COSENO ELEVADO

FUNCION EN EL TIEMPO Y EN LA FRECUENCIA

Un filtro de coseno alzado es un tipo de filtro electrónico, utilizado frecuentemente en sistemas de telecomunicaciones debido a que es capaz de reducir al mínimo la interferencia entre símbolos (ISI). Se llama así porque la parte no nula del espectro frecuencial es un coseno que, en su forma más simple (β = 1), se encuentra 'alzado' para situarse por encima del eje f (horizontal).

Descripción matemática

El filtro de coseno alzado es una implementación de un filtro paso bajo de Nyquist. Con lo cual, el espectro tendrá simetría impar en

, donde T es el período del sistema de comunicaciones.

Su descripción en el dominio de la frecuencia es una función definida a trozos, dada por:

y caracterizada por dos valores; β( o alfa ), el factor de roll-off, y T, el inverso de la tasa binaria.

La respuesta al impulso de este tipo de filtros (suponiendo fase lineal) viene dada por:

, en términos de la función sinc normalizada

Teorema de Nyquist:(a) Función de transferencia H(f) (Filtro ideal de Nyquist)

(b) Forma del pulso transmitido h(t) (Pulso ideal de Nyquist)

Nyquist demostró que con esta forma de los pulsos, es posible evitar el ISI. La (b) muestra cómo realizarlo. Supóngase dos pulsos sucesivos, que son h(t) y h(t-T). Incluso si el pulso h(t) tiene infinitos lóbulos secundarios, la figura muestra que el lóbulo secundario de h(t) cruza por cero, en el instante de muestreo del pulso h(t-T). Igualmente, los lóbulos secundarios de estos dos pulsos cruzarán por cero en el instante de muestrear cualquier otro pulso de la secuencia h(t-kT), donde k = 1, 2, etc. Por lo tanto, si se respetan los instantes de muestreo exactos, no va a existir ISI.

Las razones de la imposibilidad de hacer un filtro ideal de Nyquist son las siguientes:

En el dominio del tiempo, un pulso ideal de Nyquist tiene colas de infinita extensión que se extienden al infinito en ambos sentidos. En la práctica solamente es posible diseñar una aproximación al pulso ideal, con extensión finita. Pero esta aproximación induce un error y deja pasar el ISI.

Las colas del pulso ideal de Nyquist decrecen a una razón de 1/x. Si existiera un error en la temporización, estas colas introducirían un error en el muestreo de la señal. Se requiere de temporización muy precisa para evitar los errores de muestreo.

Código para la simulacion de la función coseno elevado

clear allfs = 10; % definiendosincNum = sin(pi*[-fs:1/fs:fs]); % numerador de la funcion senosincDen = (pi*[-fs:1/fs:fs]); % denominador de la funcion senosincDenZero = find(abs(sincDen) < 10^-10);sincOp = sincNum./sincDen;sincOp(sincDenZero) = 1; % sin(pix/(pix) =1 para x =0 alpha = 0;cosNum = cos(alpha*pi*[-fs:1/fs:fs]);cosDen = (1-(2*alpha*[-fs:1/fs:fs]).^2);cosDenZero = find(abs(cosDen)<10^-10);cosOp = cosNum./cosDen;cosOp(cosDenZero) = pi/4;gt_alpha0 = sincOp.*cosOp;GF_alpha0 = fft(gt_alpha0,1024); alpha = 0.2;cosNum = cos(alpha*pi*[-fs:1/fs:fs]);cosDen = (1-(2*alpha*[-fs:1/fs:fs]).^2);cosDenZero = find(abs(cosDen)<10^-10);cosOp = cosNum./cosDen;cosOp(cosDenZero) = pi/4;gt_alpha2 = sincOp.*cosOp;GF_alpha2 = fft(gt_alpha2,1024); alpha = .4;cosNum = cos(alpha*pi*[-fs:1/fs:fs]);cosDen = (1-(2*alpha*[-fs:1/fs:fs]).^2);cosDenZero = find(abs(cosDen)<10^-10);cosOp = cosNum./cosDen;cosOp(cosDenZero) = pi/4;gt_alpha4 = sincOp.*cosOp;GF_alpha4 = fft(gt_alpha4,1024); alpha = 0.8;cosNum = cos(alpha*pi*[-fs:1/fs:fs]);cosDen = (1-(2*alpha*[-fs:1/fs:fs]).^2);cosDenZero = find(abs(cosDen)<10^-10);

