Sucesiones Cuasi-Cauchy*

David Burton y Jhon Coleman**

Las sucesiones de Cauchy son mas que sucesiones en la cual existe unelemento de la sucesion, tal que, para los terminos sucesivos la distancia en-tre entre dos cualquiera de ellos tiende a ser tan pequena como se quiera.Ademas, permiten determinar si una sucesion converge sin necesidad de in-tuir o saber de antemano el valor del lımite (definicion de convergencia deuna sucesion) y no necesita ser una sucesion monotona (teorema de la con-vergencia monotona) para aplicar la definicion de Cauchy. El objetivo deeste documento es mostrar que, si se debilita la definicion de Cauchy, lassucesiones que la satisfagan pueden obtener propiedades interesantes. A este“debilitamiento” lo llamamos sucesiones cuasi-Cauchy. Se hablara primerode la recta real y luego se extiende a espacios metricos.

1. En la recta real R

Definicion 1.1. Sea (xn) una sucesion de numeros reales.

† (xn) es de Cauchy si dado ε > 0 existe un entero K > 0 tal quem, n ≥ K implica que |xm − xn| < ε.

† (xn) es cuasi-Cauchy si dado ε > 0 existe un entero K > 0 tal quen ≥ K implica que |xn+1 − xn| < ε.

Observacion 1. Note que toda sucesion de Cauchy es cuasi-Cauchy. Bastahacer m = n + 1 en el primer inciso de la definicion (1.1).No es cierto que toda sucesion cuasi-Cauchy es de Cauchy. Para ver esto,sea (sn) la sucesion de sumas parciales de la serie

∑

1/n. Se probara queesta sucesion es cuasi-Cauchy pero no es de Cauchy.

*Unas notas acerca de estas sucesiones. Version α. Jorge Andres Rojas.**Ver bibliografıa para mas info acerca del artıculo.

1

Para ver que es cuasi-Cauchy, sea ε > 0. Por la propiedad arquimediana,existe k ∈ N tal que 1

k< ε. Para n ∈ N tal que k ≤ n + 1 se tiene que

|sn+1 − sn| =

∣

∣

∣

∣

1 +1

2+

1

3+ · · ·+ 1

n + 1−

(

1 +1

2+

1

3+ · · ·+ 1

n

)∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

1

n + 1

∣

∣

∣

∣

=1

n + 1

Luego se tiene que

|sn+1 − sn| =1

n + 1≤ 1

k< ε

Por lo tanto, para ε > 0 dado, existe k ∈ N tal que para toda n ≥ k implicaque |xn+1 − xn| < ε. Ası, (sn) es cuasi-Cauchy.Se procede a mostrar que (sn) no es de Cauchy. Sea k un natural dado. Param, n > k naturales se tiene que

|sm − sn| =

∣

∣

∣

∣

1

n + 1+

1

n + 2+ · · · + 1

m

∣

∣

∣

∣

=1

n + 1+

1

n + 2+ · · ·+ 1

m

Como n + 1 < n + 2 < n + 3 < · · · < m entonces

1

m+

1

m+ · · ·+ 1

m<

1

n + 1+

1

n + 2+ · · ·+ 1

m

Note que el numero de elementos que hay de n hasta m es m − n. Ası, seconcluye que

m − n

m< |sm − sn|

En particular cuando m = 2n se tiene que

2n − n

2n=

1

2< |s2n − sn|

Se concluye que existe ε0 = 1/2 tal que para toda k existe al menos un n > ky al menos un m = 2n > k tal que |sm − sn| ≥ ε0. Por lo tanto, no es deCauchy.Un comentario adicional a todo esto, es que no toda sucesion divergente es

cuasi-Cauchy. Por ejemplo, la sucesion (xn) = (−1)n no es cuasi-Cauchy.Observe que, para todo n ∈ N se tiene lo siguiente

|(−1)n+1 − (−1)n| = |(−1)(−1)n − (−1)n|= |(−1 − 1)(−1)n| = 2

Ası, el valor de ε0 = 1/2 tiene la propiedad de que para todo K existe almenos un n > K tal que ε0 < |(−1)n+1 − (−1)n|. Por lo tanto (xn) = (−1)n

no es cuasi-Cauchy.

