Controversia sobre la matemtica como ciencia[editar]Se ha discutido el carcter cientfico de las matemticas debido a que sus procedimientos y resultado poseen una firmeza e inevitabilidad inexistentes en otras disciplinas como pueden ser lafsica, laqumicao labiologa. As, la matemtica seratautolgica,infalibleya priori,cuando los ejemplos antes citados y otras, como lageologao lafisiologa, seran falibles ya posteriori. Son estas caractersticas lo que hace dudar de colocarse en el mismo rango que las disciplinas antes citadas.John Stuart Millafirmaba:La lgica no observa ni inventa ni descubre, pero juzga.As, los matemticos pueden descubrir nuevos procedimientos para resolverintegralesoteoremas, pero se muestran incapaces de descubrir un suceso que ponga en duda elTeorema de Pitgoraso cualquier otro, como s sucede constantemente con las ciencias de la naturaleza.10La inspiracin, las matemticas puras y aplicadas y la esttica[editar]

SirIsaac Newton(1643-1727), comparte conLeibnizla autora del desarrollo delclculointegral y diferencial.Es muy posible que el arte del clculo haya sido desarrollado antes incluso que la escritura,11relacionado fundamentalmente con lacontabilidady la administracin de bienes, elcomercio, en laagrimensuray, posteriormente, en laastronoma.Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemticas. Por ejemplo, elfsicoRichard Feynmanpropuso laintegral de caminoscomo fundamento de lamecnica cuntica, combinando el razonamiento matemtico y el enfoque de la fsica, pero todava no se ha logrado una definicin plenamente satisfactoria en trminos matemticos. Similarmente, lateora de cuerdas, una teora cientfica en desarrollo que trata de unificar las cuatrofuerzas fundamentales de la fsica, sigue inspirando a las ms modernas matemticas.12Algunas matemticas solo son relevantes en el rea en la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las matemticas inspiradas en un rea concreta resultan tiles en muchos mbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemticos generales aceptados. El notable hecho de que incluso la matemticams purahabitualmente tiene aplicaciones prcticas es lo queEugene Wignerha definido como la irrazonable eficacia de las matemticas en las Ciencias Naturales.13Como en la mayora de las reas de estudio, la explosin de los conocimientos en la era cientfica ha llevado a la especializacin de las matemticas. Hay una importante distincin entre lasmatemticas purasy lasmatemticas aplicadas. La mayora de los matemticos que se dedican a la investigacin se centran nicamente en una de estas reas y, a veces, la eleccin se realiza cuando comienzan sulicenciatura. Varias reas de las matemticas aplicadas se han fusionado con otras reas tradicionalmente fuera de las matemticas y se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser laestadstica, lainvestigacin de operacioneso lainformtica.Aquellos que sienten predileccin por las matemticas, consideran que prevalece un aspecto esttico que define a la mayora de las matemticas. Muchos matemticos hablan de laeleganciade la matemtica, su intrnsecaestticay subellezainterna. En general, uno de sus aspectos ms valorados es la simplicidad. Hay belleza en una simple y contundentedemostracin, como la demostracin de Euclides de la existencia de infinitosnmeros primos, y en un eleganteanlisis numricoque acelera el clculo, as como en latransformada rpida de Fourier.G. H. HardyenA Mathematician's Apology(Apologa de un matemtico) expres la conviccin de que estas consideraciones estticas son, en s mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemticas puras.14Los matemticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excntrico matemticoPaul Erdsse refiere a este hecho como la bsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas.1516La popularidad de lamatemtica recreativaes otra seal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemticas.Vase tambin:Belleza matemticaNotacin, lenguaje y rigor[editar]Artculo principal:Notacin matemtica

Leonhard Euler. Probablemente el ms prolfico matemtico de todos los tiempos.La mayor parte de la notacin matemtica que se utiliza hoy en da no se invent hasta el siglo XVIII.17Antes de eso, las matemticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limitaba el avance matemtico. En el siglo XVIII,Euler, fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad. La notacin moderna hace que las matemticas sean mucho ms fcil para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada. La notacin reduce las matemticas al mximo, hace que algunos smbolos contengan una gran cantidad de informacin. Al igual que lanotacin musical, la notacin matemtica moderna tiene una sintaxis estricta y codifica la informacin que sera difcil de escribir de otra manera.

