sistemas de control avanzado - 1ra ed

Control Avanzado Luis Edo Garca Jaimes

1.1

DEFINICIN

Un controlador adaptativo es aquel que puede modificar su comportamiento en respuesta a cambios en la dinmica del proceso y en las perturbaciones. El control adaptativo puede controlar sistemas con parmetros constantes sistemas con parmetros variables. La idea bsica del control adaptativo es estimar on-line las variaciones de los parmetros de la planta, basndose en la medida de las seales de entrada salida de la misma y utilizar los parmetros estimados para realizar los ajustes del controlador. El control adaptativo, tanto para sistemas lineales no lineales, es esencialmente no lineal.

1.2

ESQUEMAS BSICOS DE CONTROL ADAPTATIVO

Existen dos tipos principales de controladores adaptativos: Sistemas con adaptacin en lazo cerrado (STR, MRAC) Sistemas con adaptacin en lazo abierto (Ganancia programable) Para el diseo de algoritmos de control adaptativo se han propuesto diferentes mtodos, unos que utilizan criterios de optimizacin y otros que no los utilizan, en este sentido se tiene la siguiente clasificacin [1]: Criterio ptimo: o Controladores de mnima varianza o Controladores predictivos generalizados Criterio no ptimo: o Asignacin de polos y ceros o Controladores de tiempo finito o Controladores PID


1.2.1 Controlador autosintonizado (STR): Este regulador se obtiene mediante un acoplamiento entre el controlador convencional y los parmetros de la planta estimados on-line. La operacin del controlador con auto-ajuste es la siguiente: en cada instante el sistema de identificacin en lnea estima los parmetros de la planta, los cules son calculados a partir de la medida de los datos entrada-salida de la misma. Con los parmetros estimados se calculan los nuevos parmetros del controlador lo cual causa una nueva salida de la planta. El ciclo de adaptacin se repite, y as la accin de control cambia cuando hay cambio de los parmetros de la planta. Para una planta lineal existen muchos mtodos disponibles para estimar la variacin de los parmetros. Uno de los ms utilizados es el mtodo Mnimos cuadrados recursivos. Tambin existen diferentes tcnicas de control para plantas lineales, tales como controladores PID, Controladores tipo Deadbeat, controladores de mnima varianza etc. Mediante la conjuncin de las diferentes tcnicas, mtodos de control y estimadores se obtienen varios tipos de reguladores STR. La figura 1.1 muestra un esquema general del sistema de control con autosintonia.

Figura 1.1 Sistema de control autosintonizado

1.2.2 Control con modelo de referencia: En este regulador la adaptacin se obtiene a partir de la seal de error que resulta de comparar la salida real del sistema con la esperada a partir de un modelo de comportamiento establecido. El comportamiento ideal del modelo de referencia debera poder ser alcanzado por el sistema de control adaptativo. La figura 1.2 da una idea del control con modelo de referencia. La teora de control dispone de varios mtodos que se pueden utilizar para obtener el mecanismo


de adaptacin: mtodo de Lyapunov, mtodo de la hiperestabilidad etc. En cualquier caso, los resultados obtenidos son semejantes, en cuanto a la estabilidad del sistema se refiere.

Figura 1.2 Sistema de control con modelo de referencia.

1.2.3 Control con ganancia programada (Gain Scheduling): El control por ganancia programable se refiere a un sistema donde los parmetros del controlador varan dependiendo de las condiciones de operacin medidas. La variable programable para el clculo de los parmetros del controlador puede ser el set-point, la variable controlada una seal externa. Una vez seleccionadas las variables, se calculan los parmetros del regulador para varios puntos de operacin o zonas de trabajo en base a una adecuada estrategia de control que puede ser del tipo PID, Deadbeat, etc. La figura 1.3 representa un esquema del control con ganancia programable.Punto de Trabajo

Parmetros del Controlador Controlador SP +

Programacin Precalculada

Planta Seal de Control Salida

-

Figura 1.3 Sistema de control con ganancia programable.


La identificacin de sistemas tiene por objeto obtener el modelo de un sistema dinmico a partir de datos experimentales. La figura 2.1 es una representacin conceptual de un sistema dinmico. El sistema es comandado por variables de entrada controlar las variables de entrada salida y por perturbaciones , pero no las perturbaciones El usuario puede . Las seales de

son variables que suministran informacin til acerca del sistema.

Figura 2.1 Representacin de un sistema dinmico. 2.1 TIPOS DE MODELOS Los modelos de los sistemas dinmicos pueden ser de varias clases, incluyendo los siguientes: Modelos Mentales, Intuitivos o Verbales: ste es el tipo de modelo que se forma por ejemplo cuando se maneja un carro (pisando el freno decrece la velocidad, girando la cabrilla el carro voltea en determinada direccin, etc.)


