Tabla de contenidoINTRODUCCIN3CRITERIO DE COMPARACIN DIRECTA. CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA (Michilena)4TEOREMA:4Demostracin:4EJERCICIO#1 (Garca)5EJERCICIO#2 (Yagual)5CRITERIO DE COMPARACION DE LMITE. CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA (Garcs)6Se puede deducir que ambas convergen o divergen cuando la serie es conocida- desconocida calculamos su lmite, recordar teorema: si el resultado es un nmero finito y positivo podemos deducir que la serie es convergente o divergente en base a la serie conocida que usamos de comparacin. Analizamos a qu serie conocida se parece.6NOTA: Cuando el exponente es mayor que 1 siempre es convergente en las P-Series DESARROLLO:7Aplicamos como es una indeterminacin podemos aplicar al dividir por el mayor exponente propiedad distributiva de la divisin, la n entra como n^2 0 = 1 Numero finito y positivo, por tanto es convergente al igual que la serie infinita con la que hicimos la comparacin P-SERIE.7EJERCICIO#1(Calle)7EJERCICIO#2 (Lin)8CRITERIO DE COCIENTE. CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA (Chinga)9Definicin:99EJERCICIO#1 (Prez)10EJERCICIO#2 (Montero)12CONCLUSIONES16Bibliografa17

INTRODUCCINLa presente investigacin, se llev a cabo a travs de un plan de trabajo y un diagnstico, el cual nos proporcion la informacin necesaria para su desarrollo. Antes de empezar con nuestro objetivo principal deberamos hablar de las Matemticas; la cual se dice que es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lgico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas como son los nmeros, figuras geomtricas o smbolos.Un famoso cientfico llamado Eugene Paul Wigner (Premio Nobel de fsica en 1963) dijo que para explicar el mundo natural se usan las matemticas. Dentro de las matemticas tenemos una seccin muy importante para nuestro correcto aprendizaje en nuestra carrera como futuros ingenieros en sistemas como son especficamente Las series la cuales dicen que unaseriees la generalizacin de la nocin desumaa los trminos de unasucesin matemtica. Informalmente, es el resultado de sumar los trminos:

Lo cual suele escribirse en forma ms compacta con el smbolo desumatorio:

Bsicamente el estudio de las series consiste en la evaluacin de la suma de un nmero finitonde trminos sucesivos, y mediante unpasaje al lmiteidentificar el comportamiento de la serie a medida quencrece indefinidamente.Es as que dentro de las series encontramos una parte muy importante que se llaman Sucesiones, la cual es una funcin cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de nmeros reales.Es aqu que a partir de todo lo explicado anteriormente ponemos a vuestro conocimiento nuestros temas, los cuales se llaman Criterio de comparacin directa y en el lmite, con su respectiva Convergencia y Divergencia; as como tambin el Criterio del cociente, con su respectiva convergencia y divergencia.Cabe recalcar que para poder realizar el desarrollo de estos procesos, debemos de haber analizado previamente por completo la convergencia y divergencia entre dos series, ya que estas series proporcionan estndares o modelos con los que podemos comparar otras series. Recordemos que consideramos series cuyos trminos son positivos o al menos no negativos. Lo propio sera para el Criterio del cociente.A continuacin el desarrollo de los temas antes mencionados.

CRITERIO DE COMPARACIN DIRECTA. CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA (Michilena)

Los trminos de una serie tienen que ser bastantes simples y debe tener caractersticas especiales para que los criterios de convergencia se puedan aplicar.Para series con nmeros positivos se estudian dos criterios adicionales que son los de convergencia y divergencia. Ya que permite comparar que tengan trminos complicados con una serie ms simple para luego ver si diverge o converge.Mediante la comparacin directa del trmino general de una serie con el trmino general de otra serie sobre la cual se tiene certeza de su convergencia o divergencia es posible establecer si la serie en cuestin converge o diverge Si se tienen dos series de trminos positivos y una serie converge y el trmino general de esta serie es mayor al de la otra serie entonces esta segunda serie tambin converge Si la serie diverge y el trmino general es menor al de la segunda serie entonces esta segunda serie diverge tambin Para cada caso se tienen ejemplos que muestran cmo determinar la convergencia o divergencia de una serie infinita usando el criterio.TEOREMA:Sea 0 < an bn para todo n.1.- Si n converge, entonces n converge.2.- Si n diverge, entonces n diverge.Demostracin:Para demostrar la primera propiedad, sea L = n y sea Sn = a1+ a2+ a3. anComo 0 < an bn, la sucesin S1 + S2+ S3. Es no decreciente y acotada superiormente por L as, que debe converger. Como:Lim n--> Sn = n Se dice que n converge. La segunda propiedad es lgicamente equivalente a la primera.

