ctgeom-4s-iip.doc

I.E.P. “SANTA MARÍA DE LA GRACIA” GEOMETRÍA

4º SECUNDARIA–II PERIODO - 2011

IV. POLIGONOS

1. POLIGONOSSe denomina polígono a la figura geométrica formada por la unión de tres o más segmentos de rectas que tienen sus extremos comunes dos a dos.

* Un polígono determina en el plano una región interior y una región exterior.* El polígono es la frontera entre la región interior y la exterior.* La unión de un polígono y su región interior recibe el nombre de región poligonal.

1.1.- ELEMENTOSSea el polígono ABCDE, sus elementos son:

a)-Lados de un polígono, son cada uno de los segmentos que forman un polígono. Los lados del polígono ABCD son: .

b)-Vértices de un polígono, son cada uno de los puntos donde se unen los lados y se representan mediante letras mayúsculas .Los vértices del polígono ABCD son:A, B, C, D, E.c)-Ángulos en un polígono, hay dos clases de ángulos:* Ángulos Interiores, son los que se encuentran dentro del polígono.- Un ángulo interior del polígono ABCD es: “”* Ángulos Exteriores, son los que se encuentran en el exterior del polígono.- Un ángulo exterior del polígono ABCD es: a°

d)-Diagonales de un polígono, son los segmentos que unen los vértices no consecutivos.

- Una diagonal del polígono ABCD es:.

e)-Perímetro de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados.

2P = AB + BC + CD + DE + EA

* OBSERVACIÓN: En todo polígono se cumple que el número de lados es igual al número de vértices e igual al número de ángulos.

# Lados = # Vértices = # Ángulos

1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS

A) SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS Los polígonos se nombran según el número de lados que poseen. Se utilizan para ello los prefijos griegos.

NÚMERO DE LADOS

NOMBRE DEL POLIGONO

3 lados Triángulo4 lados Cuadrilátero5 lados Pentágono6 lados Hexágono7 lados Heptágono

8 lados Octágono9 lados Nonágono

10 lados Decágono11 lados Endecágono12 lados Dodecágono15 lados Pentadecágono20 lados Icoságono

B) SEGÚN LA FORMA DE SUS ELEMENTOSPueden ser:

- POLÍGONO CONVEXO: Es aquel polígono cuyos ángulos interiores son convexos. Un polígono es convexo cuando una recta secante lo corta como máximo en dos puntos.

- POLÍGONO NO CONVEXO: Llamado también cóncavo, es aquel polígono que tiene uno o más ángulos cóncavos. Un polígono es no convexo cuando una recta secante lo corta en más de dos puntos.

- POLÍGONO EQUILÁTERO: Todos los lados del polígono equilátero son congruentes. Esto no implica que sus ángulos sean congruentes.

- POLÍGONO EQUIÁNGULO: Todos los ángulos interiores del polígono equiángulo son congruentes.Esto no implica que sus lados sean congruentes.

- POLÍGONO REGULAR: Los lados y los ángulos interiores del polígono regular son congruentes.

63

C

D

E

B

A

Región exterior

Región interior

Frontera

E A

C

DB

a°

1

2

Recta secante

12

3

4

A C

D

B

EG

FH

D

B

A

E

C

F

E

D

B

A C

F

D

B

A

E

C

F



1.3.- PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

Para un polígono de “n” lados se cumple que: a).-En todo polígono, la suma de sus ángulos interiores está dado por la siguiente relación :

Ejemplo:- Calcula la suma de ángulos

interiores de un pentágono.

* Aplicando la propiedad: “n” es igual a 5, por ser un pentágono. S Inter.= 180 (n - 2) S Inter.= 180 (5 - 2)

S Inter.= 540°

b).-En todo polígono, la suma de sus ángulos exteriores es 360°.

Ejemplo:- Calcula la suma de ángulos exteriores de un pentágono.

* Aplicando la propiedad:En todo polígono la suma de ángulos exteriores es 360°.c).- En todo polígono, el número total de diagonales está dado por la siguiente relación:

Ejemplo:

- Calcula el número total de diagonales de un pentágono.

* Aplicando la propiedad: “n” es igual a 5, por ser un pentágono.

N° D =

N° D = 5

d).- Para calcular el número de diagonales desde un solo vértice se utilizará la siguiente relación:

e).- En todo polígono, el número de diagonales medias está dado por la siguiente relación.

f).- En todo polígono, el número de diagonales trazadas desde “P” vértices consecutivos está dado por la siguiente relación.

Donde “P” = N° de vértices consecutivos.En todo polígono de “n” lados, si se empieza a trazar las diagonales desde cada vértice consecutivo, se cumple que del primer y segundo vértice se puede trazar el mismo número de diagonales, pero a partir del tercer vértice el número de diagonales disminuye de uno en uno.

N° orden de vértices N° de diagonales1° n - 32° n - 33° n – 44° n – 5

K° n - k

* OBSERVACIÓN:Para un polígono regular o equiángulo se cumple:a)- Medida de un ángulo interior

Ejemplo:- Calcula el ángulo interior de un pentágono regular.

* Aplicando la propiedad: “n” es igual a 5, por ser un pentágono

=

= 108°

b)- Medida de un ángulo exterior

Ejemplo:- Calcula el ángulo exterior de un pentágono regular.


= = = 72°

c)- Medida de un ángulo central

Ejemplo:- Calcula el ángulo central de un pentágono regular.

64

S Inter.= 180 (n - 2)

S ext.= 360°

N° D =

int =

ext =

cent =

N° de diagonales = n – 3

A

C

E

D

B

A

C

E

D

B

A

C

E

D

B

A

C

E

D

B

A

C

E

D

B

c

A

C

E

D

B

N° D.M. =

N° d = (2n – p - 3) – 1




cent =

cent = 72°

IMPORTANTE: También debemos saber que la suma de los ángulos centrales es 360°.

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Cuántos diagonales parten de uno de los vértices de un polígono, en el cual la suma de sus ángulos internos y externos es igual a 3780°.Solución :Sea: n # de lados del polígono :Por dato :

180(n-2) + 360 = 3780 180(n-2) = 3420 n-2 = 19 n = 21

Nos piden :

(2n – 1 – 3) = (42 – 4) = 19

2) ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual su número de diagonales aumenta en dos, al aumentar en uno el número de lados?

Solución:Sea “n” el número de lados

*Si: n lados nd =n

*Si: n+1 lados nd =

Del enunciado:

+ 2 =

n = 3

3) Calcula el número de diagonales de un polígono regular, si se sabe que los mediatrices de dos lados consecutivos forman un ángulo cuya medida es 18°.Solución:

Se sabe que el ángulo central

central = 18 =

n = 20

nd =

n = 170

4).- Calcula el número de lados de un polígono su la suma de las medidas de los ángulos interiores es el triple de la suma de las medida de los ángulos exteriores. Solución: Sea “n” el número de lados de un polígono.Por dato:

180(n-2) = 3(360)n – 2 = 6 n = 8

5).- Al aumentar en 3 en número de lados de un polígono, el número de diagonales se duplica. Calcula la suma de las medidas de los ángulos internos. Solución:

Por dato:

2Na(1) = Na(2)

Luego:

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 04

NIVEL I

1).- Determina el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo interior es el triple de su ángulo exterior.

a) 5 b) 9 c) 8 d) 12 e) 10

2).- El número de diagonales de un polígono excede al número de lados en 25. Calcula el número de lados.

a) 6 b) 9 c) 12 d) 10 e) 24

3).- En un pentágono ABCDE, el lado es

paralelo al lado , calcula la suma de los ángulos E, D y C.

a) 180° b) 360° c) 324° d) 270° e) 540°

4).- Si el número de lados de un polígono disminuye en 2, el número de diagonales disminuye en 15. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

a) 10 b) 12 c) 14 d) 8 e) 11

5).- En un polígono regular la medida de un ángulo interior es igual a cinco veces la medida de un ángulo central. ¿Cuántos triángulos se pueden formar al trazar todas las diagonales posibles desde un solo vértice?

a) 6 b) 7 c) 9 d) 10 e) 13

6).- En un polígono la suma de los ángulos interiores excede en 720 a la suma de los ángulos exteriores. ¿Cuál es el polígono?

a) pentágono b) hexágono c) heptágonod) octógono e) nonágono

7).- Calcula el número de diagonales de un polígono regular, si se sabe que las mediatrices de dos lados consecutivos forman un ángulo que mide 36.

a) 27 b) 35 c) 104 d) 170 e) 175

8).- Se tiene un hexágono equiángulo ABCDEF tal que AB = CD = EF y BC = DE = FA. Sabiendo que el perímetro del hexágono es igual a 60, calcula “BE”.

a) 15 b) 20 c) 30 d) 15 e) 20

9).- Si el pentágono es regular, calcula “x”.

a) 36º b) 72º c) 18ºd) 30º e) 24º

10).- Si el polígono es regular, calcula “x”

65

9°

9°9°

18°

(1) (2)

n+3n

x

x



a) 20º b) 15º c) 60ºd) 30º e) 18º

NIVEL II1).- Cuantos diagonales faltan trazar al polígono?

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

2).- Calcula el número de lados de aquel polígono convexo en el cual el número de diagonales, es igual al doble del número de lados.

a) 2 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9

3).- Determina la suma de ángulos internos de aquel polígono que tiene tantos diagonales como el número de lados.

a) 180º b) 380º c) 540º d) 720º e) 900º

4).- Si el número de lados de un polígono se duplica, la duma de ángulos internos aumentan en 3060º. Calcula el número total de diagonales.

a) 100 b) 11 c) 119 d) 115 e) 120

5).- Desde cuatro vértices consecutivos de un polígono convexo se trazan 25 diagonales. Calcula el número de lados.

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

6).- ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de los ángulos internos y externos es 3960º

a) 21 b) 20 c) 23 d) 24 e) 22

7).- ¿Cuántos lados tiene aquel polígono convexo en el cual, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 5 veces la suma de las medidas de los ángulos exteriores?

a) 8 b) 12 c) 7 d) 9 e) 5

8).- El número de diagonales de un polígono regular, es igual a la suma del número de vértices, número de lados y número de ángulos centrales. Halla el número de lados de dicho polígono.

a) 12 b) 7 c) 9 d) 15 e) 6

9).- En un polígono regular se cumple que la suma de las medidas de un ángulo central, un ángulo exterior y un ángulo interior es 210°. Calcula el número total de diagonales.

a) 37 b) 67 c) 23 d) 54 e) 33

10).- Tres ángulos consecutivos de un octógono convexo, mide 90° cada uno. Halla la medida de cada uno de los restantes, sabiendo que son congruentes entre sí.a) 162° b) 87° c) 109°d) 98° e) 78°

NIVEL III1).- Se tiene un decágono regular ABCDE.... Halla la medida del menor ángulo que forman las prolongaciones de .a) 72° b) 60° c) 54°d) 45° e) 37°

2).- Cada lado de un polígono regular mide 6 cm. y el perímetro equivale al número que expresa el total de diagonales, en cm. Halla la medida de un ángulo central.a) 18° b) 10° c) 24°d) 29° e) 34°

3).- Si el número de lados de un polígono regular aumenta en 10, cada ángulo del nuevo polígono es 3° mayor que cada ángulo del original. ¿Cuántos lados tiene el polígono original?a) 30 b) 28 c) 37d) 43 e) 46

4).- Dos números consecutivos, representan los números de vértices de dos polígonos convexos. Si la diferencia de los números de

diagonales totales es 3. ¿Cómo se llama el polígono mayor?

a) Heptágono b) Pentágono c) Decágonod) Icoságono e) Nonágono

5).- ¿Cuál es el polígono convexo en el que la suma de su número de diagonales y su número de lados es 435? Indicar el número de lados.a) 25 b) 15 c) 30d) 29 e) 20

6).- Si al ángulo interno de un polígono regular se le disminuye en 10°, resulta otro

polígono cuyo número de lados es del

número de lados del polígono anterior. Calcular el número de lados de ambos polígonos.a) 10 lados b) 17 lados c) 20 ladosd) 12 lados e) 10 lados

7).- Si el número de lados de un polígono convexo disminuye en 2, el número de diagonales del nuevo polígono es menor en 15. Calcular la suma de las medidas de ángulos internos, original.a) 998° b) 1440° c) 1300°d) 1000° e) 845°

8).- Si un polígono de “n” lados tuviera (n – 3) lados, tendría (n + 39 diagonales menos. ¿Qué polígono es?a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9

9).- Si a un polígono regular se le aumenta dos lados, su ángulo externo disminuye en 9°. ¿Cuántos ángulos centrales tiene dicho polígono?

a) 8 b) 10 c) 4 d) 13 e) 6

10).- En la figura mostrada, calcula:“° + ° + ° + °”

a) 450°b) 500°c) 550°d) 600°e) 650°

CLAVES DE RESPUESTASNIVEL I NIVEL II1) c 2) d 1) c 2) d3) b 4) a 3) c 4) c5) d 6) d 5) b 6) e7) b 8) b 7) b 8) c9) a 10) d 9) d

10) aNIVEL III1) a 2) c3) a 4) b5) c 6) d7) b 8) d9) a 10) d

V. TRIÀNGULOS

Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

2.1.- ELEMENTOS

a) Vértices : A, B y C

b) Lados :

c) Longitudes de sus lados : a, b y c.

d) Ángulos interiores : , y

e) Ángulos exteriores : , y

f) Perímetro : 2P = a + b +c

g) Semiperímetro : P =

66 60°

°

°

°

°A

B

CA

c a

P

Q

b



Observación :

P Punto interior del triángulo ABC.

