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INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA ESTRUCTURAL

CARLOS ARNOLDO CASTRILLÓN ACEVEDO

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA CIVIL

BOGOTA

2007

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INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA ESTRUCTURAL

CARLOS ARNOLDO CASTRILLÓN ACEVEDO

Proyecto de Grado

Asesor

Alejandro Ulloa

Ingeniero Civil

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA CIVIL

BOGOTA

2007

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A mi esposa y a mi familia

Quienes con sus sacrificios,

tolerancia y apoyo

me permitieron llegar a este momento

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CONTENIDO

Pág.

INTRODUCCIÓN 9

1. PROYECTO DE GRADO 10

1.1 TITULO 10

1.2 DESCRIPCIÓN 10

1.3 ANTECEDENTES 10

1.4 JUSTIFICACIÓN 10

1.5 BENEFICIARIOS 11

1.5.1 Beneficiarios directos 11

1.5.2 Beneficiarios indirectos 11

1.6 OBJETIVO GENERAL 11

1.7 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 11

1.8 MARCO CONCEPTUAL 12

1.9 MARCO METODOLÓGICO 12

2. DESCRIPCIÓN EL CURSO VIRTUAL 13

3. FUNDAMENTOS 15

3.1 CONVENCIONES Y UNIDADES 15

3.2 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS 16

3.2.1 Tipos de análisis 16

3.2.2 Elementos estructurales 16

3.2.3 Fuerzas que actúan sobre una estructura 16

3.3 MODELO MATEMÁTICO 16

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3.4 APOYOS Y RESTRICCIONES 17

3.5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES 17

3.6 RIGIDEZ 18

3.6.1 Elasticidad 18

3.6.2 Rigidez 19

3.6.3 Momento de Inercia 20

3.7 MODELO ESTRUCTURAL 20

4. ANÁLISIS MATRICIAL 23

4.1 OPERACIONES MATRICIALES 23

4.2 SISTEMA DE COORDENADAS 24

4.2.1 Coordenadas globales 24

4.2.2 Coordenadas locales 25

4.2.3 Transformación de coordenadas 26

4.3 GRADOS DE LIBERTAD 27

4.4 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO 28

4.4.1 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas locales 30

4.4.2 Ejemplos matriz de rigidez de un elemento en coordenadas locales 32

4.4.3 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales 35

4.4.4 Ejemplos matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales 37

4.5 ENSAMBLAJE DE UN PÓRTICO PLANO 43

4.5.1 Numeración de nodos 43

4.5.2 Numeración de elementos 43

4.5.3 Ensamblaje de la matriz de rigidez 43

4.5.4 Apoyos en la estructura 44

4.5.5 Ejemplo ensamblaje de un pórtico plano 45

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4.6 ANÁLISIS ESTÁTICO (MÉTODO DE LA RIGIDEZ) 56

4.7 IGUALACIÓN Y REDUCCIÓN GRADOS DE LIBERTAD 56

4.7.1 Ejemplo igualación y reducción grados de libertad 58

4.8 DIAFRAGMA RÍGIDO 70

4.9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA 70

4.9.1 Ejemplo matriz de rigidez de toda la estructura 72

5. SÍSMICA 77

5.1 TECTÓNICA 77

5.2 FALLAS GEOLÓGICAS 78

5.2.1 Desplazamiento horizontal 78

5.2.2 Desplazamiento vertical 78

5.3 SISMOS 78

5.4 ONDAS SÍSMICAS 79

5.5 SISMOGRAMAS Y ACELEROGRAMAS 79

5.6 MAGNITUD DE UN SISMO 80

5.7 INTENSIDAD DE UN SISMO 80

6. ANÁLISIS DINÁMICO 81

6.1 LEYES DE NEWTON 81

6.2 MASA Y PESO 82

6.2.1 Masa de la estructura 82

6.2.2 Ejemplo matriz de masa de la estructura 83

6.3 VIBRACIÓN Y AMORTIGUAMIENTO 85

6.3.1 Frecuencia y período 85

6.3.2 Vibración libre no amortiguada 85

6.3.3 Vibración libre amortiguada 86

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6.4 EXCITACIÓN EN LA BASE 89

6.5 RESPUESTA ESPECTRAL 89

6.6 ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINÁMICO 91

6.6.1 Ejemplo ecuaciones de equilibrio dinámico 91

6.7 ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL 94

6.7.1 Ejemplo espectro de desplazamientos 95

6.7.2 Ejemplo análisis modal espectral 97

6.8 COMBINACIÓN DE LA RESPUESTA MODAL 109

7. FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE 110

7.1 CONFIGURACIÓN DE LA ESTRUCTURA 110

7.2 CONSIDERACIONES SÍSMICAS 111

7.2.1 Zona de amenaza sísmica 111

7.2.2 Coeficiente de aceleración Aa 111

7.2.3 Efectos locales 112

7.2.4 Coeficiente de importancia 113

7.2.5 Espectro de diseño 113

7.3 CONSIDERACIONES DE ANÁLISIS 114

7.3.1 Periodo fundamental 114

7.3.2 Cortante basal 114

7.3.3 Fuerzas sísmicas 114

7.3.4 Torsión accidental 115

7.3.5 Limites de la derivas 115

7.4 EJEMPLO ANÁLISIS POR MEDIO DE LA FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE 115

CONCLUSIONES 123

BIBLIOGRAFÍA 124

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INTRODUCCIÓN

El presente documento, se plantea, con la voluntad de que sea una herramienta útil para los

compañeros universitarios, e interesados en el tema, el objetivo, es transmitir los conceptos de

análisis matricial y dinámica de estructuras en una forma menos rígida y matemática, pero con el

desarrollo del tema he comprendido que se hace necesario el entendimiento matemático.

El curso se desarrolla desde el planteamiento básico de una estructura, pasando por el desarrollo del

un modelo estructural, hasta encontrar las derivas del modelo estructural con lo cual finaliza este

documento; Es un ejemplo práctico desarrollado paso a paso, con la ayuda de herramientas

especificas para cada caso, planteando dentro del ejercicio actividades que debe desarrollar el

alumno, que hacen parte del ejemplo y que son necesarias en pasos posteriores.

No pretende ser un manual, o un recetario, pretende crear el interés, y permitir a los estudiantes

herramientas a las que puedan acceder fácilmente, sin tener que pasar por una serie de

demostraciones, que los desalientan y nos les permite alcanzar sus objetivos.

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1. PROYECTO DE GRADO

Este proyecto de grado consiste en la elaboración de un software multimedia, a través del cual

se desarrolla un modelo estructural, iniciando con una descripción de la estructura, y

finalizando con la obtención de las derivas del modelo estructural por el método de la fuerza

horizontal equivalente.

1.1 TITULO

Curso virtual de introducción a la dinámica estructural.

1.2 DESCRIPCIÓN

Elaboración de un curso virtual interactivo didáctico multimedia como complemento para el

aprendizaje de Análisis matricial y Dinámica estructural. Orientado a describir de forma gráfica

el comportamiento de una estructura.

1.3 ANTECEDENTES

Dada la limitación en cuanto a tiempo para un curso de análisis matricial y la implementación

de Dinámica de estructuras dentro del plan de estudio. Se hace necesario implementar

herramientas de estudio orientadas a motivar en los estudiantes el gusto por estos temas.

Herramientas que vayan de acuerdo con las nuevas tecnologías y tendencias educacionales, que

para el caso especifico de análisis de estructuras por métodos matriciales y comportamiento

dinámico de estructuras no existen.

1.4 JUSTIFICACIÓN

En la actualidad es de vital importancia para un ingeniero civil comprender los conceptos de

dinámica estructural, pero para poder entender esta se deben tener claros conocimientos de

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análisis matricial de estructuras, siendo de mayor difusión y recordación los elementos

multimedia.

1.5 BENEFICIARIOS

1.5.1 Beneficiarios directos: Los beneficiarios directos son los estudiantes de ingeniería civil

de la Corporación universitaria Minuto de Dios.

1.5.2 Beneficiarios indirectos: beneficiarios indirectos son los docentes de la misma

institución, puesto que tendrán un material de apoyo.

1.6 OBJETIVO GENERAL

Transmitir los conceptos básicos del análisis matricial de estructuras enfocado al análisis

dinámico de estructuras; por medio un curso virtual didáctico multimedia interactivo.

1.7 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Desarrollar un curso virtual interactivo didáctico multimedia por medio del cual se induzca de

manera gráfica y entretenida los conceptos de análisis matricial y comportamiento dinámico de

estructuras, realizando un ejemplo práctico.

Realizar paso a paso, y de forma didáctica el desarrollo de un modelo de análisis dinámico,

partiendo desde el planteamiento matricial de la estructura, incluyendo una análisis modal

espectral, y finalizando con la determinación de las derivas por medio del método de la fuerza

horizontal equivalente.

Exponer el procedimiento adecuado, que permita a un estudiante desarrollar completamente un

modelo estructural aplicando los conceptos de análisis matricial y dinámica de estructuras.

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1.8 MARCO CONCEPTUAL

Dado que la multimedia es sistema de información que involucra varios medios de

comunicación (texto, imagen, animación, sonido,.. etc.) permite una mejor atención,

compresión y por ende aprendizaje de los temas tratados.

A demás la multimedia posee una gran aceptación y capacidad de distribución dentro de los

estudiantes (beneficiarios directos).

1.9 MARCO METODOLÓGICO

Para llevar acabo este proyecto se realizaran una serie de animaciones y gráficas que

representen los procesos que se deben seguir para realizar un análisis matricial y dinámico, de

forma tal que se involucren todos los factores pertinentes para cada proceso, siguiendo el

programa académico adecuado para cada materia.

Como complemento y durante el desarrollo del proyecto se elabora una guía en la cual se

indique el funcionamiento del Curso virtual y la respectiva sustentación matemática para cada

proceso.

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2. DESCRIPCIÓN DEL CURSO VIRTUAL

Se trata de una aplicación multimedia elaborada con el programa Macromedia Authorware 6

versión educacional.

En la ventana principal del curso se puede observar el titulo del curso “INTRODUCCIÓN A

LA DINÁMICA ESTRUCTURAL”, y 15 botones nombrados: Estructura, Globales, Locales,

Matricial, Rigidez, Pórtico, Grados L, Rig. Estr., Sísmica, Masa, Dinámica, Espectro, Modal,

Fuerza Horizontal Equivalente, y Salir; Cada botón contiene información de manera secuencial

para la realización del curso.

Figura No.1 – Venta principal curso virtual

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Modelo Estructural : Contiene la descripción del modelo estructural

Coordenadas Globales : Explicación del sistema de coordenadas globales

Coordenadas Locales : Explicación del sistema de coordenadas locales

Análisis Matricial : Introducción a análisis matricial

Matriz de Rigidez : Explicación de la rigidez de los elementos estructurales en coordenadas globales

Ensamblaje Pórtico Plano : Explicación del ensamblaje de un pórtico plano

Grados de Libertad : Explicación de grados de libertad

Rigidez de la Estructura : Explicación del ensamblaje de la estructura espacial

Sísmica : Infografía sobre terremotos

Masa de la estructura : Explicación matriz de masa de la estructura

Análisis Dinámico : Introducción al análisis dinámico

Espectro Desplazamientos : Explicación espectro de desplazamientos

Análisis Modal Espectral : Explicación análisis modal

Fuerza Horizontal Equivalente : Explicación procedimiento para hallar las derivas de la estructura por medio del método fuerzo horizontal equivalente

Salir : Sale del curso

Es un curso básico que trata sobre la solución de una estructura en concreto por medios

matriciales, incluyendo los efectos de un sismo, y el cual finaliza hallando las derivas del

estructura utilizando el método de la fuerza horizontal equivalente.

En cada módulo de este curso virtual se realiza un ejemplo detallado de cada proceso necesario

para la solución de la estructura, cubriendo así todos los pasos que se requieren para hallar las

derivas de la estructura.

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3. FUNDAMENTOS

El presente es un curso virtual multimedia de aprendizaje, por medio del cual y de forma interactiva

se conocerán los conceptos básicos del comportamiento dinámico de estructuras. El contenido se

encuentra divido en 14 módulos, a través de los cuales y de forma progresiva se ira introduciendo al

alumno por medio de explicaciones y ejemplos en los temas básicos del análisis dinámico de

estructuras.

Se desarrollara un ejemplo completo del análisis de una estructura por el método de la fuerza

horizontal equivalente, siguiendo los conceptos vistos en este curso virtual, prestando especial

atención en la aplicación de la Norma Colombiana de Construcción y Diseño Sismo Resistentes

(NSR98).

3.1 CONVENCIONES Y UNIDADES

Durante el desarrollo del presente curso virtual trabajaremos con el sistema internacional de

medidas (SI):

Unidades básicas:

Distancia : el metro (m)

Masa : el kilogramo (kg)

Tiempo : el segundo (s)

Unidades complementarias:

Ángulo plano : el radian (rad)

Unidades derivadas:

Frecuencia : el hertz (Hz) 1Hz = 1s-1

Fuerza : el newton (N) 1N = 1kg*m/s2

Esfuerzo : el pascal (Pa) 1Pa = 1N/m2

Energía, trabajo: el julio (J) 1J = 1N*m

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3.2 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS

El análisis de estructuras consiste en predecir el comportamiento de una estructura dada, es decir

hallar las deformaciones, fuerzas internas (axial, cortante, torsión y flexión) y reacciones en los

apoyos para un conjunto de cargas (viva, muerta, sismo, viento, etc.) aplicadas.

3.2.1 Tipos de análisis: Los tipos de análisis de una estructura dependen del tipo de cargas que se

apliquen a está. Hablaremos de análisis estático cuando las cargas aplicadas sean de este carácter

(carga muerta, peso propio, cargas gravitacionales, carga viva, etc.). En el caso de aplicar cargas o

excitaciones de carácter dinámico (sismo, viento, etc.) las cuales provocan vibración en la estructura

nos referiremos al análisis dinámico.

3.2.2 Elementos estructurales: Para el presente curso consideraremos únicamente una estructura

tipo pórtico, la cual consiste en vigas y columnas rígidas unidas por nudos indeformables y apoyos

completamente empotrados.

3.2.3 Fuerzas que actúan sobre una estructura: Por razones prácticas y con el ánimo de

introducir al estudiante en el método mas usual de diseño se aplicaran las cargas de acuerdo con el

método de la resistencia última según el Capitulo B (cargas) de la Norma Colombiana de

Construcción y Diseño Sismo Resistentes (NSR98).

3.3 MODELO MATEMÁTICO

Un modelo matemático es la representación idealizada (numérica y aproximada) de una estructura

dada, en cual se involucran todos los factores que afectan a la misma (cargas, materiales,

dimensiones, forma, etc.).

Por medio de un modelo matemático se puede realizar el estudio o análisis de fenómenos

cuantificables; Para realizar un modelo matemático confiable es necesario reunir previamente toda

la información real que este disponible sobre el fenómeno a estudiar.

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Durante el desarrollo del curso se construirá el modelo matemático de una estructura, iniciando por

un pórtico plano, he involucrando todo los factores que se requieren para realizar en principio un

análisis estático y posteriormente un análisis dinámico.

3.4 APOYOS Y RESTRICCIONES

Los apoyos representan las condiciones de borde de una estructura, esto es las restricciones a las

que esta sometido un nodo el cual es apoyo de la estructura.

Se dice que el apoyo es simple cuando este representa la restricción a un desplazamiento en el

sentido contrario al elemento que apoya, generalmente se representa por un círculo en el caso de un

pórtico plano, y una esfera en el caso de una estructura tridimensional. Un apoyo de segundo grado

representa la restricción a movimientos tanto en el sentido contrario del elemento que apoya como

en el sentido perpendicular a el elemento, este tipo de apoyo se representa por un triangulo en el

caso de un pórtico plano y por una pirámide en el caso de un estructura tridimensional. Un apoyo

fijo representa la restricción total del nodo, es decir este no tiene la posibilidad de moverse en

ninguna dirección además de restringir la posibilidad de que el elemento gire alrededor del nodo,

este es representado por una T invertida en el caso de un pórtico plano y por una cruz en el caso de

una estructura tridimensional.

3.5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

Al aplicar una fuerza cualquiera sobre un elemento con un área dada, podemos establecer una

relación entre la fuerza y el área del elemento, esta relación por lo general esta dada por las fuerzas

internas de un elemento y el área del plano sobre el cual actúa la fuerza en el elemento, “Este

cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza interna sobre un plano especificó

(área) que pasa por un punto”1; Con base a esto podemos definir:

A

F (1) (Esfuerzo es igual a fuerza sobre área)

1 HIBBELER, R. C. Mecánica de materiales 3ª Ed. México : Pearson, 1998. p.22.

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Donde σ representa el esfuerzo al que esta sometido el elemento en Pascales (Pa), F es la fuerza

aplicada en Newtons (N), y A es el área del plano donde se aplica la fuerza en metros cuadrados

(m2).

“Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo. Ésta tiende a cambiar la forma y tamaño del cuerpo”2, es

decir el cuerpo se deforma, o sufre una deformación, la cual va en función al material de que esta

hecho el cuerpo, esta deformación se puede medir y dado esto podemos definir la deformación

promedio como:

L

Lp

(2) (Deformación es igual al cambio de longitud sobre longitud inicial)

Donde εp es la deformación promedio de un elemento (adimensional), ∆L es el cambio de longitud

del elemento medido en metros (m) y L es la longitud inicial del elemento dada en metros (m).

Ahora podemos concluir que una fuerza aplicada sobre un elemento causa esfuerzos y

deformaciones, las cuales podremos determinar realizando un análisis estructural por medio de un

modelo matemático, lo cual aprenderemos en este curso.

3.6 RIGIDEZ

“Toda estructura al ser expuesta a una acción externa, bien sea estática o dinámica, se deforma. La

relación entre estas acciones externas y las deformaciones que se producen en la estructura se define

como rigidez”3. En otras palabras “La rigidez se refiere a la capacidad de una estructura para resistir

cambios de forma (por ejemplo, para resistir alargamiento, flexión o torsión)”4.

3.6.1 Elasticidad: Cuando se realiza una ensayo de tensión sobre un materia (acero de refuerzo

normalmente), este tiene un comportamiento el cual se puede representar a través de un diagrama

esfuerzo deformación, en este diagrama se puede observar claramente dos comportamientos típicos

2 Ibid., p. 70. 3 MALDONADO, Esperanza. Y CHIO CHO, Gustavo. Análisis Sísmico de Edificaciones. Bucaramanga : Ediciones U.I.S., 2004. p.8. 4 TIMOSHENCO, Stephen y GERE, James. Mecánica de materiales 4a Ed. México : Thompson, 1998. p.43

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en el material, el primero hace referencia al comportamiento elástico y el segundo al

comportamiento plástico del material. El comportamiento elástico se refiere a la capacidad del

material de retornar a su forma inicial después de aplicada un fuerza (por ejemplo una banda de

caucho la cual se estira hasta el máximo y luego retorna a su forma inicial), el comportamiento

plástico hace referencia a la deformación permanente del material (por ejemplo al estirar un barra de

plastilina esta quedara deformada permanentemente).

La propiedad elástica de un material es la que nos interesa para nuestro curso, pues las teorías

tratadas a lo largo de este curso se basan en el rango elástico de los materiales, es decir solo se

consideran las relaciones lineales de los materiales. Aclarado esto aplicaremos la Ley de Hooke:

E (3) (El esfuerzo es proporcional al modulo de elasticidad por la deformación)

Donde E es el módulo de elasticidad o módulo de Young en Mega Pascales (Mpa), el cual solo es

aplicable cuando un material se mantiene en su rango elástico y sus deformaciones son lineales

(Comportamiento elástico-lineal).

