control avanzado
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Control AvanzadoTRANSCRIPT
Universidad de Costa RicaFacultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Eléctrica
IE – 0502 Proyecto Eléctrico
Diseño de un control robusto carga frecuencia con dispositivos FACTS
Por:
Rodolfo Rodríguez Aguilar
Ciudad Universitaria Rodrigo FacioJunio del 2006
Diseño de un control robusto carga frecuencia con dispositivos FACTS
Por:Rodolfo Rodríguez Aguilar
Sometido a la Escuela de Ingeniería Eléctrica
de la Facultad de Ingeniería
de la Universidad de Costa Rica
como requisito parcial para optar por el grado de:
BACHILLER EN INGENIERÍA ELÉCTRICA
Aprobado por el Tribunal:
_________________________________Dr. Eddie Araya Padilla
Profesor Guía
_________________________________ _________________________________ Dr.Franklin Chinchilla Hidalgo Ing.Rebeca Sánchez Moraga Profesor lector Profesora lectora
ii
DEDICATORIA
Este trabajo esta dedicado a mis padres y al pueblo de Costa Rica.
iii
RECONOCIMIENTOS
Quisiera agradecer al siguiente grupo de personas por su valiosa ayuda la cual fue
indispensable en la realización de este proyecto
Haydeé Aguilar MongeRodolfo Rodríguez Aguilar
Rodolfo Aguilar MurilloLuisa Emérita Monge Barrientos
Marielos Aguilar MongeEddie Araya Padilla
Franklin Chinchilla HidalgoRebeca Sanchez Moraga
Victor M. AlfaroJosé M.Paez
Luis Diego Fernandez GonzalesPiet Mondrian
José Rupainis AlvaradoAlexander CalderRoy León Cruz
Luis Guillermo CamposJosé Antonio Chinchilla Agüero
Jorge Rodríguez CalvoJavier Richmor LópezGeorge Smith Patton
Walter Rodríguez VillanuevaTito Flavio Vespasiano
Gustavo ChengEva ChengRie Hikino
Chie ChishikawaNoriko Shibata
Koji KabutoHuang YutingErwin Rommel
Luis Agüero CantilloDouglas MacArthur
iv
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE DE FIGURAS..................................................................................vii
ÍNDICE DE TABLAS.....................................................................................ix
NOMENCLATURA.........................................................................................x
RESUMEN.......................................................................................................xi
CAPÍTULO 1: Introducción........................................................................... 1
1.1.Objetivos........................................................................................................................... 21.1.1Objetivo general...................................................................................................... 21.1.2Objetivos específicos.............................................................................................. 2
1.2Metodología....................................................................................................................... 3CAPÍTULO 2: Desarrollo teórico...................................................................4
2.1 La relación entre la potencia activa y la frecuencia.......................................................42.1.1Características de la desviación de frecuencia...................................................... 5
2.2Modelado del sistema de control de la frecuencia ........................................................... 72.2.1Modelado del mecanismo de regulación de velocidad .......................................... 72.2.2Modelado de la turbina ...........................................................................................92.2.3El estatismo........................................................................................................... 102.2.4El control automático de la generación: AGC...................................................... 112.2.5El área de control.................................................................................................. 112.2.6Balance de potencia en un área de control y modelado de su dinámica.............. 122.2.7Modelo del área de control sin control integral de error de área..........................172.2.8Modelo del área de control con control integral de error de área........................ 18
2.3Sistemas flexibles de transmisión en corriente alterna FACTS ......................................192.3.1Definición de FACTS........................................................................................... 192.3.2Controladores FACTS tipo serie...........................................................................202.3.3FACTS tipo serie como elementos de control dinámico de la potencia.............. 25
2.4Diseño de controladores con el método de la matriz lineal de desigualdades LMI......282.4.1Síntesis de un controlador realimentado con el método LMI.............................. 29
v
CAPÍTULO 3: Modelado de los sistemas de potencia de dos y cuatro áreas.................................................................................................................32
3.1Modelo del AGC en el sistema de dos áreas....................................................................323.2Modelo del AGC en un sistema de cuatro áreas.............................................................. 37CAPÍTULO 4: Diseño y evaluación del controlador FACTS para los sistemas de dos y cuatro áreas.......................................................................40
4.1Diseño del controlador para el sistema de 2 áreas.......................................................... 414.1.1Controlador obtenido por el método LMI para el sistema de 2 áreas................. 43
4.2Evaluación del controlador para el sistema de 2 áreas................................................... 444.3Diseño del controlador para el sistema de 4 áreas.......................................................... 54
4.3.1Controlador obtenido por el método LMI para el sistema de 4 áreas.................. 564.4Evaluación del controlador para el sistema de 4 áreas................................................... 57CAPÍTULO 5: Análisis de resultados ......................................................... 73
.........................................................................................................................75
CAPÍTULO 6: Conclusiones y recomendaciones........................................76
BIBLIOGRAFÍA............................................................................................78
APÉNDICES...................................................................................................81
APÉNDICE A.......................................................................................................................82APÉNDICE B....................................................................................................................... 83APÉNDICE C....................................................................................................................... 85APÉNDICE D.......................................................................................................................86APÉNDICE E....................................................................................................................... 88APÉNDICE F........................................................................................................................91
vi
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2.1 Modelo de un regulador de frecuencia.............................................................. 8
Figura 2.2 Área de control sin control integral................................................................. 18
Figura 2.3 Área de control con control integral................................................................ 19
Figura 2.4 Compensador estático sincrónico en serie SSSC tomado de [9].................... 21
Figura 2.5 Capacitor serie controlado por tiristor TCSC tomado de [9]..........................22
Figura 2.6 Capacitor serie conmutado por tiristor TSSC tomado de [9]...........................23
Figura 2.7 Reactor serie controlado por tiristor TCSR tomado de [9]..............................23
Figura 2.8 Reactor serie conmutado por tiristor TSSR tomado de [9].............................24
Figura 2.9 Sistema de dos máquinas sincrónicas con un FACTS Serie...........................25
Figura 2.10 Diagrama fasorial de un Sistema de dos máquinas sincrónicas con un FACTS serie , tomado de [2]............................................................................................ 26
Figura 3.1 Diagrama del sistema de potencia de dos áreas...............................................33
Figura 3.2 Desviación de frecuencia del área 1............................................................... 35
Figura 3.3 Desviación de frecuencia del área 2................................................................ 36
Figura 3.4 Diagrama del sistema de 4 áreas con controlador FACTS, tomado de [1] .38
Figura 4.1 Desviación de la frecuencia en el área 1..........................................................44
Figura 4.2 Desviación de la frecuencia en el área 2..........................................................45
Figura 4.3 Desviación de la potencia de intercambio entre el área 1 y el área 2............. 46
Figura 4.4 Aporte de potencia del controlador FACTS.................................................... 47
Figura 4.5 Diagrama del sistema completo con el controlador incluido...........................49
Figura 4.6 Diagrama de Bode del sistema de 2 áreas sin controlador FACTS ............... 50
vii
Figura 4.7 Diagrama de Bode del sistema de 2 áreas con controlador FACTS...............51
Figura 4.8 Desviación de la frecuencia del área 1.............................................................57
Figura 4.9 Desviación de la frecuencia del área 2............................................................58
Figura 4.10 Desviación de la frecuencia del área 3...........................................................59
Figura 4.11 Desviación de la frecuencia del área 4...........................................................60
Figura 4.12 Aporte de potencia del FACTS .....................................................................61
Figura 4.13 Diagrama completo del sistema 4 áreas con el controlador y reguladores de velocidad........................................................................................................................... 63
Figura 4.14 Diagrama de Bode del sistema de 4 áreas sin controlador FACTS............... 65
Figura 4.15 Diagrama de Bode del sistema de 4 áreas incluyendo el controlador FACTS...........................................................................................................................................66
Figura 4.16 Desviación de la frecuencia del área 1 con el control propuesto en [1] ....... 67
Figura 4.17 Desviación de la frecuencia del área 2 con el control propuesto en [1] ....... 68
viii
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 4.1 Autovalores del sistema de dos áreas controlado y sin controlar.....................48
Tabla 4.2 Efecto en la desviación de la frecuencia al aplicar el controlador FACTS en el sistema de 2 áreas..............................................................................................................52
Tabla 4.3 Variación de los márgenes de ganancia y fase al incluir el controlador FACTS en el sistema de 2 áreas..................................................................................................... 52
Tabla 4.4 Capacidad de modulación de la potencia del FACTS instalado en el sistema de 2 áreas................................................................................................................................53
Tabla 4.5 Autovalores del sistema de 4 áreas controlado y sin controlar........................ 62
Tabla 4.6 Efecto en la desviación de la frecuencia al aplicar el controlador FACTS en el sistema de 4 áreas..............................................................................................................69
Tabla 4.7 Variación de los márgenes de ganancia y fase al incluir el controlador FACT en el sistema de 4 áreas..................................................................................................... 70
Tabla 4.8 Capacidad de modulación de la potencia del FACTS instalado en el sistema de 4 áreas................................................................................................................................70
Tabla 4.9 Comparación entre el controlador propuesto en [12] y el controlador obtenido con el LMI para el sistema de 4 áreas............................................................................. 71
Tabla 4.10 Resumen de resultados al aplicar el controlador obtenido por el método LMI...........................................................................................................................................72
ix
NOMENCLATURA
A matriz de estados del sistemab vector de entradas del sistemau entrada al sistema ω velocidad angular
)(sF∆ Transformada de Laplace de la desviación de la frecuencia )(sPC∆ Transformada de Laplace del incremento en el de la potencia )(sPG∆ Transformada de Laplace de la potencia entregada por la turbina
iH Inercia del sistema del área iésima
iD Variación de la potencia demanda del área i
iR Regulación de frecuencia del área i
iB Valor de sesgo , BIAS del área i
if∆ Variación de frecuencia del área i
ienlaceP ,∆ Variación de la potencia de intercambio del área iof Frecuencia nominal del sistema de potencia
ijT Coeficiente de sincronización entre las áreas i,j
jδ∆ Desviación angular entre fasores
V Magnitud de la tensión LíneaX Reactancia de la línea de transmisión
LMI Matriz lineal de desigualdadesFACTS Sistemas de transmisión flexible en corriente alternaAGC Control automático de la generación
x
RESUMEN
En este trabajo se obtuvieron dos controladores FACTS tipo serie, para disminuir la
desviación máxima de la frecuencia de un sistema de potencia ante variaciones rápidas de
carga , para un sistema de dos áreas y para un sistema de cuatro áreas ,la función de
transferencia de los controladores se obtuvo mediante la aplicación del método de la
matriz lineal de desigualdades (LMI), cuya solución se realizó con las herramientas para
LMI de Matlab ® y las simulaciones se realizaron con la aplicación Simulink®.
xi
CAPÍTULO 1: Introducción
En un sistema de potencia en corriente alterna la frecuencia es el indicador del
balance de potencia, a su vez, la frecuencia se ve afectada por la demanda de potencia
activa de las instalaciones de uso comercial, residencial e industrial. Bajo condiciones
normales de operación en régimen permanente la frecuencia permanece sin variar, puesto
que la frecuencia indica el balance de potencia, resulta indispensable mantener su valor
constante.