Modelos Grficos: En este caso el modelo del sistema est dado mediante una grfica. Un diagrama de Bode de un servo sistema es un ejemplo de un modelo dado en forma grfica. La respuesta de un sistema ante una entrada en escaln es otro tipo de modelo grfico. Modelos Matemticos: Son aquellos que describen el comportamiento del sistema a partir de ecuaciones diferenciales (sistemas continuos) o de ecuaciones en diferencias (sistemas discretos). Estos modelos son muy utilizados para el anlisis, prediccin y diseo de sistemas dinmicos, controladores y filtros. Existen dos formas bsicas para obtener el modelo matemtico de un sistema dinmico: o Matemticamente: Es un mtodo analtico en el cual se utilizan leyes fsicas, tales como las leyes de Newton y ecuaciones de balance para describir el comportamiento dinmico de un fenmeno o de un proceso. o Identificacin del Sistema: Es un mtodo experimental en el cual se realizan algunas pruebas sobre el sistema que permiten obtener los datos necesarios para estimar el valor de los parmetros del modelo representativo del sistema.

2.2 PROCEDIMIENTO PARA LA IDENTIFICACIN. La obtencin de un modelo a partir de datos experimentales conlleva las siguientes etapas fundamentales: la recoleccin de datos, la seleccin del modelo y la validacin del modelo. 2.2.1 Recoleccin de datos: Los datos de entrada y salida se pueden obtener mediante un experimento diseado especficamente para la identificacin del sistema. En este caso, el usuario puede determinar que seales va a medir, cundo y cmo las va a medir y tambin puede escoger las seales de entrada. El objetivo del diseo del experimento es entonces, seleccionar los datos que proporcionen la mxima informacin posible. En otros casos, el usuario no tiene la posibilidad de realizar el experimento pero puede utilizar los datos obtenidos a partir de la operacin normal del sistema y llevar a cabo con ellos la identificacin del mismo. 2.2.2 La Seleccin del Modelo: Esta se realiza a partir de un grupo de modelos, eligiendo el ms adecuado y representativo del sistema. Este paso es sin duda, el ms


importante y al mismo tiempo constituye la etapa ms difcil en el procedimiento de la identificacin. Es ac en donde el conocimiento previo del sistema y el de las caractersticas de cada modelo deben combinarse para obtener resultados

satisfactorios. Algunas veces el modelo apropiado slo se obtiene despus de un cuidadoso proceso de modelado. 2.2.3 Validacin del Modelo: La evaluacin de la calidad del modelo se basa en determinar cmo se desempea el modelo cuando se trata de reproducir con l los datos obtenidos en la medicin experimental. Un comportamiento deficiente del modelo en este aspecto hace que el modelo sea rechazado, mientras que un buen desempeo, proporcionar cierta confianza en el modelo. Un modelo no se puede aceptar como la ltima y verdadera descripcin del sistema; por el contrario, es mejor mirarlo slo como una descripcin suficientemente buena de ciertos aspectos que son de inters particular para un fin determinado.

2.3 IDENTIFICACIN PARAMTRICA Algunas tcnicas de diseo de sistemas de control, incluyendo el mtodo del lugar geomtrico de las races y el de asignacin de polos, requieren de un modelo paramtrico del sistema. Este tipo de modelo es particularmente importante en sistemas de control adaptativo, en los cuales, los parmetros de la planta deben ser estimados en lnea para calcular el controlador correspondiente. Para dar una idea de la identificacin paramtrica se consideran a continuacin el mtodo de mnimos cuadrados no recursivo y el mtodo de mnimos cuadrados recursivos. 2.3.1 Identificacin por el mtodo de mnimos cuadrados no recursivo. Se asume que la funcin de transferencia de pulso del modelo es de la forma:

En donde

es la entrada e

es la salida.

El sistema dado por 2.1 queda descrito por la ecuacin en diferencias:


Este modelo se conoce como MODELO ARMAX (Auto Regressive Moving Average) y en l se debe estimar el vector de parmetros dado por:

A partir de un conjunto de

pares de mediciones de entradasalida del sistema:

Debido al error que se puede introducir en la medicin, la ecuacin 2.2 se puede escribir en la forma:

El primer error es funcin solamente de las mediciones conocidas. Entonces, para periodos de muestreo , se tendr:

En donde

es el vector de parmetros definido en la ecuacin 2.3 y:

Para facilitar el tratamiento matemtico, se definen las siguientes ecuaciones:


As, las ecuaciones dadas en 2.6 se pueden escribir en forma matricial cmo:

En donde:

Es de orden Es de orden ( Es de orden Es de orden

.