3.6.2 Rigidez: Hace referencia a la relación entre una fuerza externa aplicada sobre un elemento

elástico y el desplazamiento (deformación lineal) causada por esta:

u

Fk (4) (La rigidez es igual a la fuerza aplicada sobre el desplazamiento causado por esta)

Donde k es la rigidez del elemento en Newton sobre metros (N/m), y u corresponde al

desplazamiento ocasionado por la fuerza en dirección de la misma medido en metros (m), este

desplazamiento “u” se relaciona con el cambio de longitud “∆L” de la ecuación (2) así:

∆L = u → u = εL (5) (El desplazamiento es proporcional a la deformación por la longitud)

Donde ε corresponde a la deformación unitaria del elemento.

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“La rigidez puede también definirse como la fuerza que debe aplicarse al sistema para obtener una

deformación unitaria en la misma dirección y sentido de la carga”5.

3.6.3 Momento de Inercia: Es una propiedad geométrica de un área, también conocida como

segundo momento de un área. Se recomienda hacer un repaso sobre los conceptos de propiedades

geométricas de áreas. Temas que se pueden consultar en cualquier libro de Mecánica Vectorial

(estática) y resistencia de materiales.

Para el caso del presente curso utilizaremos el momento de inercia de un elemento de área

rectangular:

3

12

1BHI (6) (Inercia es igual a un doceavo de la base por la altura al cubo)

Donde I es el momento de inercia del área en metros a la cuatro (m4), B es la base del y H su altura

ambas dimensiones en metros (m). Se ha debe tener en cuenta que tanto B como H se localizan

según las coordenadas locales del elemento (tema que trataremos más adelante).

3.7 MODELO ESTRUCTURAL

Se tiene una estructura en concreto reforzado de tres niveles, compuesta por cuatro pórticos

numéricos y tres pórticos literales, la cual ocupa un área de 128 m2. El primer nivel tiene una altura

de 3.00m y los dos restantes tienen una altura de 2.60m cada uno. Las columnas tienen una sección

cuadrada de 30cm por 30cm (30 x 30) en concreto de 28Mpa, las vigas tienen una sección

rectangular de 30cm de ancho por 40cm de altura (30 x 40), los entrepisos y la cubierta consisten en

una placa maciza de 20cm de espesor, tanto las vigas como las placas son en concreto de 21Mpa.

5 GARCÍA REYES, Luís Enrique. Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico. Bogotá : Universidad de los Andes, 1998. p.9

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Figura No.2 – Planta estructural

Figura No.3 – Pórtico literal

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Figura No.4 – Pórtico Numeral

Figura No.5 – Modelo estructural

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4. ANÁLISIS MATRICIAL

El análisis matricial consiste en realizar un modelo matemático de una estructura espacial (en tres

dimensiones) o un pórtico plano, por medio de matrices de rigidez y flexibilidad, debido a que este

modelo matemático se basa en la rigidez solo es aplicable a estructuras de un material el cual tenga

un comportamiento elástico y lineal.

“Básicamente los métodos matriciales consisten en remplazar la estructura continua real por un

modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades pueden expresarse en

forma matricial”6.

4.1 OPERACIONES MATRICIALES

En el desarrollo de este modulo se requiere que el alumno entienda y domine el algebra matricial

tema que se podrá consultar en cualquier libro de algebra lineal y análisis estructural.

Para el presente módulo y por razones prácticas las operaciones matemáticas y matriciales se

realizaran por medio de software de distribución gratuita:

1. Scilab version 4.0 for Windows (98/2000/XP) ( http://www.scilab.org ) modelos matemáticos

2. Calc 3D Pro for Windows version 2.1.5 ( http://www.calc3d.com ) operaciones básicas

Este software y sus manuales se incluidos dentro del modulo RECURSOS del presente curso, se

recomienda instalarlos y familiarizarse con su manejo. Este software no es exclusivo, el alumno esta

en libertad de realizar las operaciones matriciales y matemáticas en un software de su preferencia

(hoja de calculó, mathlab u otros).

6 URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras 2ª ed. Bogotá : Editorial Escuela Colombiana de ingeniería, 2002. p.414

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4.2 SISTEMA DE COORDENADAS

Para una estructura y los elementos de que la componen, así como las fuerzas externas aplicadas

sobre ella, las fuerzas internas, deformaciones y demás propiedades y comportamientos; Se definen

dos sistemas de coordenadas.

4.2.1 Coordenadas globales: Contempla un sistema de coordenadas único para la localización de

la totalidad la estructura: La ubicación de los elementos dentro de ella (nodos y barras), la

localización de los puntos de aplicación de las fuerzas externas y la localización de los puntos de

apoyo o restricciones de la estructura.

Figura No.6 – Coordenadas globales

Cuando se habla de una estructura espacial, se considera que esta cualquiera que sea su

conformación se puede localizar por medio de tres coordenadas (X,Y,Z), siendo (X,Y) el plano

sobre el cual se apoya la estructura y “Z” la variable que representa la altura sobre el plano (X,Y) de

cualquier punto de la estructura.

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Cuando tratamos de un pórtico plano se hace referencia uno de los planos: (X,Z) o (Y,Z).

Dependiendo como se encuentre orientado dentro de la estructura, continuando con filosofía de

mantener los ejes “X” e “Y” como los ejes sobre el cual se apoya el pórtico, y “Z” la cota que

representa la altura de un punto con respecto al plano de apoyo.

4.2.2 Coordenadas locales: Dado de que una estructura esta compuesta básicamente por un sistema

de nodos unidos por medio de barras, cuando extraemos o aislamos una barra de la estructura,

tenemos que en ese momento podemos expresar cualquier punto sobre la barra de manera local con

respecto a ella misma.

Figura No.7 – Coordenadas locales

De esta forma podremos referirnos a las coordenadas locales como aquellas por medio de las cuales

expresaremos las propiedades y el comportamiento de un elemento de dentro de una estructura

(dimensiones, orientación, fuerzas internas, desplazamientos, deformaciones, etc.).

Todo elemento dentro de una estructura esta de limitado por dos nodos, uno de salida o inicial que

llamaremos “a” y el otro de llagada o final que llamaremos “b”, todo elemento siempre estará

orientado longitudinalmente con los puntos “a” y “b” condición de define la dirección del elemento;

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Al trazar un recta de “a” a “b” por el centroide del elemento, encontraremos el eje principal del

elemento que llamaremos “1”, sobre este eje podemos medir la fuerza axial del elemento. Al trazar

una perpendicular de ángulo positivo al eje “1”, encontraremos el eje “2” sobre el cual es posible

medir fuerza cortante y deflexiones. El punto de intersección de los ejes “1” y “2”, es el punto de

partida del eje “3”, el cual forma un sistema ortogonal con los ejes “1” y “2”, en torno al eje “3” se

observan los momentos de flexión del elemento.

4.2.3 Transformación de coordenadas: Teniendo en cuenta la configuración geométrica de una

estructura cualquiera, en esta tendremos elementos en diferentes direcciones y posiciones, ya sean

verticales, horizontales o inclinados.

Al realizar el modelo matemático de dicha estructura, se hace necesario expresar estos elementos en

cualquiera de los sistemas de coordenadas, en principio expresaremos un elemento en sus

coordenadas locales para expresar sus propiedades geométricas y mecánicas, pero al integrar este a

la estructura, existe la necesidad de expresar este elemento en coordenadas globales.

Partiendo del principio básico que una estructura esta localizada por medio de un sistema de

coordenadas globales, es necesario transformar las coordenadas locales de los elementos, para

poderlos expresar en coordenadas globales cuando estos se ensamblan para conformar la estructura.

Tomando un elemento cualquiera el cual se encuentra inclinado con respecto al sistema de

coordenadas global un ángulo “α”, es decir el eje local “1” del elemento forma un ángulo de valor

“α” con respecto al eje global “X”, y el eje local “2” forma un ángulo de valor “α” con el eje global

“Y”, y el eje local 3 tiene el mismo sentido que el eje global Z; y el cual se encuentra sometido

sometidos a fuerzas “f” en sus extremos las cuales coinciden con los ejes locales del elemento, y

considerando los desplazamientos “u” que causan las fuerzas.

Para este elemento es posible expresar las fuerzas “f”, como componentes de fuerzas “F” en

coordenadas globales, con base a esto podemos expresar:

Fx = f1cosα + f2senα (7) (Fx es igual a la suma de las componentes de las fuerzas locales)

Fy = -f1senα + f2cosα (8) (Fy es igual a la suma de las componentes de las fuerzas locales)

Fz = f3 (9) (Fz es igual a la fuerza local f3)

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Estas ecuaciones de transformación las podemos representar matricialmente por medio de la matriz

[λ], en la cual consideraremos las ecuaciones de transformación en ambos sentidos del elemento:

[λ] =

cosα senα 0 0 0 0

-senα cosα 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cosα senα 0

0 0 0 -senα cosα 0

0 0 0 0 0 1

M1 matriz de transformación de coordenadas

Donde “α” es el ángulo recorrido desde eje local del elemento a el eje global, por lo general se toma

“α” como el ángulo recorrido desde el eje local “1” hasta el eje global “X”.

4.3 GRADOS DE LIBERTAD

Cuando hablamos de grado de libertad, nos referimos a los posibilidad de moviendo que posee un

nodo asociado a un elemento; Este nodo referenciado a un sistema de coordenadas locales tienes

seis grados de libertad, la posibilidad de desplazamiento a lo largo de los ejes locales 1, 2 y 3 y la

posibilidad de giro alrededor de los mismos ejes locales.

Constr

uApre

nde.c

om


27

Figura No.8 – Grados de libertad

Al referirnos a un pórtico plano, asociamos los grados de libertad con relación a las coordenadas

globales, para este caso solo existen tres grados de libertad, los desplazamientos sobre el plano de

referencia (x,z) o (y,z), y lo giros alrededor del eje perpendicular al plano sobre el cual nos estemos

refiriendo.

En el caso de un pórtico espacial o tridimensional, se consideran seis grados de libertad, los

desplazamientos en cada uno de los ejes (x,y,z), y los giros sobre cada uno de los planos que

conforman estos ejes. Pero por razones practicas solo se considera el giro alrededor del eje z sobre

el plano (x,y).

4.4 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO

Con base a las deformaciones que sufre un elemento, sometido a diferentes tipos de esfuerzo y

teniendo en cuenta la rigidez solicitada según cada deformación es posible establecer una matriz de

rigidez del elemento.

Constr

uApre

nde.c

om


28

Una matriz de rigidez es de orden 6x6 (seis filas por seis columnas), la cual esta compuesta por 4

sub-matrices de 3x3 (tres filas por tres columnas); Cada sub-matriz representa la rigidez del

elemento con respectos a sus extremos o nodos.

Figura No.9 – Matriz de rigidez de un elemento

Si consideramos un elemento de longitud “L”, sección “A”, momento de inercia “I”, de un material

con módulo de elasticidad “E”, el cual inicia en el nodo “i”, y finaliza en nodo “j” (del nodo “i” al

“j”), podemos considerar que su matriz de rigidez [ke] de 6x6, esta conformada por cuatro matrices

[kn] de 3x3.

[ke] = [kii] [kij] [kji] [kjj]

M2 matriz de rigidez de un elemento

[ke] : Matriz de rigidez del elemento de 6x6

[kii] : Sub-matriz de 3x3 que representa la rigidez del elemento con respecto al nodo de inicio “i”.

Posición (1,1) (fila 1, columna 1)

Constr

uApre

nde.c

om


29

[kij] : Sub-matriz de 3x3 que representa la rigidez del elemento del nudo “i” al nodo “j”. Posición

(1,2) (fila 1, columna 2)

[kji] : Sub-matriz de 3x3 que representa la rigidez del elemento del nudo “j” al nodo “i”. Posición

(2,1) (fila 2, columna 1)

[kjj] : Sub-matriz de 3x3 que representa la rigidez del elemento con respecto al nodo final “j”.

Posición (2,2) (fila 2, columna 2)

4.4.1 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas locales: Para poder lograr la elaboración

de un matriz de rigidez de un elemento, es necesario establecer vínculos entre las fuerzas aplicadas

en los extremos del elemento y los desplazamientos que estas causan, este vínculo es posible

lograrlo asumiendo desplazamientos unitarios en una dirección y restringiendo los desplazamientos

en las otras direcciones, y de esta forma hallar cada uno de los términos que van a constituir nuestra

matriz de rigidez.

Mediante esta metodología y aplicando el método “Ángulos de giro y deflexión” es posible hallar

todos los términos de la matriz de rigidez de un elemento, (Se recomienda consultar el Capítulo 8

del libro Dinámica Estructural Aplicada al diseño sísmico, de Luís Enrique García Reyes) donde se

detalla este procedimiento. Como resultado tendremos la siguiente matriz de rigidez de un elemento

en coordenadas locales:

[ke]=

AE L

0 0 -AE L

0 0

0

12EI L3

6EI L2

0 -12EI

L3 6EI L2

0

6EI L2

4EI L

0 -6EI L2

2EI L

-AE L

0 0 AE L

0 0

0

-12EI L3

-6EI L2

0 12EI

L3 -6EI L2

0

6EI L2

2EI L

0 -6EI L2

4EI L

M3 matriz de rigidez de un elemento en coordenadas locales

Ahora si expresamos la ecuación (4) en términos matriciales para un elemento tenemos:

Constr

uApre

nde.c

om


30

{f}=[ke]*{u} (10) (El vector de fuerzas es igual a la matriz de rigidez por el vector de desplazamientos)

Donde {F} corresponde al vector de fuerzas aplicadas el cual es de orden 6x1 (Seis filas por una

columna) y {u} es el vector de desplazamientos de orden 6x1 causados por las fuerzas. Esta

ecuación representa un sistema de ecuaciones simultáneas, el cual tiene la siguiente solución para

hallar los desplazamientos:

{u}=[ke]-1 * {f} (11) (El vector de desplazamientos es igual a la matriz inversa de rigidez por el vector de fuerzas)

En los problemas típicos de estructuras tenemos conocimiento de las cargas aplicadas y las

propiedades de los elementos, solo nos resta aplicar la ecuación (8) para hallar los desplazamientos.

Pero esta solución solo es validad para condiciones de cargas estáticas.

Ahora podremos representar el sistema matricial de un elemento en coordenadas locales asociado a

las fuerzas aplicadas y los desplazamientos causados:

fi1

=

AE L

0 0 -AE L

0 0

*

ui1

fi2

0 12EI

L3 6EI L2

0 -12EI

L3 6EI L2

ui2

fi3

0 6EI L2

4EI L

0 -6EI L2

2EI L

ui3

fj1 -AE

L 0 0

AE L

0 0 uj1

fj2

0 -12EI

L3 -6EI L2

0 12EI

L3 -6EI L2

uj2

fj3

0 6EI L2

2EI L

0 -6EI L2

4EI L

uj3

S1 sistema matricial para análisis estático de un elemento en coordenadas globales

El subíndice “i” corresponde al nodo inicial del elemento, el subíndice “j” corresponde al nodo final

del elemento, estos dos nodos definen el sentido del elemento y por tanto la dirección de los ejes

locales 1, 2 Y 3

Constr

uApre

nde.c

om


31

4.4.2 Ejemplos matriz de rigidez de un elemento en coordenadas locales:

Del modelo estructural tenemos dos elementos tipo columnas (0.30 x 030 x 3.00) y (0.30 x 0.30 x

2.60). Y tres elementos tipo viga (0.30 x 0.40 x 4.00), (0.30 x 0.40 x 5.00) y (0.30 x 0.40 x 6.00)

Ejemplo 01: Desarrollamos paso a paso el procedimiento para hallar la matriz de rigidez [ke] en

coordenadas locales del elemento tipo columna (0.30 x 0.30 x 3.00) del modelo estructural:

Como se trata de la matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales, no nos interesa la

ubicación del elemento dentro de la estructura, ni tampoco el sentido del elemento.

Primero definimos las propiedades del elemento

b = 0.30m, h = 0.30m, L = 3.00m, f’c = 28Mpa

A = b * h A = 0.30m * 0.30m = 0.09m2

3

12

1bhI 3)30.0(*)30.0(

12

1mmI = 0.000675m4

cfE '3900 283900E = 20636.86Mpa

Segundo hallamos los valores de cada casilla de la matriz M3, de la forma k(fila)(columna)

Primera fila:

m

MPam

L

AEk

00.3

86.20636*09.0 2

11 619.11Mpa*m = 619.11MN/m

(Sabiendo que 1Pa = 1 N/m2 1Mpa = 1MN/m2 1Mpa*m = 1(MN/m2)*m = 1MN/m)

k12 y k13 = 0

k14 = -k11 = -619.11MN/m

k15 y k16 = 0

Segunda fila:

k21 =0

3

4

322 )00.3(

0.000675m*86.20636*1212

m

MPa

L

EIk 6.19Mpa*m = 6.19MN/m

Constr

uApre

nde.c

om


32

2

4

223 )00.3(

0.000675m*86.20636*66

m

MPa

L

EIk 9.29Mpa*m2 = 9.29MN/m2

k24 = 0

k25 = -k22 = -6.19MN/m

k26 = k23 = 9.29MN/m2

Tercera fila:

k31 = 0

k32 = k23 = 9.29MN/m2

m

MPa

L

EIk

00.3

0.000675m*86.20636*44 4

33 18.57Mpa*m3 = 111.44MN/m3

k34 = 0

k35 = -k32 = -9.29MN/m2

m

MPa

L

EIk

00.3

0.00405m*86.20636*22 4

36 9.29Mpa*m3 = 55.72MN/m3

Cuarta fila

k41 = -k11 = -619.11MN/m

k42 y k43 = 0

k44 = k11 = 619.11MN/m

k45 y k46 = 0

Quinta fila

k51 = 0

k52 = -k22 = -6.19MN/m

k53 = -k23 = -9.29MN/m2

k54 = 0

k55 = k22 = 6.19MN/m

k56 = k53 = -9.29MN/m2

Sexta fila

k61 = 0

Constr

uApre

nde.c

om


33

k62 = k32 = 9.29MN/m2

k63 = k36 = 9.29MN/m3

k64 = 0

k65 = k35 = -9.29MN/m2

k66 = k33 = 18.57MN/m3

Una vez hallados los términos los ubicamos en su respectiva posición en la matriz de rigidez del

elemento:

[ke]=

619.11 0 0 -619.11 0 0 MN/m 0 6.19 9.29 0 -6.19 9.29 MN/m 0 9.29 18.57 0 -9.29 9.29 MN*m/rad -619.11 0 0 619.11 0 0 MN/m 0 -6.19 -9.29 0 6.19 -9.29 MN/m 0 9.29 9.29 0 -9.29 18.57 MN*m/rad

Ejemplo 02: Desarrollamos paso a paso el procedimiento por medio de la aplicación scilab para

hallar la matriz de rigidez [ke] en coordenadas locales del elemento tipo viga (0.30 x 0.40 x 6.00)

del modelo estructural:

//Viga (0.30x0.40x6.00) // Propiedades b=0.30 h=0.40 A=b*h I=(1/12)*b*(h^3) fc=21 E=3900*sqrt(fc) L=6.00 //Primera fila k11=(A*E)/L k12=0 k13=0 k14=-(A*E)/L k15=0 k16=0 //Segunda fila k21=0 k22=(12*E*I)/(L^3) k23=(6*E*I)/(L^2) k24=0 k25=-(12*E*I)/(L^3) k26=(6*E*I)/(L^2)

Constr

uApre

nde.c

om


34

//Tercera fila k31=0 k32=(6*E*I)/(L^2) k33=(4*E*I)/L k34=0 k35=-(6*E*I)/(L^2) k36=(2*E*I)/L //Cuarta fila k41=-(A*E)/L k42=0 k43=0 k44=(A*E)/L k45=0 k46=0 //Quinta fila k51=0 k52=-(12*E*I)/(L^3) k53=-(6*E*I)/(L^2) k54=0 k55=(12*E*I)/(L^3) k56=-(6*E*I)/(L^2) //Sexta fila k61=0 k62=(6*E*I)/(L^2) k63=(2*E*I)/L k64=0 k65=-(6*E*I)/(L^2) k66=(4*E*I)/L //Matriz de rigidez ke=[k11 k12 k13 k14 k15 k16 k21 k22 k23 k24 k25 k26 k31 k32 k33 k34 k35 k36 k41 k42 k43 k44 k45 k46 k51 k52 k53 k54 k55 k56 k61 k62 k63 k64 k65 k66]

Al ejecutar el programa hallamos la matriz de rigidez:

[ke]=


Actividad 01: Hallar la matriz de rigidez en coordenadas locales de los elementos restantes.