EJERCICIO#1 (Garca)Aqu todos los terminos estan en positivos

1.- Tenemos que buscar como comparar estos terminos 0< 2.- Seleccionamos los trminos que dominan tanto en el numerador y denominador simplificando nos quedaria en resumen 0< = 3.- esto converge por la propiedad que indica que si es p >1 converge caso contrario diverge Demostracion: = = = Al reemplazar b con infinito queda solo = = Significa que p >1 es convergente porque no existe contradiccion,porque dice que y significa que es mayor que por eso es convergente.4.- Calcular y verificar si es convergente o divergente= dx = ==2 y 2 es >1 (p>1) significa que es convergente.EJERCICIO#2 (Yagual)

1. En primer lugar analizamos la condicin necesaria de convergencia. Cuando n tiende a infinito el numerador presenta una indeterminacin luego el trmino general de la serie lo escribimos como:

2.- El denominador es un infinito del mismo orden que 3.- En el caso de que el trmino general no tiende a cero luego la serie, por ser de trminos positivos al no converger, ser divergente

CRITERIO DE COMPARACION DE LMITE. CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA (Garcs)

Si tenemos una serie infinita de la cual no sabemos si es convergente o divergente, la podemos comparar con una ya conocida que sea convergente o divergente.Tenemos dos series infinitas, ambas con trminos "positivos y si calculamos este lmite donde L es el resultado siendo un numero finito y positivo.

Se puede deducir que ambas convergen o divergen cuando la serie es conocida-desconocida calculamos su lmite, recordar teorema: si el resultado es un nmero finito y positivo podemos deducir que la serie es convergente o divergente en base a la serie conocida que usamos de comparacin. Analizamos a qu serie conocida se parece.

Recordemos que aplicamos ley de extremos y medios si sustituimos por infinito como es una indeterminacin podemos aplicar.Al dividir por el mayor exponente 0 = 1 Podemos deducir que como el resultado del nmero es un nmero finito y positivo, decimos que tambin converge al igual que la serie con la cual la comparamos. NOTA: Cuando el exponente es mayor que 1 siempre es convergente en las P-Series DESARROLLO:Aplicamos como es una indeterminacin podemos aplicar al dividir por el mayor exponente propiedad distributiva de la divisin, la n entra como n^2 0 = 1 Numero finito y positivo, por tanto es convergente al igual que la serie infinita con la que hicimos la comparacin P-SERIE.

EJERCICIO#1(Calle)

EJERCICIO#2 (Lin)

1.- Un representa a la serie, se procede a buscar la otra serie para realizar la comparacin.2. Facilita la comparacin de la serie.3. Segn la propiedad si p > 1 entonces converge, por el contrario si p 08. Segn el teorema criterio de comparacin en el lmite en el inciso 1, si 1 > 0 entonces ambas series (Un, Vn) son convergentes o divergentes.9. La serie armnica por lo cual es divergente y segn el conciso 3, si el + y si Vn es divergente entonces Un tambin lo es.10. Por lo tanto es divergente.

CRITERIO DE COCIENTE. CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA (Chinga)

Definicin: Se dice: Que la serie de nmeros complejosu1+u2++un+u1+u2++un+esabsolutamente convergentesi la serie|u1|+|u2|++|un|+|u1|+|u2|++|un|+es convergente.

Seau1+u2++un+u1+u2++un+una serie compleja. Supongamos que|un+1/un||un+1/un|tiene lmiteL.L.Entonces: SiL1,la serie es divergente. Sin embargo, si (incluso silfuera infinito positivo) Entonces la seriees divergente. SiL=1, L=1,el criterio no decide.(NOTA: En el caso de quel=1 no puede asegurarse nada sobre el carcter de la serie).EJERCICIO#1 (Prez)

=

=

= = convergente

Respuesta:Se tiene que la serie es convergente

Explicacin del ejercicio

1) Analizamos la convergencia de la serie: suma desde n=2 hasta de

2) Observamos que tenemos la serie cuya sucesin es un cociente entre una potencia con exponente n y un factorial, n estos casos para analizar el carcter de esta serie es de utilidad el criterio de cociente.