QPunto exterior del triángulo ABC.

2.2.- CLASIFICACIÓN Veamos dos formas de clasificar a los triángulos:

a) Por la Relación entre sus Lados

- Triángulo Equilátero .-Cuando sus tres lados son de igual medida.

- Triángulo Isósceles .- Cuando dos de sus lados son de igual medida.

- Triángulo Escaleno.-Es aquel que tiene sus tres lados de diferente medida.

b) Por las Medidas de sus Ángulos:

- Triángulo Rectángulo.-Cuando uno de sus ángulos internos mide 90°.

- Triángulo Acutángulo.- Cuando cada uno de sus tres ángulos internos son agudos.

- Triángulo Obtusángulo.- Cuando uno de sus ángulos internos es obtuso.

> 90°

2.3.-TEOREMAS BÁSICOS SOBRE TRIÁNGULOS

a) La suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°.

b) La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.

c) La suma de las medidas de los ángulos exteriores (uno por vértice) es 360°.

d) Dado un triángulo isósceles: a lados de igual medida se oponen ángulos de igual medida.

e) Existencia de triángulos.Para que un triángulo exista se cumple que:

Si : > >

Propiedad de a > b >cCorrespondencia:

*También:

b + c > a > b - ca + c > b > a - ca + b > c > a – b

2.4.-PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

a)

x + 180° = +

b)

x + y = +

c).

x + y = +

d)

x = + +

e)

67

a

CA

B

a

B

bA

C

ac

A C

ac

b

B

B

A

C

< 90° < 90° < 90°

CA

B

B

A

C

+ + =180°

CA

B

a a

a

= 60°

x

x = +

x

a

CA

B

a

Si: AB = BCEntonces =

B

bA

C

ac

B

zAC

x

y

x + y + z = 360°

x

y

x

y

x

y

x



x + y = + PROBLEMAS RESUELTOS

1).- En el gráfico calcula “x”

Solución:

En la figura : 6x + 6x + 3x = 180°

15x = 180°

x = 12°

2).- En el gráfico , calcula “x”, si =

30°

Solución:En la figura :

= 180 - - x x = + c c = x -

Reemplazando :180 - - x – (x - ) = 30°

x = 75°

3).-Calcula “x + y”

Solución :

x + 20 + y + 30 + 60 = 180

x + y = 70°

4) Halla “x”

Solución :En la figura: x = + 2 + 2 = 80

+ = 40

x = 40

5).- De la figura calcula “a+b”. Si :

Solución

Por teorema: a + b +35° = 360°

a + b = 325°

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 05NIVEL I:1).- En un triángulo ABC, la medida del

ángulo exterior en B mide 126 y las medidas de los ángulos inferiores A y C están en la relación de 3 a 4. ¿De qué tipo de triángulo se trata?

a) escaleno b) rectánguloc) isósceles d) acutánguloe) Dos respuestas son correctas

2).- Si dos de los lados de un triángulo isósceles miden 2m y 4m. Calcula el tercer ladoa) 2m b) 4m c) 3md) 2 y 4 e) F.D.

3).- En el siguiente triángulo: es altura, entonces x es

igual a:

a) 48ºb) 42ºc) 21ºd) 84ºe) 6º

4).- En el gráfico: PQ=QR; QF=QE.Halla: m<EFR.

a) 70°b) 30°c) 60°d) 35°e) 20°

5).- En la figura, calcula : “°+°+°+°”

a) 360°b) 540°c) 720°d) 270°

e) N.A.

6).- En la figura; calcula : “+++w”

a) 360ºb) 270ºc) 1080ºd) 900ºe) 720º

7).- En la figura; calcula : ”+++w”

a) 180ºb) 360ºc) 270ºd) 540ºe) 1080º

8).- Calcula el valor de “x”.

a) 80°b) 60°c) 40°d) 120°e) 30°

9).- Calcula: “++++” en la siguiente figura:

a) 120ºb) 180ºc) 250ºd) 360ºe) Falta dato

68

D

B

a

A b

C

140°E

D

B

a

A b

C

140°E

40°

70°70°

35°

35°

3xA

3x

B

C

3x3x

6x3x

6x

C

xA

B

y+30

x+20 60

80°

x

B

A C

Q

P R

E

F

70°

w

w

140°

70°x

B

CA

°

°

°

P

42°

Q

Rx

D



10).- Halla el valor de “”, para que el ángulo AOC sea recto. Da como respuesta el valor del <C.

a) 15°b) 20°c) 18°d) 30°e) 53°

11).- En la figura AB=BC=AD. Calcula “x°”.

a) 105°b) 110°c) 115°d) 120°e) 125°

12).- Si CD = BDHalla mABD

a) 10°b) 20°c) 30°d) 40°e) 50°

13).- En un triángulo dos de los externos suman 270º. Halla uno de los ángulos internos.a) 40º b) 50º c) 60º d) 80º e) 90º

14).- En un triángulo ABC se sabe que AC=15cm. y BC=3cm. Halla el mayor valor entero del lado AB.a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 17

15).- Los lados y de un triángulo isósceles miden 9m y 19m. Calcula su perímetro.a) 37 b) 47 c) 37 y 47 d) 36 y 46 e) 35 y 45

16).- Los valores de los lados de un triángulo son: 12, (x+4) y (x+5). Calcula el menor valor entero de x para que el triángulo exista.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

17).- En la figura. AC=BC y AB=BP. Halla: “ x”a) 12ºb) 15ºc) 20ºd) 24ºe) 30º

NIVEL II:

1).-Calcula “x”.

a) 60b) 80c) 100d) 120e) 140

2).-Los lados de un triángulo miden 1 y 6. Si el tercer lado es un número entero, calcula el perímetro del triángulo.

a) 10 b) 15 c)12 d) 13 e) 14

3).-Los lados de un triangulo miden a, b y c. Si a+b=18, b+c=14 y a+c=20; Calcula la diferencia entre el mayor y el menor lado.a) 2 b) 4 c)5 d) 6 e) 7

4).-En un triangulo ABC, obtuso en B, =2

y =13. Calcula si es entero. a) 11 b) 12 c)13 d)14 e) 15

5).-En la figura . Calcula “x”.

a) 40b) 60

c) 80d) 100e) 120

6).-Dos lados de un triángulo miden 9 y 6. Calcula el perímetro del triángulo si el tercer lado es el doble de uno de los otros dos.

a) 27 b) 29 c) 33 d) 30 e) Hay dos respuestas.

7).-Del grafico calcula “x”, si y +=130.

a) 20b) 25c) 30d) 35e) 40

8).-En la figura mostrada: y

Calcula “x”.

a) 50b) 60c) 65d) 70e) 75

9).-Si , calcula “x”.

a) 50b) 55c) 60d) 65e) 70

10).-Calcula “” si el triangulo ABC es

equilátero y .

a) 20b) 18c) 24d) 27e) 30

11).-En un triángulo ABC de lado.Se traza la mediana

BM. Calcula el máximo valor entero de.

a) 1 b) 3 c) 6 d) 8 e) 10

12).- El perímetro de un triángulo rectángulo es 24. Calcula el mínimo valor entero para la medida de la hipotenusa.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

13).-Del gráfico, calcula “a+b+c+d”.

a) 180b) 270c) 360d) 450e) 540

69

C

B

A80° 40°

D

B

A D

C

110°

60° x°

B

x 40° x

A M P C

3

2

A C

B

O

x

60°

2 x°

2

X°

40° A

B

C D

D

80°x°A

B

E

F

D

45°

80°x°

C

A

B

A

C

B D

EF

70°

x

A

6

B

C

a°

d°

c°

b°

CLAVES DE RESPUESTASNIVEL I: 1) e 2) b 3) d 4) d 5)b6) e 7) c 8) e 9) b 10)a11) e 12) b 13) e 14) e 15) b16) b 17) aNIVEL II: 1) c 2) d 3) d 4) d 5) c6) a 7) d 8) c 9) b 10) c11) c 12) b 13) e



2.5.- LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÀNGULO

2.5.1.- LA CEVIANAEs el segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su respectiva prolongación.

Ceviana Interior : relativa a

.

Ceviana Exterior : , relativa a .

2.5.2.- LA MEDIANA

Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

: Mediana relativa a

2.5.3.- LA ALTURAEs el segmento que parte de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

: Altura relativa a

: Altura relativa a

2.5.4.- LA MEDIATRIZEs la recta perpendicular a un lado cualquiera en su punto medio.

: mediatriz de

2.5.5.- LA BISECTRIZ

Es el segmento que biseca al ángulo interior o exterior del triángulo.

: Bisectriz interior relativa a .

: Bisectriz exterior relativa a .

2.5.6.-ÁNGULOS FORMADOS POR BISECTRICES

a) ÁNGULO FORMADO POR UNA BISECTRIZ INTERIOR Y EXTERIOR

b) ÁNGULO FORMADO POR DOS BISECTRICES INTERIORES

c) ÁNGULO FORMADO POR DOS BISECTRICES

d) ÁNGULO FORMADO POR DOS BISECTRICES EN UN CUADRILÁTERO CÓNCAVO

.

.

. Ángulo formado por la Bisectriz Interior y la Altura.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Halla “X” .

Solución:En la figura por propiedad se cumple:

X = 19

2.- En un triángulo ABC se cumple que mA + mB + 2mC = 260°.Calcula la medida del ángulo que forman las bisectrices interiores de los ángulos A y B.Solución:

70

A M N CPQ

B

CH

P

A

B

B

l l

A C

L

CMNA

B

2x

x = x =

2

x

x = 90°+x = 90°+

2

x

x = 90°- x = 90°-

a

x

b

x = x =

xx = x =

a b

ax

b

x = x =

B D

AC

38°

X

C

A B

x

Se sabe:X = + +

MCA

B

n n



En el dato:

2 + 2 + 2Ĉ = 260

+ + C = 130 X = 130


1).- Calcula “x”

a) 55°b) 65°c) 72°d) 45°e) 75°

2).- Calcula “x” a partir de la figura.

a) 10°b) 20°c) 30°d) 40°e) N.A.

3).- Halla “x”

a) 10°b) 30°c) 60°d) 90°e) 100°

4).- Calcula “x”.

a) 30°b) 40°c) 45°d) 60°e) 53°

5).- En un triángulo ABC, por el vértice B se traza una recta paralela al lado , la cual corta a la prolongación de la bisectriz interior en el punto F. Halla BF, si AB=12.a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

6).- Sea ABC un triángulo, BF bisectriz interior si se cumple que AB=BF=FC. Calcula m<BCA

a) 18° b) 36° c) 54°d) 60° e) 62°

7).- En un triángulo MNP la medida del ángulo “M” es 80° y el ángulo “P” mide 60°. Calcula la medida del mayor ángulo formado por las alturas trazadas por “M” y “N”

a) 40° b) 50° c) 120°d) 130° e) 140°

8).- En un triángulo ABC las bisectrices exteriores de B y C se intersecan en un punto E, tal que BE=BC. Si la mABC=80, calcula la mA.

a) 20 b) 40 c) 25d) 50 e) 80

9).- En un triángulo ABC, las bisectrices interiores A y C se intersecan en I. Por I se traza una paralela a que interseca en

P a y en Q a . Calcula PQ, si

AP+QC=8

a) 8 b) 8 c) 4d) 4 e) 6

10).- Dado un triángulo rectángulo ABC recto en “B”. Se traza la altura BM , y la

bisectriz AD interceptándose ambas en “N “. Si BD=8. Halla “BN” .

a) 4 b) 8 c) 9

d) 12 e) N.A.

