiento de un cuerpo rgido en el espacio: (tridimensional). I) Movimiento de un cuerpo rgido en un punto fijo:

El desplazamiento ms general de un cuerpo rgido con un punto fijo es una rotacin alrededor de un eje que pasa por el punto.

As, la distancia (r) desde el punto fijo (O) hasta cualquier partcula P del

solido es la misma en cualquier posicin del cuerpo rgido, por tanto la trayectoria del movimiento de P, est en la superficie de una esfera de radio r, centrada en O.

El eje de rotacin cambia de direccin en cada instante y por tanto dos o

ms rotaciones infinitesimales en torno a ejes diferentes equivalen a una sola rotacin resultante en torno a un eje que pasa por el punto fijo (teorema de Euler).

wdtwd

dtdw

www

*

*

21

==

==+=

La aceleracin angular representa cambios simultneos en la magnitud y

direccin de la velocidad angular (w ), y por tanto ( ) no tiene la direccin del eje instantneo de rotacin.

En cualquier instante:

rwwraa

rwVV

p

p

+====

Al calcular ( ), puede ser til usar la extensin del teorema Omega:

ww OXYZOXYZ w +== )()(*

donde , es la velocidad angular del marco rotatorio OXYZ.

Movimiento general:

ABAB VVV +=

La velocidad de B, VB relativa al sistema de referencia AX`Y`Z`. Como A es el punto fijo:

ABAB rwVV += donde w es la velocidad angular del cuerpo en un

instante considerado. La aceleracin es:

++=+=

AB

ABAB

ABAB

rwwraa

aaa

Estas ecuaciones muestran que el movimiento ms general de un cuerpo rgido es equivalente, en cualquier instante dado, a la suma de una traslacin en el cual todas las partculas del cuerpo tienen la misma velocidad y aceleracin que una partcula de referencia A, y de un movimiento en el que la partcula A se supone fija. Hay que recordar que w y no son colineales, y que la aceleracin de la partcula del cuero en su movimiento relativo al sistema de referencia AX`Y`Z` no puede determinarse como si el cuerpo estuviera rotando permanentemente alrededor del eje instantneo que pasa por A.

Movimiento tridimensional de una partcula con respecto a un sistema de referencia en rotacin. Aceleracin de coriolis.

QQQoxyzOXYZ

+

=

**

oxyzP rrV

+= *

Si se denota por F, el sistema rotatorio OXYZ, entonces

..,

/

/

FmovimientoenreferenciadesistemaalrelativaPdeVelocidadVPconcoincidequeFmovimientoenreferenciadesistemadelppuntodelVelocidadV

partculaladeabsolutaVelocidadVVVV

FP

P

P

FPPP

===

+=

La aceleracin absoluta:

( )oxyzoxyz

P rrrra

+

++= **** 2

FPoxyz

C

FP

P

P

CFPPP

Vra

FmovimientoenreferenciadesistemaalrelativaPdenAceleraciaPconcoincidequeFmovimientoenreferenciadesistemadelppuntodelnAceleracia

partculaladeabsolutanAceleraciaaaaa

/

*

/

/

22

..,

=

==

==

++=

Aceleracin de coriolis o complementario

TEMA I ATEMA I BTEMA I CTEMA I D