Hasta ahora, el sistema de regulación de la frecuencia por excelencia, ha sido el
conjunto electromecánico que controla la apertura o cierre de válvulas que regulan la
entrada de agua o la presión de vapor en las turbinas, sin embargo, la acción de estos
dispositivos de control electromecánicos, depende de elementos eléctricos y mecánicos,
siendo estos últimos los de menor velocidad de reacción ante perturbaciones cuando se
comparan con los elementos eléctricos.
Con el uso de los dispositivos FACTS (del inglés sistemas flexibles de transmisión
en corriente alterna) se ha logrado construir elementos de control que permiten regular el
flujo de potencia, lo cual ha permitido amortiguar las oscilaciones de frecuencia
provocadas por cambios en la demanda de la carga.
La implementación de los FACTS requiere el cálculo de la función de transferencia
de su controlador, esta función de transferencia deberá permitir amortiguar las oscilaciones
de frecuencia en un sistema de potencia sometido a variaciones de carga.
Existen varias maneras de obtener dicha función de transferencia, el método de
LMI (matriz lineal de desigualdades) es una de ellas, este método ha de ser utilizado para
obtener la función de transferencia de dos controladores, el primero ha de ser aplicado en
un sistema dos áreas y el otro un sistema de 4 áreas.
1.1.Objetivos
1.1.1 Objetivo general
Diseño de un control robusto carga frecuencia con dispositivos FACTS
1.1.2 Objetivos específicos
Analizar el problema del control carga frecuencia Analizar los dispositivos FACTS en serie Modelar el control carga frecuencia en variables de estado y funciones de
transferencia sin dispositivos FACTS para un sistema de dos áreas y un sistema de cuatro áreas
Modelar el control carga frecuencia en variables de estado y funciones de transferencia con dispositivos FACTS para un sistema de dos áreas y un sistema de cuatro áreas
Diseñar un control robusto carga frecuencia mediante la matriz lineal de desigualdades
Aplicar y analizar del control robusto a un sistema de dos áreas , cuatro áreas y al sistema Centro Americano
13
1.2 Metodología
Apartir de las ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes, se quiere obtener
un modelo lineal de la forma buAx + , para representar la dinámica entre la variación de
carga y la desviación de la frecuencia para un sistema de potencia de dos y de cuatro áreas.
Una vez obtenido el modelo en variables de estado para ambos sistemas, se aplica
el método de la matriz lineal de desigualdades, para el diseño de la función de transferencia
de un controlador FACTS, que amortigue las oscilaciones de frecuencia.La síntesis de este
controlador, se realizará haciendo uso de las herramientas de Matlab® para resolver la
matriz lineal de desigualdades (LMI toolbox).
Finalmente,oseoanalizaráoelodesempeñoodelosistemaocontrolado,oanteoperturba-
ciones en la carga y la frecuencia, utilizando la aplicación Simulink.
14
CAPÍTULO 2: Desarrollo teórico
2.1 La relación entre la potencia activa y la frecuencia
Según [1,2], conservar el valor de la frecuencia del sistema eléctrico dentro de
límites preestablecidos, es un problema que esta relacionado directamente con el balance de
potencia activa en la red, además, plantean que el problema de regular la frecuencia, es a su
vez, un problema de regulación de la velocidad, debido a la relación de proporcionalidad
entre la frecuencia de la red y la velocidad de giro de los generadores sincrónicos.
En [1,2] se plantea que en un sistema de potencia bajo condiciones normales de operación,
los generadores se encuentran funcionando de manera sincrónica, por lo que, la frecuencia
de dicho sistema se mantiene sin variaciones, es decir constante.
Como el sistema de potencia anteriormente descrito es un sistema en corriente
alterna, según [1] la energía no permanece almacenada en ningún sitio de la red eléctrica,
por tanto se dice que "la tasa de potencia generada deberá ser igual a la tasa de potencia
consumida" [1], lo que significa que la potencia generada es suficiente para satisfacer la
energía demandada por la carga y cubrir las pérdidas en el sistema de transmisión, si esto
se logra la frecuencia permanece constante.
Sin embargo, si se observa la expresión:
ωTP = (2.1)
se notará como la potencia dependerá de la velocidad angular y el par aplicado , la potencia
generada por las máquinas sincrónicas conectadas a un sistema en régimen permanente,
dependerá del par aplicado por los promotores, si se ha de mantener la velocidad ω
constante .
Debido a que la potencia demandada por la carga no es constante, la potencia
generada por las máquinas sincrónicas , estará de igual manera variando, ya que deberá
coincidir con la potencia demanda por la carga , no obstante , el balance no es instantáneo,
lo cual implica la existencia de un exceso o déficit de potencia ,causando dos efectos a
saber:
a) Un efecto acelerador en el giro de la máquina sincrónica cuando la potencia
demandada por la carga disminuya
b) Un efecto de frenado del rotor, al aumentar la potencia demandada por la carga
La frecuencia de operación aumentará debido a la aceleración y se reducirá debido a
la desaceleración, pues, la velocidad es proporcional a la frecuencia del sistema.
Para comprender más en detalle estas ideas, a continuación, se presentan las
características de la desviación de la frecuencia.
2.1.1 Características de la desviación de frecuencia
Según [1], la frecuencia de un sistema de potencia se desvía de su valor de consigna,
debido a que existe una falta de balance entre la potencia generada y la potencia demandada
por la carga. En [3] se plantea que dicha desviación de la frecuencia es un fenómeno que
puede manifestarse de dos maneras a saber:
16
a. Como una oscilación transitoria cuyo tiempo de manifestación es de menos un
minuto
b. Como fenómeno de largo alcance , cuya escala de tiempo es del orden de los
minutos
Según [4], la variación de frecuencia de potencia no posee contenido en el espectro
pero mantiene una duración menor a 10 segundos.
Las variaciones rápidas de frecuencia son debidas a corto circuitos, salidas de las
estaciones de generación o por conexiones de grandes cargas al sistema; mientras que, los
transitorios de largo alcance son debidos a operaciones de conmutación en el sistema de
potencia y por variaciones constantes en la carga conectada.
Según [5], las oscilaciones de frecuencia de largo alcance tienen como medida de
contingencia el control primario, es decir, el sistema constituido por el regulador de
velocidad , mientras que las desviaciones rápidas de frecuencia, se utiliza el control
secundario por el AGC.
En [5], se plantea que el control primario es aquel control que utiliza los
reguladores de entrada de potencia de los generadores y los dispositivos que permiten
cambiar las características de la línea de transmisión.
En este trabajo, se propone hacer uso de un controlador FACTS tipo serie que
permita regular de manera automática el flujo de potencia a través de línea, este controlador
FACTS será utilizado para amortiguar las oscilaciones rápidas de la frecuencia en el orden
de menos de un minuto de duración.
17
Posteriormente, se explicarán las características de las dos maneras (AGC y
FACTS) de amortiguar las oscilaciones de frecuencia, además se plantearan los modelos
de los elementos que participan en la regulación de la frecuencia.
2.2 Modelado del sistema de control de la frecuencia
2.2.1 Modelado del mecanismo de regulación de velocidad
En [1], se plantea que, el mecanismo de control de la velocidad, es el encargado de
regular la velocidad de un generador y lo hace controlando la entrada de vapor,
combustible o agua a la turbina, con lo cual manipula la cantidad de potencia entregada por
la turbina. Este mecanismo al regular la velocidad del generador, mantiene la frecuencia del
sistema eléctrico en un valor constante.
Este mecanismo, está compuesto por elementos hidráulicos cuyos tiempos de
respuesta son mayores que los elementos eléctricos.En la figura 2.1 tomado de [1], se
presenta el diagrama general de mecanismo encargado de controlar la potencia.
18
Figura 2.1 Modelo de un regulador de frecuencia
dónde:
)(sF∆ : es la desviación de la frecuencia de su valor nominal de 60 Hz
)(sPC∆ : representa un comando de incremento en la potencia
)(sPG∆ : constituye un aumento en la potencia entregada por la turbina
En la figura 2.1 aparecen las funciones de transferencia de los componentes básicos del
mecanismo de control de potencia, los cuales son:
a) Un mecanismo de control de velocidad o gobernador caracterizado por un modelo
de primer orden , donde la constante Tg es menos que 100 ms según [1]
b) El estatismo, el cual es el inverso de la regulación de velocidad R
19
c) Un bloque representando la respuesta dinámica de la turbina (en la figura 2.1
aparece el modelo para una turbina sin recalentamiento).
A continuación se presenta una definición de estatismo y se plantean varios métodos
de modelado para los tipos de turbinas .
2.2.2 Modelado de la turbina
El comportamiento dinámico de la turbina depende de su construcción, según [1]
pueden utilizarse los siguientes modelos para estudiar los primeros 20 segundos de su
dinámica.
El primer modelo es de primer orden y puede utilizarse para representar turbinas de
vapor sin recalentamiento es de la forma:
T
TT sT
KsG+
=1
)( (2.2)
El segundo modelo es de orden superior y corresponde a turbinas de vapor con
recalentamiento:
)1)(1()1(
)(rT
rrTT sTsT
TsKKsG++
+= (2.3)
Para el modelado de las turbinas hidráulicas, el modelo lineal es:
T
TTT sT
sTKsG+−
=11
)( (2.4)
20
2.2.3 El estatismo
De la figura 2.1, aparece el valor denotado como “R”.Este valor según [1] es la
regulación de velocidad, es una cantidad de realimentación y viene a significar la relación
de variación de la frecuencia con respecto la variación de la potencia demanda a la salida de
un generador.En régimen permanente, el estatismo está dado por la siguiente expresión:
estáticoG
estática
Pf
R,∆
∆−= [Hz/MW] (2.5)
Este valor posee unidades de ciclos por segundo por megawatt , además estas
variaciones están dadas en los valores estáticos de la frecuencia y la potencia .