4.4.3 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales: Los elementos de una

estructura se deben referir a un mismo sistema de coordenadas para sus correcto análisis, pues en

Constr

uApre

nde.c

om


35

una estructura hay tantos ejes locales como elementos, estos elementos que para una estructura

normal tienden a ser típicos (un elemento se repite varias veces dentro de la misma estructura) tanto

para representar vigas como para representar columnas. Por esta y otras razones prácticas es

conveniente expresar todos los elementos de una estructura en coordenadas globales, además que en

este sistema de coordenadas se encuentran las cargas que aplicaremos a la estructura.

Con esto presente debemos establecer un sistema de fuerzas “F”, rigidez “K” y desplazamientos

“U”, todos en coordenadas globales, para llegar a este sistema seguiremos unas operaciones

matriciales adecuadas:

{F} = [λ] {f} (12) (El vector de fuerzas en coordenadas globales es igual a la matriz de

transformación por el vector de fuerzas en coordenadas locales)

[K] = [λ] [ke] [λ]T (13) (La matriz de rigidez en coordenadas globales es igual a la matriz de

transformación por la matriz de rigidez en coordenadas locales, por la transpuesta

de la matriz de transformación)

{F} = [K] {U} (14) (Sistema de rigidez análogo a la ecuación (10), pero en coordenadas globales)

De esta forma llegamos a la matriz de rigidez para un elemento en coordenadas globales:

[K]=ρ

βc2+12s2 sc(12-β) 6Ls -βc2-12s2 sc(β-12) 6Ls sc(12-β) βs2+12c2 6Lc sc(β-12) -βs2-12c2 6Lc 6Ls 6Lc 4L2 -6Ls -6Lc 2L2 -βc2-12s2 sc(β-12) -6Ls βc2+12s2 sc(12-β) -6Ls sc(β-12) -βs2-12c2 -6Lc sc(12-β) βs2+12c2 -6Lc 6Ls 6Lc 2L2 -6Ls -6Lc 4L2

M4 matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales

Donde:

3L

EI (15) (El factor “ρ” es igual al del módulo de elasticidad por la inercia sobre la longitud del

elemento al cubo)

Constr

uApre

nde.c

om


36

I

AL2

(16) (El factor “β” es igual al área por la longitud del elemento al cuadrado sobre la inercia)

s = senα, c = cosα

“α” es el Angulo del eje local “1” a el eje global “X”

4.4.4 Ejemplos matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales:

Ejemplo 03: Realizamos los pasos necesario para hallar la matriz de rigidez [Ke] en coordenadas

globales del elemento tipo columna (0.30 x 0.30 x 3.00) del modelo estructural.

Antes de realizar la matriz de un elemento en coordenadas globales, debemos definir la dirección

del eje local del elemento y la posición de este con respecto al sistema de coordenadas global, de

forma tal que podamos definir el ángulo entre el eje local del elemento y el eje global

correspondiente.

Figura No.10 – Ejes locales

Constr

uApre

nde.c

om


37

En la figura No.10 se definen los ejes locales “1” de los elementos y su sentido, los cuales están

contenidos en el plano XZ.

Figura No.11 – Ángulos ejes locales

Es buena práctica orientar los ejes locales de los elementos de izquierda a derecha, y de arriba a

bajo, el ángulo siempre se mide del eje local al eje global como se muestra en figura No.11.

Luego de definir la orientación de los ejes locales y hallar los ángulos, procedemos a hallar las

propiedades del elemento.

Α = 90º, b = 0.30m, h = 0.30m, L = 3.00m, f’c = 28Mpa

A = b * h A = 0.30m * 0.30m = 0.09m2

3

12

1bhI 3)30.0(*)30.0(

12

1mmI = 0.000675m4

cfE '3900 283900E = 20636.86Mpa

Halladas las propiedades del elemento, calculamos las variables de la matriz:

Constr

uApre

nde.c

om


38

34

3 00.3

000675.0*86.20636

m

mMPa

L

EI =0.52Mpa*m = 0.52MN/m

4

222

000675.

00.3*09.0

m

mm

I

AL 1200

s = seno(α) = seno(90) = 1

c = coseno(α) = coseno(90) = 0

Luego hallamos los valores de cada casilla de la matriz M4, de la forma k(fila)(columna)

k11 = βc2 + 12s2 = 12.00

k12 = sc(12 – β) = 0.00

k13 = 6Ls = 18.00

k14 = -βc2 – 12s2 = -12.00

k15 = sc(β – 12) = 0.00

k16 = k13 = 18.00

k21 = k12 = 0.00

k22 = βs2 + 12c2 = 1200

k23 = 6Lc = 0.00

k24 = k15 = 0.00

k25 = -βs2 – 12c2 = -1200

k26 = k23 = 0.00

k31 = k13 = 18.00

k32 = k23 = 0.00

k33 = 4L2 = 36.00

k34 = -6Ls = -18.00

k35 = -6Lc = 0.00

k36 = 2L2 = 18.00

k41 = k14 = -12.00

k42 = k15 = 0.00

Constr

uApre

nde.c

om


39

k43 = k34 = -18.00

k44 = k11 = 12.00

k45 = k12 = 0.00

k46 = k43 = -18.00

k51 = k15 = 0.00

k52 = k25 = -12.00

k53 = k35 = 0.00

k54 = k12 = 0.00

k55 = k22 = 12.00

k56 = k53 = 0.00

k61 = k13 = 18.00

k62 = k23 = 0.00

k63 = k36 = 18.00

k64 = k34 = -18.00

k65 = k35 = 0.00

k66 = k33 = 36.00

[Ke]= 0.52

12 0 18 -12 0 18 MN/m 0 1200 0 0 -1200 0 MN/m 18 0 36 -18 0 18 MN*m/rad -12 0 -18 12 0 -18 MN/m 0 -1200 0 0 1200 0 MN/m 18 0 18 -18 0 36 MN*m/rad

Al comparar la matriz del ejemplo 01, vemos que es diferente a la matriz del ejemplo 03, teniendo

en cuenta que se trata del mismo elemento.

Ejemplo 04: Desarrollamos paso a pso el procedimiento por medio de la aplicación scilab para

hallar la matriz de rigidez [Ke] en coordenadas globales del elemento tipo viga (0.30 x 0.40 x 6.00)

del modelo estructural:

Constr

uApre

nde.c

om


40

//Viga tipo 3 Coordenadas globales

// Propiedades

alfa=0

b=0.30

h=0.40

A=b*h

I=(1/12)*b*(h^3)

fc=21

E=3900*sqrt(fc)

L=6.00

ro=(E*I)/(L^3)

bta=(A*(L^2))/I

s=0

c=1

//Primera fila

k11=(bta*(c^2))+(12*(s^2))

k12=s*c*(12-bta)

k13=6*L*s

k14=-(bta*(c^2))-(12*(s^2))

k15=s*c*(bta-12)

k16=6*L*s

//Segunda fila

k21=s*c*(12-bta)

k22=(bta*(s^2))+(12*(c^2))

k23=6*L*c

k24=s*c*(bta-12)

k25=-(bta*(s^2))-(12*(c^2))

k26=6*L*c

//Tercera fila

k31=6*L*s

k32=6*L*c

k33=4*(L^2)

k34=-6*L*s

k35=-6*L*c

k36=2*(L^2)

//Cuarta fila

Constr

uApre

nde.c

om


41

k41=-(bta*(c^2))-(12*(s^2))

k42=s*c*(bta-12)

k43=-6*L*s

k44=(bta*(c^2))+(12*(s^2))

k45=s*c*(12-bta)

k46=-6*L*s

//Quinta fila

k51=s*c*(bta-12)

k52=-(bta*(s^2))-(12*(c^2))

k53=-6*L*c

k54=s*c*(12-bta)

k55=(bta*(s^2))+(12*(c^2))

k56=-6*L*c

//Sexta fila

k61=6*L*s

k62=6*L*c

k63=2*(L^2)

k64=-6*L*s

k65=-6*L*c

k66=4*(L^2)

//Matriz de rigidez

Ke=[k11 k12 k13 k14 k15 k16

k21 k22 k23 k24 k25 k26

k31 k32 k33 k34 k35 k36

k41 k42 k43 k44 k45 k46

k51 k52 k53 k54 k55 k56

k61 k62 k63 k64 k65 k66]

[Ke]= 0.13

2700 0 0 -2700 0 0 MN/m 0 12 36 0 -12 36 MN/m 0 36 144 0 -36 72 MN*m/rad -2700 0 -0 2700 0 0 MN/m 0 -12 -36 0 12 -36 MN/m 0 36 72 0 -36 144 MN*m/rad

Actividad 02: Hallar la matriz de rigidez en coordenadas globales de los elementos restantes.

Constr

uApre

nde.c

om


42

4.5 ENSAMBLAJE DE UN PÓRTICO PLANO

Un pórtico plano esta compuesto por una serie de elementos (vigas y columnas) unidos en sus

extremos por nodos en común según la disposición del pórtico. El ensamblaje consiste en tomar la

matriz de rigidez en coordenadas globales, y ubicar cada una de sus sub-matrices en le nodo

correspondiente a la matriz de rigidez total del pórtico.

4.5.1 Numeración de nodos: Los nodos son los puntos en donde inician y/o finalizan elementos,

también sobre estos se representan las condiciones de borde de la estructura (restricciones). Una

metodología sencilla con el fin de simplificar el proceso de ensamblado del pórtico es numerar los

puntos en un orden específico, de tal forma sean fácilmente identificables los grados de libertad.

Esta numeración es recomendable realizarla en sentido izquierda a derecha y de arriba abajo,

empezando por el nodo superior izquierdo.

4.5.2 Numeración de elementos: Los elementos del tipo de pórtico que estamos considerando para

este curso son vigas y columnas, entendiendo las vigas como elementos horizontales y las columnas

como elementos verticales.

Siendo consecuentes con la metodología para numeración de nodos, seguiremos el mismo

procedimiento para el numerado de los elementos, iniciando por las vigas desde la superior

izquierda, hasta la inferior derecha, y luego seguimos numerando las columnas de forma

consecutiva y bajo los mismos criterios.

4.5.3 Ensamblaje de la matriz de rigidez: Después de realizar la numeración de los elementos

podremos identificar dentro del pórtico cualquier elemento de nombre “n”, el cual inicia en el nodo

“i” y finaliza en el nodo “j”.

Como paso siguiente se debe elaborar una matriz cuadrada, cuyo orden lo dicta la cantidad de nodos

del pórtico, en otras palabras si hay m nodos, se debe realizar un matriz de orden (m * m), donde las

columnas de izquierda a derecha representan los nodos del “1” al “m”, los cuales también están

representados en la filas de arriba abajo.

Constr

uApre

nde.c

om


43

Ahora debemos identificar en nuestra matriz de rigidez en coordenadas globales de cada elemento

cual de sus sub-matrices aporta su rigidez a que nodo; En los nodos donde inician y/o terminan

varios elementos se debe sumar la rigidez que aporta cada sub-matriz de cada elemento.

Figura No.12 – Ensamblaje pórtico

Aplicados correcta y ordenadamente estos procedimientos hallaremos la matriz de rigidez de un

pórtico plano:

1 2 .. .. .. m

[Kp] =

.. .. .. .. .. .. 1 .. [Kaaa] .. [Kabb] .. .. 2 .. .. .. .. .. .. .. .. [Kaba] .. [Kabb] .. .. .. .. .. .. .. [Kbaa]+ [Kcbb] .. .. .. .. .. .. .. .. m

M5 ensamblaje matriz de rigidez de un pórtico plano

4.5.4 Apoyos en la estructura: Para la matriz M5 se deben definir las restricciones de los apoyos.

Debemos tener en cuenta que cada nodo de un pórtico plano tiene tres grados de libertad, esto

indica que para la matriz M5, cada columna y cada fila representa tres grados de libertad.

Constr

uApre

nde.c

om


44

Considerando el pórtico empotrado, es evidente que cada apoyo tiene tres restricciones; Por lo tanto

para introducir las restricciones de los apoyos debemos eliminar de la matriz M5 las filas y

columnas correspondientes a los nodos empotrados.

4.5.5 Ejemplo ensamblaje de un pórtico plano

Ejemplo 05: Realizar el ensamblaje del pórtico plano:

Copia – Figura No.13 – Pórtico Numeral

Este pórtico esta compuesto por dos luces de 4.00m, con vigas de (30 x 40) en concreto de 21Mpa.

Y tres niveles, la altura del primer nivel es de 3.00m y los otros dos son de 2.60m de altura, todas

las columnas son de (30 x 30) en concreto de 28Mpa.

1. Elementos: Como primer paso debemos realizar la matriz de rigidez en coordenadas globales de

todos los elementos, identificando en cada matriz la submatrices que reflejan el comportamiento de

cada elemento con respecto a sus extremos.

Para este pórtico tenemos vigas tipo de (0.30 x 0.40 x 4.00) cuya matriz de rigidez llamaremos Kv4,

también tenemos columnas tipo de (0.30 x 0.30 x 3.00) cuya matriz de rigidez llamaremos Kc3, y

Constr

uApre

nde.c

om


45

por último tememos columnas tipo de (0.30 x 0.30 x 2.60) cuya matriz de rigidez llamaremos Kc2.

Con procedimientos seguidos en el ejemplo 04 tenemos:

[kv4aa] [kv4ab]

[Kv4]=


[kv4ba] [kv4bb]

[kc3ii] [kc3ij]

[Kc3]=

6.19 0 9.29 -6.19 0 9.29 MN/m 0 619.11 0 0 -619.11 0 MN/m 9.29 0 18.57 -9.29 0 9.29 MN*m/rad -6.19 0 -9.29 6.19 0 -9.29 MN/m 0 -619.11 0 0 619.11 0 MN/m 9.29 0 9.29 -9.29 0 18.57 MN*m/rad

[kc3ji] [kc3jj]

Kc2aa] [kc2ab]

[Kc2]=

9.51 0 12.36 -9.51 0 12.36 MN/m 0 714.35 0 0 -714.35 0 MN/m 12.36 0 21.43 -12.36 0 10.72 MN*m/rad -9.51 0 -12.36 9.51 0 -12.36 MN/m 0 -714.35 0 0 714.35 0 MN/m 12.36 0 10.72 -12.36 0 21.43 MN*m/rad

[kc2ba] [kc2bb]

Constr

uApre

nde.c

om


46

2. Numeración de nodos y elementos

Figura No.14 – Numeración de nodos y elementos

Numerados los nodos observamos que en total son 12 nodos para este pórtico, también observamos

que los elementos tipo viga numerados del 1 al 6 su rigidez está representada por la matriz Kv4, los

elementos del 7 al 12 su rigidez se representa por medio de la matriz Kc2 y los elementos

numerados del 13 al 15 su rigidez esta representada por la matriz kc3. Debemos prestar especial

atención a los nudos 10, 11 y 12, pues estos representan las apoyos del pórtico. No sobra anotar que

cada elemento tiene un nodo inicial y un nodo final, y debido al sentido como se numero cada

elemento va del nodo menor al mayor ( i → j)

3. Ensamblaje del pórtico: Debemos realizar una matriz cuadrada cuyo orden corresponde al

número de nodos del pórtico, y sobre esta matriz ubicamos las submatrices correspondientes a cada

nodo.

Observando la figura No.7 podemos ver que en el nudo (1) empieza el elemento [1] y [7], por lo

tanto a la casilla [1,1] le corresponde la suma de las submatrices [Kv4aa]+[Kc2aa], también se puede

observar que elemento [1] se dirige del nodo (1) a el nodo (2) razón por la cual a la casilla [1,2]

lleva la submatriz [Kv4ab], y como el elemento [7] inicia en el nodo (1) y finaliza en el nodo (4) la

Constr

uApre

nde.c

om


47

casilla [1,4] contiene la submatriz [Kc2ab]. Las demás casillas de la fila 1 no tienen valores

asociados debido a que no hay más elementos que inicien o finalicen en el nodo (1).

De forma similar llenamos las casillas de la fila 2, por comodidad empecemos con la casilla [2,2],

del nodo dos salen los elementos [2] [Kv4aa] y [8] [Kc2aa] y llega el elemento [1] [Kv4bb] por lo

tanto en esta casilla esta compuesta por [Kv4aa]+[Kc2aa]+[Kv4bb]. Ahora observemos que el nodo

(2) esta asociado con el nodo (1) por medio del elemento [1] por lo que en la casilla [2,1] contiene

[Kv4ba]. Bajo el mismo concepto tenemos en la casilla [2,3] [Kv4ab], en la casilla [2,5] [Kc2ab].

Este proceso se repite en todos los nodos bajo el mismo concepto hasta completar el ensamblaje de

la matriz de rigidez del pórtico.

Una vez ensamblado el pórtico debemos incluir en esta matriz las restricciones por los apoyos,

debido a que los apoyos del este pórtico son totalmente empotrados, basta con eliminar las filas y

columnas correspondientes a los nodos de los apoyos, es decir eliminar las filas y columnas 10, 11 y

12.

Como resultado tendremos una matriz de (9x9) correspondiente al ensamblaje del pórtico, pero se

debe tener en cuenta que cada sub-matriz que aporta su rigidez al nudo es de (3x3), esto quiere decir

que al realizar las operaciones matriciales del pórtico ensamblado con su valores correspondientes

llegaremos a una matriz de (27x27).

Con

struA

prend

e.com


48

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 nodos

[Kv4ii]+[Kc2ii] [Kv4ij] [Kc2ij] 1

[Kv4ji] [Kv4ii]+[Kc2ii]

+[Kv4jj] [Kv4ij] [Kc2ij] 2

[Kv4ji] [Kv4jj]+[Kc2ii] [Kc2ij] 3

[Kc2ji] [Kc2jj]+[Kv4ii]

+[Kc2ii] [Kv4ij] [Kc2ij] 4

[Kc2ji] [Kv4ji]

[Kc2jj]+[Kv4jj]

+[Kv4ii]

+[Kc2ii]

[Kv4ij] [Kc2ij] 5

[Kc2ji] [Kv4ji] [Kc2jj]+[Kv4jj]

+[Kc2ii] [Kc2ij] 6

[Kc2ji] [Kc2jj]+[Kv4ii]


[Kc2ji] [Kv4ji]

[Kc2jj]+[Kv4jj]

+[Kv4ii]

+[Kc3ii]

[Kv4ij] [Kc3ij] 8

[Kc2ji] [Kv4ji] [Kc2jj]+[Kv4jj]

+[Kc3ii] [Kc3ij] 9

[Kc3ji] [Kc3jj] 10

[Kc3ji] [Kc3jj] 11

[Kc3ji] [Kc3jj] 12

Matriz de ensamblaje del pórtico.