11).- En la figura, halla m<MEC.Si: m<ADB=52°, ; bisectriz.

a) 26° b) 13° c) 19°d) 38°e) 16°

12).- En un triángulo isósceles ABC, el ángulo B mide 100º. Calcula el menor ángulo formado por las alturas trazadas desde los vértices A y C.

a) 60º b) 70º c) 80º d) 85º e) 90º

13).- En un triángulo rectángulo ABC se trazan la altura y la bisectriz interior

que se cortan en P. Halla PH, si BH=10, BE=6.

a) 6 b) 5 c) 4 d) 4,5 e) 7

14).- En la figura es altura del triángulo

ABC y es bisectriz del ángulo ABC. Calcula el valor de “x”.

a) 2b) c) /2d) 2/3e) /3

15).- En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores y . Halla mC, si mADB=80º, mAEB=70º.

a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º e) 50º

16).- En un triángulo ABC la bisectriz interior del ángulo “A” forma con el lado “BC” un ángulo de 40º y tiene igual longitud que uno de los segmentos determinados sobre el. Halla: m<ABC.

a) 80º b) 90º c) 100ºd) 110º e) 120º

17).- En el triángulo ABC, BF es bisectriz. Calcula: “m-n”.

a) 36ºb) 45ºc) 60ºd) 72ºe) 90º

18).- En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior en la prolongación de se

toma un punto “H” y luego se traza

perpendicular a . Calcula <DHG, si m<A – m<C=40.

a) 20 b) 22 c) 24d) 26 e) 28

19).- Si m+n=80, Calcula “x”

a) 20b) 30c) 40d) 45e) 60

71

x°

70° 80°

B C

x 80°

A D

B

D

F

A C x

B

D

ACM

E

B

x

A C

x

2 H D

B

A Cnº

36ºF

mº

xº

º º

mº

nº

oºoº



20).- Calcula “x”, si .

a) 20 b) 55 c) 65d) 45 e) 60

21).- En la figura, m<BAC=80 y m<BCA=40. Calcula la m<DEC.

a) 105b) 115c) 100d) 95e) 85

22).- Calcula “0”

a) 10b) 12c) 15d) 18e) 20

23).- Halla x+y+z

a) 100ºb) 200ºc) 300ºd) 180ºe) 170º

24).- Calcula “x”, ABC es un triángulo equilátero.

a) 30ºb) 20ºc) 10ºd) 60ºe) 45º

72

50º

º

º xº

0º0º

20º

1L

2L

E

A D C

B

ºº

0º0º

º º

40º

40º

20º

º ºº º

yx z

A C

B

A C

B

CLAVES DE RESPUESTAS1) e 2) c 3) e

4) c 5) c 6) b

7) c 8) a 9) a

10) b 11) c 12) c

13) c 14) c 15) d

16) e 17) d 18) a

19) c 20) b 21) a

22) a 23) c 24) a



IV. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

1.- CONCEPTOReducción al primer cuadrante significa expresar la razón trigonométrica de un ángulo agudo.En este capítulo estudiaremos métodos de reducción al primer cuadrante para los siguientes casos.

2.- CASOS DE REDUCCIÓN

2.1.- ÁNGULOS POSITIVOS MENORES DE UNA VUELTA

1ra Forma 2da Forma

II180° - -

90° + /2 +

III180 + +

270° - 3/2-

IV360 - 2 -

270° + 3/2 +

EN GENERAL

R.T.

R.T.

R.T.

R.T.

CASO PARTICULAR

II C 180° -

III C - 180°

IV C 360° -

2.2.- ÁNGULOS POSITIVOS MAYORES DE UNA VUELTA

Procedimientos

a) Se divide él ángulo dado entre el ángulo equilátero a una vuelta en su respectivo sistema (360°, 2).

b) Si fuera necesario se reduce al primer cuadrante utilizando el 1er caso.

2.3.- ÁNGULOS NEGATIVOS

En general:

1) Sen(-x) = -Senx2) Cos(-x) = Cosx3) Tan(x) = -Tanx4) Cot(-x) = -Cotx5) Sec(-x) = Secx6) Csc(-x) = -Cscx

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Simplifica:

E =

Solución :

E =

E =

2).- Siendo y ángulos trigonométricos.Calcula :

Sen

Solución :En la figura: - = 270°

Entonces :

E = Sen135° + Cos135° + Sen270°

E = Sen45° + ( -Cos45°) + (-1)

3).- El grafico, calcula: E=

Solución :En la figura :Tan (270°-) = -2

Cot = -2

Entonces :E = Csc - Cot

E = ( ) – (-2)

4).- Reduce el tercer cuadrante Tg2480°Solución :

Tan2480° = Tan(360 x 6 + 320)

Tan2480° = Tan320°

Tan2480° = -Tan40°

Pero piden recude al III C, entonces:

Entonces :

Tan 2480° =

5) Calcula:E = Cos1°+ Cos2° + Cos3° + . . . +Cos180°

Solución :

E = Cos1° + Cos2° + Cos3°+ . . +Cos177° + Cos178° + Cos179° + (-1)

E = Cos1° + Cos2° + Cos3°+ . . . + (-Cos3°)+(-Cos2°) + (-Cos1°) –1

Quedando el término central :

E = Cos90° - 1 = 0 - 1

E = 1

73

-

z

y

(1, -2)

(1, -2)

270°- 1

-2

y

x

5

40°

180°

E = 3Tan40°

E = -1

E = 7

-Tan 220°




1).- Afirma si es (V) o (F):

I. Tg( -x)=-tgx

II. Csc(2 -x)=Cscx

III.

a) FVF b) VFVc) FVV d) VFF e) VVF

2).- De las siguientes proposiciones cuál(es) es(son) verdadera(s).

I.

II.

III.

a) Sólo I b) Sólo IIc) Sólo III d) II y III e) I y II

3).- Afirma si es (V) o (F):

I.

II.

III.

a) VFV b) VFF c) VVFd) FVF e) VVV

4).- Calcula:A=Sec40º+Sec80º+Sec100º+Sec120º+Sec140º

a) 1 b) –1 c) 2d) –2 e) 2

5).- Reduce:

a) Senx b) Sen2 xc) –2Senx d) Cosx e) 2Cosx

6).- Calcula:

a) - b) -2 c) -3d) 2 e) 3

7).- Dado un triángulo ABC. Calcula:

a) 1 b) –1 c) 2d) –2 e) 0

8).- Calcula: A = 2Sen30º+4Cos120º-Csc1050º

a) 1 b) –1 c) 5d) –2 e) 3

9).- Afirma si es (V) o (F): I.

II. Cos

III.

a) VFV b) VFF c) FVVd) FVF e) VVF

10).- Si: Calcula:

a) 1 b) 2 c) -1d) 0 e) -2

11).- Si: x+y=

calcula:

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

12).- Calcula:

a) 3/11 b) 3/13 c) 3/16d) 3/17 e) 3/19

13).- Reduce:

a) 1 b) –1 c) 2d) –2 e) –3

14).- Relaciona según corresponda:

I.

II.

III.

a) IA;IIB;IIIC b) IB;IIC,IIIAc) IB;IIA;IIIC d) IIA;IIIB;IC e) IIIA;IIB:IC

15).- Simplifica: A= Cos10º + Cos20º +....+ Cos170º + Cos180º

a) 1 b) 0 c) –1d) 1/2 e) –1/2

16).- Calcula:

a) b) 2 c) 4

d) -2 e)-4

17).- Simplifica: A=(Sen(30+x)+Cos(80º-x)+Sen(190º+x)+

Cos(240º-x)

a) 1/2 b) –1/2 c) 1d) 0 e) –1

18).- Si y son complementarios y Sen(2

+3 )=-1/3

calcula el valor de: Tg(3 +2 )

a) b) - c) 2

d) -2 e) /4

19).- Si: 2Senx+1=0 ;

además x IIIC y IVC

Calcula: Cos(x+y)

a) 1/2 b) –1/2 c)

d) - e) –3/5

20).- Simplifica:

a) Tg2x b) –Tg2x c) 1d) –1 e) –Ctg2x

21).- Calcula:A=2sen210º+4Sec300º+Ctg225º

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

22).- Si: x+y=2Calcula:

a) 1 b) 2 c) –1 d) –2 e) 0

23).- Calcula:

74

A: Cosx

B: Tgx

C: Senx



A= Sec325º+Sec355º+Sec3125º+Sec3135º+Sec3155º

a) - b) -2 c) -3

d) 2 e) 3

24).- Calcula: A= 7Csc1110º+3Sec1980º+Tg1665º

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

25).- Reduce:

a) –1 b) 1 c) 3d) –3 e) 2

26).- Simplifica:

a) –1 b) –2 c) 1d) 2 e) 0

27).- Siendo y ángulos positivos

menores de una vuelta, si se cumple Cos

=Cos y además:

I. =

II. + = 180º

III. + = 360ºEs(son) verdadera(s)

a) Sólo I b) Sólo IIc) II y III d) I y III e) I y II

28).- Si x e y son complementarios, además Csc(2x+3y)=-Tg260º.Calcula: Tg(3x+2y)

a) /2 b) c) 3 /2

d) 2 e) 3

V. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

1.- CONCEPTOEs aquella circunferencia geométrica inscrita en un sistema de coordenadas rectangulares, cuyo centro coincide con el origen de coordenadas y cuyo radio es la unidad.

En donde:

A : Origen de arcosB : Origen de complementosA’ : Origen de SuplementosM : Extremo del arco AM

2.- LÍNEAS TRIGONOMÉTRICASEs la representación de las funciones trigonométrica por medio de segmentos.

2.1.- SENO: Está representado por la ordenada del extremo del arco.

en general : SenAM = Sen = Además : -1 Sen 1

Entonces : (Sen)max = 1 (Sen)min = -1

2.2.- COSENO: Está representado por la abscisa del extremo del arco.

En general: Cos AM = Cos = MQ

Además : -1 Cos 1

Entonces : (Cos)max = 1(Cos)min = -1

2.3.- TANGENTE: La tangente de un arco viene a ser la coordenada del punto de intersección entre el eje de tangentes y la prolongación del radio que pasa por el extremo del arco.

En general: TanAM = Tan =

Además : Tan =

2.4.- COTANGENTE: Está representado por la abscisa del punto de

intersección entre el eje de cotangentes y la prolongación del radio que pasa por el extremo del arco.

En general: Cot AM = Cot =

2.5.- SECANTE: Viene a ser la abscisa del punto de intersección entre el eje de abscisas y la tangente geométrica trazada por el extremo del arco.

En general: SecAM = Sec =

También : Sec =

2.6.- COSECANTE: Viene a ser la ordenada del punto de intersección entre el eje de ordenadas y la tangente geométrica trazada por el extremo del arco.

En general: CscAM = Csc =

75

C.T

O

MQ

A

O

M

A

R

T

C.T

O

M

A

RB

A’

O

M

’SL A

O

M

A

L

CLAVES DE RESPUESTAS

1) d 2) d 3) a 4) d 5) d

6) c 7) e 8) a 9) b 10)d

11)a 12)c 13)b 14)c 15)c

16)b 17)d 18)c 19)d 20)a

21)d 22)e 23)b 24)c 25)a

26)e 27)d 28)d

A’ A

M(x, y)

(0, -1)

C.T

B’

O

x

y

B (0, 1)

(1, 0)(-1, 0)

C.I

O

P

M

A



PROBLEMAS RESUELTOS

1) Calcula el mayor valor en:a) Sen100° b) Sen170°c) Sen240° d) Sen350°

Solución :Graficamos una C.T y ubicamos en ella los arcos mencionados; luego trazamos la línea trigonométrica Seno correspondiente.

Rpta: Sen170°

2) Calcula:

E =

Solución :Analizando el radical ” ”Se observa

Senx>1 NoSenx –1 O Senx 1

Senx = 1

Luego : Cos x =0

Reemplazando :

E = E =

3) Calcula el máximo valor de:Q = (5 + Senx) (5-Senx)

Solución :

Q = 25- Sen2xmin =0

Qmax = 25

4) En la C.T halla el área de la región sombreada.

Solución : en la figura:

En la figura:

Sx = SA’NA + S A’MA

Sx =

Sx = 2|Sen|

Sx = -2Sen

5) Calcula el mínimo valor de: E= Senx(Senx-1)

Solución:

E efectuando operaciones

E= Sen2n – Senx

E= Sen2x – 2Senx.