El “R” o estatismo, representa cuanto cambia la velocidad de un generador ,al tratar
de variar su potencia de salida .Según [1], R tiene una función amortiguadora de las
oscilaciones de la velocidad y por lo tanto de la frecuencia del sistema de potencia. Altos
valores de R implicaran una incapacidad para mantener la velocidad constante y de manera
contraria, bajos valores de R expresarán la capacidad de amortiguar los cambios en la
frecuencia.
El valor R puede caracterizar tanto a una unidad generadora así como a un conjunto
de máquinas. A continuación se presenta el control automático de la generación y como
intervienen en su dinámica el regulador de velocidad , el estatismo y las características de
la turbina .
21
2.2.4 El control automático de la generación: AGC
En un sistema interconectado, según [6], el control de la potencia, se lleva a cabo
por medio de un regulador central de manera que cada subsistema o área de control
conserve su valor de frecuencia constante.Además, mantiene el intercambio de potencia
entre áreas en los valores programados.
Esto se logra mediante el ajuste de la potencia de salida de las turbinas de un área de
control, lo cual se hace aumentando o disminuyendo el valor de la potencia de referencia
en los reguladores de velocidad de los generadores.
A continuación se presenta el concepto de área de control, su modelo dinámico y el
sistema de control integral del área.
2.2.5 El área de control
El concepto del área de control según [1], viene a significar una sección de un
sistema de potencia (un subsistema), en la cual, los generadores están en la condición de
coherencia, lo cual significa que las perturbaciones en la frecuencia medidas en sus barras
son de igual magnitud.
La regulación de la frecuencia, en el área de control, es realizada por un esfuerzo
colectivo, el cual consiste en la coordinación de la potencia entregada por los generadores
que pertenecen a un área de control.
Los parámetros que caracterizan un área de control son:
22
H: constante de inercia del sistema medida en segundos
D: fPD ∂∂ variación de la potencia demanda respecto de la frecuencia en Hz/MW
Tg: Constante de tiempo del regulador de velocidad en segundos
R: Regulación de frecuencia o estatismo en Hz/MW
B: Factor de sesgo (BIAS) en MW/Hz
El Factor de sesgo, denotado como B, según [6], representa el cambio en la
generación que debe ser forzado en el área de control para poder compensar la desviación
de frecuencia debida al desequilibrio entre la potencia generada y consumida , el factor
BIAS no es estático , es un valor dinámico que depende del punto de operación del sistema.
Las variables que caracterizan al área de control son : if∆ , ienlaceP ,∆ , GiP∆ , CiP∆ y
LiP∆ .
A continuación se explicara el balance de potencia en un área de control y se
definirán los parámetros y variables del área de control
2.2.6 Balance de potencia en un área de control y modelado de su dinámica
En un sistema eléctrico, la potencia generada es igual a la potencia consumida más
las pérdidas de transmisión , según [1,6] , cuando en un sistema de n áreas de control el
área de control i-ésima sufre un aumento en la carga de potencia activa iLP ,∆ , el área “i”
23
aumenta su salida de potencia generada iGP ,∆ de manera que la generación iguale a la
demanda ,esto se logra debido a la acción de los reguladores de velocidad de las turbinas .
En [1], se plantea que existe una diferencia de potencia generada y consumida, la
cual esta dada por:
LiGi PP ∆−∆ (2.6)
ésta diferencia existe, debido a que el GiP∆ no alcanza a LiP∆ de forma instantánea.
El exceso de potencia dado por (2.6), ha de ser asimilado por el sistema de
potencia, según [1] en tres formas:
a. Mediante el uso de la energía cinética total del área de control i icinéticaW ,
b. Aumentando del consumo de la carga
c. Incrementando la potencia exportada a través de las líneas de enlace
Con respecto al uso de la energía cinética total, del área de control i-ésima,
denominada icinéticaW , , primero es necesario establecer que se encuentra almacenada en las
masas rodantes, según [6], el desbalance de potencia se trata de compensar inicialmente,
extrayendo la energía almacenada en la inercia del sistema, lo cual provoca una
disminución de la velocidad y por lo tanto de la frecuencia. Este mecanismo de balance
viene a ser modelado por la siguiente expresión:
)( ,icinéticaWdtd
(2.7)
esta expresión puede aparecer de dos maneras, la primera forma según [1] es equivalente a:
24
ioi f
dtd
fH
∆2
(2.8)
donde , el valor iH representa según [6] el número de segundos que le tomaría a un
generador entregar en forma de energía eléctrica, una cantidad igual a la energía cinética
almacenada en la masa rodante, cuando el generador opera en su potencia aparente nominal
[6] y sus valores típicos están entre 2 y 8 segundos según [1] . iH se obtiene con el
cociente de la energía cinética del iésima área y la potencia total del área de control , es
decir :
ri
oicinética
PW , (2.9)
La segunda manera en que (2.7) se expresa es:
)( ii fdtdM ∆ (2.10)
Donde
oi
i fHM 2= (2.11)
con of la frecuencia nominal y iM el coeficiente de inercia con unidades de
segundos.El aumento del consumo de la carga, es representado por la siguiente expresión:
fPD L
i ∂∂= (2.12)
Esta expresión modela el efecto de la variación de la frecuencia sobre la carga neta
25
llevada por el sistema, es decir, es el factor de sensibilidad de la carga ante las variaciones
de frecuencia. Dicho factor iD , se debe a que la carga de un sistema de potencia, es
dominada por motores cuya operación depende de la frecuencia del sistema según [7].
El último mecanismo mediante el cual, el sistema de potencia asimila el exceso de
potencia dado por (2.6), es a través del incremento de la potencia exportada a través de las
líneas de enlace según [1,6,7], esto se representa con ienlaceP ,∆ , la cual expresa el
incremento de la potencia activa total exportada por el área i-ésima.
La potencia activa exportada a través de las líneas de transmisión que conectan el
área i hacia un área j está dada por:
)(, jiijienlace TP δδ ∆−∆=∆ (2.13)
donde ijT es el coeficiente de sincronización (también denominado coeficiente de rigidez
de la línea de enlace) y está dado por
)cos(max, jo
io
ijij PT δδ −= (2.14)
donde ioδ y j
oδ son los ángulos de fase de la tensión en los extremos de las líneas
de enlace , ijPmax, es la capacidad de transmisión estática de la línea y iδ∆ y jδ∆ son los
incrementos en los ángulos.
Este flujo de potencia se tomará positivo si sale del área i al área j, lo cual será
26
consecuencia de que ji δδ ∆>∆ .
Tomando la dependencia de iδ∆ con if∆ ,según [1] causa que la expresión
(2.13) tome la siguiente forma:
)(2, ∫∫ ∆−∆=∆ dtfdtfTP jiijijenlace π (2.15)
La expresión (2.13) puede aplicarse para analizar intercambios de potencia entre
varias áreas, siempre y cuando se tenga en cuenta la magnitud de iδ∆ para establecer la
dirección del flujo de potencia.
La dinámica anterior para la i-ésima área se expresa en la siguiente ecuación:
ienlaceiiiiLiGi PfDfdtdMPP ,)( ∆+∆+∆=∆−∆ (2.16)
donde las variables están normalizadas con respecto a los MegaWatts totales nominales del
área riP .
Tomando la transforma de Laplace de (2.16) y con condiciones iniciales iguales a
cero, se tiene que :
)()()()()( , sPsfDsfsMsPsP ienlaceiiiiLiGi ∆+∆+∆=∆−∆ (2.17)
y si se supone al área i exportando potencia al área j , )(, sP ienlace∆ será :
)(2)(, jiijienclace ffTs
sP ∆−∆=∆ π (2.18)
La ecuación (2.17) representa la dinámica del balance de potencia del área de
27
control, sin embargo, para completar el modelo del área de control es necesario incluir la
acción del regulador de velocidad. Además, según [1] se mejora la regulación de frecuencia
agregando un control integral con el fin de llevar a cero el error permanente del sistema
[1,8].
A continuación se presentaran dos modelos para n áreas de control, el modelo sin
control integral y el modelo con control integral.
2.2.7 Modelo del área de control sin control integral de error de área
Una vez establecida la representación del balance de potencia del área de control, es
posible acoplar el mecanismo de regulación presentado en la figura 2.1 y así se obtiene el
modelo del área de control. En la figura 2.2 se muestra el modelo para una i-ésima, área, en
este modelo no se esta incluyendo la acción integral por lo que según de [1,8], este sistema
posee error permanente en la frecuencia.
Si fuese necesario representar sistemas de más áreas solo se requiere conectar
varios de los diagramas de la figura 2.2.
28
Figura 2.2 Área de control sin control integral
2.2.8 Modelo del área de control con control integral de error de área
En la figura 2.4 se presenta el modelo para una i-ésima área de control, incluyendo
un controlador integral por lo que según de [1,8], este sistema no posee error permanente
en la frecuencia. Lo cual se logra debido a que el control integral disminuye el error del
área , el cual es la diferencia que existe entre la potencia generada que debe ser forzada en
el área de control (en la cual participa el valor de sesgo B) y la potencia de intercambio
ienlaceP ,∆ , esta señal de error es integrada y sumada al estatismo, de manera que permite al
área de control balancear la potencia y eliminar la desviación de la frecuencia .
29
Figura 2.3 Área de control con control integral
2.3 Sistemas flexibles de transmisión en corriente alterna FACTS
2.3.1 Definición de FACTS
Según [9] los sistemas flexibles de transporte en corriente alterna, conocidos como
FACTS (por sus siglas en inglés Flexible AC Transmission Systems ), son sistemas para
transmitir corriente alterna, los cuales hacen uso de elementos de electrónica de potencia
(tiristores) y dispositivos estáticos (capacitores o reactores) con el fin de controlar la
capacidad de transmisión de potencia. Son flexibles porque poseen la cualidad de
manipular el sistema de transmisión de potencia y así cambiar las condiciones de operación
del mismo, mientras conservan márgenes de estabilidad transitoria y en régimen
30
permanente.
Los FACTS han sido incorporados en los sistemas control de potencia dando
origen a los Controladores FACTS , los cuales permiten manipular uno o varios
parámetros de los sistemas de transmisión en corriente alterna haciendo uso de elementos
estáticos y dispositivos de estado sólido.
Los tipos de controladores FACTS según [9,10,11] pueden ser clasificados según su
esquema de conexión en el sistema, los tipos de controladores son: serie, paralelo,
combinación serie-serie y combinación serie-paralelo.
En este trabajo se enfoca en el uso de los FACTS tipo serie para el amortiguamiento
de oscilaciones rápidas de frecuencia.
