cuadros de doble entrada
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1. Enigmas y cuadros de doble entrada
Empezaremos enunciando un enigma que resolveremos de varias formas:
"Hoy gran etapa: Concarneau-Chateaulin, en la costa Ménez-Kerveyen, tenemos seis hombres a la cabeza. Son"
Nuestro cronista se confunde y mezcla corredores, números, marcas y nacionalidades. ¿Quieren ayudarlo a terminar esta nota? Sabemos que:
Este grupo comprende seis hombres, todos de nacionalidades diferentes: alemán, inglés, belga, español, italiano y francés.
Tres marcas patrocinan a los corredores, cada una de ellas a dos: Clas, Banesto y Festina.
Se tiene la siguiente información:
a. El número 1 y el alemán son dos corredores que llevan los colores de la marca Clas.
b. El número 5 y el belga llevan los dos los de la marca Banesto.
c. El español y el número 3 llevan los dos los de la marca Festina.
d. Los corredores números 2 y 6 sacaron ventaja a la entrada del circuito de l’Aulne, mientra que el español se quedó.
e. El italiano y el francés se adelantaron 30 segundos al número 3 en la tercera vuelta de este circuito.
f. El número 2 y el alemán debieron abandonar, ambos, después de una caída.
g. Finalmente, el número 1 ganó el sprint final frente al italiano.
Para resolver el enigma, en primer lugar, abordaremos la forma más "directa" o de "sentido común" que no conlleva formalizaciones ni el uso de estructuras determinadas; es decir, se trata de utilizar los datos como aparecen e ir haciendo sobre ellos las deducciones. Evidentemente, como cada persona tiene mecanismos de pensamiento distintos será difícil que todos coincidamos en el orden de los distintos pasos de las deducciones; una forma sería tratar la información en el cronológico que aparece.
Método 1: Deducción cronológica-"directa"
La información a), b) y c) se puede resumir:
Clas: corredores número 1 y alemán. Banesto: corredores número 5 y belga.
Festina: corredores número 3 y español.
Y una deducción clara es que tanto el alemán como el belga como el español han de tener números pares, además como consecuencia de esto los números impares
corresponden a italiano, inglés y francés. La información (d) nos dice que, al entrar en el circuito de l’Aulne, los números 2 y 6 aventajaron al español, podemos deducir entonces que el español ha de tener necesariamente el número 4, puesto que debía de tener un número par. También se deduce que los números 2 y 6 han de distribuirse entre alemán y belga.La información de e) nos dice que el italiano y el francés adelantan al número 3 en la tercera vuelta, luego como ambos, italiano y francés, son números impares, el número 3 corresponde al otro corredor de número impar que es el inglés. También se deduce, por tanto, que los números 1 y 5 han de distribuirse entre italiano y francés.La información f) dice que el alemán y el número 2 sufren una caída, luego, como sabemos que el alemán sólo puede ser el 2 ó 6, necesariamente se tiene que el alemán es el número 6 y entonces el belga será el numero 2.La información g) dice que el sprint final lo disputan el número 1 y el italiano, así como éste sólo puede ser el 1 ó el 5, necesariamente será el 5, y por tanto el número 1 será el francés, con lo que queda resuelto el enigma.Un esquema del procedimiento que acabamos de realizar es el siguiente:
Información Deducciones
a) Clas: nº1 y alemánb) Banesto: nº5 y belgac) Festina: nº3 y español
nºs pares: alemán, belga y españolnºs impares: italiano, inglés y francés
d) nº 2 y nº 6 adelantan español nº 4 españolnºs 2 y 6: alemán y belga
e) italiano y francés adelantan al nº 3 nº 3 inglésnºs 1 y 5: italiano y francés
f) nº 2 y alemán caen nº 6 alemánnº 2 belga
g) nº 1 e italiano sprint nº 5 italianonº 1 francés
Figura 1.1
Método 2: Empezamos a organizar los datos
Primera fase: organización de los datos
Como el objetivo del enigma es hacer corresponder cada número del uno al seis con una nacionalidad, desglosamos solamente estos datos olvidándonos del resto de la información no relevante: podemos tomar las nacionalidades (o también los números) una por una y según la información desde a) hasta g) ver qué números pueden corresponderle y cuáles no. Así tendríamos:
Nacionalidades No puede ser Puede ser
Alemán 1 a) 4, 6
3, 5 marcas diferentes: b) y c)2 f)
Español3 c)1, 5 marcas diferentes: a) y b)2, 6 d)
4
Inglés 1, 2, 3, 4, 5, 6
Belga1, 3 marcas diferentes: a) y c)5 b)
2, 4, 6
Italiano3 e)1 g)
2, 4, 5, 6
Francés 3 e) 1, 2, 4, 5, 6
Figura 1.2
Segunda fase: deducciones
Analizando la última columna de la tabla anterior, se tiene que el español será el número 4 pues es lo único que puede ser, además como ya ningún otro puede ser el 4, se eliminan el resto de cuatros que aparecen en dicha columna. Con esta operación nos queda en la primera fila de esta tercera columna el número 6 solamente, esto es, el alemán es el número 6. Eliminamos el resto de seises de la columna, resultando así que el belga es el número 2. De nuevo, eliminamos los doses, obteniéndose que el italiano es el 5. Eliminando los demás cincos concluimos que el francés es el número 1 y, por tanto, el inglés el 3. Observemos que esta última deducción sobre el inglés se podía haber hecho ya desde el principio, ya que ninguno de los otros puede ser el número 3, según muestra la tercera columna.
Antes de exponer otras formas de resolver este enigma, analicemos las dos dadas. En el primer método, prácticamente no hay ninguna representación (modelización) de los datos, las deducciones se hacen sobre la misma información que nos dan. El segundo método ya lleva una primera fase de organización de los datos, y así, en la segunda etapa de las deducciones el tratamiento no se hace sobre la información sino sobre los datos (la información relevante sintetizada): ya no deducimos que el alemán no puede ser el número 1 según dice a), sino que se trata de ver las posibilidades de que en las distintas filas de la columna "Puede ser" haya números distintos.Cabe observar que el método 2 está a medio camino entre la deducción directa y el uso de un cuadro de doble entrada que es el siguiente método a tratar.
