CAPTULO II ANLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA

2.1 INTRODUCCIN

Una vez obtenido el modelo es necesario conocer la respuesta del sistema, en la prctica las seales de entrada no se conocen con anticipacin solo en casos especiales. El estudio del comportamiento de sistemas se suele realizar utilizando seales de prueba particulares y comprobando las respuestas. Existe una relacin entre la respuesta a algunas seales y la capacidad del sistema de manejar seales de entrada reales, se suelen usar funciones impulso, escaln, rampa, parbola, seno, etc. Permiten, debido a su simplicidad en el tiempo, el realizar con facilidad anlisis matemticos.

El tipo de funciones a las que va a estar sometido el sistema en funcionamiento normal determinan la o las funciones tpicas a usar. La respuesta en tiempo de un sistema consta de dos partes, la respuesta transitoria y la respuesta en estado estacionario.

2.2 RESPUESTA TRANSITORIA Y EN ESTADO ESTACIONARIO

Una respuesta transitoria es la que se produce en un sistema hasta llegar a la respuesta permanente y que presenta sus variables sin estabilizar. Esta parte de la repuesta tiende a anularse a medida que transcurre el tiempo. La respuesta transitoria no debe ser ni brusca ni muy lenta.

La respuesta en estado estacionario es el comportamiento del sistema

conforme el tiempo tiende a infinito. La respuesta de un sistema de control se expresa como:

En donde es la respuesta transitoria y es la respuesta en estado

estacionario.

2.3 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Por lo general, la funcin de transferencia G(s) de un sistema es una expresin racional de polinomios en s. Las races del denominador se llaman polos y las races del numerador se llaman ceros. Un sistema de primer orden se

define como aquel que posee un nico polo. La funcin de transferencia de un sistema de primer orden es de la forma:

2.3.1 RESPUESTA A UNA SEAL ESCALN UNITARIO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN La transformada de Laplace de la funcin escaln unitario es entonces la salida viene dada por:

Desarrollndola en forma de fracciones parciales es:

Aplicando la trasformada inversa:

Su forma grfica es la siguiente:

Figura 2.1 respuesta escaln unitario.

Estudiando su comportamiento se observa que para es 0 y su

pendiente en el origen es 1/T. Otra caracterstica importante es que para t = T la respuesta alcanza el 63.2% de su cambio total, valor de T.

Matemticamente slo se obtiene el estado estacionario en tiempo infinito, sin embargo, para prcticos se puede admitir como un buen valor el que est dentro del 2% de error respecto al esperado. Esto sucede para .

Un estudio de este anlisis permite afirmar que la respuesta ser ms parecida al estmulo cuanto ms pequeo sea el valor de T.

2.3.2 RESPUESTA ANTE UNA SEAL RAMPA DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN La transformada de Laplace de la funcin rampa es entonces la salida viene

dada por:

Desarrollando en fracciones parciales

Sacando la transformada de Laplace, se obtiene:

La seal de error e (t) es

Conforme t tiende a infinito se aproxima a cero y por lo tanto la seal

de error se aproxima a T o lo que es .

El error despus de la entrada rampa es igual a T para una t grande, entre

ms pequea es la constante de tiempo T, ms pequeo es el error en estado estable despus de la entrada rampa. Su forma grfica es la siguiente:

Figura 2.2 respuesta a una seal rampa.

2.3.3 RESPUESTA A UNA SEAL IMPULSO UNITARIO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN

Para la entrada impulso unitario, R(s) = 1 y la salida del sistema se obtiene como:

Obteniendo la transformada inversa

La respuesta obtenida se muestra en la siguiente grfica.

0 1 2 3 4 5 6

0

01

02

03

04

05

06

0

0

0

1

c

(-t/T)

RESPUESTA IMPULSO

t (sec)

c(t)

Figura 2.3 respuesta impulso.

