cuerpos finitos - foros de matemática y ciencia

Cuerpos finitos

José Luis BarlaUniversidad Nacional de La Plata.Facultad de Ciencias Exactas.Departamento de Matemática.Estructuras Algebraicas.

Resumen

La finalidad de este trabajo, es abordar el tema de los cuerpos finitos haciendo hincapié en la construcción de estosobjetos matemáticos. Para ello, me he abocado al estudio de los cuerpos de escisión del polinomio

X pn- X Î Zp@XD con p, n Î N siendo p un número primo.

Cuando n=1, nos encontramos con el tan conocido cuerpo:

Z � Xp\ º Z � pZ, o como se le suelle llamar en forma abreviada Zp.

Z / X p\ será el cuerpo primo de todos los cuerpos de órdenes superiores que extiendan al mismo. Siendo ademásquien imprima la característica, a todos ellos.

Cuando n>1, nos encontramos con estructuras isomorfas al cociente

Zp � X f HxL\, donde f HxL es un polinomiode grado n, irreduciblesobre Zp@XD .

Al abordar estas estructuras, enseguida nos percatamos que la mayor dificultad se encuentra en la construcción detales polinomios y la obtención de un elemento primitivo en estos cuerpos.

Si bien la construcción de polinomios irreducibles seguirá quedando para el cálculo numérico, en el caso general; alo largo de este texto se proveerán algunas herramientas que faciliten esta tarea y la de hallar elementos primitivos.

Para tratar de hacer más ordenada la lectura, este artículo se halla estructurado en tres bloques principales, a saber:

æ Preliminares.

æ Núcleo.

æ Apéndice.

En las preliminares hallamos algunas definiciones y resultados sobre extensiones algebraicas y de Galois, se hanomitido las demostraciones para no extender inecesariamente el tranbajo. De todos modos hay sobrada literaturasobre estos temas, entre la cual se puede consultar la hallada en las referencias de este artículo.

El núcleo intitulado "Cuerpos finitos", al igual que el escrito. Es el que contiene los resultados principales de estetrabajo. Algunos de los asertos aquí demostrados no los he ubicado en la vasta bibliografía consultada, por lo quepodría decir que son de mi propia elaboración. Si bien no pretendo que estos resultados sean originales, por lomenos son difíciles de hallar en textos de la temática. Coronando al núcleo, puse un ejemplo, que espero sea losuficientemente ilustrativo de los resultados previos.

Finalmente, en el apéndice se desarrollan algunas herramientas, que aunque de distintas materias, son útiles paralaborar los temas aquí tratados.

3 de Noviembre de 2012.

Preliminares

� Extensiones Algebraicas

Definición 1. Un cuerpo es un anillo conmutativo con división.

Observemos que F es un espacio vectorial sobre K y se define el grado de F, [F:K]=n, donde n es la dimensión del espacio vectorial. Esta puede

ser finita o infinita, conforme a lo cual, el orden de la extensión lo será. Si A Ì K, entonces K (A) es el la menor estensión de cuerpos sobre K,

que contiene a A. Una extensión F/K es llamada simple, se existe Α Î F tal que F=K (Α).

Definición 2. Sea K un cuerpo, una extensión de de cuerpos F/K, es un monomorfismo de K sobre un cuerpo F, con K Ì F.

Definición 3. Sea F una extensión de cuerpos de K, Α es algebraica sobre K, si existe algún polinomio no constante f Î K[X] tal que f (Α)=0.

Una extensión F es llamada algebraica sobre K si para todo Α Î F, Α es algebraica sobre K.

Si Ζ Î F es tal que para todo f Î K[X] con f no constante f(Ζ) ¹ 0, entonces se dice que Ζ es trascendente sobre K.

1

Una extensión F es llamada algebraica sobre K si para todo Α Î F, Α es algebraica sobre K.

Si Ζ Î F es tal que para todo f Î K[X] con f no constante f(Ζ) ¹ 0, entonces se dice que Ζ es trascendente sobre K.

Teorema 1. Toda extensión finita de cuerpos, es algebraica.

Definición 4. Sea F una extensión de K y Α Î F algebraico sobre K, entonces el polinomio mínimo de Α sobre K es el único polinomio mónico

irreducible m(x) Î K[X] tal que para cualquier f(x) Î K[X], f(Α)=0 si y solo si, m(x) divide a f(x).

Definición 5. Un cuerpo K es llamado algebraicamente cerrado si para cualquier polinomio no constante f(x) Î K[X], existe Α Î K tal que

f(Α)=0. La clausura algebraica de un cuerpo K, es una extensión K de K, que es algebraicamente cerrada.

Definición 6. Sean F1, F2 extensiones de cuerpos de K, un homomorfismo Σ: F1� F2

que deja fijo todo elemento de K, es llamado K-Homomorfismo i.e. Σ(a)=a para todo a Î K. Decimos que dos extensiones F1, F2 son K-

isomórficas si existe algún K-isomorfismo:

Σ: F1� F2.

Definición 7. Sea F una K-Extensión, f(x) Î K[x] se dice que escinde sobre F, si es un polinomio constante o si existe Αi Î F, tal que:

f HxL = Α äi=1

n Hx - ΑiLdonde Α Î K es el coeficiente principal.

Observación 1. La extensión F es un cuerpo de escisión de f(x) si f(x) escinde sobre F pero no sobre cualquier otro subcuerpo propio de F que

contenga a K. Ahora supongamos que K1 y K2 son dos cuerpos isomórficos con un isomorfismo Σ y f(x) Î K[X]. Si F1, F2 son los cuerpos de

escisión de f(x) y Σ(f(x)) respectivamente, entonces existe un isomorfismo Τ: F1�F2 que extiende Σ i.e. el cuerpo de escisión de f(x) sobre K es

único salvo isomorfismos. De otra manera, si F es un cuerpo de escisión de f(x), y Α, Β Î F, entonces existe un K-automorfismo de F que manda Α a

Β si y solo si Α y Β tienen el mismo polinomio mínimo.

Definición 8. Una extensión F/K es llamada normal si todo polinomio irreducible f(x)Î K[X]

que tiene alguna raíz sobre F, entonces f(x) escinde sobre F.

Lema 0. ( Artin) Sea G un grupo finito de automorfismos de un cuerpo F y sea

K = FG = 8Α Î F Σ HΑ L = Α " Σ Î G<. Entonces F : K £ ë HGL.Teorema 2. Si F es un cuerpo de escisión de un polinomio irreducible f(x)Î K[X], entonces F es normal. Como pronto veremos Fpn / Fp con p

primo, es una extensión normal.

Definición 9. Un polinomio irreducible f(x) se le dice separable sobre K si no tiene raíces múltiples en su cuerpo de escisión.

Observación 2. Un elemento algebraico Α Î F es separable sobre K, si su polinomio mínimo es separable sobre K. Decimos que una extensión

F/K es separable si y solo si todos los elementos de F son separables.

Definición 10. Un cuerpo F es perfecto, si todo polinomio f(x) Î F[X] es separable.

Definición 11. Toda extensión que es a la vez normal y separable es llamada extensión de Galois.

� Extensiones de Galois

Definición 12. Se dice que una extensión de campos F/K es de Galois cuando es normal y separable. Como F/K es normal, esto implica que

F/K es algebraica. Dada una extensión arbitraria de campos F/K, definimos su grupo de Galois, Gal (F/K), como el grupo de los K automorfis-

mos de F. Si suponemos que F/K es de Galois y que

F Ì K

entonces podremos identificarGal (F/K) con:

9j : F � K j es un K - morfismo=K = FG = 8Α Î F Σ HΑ L = Α " Σ Î G<. Entonces F : K £ ë HGL.