Al utilizar el mtodo de mnimos cuadrados para estimar

, el vector

debe ser tal

que minimice la suma de los cuadrados del error, es decir, que minimice la funcin:

Si se despeja e(N) de la ecuacin 2.9 y se reemplaza en la ecuacin 2.10 se obtiene:

El valor de

que minimiza a

debe cumplir con la ecuacin:

Es decir:

Por lo tanto, el valor estimado de

es:

EJEMPLO 2.1 Los datos que se dan a continuacin corresponden a la respuesta de un sistema de control ante una entrada en escaln unitario. Obtener, a partir de ellos, un modelo de segundo orden que describa la dinmica del sistema. K u(k) y(k) 0 0 0 1 1 0.73 2 1 1.26 3 1 1.55 4 1 1.73 5 1 1.84


SOLUCIN: El modelo pedido es:

El vector de parmetros a estimar es: Para ello se utiliza la ecuacin: El nmero de pares de medidas es: Orden de Orden de entonces:

Con los resultados anteriores se obtiene:

El modelo estimado es, entonces:


La figura 2.2 corresponde a una representacin grfica de los datos reales y de los datos estimados, stos ltimos se dan como una funcin en lnea continua.

Figura 2.2 Respuesta del modelo estimado a la seal de entrada u(k)

2.3.2 Identificacin por el mtodo de mnimos cuadrados recursivos: En el mtodo no recursivo, el vector de parmetros se calcula utilizando toda la informacin

disponible, siendo esta pequea en los primeros instantes, pero aumenta a medida que transcurre el tiempo, lo que genera un alto costo computacional al procesar la informacin. En el mtodo recursivo el vector de parmetros se calcula a partir de los resultados obtenidos en el instante anterior actuales (instante ). y de los datos de entrada y salida

Se supone que el sistema puede ser modelado como un proceso estable, linealizable y con una sola entrada y una salida por lo que puede ser descrito por una ecuacin en diferencias lineal de la forma:

La ecuacin 2.14 se puede escribir en forma vectorial as:

En donde:


El procedimiento para la identificacin es el siguiente [1]: 1. Seleccionar y . y

2. Obtener los nuevos valores de 3. Calcular el error:

4. Calcular L(k+1) mediante la ecuacin:

5. Calcular los nuevos parmetros estimados:

6. Actualizar la matriz de covarianza:

7. Actualizar el vector de medidas: 8. Hacer y regresar al paso 2.

EJEMPLO 2.1 Los datos que se dan a continuacin corresponden a la respuesta de un sistema de control a un escaln unitario. Obtener a partir de ellos, un modelo de segundo orden que describa la dinmica del sistema. Asumir recursivos. K u(k) y(k) 0 0 0 1 1 0.73 2 1 1.26 3 1 1.55 4 1 1.73 5 1 1.84 6 1 1.91 y utilizar mnimos cuadrados

SOLUCIN: el modelo pedido es:

El vector a estimar es: Orden de P(k):


El orden de

es:

1. Se toma:

y

2. Nuevos valores de

y de

:

3. Calcular el error:

4. Calcular

:

5. Calcular los nuevos parmetros estimados

6. Actualizar la matriz de covarianza:

7. Actualizar el vector de medidas:



El modelo del sistema es:

La figura 2.3 corresponde a una representacin grfica de los datos reales y de los estimados, stos ltimos se presentan como una funcin en lnea continua. Obsrvese la correspondencia entre los valores reales y los valores estimados.


A continuacin se presenta un programa en Matlab para identificacin recursiva con modelo de segundo orden.

Figura 2.3 Respuesta del modelo estimado a la seal de entrada u(k) clc u=[0 1 1 1 1 1 1]; y=[0 0.73 1.26 1.55 1.73 1.84 1.91]; n=input('entre el orden del sistema n='); p=1000*eye(2*n); th=[zeros(1,2*n)]'; for k=1:length(y)-1 phit=[-y(k+1) -y(k) u(k+1) u(k)]; e=y(k+1)-phit*th l=p*phit'/(1+phit*p*phit'); th=th+l*e; p=eye(2*n)-l*phit*p; end u1=[1 1 1 1 1 1 1]; n=[th(3) th(4)]; d=[1 th(1) th(2)]; y1=dlsim(n,d,u1) plot(y1) hold plot(y,'*') grid