2.4 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Un servosistema es un sistema realimentado con un controlador proporcional y dos elementos de carga, uno de inercia y otro de friccin. La ecuacin de los diagramas de carga es:

En el espacio de Laplace su forma es:

Aadiendo la realimentacin y el control proporcional se obtiene una funcin

de transferencia que es:

Todos los sistemas de segundo orden tienen esta misma forma. Haciendo

un cambio de constantes de la siguiente forma en la funcin de transferencia de un servosistema:

Donde es la frecuencia natural no amortiguada

es la atenuacin y

e e e e e e e

El factor de amortiguamiento crtico se define como:

De esta forma, la funcin de transferencia de un sistema de segundo orden

toma la forma:

Si , los polos en lazo cerrado son complejos conjugados y se

encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. El sistema, entonces se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria.

Si , !" #$%!$" crticamente amortiguado.

Los sistemas sobreamortiguados corresponden a

&'()( *+'( -/

aplicarle una entrada escaln unitario. La respuesta transitoria de los sistemas crticamente amortiguados y

sobreamortiguados no oscila. Si 7 /- 8*+9:*+'- '8-;+

Si el factor de amortiguamiento relativo es igual a cero, la respuesta se

vuelve no amortiguada y las oscilaciones continan indefinidamente. La respuesta c (t) para el caso del amortiguamiento cero se obtiene sustituyendo = 0 en la

ecuacin con lo cual obtenemos:

Por tanto representa la frecuencia natural no amortiguada del sistema,

es decir, BC DE FGBHIBJHKE E DE HIED BD CKCLBME NCHKDEGOE CK BD EMNGLKPIEMKBJLN

disminuyera a cero. Si el sistema lineal tiene cualquier cantidad de amortiguamiento, no se puede observar experimentalmente la frecuencia natural no amortiguada. La frecuencia que se observa es la frecuencia natural

amortiguada que es igual a Q Esta frecuencia siempre es menor que

la frecuencia natural no amortiguada. Un aumento en reducira la frecuencia natural amortiguada R ST U

aumenta ms all de la unidad, la respuesta se vuelve sobreamortiguada y no oscilar.

2.4.2 CASO CRTICAMENTE AMORTIGUADO (= 1)

Si los dos polos de C(s)/R(s) son casi iguales, el sistema se aproxima mediante uno crticamente amortiguado. Para una entrada escaln unitario, R(s) = 1/s y C(s) se escribe como:

La transformada inversa de Laplace de la ecuacin anterior es:

2.4.3 CASO SOBREAMORTIGUADO (> 1)

En este caso, los dos polos de C(s)/R(s) son reales negativos y diferentes. Para una entrada escaln unitario, R(s) = 1/s y C(s) se escriben como:

La transformada inversa de esta ecuacin es:

Un sistema subamortiguado con entre 0.5 y 0.8 se acerca al valor final

con mayor rapidez que un sistema crticamente amortiguado o sobreamortiguado. Entre los sistemas que responden sin oscilacin, un sistema crticamente amortiguado presenta la respuesta ms rpida. Un sistema sobreamortiguado siempre es lento para responder a las entradas.

2.4.4 DEFINICIONES DEL GRAFICO DE RESPUESTA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN 1. Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final. 2. Tiempo de subida, tr: el tiempo de subida es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo comn se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%.Para sistemas sobreamortiguados suele usarse el tiempo de subida de 10 a 90%.se puede obtener con la siguiente formula:

3. Tiempo pico, tp: el tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso:

4. Sobrepaso mximo (porcentaje), Mp el sobrepaso mximo es el valor pico mximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es comn usar el porcentaje de sobrepaso mximo.

La cantidad de sobrepaso mximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema.

5. Tiempo de asentamiento, ts: el tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamao especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general,

de 2 a 5% respectivamente) y permanezca dentro de l. El

tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control. Los objetivos del diseo del sistema en cuestin determinan cul criterio de error en porcentaje usar.

VWXYZ[ \]^ _YZ`[ ab ZbdfYbdg[ ab Yh bdi[jkh YhWg[ZWl ab Yh dWdgbm[ ab dbXYhal

orden.