Constr

uApre

nde.c

om


49

1 2 3 4 5 6 7 8 9 nodos

[Kv4ii]+[Kc2ii] [Kv4ij] [Kc2ij] 1

[Kv4ji] [Kv4ii]+[Kc2ii]+[Kv4jj] [Kv4ij] [Kc2ij] 2

[Kv4ji] [Kv4jj]+[Kc2ii] [Kc2ij] 3

[Kc2ji] [Kc2jj]+[Kv4ii]+[Kc2ii] [Kv4ij] [Kc2ij] 4

[Kc2ji] [Kv4ji] [Kc2jj]+[Kv4jj]+[Kv4ii]


[Kc2ji] [Kv4ji] [Kc2jj]+[Kv4jj]+[Kc2ii] [Kc2ij] 6

[Kc2ji] [Kc2jj]+[Kv4ii]+[Kc3ii] [Kv4ij] 7

[Kc2ji] [Kv4ji] [Kc2jj]+[Kv4jj]+[Kv4ii]

+[Kc3ii] [Kv4ij] 8

[Kc2ji] [Kv4ji] [Kc2jj]+[Kv4jj]+[Kc3ii] 9

Matriz de ensamblaje del pórtico incluyendo restricción de los apoyos.

Con

struA

prend

e.com


50

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

545.67 0.00 12.36 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12.36 0.00 0.00 0.000.00 719.71 10.72 0.00 -5.36 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00

12.36 10.72 50.03 0.00 -10.72 14.30 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00-536.16 0.00 0.00 1081.83 0.00 12.36 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12.36

0.00 -5.36 -10.72 0.00 725.08 0.00 0.00 -5.36 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.000.00 10.72 14.30 12.36 0.00 78.62 0.00 -10.72 14.30 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10.720.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.00 545.67 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.72 0.00 719.71 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.30 12.36 -10.72 50.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 555.18 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.000.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1434.07 10.72 0.00 -5.36 10.72

12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 71.46 0.00 -10.72 14.300.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.00 1091.34 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.72 0.00 1439.43 0.000.00 0.00 0.00 12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.30 0.00 0.00 100.050.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.720.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.300.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -12.360.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 10.720.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

sigue

Matriz pórtico ensamblado incluyendo restricción de los apoyos (parcial).

Constr

uApre

nde.c

om


51

6 7 8 9 nodo 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5 2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6

-9.51 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8 3

-12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 9 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 11 4 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12

-536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 13 0.00 -5.36 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 14 5 0.00 -10.72 14.30 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 15

555.18 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12.36 16 0.00 1434.07 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 17 6 0.00 -10.72 71.46 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10.72 18 0.00 0.00 0.00 551.86 0.00 -3.08 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 19 0.00 0.00 0.00 0.00 1338.82 10.72 0.00 -5.36 10.72 0.00 0.00 0.00 20 7 0.00 0.00 0.00 -3.08 10.72 68.60 0.00 -10.72 14.30 0.00 0.00 0.00 21 0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.00 1088.02 0.00 -3.08 -536.16 0.00 0.00 22 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.72 0.00 1344.18 0.00 0.00 -5.36 10.72 23 8 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.30 -3.08 0.00 97.19 0.00 -10.72 14.30 24

-9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.00 551.86 0.00 -3.08 25 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.72 0.00 1338.82 -10.72 26 9

12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.30 -3.08 -10.72 68.60 27 viene

Matriz pórtico ensamblado incluyendo restricción de los apoyos (parcial).

Constr

uApre

nde.c

om


52

Para llegar a la matriz anterior se introdujo en la aplicación scilab:

//Ensamblaje pórtico

//fila 1

kp11=kv4ii+kc2ii

kp12=kv4ij

kp13=zeros(3,3)

kp14=kc2ij

kp15=zeros(3,3)

kp16=zeros(3,3)

kp17=zeros(3,3)

kp18=zeros(3,3)

kp19=zeros(3,3)

//fila 2

kp21=kv4ji

kp22=kv4ii+kc2ii+kv4jj

kp23=kv4ij

kp24=zeros(3,3)

kp25=kc2ij

kp26=zeros(3,3)

kp27=zeros(3,3)

kp28=zeros(3,3)

kp29=zeros(3,3)

//fila 3

kp31=zeros(3,3)

kp32=kv4ji

kp33=kv4jj+kc2ii

kp34=zeros(3,3)

kp35=zeros(3,3)

kp36=kc2ij

kp37=zeros(3,3)

kp38=zeros(3,3)

kp39=zeros(3,3)

//fila 4

kp41=kc2ji

kp42=zeros(3,3)

kp43=zeros(3,3)

Constr

uApre

nde.c

om


53

kp44=kc2jj+kv4ii+kc2ii

kp45=kv4ij

kp46=zeros(3,3)

kp47=kc2ij

kp48=zeros(3,3)

kp49=zeros(3,3)

//fila 5

kp51=zeros(3,3)

kp52=kc2ji

kp53=zeros(3,3)

kp54=kv4ji

kp55=kc2jj+kv4jj+kv4ii+kc2ii

kp56=kv4ij

kp57=zeros(3,3)

kp58=kc2ij

kp59=zeros(3,3)

//fila 6

kp61=zeros(3,3)

kp62=zeros(3,3)

kp63=kc2ji

kp64=zeros(3,3)

kp65=kv4ji

kp66=kc2jj+kv4jj+kc2ii

kp67=zeros(3,3)

kp68=zeros(3,3)

kp69=kc2ij

//fila 7

kp71=zeros(3,3)

kp72=zeros(3,3)

kp73=zeros(3,3)

kp74=kc2ji

kp75=zeros(3,3)

kp76=zeros(3,3)

kp77=kc2jj+kv4ii+kc3ii

kp78=kv4ij

kp79=zeros(3,3)

Constr

uApre

nde.c

om


54

//fila 8

kp81=zeros(3,3)

kp82=zeros(3,3)

kp83=zeros(3,3)

kp84=zeros(3,3)

kp85=kc2ji

kp86=zeros(3,3)

kp87=kv4ji

kp88=kc2jj+kv4jj+kv4ii+kc3ii

kp89=kv4ij

//fila 9

kp91=zeros(3,3)

kp92=zeros(3,3)

kp93=zeros(3,3)

kp94=zeros(3,3)

kp95=zeros(3,3)

kp96=kc2ji

kp97=zeros(3,3)

kp98=kv4ji

kp99=kc2jj+kv4jj+kc3ii

//matriz rigidez portico

KPN=[kp11 kp12 kp13 kp14 kp15 kp16 kp17 kp18 kp19

kp21 kp22 kp23 kp24 kp25 kp26 kp27 kp28 kp29







kp91 kp92 kp93 kp94 kp95 kp96 kp97 kp98 kp99]

Actividad 03: Realizar el ensamblaje del pórtico literal, teniendo en cuenta las restricciones de

los apoyos.

Constr

uApre

nde.c

om


55

4.6 ANÁLISIS ESTÁTICO (MÉTODO DE LA RIGIDEZ)

Expresando matricialmente la ecuación (14) {F} = [K] {U}, pero entendiendo que adecuada para el

pórtico:

{Fp} = [Kp] {Up} (17) (Sistema de ecuaciones múltiples de un pórtico plano)

Donde {Fp} es el vector de fuerzas estáticas aplicadas en los nodos, [Kp] el la matriz de rigidez del

pórtico plano y {Up} es el vector de desplazamientos causados por las fuerzas. Una vez hallados los

desplazamientos solucionando el sistema lineal, es posible hallar las reacciones de la estructura y las

fuerzas en los elementos.

Se debe tener en cuenta que para los nodos correspondientes a los apoyos de la estructura, los

desplazamientos son nulos (iguales a cero), razón por la cual las filas en el vector {Fp}

correspondientes a los apoyos de la estructura en la matriz M5 representan las reacciones en los

apoyos por lo tanto:

{Rp} = [KRp] {Up} (18) (Sistema de ecuaciones múltiples para los apoyos de un pórtico plano)

Donde {Rp} es el vector que representa las reacciones en los apoyos, [KRp] el la matriz de rigidez de

los nodos que representan los apoyos.

Con los desplazamientos {Up}, encontrados como solución para la ecuación (18) es posible hallar

las fuerzas en los elementos aplicando la ecuación (14).

4.7 IGUALACIÓN Y REDUCCIÓN DE GRADOS DE LIBERTAD

La igualación de grados de libertad corresponde al proceso en el cual se realiza un análisis de

evaluación de la estructura; por ejemplo si pensamos en el concepto de pórtico, es fácil asociar que

dos o más nodos de un mismo nivel, sobre el mismo grado de libertad tendrán el mismo

desplazamiento, por lo tanto es correcto y adecuado expresar todos estos nodos en función de un

solo grado de libertad. Al considerar que el nodo inicial y final de un elemento tienen el mismo

desplazamiento, estamos asumiendo el elemento como infinitamente rígido axialmente, esto quiere

Constr

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nde.c

om


56

decir que las deformaciones axiales del elemento son tan pequeñas en relación a su longitud, que se

pueden despreciar.

Figura No.15 – Elementos infinitamente rígidos

Cuando consideramos las columnas infinitamente rígidas axialmente y las relacionamos con la

restricción en el apoyo de las columnas, advertiremos que estos miembros no tienen

desplazamientos axiales, por tanto sus grados de libertad pueden ser excluidos.

Con relación a las fuerzas externas de la estructuras, tenemos que estas no son aplicadas en la

totalidad de los nodos, pero estas si causan algún tipo de comportamiento en la totalidad de los

nodos, debido a este fenómeno se puede realizar la condensación de grados de libertad, la cual

consiste en reducir la matriz a los grados de libertad donde hay fuerzas aplicadas y por ende

desplazamientos.

“La aplicación sucesiva del procedimiento de igualación de grados de libertad, más el de

condensación, nos ha llevado a un sistema con seis grados de libertad. El modelo matemático

resultante, no tiene la posibilidad de deformaciones axiales en sus elementos, y además está

limitado al empleo de fuerzas horizontales.”7

Para realizar la igualación de grados de libertad primero de sebe reordenar la matriz [Kp] de forma

tal que las filas y columnas de los grados de libertad horizontales sean las primeras dentro de la

matriz, le siguen los grados de libertad verticales y por último los grados de libertad rotacionales,

7 GARCÍA REYES, Luís Enrique. Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico. Bogotá : Universidad de los Andes, 1998. p.282

Constr

uApre

nde.c

om


57

una vez reordenada la matriz [Kp], procedemos realizar la igualación de grados de libertad

horizontales sumando las filas y columnas correspondientes a los grados de libertad horizontales a

un mismo nivel, luego procedemos a dividir la matriz resultante en cuatro submatrices dejando en

la primer matriz los grados de libertad horizontales y en la última los grados de libertad que

queremos condensar:

[Kp] = [Kp0] [Kp1] [Kp2] [Kp3]

M6 matriz de condensación

Donde [Kp] corresponde a la matriz de rigidez de un pórtico plano incluidas la restricciones por los

apoyos, al submatriz [Kp0] corresponde a la matriz de los grados de libertad a los que queremos

reducir la matriz, las submatrices [Kp1] y [Kp2] corresponden a matrices sobre las cuales se pivotea

para realizar la condensación y la matriz [Kp3] corresponde a la matriz de grados de libertad a

condensar. Esta condensación es posible realizando las siguientes operaciones matriciales:

[Kpc]=[ [Kp0]- [Kp1] [Kp3]-1[Kp2]]

4.7.1 Ejemplo igualación y reducción grados de libertad

EJEMPLO 06: Realizar la igualación y condensación de los grados de libertad de la matriz

ensamblada en el ejemplo anterior, hasta llegar un grado de libertad horizontal por piso.

Para este tipo de ejercicios lo recomendable es primero identificar en la matriz de rigidez del pórtico

los grados de libertad (horizontales, verticales y rotacionales).

Una vez identificados los grados de libertad reordenamos la matriz de forma tal que las primeras

filas y columnas correspondan a los grados de libertad horizontales, después los grados de libertad

verticales y por último los grados de libertad rotacionales.

Ordenada la matriz procedemos a igualar los grados de libertad horizontales, basta con sumar las

filas y columnas correspondientes , es decir sumamos los grados de libertad horizontales

correspondientes a los nodos (1), (2) y (3), los nodos (4), (5) y (6), y los nodos (7), (8) y (9).

Constr

uApre

nde.c

om


58

Ya con los grados de libertad horizontales igualados procedemos a condensar los grados verticales y

rotacionales, por lo tanto dividimos la matriz de tal forma que todos los grados de libertad verticales

y rotacionales queden incluidos en la matriz [Kp3] y los grados de libertad igualados queden en la

matriz [Kp1].

Con las submatrices desarrollamos la operación matricial:

[Kpc]=[ [Kp0]- [Kp1] [Kp3]-1[Kp2]]

Con lo cual reducimos la matriz de rigidez del pórtico solamente a un grado de libertad por piso, el

cual esta representado por los nodos donde se aplicaran las cargas.

No olvidar que esta reducción solo es factible para la aplicación de cargas horizontales.

Constr

uApre

nde.c

om


59

1 2 3 4 5 6 7 8 9 nodo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 id

1h 1v 1r 2h 2v 2r 3h 3v 3r 4h 4v 4r 5h 5v 5r 6h 6v 6r 7h 7v 7r 8h 8v 8r 9h 9v 9r grado

1h 1

KPN11 KPN12 KPN13 KPN14 KPN15 KPN16 KPN17 KPN18 KPN19 1v 2 1

1r 3

2h 4


2r 6

3h 7


3r 9

4h 10


4r 12

5h 13


5r 15

6h 16


6r 18

7h 19


7r 21

8h 22


8r 24

9h 25


9r 27

Matriz de identificación de grados de libertad

Donde “nh” es el grado de libertad horizontal para el nodo “n”, “nv” es el grado de libertad vertical para el nodo “n” y “nr” es el grado de

libertad rotacional para el nodo “n”.

Constr

uApre

nde.c

om


60

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1h 1v 1r 2h 2v 2r 3h 3v 3r 4h 4v 4r 5h 5v 5r

545.67 0.00 12.36 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12.36 0.00 0.00 0.000.00 719.71 10.72 0.00 -5.36 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00

12.36 10.72 50.03 0.00 -10.72 14.30 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00-536.16 0.00 0.00 1081.83 0.00 12.36 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12.36

0.00 -5.36 -10.72 0.00 725.08 0.00 0.00 -5.36 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.000.00 10.72 14.30 12.36 0.00 78.62 0.00 -10.72 14.30 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10.720.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.00 545.67 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.72 0.00 719.71 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.30 12.36 -10.72 50.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 555.18 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.000.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1434.07 10.72 0.00 -5.36 10.72

12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 71.46 0.00 -10.72 14.300.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.00 1091.34 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.72 0.00 1439.43 0.000.00 0.00 0.00 12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.30 0.00 0.00 100.050.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.720.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.300.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -12.360.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 10.720.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

sigue

Matriz pórtico ensamblado identificando los grados de libertad (parcial).

Constr

uApre

nde.c

om


61

6 7 8 9 nodo16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 id 6h 6v 6r 7h 7v 7r 8h 8v 8r 9h 9v 9r grado 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1h 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1v 2 10.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1r 3 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2h 4 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2v 5 20.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2r 6

-9.51 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3h 7 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3v 8 3

-12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3r 9 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4h 10 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4v 11 40.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4r 12

-536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 5h 13 0.00 -5.36 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 5v 14 50.00 -10.72 14.30 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 5r 15

555.18 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12.36 6h 16 0.00 1434.07 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 6v 17 60.00 -10.72 71.46 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10.72 6r 18 0.00 0.00 0.00 551.86 0.00 -3.08 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7h 19 0.00 0.00 0.00 0.00 1338.82 10.72 0.00 -5.36 10.72 0.00 0.00 0.00 7v 20 70.00 0.00 0.00 -3.08 10.72 68.60 0.00 -10.72 14.30 0.00 0.00 0.00 7r 21 0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.00 1088.02 0.00 -3.08 -536.16 0.00 0.00 8h 22 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.72 0.00 1344.18 0.00 0.00 -5.36 10.72 8v 23 80.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.30 -3.08 0.00 97.19 0.00 -10.72 14.30 8r 24

-9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.00 551.86 0.00 -3.08 9h 25 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.72 0.00 1338.82 -10.72 9v 26 9

12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.30 -3.08 -10.72 68.60 9r 27 viene

Matriz pórtico ensamblado identificando los grados de libertad (parcial).

Constr

uApre

nde.c

om


62

1h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v

545.67 -536.16 0.00 -9.51 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-536.16 1081.83 -536.16 0.00 -9.51 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 -536.16 545.67 0.00 0.00 -9.51 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-9.51 0.00 0.00 555.18 -536.16 0.00 -9.51 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 -9.51 0.00 -536.16 1091.34 -536.16 0.00 -9.51 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 -9.51 0.00 -536.16 555.18 0.00 0.00 -9.51 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 0.00 551.86 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -536.16 1088.02 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -536.16 551.86 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 719.71 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 725.08 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 719.71 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 1434.07 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1439.43 -5.36 0.00 -714.35 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1434.07 0.00 0.00 -714.35

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 1338.82 -5.36 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1344.18 -5.36

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1338.82

12.36 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 12.36 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 -10.72 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 -3.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 -3.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 -10.72

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 -3.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72

sigue

Matriz de rigidez reordenada por grados libertad (parcial).

Constr

uApre

nde.c

om


63

1r 2r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r

12.36 0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1h

0.00 12.36 0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 2h

0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 3h

-12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 4h

0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 5h

0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 6h

0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 -3.08 0.00 0.00 7h

0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 -3.08 0.00 8h

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 -3.08 9h

10.72 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1v

-10.72 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2v

0.00 -10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3v

0.00 0.00 0.00 10.72 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 4v

0.00 0.00 0.00 -10.72 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 5v

0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 6v

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 10.72 0.00 7v

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 0.00 10.72 8v

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 -10.72 9v

50.03 14.30 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1r

14.30 78.62 14.30 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 2r

0.00 14.30 50.03 0.00 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 3r

10.72 0.00 0.00 71.46 14.30 0.00 10.72 0.00 0.00 4r

0.00 10.72 0.00 14.30 100.05 14.30 0.00 10.72 0.00 5r

0.00 0.00 10.72 0.00 14.30 71.46 0.00 0.00 10.72 6r

0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 0.00 68.60 14.30 0.00 7r

0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 14.30 97.19 14.30 8r

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 14.30 68.60 9r

viene

Matriz de rigidez reordenada por grados libertad (parcial).

Constr

uApre

nde.c

om


64

1h+2h+3h 4h+5h+6h 7h+8h+9h 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 1r 2r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r

28.53 -28.53 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 12.36 12.36 12.36 12.36 12.36 0.00 0.00 0.00 1h+2h+3h

-28.53 57.06 -28.53 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 -12.36 -12.36 0.00 0.00 0.00 12.36 12.36 12.36 4h+5h+6h

0.00 -28.53 47.11 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 -12.36 -12.36 -3.08 -3.08 -3.08 7h+8h+9h

0.00 0.00 0.00 719.71 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1v

0.00 0.00 0.00 -5.36 725.08 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2v

0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 719.71 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3v

0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 1434.07 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 4v

0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1439.43 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 5v

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1434.07 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 6v

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 1338.82 -5.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 10.72 0.00 7v

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1344.18 -5.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 0.00 10.72 8v

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1338.82 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 -10.72 9v

12.36 -12.36 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 50.03 14.30 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1r

12.36 -12.36 0.00 10.72 0.00 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.30 78.62 14.30 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 2r

12.36 -12.36 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.30 50.03 0.00 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 3r

12.36 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 0.00 71.46 14.30 0.00 10.72 0.00 0.00 4r

12.36 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 14.30 100.05 14.30 0.00 10.72 0.00 5r

12.36 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 14.30 71.46 0.00 0.00 10.72 6r

0.00 12.36 -3.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 0.00 68.60 14.30 0.00 7r

0.00 12.36 -3.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 14.30 97.19 14.30 8r

0.00 12.36 -3.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 14.30 68.60 9r

Matriz de rigidez con igualación de grados libertad horizontales.