Estos controladores conforman una estructura subptima basada en el principio de la separacin de las tareas de control e identificacin. El diseo se realiza suponiendo inicialmente parmetros conocidos y luego stos son sustituidos por los estimados. En estos reguladores se aplica el principio de equivalencia cierta pues se supone que los parmetros identificados coinciden con los reales. En el diseo de controladores autoajustables se distinguen tres partes [1]: Un algoritmo recursivo de identificacin de parmetros. Un mecanismo de adaptacin que realiza la tarea de diseo del controlador Un controlador con parmetros ajustables. 3.1 ECUACIN GENERAL PARA CONTROLADORES LINEALES Un controlador lineal se puede describir mediante la funcin de transferencia de pulso:

En donde los grados de

y de

y los parmetros

y

deben seleccionarse

adecuadamente para satisfacer los requerimientos del sistema de control [3]. Se asume que el proceso lineal que se va a controlar tiene como funcin de transferencia de pulso:

En donde Para el diseo del controladores adaptativos se pueden utilizar diferentes mtodos: Asignacin de polos, optimizacin de parmetros, ajuste por tablas etc.


3.1.1 Mtodo de asignacin de polos: El objetivo de este mtodo es disear el controlador de modo que los polos del sistema en lazo cerrado, queden ubicados en el lugar deseado de acuerdo a sus especificaciones de funcionamiento. El diseo del controlador consiste bsicamente, en resolver una ecuacin polinomial con ciertas restricciones en los rdenes de los polinomios para asegurar que el controlador propuesto sea causal y con realizacin mnima [3]. La ecuacin caracterstica deseada para el sistema en lazo cerrado toma la forma:

El orden de en la ecuacin 3.3 est determinado por:

La ecuacin 3.3 genera

ecuaciones simultneas cuya solucin da como resultado los

parmetros del controlador. Para asegurar error de estado estable igual a cero es necesario que el controlador tenga un integrador, con esta condicin, el denominador del controlador con la igualdad: cumple

Con la adicin del integrador se obtienen parmetros desconocidos haciendo: y

ecuaciones y el controlador tendr . La solucin de orden mnimo se obtiene

En este caso los parmetros del controlador se obtienen con la ecuacin:


EJEMPLO 3.1 La funcin de transferencia de pulso de cierto sistema neumtico est dada por:

Disear para el sistema un controlador digital de modo que los polos dominantes del sistema en lazo cerrado estn ubicados en z=0.6 j0.2 SOLUCIN: La funcin de transferencia del sistema se puede escribir como:

En donde:

y

El orden del numerador del controlador es: El orden del denominador del controlador es: Por lo tanto, la funcin de transferencia de pulso del controlador toma la forma:

El orden de la ecuacin caracterstica deseada es: es decir 5. Se da como polo dominante z=0.6 j0.2 los tres polos restantes se pueden asignar en el origen, as la ecuacin caractersticas es:

Teniendo en cuenta las ecuaciones 3.1, 3.2 y 3.7 se obtiene:

Resolviendo resulta:


Por lo tanto el controlador pedido es:

La figura 3.1 muestra la respuesta del sistema ante un escaln unitario aplicado en el set-point.

Figura 3.1 Respuesta del sistema al escaln unitario

3.1.2 Controlador de mnima varianza: Este tipo de controlador puede englobarse dentro de los de sntesis ptima, ya que se utiliza la minimizacin de un ndice de coste como criterio de diseo. Sin embargo, tambin puede interpretarse como un problema de asignacin de polos, puesto que el mtodo de sntesis est basado en manipulaciones algebraicas con los polinomios que se utilizan en la descripcin externa. El inters de este tipo de controladores se ve acentuado sobre todo en multitud de procesos industriales en los cuales es de vital importancia la minimizacin de la varianza de la salida. Esta tcnica de control se utiliza cuando la salida del sistema est contaminada por una perturbacin estocstica. Estas perturbaciones no se pueden eliminar por completo, pero se puede reducir su varianza. El controlador de mnima varianza tiene como objetivo minimizar el efecto de las perturbaciones sobre la salida [1]. La estrategia control consiste en calcular la seal de control los valores disponibles en ese instante o sea tal forma que minimice el criterio: como una funcin de , de


En donde:

, es el valor de consigna o referencia.