Método 3: cuadro de doble entrada
Primera fase: organización de los datos
Un cuadro de doble entrada permite cruzar dos variables y, así, el repertorio de los diferentes casos posibles. En nuestro problema tenemos tres variables: nacionalidad, número y marca; como el cuadro sólo permite dos variables, parece más natural, dada la información que tenemos, privilegiar la nacionalidad y los números dejando la marca
como variable suplementaria.Hacemos entonces una tabla enfrentado las nacionalidades y los números como indica la siguiente figura; si una nacionalidad y un número son incompatibles pondremos un 0 en el cuadro correspondiente, e irá un 1 solamente en aquel cuadro cuya nacionalidad coincida con el número. Luego, y como regla de deducción, tendremos que tanto en una fila como en una columna sólo puede haber un 1.
alemán belga español francés inglés italiano
1 0(a)0
(a)+(b)0
(a)+(c)
0(f)
20(f)
0
(d)
30
(a)+(c)0
(a)+(c)0
(c)0
(e)
0(e)
4
50
(a)+(b)0
(b)0
(b)+(c)
0
(d)
Figura 1.3(a)
Se transcriben las informaciones dadas en forma de ceros y unos sobre la tabla, para llevar un mejor control sobre las informaciones, También anotaremos en la tabla, debajo de los ceros y unos, la información de la que provienen. Así, la información a) supone un 0 en la casilla (1,alemán), b) un 0 en (5,belga) y c) un 0 en (3,español).Teniendo en cuenta la variable suplementaria marca, deducimos de a) y de b) un 0 en (5,alemán); de a) y c) un 0 en (3,alemán) y así sucesivamente, con lo que tenemos la situación que presenta la tabla de la figura 1.3(a)
Segunda fase: deducciones
Una vez que tenemos en el cuadro toda la información codificada empezamos la fase de las deducciones utilizando la anterior regla mencionada: en cada fila y columna sólo puede aparecer un 1. Así, tenemos que en la fila tercera hay que poner un 1 en la casilla (3,inglés) y, por tanto, ceros en el resto de la columna "inglés". También hay que poner un 1 en la casilla libre correspondiente a la columna "español", lo cual obliga a poner ceros en toda la fila 4. Ahora estamos obligado a poner un 1 en la casilla (1,francés), y así sucesivamente, hasta llegar a la situación que presenta el cuadro de la figura 1.3(b). En dicho cuadro hemos anotado con un subíndice en las casillas de los unos para mostrar en qué etapa de la deducción ha surgido.
alemán belga español francés inglés italiano
1 0(a)
0(a)+(b)
0(a)+(c)
1(2)
0
0(f)
2 0(f)
1(4)
0(d)
0
0 0
3
0(a)+(c)
0(a)+(c)
0(c)
0(e)
1(1)
0(e)
4 0 0 1(1)
0 0 0
5
0(a)+(b)
0(b)
0(b)+(c)
0 0 1(3)
6
1(5)
0 0(d)
0 0 0
Figura 1.3(b)
En definitiva, la solución del enigma descodificando el resultado que muestra el cuadro es: nº 1 el francés, nº 2 el belga, nº 3 el inglés, nº 4 el español, nº 5 el italiano y nº 6 el alemán. Con este método, se tiene que la fase de organización y representación de los datos lleva un formalismo muy avanzado y, en cambio, la fase deductiva es casi mecánica.
Método 4: reducción a dos cuadros de doble entrada
Las informaciones dadas en a), b) y c), como ya vimos en el método 1, nos permite deducir que alemán, belga y español tienen números pares, así como francés, inglés e italiano impares; esto nos permite reducirnos a dos cuadros de doble entrada y con menor número de entradas cada uno de ellos (como muestra la figura 1.4) y con las variables "número" y "nacionalidad". Observemos que ahora ya no hay el problema de las tres variables porque justamente la variable "marca" es la que nos ha servido para el desdoblamiento en dos cuadros.
francés inglés italiano alemán belga español
11
(2)0
0(g)
20(f)
1(1)
0(d)
30
(e)1
(1)0
(e)4 0 0
1(1)
5 0 01
(1)6
1(2)
00
(d)
Figura 1.4
El procedimiento en cada cuadro es análogo al anterior, sólo que ahora la información es más manejable y hay menor número de etapas de deducciones: mientras que en el método anterior había 5 etapas deductivas en este sólo 3.
A continuación, como ejercicio, pasamos a resolver dos enigmas usando cuadros de doble entrada, ya sabemos que lo principal en la tarea de organizar los datos es encontrar las variables principales.
Problema: En el restaurante
Después de una dura mañana en la Facultad de Informática, Álvaro, Daniel, Paco, Enrique, Carmen y Luis se encuentran en el comedor. Sabemos que:
a. Daniel, Carmen y el aficionado al pescado aprecian el vino blanco.b. Paco mira con envidia a las personas que eligieron jabalí y pato a la naranja.
c. Álvaro y Daniel están situados frente a los que degustan la tortilla de patata y el pato a la naranja.
d. Álvaro, Paco y Enrique han elegido cada uno un plato de carne.
¿Quién ha pedido el bistec? ¿Y los caracoles?
Problema: Beca divertida
Doce becarios: Javier, Miguel, Nacho, Silvia, Alberto, Cristina, Guillermo, Juan, María, Marta, Marcos e Inés, participan en los cursos de verano de El Escorial. Cada uno tiene una bebida preferida: menta con agua, batido de fresa, limonada, leche, champán, cola, zumo de naranja, café, té, anís, sidra y cerveza.
Descubrir la bebida preferida de cada uno sabiendo que:
a. El primer día, los becarios juegan al mus: en una de las mesas se encuentran juntos Guillermo, Juan y los aficionados a la sidra y la cerveza; en otra, los bebedores de anís y té se enfrentan a María y a Marta; y en una tercera, Inés y Marcos con los que gustan de café y zumo de naranja.
b. El hermoso tiempo del segundo día les permite jugar a los bolos en grupos de cuatro: Javier y Miguel dominan completamente al equipo de bebedores de té y café; Juan y Guillermo derrotan sin dificultad a los consumidores de batido y limonada; mientras que Nacho y María se enfrentan duramente a los aficionados al zumo de naranja y a la menta con agua.
c. Los fanáticos del tenis tienen poco tiempo para entregarse a su deporte favorito. Juegan a dobles: Guillermo con el bebedor de cola se enfrentan a Marta asociada con al consumidor de limonada; por otra parte, Javier y Silvia se enfrentan a los que toman cerveza y té.
d. Finalmente sepan que, después de estas jornadas de intensos estudios, los becarios se fueron a un lugar de descanso: Juan acompañó a los aficionados al champán y a la cola a Segovia; Miguel a los que gustan de sidra y cerveza a
Toledo; el bebedor de batido se encuentra con Marta y Marcos en Almería, y el aficionado al café con Silvia y Alberto en Sigüenza.