Ası hemos llegado al primer aspecto interesante acerca de la condicioncuasi-Cauchy. El criterio de Cauchy para sucesiones en R el cual afirma quetoda sucesion de numeros reales converge si y solo si es de Cauchy. Esto eslo mismo a afirmar que solo las sucesiones convergentes en R son de Cauchy.Como la sucesion de sumas parciales de la serie armonica diverge, entonces noes de Cauchy; Aunque se ha mostrado que es cuasi-Cauchy. Ası, no solo son lassucesiones convergentes cuasi-Cauchy sino que existen sucesiones divergentesque tambien lo son. Ası, ejemplos de sucesiones cuasi-Cauchy hay muchos,como se puede deducir de lo anteriormente mencionado.

Proposicion 1.2. Una sucesion (xn) de numeros reales es de Cauchy si ysolo si toda subsucesion de (xn) es cuasi-Cauchy.

Demostracion. ⇒)Sea (xn) una sucesion de Cauchy. Entonces, para ε > 0 dado, existe N talque para todo m, n ≥ N implica que |xm−xn| < ε. Sea (xnk

) una subsucesionde (xn). En particular para todo kr, ks ≥ N cumplen que

|xkr− xks

| < ε

Por lo tanto, (xnk) es de Cauchy. Como toda sucesion (una subsucesion es

una sucesion) de Cauchy es cuasi-Cauchy, entonces se deduce que (xnk) es

cuasi-Cauchy.⇐)Suponer que (xn) no es de Cauchy. Se probara que existe una subsucesion de(xn) no es cuasi-Cauchy.Como (xn) no es de Cauchy, existe ε0 > 0 tal que para toda N existe almenos un n > N y al menos un m > N tal que |xm−xn| ≥ ε0. En particular,para nk > N y m = nk+1 > N se tiene |xnk+1

− xnk| ≥ ε0 Por lo tanto la

subsucesion (xnk) no es cuasi-Cauchy.

Se podrıa pensar que si una sucesion es cuasi-Cauchy, entonces toda sub-sucesion de ella es cuasi-Cuachy. En realidad, esto no es cierto.

Observacion 2. Como ya se hizo ver en la observacion (1), la sucesion desumas parciales de la serie armonica es cuasi-Cauchy. Vamos a mostrar queexiste una subsucesion de ella que no es cuasi-Cauchy.Sea (sn) la sucesion de sumas parciales de la serie armonica. Considere lasiguiente subsucesion de (sn):

(s100, s200, s300, . . .)

Sea K ∈ N. Por la propiedad Arquimediana existe algun valor m > K con malgun multiplo de 100 (para que pertenezca a algun termino de la subsucesionası definida) tal que

|sm+100 − sm| =

∣

∣

∣

∣

1

m + 1+

1

m + 2+ · · ·+ 1

m + 100

∣

∣

∣

∣

=1

m + 1+

1

m + 2+ · · ·+ 1

m + 100

como m + 1 < m + 2 < . . . < m + 100 entonces

1

m + 100+

1

m + 100+ · · ·+ 1

m + 100<

1

m + 1+

1

m + 2+ · · ·+ 1

m + 100

Ası,100

m + 100< |sm+100 − sm|

En particular, para algun valor K con 0 < K ≤ 99 se tiene que

100

100 + 100=

1

2< |s200 − s100|

Generalizando, se tiene que existe ε0 = 1/2 tal que para toda K existe almenos un m > K tal que ε0 ≤ |sm+1 − sm|. Se concluye que existe unasubsucesion de una sucesion cuasi-Cauchy que no es cuasi-Cauchy.

Es bueno preguntarse como se puede saber que una sucesion cuasi-Cauchysea de Cauchy. La respuesta esta en la siguiente proposicion:

Proposicion 1.3. Una sucesion cuasi-Cauchy es de Cauchy si y solo si tieneexactamente un punto de acumulacion.