Constr

uApre

nde.c

om


65

1h+2h+3h 4h+5h+6h 7h+8h+9h 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 1r 2r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r

1h+2h+3h

[Kp0] [Kp1] 4h+5h+6h

7h+8h+9h

1v

2v

3v

4v

5v

6v

7v

8v

[Kp2] [Kp3] 9v

1r

2r

3r

4r

5r

6r

7r

8r

9r

Submatrices para realizar la condensación de grados de libertad verticales y rotacionales.

Con

struA

prend

e.com


66

Con la anterior división de la matriz tenemos:

1h+2h+3h 4h+5h+6h 7h+8h+9h 28.53 -28.53 0.00 1h+2h+3h[Kp0]= -28.53 57.06 -28.53 4h+5h+6h 0.00 -28.53 47.11 7h+8h+9h

1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 1r 2r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 12.36 12.36 12.36 12.36 12.36 0.00 0.00 0.00 1h+2h+3h[Kp1]= 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 -12.36 -12.36 0.00 0.00 0.00 12.36 12.36 12.36 4h+5h+6h 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 -12.36 -12.36 -3.08 -3.08 -3.08 7h+8h+9h

1h+2h+3h 4h+5h+6h 7h+8h+9h 0.00 0.00 0.00 1v 0.00 0.00 0.00 2v 0.00 0.00 0.00 3v 0.00 0.00 0.00 4v 0.00 0.00 0.00 5v 0.00 0.00 0.00 6v 0.00 0.00 0.00 7v 0.00 0.00 0.00 8v [Kp2]= 0.00 0.00 0.00 9v 12.36 -12.36 0.00 1r 12.36 -12.36 0.00 2r 12.36 -12.36 0.00 3r 12.36 0.00 -12.36 4r 12.36 0.00 -12.36 5r 12.36 0.00 -12.36 6r 0.00 12.36 -3.08 7r 0.00 12.36 -3.08 8r 0.00 12.36 -3.08 9r

Constr

uApre

nde.c

om


67

1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 1r 2r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r

719.71 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1v

-5.36 725.08 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2v

0.00 -5.36 719.71 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3v

-714.35 0.00 0.00 1434.07 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 4v

0.00 -714.35 0.00 -5.36 1439.43 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 5v

0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1434.07 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 6v

0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 1338.82 -5.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 10.72 0.00 7v

0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1344.18 -5.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 0.00 10.72 8v

[Kp3]= 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1338.82 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 -10.72 9v

10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 50.03 14.30 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1r

10.72 0.00 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.30 78.62 14.30 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 2r

0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.30 50.03 0.00 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 3r

0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 0.00 71.46 14.30 0.00 10.72 0.00 0.00 4r

0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 14.30 100.05 14.30 0.00 10.72 0.00 5r

0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 14.30 71.46 0.00 0.00 10.72 6r

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 0.00 68.60 14.30 0.00 7r

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 14.30 97.19 14.30 8r

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 14.30 68.60 9r

Constr

uApre

nde.c

om


68

Ahora invertimos la matriz [Kp3]:

0.00433 0.00010 -0.00002 0.00295 0.00009 -0.00002 0.00157 0.00005 -0.00001 -0.00072 -0.00045 0.00010 -0.00025 -0.00022 0.00001 -0.00017 -0.00013 0.00002

0.00010 0.00421 0.00010 0.00009 0.00284 0.00009 0.00005 0.00152 0.00005 0.00082 0.00000 -0.00082 0.00026 0.00000 -0.00026 0.00019 0.00000 -0.00019

-0.00002 0.00010 0.00433 -0.00002 0.00009 0.00295 -0.00001 0.00005 0.00157 -0.00010 0.00045 0.00072 -0.00001 0.00022 0.00025 -0.00002 0.00013 0.00017

0.00295 0.00009 -0.00002 0.00296 0.00007 -0.00001 0.00158 0.00004 -0.00001 -0.00047 -0.00030 0.00006 -0.00029 -0.00023 0.00002 -0.00017 -0.00013 0.00001

0.00009 0.00284 0.00009 0.00007 0.00287 0.00007 0.00004 0.00153 0.00004 0.00052 0.00000 -0.00052 0.00031 0.00000 -0.00031 0.00018 0.00000 -0.00018

-0.00002 0.00009 0.00295 -0.00001 0.00007 0.00296 -0.00001 0.00004 0.00158 -0.00006 0.00030 0.00047 -0.00002 0.00023 0.00029 -0.00001 0.00013 0.00017

0.00157 0.00005 -0.00001 0.00158 0.00004 -0.00001 0.00159 0.00003 0.00000 -0.00025 -0.00016 0.00003 -0.00014 -0.00012 0.00001 -0.00019 -0.00014 0.00002

0.00005 0.00152 0.00005 0.00004 0.00153 0.00004 0.00003 0.00156 0.00003 0.00028 0.00000 -0.00028 0.00015 0.00000 -0.00015 0.00022 0.00000 -0.00022

[Kp3]-1= -0.00001 0.00005 0.00157 -0.00001 0.00004 0.00158 0.00000 0.00003 0.00159 -0.00003 0.00016 0.00025 -0.00001 0.00012 0.00014 -0.00002 0.00014 0.00019

-0.00072 0.00082 -0.00010 -0.00047 0.00052 -0.00006 -0.00025 0.00028 -0.00003 0.02231 -0.00433 0.00115 -0.00352 0.00110 -0.00049 0.00068 -0.00021 0.00007

-0.00045 0.00000 0.00045 -0.00030 0.00000 0.00030 -0.00016 0.00000 0.00016 -0.00433 0.01467 -0.00433 0.00110 -0.00185 0.00110 -0.00021 0.00030 -0.00021

0.00010 -0.00082 0.00072 0.00006 -0.00052 0.00047 0.00003 -0.00028 0.00025 0.00115 -0.00433 0.02231 -0.00049 0.00110 -0.00352 0.00007 -0.00021 0.00068

-0.00025 0.00026 -0.00001 -0.00029 0.00031 -0.00002 -0.00014 0.00015 -0.00001 -0.00352 0.00110 -0.00049 0.01548 -0.00245 0.00055 -0.00252 0.00069 -0.00026

-0.00022 0.00000 0.00022 -0.00023 0.00000 0.00023 -0.00012 0.00000 0.00012 0.00110 -0.00185 0.00110 -0.00245 0.01109 -0.00245 0.00069 -0.00140 0.00069

0.00001 -0.00026 0.00025 0.00002 -0.00031 0.00029 0.00001 -0.00015 0.00014 -0.00049 0.00110 -0.00352 0.00055 -0.00245 0.01548 -0.00026 0.00069 -0.00252

-0.00017 0.00019 -0.00002 -0.00017 0.00018 -0.00001 -0.00019 0.00022 -0.00002 0.00068 -0.00021 0.00007 -0.00252 0.00069 -0.00026 0.01554 -0.00242 0.00051

-0.00013 0.00000 0.00013 -0.00013 0.00000 0.00013 -0.00014 0.00000 0.00014 -0.00021 0.00030 -0.00021 0.00069 -0.00140 0.00069 -0.00242 0.01118 -0.00242

0.00002 -0.00019 0.00017 0.00001 -0.00018 0.00017 0.00002 -0.00022 0.00019 0.00007 -0.00021 0.00068 -0.00026 0.00069 -0.00252 0.00051 -0.00242 0.01554

Luego multiplicamos las matrices [Kp1] y [Kp3]-1:

-0.02 0.00 0.02 -0.01 0.00 0.01 -0.01 0.00 0.01 0.20 0.08 0.20 0.13 0.08 0.13 -0.02 0.00 -0.02

[Kp1][Kp3]-1= 0.01 0.00 -0.01 0.01 0.00 -0.01 0.00 0.00 0.00 -0.23 -0.08 -0.23 0.01 0.00 0.01 0.16 0.08 0.16

0.01 0.00 -0.01 0.01 0.00 -0.01 0.00 0.00 0.00 0.03 0.00 0.03 -0.16 -0.08 -0.16 -0.02 -0.02 -0.02

Constr

uApre

nde.c

om


69

Ahora realizamos la operación [Kp1][Kp3]-1[Kp2]:

10.19 -6.42 -4.14

[Kp1][Kp3]-1[Kp2]= -6.42 11.61 -1.44 -4.14 -1.44 5.10

Finalmente realizamos la operación [Kp0]- [Kp1] [Kp3]-1[Kp2]:

18.34 -22.11 4.14

[Kpc] = [Kp0]-[Kp1][Kp3]-1[Kp2]= -22.11 45.46 -27.09 4.14 -27.09 42.01

De esta última operación resulta la matriz de rigidez condensada del pórtico (Y,Z), reducida a un

grado de libertad por piso.

Actividad 04: Condesar la matriz de rigidez del pórtico literal (Actividad 03), hasta llegar a

un grado de libertad horizontal por piso.

4.8 DIAFRAGMA RÍGIDO

Ahora si pensamos en una placa de entrepiso de una losa de una estructura, pensamos en un

elemento cuyas dimensiones de largo y ancho, son mucho mayores a su espesor. Si relacionamos el

largo y el ancho, con los ejes “X” e “Y”, y el pesor con el eje “Z”, y teniendo en cuenta el concepto

de infinitamente rígido el cual podemos aplicar a nuestra placa a los grados de libertad paralelos a

los ejes “X” e “Y”, por ende se puede afirmar que una losa o placa de un pórtico es infinitamente

rígida en su propio plano.

4.9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA

Cuando hablamos de estructura espacial, hablamos del ensamblaje de toda estructura en si, para esto

es necesario crear paso a paso cada pórtico típico con las consideraciones vistas, luego debemos

transformar las coordenadas de los pórticos planos, coordenadas de toda la estructura.

Constr

uApre

nde.c

om


70

Esto se hace realizando una transformación de grados de libertad, que en el caso de un pórtico plano

es un grado de libertad por piso, pero para una estructura espacial son tres grados de libertad por

piso.

Esta operación se realiza utilizando de una matriz de transformación la cual esta dada en función del

número de pisos, a demás del punto y ángulo de de rotación de cada pórtico.

[Tp] =

cosθn 0 0 senθn 0 0 rn 0 0 0 .. 0 0 .. 0 0 .. 0 0 0 cosθ1 0 0 senθ1 0 0 r1

M7 matriz de transformación de grados de libertad de un pórtico de n pisos

Donde “θ” corresponde al ángulo de giro, “n” es el número del piso o nivel, “r” es el centro de

masa de cada piso “n”.

senxxyyr ococn )(cos)( (19) (Localización del centro de masa para un pórtico en un piso n)

Donde “xc” y “yc

” corresponden a las coordenadas del centro de gravedad del piso y “xo” y “yo

”

corresponden a las coordenadas del punto de rotación del pórtico. Cabe anotar, que debido a la

configuración geométrica, dimensiones de elementos y otras variables, el centro de gravedad no

necesariamente es el mismo para cada piso, por ejemplo el centro de gravedad no es lo mimo para

un piso con un vació para la escalera, que una cubierta con muchos vacíos para iluminación, siendo

ambos de la misma estructura.

Con la matriz de rigidez condesada [Kpc] para cada pórtico y la matriz de transformación de

coordenadas [Tp] para cada pórtico, realizamos la siguiente operación matricial:

[Kpe] = [Tp][Kpc][Tp]T

Constr

uApre

nde.c

om


71

En donde [Kpe] corresponde a la matriz de rigidez de grados horizontales de un pórtico plano

expresado en los grados de libertad de la estructura.

4.9.1 Ejemplo matriz de rigidez de toda la estructura

EJEMPLO 07: Obtener la matriz de rigidez de toda la estructura.

Para obtener la matriz de rigidez de toda la estructura, es necesario realizar todos los

procedimientos descriptos anteriormente, hasta encontrar las marices de rigidez de los pórticos

planos que componen la estructura.

Para el modelo estructural que estamos desarrollando en el presente curso tenemos que la estructura

esta compuesta de dos pórticos típicos:

a. Los pórticos literales los cuales están orientados en la dirección “X”.

b. Los pórticos numerales los cuales están orientados en al dirección “Y”.

Por lo tanto tenemos la matriz de rigidez de un pórtico plano reducida a un grado de libertad por

piso en el sentido “X” y en sentido “Y”:

23.68 -28.92 5.80[Kxc]= -28.92 59.56 -35.98 5.80 -35.98 55.60

18.34 -22.11 4.14

[Kyc]= -22.11 45.46 -27.09 4.14 -27.09 42.01

Del modelo estructural tenemos que son tres niveles idénticos, que al poseer simetría en ambos

sentidos, y no poseer vacíos es evidente que el centro de gravedad de la losas con respecto al cruce

de eje “A1” esta dado por:

xc = 8.00, yc = 4.00

Constr

uApre

nde.c

om


72

El cruce de eje “A1” tiene coordenadas:

x0 = 0.00, y0 = 0.00

Ahora teniendo en cuenta que los ejes en sentido “X” y “Y” tienen un ángulos de giro normales:

θx = 0º

θy = 90º

Con estos datos elaboramos una tabla de transformación de coordenadas con base al cruce de eje

“A1”:

Eje x0 y0 xf yf d θ Cos(θ) Sen(θ) r 1 0.00 0.00 0.00 8.00 8.00 90.00 0.00 1.00 -8.00 2 5.00 0.00 5.00 8.00 8.00 90.00 0.00 1.00 -3.00 3 11.00 0.00 11.00 8.00 8.00 90.00 0.00 1.00 3.00 4 16.00 0.00 16.00 8.00 8.00 90.00 0.00 1.00 8.00 A 0.00 0.00 16.00 0.00 16.00 0.00 1.00 0.00 4.00 B 0.00 4.00 16.00 4.00 16.00 0.00 1.00 0.00 0.00 C 0.00 8.00 16.00 8.00 16.00 0.00 1.00 0.00 -4.00

Con esta información elaboramos la matriz de transformación para cada pórtico:

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 -8.00 0.00 0.00 -3.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00[Tp1]= 0.00 1.00 0.00 [Tp2]= 0.00 1.00 0.00 0.00 -8.00 0.00 0.00 -3.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 -8.00 0.00 0.00 -3.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 3.00 0.00 0.00 8.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00[Tp3]= 0.00 1.00 0.00 [Tp4]= 0.00 1.00 0.00 0.00 3.00 0.00 0.00 8.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 3.00 0.00 0.00 8.00

Constr

uApre

nde.c

om


73

1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -4.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00[TpA]= 0.00 0.00 0.00 [TpB]= 0.00 0.00 0.00 [TpC]= 0.00 0.00 0.00 0.00 4.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -4.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -4.00

Ahora ejecutamos las siguiente operación matricial para cada pórtico:

[Kpen] = [Tpn][Kpcn][Tpn]T

Para el pórtico 1 tenemos:

0.00 1.00 -8.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

[Tp1]T= 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 -8.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 -8.00

0.00 18.34 -146.74 0.00 -22.11 176.90 0.00 4.14 -33.11

[Kyc][Tp1]T= 0.00 -22.11 176.90 0.00 45.46 -363.64 0.00 -27.09 216.73 0.00 4.14 -33.11 0.00 -27.09 216.73 0.00 42.01 -336.06

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 18.34 -146.74 0.00 -22.11 176.90 0.00 4.14 -33.11

0.00 -146.74 1173.90 0.00 176.90 -1415.17 0.00 -33.11 264.86

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

[Kpe1]=[Tp1][Kyc][Tp1]T= 0.00 -22.11 176.90 0.00 45.46 -363.64 0.00 -27.09 216.73

0.00 176.90 -1415.17 0.00 -363.64 2909.13 0.00 216.73 -1733.82

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 4.14 -33.11 0.00 -27.09 216.73 0.00 42.01 -336.06

0.00 -33.11 264.86 0.00 216.73 -1733.82 0.00 -336.06 2688.44

Con lo cual hallamos las matriz de rigidez del pórtico 1 en coordenadas de toda la estructura.

Constr

uApre

nde.c

om


74

Deforma similar hallamos las matrices de todos los pórticos:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18.34 -55.02 0 -22.11 66.33 0 4.14 -12.42 0 -55.02 165.06 0 66.33 -198.99 0 -12.42 37.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0[Kpe2]= 0 -22.11 66.33 0 45.46 -136.38 0 -27.09 81.27 0 66.33 -198.99 0 -136.38 409.14 0 81.27 -243.81 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.14 -12.42 0 -27.09 81.27 0 42.01 -126.03 0 -12.42 37.26 0 81.27 -243.81 0 -126.03 378.09

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18.34 55.02 0 -22.11 -66.33 0 4.14 12.42 0 55.02 165.06 0 -66.33 -198.99 0 12.42 37.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0[Kpe3]= 0 -22.11 -66.33 0 45.46 136.38 0 -27.09 -81.27 0 -66.33 -198.99 0 136.38 409.14 0 -81.27 -243.81 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.14 12.42 0 -27.09 -81.27 0 42.01 126.03 0 12.42 37.26 0 -81.27 -243.81 0 126.03 378.09

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18.34 146.72 0 -22.11 -176.88 0 4.14 33.12 0 146.72 1173.76 0 -176.88 -1415 0 33.12 264.96 0 0 0 0 0 0 0 0 0[Kpe4]= 0 -22.11 -176.88 0 45.46 363.68 0 -27.09 -216.72 0 -176.88 -1415 0 363.68 2909.44 0 -216.72 -1733.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.14 33.12 0 -27.09 -216.72 0 42.01 336.08 0 33.12 264.96 0 -216.72 -1733.8 0 336.08 2688.64

23.68 0 94.72 -28.92 0 -115.68 5.8 0 23.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 94.72 0 378.88 -115.68 0 -462.72 23.2 0 92.8 -28.92 0 -115.68 59.56 0 238.24 -35.98 0 -143.92[KpeA]= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -115.68 0 -462.72 238.24 0 952.96 -143.92 0 -575.68 5.8 0 23.2 -35.98 0 -143.92 55.6 0 222.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23.2 0 92.8 -143.92 0 -575.68 222.4 0 889.6

Constr

uApre

nde.c

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75

23.68 0 0 -28.92 0 0 5.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -28.92 0 0 59.56 0 0 -35.98 0 0[KpeB]= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.8 0 0 -35.98 0 0 55.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

23.68 0 -94.72 -28.92 0 115.68 5.8 0 -23.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -94.72 0 378.88 115.68 0 -462.72 -23.2 0 92.8 -28.92 0 115.68 59.56 0 -238.24 -35.98 0 143.92[KpeC]= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 115.68 0 -462.72 -238.24 0 952.96 143.92 0 -575.68 5.8 0 -23.2 -35.98 0 143.92 55.6 0 -222.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -23.2 0 92.8 143.92 0 -575.68 -222.4 0 889.6

Para hallar la matriz de rigidez de la estructura solo basta con sumar la matrices de todos los

pórticos, con lo cual tenemos:

Nivel 3 Nivel 2 Nivel 1 Nivel

x y z x y z x y z grado

71.04 0.00 0.00 -86.76 0.00 0.00 17.40 0.00 0.00 x

0.00 73.36 0.00 0.00 -88.44 0.00 0.00 16.56 0.00 y Nivel 3

0.00 0.00 3435.40 0.00 0.00 -4153.50 0.00 0.00 790.04 z

-86.76 0.00 0.00 178.68 0.00 0.00 -107.94 0.00 0.00 x

[Ke]= 0.00 -88.44 0.00 0.00 181.84 0.00 0.00 -108.36 0.00 y Nivel 2

0.00 0.00 -4153.50 0.00 0.00 8543.08 0.00 0.00 -5106.50 z

17.40 0.00 0.00 -107.94 0.00 0.00 166.80 0.00 0.00 x

0.00 16.56 0.00 0.00 -108.36 0.00 0.00 168.04 0.00 y Nivel 1

0.00 0.00 790.04 0.00 0.00 -5106.50 0.00 0.00 7912.66 z

La matriz de rigidez de la estructura en coordenadas globales, expresada en tres grados de libertad

por piso en MN/m.