Teorema 3. ( Fundamental de la Teoría de Galois) Sea F/K una extensión finita de Galois con G = Gal (F/K). Entonces :

(a) La función que a un cuerpo intermedio E le asocia el grupo H de los E - automorfismos de F, es una biyección del conjunto de los cuerpos

intermedios al conjunto de los subgrupos de G, cuyo inverso envía cada subgrupo de G al conjunto de sus puntos fijos.

(b) La extensión F/E es de Galois para todo cuerpo intermedio E.

2 Cuerpos Finitosrm.nb

(b) La extensión F/E es de Galois para todo cuerpo intermedio E.

(c) La extensión E/K es de Galois si y sólo si el subgrupo asociado a E es normal en G.

Cuando esto sucede , j :G � Gal (E/K) dado por

j HΣ L = Σ E

es un morfismo suprayectivo de grupos con núcleo Gal (F/E), de manera que

Gal (E/K) @ G/Gal (F/E).

(d) Si el cuerpo intermedio E está asociado al subgrupo H de G y Σ Î G, entonces ΣE es un cuerpo intermedio asociado al subgrupo

ΣHΣ -1 de G.

(e) | F : K | = ë (G).

Teorema 4. (Steinitz) Una extensión finita F/K es simple si y sólo si el número de campos intermedios es finito.

Teorema 5. (del elemento primitivo) Toda extensión separable y finita es simple.

Teorema 6. (Artin) Sea G un grupo finito de automorfismos de un campo F y sea:

K = FG . Entonces F � K es una extensión finita de Galois con Gal HF � KL = G.

3

Cuerpos finitos

� Resultados básicos

Definición 13. Sea F un cuerpo finito, se llama característica car(F) a nÎ N tal que n.1=0.

donde 1 es la unidad de F y

n .1 = 1 + … + 1

n veces

Proposición 1. Sea K un cuerpo finito. Entonces carac K es un número primo.

Dem. Si n*m*1 = 0 � (n*1) (m*1) = 0 contrariamente a que K es un dominio de integridad. El cuerpo primo de K es Z /pZ.

Proposición 2. El orden de todo cuerpo finito es una potencia de la característica.

Dem. Si K es un cuerpo con ë (K) = q y carac K = p, entonces la dimensión de K como espacio vectorial sobre

Zp := Z � pZ

es un entero n, es decir

AK : ZpE = n,

por lo tanto si

Α1, …, Αn es una base de K sobre Zp y u Î K,

u = a1 Α1 + … + an Αn, con a1, …, an Î Zp,

pero hay pn de estas sumas distintas consecuentemente q = pn.

Proposición 3. Si F es un cuerpo finito con pr elementos, entonces F es un cuerpo de escisión del polinomio

X pr-X

sobre su cuerpo primo.

Dem. Sea F*:= F\{0}. Entonces F* es un grupo multiplicativo finito ( De hecho un grupo cíclico,

ver Corolario 7. del apéndice L con pr - 1 elementos.

Por lo tanto , es apr-1=1 para a Î F* con a¹0. Luego todo a Î F, inclusive a=0, cumple la ecuación apr= a. En otras palabras, cada a Î F es una

raíz del polinomio X pr-X . Este polinomio tiene coeficientes 1,-1 y 0 los cuales pertenecen al cuerpo primo.

Ahora X pr-X tiene grado pr, luego tiene a lo sumo pr raíces distintas en un cuerpo cualquiera. Los elementos del cuerpo F son pr raíces de este

polinomio y y son distintas. En síntesis, este polinomio escinde en F[X]:

X pr- X = ä

a Î F

HX - aL

Es evidente y es trivial que F es generado, sobre su cuerpo primo, por el conjunto de raíces

{a: a Î F}, así que F es un cuerpo de escisión de X pr-X.

�.

Teorema 7.

Si q = pr

es una potencia de un primo, existe un cuerpo finito, único salvo isomorfismo, con q elementos.

Dem. Considérese el polinomio

X pr- X Î Fp@xD.

Por el teorema de Kronecker, hay una extensión

K Fp

tal que f (x) escinde en K. Se puede suponer, sin perder generalidad, que K está generado sobre Fp por las raíces de f (x), de modo que es un

cuerpo de escisión para f (x) sobre Fp.Y K es único salvo Fp-isomorfismo.La derivada de f (x) es


tal que f (x) escinde en K. Se puede suponer, sin perder generalidad, que K está generado sobre Fp por las raíces de f (x), de modo que es un

cuerpo de escisión para f (x) sobre Fp.Y K es único salvo Fp-isomorfismo.La derivada de f (x) es

f ' HxL = pr X pr-1 - 1 = -1

en Fp@XDPor lo tanto f (x) no tiene raíces múltiples.

Sea E Í K el conjuntode las pr raíces distintas de f HxL. Si Α, Β Î E, entonces

HΑΒLpr= Αpr

Βpr= ΑΒ,

así que ΑΒ Î E ; también

H-ΑLpr= -Αpr

= -Α, así que - Α Î E.

(Observese que - Α = Α si p = 2) Además, por el teorema binomial, es

HΑ + ΒLpr= Αpr

+pr

1Αpr-1 Β + … +

pr

pr - 1ΑΒpr-1 + Βpr-1 = Αpr

+ Βpr= Α + Β,

porque ppr

ksi k = 1, …, pr - 1.

Por lo tanto Α + Β Î E también. Se concluyeque E es un subcuerpo de K con pr elementos.

Por la proposición 3. se tiene que E = K.

á

� Construcción de cuerpos finitos

Ahora abordaremos la construcción de cuerpos finitos. Si K es un cuerpo finito y ë HKL = p

ya sabemos que Zp tiene estructura de cuerpo. Construiremos un cuerpo K con ë HKL = pn y 1 < n Î N.

Sea K = Zp@XD � X f HxL\ donde f HxL Î Zp@XD es un polinomio irreduciblecon deg H f HxLL = n.

Sabemos por que Zp@XD � X f HxL\ es un cuerpo HCorolarios 8 y 9 del ApéndiceL además siendo

gHxL Î Zp@XD con deg Hg HxLL > n, se tiene

g(x)=q(x)p(x)+r(x) donde r(x),q(x) ÎZp[X] y deg(r(x))<n.

g(x)=q(x)p(x)+r(x) donde r(x),q(x) ÎZp[X] y deg(r(x))<n.

Por lo tanto, todos los elementos de K, estarán representados por la clase de los polinomios con grado menor que n, es decir como

a0+ a1x+…+ an-1 xn-1 +X f(x)\ Obviamente hay pn de estas clases distintas, siendo claramente ë (K)=pn. El problema más difícil para establecer esta construcción es hallar unpolinomio irreducible f(x)ÎZp[X]. Pero antes de tratar este tema, veremos como hallar los elementos de K.

Una forma práctica de hallar los elementosde Zp@XD � X f HxL\ = K , es utilizando numeración en base p, para eso, primero veamos un ejemplo.

Se quiere construir el cuerpo de característica p = 2,

con q = 23.Los 8 polinomiosque conformanK se los puede codificarde la siguiente manera HQueda sobreentendidoel ideal X f HxL\L :

Ord Código Polinomio0 000 01 001 13 010 x3 011 x + 1

4 100 x2

5 101 x2 + 1

6 110 x2 + x

7 111 x2 + x + 1

Tabla 1.

5

Tabla 1.

Es decir de los 8 polinomios de K, si quisieramos escoger el 6 º , conforme a la codificación establecida, 6 = 1102 , que se corresponde con x2+x. Engeneral para ë (K)= pn y 0£ r< pn

Si r = âi=0

n-1

pi ai se tiene fr HxL = âi=0

n-1

ai xi

Observación 3. Con esta construcción, solo hemos obtenido los elementos del cuerpo, pero no su estructura, Si bién aplicando las operaciones

módulo p, podemos sumar estos elementos, pero su múltiplicación dependerá del polinomio irreducible utilizado como ideal. Si quisiéramos sumar

los elementos 5 y 7 de la tabla, la forma de proceder sería sumando bit a bit módulo 2 (bitwise OR), los códigos de cada elemento:

5 101 x2 + 1

7 111 x2 + x + 1

2 010 x

Tabla 2.