2.5 ESTABILIDAD

Para que un sistema de control sea til, lo primero que debe cumplir es que sea estable. Si el sistema es inestable no existe rgimen permanente aunque numricamente se puedan encontrar los valores de los lmites en el dominio de Laplace.

La estabilidad se determina a partir de la posicin de los polos en el plano s

en lazo cerrado. Si un polo esta en el semiplano derecho, con el tiempo se convertir en el polo dominante haciendo que el sistema oscile de forma creciente

o crezca momentneamente, Si los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo de s, el sistema ser estable.

Los polos del sistema son las races de la ecuacin que resulta de igualar a

cero el denominar de la funcin de transferencia del sistema. Esa ecuacin se conoce con el nombre de ecuacin caracterstica del sistema. Por tanto, las races de la ecuacin caracterstica ofrecen informacin no solo del transitorio del sistema, sino tambin de su estabilidad. Anlisis de estabilidad en el plano complejo. La estabilidad de un sistema lineal en lazo cerrado se determina a partir de la ubicacin de los polos en lazo cerrado en el plano s. Si alguno de estos polos se encuentra en el semiplano derecho del plano s, entonces conforme aumenta el tiempo, producir el modo dominante y la respuesta transitoria aumentar en forma monotnica u oscilar con una amplitud creciente. Esto representa un sistema inestable. Para tal sistema, tan pronto como se conecta la alimentacin, la salida aumenta con el tiempo. Si no ocurre una saturacin en el sistema y no se incluye una detencin mecnica, el sistema puede terminar por daarse y fallar, dado que la respuesta de un sistema fsico real no puede aumentar indefinidamente. Por ende, en el sistema de control lineal normal no se permiten los polos en lazo cerrado en el semiplano derecho del plano s.

Si todos los polos en lazo cerrado se encuentran a la izquierda del eje j, cualquier respuesta transitoria termina por alcanzar el equilibrio. Esto representa un sistema estable.

Que un sistema lineal sea estable o inestable es una propiedad del sistema

mismo y no depende de la entrada ni de la funcin de excitacin del sistema. Los polos de la entrada, o de la funcin de excitacin, no afectan la propiedad de estabilidad del sistema, sino solo contribuyen a los trminos de respuesta en estado estable en la solucin. Por tanto, el problema de estabilidad absoluta se soluciona con facilidad al no elegir polos en lazo cerrado en el semiplano derecho del plano s, incluyendo el eje j. (Matemticamente, los polos en lazo cerrado sobre el eje j producirn oscilaciones, cuya amplitud no se reduce ni crece con el tiempo, haciendo que el sistema sea marginalmente estable. Sin embargo, en los casos prcticos en los que hay ruido, la amplitud de las oscilaciones aumenta a una velocidad determinada por el nivel de la potencia del ruido. Por tanto, un sistema de control no debe tener polos en lazo cerrado en el eje j.)

El hecho de que todos los polos en lazo cerrado se encuentren en el

semiplano izquierdo del plano s no garantiza caractersticas satisfactorias de respuesta transitoria. Si los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado se encuentran cerca del eje j, la respuesta transitoria exhibir oscilaciones excesivas o ser muy lenta.

Por tal razn, a fin de garantizar caractersticas de respuesta transitoria rpidas y bien amortiguadas, es necesario que los polos en lazo cerrado del sistema se encuentren en una regin determinada del plano complejo.

2.5.1 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH

El criterio determina si hay o no races inestables en la ecuacin de un polinomio sin obtener estas races, aplica solo a polinomios con un numero finito de trminos, con este criterio se obtiene informacin directamente sobre la estabilidad absoluta desde los coeficientes de la ecuacin caracterstica del sistema de control. Los pasos rara realizarlo son:

1. Escribir el polinomio en s con sus coeficientes, ordenando del mayor al

menor, igualado a cero.

2. Si alguno de los coeficientes son cero negativo ante la presencia de al

menos un coeficiente positivo, entonces existe una raz races que son

imaginarias que tiene parte real positiva. En tal caso el sistema es

inestable, no hay por que continuar con el desarrollo de este criterio.

3. Observe que todos los coeficientes deben ser positivos, pero no suficiente

para asegurar la estabilidad.

