control de fricción en robots industriales · antecedentes fricción invención de la mÆquina...

Control de Fricción en RobotsIndustriales

Juan C. Martınez-Rosas y Luis Alvarez-Icaza

[email protected], [email protected]

Universidad Autonoma de la Ciudad de Mexico UACM

Instituto de Ingenierıa UNAM

Control de Friccion en Robots Industriales– p. 1

Presentación

• Antecedentes y efectos friccionales

• Modelos de fricción estáticos y dinámicos

• propiedades de modelo de fricción

• Control adaptable con fricción dinámica

• Resultados experimentales

• Conclusiones


Antecedentes fricción

• Invención de la máquina para hacer fuego, 10,000 AC

Figura 1: Ignición mediante fricción.



• Tribología (del griego tribos, "frotar o rozar") es la ciencia que estudia la fricción,

• La fricción se define como la reacción de fuerza tangencial entre dos superficiesen contacto.

• El desgaste es la erosión de la superficie de un material sólido por la acción deotro material sólido.

• Las tareas del especialista en tribología son las de reducir la fricción y desgastepara conservar y reducir energía, lograr movimientos más rápidos y precisos,incrementar la productividad y reducir el mantenimiento.



• La fuerza de fricción es directamente proporcional al coeficiente de fricción y alpeso del cuerpo en movimiento.

• La fuerza de fricción depende del área (microscópica) real de contacto y no delárea aparente del cuerpo deslizante.

Figura 2: Leonardo Da Vinci (1452-1519).



• Formulan y postulan las leyes de la fricción del movimiento por deslizamientoentre dos superficies.

• Guillaume Amontons (1663-1705)

• Robert Hooke (1635-1703)

• Isaac Newton (1643-1727)

• Charles Coulomb (1736-1806)

• Osborne Reynolds (1842-1912)


Fuerzas de fricción

• Estudios actuales demuestran que la fuerza de resistencia que actúa en unadirección opuesta a la dirección del movimiento se conoce como Fuerza defricción. Existen dos tipos principales de fricción: Fricción estática y Friccióndinámica.

• Efectos físicos de la fricción:

• 1. interacción molecular (adhesión) de las superficies

• 2. la interacción mecánica entre las partes.

• 3. Desgaste, 75 % de las fallas mecánicas se deben al desgaste de las superficiesen rozamiento


Efectos indeseables de fricción y desgaste

• Daños mecánicos por efectos de fricción y desgaste

Figura 3: Daño en componentes mecánicos.Control de Friccion en Robots Industriales– p. 8

Terminología de Fricción

• Fricción estática (Sticktion): Es la fuerza necesaria para iniciar movimiento apartirdel reposo.

• Fricción de Cinética (Fricción de Coulomb): Componente de la fricción que esindependiente de la magnitud de la velocidad.

• Fricción Viscosa: Componente de la fricción que es proporcional a la velocidad, yen particular tiende a cero a velocidad cero.

• Rompimiento (Break-A way): transición del reposo (fricción estática) al movimiento(friccón cinética).

• Fuerza de rompimiento (Break-A way Force): Cantidad de fuerza para superar lafricción estática.

• Efecto Dahl: Resulta de la deformación elástica de puntos de contacto entre dossuperficies bloqueadas por fricción estática.

• Efecto Stribeck: Resulta del uso de lubricación, la fricción decrece con el aumentode la velocidad.


Máquinas Servocontroladas de alta presición

• Errores de seguimiento y posición, vibraciones, ciclos límite

• La fricción tiene un impacto en todos los regímenes de operación.

• Proporciona amortiguamiento a todas las frecuencias

• Afecta el tiempo de control óptimo

• Determina los límites de velocidad y de potecia.

Figura 4: Servomotor con transmisión harmónica.


Compensación de efectos de Fricción

• Atenuación de efectos indeseables.

• Es uno de los principales problemas de investigación en control deservomecanismos en las últimas décadas.

• Afecta directamente el desempeño del control de movimiento

• La fricción es un fenómeno difícil de modelar

• Para lograr un diseño de compensación adecuado de fricción, es importantecontar con un modelo de fricción conveniente (Canudas de Wit y Lischinsky 1997 ).


Modelos de fricción estáticos

• Modelo viscoso más de Coulomb (Memoryless Model).

f(q) = fv q + fcsgn(q), (1)

Figura 5: Respuesta de fricción de un motor de d.c. Vs modelo de fricción estática.


Modelos de fricción estáticos

• Modelo Armstrong.

f(q) = fv q + fcsgn(q) + [fs − fc]sgn(q)e(q/vs)2 , (2)

Figura 6: Respuesta de fricción de un motor de d.c. Vs modelo de fricción estática.