En lo que sigue veremoslo concernientea polinomios irreducibles de grado n en Zp@XD,para poder construir el cuerpo K = Zp@XD � X f HxL\ , con ë HKL = pn.

Además demostraremos el teorema del elemento primitivo en K, que nos permitirá escoger un f(x) apropiado para que x+X f(x)\ sea uno de loselementos primitivos de K.

� Factorización en módulo primo

Ahora intentaremos determinar exactamente, cuando el nésimo polinomio ciclotómico expande sobre un módulo primo particular. En lo que sigue,

asumimos que todo cuerpo tiene una clausura algebraica, luego cuando estemos en cuerpos finitos, los vamos a tomar como subcuerpos de F p.

Teorema 8.

" n ³ 1, X pn- X = ä

d�nfd HXL,

donde fd HXL es el producto de todos los polinomios irreducibles en Fp@XD, de grado d.

Dem. Sobre Fp@XD, X pn- X es relativamenteprimo con su derivada i.e.

I X pn- X , pn X pn-1 - 1M = 1,

entonces no hay raíces múltiples, por lo tanto es suficiente probar , si f (X) es un polinomio irreducible de grado d, entonces f (X) divide Xpn

- X sii

d divide a n.

Sea Α una raíz de f HXL y F = Fp HΑL una extensión de grado d, entonces F consiste de pd elementos y todos estos elementossatisfacen la ecuación

X pd- X = 0

i.e. F es el cuerpo de escición para X pd- X . En efectoel grupo multiplicativode F es de orden

pd - 1 y luego cada X ¹ 0 con X Î F satisface X pd-1 = 1.

Supongamos d n , entonces pd - 1 divide a pn - 1 entonces X pd- X X pn

- X . HTeorema14. del ApéndiceLPor lo tanto Α es también raíz de X pn

- X , entonces, f HxL divide X pn- X .

RecíprocamenteSupongamos f HxL divide X pn- X entonces Αpn

- Α = 0.

Para cualquier elemento arbitrario a1 Αd-1 + … + ad Î F, Se tiene

Ia1 Αd-1 + … + ad Mpn

= a1 IΑpn Md-1+ … + ad = a1 Αd-1 + … + ad ,

por lo tanto, todo elemento de F satisface la ecuación Xpn

- X = 0,consecuentemente

X pd- X X pn

- X lo que implica d n.

á


á

Teorema 9.

Sea Fq un cuerpo finito con q elementos y característica p, nÎ N tal que p I n. El n_ésimo polinomio ciclotómico Fn(x), factoriza sobre Fq como

producto de factores irreducibles , todos del mismo grado d, donde d es el orden de q mod n ( qd º 1 mod n).

Dem. Siendo p la característica de Fq, entonces p I n implica (q,n)=1, esto garantiza la existencia de una raíz primitiva nésima de la unidad sobre

Fq.

Sea Ζn una de ellas, entonces Ζn Î Fqk sii Ζnqk

-Ζn=0 que es verdadero sii qkº 1 (mod n). El mínimo entero positivo para lo que esto es cierto es d.

Luego Ζn Î Fqd pero no a otro subcuerpo propio de Fqd .

De esta manera, el polinomio mínimo de Ζn sobre Fqd tiene grado d. Siendo Ζn una raíz primitiva nésima cualquiera, el resultado se sigue fácilmente

porque podemos dividir Fn(x) sucesivamente por los polinomios mínimos de la raíz n_ésima sobre Fqd , i.e.

aunque toda raíz nésima primitiva puede tener distintos polinomios mínimos, estos tienen el mismo orden en el cuerpo finito Fqd , por lo tanto sus

polinomios mínimos tienen todos el mismo grado.

á

Corolario 1.

Sea n= pd-1, con p primo, entonces Fn(x) factoriza en polinomios irreducibles sobre Zp[X], todos de grado d.

Haciendo q = p, p I n y pd º 1 mod n. Quedando cumplidas las hipótesis del teorema, el resultado es imediato.

á

� El automorfismo de Frobenius

Definición 14. Sea F un cuerpo de característica p¹0. El endomorfismo de Frobenius j: F � F es la aplicación definida por j(a)= ap.

Observación 4. Si a,bÎ F.

j HabL = HabLp = ap bp = j HaL j HbL.

j Ha + bL = Ha + bLp = âi=0

pp

iap-i

bi = ap +bp = j HaL + j HbL

La penúltima igualdad surge pues pp

icuando 0 < i < p

por ser F de característica 0, los términos centrales se anulan.

Además, si j HaL = j HbL � j HaL - j HbL = 0 = ap - bp = Ha - bLp � a = b

Por lo tanto j es inyectivo, y por ser F finito, también es sobreyectivo. En tal caso j es un automorfismo.

Si aÎ Fp con p primo, entonces ap= a, siendo Fp@ Zp y en virtud del pequeño teorema de Fermat.

Consecuentemente, si f HxL Î Zp@XD y Α es una raíz de f HxL, haciendo

f Hj HΑLL = a0 + j HΑL a1 + … + Hj HΑLLn an

= a0 + Αp a1 + … + HΑpLn an -

= a0 + Αp a1 + … + HΑnLp an --

= Ha0 + Αa1 + … + Αn anL p -- -

= 0 -- ---------------

Luego j (Α), también es una raíz de f (x).

Proposición 4.

Sea f HxL Î Zp@XD un polinomio irreducible, con deg H f HxLL = r. Dada una raíz Α de f HxL,Α , j HΑ L, …, j r-1 HΑ L, conforma el juego completo de raices de f HxL.Sea Fp HΑL Fp, se tiene AFp HΑL : FpE = r y ë IFp HΑLM = p

r , siendo ë IFp

* HΑLM = pr - 1

7

Si d < r y fuera Αpd= Α, entonces Α IΑpd-1 - 1M = 0, es decir IΑpd-1 - 1M = 0;

Luego Α es raíz del polinomio X pd-1 - 1

y está en el grupo multiplicativodel cuerpo de Escisión de X pd- X , y su polinomio

mínimo debe tener grado £ d, contrariamente a que pmin (Α) = f (x) con grado r > d.

Luego Α, j HΑL, …, jr-1 HΑL son todas distintas y como son todas raíces de f HxL se cumple

lo enunciado.

á

Proposición 5.

Si q = pr es una potencia de un primo, el grupo de automorfismos Aut I FqM del cuerpo Fq

es un grupo cíclico de orden r, generado por el automorfismo de Frobenius.

Dem. Sea j el automorfismode Frobenius de Fq. Entonces jrHaL = apr= a para todo a Î Fq,

lo cual dice que jr = Id en Aut IFqM. Si j fuera de orden s con s < r, entonces apr= a para todo

a Î Fq, de modo que Fq contendría pr raíces distintas del polinomio X ps- X ,

lo cual es imposible. Por lo tanto, el subgrupo cíclico de Aut I FqM generado por j tiene r elementos.

Ahora el grupo multiplicativo Fp* es cíclico, HApéndice Corolario7L.

Si Α Î Fp* es un generador de este grupo, entonces las potencias

9 apk: k = 0, 1, …, r - 1= son distintas.

Sea g HXL Î Fp@XD el polinomiomínimo de Α, cuyogrado divide AFq : FpE = r.

Entonces para k = 0, 1, …, r - 1, es

g IΑpk M = g Ijk HΑLM = jk Hg HΑLL = jk H0L = 0,

de modo que los Αpkson r raíces distintas de g HxL. Luegodeg Hg HxLL = r y además Fq = Fp HΑL.