2. Integramas y filotramas
El uso de integramas
El trío municipal
Los señores Alba, Blanco y Cano son los tres candidatos que obtuvieron la mayor cantidad de votos en las últimas elecciones en el de La Garrafa. El resultado fue muy ajustado: el que llegó a la cabeza aventaja al segundo en un voto y éste al tercero en otro voto. Los tres practican deportes diferentes (atletismo, natación y senderismo) y tienen una bebida favorita diferente: café, zumo de naranja y té. Con la siguiente información se trata de encontrar la clasificación de cada candidato, su deporte y su bebida favorita:
a. El señor Cano, gran aficionado al café, aventajó a Blanco por un solo voto.b. El aficionado al zumo de naranja, que no soporta el senderismo, obtuvo un
voto más que el bebedor de té.
c. El señor Alba adora la natación.
Para resolver este enigma vamos a introducir un cuadro llamado integrama. Este instrumento de representación equivale a tratar varios cuadros de doble entrada simultáneamente, poniendo cada variable en correspondencia con las otras. Así, si tenemos tres variables, como el enigma anterior de la carrera ciclista, tendríamos tres cuadros (combinaciones de 3 elementos tomados de 2 en 2) y ya tendríamos todas las correspondencias necesarias, se tienen cuatro entradas de datos: una para cada una de las variables y otra que hay que repetir una variable. Se distribuyen los cuadros de la siguiente forma:
Variable 1 Variable 3
Variable 2
Variable 3
Figura 2.1
En el caso del trío municipal, como tenemos cuatro variables, para poner en correspondencia cada una de las variables con el resto tendremos que utilizar seis
cuadros, es decir, tenemos combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2. Cada cuadro será de 3x3 puesto que cada variable toma tres valores
Formamos una tabla, como muestra la figura 2.2(a), donde se han colocado los valores de ceros y unos según las informaciones a) y b). Notemos que la información a) no es sólo que el señor Cano es aficionado al café, lo que se traduce en un 1 en la casilla (C,c), sino también que el señor Cano no es el tercero, pues aventajó al señor Blanco, y por lo mismo el señor Blanco no puede ser el primero, lo que se traduce en ceros en los casillas (C,3) y (B,1). De la misma manera, la información de b) se traduce en un 0 en la casilla (z, s) y también ceros en (t,1) y en (z,3).Con esto ya tendríamos la primera etapa de organización de los datos, sólo falta tener en cuenta una información que no se puede codificar en la tabla: Cano va inmediatamente antes que Blanco, y el que bebe zumo va inmediatamente antes que el que bebe té. Codificaremos en la tabla donde aparecen las deducciones (Figura 2.2(b)) un asterisco para referirnos a que estamos haciendo uso de esta información en la deducción.
Puestos Deportes Bebidas
1 2 3 a n s t c z
Candidatos
A 1
(c)
B0
(a)
C 0
(a) 1
(a)
Bebidas
t0
(b)
c
z 0
(b) 0
(b)
Deportes
a
n
s
Figura 2.2(a)
Pasemos pues a la parte de las deducciones, notemos primeramente cómo se codifican las deducciones sobre el integrama, esto es, las reglas que nos permiten obtener los unos y los ceros del integrama. Hay que reseñar que cada uno de los seis cuadros es de doble entrada, por lo tanto, se mantiene en cada cuadro individualmente se mantiene la regla de que en cada fila y en cada columna sólo puede haber un único uno y el resto ceros. Además, también tenemos dos reglas específicas del integrama, vamos a ver como se obtienen de las propias deducciones. Sabemos que el señor Cano es aficionado al café, lo que se codifica como un 1 en la casilla (C,c), y también sabemos que el señor Cano no es el número 3, lo que se traduce en 0 en (C,3), luego podemos deducir que el
aficionado al café no es el número 3, es decir, un 0 en (c,3). Así, tenemos la regla de integrama:
Regla 1: (C,c) es 1 y (C,3) es 0 (c,3) es 0
Por otra parte, supongamos que ya sabemos que el aficionado al café es el número 1, sería un 1 en la casilla (c,1), además como el aficionado al café es el señor Cano, deducimos que el señor Cano es el número 1, es decir, un 1 en (C,1); así tenemos la segunda regla específica de integrama:
Regla 2: (C,c) es 1 y (c,1) es 1 (C,1) es 1
Cabe observar que el orden en los elementos de los pares ordenados no es relevante.
Pasemos ya a hacer una descripción exhaustiva de cómo podrían ser las deducciones (ir viendo simultáneamente en la figura 2.2(b)):
1. La primera deducción que podemos hacer es la que nos ha servido de ejemplo para presentar la regla 1, es decir, un 0 en la casilla (c,3).
2. Ahora, fijándonos en el cuadro bebidas x puestos podemos usar en el mismo la regla del cuadro de doble entrada, así en la segunda etapa de deducciones obtenemos un 1 en (t,3), en la tercera, teniendo en cuenta además la información (*), un 1 en (z,2) y en la cuarta otro 1 en (c,1). Con esto ya tenemos relacionadas bebidas con puestos.
3. Además, también podemos deducir en la cuarta etapa que hay un 0 en la casilla (s,2), pues por la información b) tenemos un 0 en (z, s) y por la etapa tercera de deducciones un 1 en (z,2), con lo que aplicando la regla 1 se tiene el resultado.
4. En la quinta etapa deducimos la que nos ha servido de ejemplo para la segunda regla: 1 en (C,1). Así, teniendo en cuenta la información (*), C inmediatamente antes que B, tenemos en la sexta etapa un 1 en (B,2). Siguiendo en este cuadro de candidatos x puestos deducimos en séptimo lugar, con la regla del cuadro de doble entrada, un 1 en (A,3). Ya tenemos los candidatos relacionados con los puestos, sólo nos falta encontrar sus deportes favoritos.