E=

Entonces:

Emin =


1).- Determina Los signos de las siguientes expresiones, respectivamente:

a) (+); (+) b) (+); (-) c) (-); (+)d) (-); (-) e) N.A.

2).- Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:I. En el IIIC cuadrante el seno crece.II. El máximo valor del coseno es 1.III. En el IIC el coseno varía de 0 a –1.

a) VFV b) FVF c) FVVd) VVF e) FFF

3).- De la C.T. calcula PQ

a) Cos + Cosb) Cos - Cosc) Cos - Cosd) –(Cos + Cos)e) 1 + Cos -Cos

4).- Si: Sen x= ; halla la suma de

todos los valores enteros que puede tomar “a”.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

5).- Señala lo incorrecto:

a) Sen1 < Sen2 b) Sen4 > Sen5c) Sen2 > Sen3 d) Sen5 < Sen6e) Sen1 < Sen3

6).- Calcula “A.B” donde A y B representan los valores máximo y mínimo de la expresión : k=5-3Cosx

a) –15 b) –6 c) 8

d) 15 e) 16

7).- En la circunferencia trigonométrica calcula A’P.

a)

b)

c)

d)

e)

8).- Si: Cos =

Calcula :

a) 1 b) –1 c) 0 d) 2 e) -2

9).- Halla el conjunto de valores de “k” para los cuales se verifica la igualdad:

Cos2x =

a) [3/2; -4] b) [-4; 4] c) [-3/2; 3/2] d) [0, 4] e) [0; 3]

10).- En la circunferencia trigonométrica mostrada calcula el área del triángulo RMO en términos de .

a)

b)

c)

d)

e) N.A.

11).- Al recude la expresión:

Se obtiene:a) b)

76

350°

170°

100°

240°

Sen100°

Sen350

Sen240°

Sen170°

O

M

AA’

N

O

M

AA’

N

|Sen|

|Sen|

P O

Q

x

O

y

A’

P

A

A’

B

MA

B’ O

R



c) d) e) N.A.

12).- Halla las coordenadas del baricentro del triángulo MNR.

a) b)

c) d)

e) (-Cos. -Sen)

13).- Si: <<<3/2; señala verdadero (V) o falso(F)

I. Sen < SenII. Cos > CosIII. Sen + Cos > 0

a) VVV b) FVF c) FFVd) FVV e) FFF

14).- Si: IIIC y Cos= , entonces el

intervalo de k es:

a) ]-; -3[ b) ]-; 2/3[c) ]-3; 2/3[ d) ]-2/3; -[ e) N.A.

15).- Siendo “a” y “b” líneas trigonométricas en la circunferencia unitaria mostrada, calcula el valor de: -

a) -

b) -

c)

d)

e) 2

16).- Calcula la variación de f(x) si:

f(x) = a + Senbxy se cumple : f() = f() = 1

a) [0; 2] b) [-1; 2] c) [-1; 1]d) [1; 2] e) [-2; 2]

17).- Halla la suma de los valores máximo y mínimo de:

f(x) = 5 + Sen(5x+1)

a) 10 b) 5 c) 4d) 9 e) 0

18).- Si /2<x<y< entonces:I. Senx > SenyII. Cosx < CosyIII. Senx < CosySon verdaderos:

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) N.A.

19).- De la circunferencia trigonométrica, calcula el área de la figura sombreada:

a) 1/2 + SenCosb) 1/2 +2SenCosc) 1 + SenCosd) 1 + 2SenCose) N.A.

20).- Halla el máximo valor de:

E = (2-Senx)2 + (3+Cosy)2

a) 13 b) 15 c) 18 d) 27 e) 25

21).- Indica el mayor valor:

a) Sen40° b) Sen80°c) Sen110° d) Sen150° e) Sen170°


a) Cos40° b) Cos110°c) Sen110° d) Cos150° e) Cos170°


a) Sen1 b) Sen2 c) Sen3d) Sen4 e) Sen5


a) Cos1 b) Cos2 c) Cos3d) Cos4 e) Cos5

25).- Indica el orden creciente de:Sen1; Sen2; Sen3

a) Sen1; Sen2; Sen3b) Sen1; Sen3; Sen2c) Sen2; Sen3; Sen1d) Sen2; Sen1; Sen3e) Sen3; Sen1; Sen2

26).- Indica el orden creciente de:Cos1; Cos2; Cos3

a) Cos1; Cos2; Cos3b) Cos1; Cos3; Cos2c) Cos2; Cos3; Cos1d) Cos3; Cos2; Cos1e) Cos3; Cos1; Cos2

27).- Indica el signo que debe ir en el círculo:|Sen1| |Sen6|

a) < b) > c) d) e) =

28).- Indica el signo que debe ir en el círculo:|Cos1| |Cos2|

a) < b) > c) d) e) =

29).- Calcula:E = 2

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

30).- Si IIIC; además ,

calcular la suma de los valores enteros que pueden tomar k:a) –1 b) –2 c) –3d) 2 e) 3

VI. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

1.- CONCEPTOSon aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una cierta variable; las cuales se verifican para todo valor de la variable, que no indetermina a la razón trigonométrica existente en la igualdad

2.- CLASIFICACIÓN2.1. IDENTIDADES RECÍPROCAS

Senx.Cscx=1; n , n Z Cscx=

Cosx.Secx=1;x(2n+1) ,nZSecx

Tanx.Cotx = 1; xn , nZ Cotx=

2.2. IDENTIDADES T. POR DIVISIÓN

77

x

O

y

R

N M

A

b

B

a

B’

OA’

M

B

B’

R

E

NAA’


1) c 2) c 3) c 4) d 5)

e

6) e 7) b 8) a 9) a

10)c

11)d 12)d 13)e 14)c

15)a

16) 17)a 18)a 19)a

20)e

21)b 22)c 23)b 24)a 25)e

26)d 27)b 28)b 29)d 30)c



Tanx = ; x(2n+1) ; nZ

Cotx = ; x n; nZ

2.3. IDENTIDADES T. PITAGÓRICAS

Sen2x + Cos2x = 1; x R Sen2x = 1-Cos2x Cos2x =1-Sen2x

Tan2x+1 = Sec2x; x(2n+1) , n R

Sec2x-Tan2x=1 Tan2x = Sec2 x - 1

Cot2x+1 =Csc2x; x n, nR Cot2x = Csc2x-1

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Demuestra que :

Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx

Solución :En este problema, la idea es reducir el miembro dela igualdad más complicado y obtener un resultado igual al otro miembro. Uno de los criterios más utilizados, es el de colocar la expresión a reducir, en términos de senos y/o cosenos; y para ello es bueno recordar:

Cscx = ; Secx =

Tanx= ; Cotx=

En el problema :

Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx ; nota que :

Tan2 =

. Cosx . = tanx

Reduciendo :

= tanx tanx = tanx

2) Simplifica :

L = tanx . cos2x - cotx . sen2x

Solución :Vamos a colocar la expresión en términos de senos y cosenos; así :

L = tanx . cos2x – cotx . sen2x

L =

Reduciendo : L = senx . cosx – cosx . senx

L = 0

3) Reduce:

L = (secx - cosx) (cscx – senx)

Solución :Pasando a senos y cosenos:

L =

operando :

L = ;

pero : 1- cos2x = sen2x

1- sen2x = cos2x

reemplazando :

L = L = senx.cosx

4) Simplifica :

L =

Solución :

Vamos a colocar toda la expresión en términos de senos y cosenos; así :

L =

Operando y ordenando :

L =

Reduciendo :

L = L =

L = 1

5) Reduce :

L = (secx + tanx –1) (secx – tanx+1)

Solución :Si bien , el pasar a senos y cosenos, es un criterio muy generalizador; no siempre es necesario tales cambios; sino también al manejar las otras razones trigonométricas siempre que tengan relación. En el problema, por ejemplo :

L = (secx + tanx-1) (secx-tanx+1)

operando :

L = sec2x – secx . tanx + secx + tanx . secx

– tan2x + tanx – secx + tanx – 1

2tanx

reduciendo :

L = sec2x - tan2x + 2tanx – 1 = 1 + 2tanx – 1

1 L = 2tanx


NIVEL I

1).- Halla “n” para que se cumpla la siguiente identidad trigonométrica:

(senx + cosx)2 - (senx - cosx)2 = n.senx.cosx

a) 1 b) 2 c) 4d) -1 e) -4

78



2).- Calcula el valor de “n” que hace que se verifique la siguiente identidad trigonométrica:

cscx + n.cotx

a) –1 b) 1 c) 0d) 2 e) –2

3).- Calcula “n” de tal manera que se cumpla:(senx + cosx).(tanx + cotx) = n + cscx

a) senx b) secx c) cosxd) cscx e) tanx

4).- Reduce: A = (1- cos2x).(1+cot2x)+(1-sen2x).(1+tan2x)a) 0 b) -2 c) 2d) –1 e) 1

5).- Simplifica:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/3

6).- Reduce la expresión : Q = secx - tanx.senx

a) senx b) cscx c) coshd) secx e) N.A.

7).- Simplifica:H = 16(sen6x+cos6x)-24(sen4x+cos4x) + 10(sen2x+cos2x)

a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) -28).- Simplifica : E = tan2x + cot2x + 2 - sec2x.csc2x

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.A.

9).- Reduce la siguiente expresión trigonométrica:

R =

0° < x < 90°

a) secx b) tanx c) 1d) 0 e) N.A.

10).- Si los catetos de un triángulo rectángulo son: ( 3senx + 4cosx ) y (4senx - 3cosx) respectivamente, luego la hipotenusa será igual a:

a) 5 b) 5senx.cosxc) 5senx d) 5cosx e) N.A.

11).- Simplifica: K =

a) senx b) cosx c) cscxd) secx e) ctgx

12).- Reduce:P = (tanx+cotx).(senx+cosx+1).(senx+cosx-1)

a) 0 b) –1 c) 1 d) –2 e) 2

13).- Reduce la expresión:

a) 0 b) 1 c) 2 d) –1 e) -2

14).- Simplifica:

a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) -2

15).- Reduce: P=

a) –3 b) 3 c) –2 d) 2 e) 1NIVEL II

1).- Reduce : 0°<0<90°

KSen Cos

Sec Csc

1 2

a) Sen Cos b) Sec Csc c) Tgd) Ctg e) 1

2).- Si: 0°<<90°

Reduce : ESen Cos

Sen Cos

1

2 2

2

2

a) Sen b) Cos c) Cos2d) Sec e) Csc

3).- Simplifica :

Q Sen Cos Sen Cos

Tg C

1 1

1 1

2 2

2 2

.

. . tg

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

4).- Reduce :

ATg C

Tg C

Tg C

Tg C

2 2 2 22

2

1

1

tg

tg

tg

tg

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

5).- Si: Tg C tg 5 . Calcula :

P Tg C Sec Csc 4 4 2 2 tg

a) 5 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12

6).- Si: Sec Csc=n. Calcula :

E Tg C C Tg 1 1 23 3tg tg

a) n (n+1) b) n (n-1) c) n (1-n)d) 2n (n+1) e) 2n (n-1)

7).- Si: C Csctg 2 .

Calcula: Csc C tg2

a) 4 b) 16 c) 1/2 d) 1/4 e) 1/16

8).- El equivalente de: MCos

Cos

1

1

es:

a) Sec+Tg b) Csc+Ctgc) Csc-Ctg d) Sec-Tge) Csc-Sec

9).- Simplifica la siguiente expresión:

K

Sec Sen Csc Cos

Sen Sec Cos Csc

2 2

3 3

a) 0 b) 1 c) 2 d) 2 e) 4

10).- Si : Ctg - Cos = 4 Calcula el valor de: E=4Tg+Sen

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8

11).- Reduce :

a) 1 b) Tg c) Ctgd) Sec e) Csc

12).- Si : 1+Tgx=USecx 1-Tgx=Vsecx

Hallar: U2 + V2

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 4 e) ¼

13).- Si :

12

2CosA 1

2

2

CscB

CosA Cos A

Sen A

Calcula : TgA B

2

a) 1 b) 1 3/ c) 3/4 d) 4/3

e) 3

14).- Determina el valor de “n” tal que la siguiente relación sea una identidad.