2.3.2 Controladores FACTS tipo serie
Los controladores FACTS tipo serie pueden ser una impedancia variable o una
fuente de tensión que trabaja a la frecuencia fundamental del sistema y/o una combinación
de frecuencias armónicas según [9,10,11]. En [9], se plantea que todos los controladores
tipo serie inyectan una tensión en serie, ya que, cualquier impedancia en serie en una línea
de transmisión significará una caída de tensión.
Los controladores FACTS tipo series según [9,10] son:
a. El Compensador estático sincrónico en serie, cuyas siglas en inglés son SSSC (Synchronous Static Series Capacitor)
31
b. El Capacitor serie controlado por tiristor, cuyas siglas en inglés son TCSC ( Thyristor Controlled Series Capacitor )
c. El Capacitor serie conmutado por tiristor, cuyas siglas en inglés son TSSC (Thyristor Switched Series Capacitor)
d. Reactor serie controlado por tiristor, cuyas siglas en inglés son TCSR (Thyristor Controlled Series Reactor)
e. Reactor serie conmutado por tiristor , cuyas siglas en inglés son TSSR (Thyristor Switched Series Reactor)
A continuación se da una breve descripción de sus características principales.
a. Compensador estático sincrónico en serie SSSC
Este compensador es un elemento de conexión en serie con la línea de transmisión,
que produce una tensión en cuadratura de la corriente con respecto a línea y no depende de
ella para su control, es decir, tiene la capacidad de producir y regular una caída de tensión
reactiva la cual permite controlar el flujo de potencia según [9] a través de la línea. Su
esquema básico se muestra en la figura 2.4.
Figura 2.4 Compensador estático sincrónico en serie SSSC tomado de [9]
32
b. Capacitor serie controlado por tiristor TCSC
Es una reactancia capacitiva, la cual, esta constituida por un banco de capacitores
conectados en paralelo con un reactor controlado por un tiristor , lo cual permite crear una
reactancia capacitiva cuyo magnitud varía en forma continua .
Según [9], tiende a ser una alternativa al SSSC y tiene la capacidad de limitar la
corriente de falla .Su esquema básico se muestra en la figura 2.5.
Figura 2.5 Capacitor serie controlado por tiristor TCSC tomado de [9]
c. Capacitor serie conmutado por tiristor TSSC
Las figura 2.6 presenta el compensador que esta constituido por un banco de
capacitores, cuya operación depende de un reactor controlado por tiristor.Este tipo de
compensador en serie , permite únicamente cambios tipo escalón de la reactancia
capacitiva en la línea , por tanto no tiene control continuo de su reactancia como lo posee
el TCSC.
33
Figura 2.6 Capacitor serie conmutado por tiristor TSSC tomado de [9]
d. Reactor serie controlado por tiristor TCSR
En la figura 2.7 aparece el reactor serie controlado por tiristor , esta constituido por,
un banco de capacitores cuya operación depende de un reactor controlado por tiristor, de
manera que pueda producir variaciones continuas de la reactancia inductiva en la línea.
Figura 2.7 Reactor serie controlado por tiristor TCSR tomado de [9]
34
e. Reactor serie conmutado por tiristor TSSR
El reactor serie conmutado por tiristor ,está constituido por un banco de capacitores
cuya operación depende de un reactor controlado por tiristor, de manera que pueda
producir variaciones tipo escalón de la reactancia inductiva en la línea .En la figura 2.8 se
puede ver su representación esquemática.
Figura 2.8 Reactor serie conmutado por tiristor TSSR tomado de [9]
En los FACTS tipo serie, si la tensión está en cuadratura de fase con la corriente, el
controlador serie solo proveerá o consumirá potencia reactiva.
A continuación se presenta el mecanismo mediante el cual, los FACTS tipo serie
son utilizados como elementos de control dinámico del potencia.
35
2.3.3 FACTS tipo serie como elementos de control dinámico de la potencia
Sea un sistema de potencia como el de la figura 2.9, compuesto por dos máquinas
sincrónicas conectadas a través de una línea de transmisión representada por una reactancia
y con un FACT tipo serie conectado.
Figura 2.9 Sistema de dos máquinas sincrónicas con un FACTS Serie
Si el controlador FACTS no esta actuando en el sistema, la potencia transmitida
está dada por la siguiente expresión:
)(21 δsenX
VV
Línea (2.19)
donde:
1V Magnitud de la tensión en los terminales del generador 1
2V Magnitud de la tensión en los terminales del generador 2
36
LíneaX Reactancia de la línea de transmisión que conecta
δ La separación angular de los fasores 1V y 2V
Por otro lado,si ahora en dicho sistema se incluye la acción del controlador
FACTS tipo serie ,el diagrama fasorial mostrado en la figura 2.10 será el correspondiente
al sistema mencionado.
Figura 2.10 Diagrama fasorial de un Sistema de dos máquinas sincrónicas con un
FACTS serie , tomado de [2]
La figura 2.10 muestra como la tensión del FACTS, CV permite manipular el flujo
de corriente a través de la línea de transmisión y permite transmitir potencia con menor
ángulo δ manteniendo las magnitudes 1V y 2V .
La tensión del controlador FACT CV regulará el flujo de potencia activa a través
de la línea de transmisión y esta tensión CV podrá crearse de dos formas, según [9,10,11]:
37
a) Alterando la reactancia de la línea de transmisión LíneaX
b) Inyectando una fuente de tensión en serie con la línea de transmisión.
Mediante el uso de FACTS es posible lograr el manejo del flujo de potencia en la
línea de transmisión de la siguiente manera según [9,10,11]:
Controlando la potencia mediante a variación de la impedancia de la línea
con un TCSC
Manipulando el ángulo de fase en la línea, con el uso de un regulador de
fase (Thyristor Controlled Phase Angle Regulators)
Alterando la caída de tensión en la línea con la inclusión de una fuente de
tensión sincrónica con un SSSC
En [10], se establece un listado de los FACTS y las funciones que pueden llevar a
cabo. En el apéndice A, se plantea como los FACTS: SSSC, TCPST, TCSC, TSSC y el
UPFC pueden regular el flujo de potencia .
En [12] propone el uso del SSSC como dispositivo de control dinámico del flujo
de potencia para amortiguar oscilaciones rápidas de la frecuencia en un sistema
interconectado. Sin embargo como se planteó en la sección 2.4, existen otros controladores
FACTS serie además del SSSC que son capaces de controlar de manera dinámica el flujo
de potencia como lo son el TCSC y el TSSC .Sin embargo el TCSC por no producir
variaciones de reactancia capacitiva escalonadas (como el TSSC ) resulta la opción que
sigue al uso del SSSC tal y como se plantea en [ 9].
38
2.4 Diseño de controladores con el método de la matriz lineal de
desigualdades LMI
El método conocido como LMI (matriz lineal de desigualdades) según [13] tiene las
siguientes características que lo hacen atractivo para controlar un FACTS:
Las restricciones de diseño como restricciones en repuesta temporal y las
normas ∞H ó 2H (entre otras) pueden escribirse en LMI
Existen métodos de solución de LMI, los cuales permiten resolver problemas
de optimización con gran exactitud.
El método consiste en escribir especificaciones de diseño para un controlador, de
manera que se pueda plantear la ecuación algebraica de Ricatti y se busque su solución con
una función que permita cumplir con las especificaciones de diseño.
A continuación se presentan los pasos para formular las matrices de desigualdades,
según [2]. Estas se resolverán haciendo uso del Toolbox para LMI que incorpora
MATLAB® [13].
39
2.4.1 Síntesis de un controlador realimentado con el método LMI
De [2,14] el método para aplicar el LMI en la síntesis de un controlador será el
siguiente:
1. Obténgase un modelo para representar un regulador generalizado el cual tendrá la
forma:
=
•
uwX
ICI
ICBA
yzzX
0
000
0
2
1 (2.20)
2. Obténgase el primer conjunto de LMI el cual buscará minimizar la respuesta al
impulso (norma 2H ) o rechazo a perturbaciones (norma ∞H en la respuesta de lazo
cerrado de un regulador). Las LMI obtenidas dependerán de la norma a utilizar. Si es la
norma ∞H se usarán las desigualdades (2.21) ,[15] y si es la norma 2H se usaran las
desigualdades (2.22) [15]:
40
(2.21)
(2.22)
3. Descríbase una región en el plano complejo s donde han de posicionarse los polos
de lazo cerrado del sistema, dado por la ecuación (2.20).En el caso de una región cónica
con ángulo interno θ , la región determinada estará en la forma de la desigualdad (2.23) .
(2.23)
En [2, 13, 14,15] se explica que para obtener un controlador que posicione los
polos de lazo cerrado en una región especificada y a su vez atendiendo a alguna otra
especificación es necesario que la solución X de las LMI anteriores sa la misma para cada
41
una de ellas.
Para lograr lo anterior, es necesario realizar un cambio de variable mediante una
transformación lineal , de manera que las desigualdades se vuelvan lineales. En el apéndice
B se indica la transformación requerida.
Una vez realizada la transformación de las ecuaciones, y resueltas las LMI, en [2]
se plantea el conjunto de ecuaciones matriciales necesarias para realizar la síntesis del
controlador, cuyo modelo en variables de estado será de la forma:
=
K
K
K
KKK
yX
CBA
UX
0 (2.24)
En el apéndice C, se presentan las ecuaciones necesarias para obtener el
controlador requerido.
42
CAPÍTULO 3: Modelado de los sistemas de potencia de dos y
cuatro áreas
3.1 Modelo del AGC en el sistema de dos áreas
A continuación se presenta el diagrama de bloques y las ecuaciones que representan
al sistema de dos áreas, para el cual se ha de diseñar el primer controlador. El modelo está
linearizado alrededor de un punto de operación y los valores de las constantes de este
sistema se toman de [16] y aparecen en el apéndice D.
El diagrama se construye haciendo uso de las ecuaciones (2.17), (2.18) y el
diagrama de la figura 2.3.Debe considerarse el signo de la potencia que intercambian las
áreas, para lo cual se supondrá que el aporte de potencia tiene signo negativo para el área 1
(área exportadora) y signo positivo para el área 2 (área importadora).
Según [12] y [16] es posible para el diseño del controlador FACTS no incluir en el
modelo el sistema de regulación de velocidad, esto debido a que la acción del controlador
FACTS consistirá en amortiguar los transitorios rápidos de la frecuencia y no las
variaciones de largo alcance.
43
En la figura 3.1 aparece el diagrama de bloques del sistema de dos áreas, no se
considera el sistema de regulación de velocidad, debido a que no intervienen en los
cambios rápidos de frecuencia.
En el diagrama se incluye el modelo de primer orden del controlador FACTS y el
bloque k representa la función del controlador que se obtendrá con el método de LMI.