Demostracion. ⇐)Sea (xn) una sucesion de Cauchy. Se probara que (xn) es cuasi-Cauchy y que(xn) tiene exactamente un punto de acumulacion.De la observacion (1) se tiene de inmediato que (xn) es cuasi-Cauchy. Ahora,como (xn) es de Cauchy (en R) entonces converge a L ∈ R. Entonces, paraε > 0 dado, existe N ∈ N tal que n ≥ N implica que |xn − L| < ε. Como εes arbitrario, se tiene que toda ε-vecindad de L contiene infinitos puntos dela sucesion (los mayores a N), luego L es un punto de acumulacion de (xn).Como (xn) es convergente, entonces su lımite es unico. Ası, L es el unicopunto de acumulacion de (xn).⇒)Sea L el unico punto de acumulacion de (xn) con (xn) cuasi-Cauchy. Seprobara que (xn) es de Cauchy. Ası, para ε > 0 existe N ∈ N tal que paratodo k ≥ N implica que |xk+1−xk| < ε. Como ε es arbitrario, a partir del N -esimo termino toda ε-vecindad de L contiene infinitos puntos de la sucesion.Ası, para m, n ≥ N se tiene que

|xn − L| < ε, |xm − L| < ε

Ası, para el valor |xm − xn| se tiene

|xm − xn| = |xm − L + L − xn|≤ |xm − L| + |L − xn|≤ |xm − L| + |xn − L|< ε + ε

< 2ε

Por lo tanto, para ε dado, existe N ∈ N tal que n, m ≥ N implica |xm −xn| < ε. Por lo tanto, (xn) es de Cauchy.

Proposicion 1.4. Suponer que (xn) y (yn) son sucesiones positivas de numerosreales cuasi-Cauchy . Entonces (xnyn) es tambien cuasi-Cuachy.

Demostracion. Como (xn) es de Cauchy, entonces para el real positivo ε2|yn|

existe N ∈ N tal que para todo n > N se tenga

|xn+1 − xn| <ε

2|yn|

Por otro lado, como (yn) es de Cauchy, entonces para el real positivo ε2|xn+1|

,existe m ∈ N tal que para todo n > m se tenga

|yn+1 − yn| <ε

2|xn+1|Sea K = mın{m, N}. Entonces para todo n > K se tiene

|xn+1yn+1 − xnyn| = |xn+1yn+1 − xn+1yn + xn+1yn − xnyn|= |xn+1(yn+1 − yn) + yn(xn+1 − xn)|≤ |xn+1||yn+1 − yn| + |yn||xn+1 − xn|< |xn+1|

ε

2|xn+1|+ |yn|

ε

2|yn|= ε

Por lo tanto, para ε > 0 dado, existe K tal que para todo n > K se tiene

|xn+1yn+1 − xnyn| < ε

Por lo tanto (xnyn) es cuasi-Cauchy.

Lema 1.5. Suponga que I es un intervalo y (a1, b1), (a2, b2), . . . es una suce-sion de parejas ordenadas en I con lımi→∞ |ai − bi| = 0. Entonces existe unasucesion cuasi-Cauchy (xi) con la propiedad de que para todo entero i ≥ 1existe j ≥ 1 tal que (ai, bi) = (xj , xj+1).

Demostracion. Esta es una prueba de existencia. Luego se pone a consid-eracion un candidato y se prueba que cumple con lo propiedad deseada.Considere la siguiente subsucesion de (a1, b1), (a2, b2), . . .

(zn) =(

a1, b1, y1

0, y1

1, y1

2, · · · , y1

n1, a2, b2, y

2

0, y2

1, · · · , y2

n2, a3, b3, · · ·

)

con yk0 = bk,y

knk

= ak+1 para todo k ≥ 1, y∣

∣yki − yk

i−1

∣

∣ < 1

kpara 1 ≤ i ≤ nk.

Lo primero es probar que la sucesion presentada es cuasi-Cauchy.Suponer que el t0 termino de (zn) es tal que zt0 = yk

0 . Note que, el terminoanterior a ese yk

0 es de la forma bk. Ası,

|yk0 − bk| = |bk − bk| = 0

Por lo tanto, se tiene que |yk0 − bk| < ε con ε > 0 dado.

Suponer que el t1 termino de (zn) es tal que zt1 = yknk

Note que, el terminoanterior a ese yk

nkes de la forma yk

nk−1. Ası, de las premisas se tiene

∣

∣

∣yk

nk− yk

nk−1

∣

∣

∣<

1

k

Ası, es hacer k tal que 1/k < ε. Esto es posible por la propiedad arquimedi-ana. Ası, |yk

nk− yk

nk−1| < ε.