5. De 1 en (A,3) y 1 en (A,n) obtenemos, según la regla 2, un 1 en (n,3). Así, usando la regla del cuadro de doble entrada, obtenemos en el de deportes x puestos un 1 en (s,1) y, por último, un 1 en (a,2).
Puestos Deportes Bebidas
1 2 3 a n s t c z
candidatosA
1(7)
1
(c)
B0
(a)1
(6)*
C 1 0 1
(5) (a) (a)
bebidas
t0
(b) 1
(2)
c1
(4) 0
(1)
z 1
(3)*0
(b) 0
(b)
deportes
a 1
(10)
n 1
(8)
s1
(9)0
(4)
Figura 2.2(b)
Para finalizar, descodificando los resultados obtenidos en la integrama, tenemos:
El señor Alba, que ha obtenido el puesto 3º, es aficionado al té y practica la natación.
El señor Blanco ha sido el segundo y es aficionado al zumo y al atletismo.
El señor Cano ha obtenido el primer puesto y le gusta el café y el senderismo.
El uso de filotramas
Vamos a resolver el enigma anterior utilizando una representación gráfica llamada filotrama (ver la tabla 3): es un cuadro en el que la primera columna se utiliza para los nombres de las variables, en la última, que deberá ser especialmente amplia, se codificará la información, y en las intermedias se irán anotando los resultados. Para ello la primera fila es fijada de antemano (los distintos valores que toma la primera variable) y en cada columna tenemos que ir anotando los valores de las distintas variables que son los que corresponden con el valor dado en la primera fila.
Primera fase: representación de la información:
Construimos una tabla con cinco columnas, en la primera columna van las variables: puestos, candidatos, deportes, bebidas; en la primera línea del cuadro de resultados van los valores de la primera variable: 1, 2 y 3; el contenido del resto de filas de dicho cuadro es lo que tenemos que resolver y en la última columna vamos anotando las informaciones dadas en a), b) y c). La elección de "puestos" como primera variable no ha sido casual, sino que ha sido elegida para poder representar fielmente las informaciones del tipo "Cano precede inmediatamente a Blanco".
Figura 2.3
¿Cómo representar la información? Se pueden utilizar:
Uniones verticales entre ciertos valores de variables distintas, como el caso de la información c), que será representada por el "hilo" de más a la derecha que liga el candidato Alba con su deporte, la natación.
Uniones horizontales, como el caso de las informaciones a) o b): indica que el elemento de la izquierda va inmediatamente antes que el del extremo de la derecha de tal unión.
Uniones oblicuas, en este enigma no aparecen, pero supongamos que tenemos la información "El señor Cano precede inmediatamente al aficionado al atletismo", entonces podemos codificar esta información con un segmento oblicuo que iría desde la fila de candidatos hasta la de deportes uniendo Cano y atletismo de tal forma que atletismo quedaría situado a la derecha de Cano.
También pueden aparecer combinaciones de tales uniones, como ocurre con a).
Y lo que podríamos llamar uniones imposibles, para referirnos a la imposibilidad de que los valores de dos variables distintas estén relacionados, entonces el segmento aparece cruzado por dos rayitas, este es el caso de la información b), el candidato que bebe zumo no practica senderismo.
Segunda fase: deducciones
Resolver el enigma se traduce en llenar las columnas del cuadro de resultados con los datos correspondientes y estos datos están ligados por los segmentos como aparece en la parte derecha de la filotrama, luego se trata de trasladar esos segmentos (o uniones de segmentos) a la columna conveniente del cuadro de resultados. En este caso, dado la forma que presentan los "hilos", la resolución del enigma se convierte en la resolución de un puzzle. De todos modos, procederemos según una técnica racional con el fin de dar las directrices para resolver casos más complejos.
En una primera parte se trata de añadir debajo de cada unión, o "hilo", las posibles columnas donde podría colocarse, independientemente de las otras. Así, en este enigma el "hilo" a) sólo puede ir colocado en las columnas 1 ó 2, asimismo el hilo b) sólo puede ir colocado de forma que zumo quede en las columnas 1 ó 2, por último, el hilo c) podría ir en cualquier columna.
En la segunda parte pasamos a estudiar las posibilidades en conjunto: los hilos a) y b) son incompatibles entre sí, en el sentido de que no pueden ir colocados simultáneamente en la misma columna, con lo que uno de ellos tendrá que ir en la columna 1 y el otro en la 2. Como la posibilidad de que a) esté en la 2 y b) en la 1 no puede darse, pues zumo y café no pueden estar ambas en la misma casilla, entonces el hilo a) tendrá que ser colocado en la 1 y el b) en la 2, con lo que ya no hay otra forma de colocar el c) más que en la 3. Finalmente, debido a la imposibilidad mencionada en el hilo b), senderismo no zumo, obtenemos el cuadro completo de los resultados:
Figura 4
¿Quién ganó la medalla de oro?
Juan, Pedro, Carlos y Raúl fueron seleccionados para los Juegos Olímpicos. Tenemos sobre ellos las informaciones siguientes:
a. El boxeador tiene un parche en el ojo,.b. Inés entrena a Juan.
c. El que ganó la medalla de plata lo festejó con puré de patatas.
d. El deportista aficionado a las patatas fritas se resfrió.
e. Raúl sufrió una insolación.
f. Teresa cuida el esguince de su atleta.
g. El especialista del triple salto, si bien no se resfrió, no pudo obtener más que una medalla de chocolate.
h. Pedro se alimentó con patatas salteadas.
i. Carmen entrena al corredor de 100 metros.
j. El atleta de decatlón come patatas al horno.
k. El deportista que entrenó María ganó la medalla de bronce
¿Sabrían decir, para cada deportista, quién lo entrenó, su handicap, su plato de patatas preferido, su especialidad y la medalla obtenida?
Una forma adecuada de resolver este enigma, dado que tiene muchas variables, es mediante la filotrama. En la figura 5 aparece el cuadro con la información ya codificada.
Tres de las informaciones, b), e) y h), han podido ser llevadas directamente al cuadro de resultados.