4. Si todos los coeficientes son positivos se procede a aplicar el arreglo de

Routh para comprobar que el sistema es estable(arreglo triangular)

5. En el desarrollo del arreglo, una fila completa puede ser dividida o

multiplicada por un nmero positivo para simplificar clculos numricos

subsecuentes.

6. El criterio de estabilidad de Routh establece que el nmero de races de la

ecuacin caracterstica con parte real positiva es igual al nmero de

cambios de signo de los coeficientes de la primera columna de arreglo.

CONDICION DE ESTABILIDAD ABSOLUTA

La condicin necesaria y suficiente para que todas las races de la ecuacin caracterstica se ubiquen en el semiplano izquierdo del plano complejo s, es que todos los coeficientes de la ecuacin sean positivos y todos los trminos en la primera columna del arreglo tengan signo positivo.

a y b constantes; m n

1) Se escribe el polinomio en s

2) Si alguno de los coeficientes es cero negativo, ante la presencia de un

positivo; el sistema es inestable.

3) Se ordenan los coeficientes del polinomio en filas y columnas como sigue:

A partir de n opq rpsturusvwsq qs rxoryoxv rpzp qu{ys|

2.6 TIPOS DE ERROR Errores en estado estable. Considere el sistema de la figura 2.5. La funcin de transferencia en lazo cerrado es:

La funcin de transferencia de la seal de error e (t) y la seal r (t) de

entrada es:

en donde el error e (t) es la diferencia entre la seal de entrada y la seal de salida.

El teorema del valor final ofrece una forma conveniente de encontrar el desempeo en estado estable de un sistema estable. Dado que E(s) es

El error en estado estable es:

Las constantes de error esttico son propiedades de los sistemas de control. Entre ms altas son las constantes, ms pequeo es el error en estado estable. En un sistema determinado, la salida puede ser la posicin, la velocidad, la presin, la temperatura, etc. Sin embargo, la forma fsica de la salida no viene al caso en el anlisis. Por tanto, en lo sucesivo llamaremos posicin a la salida, velocidad a la razn de cambio de la salida, etc. Esto significa que, en un sistema de control de temperatura, posicin representa la temperatura de salida, velocidad representa la razn de cambio de la temperatura de salida, etctera.

Constante de error de posicin esttica Kp El error en estado estable del sistema para una entrada escaln unitario es:

La constante de error de posicin esttica Kp se define mediante:

El error en estado estable en trminos de la constante de error de posicin esttica Kp se obtiene mediante:

Para un sistema de tipo 0, la constante de error de posicin esttica Kp es finita, en tanto que, para un sistema de tipo 1 o mayor, Kp es infinita. Para una entrada escaln unitario, el error en estado estable } ~ ~

modo siguiente: ig

La respuesta de un sistema de control de realimentacin para una entrada escaln implica un error en estado estable si no existe un integrador en la trayectoria directa. (Si es posible tolerar errores pequeos para entradas escaln, es permisible un sistema de tipo 0, siempre y cuando la ganancia K sea suficientemente grande. Sin embargo, si la ganancia K es demasiado grande, es difcil obtener una estabilidad relativa razonable.) Si se pretende un error en estado estable de cero para una entrada escaln, el tipo del sistema debe ser uno o mayor. Constante de error de velocidad esttica

Como se describi anteriormente el error para una entrada rampa, para la constante de error de velocidad esttica se define mediante:

As, el error en estado estable en trminos de la constante de error de velocidad esttica se obtiene mediante

El trmino de error de velocidad se usa para expresar el error en estado

estable para una entrada rampa. La dimensin del error de velocidad es igual que la del error del sistema. El error de velocidad no es un error de velocidad, sino un error en la posicin debido a la entrada rampa.