Figura 3.1 Diagrama del sistema de potencia de dos áreas
44
A partir del diagrama de bloques de la figura 3.1, se obtienen las ecuaciones de
estado para el sistema de dos áreas sin incluir la dinámica del FACT. El sistema de la
figura 3.1 será el sistema al cual se aplicará el método de LMI para encontrar un
controlador k que reduzca la desviación máxima de la frecuencia.
FactTT P
Ma
M
fP
f
MDMaTTMMMD
fP
f
−+
−−−−−
=
•
212
1
2
12
1
22212
1212
1111
2
12
1
/0/1
//0202/1/1/ππ (3.1)
Los valores de las constantes del sistema de dos áreas se presentan en el apéndice D
y posteriormente con este sistema se diseñara el controlador FACTS mediante el uso del
método de LMI.
45
Figura 3.2 Desviación de frecuencia del área 1
En la figura 3.2 se puede ver la respuesta de la frecuencia del área 1 escalón de 4
MW en la potencia demandada en el área 1, el escalón es de 4 MW (0.01pu sobre la base
de 4000 MW) .El valor máximo de la desviación de frecuencia en el área 1 es 0.05 Hz , es
debido a la existencia de autovalores complejos los cuales provocan las oscilaciones rápidas
de frecuencia que no pueden ser amortiguadas lo suficiente por el sistema regulador de
velocidad según [12] .
46
Figura 3.3 Desviación de frecuencia del área 2
Se puede ver en la figura 3.3 como la desviación de la frecuencia del área 2 no
supera los 0.02Hz ,es oscilatoria debido a al existencia de autovalores complejos pero son
mejor amortiguados debido a al capacidad del área 2.
47
3.2 Modelo del AGC en un sistema de cuatro áreas
En la figura 3.4 se presenta el diagrama de bloques del sistema de 4 áreas, que se
construye mediante las ecuaciones (2.17), (2.18) y el diagrama de la figura 2.4.En la figura
3.4 , se tomaron las siguientes direcciones de la potencia de intercambio entre áreas : del
área 1 al área 3 , desde el área 2 al área 3 , del área 2 al área 1 y por último del área 4 al
área 3.
Los componentes del sistema de regulación de velocidad no se consideraron debido
a que no intervienen en los cambios rápidos de frecuencia.
En la figura 3.4 se presenta el diagrama del sistema de potencia de cuatro áreas, el
cual incluye el modelo de primer orden del controlador FACT y el bloque )(sK
representa la función del controlador que se obtendrá con el método de LMI. El controlador
)(sK será conectado entre el área 1y 2 debido a que el regulador de velocidad del área 1
no posee la suficiente capacidad para controlar la frecuencia [12], los valores de las
constantes se indican en el apéndice D.
48
Figura 3.4 Diagrama del sistema de 4 áreas con controlador FACTS, tomado de [1]
49
Con el diagrama de bloques de la figura 3.4 , se obtienen las ecuaciones de estado
para el sistema de 4 áreas.
FACT
T
T
T
SS
SS
T
T
T
PM
Ma
fPf
Pf
Pf
MDT
MT
MaMDaT
aT
Ma
a
MDMTT
aMD
fPf
Pf
Pf
∆
−+
∆∆
∆∆
∆∆
∆
−−−
−−
−−−−−
=
∆∆
∆∆
∆∆
ƥ
0000/10/
/2
00000
/100020
//020
000000
00200
00/000
00
//10202
0/
2
112
4
34
3
23
2
12
1
44
34
4
34
3343354
23
52
23
223
14
222
1212
1211
4
34
3
23
2
12
1
ππ
ππ
ππ
(3.2)
Los valores de las constantes del sistema de 4 áreas se presentan en el apéndice D,
este sistema será al cual se aplicará el método de LMI para encontrar un controlador
)(sK , que reduzca la desviación máxima de la frecuencia. .
A continuación se procederá a obtener el controlador requerido para disminuir la
desviación máxima de la frecuencia en los sistemas de 2 y 4 áreas mediante el método de
LMI.
50
CAPÍTULO 4: Diseño y evaluación del controlador FACTS
para los sistemas de dos y cuatro áreas
En este capítulo, para los sistemas de 2 y 4 áreas se diseñará un controlador FACTS,
se usará como entrada la desviación de frecuencia, cuando aparezca un cambio rápido en la
potencia demandada. Los datos del FACTS a utilizar (el cual es un SSSC) son los dados en
[12] y [16].La escogencia del área cuyas oscilaciones de frecuencia han de ser
amortiguadas, depende de establecer en cual área de control la desviación de la frecuencia
es de mayor magnitud cuando recibe un cambio de carga tipo escalón, esta área se
denomina como el Área 1 en los sistemas de dos y cuatro áreas. El FACTS se conectará
entre el Área 1 y un área a la cual esté conectada , ésta debe tener mayor capacidad para
controlar frecuencia [12], esta área es el Área 2 en los sistemas de dos y cuatro áreas.
La función de transferencia del controlador, obtenida por medio del método del
LMI, tendrá la forma de una red de compensación adelanto-atraso y se diseñará haciendo
uso del Toolbox para LMI de MATLAB® 6.5.
El método de LMI producirá un controlador de orden igual al sistema, debido a ésto,
se hará uso de modelos de orden reducido obtenidos de (3.1) y (3.2) , los cuales en [12] y
[16] se obtuvieron por medio del método de descomposición por traslape, sin embargo en
[2], se plantea que el método de LMI es independiente del método de reducción de orden
del sistema por controlar.
51
4.1 Diseño del controlador para el sistema de 2 áreas
Para obtener un controlador por el método de LMI es necesario:
Obtener un modelo en variables de estado del sistema por controlar
Definir una región donde deban estar los polos de lazo cerrado del sistema
Escribir en forma matricial las desigualdades los puntos anteriores
Elegir una norma para el control ( ∞H )
Para el sistema de dos áreas el modelo es de tercer orden. Al incluir la dinámica del
FACTS, aumentaría el orden a cuatro. De esta forma al escribirse el modelo como se
sugiere en [2] , se disminuye el orden del controlador.
Además debe escribirse el modelo de la forma en que se sugiere en [2], se obtiene la
ecuación (4.1) del sistema, que será utilizado en la síntesis del controlador.
[ ] [ ] [ ] ref
F
T
ref
F
T
ref
F
T
F
T
PwPP
fy
PwPP
f
zz
PT
wPP
f
TT
MMMD
PP
f
01001
10
01
000001
/100
000
/100002/1/1/
12
1
12
1
2
1
12
1
12
1111
12
1
++
=
+
+
=
+
+
−
−−−=
•
π
(4.1)
dónde la variable a regular 1z es la frecuencia del área 1 ( 1f ), la variable medida y es la
frecuencia del área de control a controlar ,la entrada de control u (la salida del FACTS) es
52
refP , w es la perturbación y T es la constante del tiempo del FACTS.
El modelo dado por (4.1) es el regulador generalizado, además se ha elegido hacer
mínima la norma ∞H , para minimizar la función de transferencia de la perturbación a la
salida, lo cual implica mejorar el rechazo del sistema a las perturbaciones.
Por último, para elegir una región donde deben estar los polos de lazo cerrado del
sistema, es necesario tomar en cuenta que en [16] se desea que la máxima desviación de
frecuencia no sobre pase los 0.02 Hz , por lo que plantea que el sobre paso de la frecuencia
para el diseño sea de 1%.
De [8], se sabe que la expresión que relaciona el sobrepaso y un sector cónico
formado por el doble del ángulo que determinan los polos de lazo cerrado con el eje real es:
( )
( )
+= −
22
21
)ln()ln(cos2
πθ
MpMp
(4.2)
De esta forma, el sector cónico estará centrado en el origen y formará un ángulo de
1.18 rad, para cumplir con el 1% de desviación máxima. Una vez obtenido el modelo y el
ángulo de la región, se procede a escribir las matrices de desigualdades que se resolverán
con el toolbox para LMI de Matlab ® .
53
4.1.1 Controlador obtenido por el método LMI para el sistema de 2 áreas
Dado lo anterior y usando las funciones del toolbox para LMI de Matlab ® , se
obtiene un controlador de orden 3 que:
Hace que la magnitud de la función de transferencia de la perturbación a la
salida de (4.1) tenga un valor gama γ = 1.46.
Posiciona los polos de lazo cerrado en la región cónica de 1.18 radianes
La función de transferencia del controlador obtenido es:
009364.1009704.1007722.3
008849.4008099.6007786.1)( 23
2
esesesesesesK
+++++= (4.3)
Al descomponer (4.3) en la forma de constantes de tiempo se obtiene al siguiente
expresión:
( ) ( ) ( )11068.21022.0123.1)123.1)(103.0(03556.0 8 +∗++
++− sss
ss (4.4)
Nótese como puede simplificarse 3 factores de la expresión anterior, lo cual vuelve
la función de transferencia del controlador a la siguiente expresión:
)1022.0()103.0(*03556.0
++
ss
(4.5)
La salida en pantalla desplegada por Matlab ® al calcular (4.3) aparece en el
apéndice E.
54
4.2 Evaluación del controlador para el sistema de 2 áreas
A continuación se presenta las simulaciones realizadas con el programa Simulink
para estudiar el comportamiento del sistema de dos áreas con el controlador FACT,el
método de integración usado fue el método trapezoidal ODE23 y el intervalo de simulación
fue el mismo de [16] el cual fue de 50 segundos.Estas simulaciones se realizaron con el
sistema completo, es decir se incluyó la acción de los reguladores de velocidad, además se
incluyó un bloque filtro que en [10] y en [12] esta diseñado para que exista una acción
coordinada del sistema de regulación de la velocidad y el controlador FACT,
Figura 4.1 Desviación de la frecuencia en el área 1
55
En la figura anterior se puede ver como al incluir el control obtenido con el método
de LMI la desviación de la frecuencia en el área 1 pasa de tener un valor de 0.05Hz a 0.02
Hz desmostrando la efectividad del controlador FACTS.