Tambin se han propuesto controladores de mnima varianza minimizando el criterio:

Si se supone que sobre el sistema actan perturbaciones estocsticas, el proceso estar descrito por un modelo ARMAX de la forma (ver figura 3.2):

Donde:

Figura 3.2 Proceso con perturbacin

Para el instante

, la ecuacin 3.10 se puede escribir en la forma:

Utilizando la identidad:

En donde:

La ecuacin 3.11 se transforma en:


Los dos ltimos trminos del lado derecho de la ecuacin 3.13 tienen el siguiente significado: : Es el efecto sobre la salida correspondientes a las perturbaciones anteriores a . : contiene las perturbaciones producidas entre el instante instante , cuyo efecto sobre la salida no se puede controlar con es independiente de Resolviendo la ecuacin 3.10 para se obtiene: y el pues

Reemplazando la expresin para

en 3.13 resulta:

En la ecuacin 3.15 se debe calcular la accin de control de la salida:

que minimice la varianza

El mnimo de se encuentra derivando con respecto a

:

Resolviendo para

se obtiene la ley de control:

La figura 3.3 corresponde al sistema con el controlador de mnima varianza incorporado. Eliminacin del offset: El controlador de mnima varianza presenta offset (Error de estado estable) ante cambios en la referencia ante cambios en la perturbacin, para


eliminar el offset se puede adicionar al controlador un integrador as, la ecuacin 3.16 se puede escribir en la forma:

Figura 3.3 Controlador de mnima varianza (MVR3) Control de mnima varianza con seguimiento de referencias: Se debe calcular la accin de control que minimice la varianza de la salida:

O sea:

Tomando la esperanza matemtica a lado y lado de la ecuacin se obtiene:

Para hallar el valor mnimo de la ecuacin anterior se deriva con a respecto

:

Despejando

se obtiene la ley de control as:

La ecuacin 3.19 corresponde al controlador de mnima varianza con seguimiento de referencias.


La figura 3.4 representa el diagrama de bloques correspondiente al sistema de control de minina varianza con ley de control dada por la ecuacin 3.19

Figura 3.4 Control de mnima varianza con seguimiento de referencias (MVR2)

Controlador de mnima varianza ponderado: en este caso se debe calcular la accin de control que minimice la varianza de la salida:

Tomando la esperanza matemtica a lado y lado de la ecuacin 3.20 se obtiene:

Para hacer mnimo el valor de

es necesario calcular su derivada con respecto a

e igualar

el resultado a cero lo cual da como resultado:

Resolviendo para

se obtiene la ley de control:

La figura 3.5 representa el diagrama de bloques correspondiente al sistema de control de minina varianza con ley de control dada por la ecuacin 3.21

Figura 3.5 Control de mnima varianza ponderado (MVR1)


EJEMPLO 3.2Se desea disear un controlador de mnima varianza para un sistema con funcin de transferencia discreta siguiente:

La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbacin estocstica cuyo comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la perturbacin estocstica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro siguiente:

Solucin: La funcin de transferencia del sistema y de la perturbacin se pueden escribir en la forma:

En donde:

Con

y

, se obtiene:

)

Igualando los coeficientes de igual potencia en

se obtiene:

Resolviendo se obtiene:


Para compensar el error de estado do estable se adiciona el integrador con controlador toma la forma:

as el

La figura 3.6a muestra la respuesta del sistema con el controlador de mnima varianza estimado y la figura 3.6b la del sistema con controlador de mnima varianza mas el integrador.

Figura 3.6 Respuesta con el controlador de mnima varianza (MVR3)

3.1.3 Diseo de un controlador PI Adaptativo por asignacin y cancelacin de polos para un sistema de primer orden (POR): Si la dinmica del sistema se aproxima a la de un sistema de primer orden con retardo de la forma:


El modelo discreto correspondiente para dicho sistema es:

Para el diseo, se asume que la funcin de transferencia del controlador PI toma la forma:

Si se selecciona el cero del controlador de modo que cancele el polo de la planta, es decir, si se hace la ecuacin caracterstica del sistema en lazo cerrado es:

Si al sistema en lazo cerrado se le condiciona a que tenga un polo estable en entonces, al evaluar en se obtiene:

,

Despejando q0 resulta:

Entonces, conociendo

y

del modelo, los parmetros

y

del controlador que ha de

pueden calcularse especificando un polo dominante en lazo cerrado en cancelarse con el cero del controlador. Resolviendo

se puede determinar la ubicacin de los n polos restantes,

comprobndose que corresponden a polos no dominantes que decaen rpidamente y que el polo es efectivamente el polo dominante.

Este mtodo de diseo de controladores PI se recomienda especialmente cuando:

En donde T es el periodo de muestreo del sistema.