Cada Σ Î Aut IFqM deja fijo el cuerpo primo Fp, así que Aut IFqM = GalI Fq FpM. En particular, Σ queda determinado por ΣHΑL.Pero g (Σ (Α)) = Σ (g (Α)) = Σ (0) = 0 así que Σ(Α) es una raíz de g(x).

Luego Σ HΑL = Αpk= jkHΑL para algún k.

Se concluyeque el grupo cíclico generado por j es todo AutIFqM.Corolario 2.

Si q = pr es la potencia de un primo, la extensión Fq Fp es cíclica y posee un elemento primitivo.

Dem. La extensión Fq Fp es obviamentefinita, de grador r y la proposición anterior muestra que GalIFq FpM @ Cr. Cualquier generador Α

del grupo cíclico Fq* es un elementoprimitivo de la extensión, pues Fq = FpHΑL.

Además Fq es el cuerpo de escisión sobre Fp de del polinomiomínimo de Α, con raíces

Α, j HΑL, …, jr-1 HΑL,por lo tanto F es normal, quedando establecido que Fq Fp es una extensión cíclica.

á

Observación 5. Por lo visto en "Factorización en módulo primo, Corolario 1.", sabemos que los polinomios ciclotómicos que factorizan al

polinomio,

X pn-1 - 1, son los Fd HxL, tales que,

d pn - 1 es decir Fd HxL X pn-1 - 1 � d pn - 1, consecuentemente,

una condición necesaria para que Fd HxL factoriceen polinomios irreducibles de grado n es que d pn - 1

Proposición 6.


Sea d pn - 1 = q - 1, con p primo, si d I pm - 1, para todo m n con m ¹ n.

Entonces Fd HxL factoriza en polinomios irreducibles de grado n sobre [email protected]. Supongamos que Fd HxL factoriza en polinomios de grado m < n como

d n y Fd HxL factoriza en polinomios del mismo grado, luego se tiene que m d y por lo tanto,

m n, sea f HxL Fd HxL un polinomio irreducible sobre Fp con deg Hf HxLL = m,

si Α es una raíz de f (x), y j el automorfismo de frobenius, se tiene

Α, j HΑL, …, jm-1 HΑL son todas las raíces de f HxL, Luego Gal IF HΑL FpM = m,

es decir AF HΑL : FpE = m, entonces F HΑL = Fq con q = pm, pero todas las raíces de Fq* están en

Xq-1 - 1 = äi q-1

Fi,

Por lo tanto Fd HxL Xq-1 - 1 y consecuentemente d q - 1 = pm - 1, contrariamentea la ipótesis

de partida, por suponer m < n,

por lo tanto m ³ n y por ser m n , debe ser m = n, es decir Fd HxL factoriza

en polinomios irreducibles de grado n sobre Fp@XD que es a lo que queríamos llegar.

á

Ejemplo 1. Como ejemplo a la proposición 6, vamos a hallar los polinomios ciclotómicos,

que factorizanen polinomios irreducibles de grado 3 sobre Z3, Los factoresde 33 - 1 = 26, 32 - 1 = 8 y 3 - 1 = 2,

son respectivamente81, 2, 13, 26<, 81, 2, 4, 8< y 81, 2< luego, los factoresde 26, que no dividan a 8 ni 2, son 13 y 26, de esto obtenemos :

F26 HxL = I1 + 2 x + x3M I1 + 2 x + x2 + x3M I1 + 2 x2 + x3M I1 + x + 2 x2 + x3MF13HxL = I2 + 2 x + x3M I2 + x2 + x3M I2 + x + x2 + x3M I2 + 2 x + 2 x2 + x3M

� Orden de los elementos en Zp@XD � Xf HxL\

Definición 15.

x := x + X f HxL\ Î Zp@XD � X f HxL\ = K con x Î Zp@XD y p primo,

f HxL es un polinomio irreducible de Zp@XD con degH f HxLL = n > 1,

K = pn y K* = pn - 1 , Fn := Fn HxL el nésimo polinomio ciclotómico

Teorema 10.

Sea Ξ Î K y 1 £ d £ pn - 1 . Entonces XΞ \ = d si y solo si Ξ es raíz de Fd

Dem.

H Þ L Si XΞ\ = d entonces Ξd - 1 = 0, por lo tanto Ξ es raíz de Xd - 1, pero Xd - 1 = äi d

Fi,

Si Ξ fuera raíz de F j con j < d, entonces Ξ sería raíz de X j - 1 = äi j

Fi,

contrariamentea ser XΞ\ = d , por lo tanto Ξ debe ser raíz de F j HxL como queríamos demostrar.

H Ü L Supongamos que Ξ es raíz de F j , entonces Ξ es raíz de Xd - 1 = äi d

Fi,

pero para j < d, Ξ no es raíz de F j HxL, por lo tanto no puede ser raíz de

X j - 1 = äi j

Fi, consecuentemente XΞ\ = d.

�

Corolario 3.

9

Sean x y f HxL como los definimos arriba, entonces Xx\ = d si y solo si f HxL es factor de Fd

Dem.

H Þ L si Xx\ = d, f HxL = f Hx + X f HxL\L = f HxL + X f HxL\ = 0 ,

por lo tanto x es raíz de f HxL y por el Teorema10. x es raíz de Fd .

Como vimos por el automorfismode Frobenius principalmente en la Proposicón 4.

x, …, jn-1 H xL son todas las raíces de f H xL y como Hpn, pn - 1L = 1 ,

Xjm H xL\ = X xpm \ = X x\ = d.

y nuevamenteaplicando el Teorema10. , jmH xL también es raíz de Fd luego

f HxL = äi=0

n Ix - ji HxLM Fd es decir f HxL es factorde Fd como queríamos demostrar.

H Ü L Si f HxL es factorde Fd , como x es raíz de f HxL resulta por el Teorema10. Xx\ = d.

�

Corolario 4. (Teorema del elemento primitivo)

x es un elementoprimitivo de Zp@XD � X f HxL\ con dg H f HxLL = n, si y solo si f HxL es factorde Fpn-1.

Dem. El resultado es inmediato del Corolario3., teniendo en cuenta Xx\ = pn - 1 = K* .

�

� Cálculo de polinomios irreducibles en Zp@X DTeorema 11.

Si llamamos up HnL, a la cantidad de polinomios irreducibles de grado n, sobre Zp@XD, entonces

upHnL =Úd n Μ HdL pn�d

n, donde Μ es la función de Möbius

Dem.

X pn- X = ä

d n

äi=1

up HdLfd,i HxL, donde los fd,i HxL son los distintos polinomiosde grado d.

Por conteode términos tenemos :

H1L pn = âd n

dupHdL

Aplicando a H1L la fórmula de inversión de Möbius HApéndice Teorema19.L se tiene

nupHnL = âd n

ΜHdL pn�d de donde obtenemos

upHnL =Úd n Μ HdL pn�d

n.

á

Ejemplo 2.

Como ejemplo calcularemos la cantidad de polinomios irreducibles sobre Z7@XD,para construir cuerpos de ecsisión del polinomio X73-1 - X .


Se tiene p = 7 y n = 3.

Los divisores de 3 son 1 y 3, Μ H1L = 1, Μ H3L = -1, por lo tanto

u7H3L =73 - 7

3= 112;

Como sabemos por el Teorema9. los polinomiosciclotómicos que factorizancomo

polinomios irreducibles de grado 3 sobre Z7@XD, son

8F9, F18, F19, F38, F57, F114, F171, F342<,si hacemos

D = 89, 18, 19, 38, 57, 114, 171, 342<,se puede calcular :

u7H3L = âdÎD

j HdL3

= 2 + 2 + 6 + 6 + 12 + 12 + 36 + 36 = 112,

donde j es la función cocientede Euler.

Definición 16.

Llamaremos Zpn al cuerpo Zp@XD � X f HxL\ con dg H f HxLL = n.

Proposición 7.

Sea Ξ Î Zpn* , entonces Α = Ξ

pn-1

p-1 es un elemento de Zp* .

Observación 6.

Entendemos que Zp está sumergido en Zpn .

Dem.

Αp-1 = Ξ

pn-1

p-1

p-1

= Ξ pn-1 = 1,

pero las potencias del automorfismode Frobenius nos da todas las raíces del polinomiomínimo de

Α sobre Zp@XD, es decir pminHΑL = X - Α Î Zp@XD Þ Α Î Zp* , como queríamos demostrar.

�

Teorema 12.

Ξ Î Zpn* es un elemento primitivo si y solo si

Ν = Ξ

pn-1

p-1 = Ξ h es un elemento primitivo de Zp y en la secuencia

Ξ , Ξ 2, …, Ξ h

Ν es el primer elemento de Zp.

Dem. Supongamos que Ξ es un elementoprimitivo de Zpn* , por la proposición anterior sabemos que Ξh Î Zp, además

IΞhMp-1= Ξ pn-1 = 1 y IΞhMk

¹ 1 para 1 £ k £ p - 1 por ser Ξ un elementoprimitivo,

consecuentementedebe ser Ξh un elementoprimitivo de Zp. por otra parte si

g <pn - 1

p - 1y Ξg Î Zp, se tiene

Ξg Ip-1M = 1, y como g Hp - 1L <pn - 1

p - 1Hp - 1L = pn - 1,

11

absurdo ya que Ξ es por hipótesis un elementoprimitivo de Zpn* eso por suponer la existencia

de un elementoentero anterior a Ξh.

Por lo tanto Ξh es el primer elementode Zp, en la secuencia generada por Ξ.

Reciprocamente, supongamos Ξ

pn-1

p-1 = Ξh es un elementoprimitivo de Zp,

y es el primer elementode Zp que se halla en la secuencia Ξ, Ξ2, …, Ξh.

Supongamos que existe s £ pn - 1 con Ξs = 1, como 1 Î Zp debemos tener más precisamente

h < s £ pn - 1 con Ξs = 1, luego podemos escribir

s = kh + r con r < h, por lo tanto

Ξkh+r = 1 � Ξkh Ξr = 1, pero Ξkh Î Zp, luego Ξr Î Zp,

pero como Ξr es anterior a Ξh en la secuencia generada por Ξ,

debe ser r = 0 y s = kh, pero por ser Ξh primitivo en Zp,

se tiene necesariamentek = p - 1 y s =pn - 1

p - 1Hp - 1L = pn - 1, pero como s es el orden de Ξ,

se concluyeque Ξ es un elementoprimitivo de Zpn* , con lo que queda demostrado el teorema.

á

Observación 8.

La condición ë IΞhM = p - 1, para h =pn - 1

p - 1,

es necesaria pero no suficientepara que Ξ sea un elementoprimitivo de Zpn* , ya que

puede darse que Ξh sea un elementoprimitivo de Zp, y que algunos elementosde

Zp se hallen antes de Ξh.

Definición 17.

a2 x2 + a1 x + a0 := a2 x2 + a1 x + a0 + X f HxL\Ejemplo 3. Para ilustrar esta situación veremos lo siguiente.

F3HxL = x2 + x + 1 = f HxL, Quedando irreducibleen Z11@XD

h =112 - 1

11 - 1= 12, por lo visto en el Teorema10., ë HXx\L = 3

Observación 9. En lo que sigue, tengamos en cuenta que las operaciones con los enteros, serán módulo 11.

Hx + 3L12= x11 + 311 -- -- --

= Ix2 + 3M Hx + 3L -- -

= 3 Ix2 + x + 1 + 2M + 1

= 3 Ix2 + x + 1M + 7 --

= X f HxL\ + 3 HfxL + 7 --

= X f HxL\ + 7 -- -- --

ë H7L = 10 en Z11, por lo tanto es un elementoprimitivo de Z11* .

Pero haciendo los cálculos, obtenemos Hx + 3L4= 3 Consecuentemente

Hx + 3L40= 1, es decir x + 3 no es un elementoprimitivo en Z112 ya que

Z112* = 120

Observación 10.


Observación 10.

Tengamos en cuenta que si Ξ Î Zpn y XΞ\ Ì Zpn* con ë HXΞ\L = r, se tiene

Ξr = 1 Î Zp, eso garantiza que XΞ\ Ý Zp ¹ Φ .

Proposición 8.

si Ξ Î Zpn y s = Ξ k , es el primer entero de la secuencia Ξ , Ξ 2, …

entonces todo entero t de XΞ \, se lo puede expresar como t = Ξ kh, para algún h Î N

Dem. Si Ξu Î Zp con u > k, entonces u = kh + r para algún entero h > 0, con r < k

por lo tanto Ξu = Ξkh+r = Ξkh Ξr, como Ξkh Î Zp, entonces Ξr Î Zp,

como k es el menor entero positivo para el cual Ξk Î Zp,

debe ser r = 0 y t = Ξkh, como se quería demostrar.

á

13

Construcción de un cuerpo de orden pn

En el ejemplo siguiente ilustraremos el uso de los resultados obtenidos en este trabajo construyendoun cuerpo de orden

pn. También hallaremos elementos primitivos y a partir de esto, construiremospolinomios irreducibles en Zp de grado n.

Los siguientes pasos nos orientarán en este cometido:

1. Hallar los polinomios ciclotómicos que factorizen en polinomios irreducibles en Zp de grado n

(a) Para eso hallaremos los enteros d pn - 1 y d I pm - 1 " m n y por la proposición 6

sabemos que los factoresde los polinomiosciclotómicos Fd HxL son polinomios

irreducibles de grado n.

(b) Elegiremosel Fd HxL más conveniente, sabiendo por el corolario3, que Xx\ = d.

2. Hallaremos un elementoprimitivo en Zpn*

(a) Para eso testearemos elementos Ξ Î Zpn* , tales que Ξh sea primitivo en Zp y Ξb Ï Zp para

d h, con h =pn - 1

p - 1, conformelo establecen el teorema 13 y la proposición 8.

(b) Además, tendremos en cuenta para calcular las potencias de Ξ, que Xx\ = d y el automorfismo de Frobenius.

3. A partir de Ξ, construiremosun polinomioprimitivo de u HxL Î Zp@XD.(a) Para eso sabemos, por la Proposición 4, que Ξ, jHΞL, …, jn-1 HΞL, conformael juego completode raices de u HxL.(b) Además, por ser Ξ elementoprimitivo en Zpn

* , tendremos en virtud del teorema 11 que

(c) u HxL Î Fpn-1,

4. A partir de u HxL, construiremosun cuerpo Zp@XD � XuHxL\,

y comprobaremosque x es un elementoprimitivo en dicho cuerpo. HRecordar que x = x + Xu HxL\ L.(a) Para ese fin, utilizaremos lo expuesto en el punto 2. (a)

Ejemplo . Tomaremos p = 3 y n = 4, es decir pn - 1 = 80

1. Los divisores de 4 son {1, 2, 4}, tenemos que hallar a los divisores b | 80, tales que

no dividen a los divisores 3 - 1 = 2 y 32 - 1 = 8, haciendo los cálculos obtenemos

b Î {5, 10, 16, 20, 40, 80}.

Por lo tanto los polinomiosciclotómicos que se factorizancomo polinomios irreducibles de grado

4 en Zp@XD, serán

8F5, F10, F16, F20, F40, F80<Pero F5 HxL, ya es un polinomio irreduciblede grado 4, lo que nos simplifica los cálculos.

F5HxL = 1 + x + x2 + x3 + x4, haciendo f HxL = F5HxL,construimos K = Z3@XD � X f HxL\, seguidamente hallaremos un elementoprimitivo en K, recordandoque x = x + X f HxL\ tiene orden 5 en K.

2. Para hallar un elemento primitivo Ξ Î K Hacemos

h =34 - 1

3 - 1= 40, siendo los divisores de h , 81, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40<.

Testearemossi x + 1 Î K, es un elementoprimitivo,

para eso primeramente debemos calcular Hx + 1L40y ver si es primitivo en Z3. Tengamos en cuenta para realizar este cálculo,

que el orden de x es 5 y además las propiedades de la función de Frobenius.

Hx + 1L40= Hx + 1 + X f HxL\L40 = Hx + 1L40 + X f HxL\


En lo que sigue omitiremos la raya superior, y nos referiremosa x + 1 como x + 1,

siempre teniendo en cuenta que estamos trabajando con elementosde K, terminados los cálculos volveremosa la notación habitual.

Tenemos entonces

4 + 3 x + 3 x2 + 3 x3 + 3 x4 = Hx + 1L27 + 9 + 4 -- ---

= Ix2 + 1M Ix4 + 1M Hx + 1L4

= Ix2 + 1M Ix4 + 1M Hx + 1L4

= 4 + 3 x + 3 x2 + 3 x3 + 3 x4

= 1 -- ---------- --

Pero 1 no es un elementoprimitivo en Z3, como no se cumple la condición necesaria,

intentamos con x + 2, realizando los cálculos necesarios, obtenemosque Hx + 2L40 = 2,

que es un elementoprimitivo en Z3, cumpliendose la condición necesaria, comprobemosque Hx + 2La para

a Î A = 82, 3, 5, 8, 10, 20<, no es un elementode Z3. Nuevamentehaciendo los cálculos para estas potencias, obtenemos

8Hx + 2La : a Î A < =

91 + x + x2, 2 + x3, 2 + x + x2, 1 + x + x2 + x3, x2 + x3, 1 + 2 x2 + 2 x3= = P

Como podemos apreciar P Ý Z3 = Φ

Por lo tanto podemos concluir que Ξ = x + 2 es un elemento primitivo de K.

(en realidad (x + 2) + X f (x)\ ).

3. Con el elemento primitivo Ξ Î K, aplicando el automorfismo de Frobenius hallamos

Ξ, Ξ3, Ξ9, Ξ27 y calculamos

uHyL = Hy - ΞL Iy - Ξ3M Iy - Ξ9M Iy - Ξ27MSabiendo que

9Ξ, Ξ3, Ξ9, Ξ27= = 92 + x, 2 + x3, 1 + 2 x + 2 x2 + 2 x3, 2 + x2=Obtenemos después de simplificar módulo f (x)

uHyL = 2 + y + y2 + 2 y3 + y4

4. Hagamos u HxL = 2 + x + x2 + 2 x3 + x4 para construir F = Zp@XD � XuHxL\, que como sabemos por el Teorema7. F @ K.

Comprobaremosque x Î F, a quien llamaremos directamente x, es un elementoprimitivo.

Haciendo los cálculos como vimos en el punto 2. tenemos

x40 = 2, que es un elementoprimitivo en Zp, calculamos B = 8xa : a Î A<. HComo en 2.LB = 9x, x3, 1 + 2 x2 + 2 x3, 2 x + x2=, teniendo B Ý Zp = Æ

Consecuentemente x , o con más propiedad x, es un elementoprimitivo de F.

Haciendo Ζ = x, podemos hallar todos los elementosde F = 9 Ζ i : 1 £ i £ 80=.

15

Apéndice

� Divisibilidad entre polinomios del tipo Xn - 1

Teorema 13.

xm - 1 � xn - 1 � m � n

H Ü L si m � n sea n = hm

xn-1xm-1

=xhm-1xm-1

-

=HxmLh-1

xm-1-

= Úi=0h-1 HxmLi

\ xm - 1 � xn - 1

Reciprocamente supongamos xm - 1 � xn - 1

Hxm - 1L = äi=1

m Ix - Ξmi M H1L Con Ξm raíz m_ésima de la unidad

Hxn - 1L = äi=1

n Ix - Ξni M H2L Con Ξn raíz n_ésima de la unidad

Por la hipótesis, todas las raíces de H1L deben hallarse en H2L particularmente Ξm, es decir

$ k Î N : Ξm = Ξnk Þ ã

2 Πä

m = ã2 kΠä

n Þ2 Πä

m=

2 kΠä

nÞ n = km

\ m � n

á

Corolario 5.

GCD Hxm - 1, xn - 1L = xGCD Hm,nL - 1

Sea d = GCD Hm, nL Þ d � n y d � m

de donde xd - 1 � xn - 1 y xd - 1 � xm - 1 Teor13.

Supongamos que

$ k Î N : xk - 1 � xn - 1 y xk - 1 � xm - 1 entonces k � n y k � m HTeor13.L Þ k � d HPropiedad GCDLÞ xk - 1 � xd - 1 Þ xd - 1 = GCD Hxm - 1, xn - 1Lá

� Grupos finitamente generados

Definición 18.

Se dice que un grupo G es finitamente generado, cuando admite a un conjunto finito como sistema de generadores. Un grupo abeliano finita-

mente generado es finito, si y solo si todos los elementos de un sistema de generadores son de orden finito.

Observación 11. dada una colección de subgrupos cíclicos Ai= X ai \ de un grupo abeliano A con 1 £ i£ m, el grupo A es el producto directo de

sus subgrupos Ai cuando se satisfacen las dos siguientes condiciones:

1) Para todo aÎA, existen niÎ Z tales que

a = n1 a1 + … + nm am


2L a = n1 a1 + … + nm am = 0 con ni Î Z Þ ni ai = 0 " i.

Lema 0.

Sea A = X g1, …, gr\ un grupo abeliano y sean c1, …, cr Î Z tales que gcd Hc1, …, crL = 1.

Entonces existen h1, …, hr Î A tales que A = X h1, …, hr\ y además h1 = c1 g1 + … + cr gr

Procedemospor inducción en n = c1 + … + cr, siendo claro el caso

n = 1, supongamos que n > 1 para tener al menos dos de los números ci son positivos.

Escribamos c1 ³ c2 > 0, de manera que gcd Hc1 - c2, c2, …, crL = 1 y

Hc1 - c2L + c2 + … + cr < c1 + c2 + … + cr . Dado que

A = X g1, g1 + g2, g3, …, gr\, la hipótesis inductiva garantiza que existen elementos

h1, …, hr Î Î A tales que

A = X h1, …, hr\ donde

h1 = Hc1 - c2 L g1 + c2Hg1 + g2 L + … + cr gr = c1 g1 + … + cr gr

á

Teorema 14. Sea A un grupo abeliano tal que admita un sistema de generadores con r elementos. Entonces A es el producto directo de r

grupos cíclicos.

Sea 8 g1, …, gr< un sistema de generadoresde A tal que 8 ë Hg1L, …, ë H grL<sea mínimo en el órden lexicográficoentre todos los generadoresde A con r elementos.

Se afirma que A = Xg1\ ´ … ´ Xgr\.

Para ver esto, supongamos que existen a1, …, ar Î Z tales que a1 g1 + … + ar = 0

para todo i, también digamos que 0 £ ai < ë H giL.Sea s el mínimo índice i tal que ai ¹ 0 y sea d = gcdHas, …, arLescribiendoai = d bi para toda i, se tiene que gcd Hbs, …, brL = 1,

por lo que el lema garantiza la existencia de un sistema de generadoresde

X gs, gs+1, …, gs\ así : hs, hs+1, …, hr con hs = bs gs + … + br gr

de este modo, d hs = 0 y también A = Xg1, …, gs-1, hs, …, hr\ con la contradicción de que

ë H hsL £ d < ë H gsLá

Observación 12. Si en el teorema anterior suponemos ë (A) > 1 y que el sistema de generadores dado tiene un número mínimo de elementos,

entonces obtenemos factores directos no triviales.