Modelos de fricción dinámicos

• Modelo LuGre, Captura características estáticas y dinámicas de fricción

z = − |q|g(q)

z + q g(q) =1

σ0

[

fc + [fs − fc]e(q/vs)2

]

(3)

F = Fcsign(q) + σq + (Fs − Fc)e(q/vs)2sign(q) (4)

Figura 7: Respuesta de fricción de un motor de d.c. Vs modelo de fricción dinámica.Control de Friccion en Robots Industriales– p. 14

Principales dificultades de los modelos dinámicos

• No linealidad en los parámetros.

• Identificación bajo movimiento restringido

• Identificación con modelo parcialmente conocido


Por qué desarrollar nuevos esquemas de fricción

• La evaluación de modelos de fricción mediante pruebas analíticas, dinámicas yestáticas es limitada en la literatura.

• La mayoría de los modelos de fricción en la literatura asumen conocimientoparamérico total o parcial. condiciones de operación.

• Diseño de un modelo de fricción dinámico que permita estimar y compensarfricción bajo diferentes condiciones de operación.


Nuevo modelo dinámico de fricción

F = σ0Fcz + σ1z + σ2q + σ0(Fs − Fc)y + αy, (5)

z = q − σ0|q|z, (6)

y = −y +1

σ0sign(q)e−n|q|m (7)

• Fc > 0 es la fuerza de fricción de Coulomb

• Fs > 0 es la fricción estática friction force

• σi > 0; i = 0, 1, 2, parámetros de rigidéz y amortiguamiento viscoso

• z es el estado de fricción interna, se relaciona con la fricción de Coulomb

• y es un estado de fricción interno, se relaciona con el efecto Stribeck

• q es la velocidad relativa de las superficies en contacto

• α > 0

• n = |1/qs|m, con qs como la velocidad Stribeck, y m = 2.


Modelo dinámico extendido

F = σ0Fcz + σ1q − σ0σ1|q|z + σ2q + σ0(Fs − Fc)y + α

[

−y +1

σ0sign(q)e−n|q|m

]

.

(8)

Para calcular la respuesta en estado pseudo-estacionario, es necesario fijar q y colocarz = 0 y y = 0, entonces el equilibrio respectivo para el estado z y y es

z =1

σ0sign(q), (9)

y =1

σ0sign(q)e−n|q|m . (10)

La sustitución de (9) y (10) en (8) con z = 0 y y = 0 resulta en la solución en estadoestacionario presentada en el modelo LuGre.

F = Fcsign(q) + σ2q + (Fs − Fc)sign(q)e−n|q|m , (11)


Propiedades y comportamiento dinámico del modelo

• Propiedades de Pasividad

• Propiedades de Linealidad en parámetros

• Desplazamiento Predeslizante

• Comportamiento de Histéresis

• Movimiento frenado deslizamiento

• Ciclos Límites y Control PID


Propiedades de pasividad

Proposition 1 Si Fs ≥ Fc, el modelo dinámico de fricción descrito en (5) define unoperador estrictamente pasivo Σ : L2e → L2e : q → F , esto es, a lo largo de lassoluciones (5)-(7), con condiciones iniciales cero (Barabanov y Ortega 2000),

I(0, T ) =

∫ T

0qFdt > 0, (12)

I1(0, T ) =

∫ T

0(σ1z + σ2q) q dt > 0, (13a)

I2(0, T ) = σ0Fc

∫ T

0zq dt > 0, (13b)

I3(0, T ) = α

∫ T

0yq dt > 0, (13c)

I4(0, T ) = σ0(Fs − Fc)

∫ T

0yq dt > 0, (13d)


Propiedad de estructura lineal en parámetros

Del modelo extendido se observa que el la estructura resultante es lineal en susparámetros con estructura

F = Uθ, (14)

donde

U =[

z, −|q|z, q, y, −y, sign(q)e−|q|m]

∈ R1×6, (15)

θ =

σ0Fc

σ0σ1

σ1 + σ2

σ0(Fs − Fc)

α

ασ0

=

θ1

θ2

θ3

θ4

θ5

θ6

∈ R6×1. (16)


Simulación del modelo dinámico de fricción

Parámetros del modelo usados en simulación

σ0 105 [ 1m

]

σ1√

σ0 [ Nm/seg

]

σ2 0,4 [ Nm/seg

]

FC 1 [N ]

FS 1,5 [N ]

vs 0,001 [m/seg]

α 109 [N/(m/seg)]


Desplazamiento predeslizante


Desplazamiento predeslizante

DynamicFrictionModel (1)

1m

1s

1s

u

-Fn x

0 5 10 15 20 25−2

−1

0

1

2Fuerza externa

[a] tiempo [sec]

[N]

−2 −1 0 1 2 3 4 5

x 10−5

−2

−1

0

1

2

[b] Desplazamiento [m]