EJEMPLO 3.3 Un sistema de flujo tiene como funcin de transferencia:


Disear Para el sistema un controlador PI utilizando el mtodo de cancelacin y asignacin de polos de modo que el sistema tenga un polo dominante de lazo cerrado en z=0.8. El sistema se muestrea cada 0.2 s. SOLUCIN: la funcin de transferencia del sistema se puede escribir como:

0

1

El controlador PI toma la forma:

Si se asume que el cero del controlador cancela el polo de la planta, entonces . El polo dominante deseado es , por lo tanto:

El controlador pedido es:

La figura 3.7 muestra la respuesta del sistema con el controlador PI calculado.

Figura 3.7 Respuesta con el controlador PI por cancelacin y asignacin de polos.


Esta tcnica se emplea con modelos matemticos simulados en computador y es muy til para sistemas complicados de controlar por ejemplo, sistemas no lineales o con parmetros variables en el tiempo. Se trata de que el sistema controlado siga el comportamiento de un modelo determinado para lo cual se debe generar una seal de control que haga converger la respuesta de la planta a la del modelo para una cierta seal de entrada. En esta estrategia de control se selecciona como referencia un modelo que cumpla con las condiciones deseadas para el funcionamiento adecuado de la planta y se desarrolla un mecanismo de control que permita que la planta siga el modelo escogido. No es necesario un conocimiento extensivo de la planta, pero si es necesaria la escogencia del modelo adecuado para lograr la salida deseada. El modelo de referencia que se utiliza es usualmente lineal. Como se indica en la figura 4.1, el control por modelo de referencia est formado por tres partes fundamentales: [1] El controlador primario: Debe cumplir la condicin de hacer posible que el conjunto de la planta y el controlador puedan reproducir el modelo de referencia. El modelo de referencia: Debe seleccionarse con un comportamiento dinmico estable y que pueda ser seguido por el proceso a controlar. La ley de adaptacin: esta se puede obtener por diferentes mtodos: Mtodo de sensibilidad, mtodo de Lyapunov y mtodo de hiperestabilidad.


Figura 4.1 Control por modelo de referencia 4.1 MRAC PARA SISTEMAS CONTINUOS, MTODO DE LYAPUNOV Este mtodo establece que un sistema tiene un punto de equilibrio asintticamente estable, si existe una funcin condiciones [1]: : Definida positiva para Definida negativa para para que cumpla con las siguientes

Procedimiento para aplicar el mtodo de Lyapunov: 1. Encontrar la ecuacin de error en la salida: 2. Encontrar la funcin de Lyapunov como una funcin del error entre las seales

y del error en los parmetros. Esta funcin es de la forma:

Donde las matrices

y

deben ser definidas positivas.

3. Calcular la derivada de la funcin de Lyapunov. Esta derivada debe ser definida negativa. Por lo general toma la forma:

El primer trmino garantiza que la derivada es negativa definida, entonces, haciendo el resto igual a cero se tiene una posible solucin para la adaptacin. 4. Hacer el trmino extra igual a cero para obtener la ley de adaptacin.

Normalmente tiene la forma:


, est relacionado directamente con el error seales (Referencia, salida etc.)

y

tiene que ver con el vector de

EJEMPLO 4.1 Disear un sistema de control por modelo de referencia para un sistema de primer orden [2]. SOLUCIN: Sea el sistema de primer orden:

Si se toma como modelo de referencia:

El error es:

La ecuacin de la planta se puede escribir como:

Haciendo:

Se obtiene:

En donde

es la salida y

es la ley de control.

La ecuacin del modelo de referencia se puede escribir como:

Para que el error sea cero se debe cumplir que:

por lo tanto:

Despejando :


Es decir:

Haciendo:

La ecuacin 4.12 corresponde a la ley de control del sistema y en ella no se conocen los parmetros y debido a que y y son desconocidos.

Los valores apropiados de

que se adapten al sistema de control se pueden

determinar tomando en cuenta las siguientes consideraciones:

Reemplazando 4.8 y 4.9 en 4.13 se obtiene:

Reemplazando 4.12 en 4.14:

Sumando y restando

en la ecuacin anterior se obtiene, despus de simplificar:

De la ecuacin 4.15 se deduce que

si

, y

y

.

Se trata de disear un sistema que lleve los parmetros Para este propsito se define la funcin de Lyapunov:

a los valores deseados.