Tg Sec Tg Sec Sec Tgn 3 2 1

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

15).- Calcula “Tgx” si:

79



aSenx + bCosx = a

aCosx – bSenx = b

a) a b

ab

2 2b)

a b2 2

2ab

c) a b

ab

2 2d)

a b2 2

2ab

e) a

b


NIVEL I

1) c 2) a 3) b 4) c

5) b 6) c 7) d 8) a

9) c 10) a 11) e 12) e

13) d 14) d 15) a

NIVEL II

1)a 2)a 3)c 4)c

5)e 6)a 7)e 8)b

9)b 10)b 11)b 12)b

13)a 14)d 15)d

80



IV. PLANTEO DE ECUACIONES

Uno de los motivos más interesantes en el razonamiento matemático, consiste en el arte de interpretar, traducir o representar una situación (problema), de un lenguaje literal a un lenguaje matemático (ecuación) con ayuda de símbolo(s), variable(s) y operaciones fundamentales.Las ecuaciones tienen el mismo principio que una balanza de dos platillos. El peso que hay en el platillo izquierdo (primer miembro) debe ser igual al peso del platillo derecho (segundo miembro), de modo que exista un equilibrio (igualdad).

Sugerencias para plantear una ecuación:

1. Leer y comprender el enunciado.2. Extraer los datos.3. Elegir la(s) variable(s) y

representarla.4. Relacionar los datos a través de una

igualdad lógica (ecuación).5. Resolver la ecuación obteniendo el

valor de la variable o incógnita.Ejemplo:

El quíntuplo de “a” vale tanto como el séxtuplo de “b”.

5 x a = 6 x b

El producto del doble y triple de “m” es el quíntuplo de la mitad de “n”

2m x 3m = 5 x ½ nEN RESUMEN:

Traducir al lenguaje matemático (forma simbólica) cada uno de los siguientes enunciados.

FORMA LITERALFORMA

SIMBÓLICAEl triple de un número, aumentado en su mitad.El triple de un número aumentado en su mitad.El cuadrado de un número aumentado en 6.La suma de los cubos de dos números.El cubo de la suma de dos números.La suma de dos números consecutivos es 99.La suma de tres números impares consecutivos es 45Gastó la tercera parte de lo que no gastó.Jorge resuelve las tres séptimas partes de lo que no resuelve.El número de varones es la quinta parte del total de reunidos.

“a” es 7 veces “b”.

“a” es 7 veces más que bDos números están en la relación de 3 a 5.“M” excede a “N” en “X”.El exceso de “m” sobre “n” es “z”.“a” es excedido por “b” en 20 unidadesUn número excede a 20 tanto como 110 excede a dicho número.La suma de tres números en progresión aritmética.El producto de 3 números en progresión geométrica.Un número es menor en 42 que el cuadrado de su consecutivo.

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

Gasté los de lo que no gasté y aun me

quedan s/ 20 mas de lo que gasté. ¿ Cuánto tenía ?Solución:No gasté 3x ( queda )

Gasté = 2x

Tenía (3x+2x)=5x

3x = 20+2x

X=20

Tenía 5(20)= S/. 100

Problema 2300 empleados deben cobrar s/ 25 200 pero como algunos de ellos se retiran, el resto

tiene que cobrar s/ 140; cada uno. ¿Cuántos se retiraron?Solución:

Sea: X retiran

= 140

180=300-x

x= 120

Problema 3De los s/ 60 que tenía; si no hubiera comprado un regalo que me costó s/ 16; tan

solo hubiera gastado los de lo que no

hubiera gastado. ¿Cuánto gasté?Solución:

Tenía s/ 60 Gasté s/ XNo gasté s/ ( 60 – X )

si no hubiera comprado el regalo:

(60 - X)

3X = 120 – 2X

5X = 120

X = S/ 24

Pero realmente se compró el regalo; entonces gastó 24 + 16 = S/. 40

Problema 4Ana y Katty fueron de compras y cada una compró tantos artículos como soles pagó por cada uno. Si Ana gastó S/ 600 menos que Katty y compraron 30 artículos en total. ¿ Cuánto gastó Ana ?

Solución:Cantidad Precio Valor

Ana X X X2

Katty 30 - X 30 - X (30 – X)2

81

LENGUAJE COMÚN

(Enunciado)

LeerInterpretarSimbolizar

Lenguaje matemático (ecuación). Solución de la ecuación.

PLANTEAR UNA ECUACIÓN

Platillo PlatilloIzquierdo derecho

x + 2 = 10

Primer Segundo Miembro miembro



X2 – (30 – X)2 = 600X2 – 900 + 60X – X2 = 600X = 25Ana gastó: S/ (25)2 = 625

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 04NIVEL I

1).- Disminuyendo el doble de un número de 25, se obtiene 1. ¿Cuál es el número?

a) 15 b) 12 c) 16d) 13 e) 14

2).- Aumentando un número en su centésima parte se obtiene 707. ¿ Cuál es el número?

a) 701 b) 1400 c) 350d) 700 e) 1500

3).- ¿ Cuál es el número que multiplicado por si mismo, es la cuarta parte de 100?

a) 20 b) 25 c) 5d) 1/5 e) 1/4

4).- El cuádruple de la tercera parte de un número aumentado en su novena parte es igual a 13. Indica el triple de dicho número.

a) 21 b) 24 c) 27d) 30 e) 33

5).- La suma de 5 números consecutivos es 60. ¿Cuál es el mayor de estos números?

a) 16 b) 10 c) 15d) 12 e) 14

6).- La suma de 3 números pares consecutivos es 60. ¿ Cuál es el menor número?

a) 18 b) 20 c) 16d) 22 e) 14

7).- La suma de 4 números impares consecutivos es 80. ¿ Cuál es el número mayor?

a) 25 b) 23 c) 21d) 27 e) 19

8).- Si al numerador y denominador de la fracción 3/5 se le suma una misma cantidad, se obtiene la fracción 5/7. ¿Cuál es esa cantidad?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9).- El denominador de una fracción excede al duplo del numerador en 1. Si al numerador se resta 4, el valor de la fracción es 1/3. Halla la fracción.

a) 4/9 b) 12/19 c) 13/27d) 7/9 e) 4/13

10).- Dividir 260 en dos partes, tales que el duplo del mayor dividido entre el triple del menor nos da 2 de cociente y 40 de residuo. Halla el mayor de ellos.

a) 200 b) 180 c) 150d) 190 e) 195

11).- Repartir 285 en 2 partes, tales que 2/3 de la mayor divididos entre 4/9 de la menor nos da 1 de cociente y 40 de residuo. Halla la parte menor.

a) 167 b) 135 c) 140d) 120 e) 118

12).- La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede en 1 a la cifra de las unidades. Si el número se multiplica por 3 este producto equivale a 21 veces la suma de sus cifras. Halla el número

a) 24 b) 36 c) 21d) 28 e) 32

13).- La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las unidades de un número de dos cifras es 7. Si el número, aumentado en 8, se divide por el duplo de la cifra de las decenas el cociente es 6. Halla el número.

a) 52 b) 56 c) 58d) 42 e) 41

14).- Un niño tenía S/ 85. Si gastó el cuádruple de lo que no gastó, ¿cuánto gastó?

a) S/. 34 b) S/. 92 c) S/. 96d) S/. 68 e) S/. 74

15).- Betty tiene el triple que Ana y Carmen S/ 6 mas que Betty. Si entre las 3 tienen S/ 62, ¿cuánto tiene Carmen?

a) S/ 30 b) S/. 8 c) S/. 24d) S/. 36 e) S/. 32

16).- En un corral el número de gallos es el cuádruple del número de gallinas. Si se venden 4 gallos y 4 gallinas, entonces el número de gallos es 6 veces el número de gallinas. ¿Cuántas aves había inicialmente?

a) 33 b) 63 c) 40d) 50 e) 95

17).- En una caja registradora hay S/.2400, en billetes de S/. 10 y de S/. 100. Si hay doble número de los primeros que de los segundos, ¿cuántos billetes de S/ 10 hay?

a) 20 b) 60 c) 30d) 10 e) 40

18).- Dos ejércitos tienen el mismo número de efectivos. Si en la batalla mueren 200 hombres de un ejército y 50 hombres del otro, entonces el número de sobrevivientes del primero es 3/4 del número de sobrevivientes del segundo. ¿Cuántos soldados tenía cada ejército inicialmente ?

a) 450 b) 600 c) 500d) 750 e) 650

19).- La suma de 2 números pares consecutivos con el impar que sigue es 59. ¿ Cuál es el menor par?

a) 20 b) 16 c) 22d) 18 e) 24

20).- Cinco amigos van a almorzar. Todos comen por igual, excepto 2 de ellos que pidieron postre y por esa razón sus cuentas salieron con S/ 2,50 más que los otros. Si entre los 5 gastaron S/ 45, ¿cuánto pagaron los que pidieron postre?

a) S/ 8,50 b) 11,00 c) 12,50d) 10,50 e) 7,50

NIVEL II1).- En un restaurante los comensales

estaban sentados 9 en cada mesa; para descongestionarlos se colocaron 2 mesas más y entonces ahora hay 8 en cada mesa. ¿Cuántos comensales hay?

a) 144 b) 156 c) 136d) 172 e) 180

2).- Dos amigos “A” y “B” están jugando a los naipes, acuerdan que el que pierda dará al otro S/.2. Si después de 13 juegos consecutivos, “A” ha ganado S/. 10. ¿Cuántos juegos ha ganado “B”?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

3).- Un comerciante compró 30 lapiceros por 5400 soles. Si en la venta de 12 lapiceros quiere ganar el precio de compra de 6 lapiceros. ¿A cómo tendrá que vender cada una de ellos?

a) S/. 250 b) 260 c) 270d) 280 e) 290

4).- Se contrata un hombre por 12 meses y se le pagará 1400 soles más una sortija, al octavo mes se le despide dándole 900 soles más la sortija. ¿Cuál es el precio de la sortija?

a) 60 b) 200 c) 300d) 400 e) 100

5).- Dos obreros trabajan juntos ganando diariamente uno de ellos 2 soles más que el otro. Después de igual número de días recibieron 240 y 210 soles,

82



respectivamente. ¿Cuánto gana diariamente cada uno de los obreros?

a) 15 y 13 b) 16 y 14c) 18 y 16 d) 13 y 15e) 16 y 18

6).- Cuando se hizo la conducción de aguas a un pueblo joven, correspondió a cada habitante 60 litros por día. Hoy ha aumentado el pueblo en 400 habitantes, y corresponde a cada uno 20 litros menos. ¿Cuántos habitantes tiene actualmente dicho pueblo?

a) 1000 b) 1200 c) 1500d) 2000 e) 2200

7).- Se compraron 65 vasos a 150 pesos cada uno. Después de vender 17 con una ganancia de 30 pesos por vaso, se rompieron 5. ¿A cómo debo vender cada uno de los restantes para obtener una ganancia total de 2125 pesos?

a) 205 b) 200 c) 175d) 150 e) 125

8).- En un club social, hay 207 mujeres; por cada 3 mujeres blancas hay 30 morenas y 36 negras. Calcular el número de mujeres blancas.

a) 9 b) 90 c) 108d) 60 e) 72

9).- Pedro paga 18810 soles por un cierto número de televisores y vende parte de ellos en 7990 soles a 85 soles cada uno, perdiendo en este negocio 10 soles por televisor. ¿A cómo deberá vender cada uno de los restantes, para ganar S/. 2180 en todos los televisores?

a) S/. 120 b) S/. 122c) S/. 125 d) S/. 123e) S/. 126

10).- Se tiene un montón de 64 monedas de 15g cada uno y otro de 44 monedas de 30g

cada uno. ¿Cuántas monedas deben intercambiarse para que sin variar el número de monedas de cada montón, ambas adquieran el mismo peso?

a) 15 b) 16 c) 17 d) 12 e) 13

11).- Dos cirios de igual calidad y diámetro difieren en 12cm de longitud . Se encienden al mismo tiempo, y se observa que en un momento la longitud de uno es 4 veces la del otro y media hora después se terminó el más pequeño. Si el mayor dura cinco horas, ¿Cuál era la longitud del más pequeño?

a) 32cm b) 24 cm c) 28 cmd) 40 cm e) 36 cm

12).- Luis y Nancy tienen 3587 y 993 soles respectivamente. Se ponen a jugar cartas a 7 soles la partida y al final la primera persona que ha ganado todas las partidas tiene el cuádruple de lo que tiene la segunda. ¿Cuántas partidas jugaron?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 9 e) N.A.

13).- Dos depósitos contienen 2587 y 1850 litros de agua. Con una bomba se traslada del primero al segundo 4 litros de agua por minuto. ¿Después de cuánto tiempo uno contendrá el doble de litros que el otro?

a) 120min b) 250 c) 185d) 277 e) N.A.