Presentamos ahora una de las posibles formas de realizar la fase de las deducciones:
Primera etapa: Considerando la información de la columna 2ª, se tiene que ninguno de los tres hilos c), d) y j) pueden ir en dicha columna; además son incompatibles entre sí en el sentido de que no podemos poner dos simultáneamente en la misma columna. Habrá entonces uno en cada una de las columnas 1, 3 y 4. El hilo g) es incompatible con c), d) y j), entonces tendrá que ir en la columna 2ª (los colocamos en el cuadro de resultados con un (1) para indicar que se obtuvieron en la primera etapa de deducciones).
Segunda etapa: De manera análoga a la primera etapa, considerando la cuarta columna vemos que los hilos a), d) y f) no pueden ir en dicha columna 4ª, además como son incompatibles entre sí, irá cada uno en cada una de las columnas 1, 2 y 3. Pero vemos que son incompatibles con la 2ª columna, entonces será el f) el que vaya en la 2ª. Además j) es incompatible con a) d) y f), entonces j) irá en la columna 4ª.
Tercera etapa: A la vista de como va el cuadro de resultados, podemos deducir que el hilo i) va en la 3ª y, por tanto, el k) en la 4ª.
Cuarta etapa: Por último, vemos que para ubicar los hilos a), c) y d) sólo nos quedan la columnas1ª y 3ª. Como a) es incompatible con la 3ª, entonces irá en la 1ª. Al ser d) incompatible con a), tendrá que ir en la 3ª y, finalmente, c) ira en la 1ª pues es incompatible con d).
El cuadro de resultados quedaría:
En conclusión, la medalla de oro la ganó Carlos en los 100 metros.
En el atasco
En un terrible lío de vehículos de todas clases y colores, se encuentran cinco caballeros que conducen otros tantos vehículos. Todos son de diferente nacionalidad y. Para pasar el mal rato que supone estar en mitad de un atasco, cada uno hace algo con la boca. Se sabe que:
a. El que silba no es griego (que no se llama Cosme), ni el novio de la prima del que conduce la bicicleta.
b. Gregorio (que no sabe silbar) es amigo del conductor del camión, pero no conoce al irlandés, ni al que maldice.
c. El finlandés es el único que tiene primas, pero no se llama Savario o Aquiles. Ninguno de estos tres canta.
d. El que conduce la motocicleta es turco, pero no maldice ni recita ni silba.
e. Baltasar no tiene primas, no es novio de señorita alguna, no conoce a ninguno de los otros cuatro señores y sí conduce un vehículo de más de cuatro ruedas.
f. El que tararea monta un vehículo de dos ruedas.
g. El alemán conduce el automóvil, pero no se llama Aquiles (éste no es el griego) y tampoco es el que maldice.
¿Qué hace cada señor, qué vehículo conduce y de qué origen es?
3. Enigmas y lógica proposicional
Un acertijo diabólico
Empezaremos este tema proponiendo un acertijo, francamente diabólico, creado por Raymond Smullyan, dice así: Dos personas, A y B, hacen cada una de ellas una oferta, hay que determinar cuál es la mejor oferta.
Oferta de A. Tienen que formular un enunciado. Si el enunciado es verdadero, ganan exactamente diez dólares. Si el enunciado es falso, entonces ganan menos o más de diez dólares, pero no diez dólares exactamente.
Oferta de B. Tienen que formular un enunciado. Sea el enunciado verdadero o falso, ganan más de diez dólares.
¿Cuál de las dos ofertas preferirían? La mayoría de la gente decide que la oferta de B es la mejor, dado que garantiza que más de diez dólares, mientras que en la oferta de A, no hay certeza de ganar más de diez. No se dejen engañar por las apariencias. Les haremos la misma oferta que R. Smullyan: Si alguno de ustedes está dispuesto a proponernos la oferta de A, le pagaremos veinte dólares por adelantado ¿Alguno juega?
Antes de resolver este acertijo vamos a proponer otro, con varias variantes, que R. Smullyan presentó en uno de sus libros con el fin de dar algunas pistas para la resolución del anterior.
Acertijo de los premios
Supongamos que se ofrecen dos premios, Premio 1 y Premio 2. Tienen que formular un enunciado, si el enunciado es verdadero, entonces reciben uno de los dos premios (no se sabe a priori cuál de los dos es); si el enunciado es falso, entonces no ganan ningún premio. ¿Qué enunciado formularán que les garantice que ganarán el Premio 1?
Primera variante
Nuevamente se ofrecen los dos premios. Si formulan un enunciado verdadero, recibirán por lo menos uno de los dos premios y posiblemente ambos. Si formulan un enunciado falso, no ganan ningún premio. ¿Qué enunciado formularían que les hiciese ganar los dos premios?
Segunda variante
En este caso las reglas cambian un poco: Si formulan un enunciado verdadero, ganan el Premio 2; si formulan un enunciado falso, no ganan el premio2 (pueden o no ganar el premio 1). ¿Qué enunciado les hará ganar el Premio 1?
Tercera variante
Supongamos ahora que las reglas son: si formulan un enunciado verdadero, no ganan ningún premio, si formulan un enunciado falso, ganarán uno de los dos premios. ¿Qué enunciado ganará el Premio 1?
De nuevo, el acertijo diabólico
Volvemos al acertijo primero. Lo diabólico fue la oferta de pagarles veinte dólares por adelantado al que propusiera la oferta de A, porque si aceptan hacerlo, podríamos haberles ganado todo el dinero que quisiéramos, digamos, un millón de dólares. ¿Pueden descubrir cómo?
En la Isla de los Caballeros y los Bribones
Seguimos de la mano de R. Smullyan y nos vamos a su Isla de los Caballeros y los Bribones donde cada habitante de la isla, como su propio nombre indica, o es un caballero o es un bribón, y la característica de estos peculiares personajes es: los caballeros siempre formulan enunciados verdaderos y los bribones siempre formulan enunciados falsos.Un hecho fundamental de esta isla, que debemos observar, es que ningún habitante puede decir que es un bribón, ya que un caballero nunca mentiría y diría que es un bribón, y un bribón nunca admitiría verazmente que es un bribón. De la misma forma, se tendría que ningún habitante de la isla podría decir que no es un caballero (observemos que es el mismo hecho puesto que, para un habitante de la isla, no ser un caballero es lo mismo que ser un bribón).