El smbolo deinfinitoen diferentes tipografas.Ellenguajematemtico tambin puede ser difcil para los principiantes. Palabras tales comooyslotiene significados ms precisos que en lenguaje cotidiano. Adems, palabras comoabiertoycuerpotienen significados matemticos muy concretos. Lajergamatemtica, o lenguaje matemtico, incluye trminos tcnicos comohomeomorfismoointegrabilidad. La razn que explica la necesidad de utilizar la notacin y la jerga es que el lenguaje matemtico requiere ms precisin que el lenguaje cotidiano. Los matemticos se refieren a esta precisin en el lenguaje y en la lgica como el rigor.Elrigores una condicin indispensable que debe tener unademostracin matemtica. Los matemticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemtico. Esto sirve para evitarteoremaserrneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia.18El nivel de rigor previsto en las matemticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos deIsaac Newtonlos mtodos empleados eran menos rigurosos. Los problemas inherentes de las definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un resurgimiento de un anlisis cuidadoso y a las demostraciones oficiales del siglo XIX. Ahora, los matemticos continan apoyndose entre ellos mediante demostraciones asistidas por ordenador.19Unaxiomase interpreta tradicionalmente como una verdad evidente, pero esta concepcin es problemtica. En el mbito formal, un axioma no es ms que una cadena de smbolos, que tiene un significado intrnseco slo en el contexto de todas las frmulas derivadas de unsistema axiomtico.La matemtica como ciencia[editar]

Carl Friedrich Gauss, apodado el "prncipe de los matemticos", se refera a la matemtica como "la reina de las ciencias".Carl Friedrich Gaussse refera a la matemtica como la reina de las ciencias.20Tanto en el latn originalScientiarum Regina, as como enalemnKnigin der Wissenschaften, la palabracienciadebe ser interpretada como (campo de) conocimiento. Si se considera que lacienciaes el estudio del mundo fsico, entonces las matemticas, o por lo menos lasmatemticas puras, no son una ciencia.Muchos filsofos creen que las matemticas no son experimentalmentefalseables, y, por tanto, no es una ciencia segn la definicin deKarl Popper.21No obstante, en ladcada de 1930una importante labor en la lgica matemtica demuestra que las matemticas no puede reducirse a la lgica, y Karl Popper lleg a la conclusin de que la mayora de las teoras matemticas son, como las defsicaybiologa,hipottico-deductivas. Por lo tanto, las matemticas puras se han vuelto ms cercanas a las ciencias naturales cuyas hiptesis son conjeturas, as ha sido hasta ahora.22Otros pensadores, en particularImre Lakatos, han solicitado una versin deFalsacionismopara las propias matemticas.Una visin alternativa es que determinados campos cientficos (como lafsica terica) son matemticas con axiomas que pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el fsico terico,J. M. Ziman, propone que la ciencia es conocimiento pblico y, por tanto, incluye a las matemticas.23En cualquier caso, las matemticas tienen mucho en comn con muchos campos de las ciencias fsicas, especialmente la exploracin de las consecuencias lgicas de las hiptesis. Laintuiciny laexperimentacintambin desempean un papel importante en la formulacin deconjeturasen las matemticas y las otras ciencias. Lasmatemticas experimentalessiguen ganando representacin dentro de las matemticas. El clculo y simulacin estn jugando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias como en las matemticas, atenuando la objecin de que las matemticas no se sirven delmtodo cientfico. En 2002Stephen Wolframsostiene, en su libroUn nuevo tipo de ciencia, que la matemtica computacional merece ser explorada empricamente como un campo cientfico.Las opiniones de los matemticos sobre este asunto son muy variadas. Muchos matemticos consideran que llamar a su campocienciaes minimizar la importancia de su perfil esttico, adems supone negar su historia dentro de las sieteartes liberales. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexin con las ciencias supone ignorar la evidente conexin entre las matemticas y sus aplicaciones en la ciencia y laingeniera, que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las matemticas. Otro asunto de debate, que guarda cierta relacin con el anterior, es si la matemtica fuecreada(como el arte) odescubierta(como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de incumbencia de lafilosofa de las matemticas.Los premios matemticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en la ciencia. El ms prestigioso premio dentro de las matemticas es laMedalla Fields,2425fue instaurado en 1936 y se concede cada cuatro aos. A menudo se le considera el equivalente delPremio Nobelpara la ciencia. Otros premios son elPremio Wolf en matemtica, creado en 1978, que reconoce el logro en vida de los matemticos, y elPremio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003. Estos dos ltimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigacin innovadora o la solucin de un problema pendiente en un campo determinado. Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver, denominada losProblemas de Hilbert, fue recopilada en 1900 por el matemtico alemnDavid Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales, tituladaProblemas del milenio, se public en 2000. La solucin de cada uno de los problemas ser recompensada con 1 milln de dlares. Curiosamente, tan solo uno (lahiptesis de Riemann) aparece en ambas listas.