3) La serie es de termino positivos, lo adentro es siempre positivo entonces se puede utilizar el criterio de cociente.

4) Llamamos a sub n

5) Calculamos el

6) Calculamos donde tengamos n ponemos n+1 en nuestra sucesin:

7) Sustituimos

8) Realizamos la divisin =

9) Analizamos por una parte las potencias porque ahora hay que simplificar el exponente ms grande lo tiene el 5 del numerador, eso lo expresamos como y lo mismo hacemos con los factoriales , el factorial ms grande lo tenemos en el denominador que es igual a por que n+4! es igual n+4 * n+3 * n+2 * n+1 entonces quedara una multiplicacin por (n+3)!

10) Quedara de la siguiente manera

11) Simplificamos =

12) Dividimos por la n de mayor grado, numerador y denominador seria

13) Simplificamos = = convergente

Respuesta: Se tiene que la serie es convergenteEJERCICIO#2 (Montero)

1. Estudiamos la convergencia de la serie: suma desde n=0 hasta de

1. El presente ejercicio de serie presenta un cociente que tiene como trminos 2 potencias, caractersticas que nos indican el criterio ptimo a utilizar que en este caso es el criterio del cociente.

1. nominamos a sub n

1. Hallamos nuestro termino (n-esimo +1) y colocamos (n+1) en lugar de n

1. Calculamos el

1. Sustituimos y aplicamos el lmite:

1. Efectuamos la divisin, multiplicando el primer termino con la inversa del segundo.

1. Para facilitar las operaciones de descomponen las potencias y simplificarlas. Obteniendo como resultado:

1. En lmites es posible sacar los valores constantes, con el objetivo de facilitar las operaciones. Adicionalmente desarrollamos el binomio al cuadrado del denominador, de esta forma:

1. Por propiedad de los lmites al infinito podemos dividir por la n de mayor grado, numerador y denominador.

1. Posteriormente evaluamos el lmite cuando n tiende al infinito.

1. Obtenemos los valores de los trminos conociendo que un nmero dividido entre infinito es cero, tenemos:

1. El lmite de una constante es la misma constante por lo tanto:

El lmite es mayor a uno aproximadamente 1,333 por lo tanto nuestra serie diverge.

CONCLUSIONES

En base a los temas planteados y explicados a lo largo de este trabajo investigativo, podemos concluir que debemos tener muy en claro todos los teoremas y propiedades para poder identificar cuando una serie es convergente y tambin cuando es divergente, no obstante si no tenemos conocimiento de todo esto, no podremos realizar estos nuevos procesos dentro de las ciencias matemticas.Se puede decir que estas tcnicas nos son de mucha utilidad a lo largo de nuestra carrera como futuros ingenieros en sistemas, son procesos muy complejos y especficos que para resolver los ejercicios debemos tener bases y fundamentos matemticos puntuales para poder lograr un desarrollo exitoso.El objetivo planteado en la introduccin anteriormente se logr cumplir, ya que se pudo observar que a medida que se iban desarrollando los diferentes ejercicios, nos quedaba un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemtica.Creemos que el resultado obtenido tras este trabajo de investigacin fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la informacin terica y prctica investigada, y que adems estos procesos nos sern til en nuestra vida diaria.

BibliografaLarson Hostetler Edwards. (2006). Clculo I. McGraw Hill.https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Series-y-Sucesiones/Criterio-de-comparacion-directa-para-la-convergencia-de-serieswww.tareasplus.comhttps://es.khanacademy.org/math/integral-calculus/sequences_series_approx_calc/convergence-divergence-tests/v/comparison-testhttps://www.youtube.com/watch?v=rHz3eylJqlohttps://www.youtube.com/watch?v=Rj5c-bz4_KQhttp://valle.fciencias.unam.mx/licenciatura/bibliografia/kudryatsev/CURSO%20DE%20AN_LISIS%20MATEM_TICO/4%20cap%A1tulo%20cuarto.pdf

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