Suponer que el t2 termino de (zn) es tal que zt2 = yki . Note que, el termino

anterior a ese yki es de la forma yk

i−1. Ası, este caso es analogo al anterior.Suponer que el t3 termino de (zn) es tal que zt3 = at, para t natural. Noteque, el termino anterior a ese at es de la forma yt−1

nt−1.Ası,

∣

∣at − yt−1

nt−1

∣

∣ = 0

Por lo tanto, se tiene que |at − yt−1nt−1

| < ε con ε > 0 dado.Para el caso en el que el termino t4 es de la forma bt, de la premisa se tieneque dado un ε se puede hacer la distancia entre |bt − at| tan pequena comose desee. Para cualquier caso, si se toma δ = mın{t0, t1, t2, t3, t4} se tiene que(zn) es cuasi-Cauchy.Para la segunda condicion, note que para todo j ≥ 1 existe un j ≥ 1 en (zn)tal que (ai, bi) = (xj , xj+1).Esto completa la demostracion.

Es bueno recordar una conexion que hay entre las funciones continuas ylas sucesiones de Cauchy. Se explica en el siguiente resultado:

Proposicion 1.6. Sea I un intervalo cerrado. Entonces, una funcion f escontinua en I si y solo si esta definida en I y preserva la propiedad de Cauchy,esto es,(xn) es de Cauchy en I con (xn) ⊂ I implica que (f(xn)) es de Cauchy.

Demostracion. ⇒)Como I es cerrado, entonces I contiene a todos sus puntos de acumulacion ycontiene a su frontera (Recordar I = I ∪ I ′ y I = Int(I) ∪ ∂I). Por lo tanto,toda sucesion convergente de I debe tener su punto de convergencia en I. Esimportante que sea convergente (note por ejemplo [0,∞)). De la continuidadde f se tiene que f esta definida en I.Sea (xn) una sucesion de Cauchy en I, entonces (xn) converge y debe hacerloa un punto de I. Ası, por el criterio de sucesiones para la continuidad se tieneque (f(xn)) converge a f(L). Luego (f(xn)) es de Cauchy.⇐)Suponer que f no es continua en I. Se va a probar que f(I) no esta definidaen I o que existe (xn) de Cauchy tal que (f(xn)) no es de Cauchy.Si f no es continua en I, entonces f(I) no esta definida en todo punto de I,esto es, f(I) no esta definida en I.

Como f no es continua en I, existen puntos xn, xm ∈ I tales que 0 < |xn −xm| < 1/n implica que |f(xn) − f(xm)| ≥ ε0. Del principio de compresionse tiene que para valores de n grandes, el valor |xn − xm| es cada vez maspequeno, pues lımn→∞ 1/n = 0. Ası, existe algun k ∈ N tal que m, n ≥ k ladiferencia se hace tan pequena como se desee, mientras que, en el caso de|f(xn)−f(xm)| ocurre lo contrario. Por lo tanto (f(xn)) no es de Cauchy.

Ahora se veran las conexiones entre funciones uniformemente continuasy las sucesiones cuasi-Cauchy.

Teorema 1.7. Suponga que I es un intervalo. Entonces una funcion devariable real es uniformemente continua en I si y solo si esta definida enI y la imagen de cualquier sucesion cuasi-Cauchy de I es cuasi-Cauchy.