14).- Una llamada de larga distancia tiene un precio por los primeros 3 minutos y otro precio por cada minuto adicional. Si una llamada de 10 minutos cuesta S/.3.80 y otra llamada de 12 minutos cuesta S/. 4.60, ¿cuánto costará una de 7 minutos?

a) S/.3.20 b) 2.60 c) 2.30d) 2.80 e) 2.90

15).- Un comerciante, al iniciar las ventas del día, tiene 6 pelotas rojas de S/.1000 cada una y 2 pelotas blancas de S/.2000 cada una. Al finalizar el día ha vendido S/.6000

en pelotas y aún tiene de los dos colores.¿Cuántas quedan?

a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 1

16).- Un padre deja una herencia de 152000 dólares a cada uno de sus hijos. Antes de efectuarse el reparto muere uno de ellos y la suma que le correspondía se distribuye equitativamente entre sus hermanos quienes reciben entonces 19000 dólares cada uno. ¿Cuántos hijos eran al principio?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 7

17).- Se contrata un ómnibus por $240 para una excursión. Si al momento de la partida dos desistieron, por lo cual cada uno de los restantes tuvo que abonar $20 más.

Entonces:

I. El número de personas que pensó ir inicialmente es 6.

II. Si hubieran desistido 3 personas las restantes tendrían que abonar $30 más.

III. El número de personas es múltiplo de 5.

Son ciertas:

a) I b) II c) I y IIId) I y II e) todas

18).- De la casa a la oficina gasto S/.45 y de regreso gasto S/. 90. Si tengo gastados S/.1575, ¿dónde estoy?

a) oficinab) a mitad del camino hacia mi oficinac) en el lugar de donde partíd) en casae) es imposible determinar

19).- Una botella vacía pesa 425 gramos y llena de vino tinto pesa 1175 gramos. ¿Cuántas botellas semejantes serán necesarias para vaciar en ellas el contenido de un barril de 225 litros?

a) 150 b) 200 c) 400d) 350 e) 300

20).- Se ha pagado una deuda de 265 soles, con monedas de 5 soles y de 2 soles. El número de monedas de 2 soles es mayor que el de 5 soles en 17 monedas. ¿Cuánto suman las monedas de 2 soles y de 5 soles?

a) 82 b) 81 c) 80d) 83 e) 79


NIVEL I

1) a 2) b 3) c

4) e 5) b 6) b

7) a 8) a 9) c

10)d 11)c 12)b

13)d 14)b 15)a

16)e 17)a 18)d

19)e 20)d

NIVEL II

1) a 2) b 3) c

4) e 5) b 6) b

7) a 8) a 9) c

10)d 11)c 12) b

13)d 14)b 15)a

16)e 17)a 18)d

19)e 20)d

83



V. MÉTODOS OPERATIVOS

En este capítulo trataremos de situaciones donde se tenga que aplicar las operaciones básicas como la adición sustracción, multiplicación y división, en algunos casos se aplicaran ciertas reglas o formas abreviadas de solución como son :

1.- Método de las diferencias (Rectángulos)2.- Falsa Suposición (rombo)3.- Método del Cangrejo (operaciones

inversas)4.- Método de la Conjunta

1. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS (rectángulo)

Se emplea este método cuando hay una situación (problema) que se presenta dos incógnitas, para encontrar la solución se procederá de acuerdo al ejemplo ilustrativo.

Ejemplo ilustrativo #1El director del Colegio “200 Millas Peruanas” desea renovar los libros de la biblioteca para lo cual razona : Si compro 7 libros me sobran 11 soles, pero si compro 10 libros me falta 13 soles. ¿Cuál es el costo de un libro?

Solución:Este problema tiene 2 incógnitas, el costo de cada libro y el dinero que tiene el director.

Del gráfico observamos que si se quiere comprar 10-7 = 3 libros (diferencia total) se tendría que gastar lo que sobró y lo que falta, es decir:

11 + 13 = S/24

Costo libro : = S/.8

Método PrácticoSi las cantidades son del mismo tipo, se debe tomar en cuenta lo siguiente:

i) Lo que falta y lo que sobra se suman, las otras cantidades se restan y estos resultados se dividen.

ii) Lo que sobra y lo que sobra se resta, las otras 2 cantidades se restan y estos dos resultados se dividen.

Ejemplo ilustrativo # 2En la Semana de la Educación Inicial” la tutora desea repartir chocolates a sus alumnos, si les da 5 a cada uno le faltarían 30 chocolates, si les da 3 a cada uno le sobraría 70 chocolates. ¿Cuántos chocolates tiene la tutora?

falta sobra

Número de niños =

Número de chocolates =50(5) - 30 = 220

O también :Da 5 Falta 30Da 3 Sobra 70

N° de Niños =

N° de chocolates = 3(50) + 70 = 220

Ejemplo ilustrativo #3Un padre de familia dice: si a cada uno de mis hijos les doy S/.3 me sobraría S/.19, pero si a cada uno les doy S/.5 me sobraría S/.5. ¿Cuánto tiene el padre de familia?Solución :

sobró sobró

N° de Hijos : = 7

Dinero que tiene = 7(3) + 19 = S/.40 o tambien :

Da : 3 sobra : 19

Da : 5 sobra : 5

N° de hijos = = 7

Dinero que tiene = 5(7) + 5 = S/.40

2. FALSA SUPOSICIÓN Para comprender este método analizaremos un ejemplo ilustrativo.

Ejemplo ilustrativo # 4¿Cuántas monedas de S/.2 debo entregar para pagar una deuda de S/.29, si tengo 10 monedas de S/.5 y S/.2?Solución : Supuesto: Si las 10 monedas fueran

de S/.5 tendría en total 10 x 5 = 50 soles. Pero la deuda sola asciende a S/29.

por lo que sobraría: 50 – 29 = 21 soles Esto se debe a que hemos

considerado que todas las monedas son de S/.5 y ninguna de S/.2.

Al no considerar 1 moneda de S/.2 aumento al dinero que tengo en 5-2 = 3 soles (error unitario), luego el número de monedas de S/.2 que no consideré es :

N° monedas de S/.2 = = =

7

Método Práctico (Rombo)

Para el ejemplo anterior.

=


Método de la Diferencia

1).- Un coleccionista pensó comprar 10 tarjetas y entonces le sobran 24 soles, pero si compra 14 tarjetas entonces le faltarían 32 soles. ¿Cuánto cuesta cada tarjeta?

a) S/.16 b) S/.14 c) S/.18d) S/.12 e) S/.17

2).- En una reunión celebrada para reunir fondos para el día de la Amistad se observó que si cada uno de los asistentes colaborara con 5 soles faltaría 125; mientras, que si la colaboración fuese de 8 soles sobraría 100 soles. ¿Cuánto era la cantidad necesaria?

a) S/.700 b) S/.600 c) S/.500d) S/.350 e) S/.250

3).- Si se vende cierta cantidad de mesas a 54 soles cada una, se obtendría como ganancia 200 soles y si los vendemos a 50 soles se ganaría solo 80 soles; calcule el número de mesas que se tiene para la venta.

a) 30 b) 40 c) 60d) 90 e) 50

4).- En una librería se tiene una cierta cantidad de cajas de colores. Si se venden a 2 soles se obtiene 40 soles de ganancia y si se venden al doble, se obtiene el triple de ganancia. Calcule la cantidad de cajas de colores.

a) 30 b) 40 c) 60d) 90 e) 50

5).- Coco y Fina van con sus hijos al teatro. Si quieren sacar entradas de S/.12, Coco dice

84

Dinero que tengo Falta

7 libros S/.11 S/.13

10 libros

N° de monedas de S/.2

Total de Elementos

Valor unitario

-

-+

Valor Unitario Pedido

( )

-

-+

S/.2910

S/.2

S/.5

Recaudación Total



que les sobraría S/.80, pero si quieren sacar entradas de S/.18 Tina dice que les sobraría S/.20. ¿Cuántos hijos tienen?

a) 10 b) 12 c) 8d) 9 e) 6

6).- Se desea rifar un reloj vendiéndose cierto número de boletos. Si se vende cada boleto a S/.0,70 se pierde 40 soles, y si se vende cada boleto a S/.0,80 se gana 50 soles. El precio del reloj es :

a) S/.670 b) S/.630 c) S/.610d) S/.680 e) S/.640

7).- Para ganar 28 soles en la rifa de un VHS se hicieron 90 boletos, vendiéndose únicamente 75 y originándose así una perdida de 17 soles. Entonces el valor del VHS es :

a) S/.270 b) S/.242 c) S/.262d) S/.224 e) S/.263

8).- Se realizó una colecta para obsequiarles una blusa a una alumna el día de su cumpleaños. Si cada alumno colabora con 8 soles sobrarían 6 soles, pero si cada uno de ellos diera 6 soles faltarían 12 soles. ¿Cuánto costó la blusa?

a) S/.65 b) S/.66 c) S/.68d) S/.69 e) S/.64

Método de la Falsa Suposición

9).- En una combi viajan 150 pasajeros. El pasaje adulto cuesta 1,50 soles y el pasaje universitario 1 sol. Si la recaudación fue S/.187, ¿cuántos pagaron pasaje adulto?

a) 72 b) 74 c) 76d) 68 e) 86

10).- Cada vez que voy al cine gasto S/.18 y cada vez que voy al teatro gasto S/.24. Si he salido 12 veces (al cine o teatro) y gasté S/.264. ¿Cuántas veces ha ido al cine?a) 6 b) 3 c) 4 d) 2 e) 7

11).- En un parque hay niños paseándose ya sea en triciclo o en bicicleta. En total se cuentan 30 timones y 78 ruedas. ¿Cuántos triciclos más que bicicletas hay?a) 7 b) 4 c) 2 d) 6 e) 9

12).- En un zoológico hay 56 animales, entre aves y felinos. Si se cuenta el número de patas tenemos que es 196, luego:I. Hay 42 felinos.II. La diferencia entre felinos y

aves es 24.III. Si vendiéramos todas las aves

a 5 soles cada una, recaudaríamos 70 soles.

Son ciertasa) Sólo III b) Sólo I c) I y IId) I y III e) Sólo II

13).- En un examen, un alumno gana 4 puntos por respuesta correcta, pero pierde un unto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas obtiene 180 puntos, ¿cuántas preguntas respondió correctamente?a) 46 b) 40 c) 36 d) 2 e) 32

14).- Podría ahorrar 20 soles al día; pero cada mañana de sol empleo 9 soles en helados y cada mañana fría gasto 6 soles en café. Si al cabo de 21 días he ahorrado 258 soles.Se puede afirmar:I. La diferencia entre días soleados y

fríos es 3.II. Gaste 54 soles tomando café.III. Podría haber ahorrado 231 soles si

todas las mañanas hubiesen sido soleadas.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) Todas e) N.A.

15).- Con 30 monedas de S/.2 y S/.5 colocados en contacto, unas a continuación de otras, se ha formado la longitud de 1 metro, se sabe que los diámetros de esas monedas son 28mm y 36mm respectivamente. ¿Cuántas monedas de S/.5 hay en el grupo?a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

16).- Un litro de leche pura pesa 1032g; se tiene 5,5 litros de leche adulterada cuyo peso es de 5628g. Luego podemos afirmar :

I. En la mezcla hay 1,5 litros de agua.

II. En la mezcla, la leche y el agua están en relación de 8 a 3.

a) Sólo II b) Sólo I c) I y IId) Ninguna e) Todas

17).- En un salón del colegio Doscientas Millas Peruanas, si los alumnos se sientan de 3 a 3 sobrarían 4 bancas y se sientan de 2 en 2, quedarían de pie 18 alumnos. ¿Cuántos son los alumnos?a) 88 b) 70 c) 72 d) 78 e) 84

18).- Un grupo de loros se aproxima a un maizal. Si en cada maíz se posan 2 loros resultarían 3 maíces sobrantes; en cambio, si en cada maíz se posan 3 loros harían falta 3 maíces más. ¿Cuántas son los loros?a) 72 b) 84 c) 68 d) 70 e) 74

19).- Un profesor cobra 15 soles por cada clase dictada y se le descuenta 5 soles por cada clase que falta. Si al término del mes, debió dictar 40 clases y nada le queda por cobrar, ¿a cuántas clases falto?a) 10 b) 15 c) 25 d) 30 e) 40

20).- Una persona concurre al hipódromo a apostar en las carreras de caballos. En cada carrera que acierta gana S/.250 y si no acierta pierde S/.150; después de 24 carreras, si su capital ha aumentado en S/.3200. ¿Cuántas carreras acertó?a) 17 b) 7 c) 6d) 12 e) 8

CLAVES DE RESPUESTAS1) b 2) c 3) a 4) b 5) c6) a 7) b 8) b 9) b 10)c11)d 12)c 13)a 14)d 15)e16)e 17)d 8)a 19)d 20)a

3. MÉTODO DEL CANGREJO (Operaciones Inversas)

Debido a que conocemos el resultado y cada una de las operaciones realizadas para llegar a dicho resultado, entonces para poder encontrar la incógnita pedida se empiezan desde el final (dato), es decir , a partir del último resultado y regresamos hasta el inicio del problema, haciendo las operaciones inversas correspondientes.