La visita del empadronador
Una vez, el señor McGregor, el empadronador, decidió visitar la isla para visitar solamente a los matrimonios. En tal visita, le surgieron los siguientes problemas que esperamos le ayuden a resolver.
Problema (Y): McGregor llamó a una puerta; el marido la abrió a medias y le preguntó a McGergor qué deseaba.- Hago un censo - respondió McGregor -, y necesito información sobre usted y su esposa. ¿Cuál, si alguno lo es, es un caballero, y cuál, si alguno lo es, es un bribón?- ¡Ambos somos bribones! – dijo el marido enojado mientras cerraba la puerta de un golpe.¿De qué clase es el marido y de qué clase es la mujer?
Problema (O): En la siguiente casa, McGregor le preguntó al marido: - ¿Ambos son bribones? – El marido respondió: - Por lo menos uno de nosotros lo es.¿De qué clase es cada uno?
Problema (Si - entonces): La siguiente casa que visitó McGregor resultó un mayor enigma. Un hombre algo introvertido abrió la puerta tímidamente. Cuando McGregor le pidió que dijera algo sobre sí mismo y su esposa, lo único que dijo el esposo fue: - Si soy un caballero, entonces también lo es mi esposa.McGregor se fue no muy complacido. - ¿Cómo puedo deducir algo sobre alguno de los dos a partir de una respuesta tan evasiva? – pensó. Estaba a punto de escribir "Marido y Mujer ambos desconocidos", cuando recordó súbitamente una vieja lección de sus días de estudiante universitario. Por supuesto que – se dio cuenta -, puedo determinar de qué clase son ambos.¿De qué clase es el marido y de qué clase es la mujer?
En realidad, la solución a este problema es un caso particular del siguiente hecho:
Teorema 1. Dada una proposición p, supongamos que un nativo de la Isla de los Caballeros y los Bribones dice: "Si soy caballero, entonces p". Entonces el nativo debe de ser un caballero y p verdadera.
La demostración es la misma que la solución al anterior problema, sólo hay que sustituir "mi esposa también es caballero" por p.
Problema (Si y sólo si): Cuando el empadronador visitó a la cuarta pareja, el esposo dijo: - Mi esposa y yo somos de la misma clase; o ambos somos caballeros o ambos bribones.El esposo también daría la misma respuesta si hubiera dicho: - Soy un caballero si y sólo mi esposa es un caballero. ¿Qué puede deducirse sobre el marido y qué sobre la esposa?
Al igual que sucedía con el problema anterior, la solución de este último problema es un caso particular del siguiente hecho:
Teorema 2. Dada una proposición p, supongamos que un nativo de la Isla de los Caballeros y los Bribones dice: "Soy un caballero si y sólo si p". Entonces p es verdadera independientemente de que el nativo sea un caballero o un bribón.
La demostración del teorema es la dada en la solución del último problema sustituyendo "mi esposa es caballero" por p.
Una introducción a la lógica proposicional
Daremos ahora unas nociones básicas de lógica proposicional y más adelante veremos cómo utilizarla para resolver muchos enigmas y acertijos, como los de los mentirosos y veraces de la Isla de los Caballeros y los Bribones.La lógica proposicional se encarga del estudio de los enunciados o declaraciones verbales, entendiendo por enunciado aquellas secuencias lingüísticas con pleno sentido cuya propiedad fundamental es que o bien es verdadero o bien falso, pero no ambas. Así, la frase "París está en Francia" es un enunciado, en cambio "Dónde está París? No es un enunciado y no es del interés de la lógica proposicional.Los enunciados pueden ser compuestos, esto es, pueden estar formados por enunciados, tales que cada uno de ellos tiene perfecto significado, y palabras que los conecten. La propiedad fundamental de una declaración compuesta es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de sus componentes junto con la forma que están conectadas.A la lógica proposicional no le interesa el contenido del enunciado en sí, sino su valor de verdad o falsedad y cómo es su estructura: si es un enunciado compuesto, cómo se unen los subenunciados que lo componen. Por tanto, se simbolizan las frases utilizando: p, q, r, para representar los enunciados simples (que ya no se pueden descomponer en enunciados) y se les llama fórmulas atómicas o átomos; y se utilizan los símbolos:, , , , para representar las palabras que los conectan, a éstos se les llama conectivos lógicos. A la composición de átomos mediante conectivos se les llama fórmula molecular; en general, llamaremos proposiciones tanto a los átomos como a las fórmulas moleculares.
() Negación: Para toda proposición p, la proposición p significa lo opuesto o contrario a p. Se tiene que p es verdadera si p es falsa y es falsa si p es verdadera. Por ejemplo, si p representa el enunciado "París está en Francia", entonces p representa el enunciado "No es cierto que París está en Francia" o lo que es lo mismo "París no está en Francia"; en este caso p es verdadera y p es falsa. Los valores de verdad para la negación se pueden resumir en la siguiente tabla (codificamos V como el valor verdadero y F como el falso, también se suele usar 1 y 0 respectivamente).
p p
V F
F V
() Conjunción: Dos enunciados cualesquiera pueden ser combinados por la palabra "y" para formar uno nuevo que llamaremos conjunción de los anteriores. Simbólicamente pq denota la conjunción de las proposiciones p y q. El valor de verdad de pq en función de los valores de verdad de p y de q viene dado en la siguiente tabla:
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Es decir, pq es verdadera cuando las declaraciones p y q son ambas verdaderas, y sólo en ese caso en Así, la frase "Llueve y hace viento" es verdadera sólo en el caso en que ciertamente "Llueve" y ciertamente "hace viento"; si ciertamente llueve pero no hace viento, entonces la frase es falsa.
() Disyunción: Dos enunciados pueden ser combinadas por la palabra "o" para formar una nueva declaración que se llama disyunción y en términos de proposiciones será pq. El valor de verdad de pq en función de los valores de verdad de p y de q viene dada en la siguiente tabla:
p q pq
V V V
V F V
F V V
F F F
Es decir, que pq sólo es falso cuando ambas declaraciones, p y q, son falsas y sólo en ese caso. Así, el enunciado "París está en Inglaterra ó 2+2=4" es verdadera pues ciertamente 2+2=4.Debemos observar que al "o" que se hace referencia aquí en el sentido "y/o", esto es, puede ocurrir p, puede ocurrir q o ambos a la vez, en contraposición al "o" exclusivo: "Me voy a Sevilla o a Barcelona"; evidentemente no puedo hacer ambas cosas a la vez.