Demostracion. ⇒)Sea (xn) una sucesion cuasi-Cauchy en I y sea ε dado. Se elije δ > 0 tal quesi x, y ∈ I satisfacen |x− y| < δ, entonces |f(x)− f(y)| < ε (esta eleccion sepuede hacer pues f es uniformemente continua). Como (xn) es cuasi-Cauchy,existe k ∈ N tal que para n ≥ k se tenga |xn+1 − xn| < δ, luego se tiene|f(xn+1) − f(xn)| < ε.Por lo tanto, para todo ε > 0 dado, existe k ∈ N tal que para n ≥ k se tiene|f(xn+1) − f(xn)| < ε. Ası, (f(xn)) es de Cauchy.⇐)Suponga que f no es uniformemente continua en I. Entonces existe ε0 > 0tal que para todo δ > 0 existen a, b ∈ I con |a−b| < δ pero |f(a)−f(b)| ≥ ε0.Para todo n ∈ N hacer an, bn ∈ I tales que |an−bn| < 1/n y |f(an)−f(bn)| ≥ε0. por el lema (1.5), existe una sucesion cuasi-Cauchy (xi) tal que para todoi ≥ 1 existe j con ai = xj y bi = xj+1. Se tiene entonces que |xj −xj+1| < 1/nimplica |f(xj)−f(xj+1)| ≥ ε0. Note que existe ε0 tal que para todo j se tenga|f(xj) − f(xj+1)| ≥ ε0. Ası, se concluye que (f(xi)) no es cuasi-Cauchy.

El teorema precedente puede ser fortalecido si I es acotado

Teorema 1.8. Suponer que f es una funcion definida en un intervalo acotadoI. Entonces f es uniformemente continua en I si y solo si la imagen bajo fde toda sucesion de Cauchy en I es cuasi-Cauchy.

Demostracion. ⇒)Para probar esta implicacion, se procede a probar que si f es uniformemente

continua en I y si (xn) es una sucesion de Cauchy en I, entonces (f(xn)) esuna sucesion de Cauchy en R. Ası, (f(xn)) es cuasi-Cauchy.Sea (xn) una sucesion de Cauchy en I y sea ε > 0 dado. Como f es uniforme-mente continua se elije δ tal que si x, u ∈ I satisfacen |x − u| < δ, entonces|f(x)−f(u)| < ε. Como (xn) es de Cauchy, existe k ∈ N tal que para m, n ≥ kse tenga |xm − xn| < δ. Por la eleccion de δ se tiene que |f(xm)− f(xn)| < ε.Ası, para ε > 0 existe k ∈ N tal que para n, m ≥ k, |f(xm)− f(xn)| < ε. Porlo tanto (f(xn)) es de Cauchy. Se concluye que (f(xn)) es cuasi-Cauchy.⇐)Suponga que la imagen de toda sucesion de Cauchy es cuasi-Cauchy y quef no es uniformemente continua en I. Entonces existe ε0 > 0 tal que paratodo δ > 0 existen puntos x, y ∈ I con |x − y| < δ pero |f(x) − f(y)| ≥ ε0.Ademas, para todo n ≥ 1 se buscan puntos xn, yn ∈ I con |xn − yn| < 1/npero |f(xn) − f(yn)| ≥ ε0 (esto se puede hacer, pues f no es uniformementecontinua). Se afirma sin perdida de generalidad que (xn) converge. Si (xn)no converge, como I es acotado y (xn) ⊂ I entonces existe una subsucesionde (xn) que converge (Teorema de Bolzano-Weierstrass) y se trabajan conesos puntos en |xnk

− ynk| < 1/nk . De lo anteriormente dicho se tiene que

x1, y1, x2, y2, x3, y3, . . . converge. Como converge entonces es de Cauchy, perof(x1), f(y1), f(x2), f(y2), . . . no es cuasi-Cauchy.Por lo tanto, se ha encontrado una sucesion de Cauchy cuya imagen bajo fno es cuasi-Cauchy. Esto es una contradiccion.

Observacion 3. La importancia de tener una funcion uniformemente con-tinua en el Teorema (1.8) esta dada en la funcion f(x) := 1/x en el intervalo(0, 1). Se observa que la sucesion dada por xn := 1/n en (0, 1) es una suce-sion de Cauchy, pero f(xn) = n no es sucesion de Cauchy en R pues no esconvergente.

2. En espacios metricos

La nocion de cuasi-Cauchy en espacios metricos en general es la misma, esdecir, es el comportamiento que tiene una sucesion en un espacio metrico Xcon metrica d de forma que pequenos incrementos entre terminos consecutivostiene el mismo comportamiento que en R, esto es, los incrementos en lasucesion se pueden hacer tan pequenos como se desee.

Definicion 2.1. Sea (X, d) un espacio metrico con metrica d. Sea (xn) unasucesion de X.