Figura 4.2 Desviación de la frecuencia en el área 2
La figura 4.2 muestra como la inclusión del controlador no desmejora el desempeño
del área 2 , en la figura 4.3 se muestra como la potencia intercambiada también se ve
reducida gracias a las acción del controlador FACT
56
Figura 4.3 Desviación de la potencia de intercambio entre el área 1 y el área 2
57
Figura 4.4 Aporte de potencia del controlador FACTS
58
Tabla 4.1 Autovalores del sistema de dos áreas controlado y sin controlar
Condición Evaluada Valor de los autovalores
Auto valores del sistema reducido (4.1)-0.020825 + 0.79239i-0.020825 - 0.79239i
-33.333
Auto valores del sistema sin controlar
(3.1)
-0.02162 + 0.88223i-0.02162 - 0.88223i
-0.048291-33.333
Auto valores del sistema reducido con
controlador
-43.6-1.2413-0.65675-0.048094-33.333
La tabla 4.1 presenta los autovalores del sistema (3.1) sin el controlador y los
autovalores del sistema (4.1) con el controlador incluido, se puede ver como los autovalores
del sistema sin controlar (3.1) dejan de ser conjugados complejos esto debido al
amortiguamiento provisto por el controlador el cual localizó los polos dentro de la región
de 1.18 radianes.
El diagrama del sistema completo con los reguladores de velocidad se muestra en
la figura 4.5.
59
Figura 4.5 Diagrama del sistema completo con el controlador incluido
Los valores de las constantes del sistema controlado aparecen en el apéndice D. En
la figura 4.6, se presenta el diagrama de bode de lazo abierto del sistema sin el controlador
y en la figura 4.6, se presenta el diagrama Bode de lazo abierto con el compensador
incluido.
60
Figura 4.6 Diagrama de Bode del sistema de 2 áreas sin controlador FACTS
En el diagrama de Bode del sistema sin controlador, se puede ver como su bajo
margen de ganancia es el responsable de las oscilaciones de la frecuencia, además se puede
notarosuobajoomargenodeoganancia.
61
Figura 4.7 Diagrama de Bode del sistema de 2 áreas con controlador FACTS
La figura anterior presenta el diagrama de Bode del sistema de dos áreas con el
controlador FACTS incluido, se puede ver como el margen de ganancia se vuelve infinito
sin embargo el margen de fase se desmejora debido al atraso incluido por el controlador.
62
Tabla 4.2 Efecto en la desviación de la frecuencia al aplicar el controlador FACTS en
el sistema de 2 áreas
Área
Desviación máxima de la frecuencia sin
control[Hz]
Desviación máxima de la frecuencia con
control[Hz]
Variación de la desviación en la
frecuencia[%]
1 0.0511 0.0189 632 0.0126 0.0083 34
Se puede ver en la tabla anterior como al incluir el controlador FACTS obtenido
con el método LMI permite que la desviación de la frecuencia en el área 1 se reduzca más
de la mitad , de igual manera se nota como se mejora en 34% la desviación de la frecuencia
del área 2 , lo cual implica que no excitó ningún modo de oscilación del área 2.
Tabla 4.3 Variación de los márgenes de ganancia y fase al incluir el controlador
FACTS en el sistema de 2 áreas
Sistema sin controlador
Sistema con controlador
Variación porcentual , [%]
Margen deGanancia , [db]
-13 ∞ ∞
Margen deFase , [grados]
-67 -124 85
La anterior tabla los efectos de la inclusión del controlador en el dominio de la frecuencia , se puede notar como la estabilidad del sistema de 2 áreas gracias al controlador obtenido con el método LMI , que da indudablemente mejorada.
63
La tabla 4.4 muestra como la potencia máxima que debe manejar el controlador FACT es solo 8% menor al cambio de la potencia demandada en el área 1 lo cual implica que el controlador obtenido no deberá aportar más potencia que la demandada.
Tabla 4.4 Capacidad de modulación de la potencia del FACTS instalado en el sistema
de 2 áreas
Sistema con el controlador
propuesto en [16]
Sistema con controlador
obtenido con LMI
Variación porcentual , [%]
Aporte máximo delFACTS,[pu]
0.008 0.0073 8
64
4.3 Diseño del controlador para el sistema de 4 áreas
Para el sistema de 4 áreas se realizan los mismos pasos de diseño de la sección
anterior.Las ecuaciones de estado del sistema de 4 áreas (3.2), determinan un sistema se
orden siete , sin incluir la dinámica del FACT, lo cual implica que el controlador tendría un
orden igual al sistema por controlar. Como el área que interesa controlar es el área 1
según , se utiliza el modelo reducido del sistema (3.2) y se le agrega la dinámica del FACT
al modelo reducido.
Al escribirse el modelo de la forma sugerida en [2], se obtiene el modelo del sistema
(4.5) , que será utilizado en la síntesis del controlador.
[ ] [ ] [ ] ref
F
T
ref
F
T
ref
FF
T
F
SS
F
T
PwPP
fy
PwPP
f
zz
PT
wPP
f
TT
MaaMD
PP
f
01001
10
01
000001
/100
000
/100002//
12
1
12
1
2
1
12
1
12
1121211
12
1
++
=
+
+
=
+
+
−−
−=
•
π
(4.6)
dónde la variable a regular 1z es la frecuencia del área 1 ( 1f ), la variable medida y es la
frecuencia, la entrada de control u (la salida del FACTS) es refP , w es la perturbación y FT
es la constante del tiempo del FACTS que se utilizará en este sistema.
El modelo (4.6) es el regulador generalizado de [2].Al igual que en la sección
65
anterior se ha elegido hacer mínima la norma ∞H , para minimizar la función de
transferencia de la perturbación a la salida, lo cual implica mejorar el rechazo del sistema a
las perturbaciones.
La región donde deban estar los polos de lazo cerrado del sistema estará
determinada por lo planteado en [11], para que el máximo sobre paso de la frecuencia
para el diseño, sea de aproximadamente 1%.
Para obtener el sector cónico formado por el doble del ángulo que determinan los
polos de lazo cerrado con el eje real ,se utiliza la ecuación (4.2).De esta forma el sector
cónico estará centrado en el origen y tendrá un ángulo de 1.18 rad, para cumplir con el 1%
de desviación máxima.
Obtenido el modelo y el ángulo de la región se procede a utilizar el toolbox de
Matlab ® de LMI para su solución.
66
4.3.1 Controlador obtenido por el método LMI para el sistema de 4 áreas
De lo anterior y usando las funciones del toolbox de Matlab ® , se obtiene un
controlador de orden 3 que :
Minimiza la magnitud de la función de transferencia de la perturbación a la
salida a un valor gama de 1.8 , es decir , γ = 1.8.
Localiza a los polos de lazo cerrado en la región cónica de 1.30 radianes
La función de transferencia del controlador obtenido es:
009714.3009796.1007316.4
008849.9354.1008837.9007435.4)( 23
2
esesesesesesK
+++−−−= (4.7)
Al descomponer (4.7) en la forma de constantes de tiempo se obtiene la siguiente
expresión:
( ) ( ) ( )11032.210254.01459.0)1459.0)(105.0(521.0)( 8 +∗++
++−= − ssssssK (4.8)
Nótese como puede simplificarse 3 factores de la expresión anterior, lo cual vuelve
la función de transferencia del controlador a la siguiente expresión:
)10254.0()10500.0(521.0)(
++−=
sssK (4.9)
La salida en pantalla desplegada por Matlab ® al calcular (4.7) aparece en el
apéndice F.
67
4.4 Evaluación del controlador para el sistema de 4 áreas
A continuación se muestran las simulaciones realizadas con el programa Simulink,
para estudiar el comportamiento del sistema de 4 áreas con el controlador FACTS.
Estas simulaciones se realizaron incluyendo la acción de los reguladores de
velocidad, se incluyó un bloque filtro que en [10] y en [12] esta diseñado para que exista
una acción coordinada entre el sistema de regulación de la velocidad y el controlador
FACTS. El método de integración usado fue el método trapezoidal ODE23 y el intervalo
de simulación fue el mismo de [12] ,15 segundos.
Figura 4.8 Desviación de la frecuencia del área 1
68
En la figura 4.8 se puede ver como se logra volver menos oscilatoria la respuesta a
un escalón de carga en el área 1 , se nota como la desviación de la frecuencia se hace
menos de 0.007 Hz al implementar el controlador FACTS.
Figura 4.9 Desviación de la frecuencia del área 2
La figura 4.9 muestra como la desviación de la frecuencia del área 2 no aumenta si
no que disminuye a menos de 0.01 Hz gracias al aporte de potencia que hace el controlador,
sin embargo al situación difiere en el área 3 .
69
Figura 4.10 Desviación de la frecuencia del área 3
En la figura 4.10, se puede notar como la respuesta ante perturbaciones de carga
del área 3 , parece desmejorarse al incluir el controlador, la desviación máxima de al
frecuencia del área 3 pasa de 0.003Hz a 0.0031Hz pero no se supera el 1% de sobre paso
de diseño.
70
Figura 4.11 Desviación de la frecuencia del área 4
Se puede ver en la figura 4.11 como el área 4 se comporta como el área 3 al incluir
el controlador FACTS, ya que la desviación máxima de la frecuencia no superó los 0.02Hz
pero aumentó a casi 0.003 Hz.
71
Figura 4.12 Aporte de potencia del FACTS
En cuanto a la capacidad del controlador FACTS , en el sistema de 4 áreas , si se
puede como con un aporte de potencia activa de menos de 0.004 p.u logra minimizar el
efecto de un demanda de potencia de 0.01 p.u.
72
Tabla 4.5 Autovalores del sistema de 4 áreas controlado y sin controlar
Auto valores del sistema reducido (4.5)-0.0150 + 3.5316i-0.0150 - 3.5316i
-20.0000
Auto valores del sistema sin controlar (3.2)
-0.0361-0.0188 + 1.3063i-0.0188 - 1.3063i-0.0206 + 4.2345i-0.0206 - 4.2345i-0.0140 + 4.2910i-0.0140 - 4.2910i
Auto valores del sistema reducido con controlador
-33.2677-3.0662 + 2.3148i-3.0662 - 2.3148i
La tabla 4.5 muestra los autovalores del sistema (3.2) sin el controlador y los
autovalores del sistema (4.6) con el controlador incluido, se puede notar como los
autovalores del sistema (4.6) no dejaron de ser complejos conjugados al incluir el FACTS,
se puede ver como los autovalores del sistema reducido con controlador, no se localizaron
en la región de 1.18 rad si no que la región en el plano complejo difiere del diseño en 7%.
Esto se nota en la parte compleja pasa de 3.5316 a 2.3148 , sin embargo se nota
como la parte real de los autovalores del sistema con controlador varia de 0.0150 a 3.0662
, de manera que los autovalores se alejan del semiplano derecho del plano complejo .El
diagrama del sistema completo con los reguladores de velocidad se presenta en la figura
4.13.
73
Figura 4.13 Diagrama completo del sistema 4 áreas con el controlador y reguladores de velocidad
74
Los valores de las constantes del sistema de 4 áreas controlado aparecen en el
apéndice D.