Actividad 04: Hallar la matriz de rigidez de toda la estructura considerando que la estructura

esta rotada 45º con respecto al eje “X”.

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5. SÍSMICA

El objeto de la sísmica, y en si de la sismología dentro de la dinámica estructural, es el de proponer

o considerar, los efectos de un sismo dentro de una estructura. Puesto que un sismo es un fenómeno

dinámico, de este provienen fuerzas dinámicas llamadas fuerzas sísmicas, las cuales causan efectos

directos sobre las estructuras, por lo tanto una estructura debe estar diseñada para soportar estos

efectos adecuadamente.

5.1 TECTÓNICA

La tectónica hace referencia, a la conformación de la corteza terrestre, la cual se encuentra divida en

una serie de fragmentos llamados placas tectónicas, debido al continuo proceso de regeneración de

la tierra, la placas tectónicas están en moviendo, y auque este moviendo es muy lento e

imperceptible a razón de unos pocos centímetros por año.

Estos movimientos se manifiestan en una serie de accidentes geográficos, por ejemplo las dorsales

marinas son los lugares donde las placas se está separando, estas se encuentran a gran profundidad

en el medio de los océanos; Cerca de los continentes suceden otros fenómenos como subducción, el

cual ocurre cuando una placa tectónica se esta desplatando por debajo de otra, que es típico en las

costas de pacifico de Sur América. Otro fenómeno el cual esta localizado en las costas de pacifico

de Norte América es el deslizamiento, el cual consiste el rose de una placa contra la otra.

La corteza terrestre esta compuesta por 22 placas tectónicas, siendo La Placa del Pacifico la mas

grande de todas, en torno a Colombia encontramos al norte La Placa del Caribe, al oriente y sur La

Placa Suramericana, al nor-occidente La Placa de los Cocos y al occidente La Placa de Nazca. Entre

la Placa de Nazca y La Placa Suramericana se encuentra la cordillera de los Andes.

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5.2 FALLAS GEOLÓGICAS

Las fallas geológicas son fenómenos naturales que se producen debido a grandes esfuerzos que debe

soportar la corteza terrestre, cuando la corteza no es capas de soportar estos esfuerzos se produce un

plano de falla, sobre el cual se mueven dos grandes masas una con respecto a la otra.

Existen dos tipos de movimientos característicos en las fallas:

5.2.1 Desplazamiento horizontal: Ocurre cuando una masa se mueve horizontalmente frente a la

otra, en este tipo de fallas hay desplazamiento izquierdo o derecho, dependiendo del punto de

referencia de movimiento de la masa.

5.2.2 Desplazamiento vertical: Se presenta cuando una masa se mueve hacia arriba o debajo de la

otra sin que se de movimiento horizontal; Cuando una masa se mueve hacia abajo con respecto a la

otra se dice que la falla es normal, pero si por el contrario la masa se desplaza hacia arriaba se le

dice falla inversa.

5.3 SISMOS

Gran parte de los sismos se dan a causa de que se acumula una gran cantidad de energía entre los

bordes de las placas que están en contacto, al momento de liberarse la energía, esta se manifiesta en

movimientos sísmicos, los cuales son mayores a mayor cantidad de energía liberada, estos sismos se

llaman tectónicos debido a su naturaleza.

Otra fenómeno que causa sismos son las fallas activas, estas se producen en el continente debido a

los grandes esfuerzos que producen las placas, cuando esto esfuerzos superan la capacidad de la

corteza terrestre se produce el fallamiento, por ende los sismos, esta clase de sismo se llaman

intraplaca.

Existen otro tipo de fuentes de sismos, los volcanes, los deslizamientos, los derrumbes de grandes

cavernas, etc.

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Generalmente los sismos se producen a gran profundidad, a el lugar donde se origina el sismo se le

llama “foco”, el punto donde se manifiesta al sismo en la corteza terrestre se le llama “epicentro”, la

distancia entre el foco y el epicentro se le demoniza profundidad local.

Los sismos son eventos súbitos y totalmente aleatorios, razón por la cual no se pueden predecir,

solo contamos con datos históricos sobre los cuales se realizan estadísticas, para determinar la

probabilidad de ocurrencia de un sismo y su magnitud.

5.4 ONDAS SÍSMICAS

Las ondas sísmicas son el medio de propagación de los sismos, estas se producen en el foco del

sismo y viajan a través de la corteza terrestre hasta llegar a la superficie, donde se dispersan

formando ondas superficiales hasta desaparecer.

Cuando se origina el sismo se producen la ondas primarias también llamada ondas “P”, las cuales

tienen el mismo sentido de la propagación del sismo, estas ondas están acompañadas de las ondas

secundarias u ondas de cortante, llamadas ondas “S”, las cuales se manifiestan en sentido

transversal a la propagación.

Cuando las ondas “P”, y las ondas “S”, llegan a la superficie, provocan otros tipos de ondas, dentro

de estas tenemos las ondas Love o “L”, la cuales producen movimientos transversales, y las ondas

Rayleigh o “R” que producen movimientos circulares.

5.5 SISMOGRAMAS Y ACELEROGRAMAS

Durante la ocurrencia de un sismo, se utilizan una serie de aparatos (sismógrafos y acelerógrafos)

los cuales crean registros de los eventos telúricos.

El sismógrafo se utiliza principalmente para determinar el epicentro y foco del sismo, utilizado los

tiempos de llegada de las ondas “P” y las ondas “S”.

El acelerógrafo permite determinar la aceleración del terreno, la cual lleva un sentido según la

localización del aparato, la cual generalmente es norte-sur y este-oeste, e incluso aceleraciones

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verticales. Esto no quiere decir que los sismos actúen en una dirección determinada, solo que para la

práctica es más conveniente hacer registros en una dirección conocida.

5.6 MAGNITUD DE UN SISMO

Magnitud: Cuando hablamos de magnitud nos referimos a la medida de cantidad de energía

liberada, la magnitud es una medida instrumental en función de la onda sísmica. La escala de

Richter es una escala de magnitud de carácter local que basa en amplitudes de registros típicos de

California (USA.), también es llamada escala de onda, esta escala no tiene un mínimo ni un

máximo.

5.7 INTENSIDAD DE UN SISMO

Intensidad: La escala de intensidad mide el daño causado por un sismo, podemos decir que es una

escala subjetiva, pues el daño depende de la zona de afectación del sismo, pues un mismo sismo

tiene efectos diferentes en una zona despoblada que en una ciudad.

La escala de intensidad de Mercalli, es una escala de percepción y observación, la cual mide el daño

causado por un sismo. Esta escala varia en rango de I a XII, siendo I un sismo que prácticamente no

se siente y XII un sismo que causa catástrofes.

Se recomienda consultar la cartilla “Terremotos, amenaza sísmica en Bogotá” de la Alcaldía Mayor

de Bogotá, la cual se entra dentro de los recursos del presente curso.

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6. ANÁLISIS DINÁMICO

Partamos del hecho de que en el análisis dinámico de estructuras, se estudia como las fuerzas

sísmicas horizontales actúan sobre una estructura, y como responde la estructura a este tipo de

excitaciones.

“La cinética estudia la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, la masa del cuerpo y su

movimiento, permitiendo predecir los movimientos que causan las fuerzas, o determinar las fuerzas

necesarias para producir un movimiento dado.”8

6.1 LEYES DE NEWTON

Tanto la estática como la dinámica esta fundamentado en las leyes de Newton:

1ª Ley de Newton: “Todo cuerpo permanece en su estado de reposo, o movimiento uniforme

rectilíneo, a menos que sea obligado a cambiar de ese estado debido a la aplicación de cualquier

tipo de fuerzas.”

2ª Ley de Newton: “La fuerza que actúa sobre un cuerpo y causa un movimiento, es igual a la masa

del cuerpo multiplicada por su aceleración”

F = ma (20) (Fuerza igual a masa por aceleración)

3ª Ley de Newton: “A toda acción se opone siempre una reacción de igual magnitud; o las acciones

mutuas entre dos cuerpos son siempre iguales y opuestas.”

Con base en la segunda ley de Newton, D’Alembert sugirió que esta se expresara como una

ecuación de equilibrio estático:

8 MALDONADO, Esperanza. Y CHIO CHO, Gustavo. Análisis Sísmico de Edificaciones. Bucaramanga : Ediciones U.I.S., 2004. p.3

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F-ma = 0 (21) (Fuerza menos masa por aceleración igual a cero)

En base a estas leyes esta desarrollada la teoría de la dinámica estructural.

6.2 MASA Y PESO

En el desarrollo de las teorías dinámicas es necesario hacer la aclaración sobre el tema de masa y

peso, que no son lo mismo y tienden a confundirse porque culturalmente han sido definidos

incorrectamente.

La masa hace referencia a la cantidad de materia en kilogramos (kg), la cual es invariable, la masa

de un objeto siempre será la misma ya sea sobre la superficie terrestre, la luna, en el espacio o

cualquier otro planeta.

El peso es una medida de fuerza, la cual es directamente proporcional a la gravedad, por esta razón

el peso de un objeto es diferente en la tierra, la luna, el espacio o cualquier otro planeta. Bajo este

precepto podemos definir el peso:

w = mg (22) (El peso w es igual a la masa por la gravedad)

Donde “w” representa el peso en Newton (N), “m” es la cantidad de materia en kilogramos (kg), y

“g” representa la gravedad en (m/s2); La gravedad aproximada de la tierra a nivel del mar es de 9.81

(m/s2), valor que se usa por razones practicas en cualquier lugar de la superficie terrestre.

6.2.1 Masa de la estructura: Debido a que para el presente curso estamos considerando la placa de

entrepiso como un cuerpo rígido y por lo tanto indeformable, esta consideración nos permite

expresar la masa del entrepiso como una masa concentrada en el centroide de la placa con tres

grados de libertad, dos traslacionales y uno rotacional. Esta consideración es posible gracias a la

gran diferencia de masa entre la losa de entrepiso y las columnas, básicamente despreciamos la

masa de las columnas y concentramos la masa por nivel.

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Figura No.16 – Masas de la estructura

La masa inercial la obtenemos al despejar la ecuación (22) obteniendo m=(w/g), y la masa

rotacional se expresa en función del momento polar di inercia mr=(mJo/A). Matricialmente esta

masa se representa por medio de una matriz diagonal:

x y z grado m 0 0 x [M]= 0 m 0 y

0 0 mJo/A z

6.2.2 Ejemplo matriz de masa de la estructura

EJEMPLO 08: Hallar la matriz de masa del modelo estructural considerando una carga muerta

adicional provocada por los muros divisorios de 3.5KN/m2.

Comencemos calculando el área de la placa:

A = 16.00m * 8.00m = 128m2

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El peso propio de la placa es:

Wp = 0.20m * 128m2 * 2400Kg/m3 * 9.81m/s2 = 602.73KN

La carga adicional es:

Wa = 128m2 * 3.5KN/m2 = 448.00KN

La carga total es:

W = 602.73KN + 448.00KN = 1050.73KN

La masa por piso es:

m = 1050.73KN/ 9.81m/s2 = 107.11Mg

La masa rotacional es:

Jo = Ixx + Iyy

Ixx = [16.00m * (8.00m)3] / 12 = 682.67m4

Iyy = [8.00m * (16.00m)3] / 12 = 2730.67m4

Jo = 3413.33m4

Mr = 107.11Mg * 3413.33m4 /128m2 = 2856.27Mg*m2

Por lo tanto tenemos la matriz de masas de la estructura en Mg.

Nivel 3 Nivel 2 Nivel 1 Nivel x y z x y z x y z grado 107.11 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0 107.11 0 0 0 0 0 0 0 y Nivel 3 0 0 2856.27 0 0 0 0 0 0 z 0 0 0 107.11 0 0 0 0 0 x [M]= 0 0 0 0 107.11 0 0 0 0 y Nivel 2 0 0 0 0 0 2856.27 0 0 0 z 0 0 0 0 0 0 107.11 0 0 x 0 0 0 0 0 0 0 107.11 0 y Nivel 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2856.27 z

Actividad 05: Encontrar la matriz de masas para la estructura considerando una carga

adicional de 3.5KN/m2 debida a los muros en los niveles 1 y 2, y una carga adicional por

acabados de 1.5KN/m2 en todos los niveles.

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6.3 VIBRACIÓN Y AMORTIGUAMIENTO

Cuando aplicamos una fuerza sísmica sobre una estructura, la estructura responderá con una

vibración de tipo oscilatorio debido a la rigidez de la estructura; En un caso hipotético, si la

estructura oscilara eternamente sin detenerse ni destruirse, se dirá que la estructura no es

amortiguada o que posee una vibración libre no amortiguada, pero esto no se da en la realidad. Toda

oscilación tiene a disminuir en el tiempo hasta detenerse, sin importar el material o la forma de la

estructura, a esta disminución se le denomina amortiguamiento y es uno de los temas principales de

la dinámica estructural.

6.3.1 Frecuencia y período: cuando se presenta una oscilación armónica, o sea que se repite cada

cierto tiempo, se dice que es periódica, y posee una frecuencia tal que se puede expresar por:

m

k (23) (La frecuencia natural es igual a la raíz de la rigidez sobre la masa)

La frecuencia natural reprenda el numero de oscilaciones periódicas durante un lapso de tiempo,

“” es la frecuencia natural angular medida en (rad/s)

2

f (24) (La frecuencia natural en ciclos por segundo es igual a la frecuencia natural angular en

(rad/s) sobre dos veces pi)

La frecuencia natural “f” esta expresada en (Hz).

fT

1 (25) (El periodo en segundos es igual al inverso de la frecuencia natural en ciclos por segundo)

El período natural “T”, hace referencia al tiempo transcurrido durante un ciclo este se expresa en

segundos (s).

6.3.2 Vibración libre no amortiguada: En base a la vibración libre se desarrollan los conceptos

básicos de vibración los cuales son aplicables durante todo el desarrollo de un análisis dinámico,

para este caso se supone una sistema de un grado de libertad, con una masa “m” en kilogramos (kg),

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una rigidez “k” en (N/m), y libre de cualquier tipo de fricción de donde aplicando un serie de

demostraciones obtenemos:

F = ku (26) (Fuerza es igual a rigidez por desplazamiento)

Donde las variables son las mismas de la ecuación (4)

Fi = -ma (27) (Fuerza inercial es igual al producto negativo de la masa por la aceleración)

Donde “Fi” representa la fuerza inercial de sistema en Newton (N), y “a” la aceleración del sistema

en (m/s2)

F – Fi = ma + ku = 0 (28) (Fuerza menos fuerza inercial es igual a masa por aceleración más rigidez por

desplazamiento)

Aplicación del principio D’Alembert.

A + 2u = 0 (29) (Aceleración más frecuencia al cuadrado por desplazamiento es igual a cero)

Ecuación diferencial homogénea obtenida al dividir la ecuación (25) sobre “m”. Donde “”

representa la frecuencia natural de sistema en (rad/s)

)cos()()( tutsenv

u oo

t

(30)

Solución de la ecuación (29), donde se representa la oscilación libre del sistema para condiciones

iniciales de velocidad y desplazamiento. Donde “vo” es la velocidad de la masa en (m/s) para un

tiempo cero y “uo” es el desplazamiento en metros (m) para el mismo instante de tiempo.

6.3.3 Vibración libre amortiguada: Corresponde al caso real de vibración, pues las oscilaciones

disminuyen su recorrido paulatinamente hasta detenerse, esto se debe a que existe amortiguamiento,

el cual disipa la energía del sistema.

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En el caso de las estructuras se presenta un amortiguamiento viscoso, el cual basa en fuerzas

proporcionales a la velocidad, pero opuestas a su dirección. Este amortiguamiento tiene el siguiente

comportamiento:

Fa = cv (31) (La fuerza de amortiguamiento es igual a la constante del amortiguador por la velocidad)

Donde “Fa” representa la fuerza del amortiguador en (N), “c” es la constante del amortiguador en

(N*s/m), y “v” representa la velocidad de amortiguamiento en (m/s).

Para el amortiguamiento viscoso, existen tres fuerzas presentes en el sistema, las cuales, aplicando

el principio de D’Alambert originan la ecuación diferencial de equilibrio dinámico de un sistema

lineal de un grado de libertad:

ma + cv + ku = 0 (32) (masa por aceleración más constante de amortiguamiento por velocidad

más rigidez por desplazamiento igual a cero)

La ecuación (32) tiene como solución:

ttt BeAeu 21)(

(33)

Donde A y B son constantes que dependen de las condiciones iniciales del movimiento, 1 y 2

corresponden a las raíces:

m

mkcc

2

42

1

(34)

m

mkcc

2

42

1

(35)

Tomando el radical de las ecuaciones (34) y (35) tendremos tres tipos de comportamientos

diferentes para la ecuación (33). Cuando el radical sea igual a cero estaremos hablando de

amortiguación crítica, para este caso la solución será:

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ttt BteAeu )( (36)

La cual podemos expresar para condiciones iniciales como:

U(t) = [ xo + t ( vo + xo ) ] e-t (37)

La el amortiguamiento crítico, no permite oscilaciones, es decir el sistema se detiene de una forma

muy rápida.

Cuando el valor del radical de las ecuaciones (34) y (35), es mayor de cero, se presenta un sistema

sobre amortiguado y su solución seria:

tttt BeAeeu

11)(

22

(38)

Donde:

m

c

2 (39) (Amortiguamiento)

Un sistema sobre amortiguado tiene una desaceleración lenta y prolongada sin oscilaciones.

Cuando en las ecuaciones (34) y (35), el valor del radical e menor de cero, se presenta un sistema

subamortiguado, el cual es el caso más común en las estructuras, para este caso la solución sería:

)()cos()( tsen

xvtxetu a

a

ooao

t

(40)

Donde:

21a (41) (frecuencia amortiguada)

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En este caso las oscilaciones van disminuyendo su amplitud hasta detenerse, el período amortiguado

para este comportamiento es:

21

22

aaT (42)

6.4 EXCITACIÓN EN LA BASE

Para que se produzcan movimientos u oscilaciones se requiere de una excitación o fuerza que los

produzca, en el caso de las estructuras estas fuerzas son generadas por los sismos, y trasmitidas a la

estructura por medio de los cimientos.

Expresando la ecuación (32) (ma + cv + ku = 0), al cual se le agrega el componente de aceleración

del terreno y masa de la estructura (-mat), nos da como resultado un sistema que corresponde a la

excitación en la base:

ma + cv + ku = -mat (42) (sistema afectado por la masa de la estructura el la aceleración del terreno)

Esta ecuación tiene como solución:

dtseneau tt

tt )}(1{)(1

1 2)(

02)(

(43)

Donde “ω” representa la frecuencia natural del sistema, “ξ” representa la amortiguación del

sistema, “at” corresponde a la aceleración del terreno, “τ” representa el tiempo de duración de la

aceleración y “t” es un tiempo cualquiera para hallar un desplazamiento.