Esta funcin es cero cuando ptimo.

y los parmetros del controlador tengan su valor


Derivando parcialmente la ecuacin la ecuacin 4.16 con respecto a los parmetros se obtiene:

Reemplazando la ecuacin 4.15 en la 4.16 se obtiene:

De acuerdo con la teora de la estabilidad de Lyapunov, el sistema es estable si semidefinida negativa, esto se cumple si en la ecuacin 4.18 se da:

es

Entonces:

La figura 4.2 muestra el diagrama de bloques y la respuesta del sistema de control MRAC aplicado al sistema de primer orden. En donde: Seal de entrada. La seal de control. La salida del proceso. La salida del modelo de referencia. : El error. y son las ganancias adaptativas y es una constante positiva que se puede

tomar como parmetro de ajuste. Se trabaj con Para realizar la simulacin se tomaron como modelo para el proceso y como modelo de referencia:


5 s+5 R u to 2 Modelo de Ref 4 0.8s+1 Proceso

ym e yp

1 s So -2 1 s

Figura 4.2 Diagrama de bloques y respuesta del control MRAC

EJEMPLO 4.2 Disear un sistema de control por modelo de referencia para un sistema de segundo orden. SOLUCIN: Sea el sistema de segundo orden:

En donde

y

son parmetros del proceso variables en el tiempo.


Sea el modelo de referencia:

Se asume como ley de control para el sistema [3]:

En donde

es la seal de referencia.

La ecuacin diferencial que describe el sistema es:

Factorizando y simplificando se obtiene:

La ecuacin diferencial del modelo de referencia es:

Restando las ecuaciones 4.26 y 4.27 se obtiene:

Introduciendo los parmetros de error:

Y teniendo en cuenta que el error es:

Se obtiene:

La ecuacin anterior se puede escribir as:

Ahora se introduce la funcin de Lyapunov:

En donde

y

son constantes positivas.


Como el modelo de referencia se supone estable, entonces funcin positiva definida. La derivada de la funcin de Lyapunov introducida es:

es positiva y

es una

Factorizando y simplificando se obtiene:

La teora de estabilidad de Lyapunov garantiza la estabilidad global del sistema dinmico si es una funcin semidefinida negativa. Esto se puede asegurar para la

ecuacin 4.33 si:

De la ecuacin 4.29 se obtiene:

Integrando cada una de las ecuaciones anteriores se obtiene:


La figura 4.3 muestra el diagrama de bloques y la respuesta del sistema de control MRAC aplicado al sistema de segundo orden. En donde: La seal de entrada. La seal de control. La salida del proceso. La salida del modelo de referencia. El error. Para realizar las simulaciones se tuvieron en cuenta los siguientes valores:

El modelo del proceso a controlar se tom como:

El modelo de referencia se tom como:

r

1 s2 +1.6s+1 1 s -2 f

ym

5 1 s

q1 u 4 s2 +2s+4 yp

qo 1 s du/dt

5

du/dt


Figura 4.3 Control MRAC para sistema continuo de segundo orden

4.2 MRAC PARA SISTEMAS DISCRETOS Al igual que en los sistemas continuos, la idea bsica del control con modelo de referencia MRAC, para sistemas discretos, es que el proceso con funcin de transferencia [3]:

Con:

Siga el modelo:

En donde:

Mediante la aplicacin de la ley de control:

En donde:


La figura 4.4 muestra el diagrama en bloques del sistema de control con modelo de referencia propuesto.

Figura 4.4 Control con modelo de referencia La funcin de transferencia en lazo cerrado para el sistema de la figura 4.4 es:

El procedimiento para el diseo es el siguiente: 1. Seleccionar el modelo de referencia adecuado. 2. Reescribir el polinomio del proceso en la forma:

En donde:

: Contiene los ceros estables del proceso. : Contiene los ceros inestables del proceso.

3. Los ceros estables del proceso se incluyen en el polinomio

es decir:

4. Los ceros inestables del proceso deben ser ceros de

, es decir, ceros de

5. Si el grado de

seleccionado es menor que el grado de , el lado derecho de la ecuacin 4.38 se

despus de la cancelacin de multiplica y divide por el polinomio 6. Los polinomios ecuaciones: , y

quedan deteminados por las

NOTA: En caso de que el sistema tenga solo ceros estables se considera que , en este caso la ley de control toma la forma:


La ecuacin 4.41 se puede escribir en forma vectorial como:

En donde:

EJEMPLO 4.3 La funcin de transferencia de un sistema de presin est dada por:

Disee para el sistema un controlador con modelo de referencia de modo que el sistema, en lazo cerrado siga la dinmica del modelo:

SOLUCIN: Los modelos discretos son:

La ley de control es:

Grado de Grado de


Condicin de los polinomios:

Comparando trmino a trmino y resolviendo las ecuaciones resultantes se obtiene qu: , Entonces: y Por lo tanto: , y

Finalmente, la ley de control es:

Despejando

se obtiene:

Tomando transformada z y reuniendo trminos:

Es decir:

La figura 4.5 muestra el diagrama en bloques del sistema de control y la respuesta del mismo ante una entrada en onda rectangular.