† (xn) es de Cauchy si dado ε > 0 existe un entero K > 0 tal quem, n ≥ K implica que d(xm, xn) < ε.

† (xn) es cuasi-Cauchy si dado ε > 0 existe un entero K > 0 tal quen ≥ K implica que d(xn+1, xn) < ε.

Se introduce una forma de definir metrica desde algo llamado“pseudometrica”.

Definicion 2.2. Sea X un conjunto y d : X2 → [0,∞] una funcion.

† d es una pseudometrica si satisface d(x, x) = 0, d(x, y) = d(y, x), yd(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) para todo x, y, z ∈ X.

† d es una metrica si tambien satisface d(x, y) < ∞ y d(x, y) = 0 ⇒ x =y para todo x, y ∈ X.

El aspecto mas interesante de las sucesiones de Cauchy y de las cuasi-Cauchy en espacios metricos es que existen algunos espacios en el que ladistincion entre Cauchy y cuasi-Cauchy desaparece. Para esto se introducenueva terminologıa.

Definicion 2.3. Un espacio metrico (X, d) es llamado no incremental sitoda sucesion cuasi-Cauchy es de Cauchy en X. En este caso d es llamadauna metrica no incremental.

Observacion 4. El conjunto de los enteros con la metrica Euclıdea es noincremental. Se demostrara que toda sucesion cuasi-Cauchy es de Cauchy enlos enteros con la metrica Euclıdea.Sea (xn) una sucesion en Z. Como es cuasi-Cauchy, para ε/(m−n) > 0 dadoexiste K > 0 tal que m ≥ n ≥ K implica que |xn+1 − xn| < ε/(m − n). Note

lo siguiente para valores m ≥ n

|xn+1 − xn| < ε/(m − n)

|xn+2 − xn+1| < ε/(m − n)

|xn+3 − xn+2| < ε/(m − n)

...

|xm−1 − xm−2| < ε/(m − n)

|xm − xm−1| < ε/(m − n)

En virtud de la desigualdad triangular se tiene

|xn+1−xn|+|xn+2−xn+1|+· · ·+|xm−xm−1| <ε

m − n+

ε

m − n+· · ·+ ε

m − n

|xn+1 − xn + xn+2 − xn+1 + · · ·+ xm − xm−1| <m − n

m − nε

|xm − xn| < ε

Por lo tanto, para ε arbitrario existe K ∈ N tal que m ≥ n ≥ K implica|xm − xn| < ε. Por lo tanto, (xn) es de Cauchy.Toda metrica es por definicion, una pseudometrica. Se procede a mostrar queno toda pseudometrica es metrica. Considere la siguiente funcion d : R×R →[0,∞) definida por d(x, y) := |x2 − y2|.note que

d(x, x) = |x2 − x2| = |0| = 0

d(y, x) = |y2 − x2| = |(−1)(x2 − y2)| = |x2 − y2| = d(x, y)

d(x, y) = |x2−y2| = |x2−z2+z2−y2| ≤ |x2−z2|+ |z2−y2| = d(x, z)+d(z, y)

De lo anterior, se tiene que d es una pseudometrica. Suponga que d(x, y) = 0.Ası,

d(x, y) = 0

|x2 − y2| = 0

x2 − y2 = 0

x2 = y2

Note que x2 = y2; x = y. Por lo tanto d no es metrica.

Definicion 2.4. Un espacio ultrametrico es un espacio metrico (X, d) elcual satisface la siguiente desigualdad (llamada la desigualdad ultrametrica):

d(x, y) ≤ sup{d(x, z), d(z, y)} para todo x, y, z ∈ X

Los espacios ultrametricos son llamados espacios no arquimeadianos oespacios isosceles. Esto ultimo porque tienen la propiedad de que todos lostriangulos en esos espacios son isosceles(?).El siguiente teorema relaciona estos conceptos.