Fuer

za d

e fri

cció

n [N

]

Comportamiento de desplazamiento predeslizante

LuGreModelo(1)


Comportamiento de Histéresis

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

[a] tiempo[sec]

Vel

.[m/s

]

Trayectoria de entrada

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−2

−1

0

1

2x 10−5

[b] tiempo[sec]

[m]

Estado interno "z" en modelo (1)


Comportamiento de Histéresis

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−2

0

2

4x 10−11

[a] tiempo[sec]

[m]

Estado interno "y" en modelo (1)

−0.01 −0.005 0 0.005 0.01−2

−1

0

1

2

[b] velocity [m/s]

Fue

rza

de fr

icci

ón[N

]

Comportamiento de Histéresis en modelo LuGre y modelo (1)

LuGreModelo (1)


Comportamiento de frenado-deslizado

0 5 10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

[a] tiempo [seg]

Fue

rza

de e

ntra

da[N

]

Fuerza externa

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2x 10−9

[a] velocidad [m/s]

y[m

]

Estado interno "y" en Modelo (1)


Comportamiento de frenado-deslizado

0 5 10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

tiempo [s]

F. e

xt.[N

]

Fuerza externa

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

tiempo [sec]

Pos

ició

n[m

]

Posición de masa y resorte (rojo) en Modelo LuGre

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

tiempo [sec]

Pos

ició

n[m

]

Posición de masa y resorte (rojo) en Modelo (1)

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2x 10−9

velocidad [m/s]

y[m

]

Estado interno "y" en Modelo (1)

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

1

1.5

tiempo [s]

Fuerza de Fricción y velocidad (rojo) en Modelo LuGre

Fuerza de Fricción [N] Velocidad[m/s]

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

1

1.5

tiempo [s]

Fuerza de fricción y velocidad (rojo) en Modelo (1)

Fuerza de fricción[N] Velocidad[m/s]


Ciclos límites y Control PID


Ciclos límites y Control PID

0 20 40 60 80 100

0.8

1

1.2

1.4

Control PID en Modelo LuGre y Model (1)

tiempo [s]

Pos

ició

n [m

]

xdLuGreModelo (1)

0 20 40 60 80 100−0.5

0

0.5Error de seguimiento

tiempo [s]

Pos

ició

n [m

]

LuGreModelo (1)6.5cm=65% error

1x10−3cm=4% error


Comentarios

• Se presenta un nuevo modelo dinámico de fricción de segundo orden.

• Permite conservar la misma base intuitiva de su modelo precusor LuGre.

• Destaca una nueva descripción del efecto Stribeck, el cual ahora es determinadomediante una ecuación diferencial no lineal de primer orden.

• El modelo concentra un conjunto de propiedades típicas correspondientes a unbuen modelo de fricción.

• Se realiza un extenso análisis matemático y de simulación para demostrar que lanueva descripción captura los fenómenos más importantes durante el contacto dedos cuerpos en movimiento.

• Extendible en aplicaciones de control adaptable donde los parámetros cambiancon el tiempo.


Nueva motivacion

• El control adaptable de robots industriales con fricción dinámica es compejo y laliteratura en este tópico es limitada.

• La mayoría de los modelos de fricción asumen conocimiento paramétrico total oparcial.

• Diseñar un nuevo modelo de fricción dinámica para compensar y estimar fricciónen un robot industrial.


Estructura paramétrica lineal

El nuevo modelo propuesto contiene una estructura lineal en sus parámetros

F = U P, (17)

donde

F =[

z, −|q|z, q, y, (−y + sign(q)e−n|q|m)]

σ0Fc

σ0σ1

σ1 + σ2

Fs − Fc

α

(18)


Modelo de un robot manipulador

H(q)q + C(q, q)q + g(q) + F = τ , (19)

• q ∈ Rn es el vector de coordenadas articulares generalizadas

• H(q) ∈ Rn×n es la matriz inercial simétrica positiva definida

• C(q, q)q ∈ Rn es el vector de coriolis u fuerzas centrífugas

• g(q) ∈ Rn es el vector de torques gravitacionales

• F = U1 P 1 ∈ Rn son las fuerzas de fricción actuando independientemente

en cada articulación

• τ ∈ Rn es el vector de torques actuando en las articulaciones.