El error en estado estable para la entrada rampa unitaria se resume del

modo siguiente:

Un sistema de tipo 1 es incapaz de seguir una entrada rampa en el estado

uniforme. El sistema de tipo 1 con realimentacin unitaria sigue la entrada rampa con un error finito. Operando en estado estable, la velocidad de salida es igual a la velocidad de entrada, pero hay un error de posicin. Este error es proporcional a la velocidad de la entrada y es inversamente proporcional a la ganancia K. El sistema de tipo 2 o mayor sigue una entrada rampa con un error de cero en estado estable.

Constante de error de aceleracin esttica El error en estado estable del sistema con una entrada parbola unitaria (entrada de aceleracin), que se define mediante:

Y se define a partir de

Por tanto la constante de error de aceleracin se define mediante la

ecuacin:

obteniendo el error en estado estable como:

El error de aceleracin, el error en estado estable producido por una

entrada parbola, es un error en la posicin. Por tanto el error en estado estable para una entrada parbola unitaria es:

Las constantes de error Kp, Kv y Ka describen la capacidad de un sistema de realimentacin unitaria de reducir o eliminar el error en estado estable. Por tanto, indican el desempeo en estado estable. En general, es conveniente aumentar las constantes de errores, al tiempo que se conserva la respuesta transitoria dentro de un rango aceptable. Si hay problemas entre la constante de error de velocidad esttica y la constante de error de la aceleracin, esta ltima se considera menos importante que la primera. Debe sealarse que, para mejorar el desempeo en estado estable aumentamos el tipo del sistema agregando uno o ms integradores a la trayectoria directa. Sin embargo, esto introduce un problema de estabilidad adicional. Por lo general, es difcil realizar el diseo de un sistema satisfactorio con ms de dos integradores en serie en la trayectoria directa.

CAPTULO III ANLISIS DEL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES

3.1 INTRODUCCIN

El mtodo del lugar geomtrico de las races es una tcnica grafica para conocer los efectos de la variacin del sistema de control sobre la ubicacin de los polos en lazo cerrado. El ajuste de la ganancia en algunos sistemas mueve los polos en lazo cerrado a las posiciones deseadas, pero si el ajuste de la ganancia no produce un resultado conveniente, es necesario agregar al sistema un compensador.

3.2 DESCRIPCIN DEL MTODO DEL LUGAR DE LAS RACES

Mediante el mtodo del lugar geomtrico de las races, el diseador puede predecir los efectos que tiene en la ubicacin de los polos en lazo cerrado, variar el valor de la ganancia o agregar polos y/o ceros en lazo abierto. La idea bsica del mtodo del lugar geomtrico de las races es que los valores que hacen que la funcin de transferencia alrededor del lazo sea igual a - 1 deben satisfacer la ecuacin caracterstica del sistema. El mtodo debe su nombre al lugar geomtrico de las races de la ecuacin caracterstica del sistema en lazo cerrado conforme la ganancia vara de cero a infinito. Dicha grfica muestra claramente cmo contribuye cada polo o cero en lazo abierto a las posiciones de los polos en lazo cerrado.

3.2.1 PROCEDIMIENTO PARA LA CONSTRUCCIN DEL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES.

El procedimiento a seguir para la construccin del lugar geomtrico de las races para la figura 3.1, paso a paso es el siguiente:

1. Ubicar los polos y ceros de G(s)H(s) en el plano s. Las ramificaciones del lugar geomtrico de las races empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros en infinitos).

Los polos y los ceros se obtienen de la funcin de transferencia en lazo abierto, los ceros en lazo abierto son los de G(s)H(s), los polos en lazo cerrado de H(s) y los ceros son los de G(s). El lugar de las races es simtrico respecto al eje real, conforme K tiende a infinito, cada lugar geomtrico tiende al cero de la funcin de transferencia en lazo abierto o al infinito del plano complejo.

Una grfica del lugar geomtrico de las races tendr tantas ramificaciones como races tenga la ecuacin caracterstica. Por lo general, la cantidad de polos(n) en lazo abierto es mayor que la de ceros (m), la cantidad de ramificaciones de la grfica es igual a la de los polos. Si la cantidad de polos en lazo cerrado es igual a la cantidad de polos en lazo abierto, la cantidad de ramificaciones individuales del lugar geomtrico de las races que terminan en los ceros finitos en lazo abierto ser igual a la cantidad de ceros en lazo abierto. Las ramificaciones restantes terminan en infinito a lo largo de las asntotas.