Teorema 2.5. Los espacios ultrametricos son no incrementales

Demostracion. Sea (X, d) espacio ultrametrico. Suponga que (xn) es unasucesion cuasi-Cauchy en X. Sea ε > 0 dado. Entonces existe K > 0 talque n ≥ K implica que d(xn, xn+1) < ε. Considere m tal que m, n ≥ Kcon m ≤ n. Como estamos en un espacio ultrametrico, la distancia entre dospuntos cualesquiera de la sucesion (xn) se puede medir si se mide la distanciaentre los terminos consecutivos entre ellos. Mas precisamente, la desigualdadultrametrica para este caso es

d(xm, xn) ≤ sup{d(xm, xm+1), d(xm+1, xm+2), · · · , d(xn−1, xn)}< sup{ε, ε, . . . , ε} = ε

La ultima desigualdad es cierta, pues esos elementos pertenecen a (xn) conm, n ≥ K. Por lo tanto, (xn) es de Cauchy.

Observacion 5. Es natural preguntarse si el reciproco del teorema (2.5) escierto. La respuesta es no. Considere un conjunto X de tres elementos loscuales son vertices cualquier triangulo no isosceles, y sea d la distancia entreestos vertices. Entonces (X, d) no es ultrametrico (?)(en el caso de los isosce-les, el triangulo de catetos de lado 1 e hipotenusa de lado

√2 no cumple la

desigualdad ultrametrica), pero es no incremental pues toda sucesion cuasi-Cauchy debe tener un elemento xK tal que la distancia entre terminos con-secutivos sea tan pequena como uno quiera. Esto implica que las sucesionescuasi-Cauchy son casi constantes, esto es , a partir de ese xK se tiene quexk+1 = xk+2 = . . . para poder satisfacer la condicion cuasi-Cauchy.

Definicion 2.6. Suponer que (X1, d1) y (X2, d2) son espacios pseudometri-cos. Se dice que

1. topologicamente equivalentes si existe un homeomorfismo h : X1 → X2

2. uniformemente equivalente si existe una biyeccion h : X1 → X2 tal queh y h−1 son uniformemente continuas con respecto a pseudometricasdadas. Tal h es llamada una equivalencia uniforme

Proposicion 2.7. Sean (X, d), (Y, m) espacios metricos y (xn) una sucesioncuasi-Cauchy en X. Si f es uniformemente continua entonces la imagen bajof de (xn) es cuasi-Cauchy.

Demostracion. Como f es uniformemente continua, entonces para ε > 0dado, existe δ tal que para x, y ∈ X se tenga

d(x, y) < δ ⇒ m(f(x), f(y)) < ε

Como (xn) es cuasi-Cauchy, existe K > 0 tal que

k ≤ n ⇒ d(xn+1, xn) < δ

Ası, de lo anteriormente mencionado se tiene que m(f(xn+1), f(xn)) < ε. Porlo tanto, para ε dado, existe K tal que

k ≤ n ⇒ m(f(xn+1), f(xn)) < ε

Ası, se obtiene el resultado.

Observacion 6. La propiedad de ser no incremental es preservada por laequivalencia uniforme. Esto se debe al resultado (2.7). Por otro lado, ,losespacios metricos de tres elementos (incluyendo los equilateros) son uni-formemente equivalentes entre si. Entonces, la propiedad de ser un espacioultrametrico no esta preservado por la equivalencia uniforme.(?)

Definicion 2.8. Sea (X, d) un espacio metrico. Sean x, y ∈ X se dice que xe y estan ε-conectados si existen puntos x0, x1, x2, . . . xn con x0 = x,xn = yy d(xi, xi+1) < ε para i < n. Tal sucesion de puntos es llamada una ε-cadenaque conecta x e y.

Definicion 2.9. Sea X un espacio. se define la siguiente funcion para x, y ∈ X

d∗(x, y) = ınf{ε | x e y estan ε-conectados}

Proposicion 2.10. d∗ es una ultra-pseudometrica

Demostracion. de la definicion de d∗ se tiene directamente que d∗(x, y) ≥ 0pues es el ınfimo de cantidades positivas. Note que si d∗(x, y) < ε, entonces x ey estan ε-conectados con respecto a d (directo de la definicion de esa funcion).Ası, si se supone que d∗(x, y) < ε, entonces existe una sucesion de puntos conx0 = x y xn = y tal que d(xi, di+1) < ε. Como d(xi, xi+1) = d(xi+1, xi) puesd es metrica, entonces se sigue que d∗(x, y) = d∗(y, x) porque d(xi, xi+1) < εsi y solo si d(xi+1, xi) < ε. Suponer que d∗(x, z) < ε y que d∗(z, y) < ε′ ysin perdida de generalidad suponer que ε < ε′. Ası, x e z estan ε-conectadosy z e y estan ε′-conectados. Luego x e z estan ε′-conectados. Por lo tanto,la distancia para ir de x a y esta determinada por cual de los dos epsilones mayor. La sucesion de puntos es la union de las dos sucesiones con unadistancia entre terminos consecutivos menor al epsilon mayor. Por lo tanto,d∗(x, y) ≤ sup{d∗(x, z), d∗(z, y)}, esto es, la relacion de ser ε-conectado estransitiva. Esto completa la demostracion