cosOp = cosNum./cosDen;cosOp(cosDenZero) = pi/4;gt_alpha8 = sincOp.*cosOp;GF_alpha8 = fft(gt_alpha8,1024); alpha = 1;cosNum = cos(alpha*pi*[-fs:1/fs:fs]);cosDen = (1-(2*alpha*[-fs:1/fs:fs]).^2);cosDenZero = find(abs(cosDen)<10^-10);cosOp = cosNum./cosDen;cosOp(cosDenZero) = pi/4;gt_alpha1 = sincOp.*cosOp;GF_alpha1 = fft(gt_alpha1,1024); close allfigureplot([-fs:1/fs:fs],[gt_alpha0],'b','LineWidth',2)hold onplot([-fs:1/fs:fs],[gt_alpha2],'m','LineWidth',2)plot([-fs:1/fs:fs],[gt_alpha4],'r','LineWidth',2)plot([-fs:1/fs:fs],[gt_alpha8],'g','LineWidth',2)plot([-fs:1/fs:fs],[gt_alpha1],'k','LineWidth',2)legend('alpha=0','alpha=0.2','alpha=0.4','alpha=0.8','alpha=1');grid onxlabel('time, t')ylabel('amplitude, g(t)')title('forma de onda del pulso coseno elevado en el dominio del tiempo') figureplot([-512:511]/1024*fs, abs(fftshift(GF_alpha0)),'b','LineWidth',2);hold onplot([-512:511]/1024*fs, abs(fftshift(GF_alpha2)),'m','LineWidth',2);plot([-512:511]/1024*fs, abs(fftshift(GF_alpha4)),'r','LineWidth',2); plot([-512:511]/1024*fs, abs(fftshift(GF_alpha8)),'g','LineWidth',2); plot([-512:511]/1024*fs, abs(fftshift(GF_alpha1)),'k','LineWidth',2);legend('alpha=0','alpha=0.2','alpha=0.4','alpha=0.8','alpha=1');axis([-2 2 0 14])grid onxlabel('frequency, f')ylabel('amplitude, |G(f)|')title('representacion de la funcion coseno elevado en el dominio de la frecuencia')

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

time, t

ampl

itude

, g(

t)

forma de onda del pulso coseno elevado en el dominio del tiempo

alpha=0

alpha=0.2

alpha=0.4alpha=0.8

alpha=1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

time, t

ampl

itude

, g(

t)

forma de onda del pulso coseno elevado en el dominio del tiempo

alpha=0

alpha=0.2

alpha=0.4alpha=0.8

alpha=1

En concreto, α regula el ancho de banda ocupado por el pulso y la velocidad dedecadencia de la que las colas del pulso. Un valor de α = 0 ofrece el más estrecho

ancho de banda, pero la tasa más lenta dedecadencia en el dominio del tiempo. Cuando α = 1, ofrece mayor ancho de banda con una decadencia mucho mayor

la α = 1 caso ofrece un ancho de banda de doble cara de 2 / τ. Este coincide exactamente con el ancho de banda del lóbulo principal de un pulso rectangular, pero con el beneficio añadido de la rápida descomposición dominio del

tiempo-colas.

Por el contrario, inversa, cuando α = 0, el ancho de banda reduce a 1 / τ, lo que implica un factor de dos,aumento de la tasa de datos para el mismo ancho de banda ocupado por un pulso rectangular. Sin embargo, esto viene a

costa de un ritmo mucho más lento de deterioro en las colas delpulso.

Por lo tanto, el parámetro α que da el diseñador de un sistema de compensación entre mayor velocidad de datos y en el dominio del tiempo ay una decadencia en las colas. Este último es de primera importancia para los sistemas con relativa

inquietud por la sincronización de alta calidad en el receptor.

Este filtrado es casis siempre obligatorio en la unidad de transmicion particularmente en el caso de comunicaciones via radio para delimitar el ancho de banda via radio

Soluciones del filtro crea la transmisión de datos mediante la eliminación de los filtros del ecualizador demora desde el filtro de coseno elevado, y el empleo de métodos numéricos para eliminar el postcursor ISI. Esta solución no es única. Las soluciones ofrecidas por las soluciones de filtro tiene la ventaja de ofrecer al usuario una flexibilidad en el diseño de la exactitud vs ancho de banda mediante la selección de diferentes valores de Alfa