2. Determinar los lugares geomtricos de las races sobre el eje real.

Seleccionando un punto de prueba sobre el eje real si el nmero de polos y ceros a la derecha de ese punto es impar, entonces el punto forma parte del lugar de las races; si el nmero de polos y ceros es par entonces no hay lugar geomtrico de las races.

3. Determinar las asntotas de los lugares geomtricos de las races.

Los lugares de las races para valores de s muy grandes deben ser asintticos para lneas muy rectas y sus ngulos se obtienen mediante la siguiente formula:

En donde n= nmero de polos finitos de G(s) H(s)

m= nmero de ceros finitos de G(s) H(s)

n-m es el nmero de asntotas

Todas las asntotas intersectan el eje real en un punto, el cual se puede obtener de la siguiente forma:

Las asntotas muestran el comportamiento de los lugares geomtricos de las races para

encontrarse en un lado de la asntota correspondiente o pueden atravesarla de un lado al otro.

4. Encontrar los puntos de ruptura y de ingreso.

Los puntos de ruptura y de ingreso se encuentran sobre el eje real o en pares complejos conjugados. Si un lugar geomtrico de las races se ubica entre dos polos en lazo abierto adyacentes sobre el eje real, existe al menos un punto de desprendimiento entre dichos dos polos. Si el lugar geomtrico de las races est entre dos ceros adyacentes sobre el eje real, siempre existe al menos un punto de ingreso entre los dos ceros. Si el lugar geomtrico de las races se ubica entre un polo en lazo abierto y un cero (finito o no finito) sobre el eje real, pueden no existir puntos de ruptura o de ingreso, o bien pueden existir ambos. Suponiendo la ecuacin caracterstica siguiente:

Los puntos de ruptura y de ingreso se determinan a partir de la siguiente ecuacin:

No todas las races de la ecuacin anterior son puntos de ruptura o ingreso, si esta entre dos polos reales y es un lugar de las races, entonces es un punto de ruptura. Si esta entre dos ceros reales y es un lugar de las races, entonces es un punto de ingreso. Si son complejos conjugados y el valor de K correspondiente es

positivo entonces es un punto de ruptura o ingreso. Si alguna raz de la ecuacin no est en el lugar de las races entonces no es un punto de ingreso o ruptura.

5. Determinar el ngulo de salida (ngulo de llegada) de un lugar geomtrico de las races a partir de un polo complejo (un cero complejo).

Si no existen polos complejos o ceros complejos no se puede calcular el ngulo de salida, cuando si existan se calculan de la siguiente forma:

6. Encontrar los puntos en los que los lugares geomtricos de las races cruzan el eje imaginario.

Existen dos formas se encuentran por medio del criterio de estabilidad de Routh o suponiendo que s = j en la ecuacin caracterstica, igualando con cero la parte real y la parte imaginaria y despejando y K. En este caso, los valores encontrados de representan las frecuencias en las cuales los lugares geomtricos de las races cruzan el eje imaginario. El valor de K que corresponde a cada frecuencia de cruce produce la ganancia en el punto de cruce.

7. Tomar una serie de puntos de prueba en la vecindad amplia del origen del plano s y trazar los lugares geomtricos.

La parte ms importante de los lugares geomtricos de las races est en la parte de la vecindad amplia del eje j y el origen. La forma de los lugares geomtricos de las races en esta regin importante del plano s debe obtenerse con suficiente precisin y la nica forma de lograrlo es utilizando un buen conjunto de valores de prueba para s y verificar dichos valores mediante la condicin de ngulo:

Si un punto de prueba est sobre los lugares geomtricos de las races, la suma de los ngulos

satisfacer la condicin anterior (condicin de

ngulo). Si el punto de prueba no satisface la condicin de ngulo, se debe seleccionar otro hasta que se cumpla con la condicin. (La suma de los ngulos en el punto de prueba indicar en qu direccin debe moverse el punto de prueba). Continuar el proceso y ubicar una cantidad suficiente de puntos que satisfagan la condicin de ngulo y posteriormente trazar la grfica.