H(q)q + C(q, q)q + g(q) + F = U2(q, q, q)P 2

(20)


Observador adaptable y ley de adaptación

Observador adaptable propuesto para estimar z, y y los parámetros del modeloP = [P 1, P 2]T , utilizando el regresor U = [U1, U2]

˙z = q − |q|z, (21a)

˙y = −y + sign(q)e−n|q|m , (21b)

˙P = −ΓU

Ts, (21c)

z = z − z y = y − y (22)

P = P − P F = F − F (23)


Controlador adaptable

q = q − qdi qr = qdi − Λq (24)

s = q − qr Λi = kiI ∈ Rni×ni (25)

τ = H(q)qr + C(q, qr)qr + g(q) + F − KDs (26)


Controlador adaptable

Proposition 2 Considere el sistema dinámico del robot (19), el observador adaptableen (21) y la ley de control en (26) en lazo cerrado, los errores de seguimiento q, erroresde observación z, y y las señales s, UP tenderan asintóticamente a cero.

función candidata de Lyapunov

V =1

2sT H(q)s +

1

2P

TΓ−1P +

γ1

2z2 +

γ2

2y2. (27)

V ≤ −δ‖s‖2 − δ‖y‖2 − δ‖z‖2 − PT

UT

UP ≤ 0. (28)

con δ > 0.Finalmente, es posible mostrar que conforme t → ∞

z → 0 , y → 0 , s → 0 , UP → 0


Resultados experimentales

• Tiempo de muestreo Tm = 8ms

• Solo las primeras tres articulaciones del robot han sido activadas en losexperimentos

Figura 8: Robot CRS A465 of six degrees of freedom.


0 10 20 30 40 50 60 70−100

0

100

q d1 [d

eg]

[a]

0 10 20 30 40 50 60 700

100

q d2 [d

eg]

[b]

0 10 20 30 40 50 60 70−20

0204060

[c] t [s]

q d3 [d

eg]

Figura 9: Desired trajectory.


Errores de seguimiento

0 10 20 30 40 50 60 70-1

0

1

[deg]

[a]

Adapt Fricc Non Adapt Fricc Lugre fricc. model

0 10 20 30 40 50 60 70

-4

-2

0

2

[deg]

[b]

0 10 20 30 40 50 60 70

-2

-1

0

1

[c] time [s]

[deg]

Avr = 0.0836Avr = 0.3389Avr = 0.2331

Avr = 0.1059Avr = 0.6957Avr = 0.8319

Avr = 0.1004Avr = 0.6966Avr = 0.3618

Figura 10: Tracking error.Control de Friccion en Robots Industriales– p. 40

0 20 40 60−0.02

0

0.02

0.04

ye1

[deg

/s]

Estimation of y

0 20 40 60−0.05

0

0.05

ye2

[deg

/s]

0 20 40 60−0.02

0

0.02

0.04

ye3

[deg

/s]

t [s]

0 20 40 60−0.5

0

0.5

ze1

[deg

/s]

Estimation of z

0 20 40 60−0.5

0

0.5

ze2

[deg

/s]

0 20 40 60−0.5

0

0.5ze

3 [d

eg/s

]

t [s]

Figura 11: Estimated of y and z.


0 10 20 30 40 50 60 70

0

20

40

t [s]

σ0i

Fciσ

01F

c1σ

02F

c2σ

03F

c3

0 10 20 30 40 50 60 70−4−2

0246

t [s]

σ0i

2 σ01

2 σ02

2 σ03

2

0 10 20 30 40 50 60 700

100

200

t [s]

σ0i

+σ2iσ

01+σ

21σ

02+σ

22σ

03+σ

23

Figura 12: Estimated of friction parameters [σ0iFci, σ0i2, σ0i + σ2i]

T for each joint.


0 10 20 30 40 50 60 700

2

4

6

8

10

12

t [s]

Fsi

−FciF

s1−F

c1F

s2−F

c2F

s3−F

c3

0 10 20 30 40 50 60 70−2

0

2

4

6

8

t [s]

α1

α2

α3

Figura 13: Estimated of friction parameters [Fsi − Fci, αi]T for each joint.


0 5 10 15

1

2

q d1 [d

eg]

[a]

Desired position

0 5 10 15

91

92

q d2 [d

eg]

[b]

0 5 10 15

1

1.5

2

2.5

[c] t [s]

q d3 [d

eg]

0 5 10−1

0

1

[deg

]

[d]

Tracking error

Non adapt FAdapt F

0 5 10−4

−2

0

2

[deg

] [e]

0 5 10−2

−1

0

1

[f] time [s]

[deg

]

Figura 14: Desired position (Regulation) and Tracking error.


Conclusiones

• nueva estructura dinámica para compensación de fricción en robots

• Permite nueva descripción del efecto Stribeck

• Los resultados confirman la compensación-estimación en línea

• posibilidad de identificación de todos los parámetros relevantes en TR (mejorandoel Tm)

• Extendible en aplicaciones de control donde los parámetros cambian con eltiempo.

Controlador promedio I[q] =√

1T

∫ T0 ‖q‖2dt

. . . + F − KDs 0.1681 [deg]

. . . − KDs 1.0413 [deg]

. . . + FLugre − KDs 0.9366 [deg]


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