En la figura 4.14 , se muestra el diagrama de Bode de lazo abierto del sistema sin el
controlador y en la figura 4.15 , el diagrama de Bode de lazo abierto con el compensador
incluido . En las figuras 4.16 y 4.17 se presentan la desviación de la frecuencia de las áreas
1 y 2 al aplicar el control propuesto en [12] .Las tablas 4.6, 4.7 y 4.8 presentan los
resultados obtenidos para el sistema controlado .
En las simulaciones efectuadas, solo se evaluaron las desviaciones del área 1y 2 con el
control propuesto en [12] debido a que las ecuaciones propuestas en [12] se corrigieron, lo
cual provocó que las oscilaciones de la frecuencia en las áreas 3 y 4 no coincidieran con la
publicación [12].
75
Figura 4.14 Diagrama de Bode del sistema de 4 áreas sin controlador FACTS
Se puede ver en la figura 4.14 como el sistema de 4 sin en controlador FACTS , es
estable debido a su margen de ganancia y fase positivos, lo cual se refleja en su
comportamiento ante variaciones rápidas de carga.
76
Figura 4.15 Diagrama de Bode del sistema de 4 áreas incluyendo el controlador
FACTS
La figura 4.15, muestra como el método LMI permite obtener un controlador
FACTS que mejora la estabilidad del sistema de 4 áreas, se aumenta el margen de ganancia
de 8.28 db a 23.8 db mientras que el margen de fase se disminuye , esto debido al atraso
77
de fase que introduce el controlador.
Figura 4.16 Desviación de la frecuencia del área 1 con el control propuesto en [1]
En cuanto al desempeño del controlador propuesto en [12] , en la figura 4.16 se nota
como si cumple el objetivo de minimizar la desviación de frecuencia del área 1 en menos
de 15 segundos , se nota como la disminuye a menos de la mitad del valor sin el
controlador incluido.
78
Figura 4.17 Desviación de la frecuencia del área 2 con el control propuesto en [1]
La figura 4.17 presenta como la respuesta del área 2 con el controlador FACTS
incluido se vuelve menos oscilatoria, pero no disminuye significativamente la desviación de
la frecuencia , esto debido a que a los polos del área 2.
79
La tabla 4.6, resume la influencia del FACTS en el la desviación de la frecuencia
del sistema de 4 áreas, se puede notar como la inclusión del FACTS no provocó una
desviación de más de 0.01 Hz en ninguna de las 4 áreas, se puede ver como disminuyó en
48 % la desviación de la frecuencia del área 1.
Tabla 4.6 Efecto en la desviación de la frecuencia al aplicar el controlador FACTS en
el sistema de 4 áreas
Área
Desviación máxima de la frecuencia sin control, [Hz]
Desviación máxima de la frecuencia con control, [Hz]
Variación de la desviación en la
frecuencia[%]
1 0.0126 0.00647 48.652 0.0105 0.00982 6.483 0.003 0.0031 34 0.00279 0.00296 6
En cuanto al desempeño en el dominio de la frecuencia, se nota la tabla 4.7 como el
controlador FACTS obtenido con el LMI aumentó al doble el margen de ganancia y solo
disminuyó 10% el margen de fase
80
Tabla 4.7 Variación de los márgenes de ganancia y fase al incluir el controlador
FACT en el sistema de 4 áreas
Sistemasin controlador
Sistemacon controlador
Variación porcentual , [%]
Margen deGanancia , [db]
8.28 23 177
Margen deFase , [grados]
89 77 14
La tabla 4.8 muestra como el controlador FACTS obtenido con el método de LMI,
logra manejar variaciones de carga con una capacidad menor a la capacidad del
controlador obtenido en [12] , se nota como el controlador obtenido con el LMI es 43%
menor al presentado en [12].
Tabla 4.8 Capacidad de modulación de la potencia del FACTS instalado en el sistema
de 4 áreas
Sistema con el controlador
propuesto en 1
Sistema con controlador
obtenido con LMI
Variación porcentual , [%]
Aporte máximo delFACTS ,[pu]
0.0058 0.0033 43
81
En cuanto a la capacidad de los controladores FACTS para disminuir la desviación
de la frecuencia de las áreas 1 y 2 del sistema de 4 áreas, se puede ver en la tabla 4.9 como
el controlador obtenido con el LMI iguala al controlador dado en [12], sin embargo, el
controlador obtenido con el método LMI disminuye de manera más efectiva la desviación
de la frecuencia del área 2 .
Tabla 4.9 Comparación entre el controlador propuesto en [12] y el controlador
obtenido con el LMI para el sistema de 4 áreas
SistemaControlado según
[12]
Sistemacon controlador
obtenido con LMI
Porcentaje de variación , [%]
Desviación máxima de la frecuencia del
área 10.006 0.006 0
Desviación máxima de la frecuencia de
área 20.013 0.0098 24
La tabla 4.10 resume los resultados de aplicar los controladores FACTS a los
sistemas de 2 y 4 áreas , se puede ver como en ambos sistemas el controlador obtenido con
el LMI vino a mejora el rechazo a las perturbaciones de carga, se puede notar como el
número de áreas no es significativo en el orden del controlador , siempre y cuando se
utilice algún método de reducción de sistemas, se puede ver que con un aporte de potencia
menor 0.01 p.u pueden disminuir las oscilaciones de frecuencia en un sistema de
82
potencia.
Tabla 4.10 Resumen de resultados al aplicar el controlador obtenido por el método
LMI
Sistemas a controlar
Indicadores del desempeñoSistema de potencia
2 áreasSistema de potencia
4 áreasOrden del controladorObtenido sin reducir
3 3
Desviación máximade la frecuencia sin control FACT, [Hz]
0.05 0.009
Máxima reducción en la desviación de lafrecuencia , [%]
63 48
Variación del margen de fase , [%] 85 14Variación del margen de ganancia , [%] --- 177
Capacidad de modulaciónde potencia del FACTS , [pu]
0.0073 0.0033
83
CAPÍTULO 5: Análisis de resultados
En la primera etapa del proyecto se obtuvieron los modelos reducidos en variables
de estado para los sistemas de dos y cuatro áreas, en 4.1 y 4.6 se indican los modelos
reducidos de tercer orden, esto es debido a que para ambos sistemas se incluye el modelo
del FACTS y los estados que son responsables de la característica oscilatoria de la
frecuencia en el AGC, como lo son, la frecuencia en el área 1 y la potencia transferida
desde el área 1 hacia el área 2.
En la tabla 4.1 aparecen los autovalores para el sistema de dos áreas reducido, se
puede ver como todos los autovalores se vuelven reales y negativos al aplicar el
controlador obtenido con el método LMI, lo cual implica que el controlador obtenido por
medio del LMI si pudo posicionar los polos dentro de la región con sobrepaso de 1%.
En cuanto al sistema de cuatro áreas en la tabla 4.5, se nota como para el sistema
reducido con el controlador incluido , los polos complejos conjugado se alejaron más hacia
la izquierda en el plano complejo .Sin embargo , los polos no se encuentran en la región de
1.18 radianes que determina un sobre impulso de 1%. El ángulo formado por la región que
determinan los polos del sistema con controlador FACTS difiere de la especificada al
resolver las LMI en aproximadamente en 7 % , esto demuestra que el método no es
infalible .En el apéndice F se puede ver que el método LMI logra minimizar hasta 1.8 el
valor de la magnitud de la función de transferencia de la perturbación a la salida .
Con respecto a la repuesta en frecuencia de los sistemas de 2 y 4 áreas para ambos
sistemas se obtuvieron el margen de fase y ganancia para el sistema incluyendo la acción
84
del control integral de error de área. Los diagramas de Bode para el sistema de 2 y 4 áreas
aparecen en las figuras 4.7 y 4.15 respectivamente.
En la tabla 4.3 aparece la variación de los márgenes de fase y ganancia para el
sistema de 2 áreas.Se nota como el margen de ganancia paso de ser negativo (oscilatorio e
inestable), a tener un valor de margen de ganancia infinito y dado que el margen de
ganancia es una medida de robustez , entonces se concluye que con la aplicación del LMI,
se obtuvo un controlador que mejora el desempeño del sistema .En cuanto al margen de
fase para el sistema de 2 áreas, en la tabla 4.3 se nota como empeoró, debido a que el
controlador aumentó el atraso de fase de la señal.Sin embargo el sistema se volvió menos
oscilatorio.
Con respecto a la respuesta en frecuencia de sistema de cuatro áreas, en la tabla 4.7
se muestra como el margen de ganancia paso de 8 db a 23 db. El margen de fase
permaneció positivo pero disminuyó hasta 77º lo cual es una disminución del 14% y el
sistema no se volvió inestable.
En cuanto a la respuesta temporal de los sistemas de 2 y 4 áreas, los controladores
obtenidos con el LMI lograron amortiguar las oscilaciones de frecuencia. En la tabla 4.2 se
nota como el controlador obtenido para el sistema de dos áreas, disminuyó la desviación de
la frecuencia del área 1 en 63%, para el área 2 la disminuyó en 34%, lo cual permitió que
no se llegara al límite de 0.02 Hz .El controlador obtenido solo requería tener una
capacidad de modulación de potencia activa de 0.0073 pu, lo cual es menor al escalón de
carga de 0.01 pu , a su vez , es menor que el controlador propuesto en [20] (ver tabla 4.4).
85
Para el sistema de 4 áreas al incluir el controlador FACTS obtenido con el LMI, su
respuesta en el tiempo se vio mejorada de manera tal, que la desviación máxima no alcanzó
0.02 Hz , en la tabla 4.6 aparecen las variaciones de frecuencia por área.
En cuanto a la capacidad del controlador FACTS en la tabla 4.8 aparece como el
FACTS obtenido es 43 % menor al controlador FACTS de [12] (ver tabla 4.8).
En la tabla 4.9 se nota como la oscilación del área 1 se disminuyó a 0.006 , lo cual
implica que con solo 0.0033 p.u de capacidad , se logra igualar el mismo resultado obtenido
en [12], aunque para la desviación de frecuencia del área 2 se logró disminuir en 24% (ver
tabla 4.9).
86
CAPÍTULO 6: Conclusiones y recomendaciones
El controlador obtenido es de igual orden que el sistema a regular
Con un controlador FACTS serie es posible amortiguar oscilaciones rápidas de
frecuencia
El método de la matriz lineal de desigualdades permite obtener controladores para
amortiguar oscilaciones de frecuencia.
El método LMI permite ubicar los polos del sistema en una región determinada para
disminuir las oscilaciones rápidas de frecuencia.