Teorema 15.

a) Todo grupo abeliano finito A es un producto directo de grupos cíclicos

de órdenes potencias de primos.

b) Los órdenes de los factores directos son únicos.

c) Si m= p1n1 …pr

nr con p1… pr primos distintos con ni>0 para 1£i£r, entonces el número de grupos abelianos de orden m no isomorfos entre

sí es ð Hn1)…ð Hnr) donde #(n) es el número de particiones de n.

Ej: #(4)=5 porque 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1

Sabemos que A es el producto directo de sus subgrupos de Sylow, aplicamos el teorema 14. a cada uno de estos subgrupos para obtener a) como c)

es consecuencia inmediata de b), es suficiente ver que los órdenes de los factores directos de un grupo abeliano A, son únicos, suponiendo que ë

(A)= pn con p primo.

Sea j: Zpk �Zpk el morfismo por el que j(a)=pa para toda a en el grupo cíclico Zpk .

17

Es inmediato que

j IZpk M @ j IZpk-1 M . Más generalmente, si G es un grupo abeliano de orden una potencia de p y

j : G � G es la multiplicación por p, entonces j es un morfismode grupos tal que

ë Hj HGLL = ë HGL � ps donde s es el número de factorescíclicos de G.

El orden de j(A) no depende de la descomposición de A. Por ello vemos que dos descomposiciones cualesquiera de A deben tener el mismo número

de factores.

Generalizando este razonamiento para ji(A), primero vemos que el orden de cada factor ji(A) es p veces el orden de un factor correspondiente de

ji+1(A), para después darnos cuenta de que podemos deducir los órdenes de los factores cíclicos de A a partir de los distintos números ë ( ji(A))

á

Teorema 16. Si A es un grupo abeliano finito, entonces A@ A1×…× Ar con cada Ai cíclico de orden mi, donde

m1| m2|…|mr

Dem. El Teorema 15. dice que A es un producto directo de grupos cíclicos de órdenes potencia de primos.

Para cada primo p que divide al orden de A hay al menos un factor directo Bp de A, de orden una máxima potencia de p. El producto directo de los

distintos Bp al variar p, es un grupo cíclico B, cuyo orden es el mínimo común múltiplo de los divisores elementales de A. Además, A es el

producto directo de B y de los restantes grupos cíclicos de órdenes potencias de primos, cuyo mínimo común múltiplo divide ë (B), por inducción en

ë (A), se obtiene una descomposición de A como en el enunciado. Nos falta demostrar la unicidad de los órdenes de los factores de tal

descomposición.

Supongamos que A@ C1×…× Cr, con cada Ci cíclico de orden mi, donde m1| m2|…| mr, entonces cada Ci es el producto directo de sus subgrupos de

Sylow: y estos son cíclicos. Aplicando la unicidad del teorema anterior, tenemos que los órdenes de estos subgrupos de Sylow son únicos. Ahora

bien, mr es el mcd de estos órdenes, mr-1 es el mcd de los órdenes que quedan después de eliminar exactamente una potencia máxima, de p para

cada primo p que divida a mr y así sucesivamente.

De esta manera concluimos que los números m1,m2,…, mr son únicos.

á

Observación 13. Los órdenes de los factores directos de A en este último teorema. Se llaman factores invariantes de A.

Corolario 6. Sea G un grupo abeliano finito tal que toda ecuación de forma dx=0 con 0<d, y dÎ Z tenga cuanto más d soluciones. Entonces

G es cíclico.

Dem. Como G@ G1×…× Gr, con cada Gi cíclico de orden ni con n1| n2|…| nr, se ve que todo elemento de G es solución de la ecuación nrx=0, por

lo que G=Gr es cíclico.

á

Observación 14. En el siguente corolario usamos la notación multiplicativa para el grupo abeliano que ahí aparece.

Corolario 7. El grupo multiplicativo de todo campo finito es cíclico.

Sean K un campo finito y K* el grupo multiplicativo de los elementos distintos de cero de K. Entonces toda ecuación xd=1 tiene cuanto más, d

soluciones; por lo que se satisfacen las hipótesis del corolario anterior; así K* es cíclico.

á

� Ideales

Observación 15.

Utilizaremos los siguientes resultados para demostrar que los polinomios irreducibles en

Zp@xD generan un cuerpo cuando se cocientan.

aL Sea R un anillo conmutativocon unidad luego, un ideal M de R es maximal si y solo si R � M es un cuerpo.

bL Si F es un cuerpo, F@XD es un dominio de ideales principales.

Proposición 9. Sea F un cuerpo y f (x) Î F[x],

entonces f (x) es irreducible, si y solo si X f (x)\ es un ideal maximal.

Dem. ( Þ ) Si f (x) es irreducible, supongamos que existe g (x) tal que X f (x)\ Ì X g (x)\ , sin pérdida de generalidad, podemos suponer que g (x) es

mónico pues siendo F un cuerpo X g (x)\ = X a g (x)\ para todo a Î F, no nulo.

si u (x) Î X f (x)\ Þ u (x) Î X g (x)\ , en particular f (x) Î X g (x)\ Þ $ v (x) Î F[x] : v (x) g (x) = f (x), como f y g son mónicos, entonces debe ser v

(x) = 1 y f (x) = g (x), luego X f (x)\ = X g (x)\ .

\ X f (x)\ es maximal.

( Ü ) Supongamos que X f (x)\ es maximal, si existe g (x) mónico tal que


Dem. ( Þ ) Si f (x) es irreducible, supongamos que existe g (x) tal que X f (x)\ Ì X g (x)\ , sin pérdida de generalidad, podemos suponer que g (x) es

mónico pues siendo F un cuerpo X g (x)\ = X a g (x)\ para todo a Î F, no nulo.

si u (x) Î X f (x)\ Þ u (x) Î X g (x)\ , en particular f (x) Î X g (x)\ Þ $ v (x) Î F[x] : v (x) g (x) = f (x), como f y g son mónicos, entonces debe ser v

(x) = 1 y f (x) = g (x), luego X f (x)\ = X g (x)\ .

\ X f (x)\ es maximal.

( Ü ) Supongamos que X f (x)\ es maximal, si existe g (x) mónico tal que

h (x) g (x) = f (x) Þ X f (x)\ Ì X g (x)\ ,

pero entonces h (x) Î F y por ser g (x) mónico, h (x) = 1 y g (x) = f (x), y por lo tanto f (x) es irreducible.

á

Corolario 8. Sea p Î N un número primo, entonces

Fp@XD � X f HxL\es un cuerpo si y solo si X f HxL\ es irreducible en Fp@XD. Dem. Es inmediato, a partir del resultado a) y la proposición 9.

á

Corolario 9.

si I Ì Fp@XD, se tiene que Fp@XD � I es un cuerpo si y solo si I = X f HxL\ para algún f HxL Î Fp@XD, irreducible.

Para que Fp@XD � I sea un anillo, I debe ser un ideal. En virtud de HbL y la proposición anterior, obtenemosel resultado enunciado.

á

� Raíces primitivas de la unidad

Definición 19. Una raíz nésima de la unidad es un número complejo z que satisface la ecuación zn-1=0, por el teorema fundamental del

álgebra, sabemos que hay n soluciones a esta ecuación.

Definición 20. una raíz nésima de la unidad, se dice que es primitiva cuando su orden es n.

Observación 16. Las raíces de la unidad en C tienen la forma

Ζn= ã2 k ä Π

2 , k=1,…,n

Es claro que las Ζn forman un grupo cíclico de orden n, con la multiplicación habitual. Uno de los

generadores de este grupo, es Ζn= ã2 ä Π

2 , a partir de este generador, las demás raíces primitivas nésimas de la unidad se obtienen haciendo

Ζnk para 1£k <n y (k,n)=1, es decir hay j(n) raíces nésimas primitivas. Donde j(n) es la función de Euler que veremos más adelante.