Teorema 2.11. Sea (X, d) un espacio no incremental. Entonces es topologi-camente equivalente a un espacio ultrametrico.

Demostracion. Se procede a probar que Bd(x, ε) = B∗d(x, y).

Sea Bd(x, ε) = {y | d(x, y) < ε} yBd∗(x, ε) = {y | d∗(x, y) < ε}Como estamos en un espacio metrico, entonces es posible ε-conectar dospuntos x, y de mas de una forma,pues es encontrar sucesiones adecuadas quetengan como punto inicial y final a x e y. Ası, se tiene que d∗(x, y) ≤ d(x, y).Esto implica que para todo x ∈ X y todo ε > 0

Bd(x, ε) ⊆ B∗d(x, ε)

Por otro lado, suponga x ∈ X y ε > 0. Se quiere probar que existe un δ talque Bd∗(x, δ) ⊆ Bd(x, ε). Suponga que no existe tal δ. Entonces para todoenteron ≥ 1 existe un punto an ∈ Bd∗(x, 1/n) tal que no pertenece a Bd(x, ε).Como Bd∗(x, 1/n) existe una (1/n)-cadena x0, x1, x2, . . . xn que conecte x aan. Entonces x0 = x,xk = an, y d(xxi

, dxi+1) < 1/n para i < k. Sea

x0, x1, x2, . . . xk−1, xk, xk−1, . . . x1, x0

un (1/n)-circuito. Va desde el punto x hasta el punto afuera de Bd(x, ε) yvuelve a x con pasos de longitud < 1/n.Se define una sucesion (yn) la cual

empieza en el 1-circuito, sigue al (1/2)-circuito y ası sucesivamente. Comolos circuitos empiezan y terminan en x, entonces la distancia entre puntosconsecutivos posicionados en la frontera entre circuitos sucesivos es cero. Porotro lado si yi e yi+1 estan ambos dentro de un circuito (sin perdida degeneralidad el (1/n)-circuito) entonces d(yi, yi+1) < 1/n. Cuando i en yi vapara infinito, la sucesion va para infinito, esto es n → ∞ en (yn), esto quieredecir que los terminos consecutivos se van acercando entre si tanto comose quiera. 1/n → 0 cuando n → ∞. Ası, (yn) es cuasi-Cauchy en (X, d).Ademas para todo K > 0 se puede escoger i ≥ K tal que yi = x y se puedeescoger j > i como el punto medio del circuito que empezo en yi de tal formaque d(yi, yj) ≥ ε para ε > 0 dado. Por lo tanto (yn) no es de Cauchy. Estocontradice el hecho de que (X, d) es no incremental, por lo tanto ese δ debeexistir.

Observacion 7. Se observa que si (X, d) es un espacio metrico entonces duniformemente equivalente a una ultrametrica implica que d es no incremen-tal por el teorema (2.5) lo cual implica que d es equivalente a una ultrametricapor el teorema (2.11). Sus reciprocos no son ciertos. Los espacios metricosdiscretos son equivalentes a un espacio ultrametrico (?). Sea X el conjun-to de las sumas parciales de la serie armonica con d la metrica euclidiana.(X, d) es discreto(?) pero no es incremental. Por lo tanto, ser equivalente auna ultrametrica no implica que sea no incremental.

Referencias

[1] Quasi-Cauchy Sequences, Amer. Math. Monthly (2010)328-333.doi:10.4169/000298910X480793

[2] Elon Lages Lima. Analise Real. Volumen I, Septima Edicion. IMPA, Riode Janeiro Brasil, 2004.