6.5 RESPUESTA ESPECTRAL

Por medio de los registros acelerográficos obtenidos durante un sismo, y con un procedimiento

adecuado es posible hallar la respuesta espectral de un sistema de un grado de libertad.

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“Expresado brevemente, la respuesta espectral es un diagrama de la máxima respuesta (máximo

desplazamiento, máxima velocidad o aceleración o el máximo de cualquier otra magnitud de

interés) contra la función especifica de la excitación, para todos los sistemas posibles con un grado

de libertad.”9

Para un acelerógrama se calcula la respuesta con diferentes periodos, pero para las mismas

condiciones, encontramos una respuesta máxima (aceleración absoluta, velocidad relativa,

desplazamiento relativo y aceleración en la base) para cada periodo. Si en una gráfica tabulamos los

periodos y su máxima respuesta para cada periodo, hallamos el espectro de respuesta.

El espectro de respuesta de desplazamientos esta dado por:

max

, uTSd (44) (El espectro de desplazamiento para un periodo y un

amortiguamiento dados es igual al desplazamiento máximo)

“Entonces el valor del espectro de respuesta de desplazamientos, para un período de vibración T y

un coeficiente de amortiguamiento ξ, es el máximo valor absoluto, que tendría un sistema de un

grado de libertad con estas propiedades al verse sometido a un acelerógrama.”10

El espectro de velocidades, esta definido por:

max

, vTSv (45) (El espectro de velocidades para un periodo y un

amortiguamiento dados es igual a la velocidad máxima)

El espectro de aceleraciones esta dado por:

max

, ta aaTS (46) (El espectro de aceleraciones para un periodo y un

amortiguamiento dados es igual a la suma máxima de la

aceleración y la aceleración del terreno)

9 Ibid., p. 78. 10 GARCÍA REYES, Op. Cit., p. 100.

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Relacionando adecuadamente Sd, Sv y Sa, tenemos:

2

),(),(),(

TSTS

TS avd (47)

6.6 ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINÁMICO

A continuación se presentan las ecuaciones de equilibrio dinámico, para respuesta al movimiento en

la base que es el caso que nos interesa para el presente curso, estas ecuaciones se expresan en forma

matricial, entendiendo que cada línea del sistema matricial representa una ecuación diferencial. Es

decir el sistema matricial representa un sistema de ecuaciones diferenciales múltiples simultáneas.

La expresión de ecuaciones de equilibrio para excitación en la base es:

[M]{a} + [K]{u} = -[M][λ]{at} (48)

Donde [M] corresponde al matriz de masas del sistema la cual es una matriz diagonal, {a} es el

vector de aceleraciones del sistema, [K] es la matriz del rigidez del sistema, {u} corresponde al

vector de desplazamientos, [λ] es una matriz que indica la colinealidad de los grados de libertad con

la aceleración del terreno, y {at} es el vector de aceleraciones del terreno.

6.6.1 Ejemplo ecuaciones de equilibrio dinámico

EJEMPLO 09: Hallar la ecuaciones de equilibrio dinámico del modelo estructural, para excitación

en la base.

Una vez halladas las matrices de rigidez de la estructura y de masas, se debe encontrar la matriz [λ],

la cual consiste en una matriz que nos indica que grados de libertad son colineales con la

aceleración del terreno. Es decir debemos identificar en la estructura que grados de libertad

coinciden con la componente Norte-Sur (NS) de un sismo y cual con la componente Este-Oeste

(EW).

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Para nuestro caso los grados de libertad “X”, corresponde con la componente Este-Oeste (EW), y

los grados de libertad “Y” corresponde con la componente Norte-Sur (NS). Por lo tanto la matriz [λ]

es:

x y z grado 1 0 0 x 0 1 0 y Nivel 3 0 0 0 z 1 0 0 x

[λ]= 0 1 0 y Nivel 2 0 0 0 z 1 0 0 x 0 1 0 y Nivel 1 0 0 0 z

Ahora trabajos sobre el lado derecho de la ecuación (48):

107.1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 107.1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 2856 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 107.1 0 0 0 0 0 1 0 0

-[M][λ]{at} = - 0 0 0 0 107.1 0 0 0 0 0 1 0 {at}

0 0 0 0 0 2856 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 107.1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 107.1 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 2856 0 0 0

-107.1 0 0 0 -107.1 0 0 0 0 -107.1 0 0

-[M][λ]{at} = 0 -107.1 0 {at} 0 0 0 -107.1 0 0 0 -107.1 0 0 0 0

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Y con esto hallamos las ecuaciones de movimiento para excitación en la base:

107.11 0 0 0 0 0 0 0 0 a3x 71.04 0.00 0.00 -86.76 0.00 0.00 17.40 0.00 0.00 u3x -107.11 atEW

0 107.11 0 0 0 0 0 0 0 a3y 0.00 73.36 0.00 0.00 -88.44 0.00 0.00 16.56 0.00 u3y -107.11 atNS

0 0 2856.3 0 0 0 0 0 0 a3z 0.00 0.00 3435.40 0.00 0.00 -4153.50 0.00 0.00 790.04 u3z 0

0 0 0 107.11 0 0 0 0 0 a2x -86.76 0.00 0.00 178.68 0.00 0.00 -107.94 0.00 0.00 u2x -107.11 atEW

0 0 0 0 107.11 0 0 0 0 a2y + 0.00 -88.44 0.00 0.00 181.84 0.00 0.00 -108.36 0.00 u2y = -107.11 atNS

0 0 0 0 0 2856.3 0 0 0 a2z 0.00 0.00 -4153.50 0.00 0.00 8543.08 0.00 0.00 -5106.50 u2z 0

0 0 0 0 0 0 107.11 0 0 a1x 17.40 0.00 0.00 -107.94 0.00 0.00 166.80 0.00 0.00 u1x -107.11 atEW

0 0 0 0 0 0 0 107.11 0 a1y 0.00 16.56 0.00 0.00 -108.36 0.00 0.00 168.04 0.00 u1y -107.11 atNS

0 0 0 0 0 0 0 0 2856.3 a2z 0.00 0.00 790.04 0.00 0.00 -5106.50 0.00 0.00 7912.66 u2z 0

Actividad 06: Encontrar las ecuaciones de movimiento para excitación en la base, utilizando la matriz de masas de la actividad 05 y

la matriz de rigidez de la actividad 04 (tome los grados de colinealidad iguales al coseno de 45º en “x”, y seno de 45º en “Y”).

Constr

uApre

nde.c

om


93

6.7 ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL

Este método de análisis dinámico es uno de los más usados, pero debemos tener en cuenta que solo

es aplicable a estructuras que se encuentran dentro de un rango elástico.

“Dado que los valores que se leen de el espectro, ya sea de respuesta o de diseño, corresponden al

valor máximo que puede tener la respuesta de un sistema dinámico de un grado de libertad –en

términos de desplazamiento, velocidad y aceleración—es evidente que conociendo el espectro se

puede determinar el valor máximo de la respuesta que puede tener un grado de libertad

desacoplado, y por ende se podría utilizar estos valores para determinar la máxima respuesta que

tendría un sistema de varios grados de libertad.”11

Para empezar partimos de la ecuación (48) la cual es para un sistema sometido a excitación en la

base, esta ecuación la debemos expresar en términos de las matrices de modos de vibración [φ] y

frecuencias de sistema [ω2] con lo cual tenemos:

[φ]T[M][φ]{ü} + [φ]T[K][φ]{u} = -[φ]T [M][λ]{at} (49)

Donde:

[φ]T[M][φ] = [I] (50) (Matriz identidad – diagonal)

[φ]T[K][φ] = [ω2] (51) (Matriz Frecuencias del sistema – diagonal)

[φ]T [M][λ] = [α] (52) (Matriz de coeficientes de participación)

Por lo tanto podemos expresar la ecuación (49) como:

{ü} + [ω2]{u} = -[α]{at} (53) (Sistema acoplado)

La ecuación (53) se puede desacoplar en un sistema de ecuaciones múltiples e independientes:

üp + ω2pup = -αpat (54) (Sistema desacoplado)

11 Ibid., p. 507.

Constr

uApre

nde.c

om


94

Hasta el momento no hemos considerado el amortiguamiento de la estructura, el cual podemos

involucrar en la ecuación (54) así:

üp + 2ξpωpư + ω2pup = -αpat (Sistema desacoplado y amortiguado)

Para la ecuación (55) debemos tener en cuenta que el máximo valor de “up” esta dado por el

espectro de desplazamiento, por lo tanto:

up(máx) = │αpSd(Tp,ξp)│ (56)

Donde :

Tp = 2π/ωp (57)

También podemos expresar el máximo “up” con respecto al espectro de aceleraciones así:

up(máx) = │αp(Tp/4π2)Sa(Tp,ξp)│ (58)

Una vez hallados los modos de vibración “φp” y con el up(max), podemos hallar los

desplazamientos máximos modales para cada modo de vibración:

{up(mod)} = [φp]( up(máx)) (59)

Y para cada modo también podemos hallar las máximas fuerzas inerciales modales:

{Fp(mod)} = [Ke] {up(mod)} (60)

6.7.1 Ejemplo espectro de desplazamientos

Ejemplo 10: Hallar el espectro de desplazamientos para el sismo de Armenia en la componente este-

oeste.

Constr

uApre

nde.c

om


95

Para este ejemplo debemos tener instalada un aplicación sencilla, desarrollado por el profesor Luís

García de la Universidad de los Andes llamada Espec2000, la cual se incluye en los recursos.

Accedemos a la aplicación por medio del explorador (C:\Dinam-Estruct\Espec2000) y ejecutamos la

aplicación Espec2000.exe, vamos al menú Acelerógrama y escogemos la opción Abre acelograma,

y buscamos en la carpeta (C:\Dinam-Estruct\Espec2000\Acelerog) el acelerógrama correspondiente

(Armenia-ew.ace), una vez abierto el archivo observamos la siguiente gráfica e información:

Estoy leyendo el celerógrama:

SISMO DEL QUINDIO – REG. UNIV. DEL QUINDIO – ARMENIA – ENE 25-1999 – COMP. EW

Aceleración Máxima 0.5286 g

Intervalo Digitalización 0.0050 s

Duración 71.6850 s

Figura No.17 – Acelerógrama Armenía EW

Luego de abrir el acelerógrama, vamos a el menú Espectro y seleccionamos la opción Calcula

Espectro, con esta opción se calculan una serie de espectros, para el ejemplo que estamos

desarrollando ubicamos el espectro de desplazamientos, el cual es:

Constr

uApre

nde.c

om


96

Figura No.18 – Espectro desplazamientos Armenía EW

Esta información la podemos guardar numéricamente para, después manejarla en una hoja de

calculo por medio del opción Guarda resultados numéricos.

Actividad 07: Hallar el espectro de desplazamientos para el sismo de Armenía componente

norte-sur.

6.7.2 Ejemplo análisis modal espectral

Ejemplo 11: Realizar un análisis modal espectral a partir de las ecuaciones de movimiento para

excitación en la base encontradas en el ejemplo 09 y el espectro de desplazamientos hallado en el

ejemplo 10, para un amortiguamiento del 5%.

El primer paso para el análisis modal espectral después de haber hallado las matrices de masa [M] y

rigidez [K] de la estructura, es hallar la matriz de modos de vibración [φ], frecuencias de sistema

[ω] y los periodos T, estos valores se obtienen aplicando algún método numérico, para este ejemplo

utilizaremos el método de Jacobi, por medio de una aplicación llamada Jacobi del profesor Luís

García de la Universidad de los Andes, cual se encuentra dentro de los recursos del presente curso.

Constr

uApre

nde.c

om


97

Instalada la aplicación accedemos a la carpeta (C:\Dinam-Estruct\Jacobi) y ejecutamos la aplicación

JACOBI.EXE, para esta aplicación se debe elaborar un archivo de texto donde se indicara el

número de grados de libertad, la matriz de masas [M] en (Mg), y la matriz de rigidez [K] en (KN),

al ejecutar la aplicación se genera un archivo de salida donde encontramos los periodos y

frecuencias para cada modo de vibración, lo mismo que la matriz de modos de vibración:

MODOS Y PERIODOS

MODO PERIODO FRECUENCIA

[seg] [rad/seg]

1 0.6529 9.6231

2 0.6380 9.8480

3 0.4822 13.0305

4 0.2048 30.6830

5 0.2018 31.1432

6 0.1522 41.2813

7 0.1176 53.4290

8 0.1170 53.7082

9 0.0881 71.3449

1 2 3 4 5 6 7 8 9 MODO

0.0717 0.0000 0.0000 -0.0571 0.0000 0.0000 0.0304 0.0000 0.0000 1

0.0000 0.0715 0.0000 0.0000 -0.0573 0.0000 0.0000 0.0307 0.0000 2

0.0000 0.0000 0.0139 0.0000 0.0000 -0.0111 0.0000 0.0000 0.0059 3

0.0568 0.0000 0.0000 0.0337 0.0000 0.0000 -0.0705 0.0000 0.0000 4

[φ]= 0.0000 0.0568 0.0000 0.0000 0.0330 0.0000 0.0000 -0.0709 0.0000 5

0.0000 0.0000 0.0110 0.0000 0.0000 0.0064 0.0000 0.0000 -0.0137 6

0.0311 0.0000 0.0000 0.0702 0.0000 0.0000 0.0586 0.0000 0.0000 7

0.0000 0.0315 0.0000 0.0000 0.0705 0.0000 0.0000 0.0581 0.0000 8

0.0000 0.0000 0.0061 0.0000 0.0000 0.0136 0.0000 0.0000 0.0113 9

Constr

uApre

nde.c

om


98

Modo 1

0

1

2

3

-0.0800 -0.0400 0.0000 0.0400 0.0800

Vibración

Niv

el

Figura No.19-1 – Modos de vibración de la estructura : Modo 1

Modo 2

0

1

2

3

-0.0800 -0.0400 0.0000 0.0400 0.0800

Vibración

Niv

el


Constr

uApre

nde.c

om


99

Modo 3

0

1

2

3

-0.0800 -0.0400 0.0000 0.0400 0.0800

Vibración

Niv

el


Modo 4

0

1

2

3

-0.0800 -0.0400 0.0000 0.0400 0.0800

Vibración

Niv

el


Constr

uApre

nde.c

om


100

Modo 5

0

1

2

3

-0.0800 -0.0400 0.0000 0.0400 0.0800

Vibración

Niv

el


Modo 6

0

1

2

3

-0.0800 -0.0400 0.0000 0.0400 0.0800

Vibración

Niv

el


Constr

uApre

nde.c

om


101

Modo 7

0

1

2

3

-0.0800 -0.0400 0.0000 0.0400 0.0800

Vibración

Niv

el


Modo 8

0

1

2

3

-0.0800 -0.0400 0.0000 0.0400 0.0800

Vibración

Niv

el


Constr

uApre

nde.c

om


102

Modo 9

0

1

2

3

-0.0800 -0.0400 0.0000 0.0400 0.0800

Vibración

Niv

el


Con los modos de vibración hallamos los coeficientes de participación:

De las ecuaciones de movimiento para excitación en la base tenemos:

107.11 107.11 0 107.11 [M][λ]= 107.11 0 107.11 107.11 0

Constr

uApre

nde.c

om


103

La transpuesta de la matriz de modos es:

0.0717 0.0000 0.0000 0.0568 0.0000 0.0000 0.0311 0.0000 0.0000 0.0000 0.0715 0.0000 0.0000 0.0568 0.0000 0.0000 0.0315 0.0000 0.0000 0.0000 0.0139 0.0000 0.0000 0.0110 0.0000 0.0000 0.0061 -0.0571 0.0000 0.0000 0.0337 0.0000 0.0000 0.0702 0.0000 0.0000

[φ]T= 0.0000 -0.0573 0.0000 0.0000 0.0330 0.0000 0.0000 0.0705 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0111 0.0000 0.0000 0.0064 0.0000 0.0000 0.0136 0.0304 0.0000 0.0000 -0.0705 0.0000 0.0000 0.0586 0.0000 0.0000 0.0000 0.0307 0.0000 0.0000 -0.0709 0.0000 0.0000 0.0581 0.0000 0.0000 0.0000 0.0059 0.0000 0.0000 -0.0137 0.0000 0.0000 0.0113

Con estas dos matrices hallamos los coeficientes de participación {α}:

17.10 1

17.12 2

0.00 3

5.01 4

{α}=[φ]T[M][λ]= 4.94 5

0.00 6

1.98 7

1.92 8

0.00 9

Con los coeficientes de participación y las ecuaciones de movimiento para excitación en la base

armamos las ecuaciones desacopladas:

Ü1 + 2ξ1ω1ư + ω21u1 = -17.10at(ew)

Ü2 + 2ξ2ω2ư + ω22u2 = -17.12at(ns)

Ü3 + 2ξ3ω3ư + ω23u3 = 0.00

Ü4 + 2ξ4ω4ư + ω24u4 = -5.01at(ew)

Ü5 + 2ξ5ω5ư + ω25u5 = -4.94at(ns)

Ü6 + 2ξ6ω6ư + ω26u6 = 0.00

Ü7 + 2ξ7ω7ư + ω27u7 = -1.98at(ew)

Ü8 + 2ξ8ω8ư + ω28u8 = -1.92at(ns)

Ü9 + 2ξ9ω9ư + ω29u9 = 0.00

Constr

uApre

nde.c

om


104

Como estamos considerados los efectos del sismo de Armenia en el sentido (EW), tenemos que los

valores de aceleración del terreno en el sentido (NS) son iguales a cero, por lo tanto las ecuaciones

desacopladas son:

Ü1 + 2ξ1ω1ư + ω21u1 = -17.10at(ew)

Ü2 + 2ξ2ω2ư + ω22u2 = 0.00

Ü3 + 2ξ3ω3ư + ω23u3 = 0.00

Ü4 + 2ξ4ω4ư + ω24u4 = -5.01at(ew)

Ü5 + 2ξ5ω5ư + ω25u5 = 0.00

Ü6 + 2ξ6ω6ư + ω26u6 = 0.00

Ü7 + 2ξ7ω7ư + ω27u7 = -1.98at(ew)

Ü8 + 2ξ8ω8ư + ω28u8 = 0.00

Ü9 + 2ξ9ω9ư + ω29u9 = 0.00

Para estas ecuaciones, entramos a el espectro de desplazamientos para ξ=5%, leyendo en el periodo

de cada modo el desplazamiento correspondiente:

Figura No.20 – Espectro de desplazamientos Armenía EW, ξ=5%

Constr

uApre

nde.c

om


105

Con estos valores de desplazamiento y los coeficientes de participación de las ecuaciones

desacopladas calculamos los desplazamientos máximos por grados de libertad desacoplados para la

dirección en estudio:

Modo Periodo

T Sd(Tp,ξp) αp up(máx) (seg) (m) (m) 1 0.65290 0.05543 -17.10 -0.947632 0.63800 0.05855 0.00 0.000003 0.48220 0.07528 0.00 0.000004 0.20480 0.01228 -5.01 -0.061585 0.20180 0.01092 0.00 0.000006 0.15220 0.00728 0.00 0.000007 0.11760 0.00466 -1.98 -0.009228 0.11700 0.00458 0.00 0.000009 0.08810 0.00202 0.00 0.00000

Colocando estos desplazamientos máximos en una matriz diagonal y multiplicándola por la matriz

de modos hallamos los desplazamientos modales:

-0.94763

0.00000

0.00000

-0.06158

up(máx)= 0.00000

0.00000

-0.00922

0.00000

0.00000

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7 Modo 8 Modo 9

-0.06798 0.00000 0.00000 0.00352 0.00000 0.00000 -0.00028 0.00000 0.00000 Nivel 3

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

-0.05380 0.00000 0.00000 -0.00208 0.00000 0.00000 0.00065 0.00000 0.00000 Nivel 2

[Umod]= 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

-0.02948 0.00000 0.00000 -0.00433 0.00000 0.00000 -0.00054 0.00000 0.00000 Nivel 1

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

Así llegamos a los desplazamientos modales máximos para la dirección en estudio:

Constr

uApre

nde.c

om


106

Desplazamientos Modo 1

0

1

2

3

-0.0800 -0.0400 0.0000 0.0400 0.0800

Deflexión (m)

Niv

el

Figura No.21- – Máximos desplazamientos modales : Modo 1 - Armenía EW, ξ=5%


0

1

2

3

-0.0100 -0.0050 0.0000 0.0050 0.0100

Deflexión (m)

Niv

el

Figura No.21-2 – Máximos desplazamientos modales : Modo 4 - Armenía EW, ξ=5%

Constr

uApre

nde.c

om


107


0

1

2

3

-0.0050 -0.0025 0.0000 0.0025 0.0050

Deflexión (m)

Niv

el

Figura No.21-3 – Máximos desplazamientos modales : Modo 7 - Armenía EW, ξ=5%

En donde es evidente que los mayores desplazamientos se presentan en el modo 1, en el nivel 3.

