ley del coseno
TRANSCRIPT
![Page 1: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/1.jpg)
ESCUELA SUPERIOR POLITÉNICA DEL LITORAL
Allison Elena Moreira Vega
27 de julio de 2012
![Page 2: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/2.jpg)
• Introducción• Ley del Coseno• Demostración• Ejercicio• Bibliografía
![Page 3: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/3.jpg)
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.
![Page 4: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/4.jpg)
En todo triángulo el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrado de las longitudes de los otros lados, menos el doble producto de estas longitudes por el coseno del ángulo que forman.
c2 = a2 + b2 – 2ba. Cos γ
![Page 5: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/5.jpg)
------------------A
B
C
c
b
a
s M
Ley del Coseno con respecto al lado c
Cos γ = b – s / a
Despejamos s
a . Cos γ = b – ss = b – a . Cos γ 1
h
γ
![Page 6: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/6.jpg)
Por teorema de Pitágoras sacaremos la hipotenusa del triangulo AMB
c2= s2 + h2
2Para calcular el triangulo
CMB por el teorema de Pitágoras tendremos: a2 = h2 + (b-s)2
3 3
h2 = c2 - s2
h2= a2 - (b-s)2
![Page 7: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/7.jpg)
Igualamos las ecuaciones 2 y 3 en las que despejamos h
2 = 3c2 - s2 = a2 - (b-s)2
Lo resolvemos
c2 - s2 = a2 - (b2-2bs+s2)
c2 - s2 = a2 -b2+2bs-s2
c2 = a2 -b2+2bs
h2 = c2 - s2 2
h2= a2 - (b-s)2 3
![Page 8: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/8.jpg)
s = b – a . Cosγ
1
Como ya tenemos solo una s la remplazamos con la s de la primera ecuación
c2 = a2 -b2+2bs
c2 = a2 -b2+2b (b – a . Cosγ)
Por propiedad distributiva tendremos
c2 = a2 -b2+2b2 – 2ba. Cos γ
c2 = a2 + b2 – 2ba. Cos γ
![Page 9: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/9.jpg)
Las tres variables, depende del lado y el ángulo que estemos buscando
b2 = a2 + c2 – 2ac. Cos β
c2 = a2 + b2 – 2ba. Cos γ
![Page 10: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/10.jpg)
c
ab
60º
A B
C
Solución:
Ejercicio 1
100 millas
150 millas
?
![Page 11: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/11.jpg)
Entonces por definición de congruencia de triángulos sabemos que β: 120º Aplicamos la ley de Cosenos con respecto al lado bb2 = a2 + c2 – 2ac cos(120º)b2 = (1oo millas)2 + (150 millas)2 – 2(1oomillas )(150 millas) (-1/2)b2 = 1oooo millas2 + 225oo millas2 – 15000millas2
b2 = 47500 millas2
b = √47500 millas2
b = 217, 9449 millas
![Page 12: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/12.jpg)
Ejercicio 2
Solución :
b
c a
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A C
B
7m
5m 8m
![Page 13: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/13.jpg)
Aplicamos la Ley de los Cosenos:b2 = a2 + c2 – 2ac cos(β)Despejamos:cos(β) = a2 + c2 – b2 / 2accos(β) = (8m)2 + (5m)2 – (7m)2 / 2(8m)(5m)cos(β) = 40m2/ 80 m2
cos(β) = ½ β = cos -1 (½) β = 60º
![Page 14: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/14.jpg)
• Fundamentos de matemáticas ESPOL • http://
www.youtube.com/watch?v=UDdxdYZav4A
• https://sites.google.com/site/timesolar/teoremapitagoras/leycoseno
![Page 15: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/15.jpg)
![Page 16: Ley del coseno](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081420/55b2276cbb61eb2f528b45ac/html5/thumbnails/16.jpg)