() Si-entonces: Para proposiciones cualesquiera p y q, escribimos pq para notar las declaraciones de la forma "si p, entonces q" y que llamaremos condicional de p y q. El
condicional de p y q es verdadera si p y q son ambas verdaderas o p es falsa. Su tabla de valores de verdad es:
p q pq
V V V
V F F
F V V
F F V
() Si y sólo si: Notaremos pq a las declaraciones de la forma "p si y sólo si q", es decir p y q son ambas verdaderas o ambas falsas. La tabla de sus valores es, por tanto:
p q pq
V V V
V F F
F V F
F F V
En general, dada una proposición P(p,q,) podemos hallar sus valores de verdad en función de los de p, q, con una tabla como las anteriores. Veamos, por ejemplo los valores de verdad de la proposición p (pq) pq:
p q p pq p(pq) pq p(pq)pq
V V F V V V V
V F F F F F V
F V V F V V V
F F V F V V V
Obsérvese que las primeras columnas de la tabla son para las variables p, q, …y que hay suficiente número de filas en la tabla para permitir todas las posibles combinaciones de V y F para estas variables (para 2 variables se necesitan 4 filas, para 3 variables se necesitan 8 filas y, en general, para n variables se necesitan 2n filas). Hay a continuación una columna para cada paso "elemental" de la proposición, el valor verdadero de cada paso está determinado por los pasos previos mediante las definiciones de los conectivos lógicos. Finalmente, obtenemos los valores de verdad de la proposición en la última columna.Nótese que los valores de verdad de la proposición p(pq)pq son todos verdaderos (en la última columna sólo aparece V) al margen de los valores de verdad de las proposiciones p y q, cualquier proposición que verifique este hecho se denomina tautalogía. Análogamente una proposición se dice que es una contradicción si contiene
sólo F en la ultima columna de su tabla de verdad. La tautología más elemental sería pp, y la contradicción sería pp.También se puede observar que las dos columnas anteriores a la última son iguales, esto es, los valores de verdad de las proposiciones p(pq) y pq coinciden, en ese caso se dice que las proposiciones son equivalentes (por eso si unimos ambas proposiciones mediante el conectivo se obtiene una tautología).
A continuación, presentamos unos cuantos acertijos e invitamos a los alumnos que lo resuelvan por simple "sentido común", nosotros modelizaremos este "sentido común" utilizando un poco de lógica de proposiciones.
Enigmas y lógica de proposiciones
El diploma
Después de laboriosos años, un estudiante de Informática llega al fin de sus estudios y a la entrega de diplomas. Se encuentra de pronto ante cuatro puertas cerradas. Se oye una voz gutural: "Tu diploma se encuentra detrás de una de estas puertas; tienes que adivinar cuál es, si te equivocas tendrás que volver a empezar la carrera. Tienes, sin embargo, tus posibilidades: en cada puerta figuran dos afirmaciones, y de las ocho afirmaciones que figuran en total, tres solamente son verdadera, las otras cinco son con seguridad falsas".
1. Sobre la puerta de ébano se puede leer:a. El diploma está detrás de esta puerta.
b. El diploma está detrás de la puerta de caoba.
2. Sobre la puerta de caoba:
a. El diploma no está detrás de la puerta de roble.
b. El diploma está detrás de la puerta de ébano o de la de cerezo.
3. Sobre la puerta de cerezo dice:
a. El diploma no está ni detrás de la puerta de ébano ni detrás de la de roble.
b. El diploma está detrás de la puerta de caoba o detrás de la de ébano.
4. Y sobre la puerta de roble se puede leer:
a. El diploma no está detrás de la puerta de cerezo.
b. El diploma está detrás de la puerta de caoba.
Los amores de los colaboradores del inspector Lafrite
Para los dos colaboradores Lafrite, Relbou y Gremai, es el momento de distensión nocturna, en el restaurante. Surge la discusión acerca de las relaciones femeninas y de los sentimientos de cada uno.Relbou: "Te diré dos cosas: en primer lugar, amo a Béatrice o a Hélène; en segundo
lugar, si amo a Béatrice, amo a Hélène. Y entonces, ¿puedes decirme si amo a Béatrice, si amo a Hélène?Gremai: "¡!"
¿Pueden ayudar al inspector a conocer un poco de la vida privada de su colega?
Algunos días más tarde, encontramos a nuestros dos inspectores conversando sobre al mismo asunto. Evidentemente olvidaron lo esencial que se había dicho entonces.Gremai: "¿Es cierto que si amas a Béatrice amas también a Hélène?"Relbou: "Si es cierto, entonces amo también a Béatrice".Gremai: "¡!"
¿Qué pensar de los amores de Relbou?
Relbou: "Modificaré la respuesta que te acabo de dar, agregando: si es falso, no amo a Béatrice".Gremai: "Entonces, ¡vamos! Ya veo; ¡estás cercado!"
¿Qué descubrió Gremai?
El inspector Lafrite interroga a los sospechosos
Tres sospechosos fueron arrestados después del robo de una rica mansión de París, son: Bradacié, Piedplat y Nécassé. Estos tres personajes son bien conocidos por Lafrite, por el carácter muy aleatorio de la verdad de sus afirmaciones.Bradacié: "Piedplat es culpable y Nécassé es inocente".Piedplat: "Si Bradacié es culpable, Nécassé también".Nécassé: "Soy inocente pero uno por lo menos de los otros dos es culpable".
Lafrite debe hacer frente a varias posibilidades; es lo que hace antes de acostarse, escuchando la novena sinfonía de Beethoven.
a. ¿Es posible que estos tres bandidos hayan dicho la verdad? Entonces, ¿quién sería culpable?
b. ¡Podrían haber mentido los tres, supongo!
c. Si supongo que todos son inocentes, ¿quién mintió? y si los supongo a todos culpables, ¿quién mintió?
d. ¿Es posible que no haya más que un falso testimonio? Y en ese caso, ¿quién mintió y quién es culpable?
e. Y guardo lo mejor para el final después de esto dormiré como un lirón: supongo que el inocente dice la verdad y que el culpable miente ¿Quién es entonces inocente, quién culpable?"