Por último multiplicaremos la matriz de rigidez de la estructura por la matriz de desplazamientos

modales para hallar las máximas fuerzas inerciales:

-674.20 0.00 0.00 354.82 0.00 0.00 -85.79 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-533.66 0.00 0.00 -209.34 0.00 0.00 198.95 0.00 0.00

[Fmod]= 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-292.38 0.00 0.00 -436.16 0.00 0.00 -165.27 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Con esto llegamos a las fuerzas inerciales modales para la dirección en estudio.

Actividad 08: Hallar la fuerzas inerciales modales, para el sistema desarrollado en el ejemplo

09, para el espectro con amortiguamiento del 5% del sismo de Armenía componente norte-

sur.

Constr

uApre

nde.c

om


108

6.8 COMBINACIÓN DE LA RESPUESTA MODAL

Para la combinación de la respuesta modal utilizaremos el método de la raíz cuadrada de la suma de

los cuadrados. Para una estructura de “p” piso y “m” modos se pueden determinar los siguientes

parámetros:

Desplazamientos horizontales máximos de la estructura por piso “p”:

m

i

ip p

UU1

2

(max) (61)

Deriva máxima de piso “p”:

ip

ip

ip UU 1 (62)

m

i

ip p

1

2

(max) (63)

Ojo no se pueden calcular derivas a partir de la ecuación (61), pues en esta los desplazamientos

están combinados.

Cortantes máximos de piso:

j

pk

ik

ip FV (64)

m

i

ip p

VV1

2

(max) (65)

Cortante basal máximo:

p

k

ik

ib FV

1

(66)

m

i

ib b

VV1

2

(max) (67)

Constr

uApre

nde.c

om


109

7. FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE

La fuerza horizontal equivalente es el método más sencillo y a la vez utilizado para el análisis

sísmico, este método solo es aplicable a estructuras sencillas tanto en su regularidad como en su

altura. El método consiste en hallar fuerzas horizontal estáticas en cada piso, con base a la

aceleración del terreno y la masa de la estructura, básicamente este método considera el primer caso

de vibración.

7.1 CONFIGURACIÓN DE LA ESTRUCTURA

Para este método nos referiremos al código colombiano de construcciones sismo resistentes NSR98,

capitulo A.3, en el cual están los siguientes requisitos.

A.3.4.2.1 - Método de la fuerza horizontal equivalente - Puede utilizarse el método de la fuerza

horizontal equivalente en las siguientes edificaciones:

(a) todas las edificaciones, regulares e irregulares, en las zonas de amenaza sísmica baja,

(b) todas las edificaciones, regulares e irregulares, pertenecientes al grupo de uso I, localizadas en

zonas de amenaza sísmica intermedia,

(c) edificaciones regulares, de menos de 20 niveles ó 60 m de altura medidos desde la base, lo

menor, en cualquier zona de amenaza sísmica, exceptuando edificaciones localizadas en lugares

que tengan un perfil de suelo tipo S4, con periodos de vibración mayores de 0.7 segundos,

(d) edificaciones irregulares que no tengan más de 6 niveles ó 18 m de altura medidos a partir de la

base, lo menor,

(e) estructuras flexibles apoyadas sobre estructuras más rígidas que cumplan los requisitos de

A.3.2.4.3.

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110

7.2 CONSIDERACIONES SÍSMICAS

Para la correcta aplicación la fuerza horizontal equivalente debemos considerar los siguientes

aspectos los cuales son fundamentales, para lograr un resultados correctos.

7.2.1 Zonas de amenaza sísmica: Numeral A.2.3, Figura A.2-1. En el análisis de una estructura, es

necesario saber esta donde se encuentra ubicada, pues según su ubicación, pertenece a una

determinada zona sísmica; La zonas sísmicas áreas, que comparten ciertas características históricas,

en lo que tiene que ver con cantidad y magnitud de los sismos que ocurren en diferentes sitios del

territorio colombiano. El país esta dividido en tres zonas sísmicas: Alta, Media y Baja.

Figura No.22 – Mapas zonas de amenaza sísmica – tomado con fines educativos de la NSR98

7.2.2 Coeficiente de aceleración Aa: Numeral A.2.2, Figura A.2-2. El coeficiente de aceleración

del terreno Aa, es un parámetro que depende de la ubicación de la estructura, pues ligados a las

zonas de amenaza sísmica esta la aceleración pico efectiva Aa.

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111

7.2.3 Efectos locales: Numeral A.2.4. Los efectos locales están estrechamente relacionados con el

tipo de suelo sobre el cual esta la estructura, para estos efectos se toma el coeficiente de sitio

(A.2.4.2), el cual depende del tipo de perfil de suelo.

Figura No.23-1 – Coeficientes de sitio S1 – tomado con fines educativos de la NSR98



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112


7.2.4 Coeficiente de importancia: Numeral A.2.5. El coeficiente de importancia hace referencia a

la utilidad de la estructura, y que tan importante es esta a la hora de que ocurra una catástrofe.

7.2.5 Espectro de diseño: Numeral A.2.6, figura A.2-4. Se trata de un espectro elástico de

aceleraciones, para un coeficiente de amortiguamiento crítico del 5%.

Figura No.24 – Espectro elástico de diseño – tomado con fines educativos de la NSR98

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113

7.3 CONSIDERACIONES DE ANÁLISIS

A continuación se describen todos los pasos necesarios para realizar un análisis por el método de la

fuerzo horizontal equivalente.

7.3.1 Período fundamental: Numeral A.4.2.2, ecuación (A.4-2) del NSR98:

4/3nta hCT (68)

Donde “Ta” corresponde al período fundamental de la estructura en segundos (s), “Ct” es un

coeficiente que para el caso de pórticos en concreto equivale a (0.08), “hn” corresponde a la altura

de la estructura medida desde la base hasta la cubierta en metros (m).

7.3.2 Cortante basal: Numeral A.4.3.1, ecuación (A.4-5) del NSR98:

Vs = SagM (69)

Donde “Vs” corresponde al cortante basal en Newton (N), “Sa” corresponde a el valor del espectro

elástico evaluado en función del periodo de la estructura, “g” corresponde a el valor de la gravedad

en (m/s2) y “M” corresponde a la masa total del la estructura en kilogramos (kg).

7.3.3 Fuerzas sísmicas: Numeral A.4.3.2, ecuación (A.4-6) del NSR98 :

Fx = CvxVs (70)

Donde “Fx” corresponde a la fuerza horizontal en el nivel “x”

n

i

kii

kxx

vx

hm

hmC

1

(71)

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114

Donde “mx” y “mi” es la masa total del nivel “x” o “i” en kilogramos (kg), “hx” y “hi” es la altura

medida desde la base a el nivel “x” o “i” en metros (m), y “k” es un exponente relacionado con el

período fundamental de la estructura.

(a) para T menor o igual a 0.5 segundos, k = 1.0,

(b) para T entre 0.5 y 2.5 segundos, k = 0.75 + 0.5 T,

(c) para T mayor que 2.5 segundos, k = 2.0.

7.3.4 Torsión accidental: Numeral A.3.6.7.1. La torción accidental considera la posibilidad de que

el centro de masa, no conicidad con el cetro de gravedad, razón por la cual se toma un momento de

torsión accidental igual a la fuerza sísmica por el 5% de la distancia perpendicular a la dirección en

estudio.

7.3.5 Limites de la deriva: Numeral A.6.4.2. La deriva hace referencia a el desplazamiento relativo

de dos puntos en pisos consecutivos y en la misma dirección. Para estructuras aporticadas de

concreto es máximo el 1% de la altura de entrepiso.

7.4 EJEMPLO DE ANÁLISIS POR MEDIO DE LA FUERZA HORIZONTAL

EQUIVALENTE

Ejemplo 12: El modelo estructural del punto 1.7, tiene como fin el uso de oficinas, esta localizado

en la ciudad de Armenia, el edificio esta localizado sobre una capa de 100m de arcilla dura con una

velocidad de onda cortante de 500m/seg. Determinar si con la configuración actual de la estructura

se cumplen las derivas en la dirección “X”.

a) Determinar la zona de amenaza sísmica y el coeficiente de aceleración Aa, para la estructura:

Buscando en el titulo A.2.3 de la NSR98, encontramos que Armenia esta en una zona de

amenaza sísmica alta y que su coeficiente de Aceleración pico Aa = 0.25

b) Determinar el coeficiente de sitio según las condiciones del suelo que será soporte para la

estructura: Consultando el titulo A.2.4 de la NSR98, podemos observar que las condiciones el

suelo están contenidas dentro el perfil del suelo S2, por lo tanto su coeficiente de sitio es S=1.2

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115

c) Determinar el coeficiente de importancia I: En el titulo A.2.5 podemos observar las condiciones

de uso, tenemos que nuestra estructura se encuentra dentro del Grupo de Uso I, y por lo tanto el

Coeficiente de importancia es I=1.0

d) Hallar el periodo fundamental aproximado Ta: En el titulo A.4.2 encontramos que el periodo

fundamental depende de la altura de la edificación, y un coeficiente en relación a la resistencia

sísmica de la estructura.

4/3nta hCT

La estructura que estamos desarrollando es un sistema de pórticos en concreto reforzado

resistentes a momentos, por lo tanta tenemos que Ct=0.08. hn corresponde a la altura de la

edificación en metros medida desde la base de la estructura hasta el piso más alto de la

misma; para nuestro caso tenemos hn=8.20m. Por lo tanto tenemos:

4/320.8*08.0aT = 0.39seg

Del numeral A.4.2.1 tenemos que el máximo valor que puede tener el periodo de la

estructura es 1.2Ta, por lo tanto tenemos

T = 1.2Ta = 1.20 * 0.39s = 0.47seg.

e) Cálculo de espectro de diseño Sa: Observando el capitulo A.2.6 encontramos el espectro

elástico de diseño (figura A.2-4), en este gráfico ingresamos con el periodo T y hallamos el

valor de Sa:

Sa = 2.5*Aa*I = 2.5 * 0.25 * 1 = 0.625g

f) Cálculo de la masa del edificio: Para el modelo estructural que estamos analizando

tenemos:

Masa por nivel:

Vigas literales = (0.40m x 0.30m x 16.00m x 2400kg/m3) x 3 = 13824.00kg

Vigas numerales = (0.40m x 0.30m x 7.10m x 2400kg/m3) x 4 = 8179.20kg

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116

Placas = (4.70m x 3.70m x 0.20m x 2400kg/m3) x 4 = 33388.80kg

= (5.70m x 3.70m x 0.20m x 2400kg/m3) x 2 = 20246.40kg

Total masa por nivel = 75638.40kg

Masa columnas:

Columna l=2.60 = 0.30m x 0.30m x 2.20m x 2400kg/m3 = 475.20kg

Columna l=3.00 = 0.30m x 0.30m x 2.80m x 2400kg/m3 = 604.80kg

Masa por carga muerta:

Divisiones por nivel = 35kg/m2 x 16.00m x 8.00m = 4480.00kg

Acabados por nivel = 15kg/m2 x 16.00m x 8.00m = 1920.00kg

Total masa por carga muerta = 6400.00kg

Total masa del edificio

[(75638.40kg + 6400.00kg) x 3] + (475.20kg x 12 x 2) + (604.80kg x 12) = 264777.60kg

g) Cálculo del cortante basal:

Vs = 0.625g x 9.81m/s2 x 264777.60kg = 1623417.66N

h) Cálculo de las fuerzas sísmicas:

Nivel Altura h Masa m m*hk Cv F V (m) (kg) (m*kg) (N) (N)

Tercero 8.20 84889.60 696094.72 0.48 777738.27 777738.27 Segundo 5.60 87740.80 491348.48 0.34 548977.75 1326716.02 Primero 3.00 88518.40 265555.20 0.18 296701.64 1623417.66 Totales 1452998.40 1623417.66 Con

struA

prend

e.com


117

Figura No.25 – Fuerzas sísmicas - pórtico literal – (sentido X)

i) Calculo del momento de torsión accidental:

F Longitud "X" ex mx Longitud "Y" ey my (N) (m) (m) (N*m) (m) (m) (N*m)

777738.27 16.00 0.80 622190.62 8.00 0.40 311095.31 548977.75 16.00 0.80 439182.20 8.00 0.40 219591.10 296701.64 16.00 0.80 237361.31 8.00 0.40 118680.65

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118

Figura No.26 Momento torsión accidental

j) Calculo de los desplazamientos en la dirección “X”: Para hallar los desplazamientos

utilizaremos la ecuación:

{FN} = [KN] {UN}

Donde {FN} es el vector de fuerzas correspondiente a la dirección en estudio, [KN] es la

matriz de rigidez de la estructura, y {UN} son los desplazamientos de la dirección en

estudio.

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119

777.74 kN 0.00 kN 311.10 kN*m 548.98 kN

{FN} = 0.00 kN 219.59 kN*m 296.70 kN 0.00 kN 118.68 kN*m

71040.00 0.00 0.00 -86760.00 0.00 0.00 17400.00 0.00 0.00 kN/m 0.00 73360.00 0.00 0.00 -88440.00 0.00 0.00 16560.00 0.00 kN/m 0.00 0.00 3435400.00 0.00 0.00 -4153500.00 0.00 0.00 790040.00 kN*m/rad -86760.00 0.00 0.00 178680.00 0.00 0.00 -107940.00 0.00 0.00 kN/m

[KN]= 0.00 -88440.00 0.00 0.00 181840.00 0.00 0.00 -108360.00 0.00 kN/m 0.00 0.00 -4153500.00 0.00 0.00 8543080.00 0.00 0.00 -5106500.00 kN*m/rad 17400.00 0.00 0.00 -107940.00 0.00 0.00 166800.00 0.00 0.00 kN/m 0.00 16560.00 0.00 0.00 -108360.00 0.00 0.00 168040.00 0.00 kN/m 0.00 0.00 790040.00 0.00 0.00 -5106500.00 0.00 0.00 7912660.00 kN*m/rad

5.94E-05 0.00E+00 0.00E+00 4.12E-05 0.00E+00 0.00E+00 2.05E-05 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 5.64E-05 1.13E-21 0.00E+00 3.92E-05 6.32E-22 0.00E+00 1.97E-05 2.45E-22 0.00E+00 1.13E-21 1.21E-06 0.00E+00 6.32E-22 8.40E-07 0.00E+00 2.45E-22 4.21E-07 4.12E-05 0.00E+00 0.00E+00 3.78E-05 0.00E+00 0.00E+00 2.01E-05 0.00E+00 0.00E+00

[KN]-1= 0.00E+00 3.92E-05 6.32E-22 0.00E+00 3.62E-05 3.09E-22 0.00E+00 1.94E-05 1.11E-22 0.00E+00 6.32E-22 8.40E-07 0.00E+00 3.09E-22 7.74E-07 0.00E+00 1.11E-22 4.16E-07 2.05E-05 0.00E+00 0.00E+00 2.01E-05 0.00E+00 0.00E+00 1.69E-05 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 1.97E-05 2.45E-22 0.00E+00 1.94E-05 1.11E-22 0.00E+00 1.66E-05 7.84E-23 0.00E+00 2.45E-22 4.21E-07 0.00E+00 1.11E-22 4.16E-07 0.00E+00 7.84E-23 3.52E-07

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120

0.07 m 0.00 m 0.00 rad 0.06 m

{UN} = 0.00 m 0.00 rad 0.03 m 0.00 m 0.00 rad

k) Cálculo de las derivas:

Figura No.27 – Deformada pórtico literal – (sentido X)

%38.0%100*60.2

06.007.0%100*

3

233

m

mm

h

%15.1%100*60.2

03.006.0%100*

2

122

m

mm

h

%00.1%100*00.3

03.0%100*

1

11

m

m

h

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121

l) Para la estructura actual y las condiciones dadas la estructura no cumple en el segundo nivel

con las derivas, por lo tanto se debe rigidizar la estructura, aumentando la dimensión de las

columnas en el sentido “X”

Actividad 09: Redimensionar las columnas a una sección de 0.35 en “x” y 0.30 en “y” (0.35 x

0.30), recalcular la matriz de rigidez de la estructura y hacer la comprobación de las derivas

en ambos sentidos de la estructura para las mimas condiciones sísmicas expresadas en el

ejemplo 12

Actividad 10: El modelo estructural del punto 1.7, tiene como fin el uso de oficinas, esta

localizado en la ciudad de Puerto Carreño, considere el perfil del suelo como S1. Determinar si

con la configuración de la estructura se cumplen las derivas en ambas direcciones.

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122

CONCLUSIONES

Se ha elaborado un software multimedia desde un punto de vista totalmente practico, detallando

paso a paso los procesos necesarios para:

a. Hallar la matriz de rigidez de una estructura reducida a tres grados de libertad por piso.

b. Realizar un análisis modal espectral (fuerzas y desplazamientos máximos modales)

c. Realizar un análisis por el método de la fuerza horizontal equivalente (fuerzas sísmicas y

derivas)

Se ha realizado un ejemplo paso a paso de todas las operaciones matemáticas y matriciales

necesarias para resolver la estructura, dando un ejemplo y un explicación sencilla de cada paso, sin

incluir demostraciones.

Se ha seleccionado una estructura de concreto, con dos pórticos típicos, diferentes longitudes de

vigas y columnas, diferente resistencia de las placas y columnas, de tal modo, que se da el ejemplo

de un elemento, y se dejan de actividad los elementos restantes, para todos los casos necesarios.

Para el ejemplo del presente curso se ha seleccionado intencionalmente una estructura que no

cumple con las derivas, de tal modo que el alumno deba reconfigurar la estructura y repetir la

totalidad del ejercicio hasta que las derivas se cumplan.

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123

BIBLIOGRAFÍA

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diseño y construcción sismo resistente. Bogota : Ais, 1998.

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ESCAMILLA URIBE, Jairo. Análisis de estructuras. 2 ed. Bogotá : Escuela colombiana de

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GARCÍA REYES, Luís Enrique. Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico. Bogotá :

Universidad de los Andes, 1998. 574 p.

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KASSIMALI, Islam, Análisis estructural. 2 ed. México : Thompson editores, 2001. 705 p.

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MORA ESCOBAR, Héctor Manuel. Introducción a SCILAB. Bogotá : Universidad nacional de

Colombia, 2002. 59 p.

SARRIA MOLINA, Alberto. Ingeniería sísmica. 2 ed. Bogotá : Universidad de los Andes, 1995.

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