cosenos directores x y z

Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Chiriquí

CAPÍTULO 2ESTÁTICA DE PARTÍCULAS

2. 1 Definición de Fuerza

La fuerza es un vector por lo que podemos aplicar los métodos para operaciones de vectores conocidos.

2.2 Métodos para Suma de Vectores

a. Métodos Gráficos

Los métodos gráficos requieren trazar los vectores a escala y utilizar regla y transportador para indicar dirección y módulo. El método del Paralelogramo se emplea para sumar sólo dos vectores y el método del polígono (o poligonal) para sumar dos o más vectores.

Método del Paralelogramo: Consiste en colocar los vectores de forma que coincidan los puntos de aplicación de los dos vector y formar un paralelogramo con la proyección de estos vectores en los lados opuestos. El vector suma ( Resultante R ) se obtendrá de la diagonal del paralelogramo que se ha formado.

Ing. Cynthia Samudio Mecánica1

Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y, generalmente, está caracterizada por su punto de aplicación, su magnitud y su dirección.

Clasificación de losmétodos parasumar vectores

Métodos Gráficos

Métodos Analíticos

Método del Paralelogramo

Método del Polígono

Método de Componentes Rectangulares

Método del Triángulo

Módulo

Figura 1. Representación de un vector Fuerza


Método del Polígono. Consiste en colocar los vectores uno a continuación del otro y así sucesivamente hasta que todos los vectores estén presentes. El vector suma (Resultante) se obtiene trazando el vector que va del origen del primero al extremo del último vector.

b. Métodos Analíticos

Los métodos analíticos son el método de componentes para 2 o más vectores y el método del triángulo (una variación del método poligonal donde se requiere emplear métodos trigonométricos para resolver las incógnitas) para dos vectores.

Método del Triángulo

Se aplica el método del polígono (un vector a continuación del otro) y luego se trabaja con le triángulo que se forma al trazar la resultante.


Como se observa en la figura 1. Los vectores A y B se colocan de forma que coinciden sus puntos de aplicación.

Figura 3. Método del Paralelogramo

Figura 3. Método del Polígono

Figura 4. Método del Triángulo


Si el triángulo es rectángulo: Se pueden aplicar las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras para determinar la resultante y el ángulo que nos indica su dirección.

Si el triángulo es oblicuo (Un triángulo oblicuo es cualquier triángulo que no sea recto)Para poder obtener la Resultante y su dirección debe obtenerle por medio de la ley de cosenos y la ley de los senos enunciadas a continuación.

Ley de los Cosenos : te permite encontrar cualquier lado de un triángulo, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres determinar.

Ley de los Senos

En cualquier triángulo se verifica que las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de losángulos opuestos. Expresado en función del triángulo de la figura


Funciones TrigonométricasSen A= lado opuesto/hipotenusa = a/cCos A = lado adyacente/hipotenusa= b/cTan A= lado opuesto/lado adyacente=a/B

Teorema de PitágorasR2 = A2 + B2

Figura 5. Triángulo Rectángulo

a2 = b2 + c2 - 2bc cos α

b2 = a2 + c2 - 2ac cos β

c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ

Figura 6. Triángulo Oblicuo


Método de los Componentes

Cualquier fuerza que actúa sobre una partícula se puede descomponer en dos o más componentes, esto es, puede ser reemplazada por dos o más fuerzas que originen el mismo efecto sobre la partícula.

Pasos para Aplicar el Método de las Componentes1-Dibuje todos los vectores a partir del origen en un sistema coordenado

2.-Descomponga todos los vectores en sus componentes "X" y "Y". (Nota: Recuerde tomar en cuenta la dirección negativa o positiva de los componentes)

3.-Encuentre la componente "X" de la resultante sumando los componentes "X" de todos los vectores.Rx= Ax+Bx+Cx+.....

4.-Encuentre la componente "Y" de la resultante sumando los componentes "Y" de los vectores. Ry= Ay+By+Cy+...... 5.-Obtenga la magnitud y dirección de la resultante a partir de dos vectores perpendiculares, aplicando el teorema de Pitágoras y la función trigonométrica tangente.


x

y

Fy

Fx

Se dice que una fuerza se ha descompuesto en dos componentes rectangulares si sus componentes Fx y Fy son perpendiculares entre sí y están dirigidos a los largo de los ejes coordenados

Figura 7. Triángulo Oblicuo.

Figura 8. Componentes Fx y Fy del vector F.

F


En la Figura 9 se observa la coexistencia de los vectores A, B y C. El vector resultante se obtiene a través del Método de los Componentes; observe la manera en que se obtienen las proyecciones de cada vector: se descomponen rectangularmente

Empleando Vectores Unitarios

Otra forma de sumar vectores utilizando las componentes rectangulares es usar los vectores unitarios para representar la dirección de las componentes en sus ejes x, y y z.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Se usan los símbolos i,j, y k para representar los componentes en x, y y z respectivamente.


Figura 9. Descomposición de vectores


Los vectores puede escribirse así:F= Fxi + Fyj + FzkDonde Fx, Fy y Fz son los componentes de un vector fuerza.