¿Pueden ayudar al inspector a responder estas preguntas?
La isla de los Bribones y los Caballeros, una vez más
Volvemos a la isla de los Caballeros y los Bribones para ver cómo podemos resolver los cuatro problemas con los que se encontró el empadronador utilizando la lógica de las proposiciones. Para ello hay que tener en cuenta un hecho muy importante: Si A es un nativo de la isla y notamos por p a la declaración "A es un caballero", entonces si A afirma k, se tiene que pk es verdadera ya que si p es verdadera entonces k es verdadera, pues un caballero siempre dice la verdad, y si p es falsa entonces A es un bribón, que siempre miente, por lo que k es falsa.Observemos también que, en las condiciones anteriores, p es la afirmación "A es un bribón".Hechas estas aclaraciones, estamos ya en disposición de resolver los problemas, a saber, determinar el carácter de caballero o bribón de los componentes de un matrimonio según las afirmaciones del marido.
Problema: Recordemos que aquí la respuesta del marido fue: "Ambos somos bribones". Sean p la afirmación "El marido es un caballero" y q la afirmación "La esposa es un caballero". El marido afirma, en términos de proposiciones, k=pq, por lo tanto, sabemos que la proposición ppq es verdadera.. Se trata de encontrar el carácter de verdad o falsedad de p y q que determine la veracidad de dicha proposición, estudiémoslo mediante su tabla de verdad.
p q p q pq ppq
V V F F F F
V F F V F F
F V V F F V
F F V V V F
La tabla muestra que sólo hay una posibilidad de que la proposición sea cierta (fila 3) y es que p sea falsa y q sea verdadera, es decir, el marido es bribón y la esposa caballero.
Problema: En la segunda entrevista el marido afirmaba que por lo menos uno de los dos era bribón, esto es, pq. Así pues, sabemos que la proposición pp q es verdadera, y obteniendo su tabla de verdad:
p q p q pq ppq
V V F F F F
V F F V V V
F V V F V F
F F V V V F
Se tiene que el único caso en que la proposición es verdadera es si p es verdadera y q es falsa. El marido es caballero y la esposa es bribón.
Problema:La respuesta del marido en este caso fue "Si soy caballero, entonces mi esposa lo es", pq. Luego, tratamos de averiguar cuándo es cierta p pq, su tabla de verdad es:
p q pq ppq
V V V V
V F F F
F V V F
F F V F
Como queda de manifiesto, p y q han de ser verdaderas (marido y esposa ambos caballeros) para que la proposición sea verdadera.
Problema: Por último, la respuesta que recibió el empadronador fue que ambos eran de la misma clase, pq, y la proposición p(pq) es verdadera. Su tabla de verdad es:
p q pq p(pq)
V V V V
V F F F
F V F V
F F V F
Hay dos posibilidades de que la proposición sea verdadera (filas primera y tercera), en ambos casos q ha de ser cierta y p puede serlo o no: el carácter del esposo es indeterminado y la esposa es caballero.
4. Paradojas
Los términos más frecuentemente usados en la descripción de una paradoja lógica son autorreferencia, contradicción, y círculo vicioso.
Hay formas de autorreferencia y contradicción que sin ser paradojas propiamente se aproximan bastante a un estado paradógico, un buenos ejemplos de este tipo serían:
POR FAVOR, NO LEA ESTA FRASE
PROHIBIDO PROHIBIR
Para hacer lo que dicen, no se puede hacer lo que dicen. Esta cuasi paradoja carece del tercer término, la circularidad viciosa: aunque la contradicción da vueltas en círculo no lo a hace una y otra vez. Tal situación la presenta también la siguiente historia:
"Un cocodrilo arrebató un bebé de los brazos de su madre y ofreció devolvérselo si podía contestar correctamente la pregunta: "¿Me comeré a tu niño?" La madre fue suficientemente inteligente para contestar: "Sí". Entonces, si el cocodrilo se comía al niño, demostrando que la madre había respondido correctamente a su pregunta, estaría contradiciendo su oferta de devolvérselo si respondía correctamente. Con todo este dilema, el cocodrilo se distrajo y la madre aprovechó para recuperar a su hijo. Mientras, el cocodrilo lamentaba su mala suerte porque la madre no había contestado "No" a su pregunta."
Una paradoja completa y muy famosa es la expuesta por Bertrand Russel en 1918: "Un hombre de Sevilla es afeitado por el barbero de Sevilla si, y sólo si, el hombre no se afeita a sí mismo. ¿Se afeita a sí mismo el barbero de Sevilla?"Como vemos el problema es que "si lo hace, no lo hace; y si no lo hace, lo hace". Es clara ahora la circularidad viciosa de las paradojas completas.
El primer ejemplo de paradoja completa y, en muchos aspectos el mejor, es la paradoja del mentiroso. Eubúlides, filósofo de Megara del siglo VI a. C. Y sucesor de Euclides , la inventó. En esta paradoja Epiménides el cretense dice: "Todos los cretenses son mentirosos". Si dice la verdad, está mintiendo, y si miente está diciendo la verdad. Admite una forma más simple: "Estoy mintiendo", que ya era conocida por los antiguos como el pseudomenon.
Una fórmula medieval de la misma era:Sócrates: "Lo que Platón va a decir es falso".Platón: "Lo que acaba Sócrates es cierto".
Alfred Tarski informa: Hay un libro de cien páginas con una sola frase por página.En la página 1 dice: "La frase impresa en la página 2 de este libro es falsa".En la página 2 dice: "La frase impresa en la página 3 es verdad".Y así hasta la página 99. Sin embargo, en la página 100, la última del libro, se lee: "La frase impresa en la página 1 de este libro es falsa".
El matemático inglés P.E.B. Jourdain sugirió lo siguiente en 1913:En una cara de una tarjeta blanca imprimir: "La afirmación en la otra cara de esta tarjeta es verdadera".En la cara opuesta de la misma tarjeta imprimir: " La afirmación en la otra cara de esta tarjeta es falsa".