Ejemplo Ilustrativo 1A la cantidad soles que tengo le añado 5, al resultado multiplico por 3 y le aumento 4, al número así obtenido le saco la raíz cuadrada y al resultado le sumo 3 para finalmente, dividirlo entre 2 y obtener 5 soles. Entonces inicialmente tenía :Solución :

Operaciones Directas Operaciones Inversas

Inicial Resultado

Ejemplo Ilustrativo 2

Patty, Lucia y Cinthia se ponen a jugar con la condición de que la que pierda duplique el dinero de las demás; si cada una pierde una

85

Incógnita 10

15

-5+5

45

3x 3

49

-4+ 4

7

( )2

+ 3

5

2Dato final

-3



apuesta y al final terminan con S/48, S/.56 y S/.28. ¿Cuánto tenían inicialmente?

Solución :

Empezando por el dato final tenemos:

Inicialmente tenían: 72, 40 y 20 soles respectivamente

4. MÉTODO DE LA CONJUNTA

Este método consiste en ordenar las cantidades dadas en dos columnas de tal forma que el producto de las cantidades de la primera columna sea equivalente al producto de la segunda columna. Las cantidades no se deben repetir en una misma columna.

Ejemplo Ilustrativo 3En la “Feria de la Molina” por 3 patos dan 2 pollos, por 4 pollos dan 3 gallinas, por 12 gallinas dan 8 pavos y 5 pavos cuestan

S/.150. ¿Cuánto tengo que gastar para adquirir 5 patos?Solución : Columna 1 Columna 2

3 patos < > 2 pollos4 pollos < > 3 gallinas12 gallinas < > 8 pavos5 pavos < > 150 soles“x” soles < > 5 patos

3 . 4. 12 . 5 . x <>2 . 3 . 8 . 150 . 5

Simplificando y encontrando la variable se tiene :

x = 50 soles

Ejemplo Ilustrativo 4En la casa de cambio “Miguelito”, 8 soles equivalen a 5 cruzeiros, 10 cruzeiros equivalen a 3 pesos, 6 pesos equivalen a 4 dólares. ¿Cuántos soles equivalen a 2 dólares?Solución : Columna 1 Columna 2

8 soles <> 5 cruzeiros10 cruzeiros<> 3 pesos6 pesos <> 4 dólares2 dólares <> “x” soles

8 . 10 . 6 . 2 <> 5 . 3 . 4 . x

Simplificando el valor de x es :x = 16

PRÁCTICA Nº 06

MÉTODO DEL CANGREJO (Operaciones Inversas)

1).- Un número disminuye en 42, el resultado se divide entre 6, al cociente obtenido se le multiplica por 20, luego se triplica el producto obtenido y se divide entre 5, hallándose 600 de cociente. El número es :

a) 622 b) 516 c) 464d) 326 e) 342

2).- Con la edad de Carlos se hacen las siguientes operaciones; primero se multiplica por 5, al producto se le suma 60, a dicha suma se le divide entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada para finalmente restarle 4. Si luego de realizar las operaciones indicadas se obtiene 2, ¿cuál es la edad de Carlos?

a) 6 b) 60 c) 80d) 300 e) 150

3).- Un número se aumenta en 40; el resultado se divide entre 4, el cociente obtenido se aumenta en 5, al resultado se le extrae la raíz cuadrada, al resultado se multiplica por 15 y luego al producto obtenido se le divide entre 25 resultando 3. Hallar el número.

a) 32 b) 42 c) 40d) 81 e) 50

4).- Cada vez que Jorge se encuentra con Rosa, éste le duplica el dinero a ella. En agradecimiento Rosa le da un sol. Si en un día se han encontrado 2 veces, luego de las cuales Rosa tiene 25 soles, ¿cuánto tenía inicialmente ella?

a) S/.7 b) 21 c) 5d) 12 e) 24

5).- Cuando un campesino saca agua de un pozo, extrae la mitad del contenido y 5 litros más. Si después de 3 extracciones quedan aún 10 litros en el pozo, ¿cuántos litros habían inicialmente?

a) 180 lt b) 150 lt c) 120 ltd) 140 lt e) 110 lt

6).- Pablo y Tania se ponen a jugar casino, primero pierde Pablo S/.30, luego pierde Tania y tiene que duplicarse el dinero a Pablo, quedando de esta manera Pablo con 80 soles y Tania con 40 soles. ¿Cuánto tenía Pablo inicialmente?

a) S/.50 b) S/.65 c) S/.110

d) S/.80 e) S/.70

7).- Se tiene 2 depósitos de vino , “A” y “B” . De “A” pasan a “B” 20 litros; luego de “B” pasan a “A” la mitad de los litros que tiene “B”. Si quedan “A” y “B” con 115 y 35 litros respectivamente, ¿Cuántos litros tenía “A y B” inicialmente?

a) 200 y 50 b) 250 y 50c) 170 y 50 d) 270 y 40e) N.A.

8).- Verónica e Inés juegan a los dados. Pierde primero verónica y duplica el dinero a Inés; luego pierde Inés y da 13 soles a Verónica y por último vuelve a perder Verónica, duplicándole el dinero a Inés. Si ahora Verónica tiene S/.12 e Inés S/.46, ¿cuánto ganó o perdió Verónica?

a) Ganó S/.28 b) Perdió S/.28c) Ganó S/.26 d) Perdió S/.26e) Ganó S/.12

9).- Se tiene 3 aulas: “A”, “B” y “C”, con cantidades diferentes de alumnos, si cada una de ellas se pasan a las otras dos aulas tantos alumnos como hay en ese momento en cada una de estas, en orden alfabético, quedándose al final cada una con 120 alumnos. ¿Cuántos alumnos tenía el aula”A” inicialmente?

a) 105 b) 60 c) 195d) 210 e) 120

10).- Ricardo, Coco, Polo y Toño, deciden jugar, teniendo en cuenta las siguientes reglas.

El primero en perder deberá aumentar $10 a cada uno de los demás.

El segundo en perder deberá duplicar el dinero de los demás.

El tercero deberá aumentar $20 a cada uno de los demás.

El cuarto deberá triplicar el dinero de los otros 3.

Patty Lucía Cinthia Total

Pierdeduplica

.2 .2

Queda.2

PierdeDuplica

.2

.2 .2pierdeduplica

48 56 28 132

Patty Lucía Cinthia Total

72402

202

132

122

80132-52

402

132

242

282

80 132

48 56 28 132

86



Se sabe que perdieron en el orden antes mencionado y al finalizar la cuarta partida cada uno quedo con $240. ¿Quién gano más?

a) Ricardo b) Cococ) Polo d) Toñoe) Ricardo y Polo

Método de la Conjunta11).- El trabajo de cuántos hombres

equivaldrá al trabajo de 8 niñas, si el trabajo de 4 niñas equivale al de 3 niños, el de una mujer al de 2 niños y el de 3 mujeres al de un hombre.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

12).- ¿Qué suma necesitará un gobierno para pagar a 4 generales si el sueldo de 6 coroneles equivale al de 10 comandantes, el de 5 comandantes al de 12 tenientes, el de 2 generales al de 4 coroneles; el de 6 tenientes al de 9 sargentos y si 4 sargentos ganan S/.2400 al mes?

a) S/.14000 b) S/.24400c) S/.32600 d) 4 S/.8000e) S/.28800

13).- en una feria venden 8 plátano al mismo precio que 6 duraznos, 4 duraznos lo mismo que 10 nísperos. Una docena de nísperos al mismo precio que 2 piñas, si 10 piñas cuestan S/.320, ¿cuánto pagaré por 2 plátanos, 3 duraznos y una piña?

a) S/.90 b) S/.91 c) S/.92d) S/.93 e) S/.94

14).- Hace algunos años, por 5 melocotones daban 8 melones, por 9 melones daban 4 manzanas; por 3 naranjas daban 2 manzanas y por 6 plátanos daban 10 naranjas. ¿Cuántos plátanos darán por 50 melocotones?

a) 24 b) 18 c) 16d) 28 e) 32

15).- 10m3 de madera de abeto pesan lo mismo que 7m3 de madera de acacia, 10m3

de madera de cerezo lo que 9m3 de madera de acacia; 5m3 de madera de cerezo lo que 3,6m3 de madera de eucalipto, y ésta última pesa lo mismo que el agua. Halla el peso de 1m3 de madera de abeto.

a) 180kg b) 520kg c) 560kgd) 450kg e) 260kg

16).- Si 2 fichas negras equivalen a 5 fichas amarillas 9 grises equivalen a 3 amarillas, 7 marrones equivalen a 8 grises, 10 fichas doradas, a 6 marrones, 14 doradas a 16 rojas, además 20 fichas rojas equivalen a 9 fichas blancas, 15 fichas azules equivalen a 3 negras y 3 fichas blancas a 2 verdes. ¿A cuántas fichas verdes equivalen 24 fichas azules?

a) 15 b) 20 c) 16d) 12 e) 18

17).- En un pueblo africano por 5 espejos dan 3 lanzas; por 4 lanzas dan 14 cuchillos, por 9 cuchillos dan 2 escudos, por 36 diamantes dan 32 escudos, 15 boomerangs por 1 diamante, 7 topacios por 8 esmeraldas, 10 espejos por 40 esmeraldas y 16 topacios por “x2” boomerangs. Halla : “x”

a) 5 b) 4 c) 7d) 3 e) 6

18).- En un estante entran 8 tomos de álgebra y 18 tomos de geometría ó 10 tomos de álgebra y 15 tomos de geometría. Contesta lo siguiente :a) ¿Cuántos tomos de álgebra pueden

entrara en total?b) ¿Cuántos tomos de geometría pueden

entrar en total?Dé como respuesta la suma de ambos resultados.

a) 50 b) 45 c) 55d) 40 e) 35

19).- En un consorcio automotor el precio de “a” autos Ford equivale al precio de “b2” autos Hyundai, el precio de “bc” autos Hyundai equivalía al precio de “(ac)2” autos Toyota, el de “c3d2” autos Toyota al de “(b2d)2” autos VW, el de “(ab)3” autos VW al de “d4” autos BMW. ¿Cuántos autos Ford equivalen al precio de “(bd2)2” autos BMW?

a) a2c b) ac2 c) b2cd) bc2 e) a2d

20).- En un bazar se observa que le precio de 4 pantalones equivalen al precio de 10 camisas; 5 camisas cuestan tanto como 7 chompas. ¿Cuántas chompas se pueden comprar con 2 pantalones?

a) 5 b) 8 c) 10d) 9 e) 7


1) e 2) b 3) c

4) a 5) b 6) e

7) e 8) b 9) c

10)e 11)a 12)e

13)c 14)e 15)c

16)e 17)e 18)a

19)a 20)e

87



VII. PROBLEMAS SOBRE EDADES

INTRODUCCIÓNLos problemas sobre edades, pertenecen al capítulo de “planteo de ecuaciones” pero, lo estudiaremos como un capítulo aparte por la diversidad de problemas existentes y por la exist4encia de formas prácticas para dar solución a dichos problemas.

CASO I : Cuando Interviene la edad de un sujeto.

Observación.- Es recomendable resolver el problema planteando una simple ecuación.

Ejemplo Aplicativo (1)

Hace 4 años Rocío tenía 2/5 partes de los años que tendrá dentro de 8 años. ¿Cuántos años tendrá Rocío dentro de 12 años?

Resolución :

Sea la edad actual de rocío : “x” años.Luego :

Hace 4 años tenía “x-4”

Dentro de 8 años tendrá: “x + 8”

Según dato:

X – 4 = (x+8) x = 12

Dentro de 12 años tendrá = 24 años Ejemplo Aplicativo (2)

Dentro de 12 años Mauricio tendrá 3 veces más la edad que tuvo hace 6 años. ¿Qué edad tiene Mauricio?

Resolución :

Sea la edad actual de Mauricio “x” años.