Para sumar dos o más, se suman las componentes en x, y y z. Por ejemplo

R=(Ax +Bx)i+(Ay+By)j+(Az+Bz)k

2.3 Operaciones con Vectores. Producto Punto. Producto Cruz.

a. Producto Punto o Escalar

Dado dos vectores A y B, se define el producto escalar de ellos al número real dado por la ecuación:αcosbaba =⋅

siendo ∝ el ángulo que los relaciona.. El producto punto se representa por un punto ( · ) y su resultado es un número (escalar).

Teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :

i · i = 1; j· j = 1; k · k = 1

Y cualquier otro producto es igual a cero el resultado de multiplicar escalarmente a por b es:

a · b = ax· bx + ay · by+ az · bz

En el cuadro podemos apreciar el resultado de aplicar el producto punto a los vectores unitarios. i j k

i 1 0 0

j 0 1 0

k 0 0 1

El producto escalar se aplica para determinar.a. ángulo entre dos vectores.b. La proyección de un vector sobre otro.


Figura 10. Vectores Unitarios

Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Chiriquíc. La perpendicularidad entre vectores (Si el resultado del producto punto es 0, los vectores son

perpendiculares)

Producto Cruz o Producto Vectorial

El producto cruz de dos vectores (A y B en la figura) contenidos en un mismo plano es igual a un vector perpendicular al mismo. El producto cruz se representa por una exe (X) y su resultado es un vector.La dirección de ese vector se establece utilizando la regla de la mano derecha. Dicha regla dice que los dedos de la mano derecha giran desde A hasta B siguiendo el camino más corto, y el pulgar indica la dirección del C.

De forma más sencilla podemos aplicar el siguiente procedimiento.

La dirección de la flecha indica el sentido positivo del producto cruz si multiplicamos i X j el resultado será k, si multiplicamos kX i el resultados será j. Por el contrario si nos movemos en sentido contrario al indicado entonces la respuesta será negativa. j X i = -k y k X j = -i

Es importante recalcar que no se puede calcular el producto cruz de dos vectores con un ángulo de 0º entre sí, porque la respuesta será 0 decir i x i =0, j x j = 0 y k x k =0

El siguiente cuadro presenta un resumen del producto vectorial para vectores unitarios-


Figura 11. Producto Cruz

j k i

+

Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de ChiriquíX i j k

i 0 k -j

j -k 0 i

k j -i 0

2.4 Componentes de una fuerza en el espacio tridimensional

a. Empleando los cosenos directores

Una fuerza en el espacio tridimensional se puede descomponer en componentes rectangulares Fx, Fy y Fz. Denotando por xθ , yθ y zθ , los ángulos que F forma, respectivamente con los ejes x, y y z (figura )., se tiene entonces que.

xx FF θcos=

Los cosenos de xθ , yθ y zθ , se conocen como los cosenos directores de la fuerza F. Expresando la Fuerza en función de los vectores unitarios


yy FF θcos=zz FF θcos=

kFjFiFF zyx ++=

Figura 12. Cosenos directores


También se puede expresar en función de los cosenos directores de forma queLo cual demuestra que F es el producto de su magnitud F y el vector unitario

Como la magnitud de λ es igual a la unidad, se debe cumplir que

Cuando las componentes rectangulares Fx, Fy y Fz de una fuerza F son conocidas, la magnitud F de la fuerza se encuentra escribiendo

Y los cosenos directores de F se obtienen a partir de las ecuaciones ()

F

F

F

F

F

F zz

yy

xx === θθθ coscoscos

b. Conocido la magnitud de la Fuerza y los ángulos yθ y ΦEn caso de que la fuerza este expresada en función del ángulo yθ y del ángulo Φ (ángulo que se forma entre el eje x y el plano que contiene la fuerza F (figura ). Entonces empleando el ángulo yθ podemos encontrar Fy y la componente horizontal Fh. Con Fh y el ángulo Φ encontramos Fx y Fz aplicando funciones trigonométricas.

Las componentes escalares son:Fy = F cos yθ Fh= F sen yθFx = Fh cos ФFz = Fh sen Ф

Sustituyendo en (3) y (4) el valor de Fh Fy = F cos yθFx = Fh cos Ф =F sen yθ cos ФFz = Fh sen Ф= F sen yθ sen Ф


)coscos(cos kjiFF zyx θθθ ++=

kji zyx θθθλ coscoscos ++=

1coscoscos 222 =++ zyx θθθ

222zyx FFFF ++=

x

z

y

F

B

A

C

O Ф

Θy

Fy

Fh

Fx

Fz


c. Conocida la magnitud de la Fuerza y dos puntos a lo largo de su línea de acción

Sean los puntos M y N a lo largo de la línea de acción de la fuerza F para obtener sus componentes rectangulares. Primero, se expresa el vector MN .

2.3 Equilibrio de una Partícula

Es decir que si al sumar los vectores obtenemos como resultado que la resultante sea igual a cero, se dice que el cuerpo está en equilibrio.

∑ == 0FR

0=∑ xF 0=∑Fy

Expresadas en vectores unitarios:( ) 0)( =+= ∑∑ jFyiFxR

º


Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a cero, la partícula está en equilibrio.

Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de ChiriquíCLAVES PARA RESOLVER PROBLEMAS DE EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA

Debe dibujar un diagrama de cuerpo libre claro y preciso para resolver cualquier problema de equilibrio. Recuerde tomar adecuadamente la dirección de la fuerza según sea el elemento del problema.


cosenos directores x y z

Education