� Polinomios ciclotómicos.

Definición 21. El nésimo polinomio ciclotómico, Fn(x), está conformado por el siguiente producto

FnHxL = äHk,nL=1

0<k<n

Ix - ΖnkM , donde Ζn = ã

2 ä Π

2

Algunos ejemplos de polinomios ciclotómicos son

F1HxL = x - 1

F3HxL = x2 + x + 1

A partir de la definición, es claro que deg(FnHxL)=j(n), y además surge la siguiente definición alternattiva

H1L FnHxL =xn - 1

Ûd�n Ix - Ζnd M

19

Teniendo en cuenta que si n = kr, entonces Ζnk = Ζr, de H1L obtenemos

H2L FnHxL =xn - 1

Ûd�nd¹n

Fd HxLConsecuentemente, se tiene

H3L xn - 1 = Ûd�n FdHxLProposición 10.

Si i, j Î N , entonces I FiHxL, F jHxLM = 1 cuando i ¹ j

Dem. haciendo n = ij por H3L sabemos que

xn - 1 = äd�n

Fd HxL, como i y j dividen ambos a n, resulta que

FiHxL, F j HxL se hallan entre los factoresde xn - 1, como ninguna raíz de la unidad es cero y

Hxn - 1L'= nxn-1 ¹ 0 para x ¹ 0, se tiene que xn - 1 no tiene raíces múltiples por lo que Fi HxL,

F j HxL, no comparten raíces y consecuentementeI FiHxL, F jHxLM = 1, como queríamos demostrar.

á

Proposición 11. Los polinomios ciclotómicos son mónicos y además

FnHxLÎ Z[X] " nÎ N.

Dem. Que los FnHxL son mónicos surge inmediatamente de la definición, veremospor inducción

que son polinomios sobre los enteros.

F1HxL = x - 1 Î Z@XDSupongamos que FnHxL Î Z@XD para n > 1

Por H2L se tiene

Fn+1HxL =xn - 1

Ûd�nd¹n

Fd HxL Î Q@XD y por el lema de Gaus, se sigue que FnHxL Î Z@XD

Luego FnHxL Î Z@XD " n Î N, como se quería demostrar. �

á

� Funciones Aritméticas

Definición 22. Una función real o compleja definida sobre los naturales, es una función aritmética. Es decir :

f : N � R

g : N � C

Son funciones aritméticas.

Observemos que este concepto se puede extender a las funciones de Q[X] sobre los enteros positivos, ya que si Ξ es trascendente sobre Q, Q[Ξ] @

Q[X].

Definición 23. si n ³ 1 la indicatriz de Euler j (n), es el número de enteros positivos menores que n que son primos con n; así pues

j HnL = â'

k=1

n

1

Donde la " ' " indica que la suma se halla extendida sobre los k primos con n.

Teorema 17. Si n ³ 1 tenemos


âd�n

j HdL = n

Si S designa el conjunto 81, 2, …, n<, distribuimos los enteros de S en conjuntos disjuntos de la forma siguiente. Para cada divisor d de n, sea

A HdL = 8k : Hk, nL = d, 1 £ k £ n<.Esto es AHdL contiene los elementosde S cuyomcd con n es d. Los conjuntos AHdL constituyenuna partición de S. Por consiguente,

si f HdL designa el número de enteros de A HdL, tenemos

H2L âd�n

f HdL = n

Pero Hk, nL = d si, y sólo si, Hk � d, n � dL = 1, y 0 < k £ n si, y sólo si, 0 < k � d £ n � d.

Por consiguiente, si hacemos q = k � d,

existe una correspondenciauno a uno entre los elementosde A HdL y los enteros q que satisfacen 0 < q £ n � d, Hq, n � dL = 1.

El número de tales q es j Hn � dL. Por lo tanto f HdL = jHn � dL y H2L nos conducea

âd�n

j Hn � dL = n.

Pero esto es equivalentea la igualdad

âd�n

j HdL = n

puesto que d recorretodos los divisores de n o sea los n � d. Y esto completa la demostración.

á

Definición 24.

Si n Î N con n = p1a1 p2

a2 …pkak , definimos la función Μ de Möbius de la siguente manera

Μ H1L = 1

Μ HnL =H-1Lk si a1 = a2 = … = ak = 1

0 en caso contrario

Proposición 12.

âd�n

Μ HdL =1

n=

1 si n = 1

0 si n ³ 1

Dem. Si n = 1

âd�n

Μ HdL = Μ H1L = 1, para n > 1,

como para las potencias mayoresque uno de los pi, Μ se anula, entonces resulta

Úd�n Μ HdL = Μ H1L + Μ Hp1L + … + Μ HpkL + Μ Hp1 pkL + … + Μ Hpk-1 pkL + … + Μ Hp1 …pkL= 1 +

k

1H-1L +

k

2H-1L2 + … +

k

kH-1Lk -- -------------- ---

= H1 - 1Lk -- -------------------------------------- --

= 0 -- ------------------------------------------ --

á

Definición 25. El producto de Dirichlet de dos funciones numéricas f y g se establece como

f * g = âd�n

f HdL gn

d= â

a.b=n

f HaL g HbL.

Observación 17. De la última igualdad, resulta de manera inmediata que f*g = g*f.

Para demostrar la propiedad distributiva hacemos en f*(g*h) , A = g*h

H f * AL HnL = âab=n

f HaL A HbL = âab=n

f HaL âcd=b

g HcL h HcL = âabc=n

f HaL g HbL h HcL.Si hacemos B = f*g llegaremos al mismo resultado con lo que obtendremos

f*A = B*h � f*(g*h) = (f*g)*h

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Si hacemos B = f*g llegaremos al mismo resultado con lo que obtendremos

f*A = B*h � f*(g*h) = (f*g)*h

Definición 26.

I HnL =1

n=

1 si n = 1

0 si n > 1

Observación 18. Tengamos en cuenta que

H f * IL HnL = âd�n

f HdL In

d= â

d�nf HdL n

d

ya quen

d= 0 si d < n

Por lo tanto

I * f = f * I = f

Además definimos la función unidad

u HnL = 1 " n

Como vimos en HAp. 15Lâd n

Μ HdL = I HnL, por lo tanto Μ * u = I, de donde Μ = u-1

Teorema 18. Si f es una función numérica, tal que

f HnL = âd n

gHdL

entonces se cumple

gHnL = âd n

f HdL Μn

d

Dem. f = g * u multiplicando por Μ se tiene f * Μ = g * u * Μ = g * I = g

pero f * ΜHnL = âd n

f HdL Μn

dcomo queríamos demostrar.

á


Referencias

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Andrew Baker, Notes for 4H Galois Theory 2002-3, Departament of Mathematics, University of Glasgow.

Joseph C. Várilly; MA-660: Teoría de Galois, Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica, II Ciclo Lectivo 2006.

Alex Samuel Bamunoba, Cyclotomic Polynomials, African Institute for Mathematical Sciences (AIMS), May 2010

José Walter YsiQue Quesquén, Polinomios Ciclotómicos en Cuerpos K[x] y Raíces primitivas módulo n, Tesis UNPRG, Agosto 2006.

David Arroyo Guardeño, Cuerpos finitos y aplicaciones, Enero de 2006.

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Serge Lang, Algebra; Universidad de Columbia, Nueva york, Versión española de Milagros Ancochea, Editorial Aguilar.

Tom M. Apostol, Introducción a la Teoría analítica de números, Editorial Reverté, S.A.

Anthony J. Pettofrezzo, Donald R. Byrkit, Introducción a la Teoría de los Números, Editorial Prentice/Hall Internacional.

Eduardo H. Chiumiento; Estructuras Algebraicas, Trabajo Final, Abril de 2004.

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cuerpos finitos - foros de matemática y ciencia

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