Es requerido el uso de un método para reducir el orden del sistema por controlar
antes de aplicar el LMI.
El método de descomposición por traslape resulta efectivo si se requiere aislar
modos problemáticos en un sistema de AGC
El método LMI no resulta infalible en el posicionamiento de polos de un sistema
No es posible predecir si se excitaran o no oscilaciones en las áreas del sistema
donde no se instala el controlador FACTS.
El indicador de la reducción del efecto de la perturbación ,al aplicar el método LMI
es el valor γ
El control con FACTS tipo serie, mejora el rechazo a las perturbaciones de rápidas
de frecuencia , pero no actúa sobre el error en régimen permanente
El despreciar el control integral del área de control, resulta ser una suposición
correcta cuando se aplica el método del LMI
Es necesario realizar cambios de potencia demandada tipo escalón en cada área del
sistema de potencia para determinar si se excitan o no modos de oscilación cuando
se utiliza el controlador FACTS obtenido por medio de el método LMI
El área de control donde se ubica el controlador FACTS será aquella área en la cual
al recibir un cambio de carga tipo escalón , presente la mayor desviación de
frecuencia.
Si se quiere estudiar el caso de incluir un controlador serie FACTS en el sistema
centroamericano es necesario realizar cambios de potencia demandada tipo escalón
en cada área del sistema para determinar la ubicación óptima del controlador
FACTS.
88
BIBLIOGRAFÍA
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Capítulos 1,6.
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2002,Capítulos 1,2,3,8,10.
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1ª edición, Plenum Press , Estados Unidos de Norteamerica , 1987,Capítulo 5.
91
APÉNDICES
APÉNDICE A
Capacidades de los controladores FACTS tomado de [6]
93
APÉNDICE B
Transformación de variables para la solución de las LMI
La transformación requerida aparece en [2], [14] y [15] . De [2] se tiene que:
Tomado de [2]
De dónde se desprenden dos matrices de transformación:
Tomado de [2]
Las cuales al pre y posmultiplicar las desigualdad 0>X y hacer el cambio de variable :
producen tres conjuntos de matrices de desigualdades lineales las cuales han de resolverse por medio del uso de la función FEASP() de MATLAB® .
Las LMI que se producen son :
94
Tomado de [2]Dónde:
Las LMI anteriores se resuelven para DCBASR ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,, , con estas soluciones se
puede obtener el modelo en variables de estado para el controlador diseñado
95
APÉNDICE C
Función de transferencia del controlador
Las ecuaciones para obtener la función de transferencia del controlador se obtienen de la siguiente forma:
1-Usando la descomposición por valor singular de la siguiente expresión se obtienen las matrices M y N
RSIMN T −=
2-Haciendo uso de las siguientes ecuaciones matriciales tomadas de [2] se obtiene
Ak, Bk, Ck, Dk, las cuales son el modelo en variables de estado del controlador. Nótese que
Dk = 0 .
1')ˆ( −= MCCk
)ˆ(1 BNBk−=
11 ')'ˆ( −− −−−= MSARMSBCCRNBANA kkk
Donde la función de transferencia del controlador será dada por
( ) 1)( −−= kk AsICsK
96
APÉNDICE D
Valores de las constantes del sistema de potencia de dos áreas, tomado de [16]
Constantes de Inercia[ ]HzsMWup /... 167.0
2.0
2
1
==
MM
Coeficientes de amortiguamiento[ ]HzMWup /.. 008333.0
008333.0
2
1
==
DD
Ganancia de las turbinas[adimensional] 333.0
333.0
2
1
==
r
r
KK
Constante de tiempo de recalentamiento de la turbina
[ ]segundos1010
2
1
==
r
r
TT
Constante de tiempo de la turbina[ ]segundos 3.0
3.0
2
1
==
t
t
TT
Constante de tiempo del regulador de velocidad nador
[ ]segundos2.02.0
2
1
=
=
g
g
TT
Relación de regulación[ ]MWupHz ../ 4.2
4.2
2
1
==
RR
Coeficiente BIAS[ ]HzMWup /.. 2.0
2.0
2
1
==
BB
Ganancia del control integral[ ]Hz 4.0
4.0
2
1
==
i
i
KK
Relación de capacidad de área[adimensional]
2.012 =a
Coeficiente de sincronización[ ]radMW /
02.012 =T
Constante de tiempo del FACT[ ]segundos 03.0=T
Función deTransferencia del Filtro 110
10+ss
97
Valores de las constantes del sistema de potencia de 4 áreas, tomado de [12]
Constantes de Inercia[ ]HzsMWup /... 2.0,15.0
167.0,2.0
43
21
====
MMMM
Coeficientes de amortiguamiento[ ]HzMWup /.. 006.0,005.0
0083.0,006.0
43
21
====
DDDD
Ganancia de las turbinas[adimensional] 333.0,333.0
333.0,333.0
21
21
====
rr
rr
KKKK
Constante de tiempo de la turbina[ ]segundos 25.0,3.0
3.0,25.0
43
21
====
tt
tt
TTTT
Constante de tiempo del regulador de velocidad
[ ]segundos1.0,1.008.0,1.0
43
21
==
==
gg
gg
TTTT
Relación de regulación[ ]MWupHz ../ 4.2,4.2
4.2,4.2
21
21
====
RRRR
Coeficiente BIAS[ ]HzMWup /.. 5.0,5.0
5.0,5.0
43
21
====
BBBB
Ganancia del control integral[ ]Hz 5.0,5.0
5.0,5.0
43
21
====
ii
ii
KKKK
Relación de capacidad de área[adimensional] 4.0,5.2
2.0,0.2
3134
2312
====
aaaa
Coeficiente de sincronización[ ]radMW / 079.0,111.0
064.0,159.0
3134
2312
====
TTTT
Constante de tiempo del FACT[ ]segundos
05.0=FT
Función deTransferencia del Filtro 110
10+ss
98
APÉNDICE E
Datos en pantalla de MATLAB® al calcular el controlador para el sistema de 2 áreas
>> hsis2a
Select a region among the following:
h) Half-planed) Disk c) Conic sector e) Ellipsoid p) Parabola s) Horizontal strip m) Matrix description of the LMI regionq) Quitchoice: c Absciss x0 of the tip of the sector: 0 Inner angle (angle < pi -> sectors contains x = -Inf): 1.18
Select a region among the following:
h) Half-planed) Disk c) Conic sector e) Ellipsoid p) Parabola s) Horizontal strip m) Matrix description of the LMI regionq) Quitchoice: q
Optimization of the H-infinity performance G : ----------------------------------------------
Solver for linear objective minimization under LMI constraints
Iterations : Best objective value so far 1
99
2 3 361.337021 4 88.858683 5 88.858683 6 19.298594 7 11.073684 8 11.073684 9 5.531566 10 4.182016 11 4.182016 12 2.630923 13 2.630923 14 2.141946 15 2.141946 16 1.762007 17 1.762007 18 1.553764 19 1.553764 20 1.508734 21 1.508734 22 1.477965*** new lower bound: 1.433963 23 1.464600 24 1.463836*** new lower bound: 1.453607 25 1.459025 26 1.458735*** new lower bound: 1.454563 27 1.458397*** new lower bound: 1.455342 28 1.458229*** new lower bound: 1.455909 29 1.458094*** new lower bound: 1.456324 30 1.457932*** new lower bound: 1.456627 31 1.457811*** new lower bound: 1.456847 32 1.457749*** new lower bound: 1.457007 33 1.457673
100
*** new lower bound: 1.457125 34 1.457616*** new lower bound: 1.457210 35 1.457572*** new lower bound: 1.457272 36 1.457550*** new lower bound: 1.457317 37 1.457517*** new lower bound: 1.457350 38 1.457502*** new lower bound: 1.457374 39 1.457484*** new lower bound: 1.457391 40 1.457471*** new lower bound: 1.457404 41 1.457465*** new lower bound: 1.457413 42 1.457457*** new lower bound: 1.457420 43 1.457453*** new lower bound: 1.457425 44 1.457449*** new lower bound: 1.457429 45 1.457449*** new lower bound: 1.457431 46 1.457442*** new lower bound: 1.457429
Result: feasible solution of required accuracy best objective value: 1.457442 guaranteed relative accuracy: 9.50e-006 f-radius saturation: 0.001% of R = 1.00e+008 Guaranteed Hinf performance: 1.46e+000>> controlador>>numc =
1.0e+008 *
0 0.1786 6.0986 4.8491
101
>> denc
denc =
1.0e+009 *
0.0000 0.0372 1.7044 1.3636
APÉNDICE F
Datos en pantalla de MATLAB® al calcular el controlador para el sistema de 4 áreas
>>Hsis4a
Select a region among the following:
h) Half-planed) Disk c) Conic sector e) Ellipsoid p) Parabola s) Horizontal strip m) Matrix description of the LMI regionq) Quitchoice: c Absciss x0 of the tip of the sector: 0 Inner angle (angle < pi -> sectors contains x = -Inf): 1.18
Select a region among the following:
h) Half-planed) Disk c) Conic sector e) Ellipsoid p) Parabola s) Horizontal strip
102
m) Matrix description of the LMI regionq) Quitchoice: q
Optimization of the H-infinity performance G : ---------------------------------------------- Solver for linear objective minimization under LMI constraints Iterations : Best objective value so far 1 2 3 4 214.958976 5 40.937398 6 40.937398 7 17.358360 8 10.948068 9 10.948068 10 4.557344 11 4.557344 12 3.329664 13 3.329664 14 2.685841 15 2.685841 16 2.113521 17 2.054520 18 2.054520 19 1.930662 20 1.906437 21 1.906437 22 1.840974*** new lower bound: 1.748983 23 1.816105 24 1.812849*** new lower bound: 1.763719 25 1.809172*** new lower bound: 1.773679 26 1.806518*** new lower bound: 1.780757 27 1.804604*** new lower bound: 1.797005
103
28 1.800941 29 1.800640*** new lower bound: 1.799433 30 1.800258 31 1.800152*** new lower bound: 1.799941 32 1.800077 33 1.800069*** new lower bound: 1.800024 34 1.800060 35 1.800057*** new lower bound: 1.800040
Result: feasible solution of required accuracy best objective value: 1.800057 guaranteed relative accuracy: 9.50e-006 f-radius saturation: 0.001% of R = 1.00e+008 Guaranteed Hinf performance: 1.80e+000>> controlador >> tf(numc,denc) Transfer function: -4.435e007 s^2 - 9.837e008 s - 1.935e009---------------------------------------------^3 + 4.316e007 s^2 + 1.796e009 s + 3.714e009
104