Luego : La edad que tuvo hace 6 años

x + 12 = 4 (x - 6) x = 12

Tres veces más La edad que tendrá

dentro de 12 años.

La edad de Mauricio es 12 años.

Si una persona ya cumplió años, luego:

Si una persona todavía no cumple años, luego:

Ejemplo Aplicativo (3)

Luis Tenía en el año 1969 tantos años como el doble del número formado por las dos últimas dos cifras del año de su nacimiento. ¿cuántos años tendrá Luis el año 2000?

Resolución :AN + EX = A

= 69

= 23 años

CASO II : Cuando interviene la edad de dos ó más sujetos.

En esta situación se recomienda el uso de un “cuadro de doble entrada” para facilitar la ubicación de los datos en sus tiempos respectivos. TIEMPOS

PASADOPRESENT

EFUTURO

PILI a m XMILI b n Y

Del cuadro anterior se concluye:

1. La diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo.

a – b = m - n = x – y

2. El tiempo que ha transcurrido para una persona es el mismo que ha transcurrido para la otra:

m - a = n - b y x - m = y – n

Ejemplo Aplicativo (1):

Normita le dice a su hermano Tony :”Mi edad es 8 años menos que tu edad , pero dentro de 4 años tu edad será el doble de mi edad”. ¿Cuál es la edad de Tony?

Resolución :

PASADO

DENTRO DE 4 AÑOS

NORMITA

x-8 x-8+4

TONY x x+4

x + 4 = 2(x – 8 + 4)x + 4 = 2(x – 4)

x + 4 = 2x = 8 12 = x

Tony tiene 12 años.

Ejemplo Aplicativo (2):

Adrián le dijo a Elvira : “Yo tengo 3 veces la edad de tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 35 años. ¿Cuál es la edad de Elvira?

Resolución :

TENÍA TIENE TENDRÁADRIÁN Y 3x 35-3xELVIRA x y 3x

Del cuadro se tiene :

* 3x – y = y – x 35 – 3x – 3x = 3x – y 4x = 2y 35 + y = 9x ....() 2x = y ......()

() en ()

35 + 2x = 9xx = 5

y = 10 años.

PRÁCTICA Nº 07

NIVEL I

1).- Hace 9 años tenía “n” años de edad, dentro de 6 años tendré:

a) (n+3) b) 15 c) 9d) (n+6) e) (n+15)

2).- Un padre tiene 14 años más que su hijo. Calcula la edad del hijo, sabiendo que dentro de 10 años, la suma de las edades será 88

88

EDAD ACTUAL

AÑO ACTUAL

AÑO DE SU NACIMIENTO

= -

EDAD ACTUAL

AÑO ACTUAL

AÑO DE SU NACIMIENTO

= - 1

Hace 8

x - 8 x - 6 x + 5 x +15Tiempo presente

TIEMPO PASADO TIEMPO FUTURO

Hace 6 Edad= xDentro de

5Dentro de

15

SU

JET

OS



a) 14 b) 47 c) 27d) 41 e) 37

3).- La edad de Miguel es el doble de la edad de Pedro, pero hace 10 años era el triple. Halla la suma de las edades actuales

a) 60 b) 45 c) 90d) 72 e) 81

4).- Si un padre tiene 24 años más que su hijo. Hace 10 años la suma de ambas edades fue 28 años. Hace 5 años el hijo tenía:

a) 17 b) 12 c) 10d) 7 e) 8

5).- Un padre tiene “x” años y su hijo “y” años al cabo de cuánto tiempo será la edad de éste la tercera parte de la de aquel?

a) x y 3

2b)

3

2

y x c)

x y 3

2

d) x

y 3 e)

6).- Determinar la edad de Mario sabiendo que la mitad de la edad de Pepe es 18 años mayor que Mario. Además 4 veces la edad de Mario es la edad de Pepe disminuido en 18.

a) 8 b) 15 c) 7 d) 9 e) 20

7).- Determinar la edad de Panchito, sabiendo que es 12 años menor que Martincito y hace 6 años la edad de Martincito era el cuádruple de la edad que tenía Panchito. (en años).

a) 10 b) 22 c) 18d) 12 e) 15

8).- Un padre tiene dos hijos M y P, se desea saber los años de vida de M. Donde M tiene 4 años más que P. El padre tiene 8 veces la edad de P. Además al sumar sus edades hace 10 años resultaba 24 años.

a) 5 b) 40 c) 9 d) 8 e) 15

9).- P tiene x años y M tiene Y años, hace que tiempo la edad de P era el quíntuplo de la edad de M, en años.

a) b) c)

d) e)

10).- La edad de una persona es tal que multiplicando su duplo, su triple y su cuadrado resulta 810000. ¿Cuál es el cuadrado de dicha edad?

a) 100 b) 125 c) 144d) 169 e) 225

11).- La edad de un hombre es 5 veces que la de su hijo y la suma de los cuadrados de sus edades es 2106. Halla dichas edades (dar como respuesta la del hijo)

a) 6 b) 9 c) 8d) 11 e) 45

12).- Una hija le pregunta los años que tiene a su mamá y ella le dice: “Ahora tu edad es un cuarto de la mía y hace 4 años no era más que la sexta parte”. ¿Cuántos años tiene la madre?

a) 40 b) 10 c) 20 d) 60 e) 64

13).- La edad de Orlando es a la de Danilo como 5 es a 6. Después de cierto tiempo sus edades están en la relación de 9 a 10. ¿En qué relación están el tiempo transcurrido y la edad de Danilo?

a) 2/ 3 b) 3/ 5 c) 4/ 5d) 1/ 2 e) 3/8

14).- ¿Cuántos años tiene una persona sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 5 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman 11?

a) 25 b) 28 c) 30d) 32 e) 18

15).- Un hijo le dice a su padre: “La diferencia entre los cuadrados de mi edad y la de mi hermano es 95. El padre le contesta: “Es igual a la diferencia entre el cuadrado de mi edad y la de tu madre”. ¿Qué edad tenía el padre cuando nació el hijo mayor?

a) 36 b) 42 c) 39d) 40 e) 44

16).- La edad de Ronaldo es los 2/3 de la edad de su primo y si dentro de 4 años el doble de la edad de su primo sería los 5/2 la edad de Ronaldo ¿Cuántos años tiene Ronaldo?

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12

17).- Norma le dice a Gisela: Hace 3 años mi edad era el quíntuplo de la edad que tú tenías y dentro de 3 años será el triple ¿Cuántos años tiene Gisela?

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 18

18).- Gisela tiene 24 años, su edad es el séxtuple de la edad que tenía Norma, cuando Gisela tenía la tercera parte de la edad que tiene Norma. ¿Cuántos años tiene Norma?

a) 7 b) 15 c) 16d) 15 3/4 e) 21

19).- A Pedro le preguntan sobre su edad y él responde: “Si al doble de la edad que tendré dentro de 5 años le restan el doble de la edad que tuve hace 5 años obtienen mi edad”. ¿Cuántos años tiene Pedro?

a) 20 b) 25 c) 32d) 26 e) 19

20).- Determinar la edad, en años, del hijo mayor de la familia Quispe, si en total son

tres, sabiendo que el menor de los hijos tiene 5 años menos que su mayor consecutivo y la edad del mayor es el triple de la edad del medio y dentro de 5 años la suma de las edades debe ser 40.

a) 18 b) 6 c) 1 d) 12 e) 19

NIVEL II

1).- Cuando transcurran “m+n” años a partir de hoy, tendré el triple de la edad que tenía hace “m-n” años. Actualmente tengo:

a) (2m + n) años b) 2(m+n) añosc) (2m- n)años d) (n-2m) añose) (3m-2n) años

2).- La diferencia de los cuadrados de las edades de Graciela y Merly es 49. Si Graciela le lleva por un año a Merly, ¿cuántos años deben transcurrir para que la edad de Merly sea un cuadrado perfecto?

a) 1 año b) 5 años c) 10 añosd) 12 años e) 15 años

3).- Si tuviera 15 años más de la edad que tengo, entonces lo que me faltaría para cumplir 78 años sería los cinco tercios de la edad que tenía hace 7 años. Dentro de 5 año que edad tendré.

a) 28 b) 30 c) 33d) 42 e) 48

4).- Hace “a” años César tenía “m” . dentro de “a” años tendrán n veces la edad que tenía Pepe hace “a” años. ¿Cuál es la edad actual de Pepe?

a) b)

89



c) d)

e)

5).- ¿Cuál será la edad de Jhon si hace “x” años tenía “n” veces la edad que tenía hace “y” años?

a) b)

c) d) e)

6).- La edad que tendré de “m” años es a la que tenía hace “m” años como 5 es a 3. ¿Qué edad tendré dentro de “2m” años?

a) 4m b) 6m c) 5md) 7m e) 3m

7).- Dentro de 10 años, la edad de un padre será el doble de la edad de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo, si hace 2 años, la edad del padre era el triple que la del hijo?

a) 38 b) 20 c) 14d) 27 e) 32

8).- La suma de las edades actuales de 2 hermanos es 60 años, dentro de 5 años el mayor tendrá el doble de la edad que tenía el menor hace 5 años. Hallar la suma de cifras de la edad actual del mayor.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

9).- Las edades actuales de 2 amigos son entre sí, como 7 es a 5, pero hace 4 años estaban en la relación de 3 es a 2. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 9 es a 7?

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

10).- Augusto le dice a Patty:Dentro de 10 años yo tendré el doble de tu edad, a lo que Patty le responde: “Es cierto, pero hace 5 años tu edad era el quintuple de la mía”. ¿Qué edad tiene Augusto?

a) 30 b) 10 c) 20d) 14 e) 28

11).- Cuando tú tengas el cuádruple de la edad que él tenía, entonces él tendrá exactamente 50 años, menos la edad que tú tenías. ¿Cuál será tu edad en ese entonces?

a) 30 b) 40 c) 38d) 42 e) 44

12).- Cuando Kelith le preguntó a César por la edad que tenías, éste respondió: Tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que tengo, tendré tanto como tú tendrás dentro de 8 años. La edad de César es :

a) 32 años b) 34 añosc) 36 años d) 40 añose) 72 años

13).- Stephani tiene 30 años, su edad es el quintuple de la que tenía Corina, cuando Stephani tenía la tercera parte de la edad actual de Corina. ¿Cuál es la edad actual de Corina?

a) 14 b) 15 c) 28d) 27 e) 30

14).- Juanito le dice a Estela : actualmente tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía tu edad y cuando tú tengas mi edad entre ambos sumaremos 108 años. ¿Cuántos años tengo?

a) 48 b) 24 c) 20d) 18 e) 32

15).- Las edades de dos personas están en la relación de 5 a 7. Dentro de 10 años la relación será de 3 a 4. ¿Hace 10 años cuál era la relación de dichas edades?

a) 3 a 5 b) 2 a 5c) 1 a 2 d) 4 a 3e) 2 a 3

16).- Al ser consultada por su edad, Marilú responde si al doble de mi edad le quitan 13 años, se obtendrá lo que falta para tener 50 años. ¿Cuál es la edad de Marilú?

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

17).- La edad que tiene actualmente Luis es la misma edad que tenía Jaime hace 6 años, justamente cuando Luis tenía 20 años. ¿Qué edad tiene Jaime actualmente?

a) 20 b) 24 c) 26d) 32 e) 36

18).- La edad de Juan es el triple de la edad de Carmen pero dentro de 50 años, el tendrá 11/7 de lo que ella tenga. ¿Qué edad tenía Juan cuando Carmen tenía 10 años?

a) 30 b) 40 c) 45d) 50 e) 60

19).- La suma de las edades de Pascual y Javier es 50, pero dentro de 12 años la diferencia de edades será 10. Hallar la edad de Pascual, si se sabe que este es el mayor.

a) 20 b) 24 c) 28d) 30 e) 32

20).- Hace 6 años la suma de las edades de Carlos y Jorge era 42. Si actualmente Carlos tiene el doble de la edad de Jorge, hallar la edad de Jorge dentro de tres años.

a) 18 b) 21 c) 23

d) 36 e) 39

CLAVES DE RESPUESTASNIVEL I

1) e 2) c 3) a

4) d 5) c 6) d

7) a 8) c 9) a

10) 11)b 12)a

13)a 14)c 15)a

16)b 17) 18)e

19)a 20)a

NIVEL II

1) c 2) a 3) c

4) a 5) c 6) b

7) c 8) d 9) c

10)a 11)b 12)c

13)d 14)a 15)e

16)b 17)c 18)d

19)d 20)b

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