4.0394z(z+0.4404) (z+0.4631)(z+0.0819) 0.038(z+0.4631) z2 (z-0.8607)

1.855z2 (z+0.4631)(z+0.0819)


Figura 4.5 Control con modelo de referencia


La tcnica de la ganancia programable (Gain scheduling) es un acercamiento al control de sistemas no lineales que utiliza una familia de controladores lineales, para

proporcionar el control satisfactorio en diversos puntos de operacin del sistema. Este enfoque asume que el sistema se puede representar mediante un modelo parametrizado por ciertas variables, llamadas variables de tabulacin o de programacin (scheduling variables), de modo que cuando estas variables asumen un valor constante se obtiene un punto de funcionamiento [2]. Para sintonizar el controlador adecuado se utilizan una o ms de las variables de programacin. En este caso, se linealiza el sistema alrededor de distintos puntos de operacin de inters, obtenindose una familia de modelos lineales para la cual se disea una familia de controladores lineales. Luego, se implementa el esquema de control con un controlador cuyos parmetros son cambiados acorde a los valores que toman las variables de programacin, que debern monitorearse continuamente. La literatura no documenta reglas generales para el diseo de controladores con ganancia programable. Sin embargo, se pueden establecer los siguientes pasos:


Determinar las variables de programacin: Estas variables deben reflejar las condiciones de operacin de la planta y permitir establecer expresiones simples que relacionen los parmetros del controlador con las variables de ajuste. Esto se hace normalmente mediante la identificacin fsica del sistema. Obtener el modelo del proceso para diferentes puntos de operacin: estos puntos deben estar parametrizados por las variables de programacin. Si el sistema es no lineal se linealiza alrededor de dichos puntos. Calcular los parmetros del controlador para los diferentes puntos de operacin: Se calculan los parmetros del controlador para un determinado nmero de condiciones de trabajo, en funcin de las variables de programacin, empleando algn mtodo de diseo apropiado. El controlador se calibra o sintoniza para cada condicin de operacin. No existe norma sobre el nmero de condiciones o zonas de operacin en que debe dividirse el rango de operacin de la planta, el diseador decide al respecto. Seleccionar el controlador en funcin de las variables de programacin: segn el punto de operacin en que se encuentre el proceso, se selecciona el controlador diseado para dicho punto de operacin. Para evitar los inconvenientes que puede causar la conmutacin de un controlador a otro se puede generar una ecuacin de regresin que permita calcular los parmetros del controlador en funcin de las variables de programacin. En la figura 5.1 se presenta un diagrama bsico de la tcnica de control por ganancia programable.

Parmetros del Controlador Controlador SP +

Programacin Precalculada

Punto de Trabajo

Planta Seal de Control Salida

-

Figura 5.1 Control con ganancia programable.


EJEMPLO 5.1 La figura 5.2 muestra la respuesta de un intercambiador de calor ante escalones aplicados en diferentes zonas de operacin. La temperatura se midi con un

instrumento calibrado de 0 a 100 C y la apertura de la vlvula se da en porcentaje. Disear para el sistema un controlador PI con ganancia programable.

Figura 5.2 Prueba del escaln

SOLUCIN: La dinmica del intercambiador se aproxim a un sistema de primer orden con retardo. Se obtuvo un modelo para cada uno de los escalones aplicados, se discretizaron los modelos y para cada uno de ellos se calcul un controlador PI utilizando el mtodo de Ziegler-Nichols. Los resultados se dan en la tabla 5.1 Modelos continuo y discreto:

Controlador PI:

Formulas empleadas para el clculo del controlador:


Tabla 5.1 Controladores obtenidos

22 40 52 67 78

1.5261 1.8289 1.6498 2.2663 1.7412

-1.2592 -1.5233 -1.3781 -1.8818 -1.4606

Las ecuaciones para el clculo de controlador son:

y de

que se han de utilizar para estimar el

Los datos presentados en la tabla 5.1 y las ecuaciones de regresin para estimar los parmetros y del controlador, se obtienen a partir de los valores de los puntos de

operacin y de los modelos de primer orden con retardo correspondientes. Para ello se utiliz el programa en MATLAB que se da a continuacin:

% GANANCIA PROGRAMABLE % El programa calcula un controlador PI segn Ziegler-Nichols % Para este caso, el modelo debe ser de primer orden con retardo POR % Para cada punto de operacin se debe estimar el modelo correspondiente. % Puntos de operacin: los valores medios de la respuesta de la variable en cada uno % de los escalnes. clc T=input('Entre los puntos de operacion V=');


L=length(T); N=0; while N

sistemas de control avanzado - 1ra ed

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