8. Determinar los polos en lazo cerrado.

Un punto especfico de cada ramificacin del lugar geomtrico de las races ser un polo en lazo cerrado si el valor de K en dicho punto satisface la condicin de magnitud. Con la siguiente formula:

3.3 COMPENSACIN

La compensacin es la modificacin de la dinmica del sistema, realizada para satisfacer las especificaciones determinadas. Por lo general las especificaciones se refieren a la precisin, la estabilidad relativa y la velocidad de respuesta. La parte ms importante de un sistema de control es el planteamiento preciso de las especificaciones de desempeo a fin de producir un sistema de control ptimo para el propsito determinado.

Un elemento insertado en el sistema para satisfacer las especificaciones se denomina compensador. El compensador es un dispositivo cuyas caractersticas tienden a compensar las caractersticas no deseables e inalterables de la planta.

El diseo mediante el lugar de las races se basa en redibujar el lugar de las races del sistema aadiendo polos y ceros a la funcin de transferencia en lazo abierto del sistema y hacer que el lugar de las races pase por los polos en lazo cerrado deseados en el plano s.

La adicin de un polo a la funcin de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geomtrico de las races a la derecha, con esto disminuye la estabilidad relativa del sistema y alenta el asentamiento de la respuesta. La adicin de los controles integrales aade un polo en el origen, con lo cual el sistema se vuelve menos estable.

La adicin de un cero a la funcin de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geomtrico de las races hacia la izquierda, con lo cual el sistema tiende a ser ms estable, y se acelera el asentamiento de la respuesta. La adicin de un cero a la funcin de transferencia de la trayectoria directa significa agregar al sistema un control derivativo.

El diseador selecciona la configuracin bsica del sistema diseado completo y el lugar donde el controlador estar colocado en relacin con el proceso controlado. La compensacin en serie es ms sencilla que la compensacin mediante realimentacin.

Compensacin en serie (cascada): (Figura 3.2) es la ms comnmente utilizada con el compensador colocado en serie con el proceso controlado.

Compensacin en realimentacin (en paralelo): (Figura 3.3) el compensador est colocado en la trayectoria interior de realimentacin.

El enfoque del lugar geomtrico de las races es un mtodo muy poderoso en el diseo cuando se incorporan las especificaciones en trminos de las cantidades en el dominio del tiempo, tales como el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado, el sobrepaso mximo, el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento. En el diseo realizado mediante el mtodo del lugar geomtrico de las races, los lugares geomtricos de las races del sistema se vuelven a construir mediante el uso de un compensador, a fin de poder colocar un par de polos dominantes en lazo cerrado en la posicin deseada. (A menudo se especifican el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia no amortiguada natural de un par de polos dominantes en lazo cerrado.)

3.3.1 PROCEDIMIENTO DE DISEO DE COMPENSACIN DE ADELANTO MEDIANTE EL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES (LGR)

Se utiliza para mejorar la respuesta transitoria readaptando el lugar geomtrico de las races del sistema original. El cero del compensador de adelanto readapta el lugar geomtrico de las races, mientras que el polo se ubica lo suficientemente lejos a la izquierda para no influir en la parte readaptada por el cero.

El procedimiento para disear un compensador de adelanto para el sistema

de la figura 3.4 mediante el mtodo del lugar geomtrico de las races se plantea de la siguiente forma:

1. A partir de las especificaciones de desempeo, determinar la ubicacin deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.

2. Por medio de una grfica del lugar geomtrico de las races, comprobar si el ajuste de la ganancia puede o no por s solo producir los polos en lazo cerrado convenientes. Si no, calcule la deficiencia de ngulo . Este ngulo debe ser una contribucin del compensador de adelanto si el nuevo lugar geomtrico de las races va a pasar por las ubicaciones deseadas para los polos dominantes en lazo cerrado.

3. Suponer que el compensador de adelanto es: