contar e inducir

UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONALFACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ACTIVIDADES MATEMATICASPARA EL DESARROLLO DE

PROCESOS LOGICOSCONTAR E INDUCIR

Carlos Julio Luque Arias

Lyda Constanza Mora Mendieta

Jorge Edgar Paez Ortegon

Profesores Departamento de MatematicasUniversidad Pedagogica Nacional

Bogota, D.C, 2002

ACTIVIDADES MATEMATICAS PARA EL DESARROLLO DE PROCESOS LOGICOS

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INDICE GENERAL

INTRODUCCION 1

1. UN SISTEMA DE NUMEROS PARA CONTAR 13Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1. Sımbolos y reglas del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1. Adicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2. Sustraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3. Multiplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.4. Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.5. Potenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3. El problema de los numeros grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.1. Notacion multiplicativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.2. Notacion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. REPRESENTACIONES POSICIONALES DE NUMEROS 372.1. Una idea genial: usar la posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.1. Adicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.2. Sustraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.3. Multiplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2.4. Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.3. Ecuaciones con dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

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2.3.1. Representacion grafica de las soluciones . . . . . . . . . . . 782.4. Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.5. Un problema logico: la division por 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3. LAS OPERACIONES SUPERIORES DE LA MATEMATICA 873.1. Potenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.1.1. Propiedades de la potenciacion . . . . . . . . . . . . . . . 883.2. Radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2.1. Propiedades de la radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.2. Calculo de raıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3. Logaritmacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.3.1. Propiedades de la logaritmacion . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.4. Una aplicacion de la potenciacion: la escritura de numeros grandes 1143.5. Aplicaciones de bases diferentes a la base diez . . . . . . . . . . . 117

4. SISTEMAS NUMERICOS EN ALGUNAS CULTURAS 119Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.1. Los primitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.2. El sistema de los romanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.3. El sistema numerico de los mayas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.4. El sistema de numeracion inca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.4.1. La representacion de los numeros en el quipu . . . . . . . . 1284.4.2. La Yupana, el “abaco precolombino” . . . . . . . . . . . . 129

4.5. El sistema numerico de Babilonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.5.1. Las operaciones aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.6. El sistema egipcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.6.1. Las Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5. LOS NUMEROS NATURALES EN OTRAS RAMAS DE LAMATEMATICA 145Introduccion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.1. Fenomenos periodicos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.2. Los datos y las hipotesis en un problema . . . . . . . . . . . . . . 1495.3. Algunas veces no se puede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.4. Regularidades y secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.4.1. Cuadrados magicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.4.2. Observando secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.5. Sumando sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

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INDICE GENERAL

5.6. ¿Cual es el numero mas grande? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.7. Contar en geometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.8. Contar en topologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.9. Contar en teorıa de grafos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.10. Contar en teorıa de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.11. Contar en teorıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.11.1. Subconjuntos y el conjunto de partes . . . . . . . . . . . . 1735.11.2. El producto cartesiano de conjuntos . . . . . . . . . . . . . 1745.11.3. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.11.4. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6. LA INDUCCION EN MATEMATICAS 179Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.1. Los numeros y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.1.1. Numeros pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.1.2. Los numeros triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.1.3. Los numeros cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.1.4. Los numeros poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.1.5. Numeros cubicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

7. EL METODO DE INDUCCION MATEMATICA 203Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037.1. ¿Que significa infinito? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2067.2. El metodo de demostracion por Induccion Matematica . . . . . . 2117.3. Definiciones por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2237.4. Presentacion axiomatica de los numeros naturales . . . . . . . . . 226

7.4.1. La adicion de numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . 2277.4.2. La multiplicacion de Numeros Naturales . . . . . . . . . . 231

7.5. El orden en los numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

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INTRODUCCION

E ste libro es el producto de la investigacion: “Actividades para el desarrollodel pensamiento logico: El proceso de Contar”, la cual fue desarrollada en

la Universidad Pedagogica Nacional durante los anos 1999 y 2000; uno de lospropositos de ella fue establecer lineamientos curriculares que sirvieran de basepara el desarrollo del area de algebra en el primer semestre del nuevo proyectocurricular de Licenciatura en matematicas.

Tuvo su origen al percibir que los estudiantes que ingresan al primer semestrede la Licenciatura en matematicas de la Universidad Pedagogica Nacional, tienenserias dificultades en la utilizacion de los numeros naturales en contextos notriviales; de allı surgio la necesidad de proponer una secuencia de actividadesmatematicas en las que se enfatizaran los procesos requeridos para el conteo.

Supusimos que las limitaciones en la construccion, expresion y comunicacionde ideas matematicas se deben a la falta de actividades matematicas que de-sarrollen procesos de creacion, discusion, proposicion de algoritmos, manejo deteorıas, formulacion de conjeturas, formulacion y demostracion de teoremas y, engeneral, actividades caracterısticas del trabajo matematico, que son muy escasasen la educacion basica y media. Esta problematica no es exclusiva de la Univer-sidad Pedagogica sino comun a muchas Instituciones de educacion basica, mediay universitaria, lo que justifica su divulgacion.

Disenamos un conjunto de siete actividades, que se describen en cada unode los capıtulos del libro, con el proposito de mostrar ambientes academicos de

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trabajo matematico; es decir, ambientes en los cuales el estudiante este en condi-ciones de crear conocimiento matematico nuevo para el, ası este conocimiento yaforme parte de la cultura matematica existente1.

Para muchas personas, el estudio de las matematicas es un asunto difıcily arido, al que muy pocas personas privilegiadas y duenas de un coeficienteintelectual particularmente elevado tienen acceso. Parece una clase particular deculto, con codigos secretos, algoritmos intrincados, solo para iniciados, como enlos tiempos pitagoricos donde, quien no conocıa los ritos, no era admitido en elgrupo.

Paradojicamente, para algunos matematicos brillantes, como Bertrand Rus-sell, es un campo donde no sabemos de que hablamos, ni si lo que decimos esverdad; para otros, es un paraıso de mundos posibles donde cada quien elige,segun sus gustos particulares, entre engendros geometricos o topologicos extrav-agantes, construcciones algebraicas portentosas, como los campos de numerosalgebraicos, y si no le gusta lo que esta hecho, o es por el conocido, construye supropio mundo con el unico requisito de que sea logicamente coherente.

Para casi todos los que de alguna manera hacen matematicas, es un placer,un arte, un disfrute, una fuente celestial de placeres que solo se encuentra aquı,y quien ha descubierto y demostrado un teorema sabe de que se trata.

Existe la impresion de que en el ejercicio de las matematicas solo hay cabidapara la deduccion (el uso estricto de unas ciertas reglas logicas) y no hay espaciopara la intuicion y la creacion; nada mas lejos de la realidad. El matematico,frente a un problema, ensaya, yerra, vuelve a atacar con otro esquema y engeneral necesita una gran imaginacion y creatividad.

Esta impresion se debe probablemente a que, en su manera de comunicarse,los matematicos utilizan un esquema inverso del utilizado en el descubrimien-to; presentan primero las conclusiones y luego la manera de llegar a ellas, comosi los conocimientos matematicos surgieran por generacion espontanea. La pre-sentacion habitual de los teoremas es lineal, precisa y sin divagaciones, pero raravez se muestra la manera como se llego a la idea; se ocultan los errores, no se

1Asumimos, como hipotesis, que es posible la actividad de creacion matematica (entendemoscomo actividad matematica la que desarrollan los matematicos en su labor diaria de crear ydemostrar teoremas, proponer y resolver problemas) en los estudiantes de la Licenciatura; estahipotesis fue validada en la investigacion.

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INTRODUCCION

muestran todos los intentos fallidos, solo el resultado final de mucho tiempo deincertidumbres, de busqueda del camino correcto, de muchas noches de sobre-salto, de levantarse semidormido a escribir la solucion que le vino durante elsueno; porque ellos se llevan los problemas a la cama: cuando un matematicotiene un problema, parece ido, pero ahı esta, en su cabeza, el problema bailando.

Ninguna otra disciplina posee, como las matematicas, en grado tan profundoy tan preciso, el factor de la abstraccion, entendida como la actividad intelectualque consiste en considerar un aspecto de la realidad y aislarlo de todo con launica finalidad de conocerla mejor.

Las matematicas son un excepcional ejercicio para la mente; podrıamos llamarcomo una “gimnasia del cerebro”, como la define Bertrand Rusell, uno de losprincipales cientıficos que trabajaron en la modernizacion de la matematica.

El trabajo de un matematico consiste en resolver problemas, descubrir y de-mostrar teoremas y enlazarlos en teorıas. Para hacer esto no se requieren secretosde magia bien guardados, ni actividades intelectuales extranas, por el contrario,el razonamiento matematico es solo una especializacion del razonamiento general,el matematico, para resolver sus problemas:

1. Recuerda (reconoce).

2. Relaciona (asocia).

3. Compara (mide) hace analogıas.

4. Justifica pasos y secuencias.

5. Clasifica (hace equivalencias).

6. Ordena.

7. Agrupa, compone (hace sıntesis).

8. Analiza (separa).

9. Invierte procesos.

10. Demuestra (infiere).

11. Genera (crea)

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12. Generaliza (reconoce regularidad).

13. Abstrae.

14. Aplica.

15. Evalua.

16. Usa sımbolos.

17. Sustituye (traduce).

18. Aplica formulas.

19. Expresa regularidades en terminos abstractos.

20. Tantea (pone a prueba ideas).

21. Planea cursos de accion.

22. Interpreta geometricamente.

23. Cuenta (calcula).

24. Transforma.

25. Interpola y extrapola.

Y en forma mas especıfica, su tarea consiste en:

1. Proponer y discutir sımbolos, reglas y algoritmos.

2. Proponer y discutir definiciones.

3. Formular y describir relaciones.

4. Formular y argumentar proposiciones matematicas.

5. Establecer conjeturas.

6. Codificar y decodificar informaciones matematicas.

7. Formular y manejar teorıas matematicas.

8. Construir nuevas teorıas a partir de las ya establecidas.

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INTRODUCCION

Si observamos con atencion, la mayorıa de estos procesos logicos son comunesa cualquier otra actividad intelectual y academica.

Cabe entonces la pregunta, ¿como es posible que haya gente que no entiendao que no le gusten la matematicas, si su trabajo solo invoca las reglas de la logicaaceptada por toda inteligencia normal y sus pruebas se fundan en principioscomunes a todos los hombres?, ¿por que tantos reacios a las matematicas?

La respuesta debemos buscarla entonces en los primeros contactos que laspersonas tienen con las matematicas; es decir, en su aprendizaje.

En las clases de matematicas tradicionales, nos encontramos con un profesorerudito que expone secuencialmente algunos resultados, metodos y algoritmosque el estudiante debe aprender y repetir posteriormente en un examen. Por lamanera de presentacion pareciera que el profesor domina el tema y la partici-pacion del estudiante se limita, en el mejor de los casos, a resolver ejercicios demanera mecanica, sin mucha comprension, y esta actividad definitivamente esmuy aburrida.

Nosotros consideramos el aprendizaje como un proceso constructivo y dinami-co, en el cual el sujeto es el responsable directo (de su aprendizaje), pues el esquien construye su propio conocimiento a traves del papel activo que debe asumircomo protagonista de los procesos de exploracion, analisis, sıntesis, generalizaciony formulacion de los contenidos matematicos (Moreno L. y Waldegg G., 1988).

Consideramos necesario estimular al estudiante para que sea agente activo desu aprendizaje, y las actividades de descubrimiento contribuyen a tal fin, puesconllevan que el aprecie las matematicas como un proceso y no como un pro-ducto acabado, lo cual genera un ambiente propicio que favorece los procesosde transferencia de los conocimientos matematicos a diferentes esferas del pen-samiento humano. Conducen tambien a que los estudiantes se familiaricen conlos tipos particulares del pensamiento y del proceder de la matematica, lo ayu-dan a adquirir practica en descubrir respuestas por sı mismos, a aprender comoproducir y no a reproducir respuestas y conocimientos; ademas, permiten queel estudiante, en lugar de almacenar informacion y evocarla solo en situacionesparticulares, tenga la posibilidad de utilizarla para enfrentar otros problemas.

Enfatizamos en que, para comprender y aprehender el conocimiento matematico,se requiere “hacer matematicas”. Por eso, en las actividades didacticas que pro-ponemos tenemos en cuenta que “el trabajo intelectual de los alumnos debe ser

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en muchas situaciones, comparable con el de los propios matematicos”(GodinoC., Batanero V. y Navarro, 1995). Se pretende que los estudiantes tengan laoportunidad de investigar sobre los problemas, formular, probar, construir mod-elos, lenguajes, conceptos, teorıas, intercambiar sus ideas con otros (Lineamien-tos curriculares, MEN, 1998), reconocer los tratamientos propios de la culturamatematica, adoptar ideas que sean utiles, descartar propuestas, criticar resul-tados, proponer procedimientos, formular hipotesis, etc. (Santos L., 1993). Ensuma, tratamos de despertar en el aprendiz pasion y compromiso con la con-struccion del saber matematico.

Desde esta perspectiva, el maestro tambien cumple un papel central; debe ser,ante todo, un mediador entre el alumno y el conocimiento. Su papel es mucho masactivo y comprometido en la medida que debe ofrecer los elementos necesariospara promover la actividad cognitiva a partir del conocimiento responsable delos objetos de estudio y a la vez fomentar la interaccion con sus alumnos, sindescuidar el bagaje de experiencias que, con relacion al conocimiento matematico,ellos ya poseen.

Las actividades pretenden la estimulacion de los dos tipos de pensamientoque conforman el pensamiento integral, en el sentido en que lo define SantosL.: el pensamiento convergente, mediante el cual se establecen procedimientos yformulas ya establecidas, y el pensamiento divergente, mediante el que se estimulala propuesta y el examen de situaciones abiertas y la animacion a la exploracionde nuevas posibilidades de pensar las diversas situaciones problema.

Las actividades didacticas disenadas proponen ambientes de discusion, con-frontacion, concertacion y dialogo, dando posibilidades al estudiante para queexprese sus opiniones, construya hipotesis y las confronte con las de sus com-paneros, las modifique y evalue las propuestas de los demas. Teniendo en cuenta,ademas, que el conocimiento es un proceso de caracter social, admitimos que“requiere de la estimulacion de una actitud crıtica y de disposicion al dialogo,el aprendizaje como un proceso de construccion colectiva de acuerdos sobre ex-plicaciones posibles, procedimientos y analisis de resultados, que, ademas de lascompetencias de caracter logico y tecnico, requiere actitudes en relacion con lainteraccion social que amplıen las posibilidades de expresion, argumentacion yconstruccion de consensos”(Hernandez C., UN).

Este libro de actividades, presenta problemas que contribuyen a desarrollaren el estudiante las habilidades para resolver situaciones de conteo y su capacidad

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INTRODUCCION

de pensamiento logico. Estas actividades se disenaron de manera que representenpara el estudiante un desafıo intelectual, con el objetivo de lograr una modifi-cacion de las estructuras cognitivas previas y no simplemente una manipulacionmecanica de numeros y sus operaciones, o que se puedan resolver simplementemodificando los datos.

Para la elaboracion de las situaciones propuestas se tuvo en cuenta el caractersignificativo de estas; es decir, se plantearon situaciones que “encuadraran en con-textos o circunstancias que fueran familiares, atractivas y motivantes”(WaldeggG., 1988) para el nivel intelectual y cronologico de los estudiantes de primersemestre2.

El primer capıtulo muestra la construccion de un sistema numerico3 hechopor los estudiantes ante el problema de contar los dedos de una persona normal,sin utilizar los dıgitos, ni el sistema decimal conocido por todos. Se invito a losestudiantes a construir un sistema numerico propio, del que se esperaba no solo eldesarrollo de la creatividad y con ella la habilidad para detectar las dificultadesy exitos en los metodos que utilizan los matematicos para hacer su trabajo, sinotambien la vivencia de los problemas que surgen en el proceso de construccion yen el planteo de soluciones no siempre correctas.

Contrariamente a la concepcion usual de que cada problema tiene una solu-cion correcta y esa es la que debe aprenderse, ya que lo demas se consideracomo error, planteamos la posibilidad de proponer soluciones, algunas mejoresque otras, casi todas susceptibles de ser mejoradas.

Logramos deshacer mitos, como el creer que los numeros son sımbolos a losque estamos acostumbrados por nuestro aprendizaje en la escuela, o que no esposible un sistema numerico sin el numero cero.

En la primera parte de esta actividad, que consiste en la proposicion deun conjunto de sımbolos y reglas de escritura que nos sirvan para contar can-tidades relativamente pequenas, enfatizamos en los procesos de simbolizacion,

2Algunas de estas actividades tambien han sido desarrolladas con estudiantes de secundaria,adaptando el lenguaje y los niveles de dificultad.

3Al repetir la experiencia en otros cursos de primer semestre y de estudiantes de secundaria,los sistemas propuestos son esencialmente los mismos, salvo en los sımbolos escogidos y elnumero de ellos.

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codificacion y decodificacion, crıtica y argumentacion de sistemas propuestos,consecucion y respeto de acuerdos.

La segunda parte la dedicamos a la proposicion, discusion y seleccion dealgoritmos para efectuar las operaciones basicas, teniendo como criterios funda-mentales la comprension, la sencillez y la eficiencia.

En la tercera parte, nos ocupamos de hacer una analogıa entre la suma y lamultiplicacion para obtener la potenciacion, resaltando el modo de crecimientode los resultados, lo que nos obliga a replantear los sistemas propuestos paraescribir numeros grandes.

En la ultima parte, del primer capıtulo, buscamos que los estudiantes pro-pongan alternativas de solucion al problema de la representacion de los numerosgrandes, sin incluir nuevos sımbolos y enfatizando en el establecimiento de regu-laridades basicas que permitan simplificar los procedimientos en las operaciones.

En el segundo capıtulo mostramos las soluciones4que los estudiantes le dieronal problema de escribir numeros grandes con el sistema creado en la actividadanterior.

Inicialmente, en este capıtulo, conducimos, mediante preguntas, a los estudi-antes hacia la construccion de sistemas posicionales con base en la exploracionde las propuestas que se realizaron en la actividad anterior.

Seguidamente, estimulamos la propuesta de algoritmos para realizar las op-eraciones elementales en cualquier base numerica. Animamos a los estudiantes ala discusion, revision y validacion de algoritmos formales y de algunos algoritmosno convencionales.

A continuacion, invitamos, a los estudiantes, a establecer las propiedades delas operaciones elementales, que se cumplen independientemente de una baseparticular.

Luego, proponemos la tarea de traducir expresiones numericas de una base aotra, primero haciendo transito por la base diez y luego sin hacer uso de ella.

4Las soluciones multiplicativas y otras que no resisten la crıtica, por conducir a sistemasmuy difıciles de manejar, son pronto desechadas por los estudiantes. De nuevo las solucionesviables varıan, en otros grupos donde se planteo el experimento, en el numero de elementosque se toman como base.

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INTRODUCCION

Aunque vemos la conveniencia de los sistemas posicionales sobre los no posi-cionales, hacemos enfasis en el manejo de los calculos aritmeticos en cualquierbase, lo que facilita una iniciacion al algebra al observar resultados que son vali-dos en cualquier base, esto es, independientes de su representacion y que tan solodependen de las relaciones intrınsecas de los numeros.

En el tercer capıtulo mostramos las consideraciones de los estudiantes sobrelas operaciones superiores de la Aritmetica; en la primera parte de esta activi-dad ellos reconocen la potenciacion como otra operacion definible en los numerosnaturales y estudian sus propiedades. Ademas, pretendemos que los estudiantes,usando los conocimientos que ya poseen, identifiquen la radicacion y la logarit-macion como formas de representacion equivalentes a la potenciacion.

En la segunda parte, del tercer capıtulo, buscamos inferir las propiedades de lapotenciacion de la observacion de ejemplos, para luego advertir las caracterısticasque dichas propiedades adquieren en la radicacion y la logaritmacion. Finalmente,invitamos a los estudiantes a demostrar las propiedades de la radicacion y lalogaritmacion por medio de traducciones a la potenciacion.

En la tercera parte, utilizamos la estrategia de descomposicion en factoresprimos como recurso para resolver problemas de radicacion. En el desarrollo dela seccion, los estudiantes deben descubrir, mediante la observacion de listas,criterios de divisibilidad por dos y por tres en cualquier base.

En la cuarta parte, de este capıtulo, ilustramos la interconexion del razon-amiento geometrico y el algebraico en la resolucion de ecuaciones cuadraticas, ala manera que lo expusieron los matematicos griegos; inicialmente proponemosejemplos y luego invitamos a los estudiantes a copiar el metodo en ecuacionesque tengan formas similares.

En la quinta parte invitamos al estudiante a desarrollar su capacidad deestimacion del cardinal de un conjunto, en casos en que el cardinal es muy grandey es necesario expresarlo en terminos de potencias.

En el capıtulo cuatro estudiamos soluciones que algunas culturas antiguas,maya, inca, babilonia y egipcia, le dieron al problema de contar para resaltar susventajas y desventajas en los contextos historicos en que fueron creados, y paracomparalas con el sistema desarrollado por los estudiantes durante el desarrollode la primera actividad.

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Inicialmente, en este capıtulo, pretendemos que los estudiantes despues de es-tudiar el sistema numerico de los Mayas caractericen las dificultades para realizaroperaciones en ese sistema y propongan soluciones a ellas.

Luego, despues de estudiar el sistema inca, se anima los estudiantes a laconstruccion y utilizacion de instrumentos de calculo, como abacos y yupanas,en bases distintas a la base diez, y a hacer propuestas sobre las maneras de operarempleando estos instrumentos.

Seguidamente, se estimula a los estudiantes a producir explicaciones de lasdiversas maneras de operar en las culturas babilonia y egipcia, buscando queapliquen los algoritmos para hacer calculos, estudien sus dificultades, sus aciertosy sus posibilidades didacticas.

El quinto capıtulo, lo dedicamos a presentar situaciones y problemas rela-cionados con otras ramas de la matematica, como la geometrıa, la teorıa denumeros, la topologıa, la combinatoria y la teorıa de conjuntos.

Mediante el planteamiento y solucion de problemas, observamos como el pro-ceso de contar esta inmerso en casi todas las ramas de las matematicas, desdemaneras elementales hasta formas muy sutiles.

En todas las situaciones presentamos varios niveles de complejidad, para de-sarrollar diferentes niveles de desempeno en los alumnos; inicialmente, exami-namos las situaciones en casos sencillos por conteo directo, luego invitamos alos estudiantes a extender el analisis para casos en que se requieren manipularcantidades mas grandes, que implican procesos extensos y dispendiosos, lo cualexige la busqueda de regularidades para simplificar procesos; posteriormente, es-timulamos a los estudiantes a explicitar las regularidades en una secuencia quepermita resolver el problema y, por ultimo, invitamos a construir y proponer unageneralizacion del problema en cuestion y una manera para resolver tal situacion.

En el capıtulo sexto, abordamos el problema de encontrar regularidades ensecuencias numericas. Partiendo de un conjunto finito de observaciones, los es-tudiantes deben proponer formulas y describir el termino general de ellas.

Inicialmente, presentamos situaciones geometricas que son intuitivamente mascercanas, luego pasamos a la observacion y analisis de secuencias numericas masabstractas, utilizando para ello conceptos sencillos de la teorıa de numeros.

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INTRODUCCION

Utilizamos como herramientas: graficos, listas y propiedades elementales delos numeros para ejercitar la induccion intuitiva, sin hacer un desarrollo linealde los contenidos matematicos involucrados, a los cuales nos tienen tan acostum-brados la mayor parte de los libros de texto.

Pretendemos conseguir la identificacion de la idea de sucesion como la ideafundamental en el concepto de numero natural.

En la primera parte del ultimo capıtulo, pretendemos que los estudiantesevaluen y critiquen las formulas obtenidas en la actividad anterior, mostrando concontraejemplos el peligro de generalizar formulas que se verifican en un numerofinito de casos, pero no en todos.

Luego, tratamos el metodo de demostracion por induccion matematica comorecurso para decidir la validez de una proposicion que incluya en su enunciado elconjunto de los numeros naturales. Mostramos como el proceso para garantizarla validez de las afirmaciones antes intuidas, se encuentra separado del procesode validacion. Utilizamos el metodo para establecer la veracidad de las formulasgenerales alcanzadas a traves del curso.

Finalmente, estudiamos el metodo de definicion por recurrencia y la pre-sentacion axiomatica de los numeros naturales de Peano y hacemos demostra-ciones de sus propiedades fundamentales.

Estamos seguros de que el exito en el aprendizaje de algun aspecto de lasmatematicas y el provecho que cada persona pueda sacar de este trabajo dependede la seriedad con que asuma el compromiso de estudiar. Se puede hacer unalectura ligera y superficial; pero, si quiere entrar en el mundo de las matematicas,debe dedicarsele tiempo y ganas.

Los autores

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CAPITULO 1

UN SISTEMA DE NUMEROS PARACONTAR

Introduccion

Los seres humanos1 en sus distintas culturas y en la medida en que sus necesi-dades e intereses lo han exigido, han resuelto su problema de contar, inventandosesu propio sistema de numeros. Nuestro primer interes no radica en aprender lassoluciones que se han dado a este problema, sino mas bien, desde un punto devista pedagogico, queremos ver como se construye un sistema numerico; estamosinteresados en el proceso matematico de construir. Queremos estudiar la formade construir un sistema de numeros para contar2.

Para esto inventaremos sımbolos y reglas, haremos acuerdos, encontraremosproblemas para los cuales propondremos soluciones, descubriremos procedimien-tos mentales que nos permitan hacer cuentas de manera mas rapida y mas efi-ciente, mostrando como es posible evitar el trabajo fısico directo para sustituirlopor el trabajo mental (calculo), y a su vez ver como el calculo permite predecirresultados verificables con la experimentacion.

1En el artıculo “La capacidad de los pajaros para contar”, de O. Koehler, y en el de “Contar”,de Levi Leonard Conant, que aparecen en el volumen 4 de la enciclopedia Sigma, el mundo delas Matematicas, Editorial Grijalbo, Barcelona, 1985, se discute la posibilidad de que algunosanimales tengan tambien las habilidades necesarias para contar.

2Los numeros que se utilizan para contar, se conocen como numeros naturales.

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Luego, cuando sea posible, contaremos en reversa a partir de un cierto numero(la resta); contaremos por grupos de 2, de 3, de 5, etc. (la multiplicacion); de-sharemos este proceso cuando sea posible, preguntandonos, por ejemplo, cuantosgrupos de 5 se pueden formar con 36, cuantos de 6, etc. (la division).

En el paso siguiente y haciendo una analogıa con el producto, donde se adi-ciona varias veces la misma cantidad, multiplicaremos varias veces la mismacantidad en un proceso mental que nos permite obtener una nueva operacion (lapotenciacion), la cual sera de mucha ayuda para resolver el problema de escribirnumeros grandes de manera mas simple.

Para desarrollar estas ideas, no usaremos los dıgitos conocidos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 con lo que nos obligamos a inventaremos nuevos sımbolos para representarnuestros numeros, aceptamos si embargo, copiarnos de procesos conocidos.

Resaltamos que este trabajo es el producto de la continua observacion e inter-accion de profesores y estudiantes en aulas de clase de colegios de secundaria yprimeros semestres de la universidad, en donde la intencion no es ensenar un sis-tema de numeracion, sino con base en preguntas, producir situaciones que llevenal estudiante a proponer soluciones a problemas de conteo.

Metodos y resultados han surgido luego de ensayos y errores y no nos hemospreocupado mucho por saber si lo que descubrimos en clase ya fue inventado enotra parte; en su lugar, nos dedicamos al libre ejercicio de pensar y disfrutarlo.Invitamos al lector, con insistencia, a elaborar sus propios caminos, a plantearsus propias soluciones y, sobre todo, a formular sus propias preguntas.

1.1. Sımbolos y reglas del sistema

Empecemos planteando un problema simple: supongamos que queremos con-tar el numero de dedos que tiene una persona normal, con la condicion de noutilizar los sımbolos usuales.

Para ello hacemos3 una representacion del numero pintando en un papel unsımbolo por cada dedo, digamos, una raya vertical, horizontal; puede no ser raya,

3Lo que presentamos aquı es el resultado de las discusiones de estudiantes de bachilleratoy primer semestre de la Universidad en la carrera de Licenciatura en Matematicas. Salvo porlos sımbolos elegidos, los resultados son similares.

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UN SISTEMA DE NUMEROS PARA CONTAR

puede ser una flor, o el auto de papi (para los gomelos), o lo que sea. Ojala seafacil de pintar, para no detenernos mucho en un asunto que no es fundamentalpara lo que queremos hacer. Esta es solo una manera de hacerlo, cada cual puedeinventar sus propios sımbolos y sus propias reglas para representar un numero.

Enfatizamos que el numero es unico, pero sus representaciones pueden serdiversas.

El resultado inicial se vera:

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

Esta representacion significa que el numero de dedos de una persona normal esel mismo que el de rayas en el papel. Muchas veces nos referiremos al numerocomo su representacion, pero estos conceptos no deben confundirse4.

Estamos iniciando y ya empezaron los problemas:

1. La representacion elegida es difıcil de leer.

2. Si el numero de cosas que queremos contar es grande se complica aun masla escritura y la lectura.

Una solucion al primer problema es disponer las rayas de manera que sea masfacil leerlas; por ejemplo, sustituyendo: IIIII por �, con lo cual nuestra cuentaqueda � � � �. ¿Tiene usted otras soluciones?

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Es muy importante que su papel, amable lector, sea activo, que la lecturasea solo un motivo de reflexion y de construccion de su propio proceso,que toda afirmacion sea para usted una pregunta.

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Sin embargo, pintar un rectangulo es complicado y si tenemos prisa, segura-mente no nos queda exactamente rectangulo y podrıa parecer un cırculo; paraevitar calamidades y confusiones mejor convengamos sustituir I I I I I por Oy para simplificar de una sola vez convengamos sustituir OOOO por X, ası el

4Un numero es un concepto abstracto; un sımbolo numerico es una forma de representar elnumero.

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numero de dedos de una persona normal la podemos escribir en forma muysintetica como X.

Ya podemos contar, no solo nuestros propios dedos, sino los de una cantidadrazonable de personas.

Nota: la representacion que se utilizo aquı es arbitraria y usted puede ele-gir la suya. Los mayas5 , los babilonios6, los egipcios7, los chinos y en general,cada cultura invento sus propios sımbolos y sus reglas de calculo; un ejerciciointeresante consiste en hacer un estudio comparativo de estos sistemas, incluyen-do, por supuesto, el suyo, con esto podra comprobar que algunas ideas que sele ocurrieron a usted, ya se le habıan ocurrido a otros grandes pensadores de laantiguedad; si lo mira bien esto puede aumentar su autoestima. En el capıtulo 4daremos algunas ideas para este estudio, pero es deseable que usted lo iniciepor su cuenta.

Ejemplo

El numero de dıas del ano en el calendario8 juliano9 y en el calendario maya10

5CHURCHILL, E. M., Contando y midiendo, Uteha, 1965, p. 30.6KLEIN, M., El pensamiento matematico de la antiguedad a nuestros dıas, Alianza Univer-

sidad, 1994, p. 18-34.7NEWMAN, J., Sigma, El mundo de las Matematicas Vol 1 , Grijalbo, 1994, p. 958Si convenimos que: un ano es el tiempo que dura la tierra en dar una vuelta alrededor del

sol, un mes es el ciclo completo de las fases de la luna y un dıa es el tiempo de una vueltade la tierra alrededor de sı misma, un calendario es una distribucion del ano en meses y dıas.Lamentablemente, no existe una correspondencia exacta entre los tres movimientos, es decirque un ano ¡no son 12 meses! ¡ni 365 dıas!, el dıa no tiene una duracion fija! (¡tantas cosasque uno se cree! ); por lo tanto, un calendario es lo que uno quiera (como casi todo ).

9En el ano 708 del calendario romano, el emperador Julio Cesar intento poner de acuerdo,con la ayuda del astronomo Sosıgenes, el curso del Sol con la duracion de los anos en sucalendario, agregando un dıa cada cuatro anos (anos bisiestos ) pero este calendario tenıa unainexactitud de 11 minutos 14 segundos por ano. En 1582 el papa Gregorio XIII decreto que el5 de octubre se volviera 15 de octubre y ademas el primer ano de cada siglo fuera bisiesto entres siglos de cada cuatro; 1700,1800,1900 no han sido bisiestos a pesar de ser divisibles por 4,pero el 2000 lo es !

10Existen dos tipos de calendarios mayas. El tzolkın y el haab. El primero era sagrado yconstaba de 260 dıas (kines), pero como no coinciden con la translacion terrestre alrededor delSol, no era util como una guıa de actividades agrıcolas. El ano civil (haab) se componıa de18 meses de 20 dıas cada uno y cinco dıas adicionales (uayeb), al final del ano consideradosnefastos y en ellos se guardaba ayuno y se hacıan sacrificios de sangre.

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es:XXXXXXXXXXXXXXXXXXO

Podrıamos argumentar que existen otras posibilidades para escribir el mismonumero, con los mismos signos pero de apariencia distinta, por ejemplo:

XXXXXXXXXXOXXXXXXXX

O algo mas exotico:

XXXXXXXXXXXXXXO

X

X

X

X

Esto nos obliga a poner reglas, para que cada numero tenga solo una manera deescribirse. Por ejemplo:

1. Escribir de izquierda a derecha (esto por seguir nuestras costumbres11).

2. Escribir primero las X luego las O y finalmente los I.

3. Escribir la representacion del numero con el mınimo de sımbolos posibles.

Si pensamos en escribir numeros un poco mas grandes, podrıa ser util, inven-tarnos mas sımbolos, por ejemplo reemplazar XXXXXXX por L o algo similar.Pero esto no es solucion, porque para numeros aun mas grandes tendrıamos queseguir aumentando el numero de sımbolos, en un proceso sin fin. Esta es la razonde dejar solo tres sımbolos en nuestro sistema.

El problema de escribir numeros grandes, requiere mayor esfuerzo de partenuestra, por lo que dejaremos esta tarea para mas adelante.

Ejercicio

Invente sus propios sımbolos, elija sus propias reglas y construya un sistemade numeros para contar, luego proponga soluciones para el problema de escribirnumeros grandes.

11Los antiguos egipcios, en su sistema de jeroglıficos, leıan los numeros de derecha a izquierda.En el idioma aleman los numeros de dos cifras se escriben de izquierda a derecha pero se leende derecha a izquierda.

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No espere que siempre le pongan ejercicios, haga sus propias hipotesis,intente caminar solo desde el principio; es posible que se caiga a veces,pero consuelese, eso nos pasa a todos.

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1.2. Operaciones

Una de las utilidades mas grandes de un sistema de numeros es la posibilidadde calcular, esto es, operar dos o mas numeros para obtener otro medianteprocedimientos mentales, sin tener que recurrir a la experiencia directa12.

Por ejemplo, si queremos conocer el numero de elementos que resulta de reunirdos colecciones de objetos, de cada una de las cuales ya conocemos su numero,no es necesario hacer de nuevo el conteo de la nueva coleccion; podemos efectuaruna operacion y con ella obtener el resultado.

La mas simple de las operaciones aritmeticas es la adicion

1.2.1. Adicion

Para sumar dos cantidades cualesquiera, podemos colocar los sımbolos querepresentan cada una de las cantidades, una a continuacion de otra y reescribirel resultado de acuerdo a nuestras reglas13; a este procedimiento lo llamaremosadicion14, al resultado de la operacion lo llamaremos suma y a los numeros quese adicionan los llamaremos sumandos.

Ejemplo

Si tenemos los numeros XOOOIII y XOOII podemos adicionarlos de la sigu-iente manera:

12No todas las culturas que han desarrollado sımbolos numericos, los han utilizado paracalcular con ellos, las culturas que lo hicieron, desarrollaron conocimientos matematicos masavanzados, como los babilonios, los egipcios y los griegos.

13Esta manera de adicionar es la misma que usaron los babilonios para adicionar numerosmenores de 60 y tambien la usaron los egipcios.

14Los incas, una de las mas avanzadas culturas americanas, practicaban la adicion en tablillasllamadas Yupanas donde se colocaban granos o piedras y luego las registraban haciendo nudosen unas cuerdas de vivos colores que iban juntando en lo que llamaban quipu.

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1. Coloquemos uno a continuacion del otro: XOOOIIIXOOII

2. Escribamos los sımbolos en el orden acordado: XXOOOOOIIIII

3. Reduzcamos la cantidad de sımbolos: XXXOO.

Luego de hacer varias adiciones nos vamos dando cuenta de ciertas cosas quepasan en todas ellas; de ciertas reglas generales que van surgiendo de la experi-mentacion y la observacion, por ejemplo:

1. La suma no depende del orden de los sumandos.

2. El resultado de contar un conjunto dado de objetos no depende del ordenen que se cuenten.

Ejercicio

Encuentre otras regularidades comunes a todas las sumas.

1.2.2. Sustraccion15

En muchas situaciones es necesario quitar una cantidad de otra y este pro-cedimiento tambien puede llevarse a cabo sin necesidad de recurrir a los objetosque las cantidades representan. Un procedimiento que nos permita realizar estatarea lo llamaremos Sustraccion.

Si tenemos un numero que llamamos minuendo y le queremos sustraer otronumero que llamamos sustraendo, utilizamos nuestros sımbolos y reglas paraencontrar el resultado que llamamos diferencia o resta, de la siguiente forma:

1. Eliminamos los sımbolos que se encuentren comunes en el minuendo y elsustraendo, hasta que no queden sımbolos en el sustraendo. (Es necesarioque el numero que representa el minuendo sea mayor que el del sustraendo;a diferencia de la adicion, los numeros que participan en la sustraccionjuegan un papel diferente).

15En rigor, la sustraccion no es una operacion entre numeros naturales, pues no todas las sus-tracciones se pueden efectuar, solo es posible si el minuendo es mayor o igual que el sustraendo,pero para los propositos de este trabajo, esta limitacion no la consideramos fundamental porel momento.

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2. En el caso en que no hayan sımbolos comunes, se sustituye en el minuendoX o O por su equivalencia y se procede como en el numeral 1.

3. Se aplican las reglas de escritura a los sımbolos que quedan y este es elresultado.

Ejercicio

Si se quiere sustraer (tambien se dice restar) del numero XXXOIII el numeroXOOI

i. Eliminamos, uno a uno, los sımbolos que se encuentran comunes en elminuendo y el sustraendo. El resultado de este primer paso es: XXII en elminuendo y O en el sustraendo.

ii. Como aun tenemos sımbolos en el sustraendo, sustituimos una X del minu-endo por OOOO, quedando XOOOOII en el minuendo y O en el sustraendo.

iii. Repetimos el paso 1. y tenemos como resultado final: XOOOII.

Ejercicio

¿Encuentra algunas regularidades que se cumplan para todas las sustrac-ciones? Enumerelas, comparelas con las observadas para la adicion.

1.2.3. Multiplicacion

Cuando se requiere sumar varias veces la misma cantidad, es natural intentarsimplificar el proceso de adicionar, en un proceso que nos evite hacer varias veceslo mismo. Este procedimiento, en el caso de que exista, lo llamaremos multipli-cacion; el resultado de una multiplicacion lo llamamos producto, los numeros quese multiplican los llamamos factores.

Como el proposito de ahora es contar por grupos que tengan la misma canti-dad, lo que equivale a hacer varias adiciones de la misma cantidad; iniciaremos ladiscusion por lo mas sencillo (este truco funciona casi siempre). Empecemospor multiplicar los sımbolos basicos de nuestro sistema, por ejemplo:

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1. La multiplicacion de O y I, consiste en colocar O veces I y sumar16, o sea,

IIIII

Esto es, repetir el sımbolo I tantas veces como este I en el primer termino;el resultado es IIIII, o lo que es lo mismo, segun nuestras reglas, O. Enresumen

O veces I es O.

2. O veces O

significa colocarIIIII veces O

o sea, repetir el sımbolo O tantas veces como este I en el primer termino ysumar, esto es OOOOO,

por lo tanto O veces O es OOOOO.

o sea, XO

Razonando en forma parecida obtenemos que

O veces X es XXXXX.

Similarmente conseguimos los resultados siguientes:

X veces I es X

X veces O es XXXXX.

X veces X es XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX.

Es claro que para sumar o para multiplicar se requieren por lo menos dos numeros;sin embargo, muchas veces resulta util hacer convenios que nos permiten es-cribir de manera unificada un conjunto de reglas o procedimientos sin tener queenunciar cada vez una lista de excepciones. Este es el caso para que conveng-amos, que aunque no estamos sumando, digamos que

I vez I debe ser I.

I vez O es O

I vez X es X.

16En las escuelas primaria y secundaria se suele decir que la multiplicacion de O y I, consisteen sumar O veces I, pero esta interpretacion es incorrecta pues en ella solo hay IIII sumas;para efectuar una suma se necesitan dos numeros.

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Todos estos resultados los podemos poner juntos en una tabla, que se conocecomo una tabla de multiplicar.

• I O X

I I O X

O O XO X X X X X

X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

Antes de ponernos a hacer cuentas mas complicadas, detengamonos un mo-mento a pensar (este es otro viejo truco de los matematicos); miremosque caracterısticas tiene nuestro sistema, para ver si podemos hacer las cuentasmas facil

1. Para simplificar la notacion, reemplazaremos la palabra “veces”por unsımbolo mas sencillo de escribir, por ejemplo un punto • o lo que ustedquiera, siempre y cuando no se le olvide y despues use algunas veces unpunto y otras, una raya u otra cosa; una condicion que exigen los sımbo-los, es que una vez que usted los acepte, deben tener siempre el mismosignificado, mejor dicho, seamos serios con los sımbolos.

2. Para multiplicar dos numeros, los escribimos uno a continuacion del otrocolocando el sımbolo acordado entre ellos. Es conveniente acordar que sialguno de los factores esta conformado por mas de un sımbolo este sera es-crito entre parentesis17 dado que se puede prestar para confusion si no lohacemos. Por ejemplo, si escribimos X • OI, es posible interpretar estamultiplicacion como X • (OI) o como (X • O) I, de lo cual obtenemosresultados diferentes.

3. Al efectuar multiplicaciones notamos que:

a) No importa el orden en que se multipliquen dos numeros cualesquierael producto de ellos es el mismo18. A este comportamiento se le conoce

17Los parentesis en esta seccion solo indican que lo que esta entre ellos debe considerarsecomo un unico numero.

18Usaremos dos lıneas de la misma longitud ( = ) para indicar la igualdad de acuerdo conla costumbre; este signo fue usado por primera vez por Robert Record en Inglaterra en 1557.

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como propiedad conmutativa de la multiplicacion.

O • I = I • O

X • I = I • X

O • X = X • O

b) Cualquier numero multiplicado con I da como resultado el mismonumero; es decir, que I tiene un comportamiento especial en nuestrosistema; por esto a I se le conoce como elemento identico, elementoneutro o modulo de la multiplicacion.

c) Multiplicar un numero por otro, equivale a escribir uno de ellos tantasveces como I este en la representacion del otro, es decir repetirlo unavez por cada I .

d) Para multiplicar cantidades que tengan varios sımbolos, multiplicamoscada sımbolo del primer factor por cada uno de los del segundo fac-tor y luego sumamos los resultados. Esta propiedad se conoce comopropiedad distributiva de la multiplicacion respecto a la adicion.

Estas observaciones nos ayudaran cuando las cosas empiecen a complicarse.

Por ejemplo, si queremos multiplicar (OI)•(XOII); es decir, saber el resultadode adicionar OI veces la cantidad XOII, procedemos ası:

1. Separamos el sımbolo OI en O y I y cada uno de ellos lo multiplicamospor XOII

(OI)•(XOII)=(O •(XOII)) (I•(XOII))

2. A la derecha, reemplazamos la primera O por su equivalente en I

(OI)•(XOII)=((IIIII)•(XOII)) (I•(XOII))

3. Por cada I hacemos una copia de XOII

(OI)•(XOII)=(XOII)(XOII)(XOII)(XOII)(XOII)(XOII)

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4. Reescribimos el resultado de acuerdo con nuestras reglas

(OI)•(XOII)=XXXXXXOOOOOOIIIIIIIIIIII

(OI)•(XOII)=XXXXXXXXII.

El procedimiento descrito aquı para multiplicar, por fortuna, no es el unico,como sucede con casi todos los procedimientos y metodos usados enmatematicas; otra manera de hacerlo que puede resultarnos mas familiar pornuestros dıas de escuela, es la siguiente:

XOII• OIXOII

XXXXXXOOOXXXXXXXXII

Lo que hemos hecho es:

1. Multiplicar el I de OI por cada uno de los sımbolos de XOII y lo escribimosen el primer renglon.

2. Multiplicar O de OI por cada uno de los sımbolos de XOII de acuerdo conla tabla de multiplicar y lo escribimos en el segundo renglon.

3. Sumar los resultados.

Notemos que en este proceso las posiciones no son importantes; ademas, pode-mos empezar por cualquier sımbolo y hacerlo en cualquier orden. Un muchachode escuela posiblemente apreciara esta informacion.

Ejercicio

Seguramente usted ya noto que existen otros procesos para realizar este mismocalculo y esta sacando sus propias conclusiones. Verifique si las observacionesque se cumplen para multiplicar los sımbolos basicos tambien se tienen cuandoun numero tiene varios sımbolos.

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1.2.4. Division19

Nuestro proposito ahora es repartir una cantidad en grupos, de manera quetodos los grupos queden con el mismo numero de elementos; este proceso seconoce como hacer una division.

La cantidad a repartir la llamaremos dividendo, la cantidad de elementos decada grupo la llamamos divisor, el numero de grupos resultante cociente y lo quesobra residuo.

Copiando lo hecho para la multiplicacion, primero hagamos unas cuentassimples.

En los procesos de reparticion hay dos tipos de problemas.

1. Repartir, por ejemplo, una cantidad X en O grupos con el mismo numerode elementos.

2. Repartir la cantidad X en grupos de O elementos.

Para resolver el primer problema, un camino es:

a) Escribir el dividendo utilizando solamente el sımbolo I.

b) Colocar un I en cada grupo como en la figura 1.

c) Repetir el paso b, hasta agotar las existencias o hasta que lo que sobreno alcance para asignar un I a cada grupo.

19La division, como la sustraccion, tampoco es una operacion en el sentido de que no siemprees posible repartir una cantidad dada en un determinado numero de grupos, sin que sobrenelementos, pero nuestro interes se centra por ahora en los procedimientos, por eso omitiremospor ahora esta dificultad.

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el resultado de este proceso lo podemos resumir en la Figura 2.

Como se ve, en cada grupo hay IIII elementos. Lo que expresamos simbolica-mente ası:

X OIIII

Ejercicio

Plantee un procedimiento para resolver el segundo problema.

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Si su lapiz, atento lector, ha estado activo, proponerle mas ejercicios denuestra parte no se hace necesario.

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Notemos que estos procesos son poco practicos cuando las cantidades songrandes, esto hace que sea necesario buscar procedimientos (tambien llamadosalgoritmos) que nos faciliten resolver el problema mas eficientemente.

Recurramos entonces a un ejemplo, si queremos dividir XXOOIII entre XO,el dividendo puede representarse en la forma XO XO III, es decir:

XXOOIII= XO XO III

se observa que el divisor “cabe”II veces en el dividendo y que el residuo es III.

Tambien podrıamos adaptar los procedimientos que aprendimos en la es-cuela20 para ver si estos funcionan tambien en nuestro sistema numerico.

Continuando con nuestro ejemplo, divididamos XXOOIII entre XO copiandoel procedimiento que aprendimos en la escuela para hacer divisiones, ası:

1. Tomamos el primer sımbolo de la izquierda del dividendo y del divisor.

2. Como el sımbolo del divisor es igual que el sımbolo del dividendo, buscamosen la tabla de multiplicar un sımbolo que multiplicado por X nos de X, estesımbolo es I y va hacer parte del cociente.

3. Multiplicamos I por el divisor y lo restamos del dividendo,

XXOOIII XOXO I

XOIII

4. Repetimos 1, 2 y 3 tomando como dividendo el residuo.

20Curiosamente, esta es una de las primeras propuestas que surgen en las aulas al discutir eltema.

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XXOOIII XOXO II

XOIIIXO

III

El cociente de nuestra division es II y el residuo es III.

Este proceso lo describimos en los siguientes pasos:

1. Separamos desde el extremo izquierdo del dividendo tantos sımbolos comohaya en el divisor.

2. Si el divisor es menor o igual que el numero formado en la separacion hechaen el paso anterior en el dividendo; es decir, si el divisor se encuentra demanera explıcita o implıcita en alguna representacion del numero separa-do21,

2.1. Buscamos un numero que multiplicado por el divisor quede lo masproximo posible, pero sin que sea mayor que el numero separado, estenumero va a ser parte del cociente.

2.2. Multiplicamos el numero que encontramos por el divisor y el resultadolo restamos del numero separado del dividendo.

2.3. Tomamos el resultado de esta resta (residuo) como nuevo dividendoy repetimos el proceso hasta que el residuo sea menor que el divisor.Aquı termina el proceso.

3. Si el numero formado en el dividendo, en la separacion inicial del paso2, es menor que el divisor agregamos el sımbolo siguiente (si existe) en eldividendo y continuamos en el paso 2. Si no existe, el proceso termina o ladivision no se puede efectuar.

Ejercicio

Proponga su propio procedimiento para dividir.

21Por ejemplo I es menor que O porque I esta en la representacion IIIII de O, O es menorque X porque O esta en la representacion OOOO de X.

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1.2.5. Potenciacion

En esta seccion vamos a usar un proceso mental, muy utilizado en la construc-cion de nuevas teorıas matematicas a partir de otras previamente establecidas;consiste en copiar un procedimiento o concepto, modificando alguno desus componentes.

Vimos como la multiplicacion se puede construir con la ayuda de la adicionrepitiendo un sumando algun numero de veces; analogamente podemos repetirun factor para hacer una multiplicacion de el por sı mismo un numero de vecesy con ello obtener otra operacion; esta nueva operacion se llama potenciacion.

Como esta es una nueva operacion debemos escoger una manera adecuadade escribirla para no confundirnos; es decir, una notacion (este tambien esun paso importante cuando estamos inventando); como de costumbre lasimbologıa y la notacion podemos escogerlas tan exoticas como queramos, peroserıa mejor que si estamos expresando ideas ya conocidas, usemos la notacionusual.

Escribiremos

OII para expresar O • O

OIII =O • O • O

OO =O• O • O • O • O

No hay problema en escribir O • O • O puesto que de cualquier forma querealicemos los productos el resultado es el mismo; es decir,

(O • O) • O = O • (O • O)

donde los parentesis indican que debe hacerse primero.

En general colocamos una cantidad, que llamaremos exponente, en la partesuperior derecha de otra, que llamamos base, para expresar que se repite la basepor sı misma tantas veces como lo diga el exponente y luego se multiplica.

Convenimos ademas que OI significa O; es bueno notar que en este caso nohay multiplicaciones22.

22Como en cualquier otra operacion, se necesitan dos numeros para hacer una multiplicacion.

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Es hora de soltar la mano; asegurese de hacer tantas operaciones comosea necesario para que el procedimiento llegue a ser automatico en sucabeza y dejemos la inteligencia para dedicarla a cosas mejores.

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1.3. El problema de los numeros grandes

Si en nuestro sistema numerico queremos escribir un numero grande, la can-tidad de X que habrıa que escribir serıa tan tediosa como representarlo solo conlos sımbolos I.

Hemos descartado ya la posibilidad de hacer nuevos reemplazos y agregar cadavez mas sımbolos para representar un numero, por cuanto esto no resuelve paranada el problema y sı nos llenarıa de una cantidad indistinguible de sımbolos,que dificultarıa su manejo para cualquier persona no acostumbrada a trabajarcon ellos.

1.3.1. Notacion multiplicativa

Una propuesta de solucion para este problema es que utilicemos los resultadosde las multiplicaciones para resumir sımbolos, escribiendo por ejemplo X • O enlugar de XXXXX. Por supuesto toca modificar las reglas de interpretacion dela escritura de los numeros para no generar confusiones; si escribimos X • Odebemos distinguir si tenemos que realizar la multiplicacion o dejarla indicada.Por ello, modifiquemos un poco las reglas de la escritura.

Como nuestro problema consiste en un elevado numero de X para indicarnumeros grandes, escribamos el numero de veces que aparece la X, en lugar deescribir las X.

Pero no requerimos escribir el sımbolo de multiplicacion, basta escribir elnumero de veces que aparece la X, en la parte inferior derecha de ella. Porejemplo el numero

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXOOOIIII

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Lo escribimosXXOIIOOOIIII

Notemos que esta solucion no introduce nuevos sımbolos al sistema y simplificala escritura de numeros grandes.

Si representamos un numero cualquiera con una letra, por ejemplo m, n, etc,podemos verificar ciertos comportamientos, por ejemplo:

XmXn = Xmn

n • Xm = Xm•n

Xm • Xn = XXm•n

Ejercicios

1. Justifique las formulas anteriores.

2. Estudie la propuesta de notacion multiplicativa y proponga un conjuntode reglas para formar un sistema de representacion de numeros, con susoperaciones basicas. ¿Como se comportan las potencias23 de Xn?

3. Represente el numero de dıas de un ano en el calendario juliano en estesistema.

1.3.2. Notacion exponencial

Otra posibilidad es utilizar la misma idea anterior pero cambiando la op-eracion y en lugar de usar la multiplicacion usar la potenciacion. Esta propuestaesta basada en la observacion de la manera como crecen los numeros cuando reit-eramos la operacion potenciacion, con respecto a las demas operaciones, veamos:

Por ejemplo, tomemos como base X y expresemos sus primeras potencias:

XII es aproximadamente el numero de hojas que tiene un libro como el algebrade Baldor.

XIII es aproximadamente el numero de kilometros del radio de la tierra.

23Llamaremos potencia al numero que resulta al efectuar una potenciacion.

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XIIII es aproximadamente el numero de pesos que hay en el salario mınimode los colombianos para el ano 1997.

XO es aproximadamente el numero de habitantes de una ciudad como Cali.XOI es aproximadamente el doble de la poblacion de toda Colombia y el

numero de cabellos que tiene una persona joven.XOOOII es aproximadamente el numero de estrellas del universo conocido.XXII es aproximadamente el numero de gotas de agua que hay en el mar.XXXOO es aproximadamente el numero de atomos del universo.

No discutimos aquı la manera para calcular estos numeros, por lo engorrosode la escritura, pero en principio los calculos son posibles en cualquier sistemanumerico; dejamos esta tarea para cuando tengamos otras representaciones masevolucionadas, donde su presentacion sea mas comoda.

Otra razon para escoger la potenciacion es que ella tambien tiene compor-tamientos que permiten simplificar algunos calculos, sobre todo cuando la basede los numeros es la misma. Por ejemplo, para multiplicar XOI por XOI simple-mente colocamos la misma base X y sumamos los exponentes, obteniendo comoresultado XOOII; esto se debe a que debemos repetir X, primero OI veces y luegoOI veces, en total OOII veces para multiplicar, que es lo que expresa el ultimoresultado.

Como vemos, la notacion exponencial nos permite escribir numeros grandescon pocos sımbolos, lo que sugiere utilizar esta notacion para modificar nuestrosistema de representacion de numeros y obtener una manera mas corta paraescribir numeros grandes; sin embargo, si escogemos todas las potencias de X yde O, no tenemos un criterio sencillo para decidir cual numero entre XO o OX

es mas pequeno que el otro, para incluirlo segun nuestras reglas en la escriturade un numero mas grande, ademas existen muchos numeros que no se puedenescribir de manera sencilla con esta notacion, solo son sencillos aquellos que seanpotencias de los sımbolos fundamentales.

Por ejemplo, entre OO y OX hay muchos numeros cuya escritura es dis-pendiosa.

Ejercicio

Escriba el numero anterior a OX.

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El problema de la escritura se debe a que X es IIII veces O, pero O es IIIIIveces I ; es decir, que uno no se puede escribir como potencia del otro.

Una salida a este problema serıa omitir un sımbolo de nuestro sistema y ensu lugar colocar, no una sino todas las potencias del otro; es decir, eliminemos denuestro sistema inicial el sımbolo X (o el sımbolo O) y escribamos los numerossolamente con I y O y sus potencias. Ası, los primeros numeros serıan:

I, II, III, IIII, O, OI, OII, OIII, . . ., OOOOIIII, OII, . . ., OIII, . . ., OIIII, . . .OO, OOI, OOII, OOIII, OOIIII, OOO, . . .

Ejercicio

Defina procedimientos para las operaciones elementales con la notacion expo-nencial y reintente con la notacion multiplicativa; es posible que esta discusionle haya sugerido alguna idea.

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Suele suceder que luego de avanzar un poco, los problemas por los quehemos pasado se ven con una mirada diferente.

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A pesar de las dificultades, hemos logrado resolver el problema de contar,siempre y cuando los numeros no sean demasiado grandes. Aunque el problemateorico esta resuelto, queda uno practico por resolver: la escritura de los numerosgrandes tiene un aspecto muy poco estetico, por lo que debemos abordarlo masadelante.

Sistemas numericos, como el desarrollado en este capıtulo, fueron inventadospor diversas culturas, como los jonios y los romanos; estos sistemas tienen difi-cultades importantes cuando se utilizan para calcular, a diferencia del que hemosconstruido aquı.

Ejercicio

1. Proponga procedimientos para operar con numeros romanos.

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2. Haga una analogıa con la operacion multiplicacion para definir una nuevaoperacion basada en la repeticion de la potenciacion e investigue que propiedadestiene. Le sugerimos, por ejemplo, definir:

nX = ((((X)X)X)...)X

donde n es el numero de veces que repetimos la X.

¿Sera util esta operacion para inventar otra manera de escribir numerosgrandes?

La notacion multiplicativa se comporta bien con las adiciones, la exponen-cial con las multiplicaciones, ¿esta nueva operacion se comporta bien conla potenciacion?

3. La figura 3 es una reproduccion de una tablilla de la antigua Babilonia24.Descifra lo que en ella se encuentra escrito.

24AABOE, A., Matematicas: Episodios historicos, desde Babilonia a Ptolomeo, Biblioteca deMatematica contemporanea, Random House, Ed. Norma, Cali, p. 21

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CAPITULO 2

REPRESENTACIONESPOSICIONALES DE NUMEROS

2.1. Una idea genial: usar la posicion

Al final del capıtulo anterior, notamos que las potencias de un numero dan re-sultados que crecen muy rapido cuando el exponente aumenta, lo que sugirio uti-lizar la notacion exponencial para escribir numeros grandes.

La idea1 fue, escoger como sımbolos basicos I, O y sus potencias, convenirreglas para su escritura y estudiar procedimientos para hacer las operaciones quehemos definido en el capıtulo anterior, esto es:

I

O =IIIII

OII =O O O O O

OIII =OIIOIIOIIOIIOII

OIIII =OIIIOIIIOIIIOIII, etc.

De esta forma, no es necesario incluir sımbolos nuevos.

1El primer vestigio de una solucion con este criterio aparece en la cultura babilonica, dondese escogio como base el 60 para los problemas de matematicas y astronomıa y el 10 paracuestiones comerciales. Los egipcios agrupaban en base 10, los mayas en base 20, etc

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Si adoptamos las mismas reglas para la escritura de los numeros que en elcapıtulo anterior y estos nuevos sımbolos, el numero de dedos de una personanormal es O O O O; no parece que hayamos logrado un gran avance, pero simiramos numeros mas grandes empezamos a ver las ganancias.

Por ejemplo, el numero de dıas del ano en el calendario juliano es:

OIII OIII OII OII OII OII O O O

aunque el numero de sımbolos disminuyo con respecto a nuestro antiguo sistema,no se ve aun muy atractivo.

Pero si consideramos numeros como:

OOIII

que sirve para representar aproximadamente el numero de habitantes de unaciudad como Neiva, o

OOOIII

que es aproximadamente el numero de habitantes actuales de toda China, en nue-stro antiguo sistema de numeracion tendrıan una escritura mucho mas aparatosa;por ejemplo, el primero tendrıa cinco mil ochocientos ochenta y dos veces la X,una O y IIII, lo que justifica el esfuerzo actual.

Los numeros en este nuevo sistema tienen apariencias como

OIII OIII OIII OIII OII O O O O I

Si los observamos un buen rato vemos que el sımbolo O se repite muchas veces,y como ya convenimos que representa grupos de IIIII, podrıamos no escribirlo yescribir solamente el numero de veces que aparece cada sımbolo con su exponente;para no confundirnos los separamos con un espacio, o de alguna otra forma. Conestos nuevos convenios el anterior numero lo escribimos:

IIII I IIII I

lo que significa que OIII aparece IIII veces, OII aparece I vez, O aparece IIII vecesy I solo I vez ( ¿Esto no le recuerda los codigos de barras de los artıculos en lossupermercados? )

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REPRESENTACIONES POSICIONALES DE NUMEROS

Ejercicio

Averigue como funcionan los codigos de barras y elabore un informe.

Volvamos a lo nuestro; como vemos, podemos ahora omitir tambien la O, peroaparece un problema, ¿que hacemos cuando no haya, por ejemplo, grupos de OIII

pero sı de OII y de OIIII ? , deberıamos dejar un espacio entre la cantidad deveces que este OIIII y la cantidad de veces que este OII; pero escribiendo de prisa,no sabrıamos diferenciar si el espacio es doble o sencillo; mejor detengamonosun poco a pensar.

Estamos en una circunstancia similar a la inicial, pero con una gran ventaja,que hemos descubierto la posibilidad de usar la posicion de los sımbolos comoayuda para escribir numeros de una forma mas breve.

Tenemos ahora un solo sımbolo ( I ) para representar todos los numeros, elcual aparece repetido en cada posicion hasta una unidad menos que la cantidadque escogimos como base.

Si queremos de nuevo simplificar la escritura, podemos introducir algunosnuevos sımbolos. Por ejemplo, convengamos escribir un sımbolo, digamos:

×© para cuando no aparece el sımbolo basico I

+© para cuando aparezca I vez

�© para cuando aparezca II veces

r© para cuando aparezca III veces

c© para cuando aparezca IIII veces

y no mas, porque en el siguiente paso aparece una unidad para la siguienteposicion de la izquierda; ası, el numero de dıas del calendario juliano es

�© c© r© ×©¡y esto ya parece idioma chino!

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Una situacion frecuente en el estudio de las matematicas es que cuandoavanzamos en un proceso de abstraccion, podemos sustituir un conjuntode sımbolos o ideas por un nuevo sımbolo o una nueva idea. Conjuntos

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de estos a su vez pueden ser reemplazados dentro de una teorıa por otroscada vez mas abstractos, hasta llegar a conceptos tan sofisticados quedarıan la impresion de que estamos hablando sobre nada util.

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Escogimos los sımbolos anteriores de manera caprichosa y deliberadamente com-plicados, solo con el proposito de insistir en que uno puede inventarse lo quese le ocurra; es mejor, por supuesto, que si hay sımbolos inventados para es-cribir algunas ideas sera mejor usarlos y dejar nuestra inventiva para cosas masproductivas. Por eso, a cambio de:

×© escribimos 0

+© escribimos 1

�© escribimos 2

r© escribimos 3

c© escribimos 4

y nuestro sistema queda con los sımbolos 0, 1, 2, 3, 4 .

Este sistema tiene las siguientes caracterısticas fundamentales:

1. En el es importante la posicion de los sımbolos2, pues 34 significa que elI aparece 4 veces y la O aparece 3 veces, pero 43 significa que I aparece3 veces y O aparece 4 veces. Por esta razon se llaman representacionesposicionales de sistemas numericos. A cada uno de los sımbolos que formaun numero lo llamaremos cifra3.

2. El sımbolo O no aparece explıcitamente en la escritura de los numeros peroesta implıcito; se llama la base del sistema y lo podemos escoger de maneraarbitraria para reemplazar tantos I como deseemos.

2Los babilonios escribıan los numeros en grupos separados por espacios. Su escritura sehacıa de derecha a izquierda; cada grupo representaba respectivamente unidades, grupos desesenta y grupos de tres mil seiscientos. Para hallar el numero representado se efectuaban lasmultiplicaciones correspondientes y se adicionaban los productos resultantes. Para representarel cero al principio dejaban un espacio y luego lo hicieron con cunas oblicuas.

Los mayas escribıan los numeros en columnas de abajo hacia arriba. El grupo inferior repre-sentaba las unidades, el siguiente grupo el numero de agrupaciones de veinte y el tercer grupo,el numero de agrupaciones de trescientas sesenta. Tenıan ademas un sımbolo para representarel cero con la apariencia de un ojo semiabierto o una concha marina vista de perfil.

3La palabra cifra tambien se utiliza frecuentemente como sinonimo de numero o cantidad,pero aquı solo la usamos para referirnos a un sımbolo basico de un sistema numerico.

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3. Las cifras de las representaciones posicionales no son, como en las repre-sentaciones no posicionales, un numero de veces otra de ellas; aquı cadasımbolo representa un posible residuo de hacer grupos de O elementos.

4. Existe un sımbolo, el 0, para expresar una posicion vacıa4. El cero 0 denuestra representacion decimal, como expresion de ausencia de algun grupo,fue inventado por los hindues5 alrededor del ano 876 d.C.

El numero cero en la actualidad representa mucho mas que una posicion vacıay forma parte fundamental del sistema de los numeros reales6 .

Ejemplos

1. Sistema decimal ( Base 10 )

El sistema que usamos en la actualidad y que usa la mayorıa de los paıses delmundo, es el sistema decimal7; parece natural pensar que esto sea consecuenciade que el ser humano tiene diez dedos en las manos.

Los sımbolos basicos de este sistema los llamamos dıgitos, palabra que significadedo, en latın.

Este sistema desarrollado por los hindues, incluıa un sımbolo para el cero.Los arabes lo dieron a conocer en Europa. Por eso, tambien se conoce comoindoarabigo, aunque el aspecto de sus sımbolos ha ido cambiando con el tiempo,como se observa en la figura 1.

4La palabra cero proviene de la voz arabe ziffero, que significa lugar vacıo, fue inventadopor los hindues, pero en America los mayas utilizaron un concepto de cero, mucho antes de serusado en Europa para expresar la ausencia de unidades o dıas en su sistema vigesimal.

5Se dice que el sımbolo (0) es hindu, aunque algunos afirmaban que tuvo su origen enla griega letra “omicron”que es la inicial de la palabra “ouden”o vacıo. Actualmente se sabeque aunque el sımbolo para representar una posicion vacıa, en algunas versiones en la tabla dePtolomeo se parece a un “omicron”, los sımbolos iniciales para el cero en las fracciones sexadec-imales griegas eran formas redondas decoradas, ademas, cuando se consolido el sistema decimalen el Imperio Bizantino durante el siglo XV, se partio de un sistema alfabetico para numerales,quitando las ultimas 18 letras y anadiendo un sımbolo para el cero que tenıa diferentes formasy que parecıa una h invertida o un punto.

6SPIVAK, M., Calculo infinitesimal, Editorial Reverte, Bogota,1974, p. 5.7Los egipcios fueron los primeros en desarrollar un sistema de numeracion decimal.

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2. Sistema binario8 (Base 2)

Este sistema esta basado solamente en dos sımbolos: 0 y 1. Es el lenguaje idealpara describir situaciones donde se presentan unicamente dos opciones: blanco ynegro, verdadero y falso, o para entes que solo distingan entre sı y no; como lascomputadoras9 : ellas solo reconocen estos dos sımbolos; cuando pasa corrientepor un circuito electronico, la maquina lo entiende como 1, si no pasa lo entiendecomo 0.

Con estos 2 sımbolos basta para hacer entender a una maquina todo lo queella necesita conocer para manejar el transito de una ciudad, llevar una naveespacial a Marte, calcular el estado del clima, ganarle al campeon del mundojugando ajedrez, etc.

Para escribir un numero en base 2, debemos hacer grupos de 2 elementos, ysi sobra algun elemento esa sera la cifra de las unidades, luego debemos formargrupos de dos con los grupos resultantes del paso anterior, apuntar lo que sobray ası sucesivamente hasta que sea imposible formar nuevos grupos de 2.

Los siguientes son los diez primeros numeros escritos en sistema decimal y ensistema binario.

8Este sistema fue descubierto por el matematico aleman Wilhelm Leibnitz en el siglo XVII.9La sugerencia de utilizar el sistema binario en las computadoras la hizo John Von Neumann

en 1945, desde entonces las computadoras operan en sistema binario para las entradas y sistemadecimal en la salida.

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Base 10 Base 2

0 1

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

8 1000

9 1001

10 1010

3. Sistema hexadecimal (Base 16)

Es un sistema cuyos sımbolos basicos son:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

donde A, B, C, D, E, F representan, respectivamente, los numeros 10, 11, 12, 13,14 y 15 del sistema decimal.

El sistema hexadecimal es muy usado en la programacion de computadoras,sobre todo en la descripcion de localizaciones de memoria en los discos duros yflexibles.

Los ordenadores o computadoras modernos son maquinas de calculo rapido;la parte de la maquina que sirve para la ejecucion directa de operaciones se llamaunidad aritmetica. La parte que regula el trabajo de toda la maquina se llamadispositivo de control y la parte que almacena los resultados se llama dispositivode memoria.

La memoria es un almacen de numeros y signos convencionales que se regis-tran electrica o magneticamente en cinta o en disco. El caracter grabado puedeser leıdo o borrado, grabandose otro en su lugar. Los dispositivos de memoria con-stan de miles de celdas y cada celda, de varias decenas de elementos magneticos;

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para registrar los numeros por medio del sistema de base dos, cada elementoimantado expresa el 1 y los no imantados, el 0.

En computadoras la unidad de informacion basica, un 0 o un 1, se llama bit,8 bits forman un Byte y cada caracter (cualquier sımbolo que una maquina deprocesamiento de datos puede leer, almacenar e imprimir ) se puede representarpor un Byte; es decir, un numero binario de 8 cifras, lo que significa que podemosespecificar 256 posibles caracteres basicos ( ¿Por que ? ). Los 256 caracteres sepueden colocar en un cuadrado de 16 de lado; es decir, que cualquiera de ellos sepuede especificar con numeros hexadecimales de solo dos cifras. La primera cifrahexadecimal corresponde a las primeras cuatro cifras binarias de la izquierda yla segunda a las otras cuatro. En la tabla 2 se muestran algunos de ellos.

Caracter Configuracion bits Codigo hexadecimal

A 1010 0001 A1

B 1010 0010 A2

C 1010 0011 A3

D 1010 0100 A4

E 1010 0101 A5

F 1010 0110 A6

G 1010 0111 A7

H 1010 1000 A8

I 1010 1001 A9

J 1010 1010 AA

K 1010 1011 AB

L 1010 1100 AC

4. Otros sistemas (Bases 1, 3, 4, 5, etc.)

Utilizando el mismo principio de construccion pueden hacerse sistemas denumeracion en cualquier base; algunas de ellas son poco usadas, otras son usadaspor algunas culturas; por ejemplo, en la lengua makua del norte de Mozambique,las palabras thanu (cinco) y miloko (diez) constituyen la base del sistema denumeracion. Ası, seis se dice thanu na moza (cinco mas uno) y siete, thanu na

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pili (cinco mas dos). Veinte se dice miloko mili (diez veces dos) y treinta, milokomiraru (diez veces tres)

En el dialecto balante de Guinea-Bissau se mezclan las bases cinco y veinte,mientras que la lengua bete de Cote d’Ivoire emplea tres bases: cinco, diez yveinte, lo que da para decir cincuenta y seis, por ejemplo, golosso-ya-kogbo-gbeplo;es decir, “veinte veces dos mas diez (y) cinco (y) uno ”.

En la tabla 3, aparecen los quince primeros numeros escritos en distintasbases; observe la secuencia de formacion.

Para indicar la base en que un numero esta expresado se acostumbra escribirlaen la parte inferior derecha de el, ası 654 8 . Si la base esta establecida desde elprincipio no se escribe y si no se hace ninguna referencia a ella se supone que esbase 10.

Numero de la Base

16 10 9 8 7 6 5 4 3 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 10

3 3 3 3 3 3 3 3 10 11

4 4 4 4 4 4 4 10 11 100

5 5 5 5 5 5 10 11 12 101

6 6 6 6 6 10 11 12 20 110

7 7 7 7 10 11 12 13 21 111

8 8 8 10 11 12 13 20 22 1000

9 9 10 11 12 13 14 21 100 1001

A 10 11 12 13 14 20 22 101 1010

B 11 12 13 14 15 21 23 102 1011

C 12 13 14 15 20 22 30 110 1100

D 13 14 15 16 21 23 31 111 1101

E 14 15 16 20 22 24 32 112 1110

F 15 16 17 21 23 30 33 120 1111

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5. Sistema unario

Un sistema posicional con un solo numero, digamos 1, es llamado unario.En el cualquier numero es denotado por una cadena de unos y es equivalenteal sistema no posicional que construimos en el primer capıtulo pero con un solosımbolo.

2.2. Operaciones

Centraremos ahora nuestra discusion en construir procedimientos, que comoya dijimos tambien llamamos algoritmos, para efectuar las operaciones fundamen-tales en diferentes bases. De nuevo los metodos no son unicos, son propuestashechas y discutidas por los alumnos en el salon de clase, que por supuesto puedenmodificarse, que es lo deseable.

2.2.1. Adicion

Continuemos en la base O = IIIII, que construimos al principio de este capıtu-lo. Si queremos adicionar10 dos cantidades, por ejemplo 3423 y 413 debemos ini-cialmente adicionar las cifras de la derecha (que llamaremos de las unidades) enambos numeros para saber si logramos formar grupos de I con O elementos; eneste caso 3 + 3 = IIIIII = (IIIII) I = O I, en nuestra nueva notacion se escribe11, lo que significa que tenemos un residuo de 1 que retenemos para el resultadofinal y hemos formado 1 grupo de O elementos, que se tendra en cuenta para laadicion de la siguiente cifra.

Este grupo sera adicionado a los de las cifras que siguen a la izquierda de lasunidades llamadas quinquenas, en este caso

2 + 1 = O O O

y le agregamos O del grupo que se formo en el proceso anterior, ası obtenemosO O O O en nuestra notacion 4.

10Usaremos los signos habituales + y - para denotar la adicion y la sustraccion respectiva-mente, estos fueron empleados por Widman, en un libro de aritmetica publicado en Alemaniaen 1489. Widman los utilizo para indicar un exceso o un deficit, como “mas ”o como “menos”, pero pronto empezaron a usarse como signos de las operaciones de adicion y sustraccion.

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Continuamos adicionando las cifras siguientes de la izquierda de las quinque-nas que llamaremos biquinquenas,

4 + 4 = OIIOIIOIIOIIOIIOIIOIIOII = (OIIOIIOIIOIIOII)OII OIIOII = OIIIOIIOIIOII

lo que escrito en nuestra notacion es 13 biquinquenas llevamos 1 y dejamos el 3para el resultado final.

Por ultimo adicionamos la cantidad de OIII que tenemos en cada numero

3 + 0 = OIII OIII OIII

y le agregamos OIII que corresponde al grupo que se formo en el paso anteriorobtenemos OIII OIII OIII OIII , que equivale a 4 triquinquenas.

Por lo tanto:3423 + 413 = 4341

Este proceso es el conocido desde la escuela para adicionar numeros naturales,solo que allı se utilizaban grupos de 10 elementos llamados decenas y grupos de10 decenas llamados centenas, etc.

Al parecer no hemos avanzado mucho, hemos llegado a los mismos resultadosque llego la humanidad hace cientos de anos, solo que ahora entendemos el porque y debido a esto podemos generalizar este metodo a cualquier base, sabiendoque a pesar de que la notacion es diferente, las ideas de fondo y los resultadosson los mismos.

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Muchas veces sera necesario tomar lapiz y papel para seguir una lecturaen matematicas.

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Ejemplos

1. En Base 2 el lector puede verificar que:

1111001 + 1011 = 10000100

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Tambien es costumbre en matematicas, que el lector verifique lasafirmaciones que se hacen en un texto y que muchas veces no seexplicitan.

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2. En Base 5 la tabla de la adicion es:

+ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 10

2 2 3 4 10 11

3 3 4 10 11 12

4 4 10 11 12 13

3. En base 16 se tiene que

9AE + 743 = 10F1.

2.2.1.1. Propiedades de la adicion

Como en el capıtulo anterior, luego de que se han hecho muchas adiciones,es posible observar comportamientos regulares, propiedades que le son comunesa todas ellas sin importar la base en que sean realizadas. Debido a que algunasde ellas aparecen con frecuencia, reciben nombres como:

2.2.1.1.1. Propiedad asociativa

Si en una adicion hay tres o mas sumandos11 , hay varias maneras de efectuarla adicion. En el caso de tres, podemos adicionar los dos primeros y al resultadole adicionamos el tercero o, primero adicionar los dos ultimos y adicionar esteresultado al primero; la propiedad asociativa de la adicion asegura que el resulta-do de la adicion sera el mismo sin importar cual de las agrupaciones sea elegidapara efectuar la operacion.

11Los tres sumandos no tienen que ser diferentes.

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Esto parece tan natural que casi podrıamos considerar innecesario mencionarlo,sin embargo, hay situaciones que pueden llevar a confusion cuando se mezclanoperaciones que no tengan esta propiedad con otras que sı.

Por ejemplo, el caso de tres comensales que van a un restaurante y pidentres platos cuyo valor unitario es $10 000; en el momento del pago el dueno delrestaurante otorga un descuento de $5 000 a la cuenta total, el mesero decidedevolver $1 000 a cada comensal y quedarse con $2 000 a manera de propina. Eneste punto empiezan los problemas, pues cada comensal pago en total $9 000, loque nos da una suma de $27 000 que sumamos a los $2 000 que tomo el mesero,dan $29 000 y han desaparecido $1.000 ¿Donde esta el error?

2.2.1.1.2. Propiedad conmutativa

Cuando contamos, es intuitivamente evidente que el resultado no cambia silo hacemos en un orden o en el orden contrario (contar al reves), las adicionesson cuentas simplificadas, por lo tanto tampoco deberıan variar, como en efectosucede, por ejemplo:

2 + 3 = 3 + 2

este comportamiento es el mismo en todos los sistemas de representacion denumeros.

Ejercicios

1. De seguro usted ya noto otras regularidades en las adiciones, haga una listade ellas.

2. Enuncie un argumento que explique la siguiente adicion.

123456789

123456789

987654321

987654321

2

2222222222

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Enuncie un resultado general para cualquier base.

Construya adiciones similares cuyo resultados sean numeros cuyas cifrassean solo unos, solo treses, etc. Repita el ejercicio en base 7; enuncie unresultado general para cualquier base.

3. En la adicion12

7 + 77 + 777 + . . . + 777777 . . .

encuentre el dıgito que ocupa el lugar 100 de la suma. Resuelva el mismoproblema en base 14.

4. ¿Cuantas veces aparece cada dıgito del 0 al 9 en la lista de los numeros del1 al 100? Resuelva el mismo problema en base 13.

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Habra notado la insistencia que hemos hecho en traducir cada ejercicioa cualquier base; en realidad, lo que importa es notar que hay ciertasrelaciones entre los numeros que son independientes del sistema quese utilice para representarlos. Ası, un maya y un ruso encontraran lasmismas relaciones entre los numeros sin importar la simbologıa utilizada.Justamente allı se encuentra la transicion entre la aritmetica y el algebra,en donde se estudian las leyes generales que relacionan los numeros,independientes del lenguaje utilizado.

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2.2.2. Sustraccion13

En esta seccion no queremos explicar una manera de sustraer, que tambienllamamos restar14; esperamos que usted invente sus propios procedimientos; le

12Mathematics Teacher, Vol. 85, # 9, Diciembre 1992.13Debemos insistir en que, en el sentido moderno del termino operacion, la sustraccion no es

una operacion entre numeros naturales, pues para ello se requiere que todas las sustraccionesposibles de numeros naturales tengan un resultado en los numeros naturales, aquı solo es posiblecuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo. Sin embargo, para nuestros propositosactuales este no es un obstaculo insoslayable, por lo que lo pasaremos por alto, de momento.

14El signo mas antiguo para indicar la sustraccion es (∧), que utilizaban los antiguos egipcios,se encuentra en el papiro de Rhind.

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mostraremos enseguida un ejemplo de un algoritmo para restar en base 6 y lesugerimos que lo explique.

5 4 3 5 0 1 3

− 5 3 4 3 5

5 3 4 1 1 3 4

Ejercicio

Estudie las siguientes sustracciones y exprese en que base estan hechas, ¿esposible que una misma sustraccion sea correcta en bases distintas?, ¿en que ca-sos?

3 4 5 3 2 3

− 5 4 2 0 1

2 6 1 1 2 2

7 5 3 4 0 3

− 5 4 2 0 1

6 8 8 2 0 2

5 4 5 0 2 3

− 3 4 0 0 1

5 1 1 0 2 2

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Suponemos que debe ir soltando la mano para que se acostumbre a haceroperaciones en otras bases; el numero necesario de ejercicios depende desu voluntad y comprension.

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2.2.2.1. Propiedades de la Sustraccion

Contrario a lo que sucede con la adicion, la sustraccion no tiene tantas regu-laridades, por ejemplo:

2.2.2.1.1. La Sustraccion no es asociativa

Por calculo directo se ve que:

(12 − 4) − 3 �= 12 − (4 − 3)

y si hacemos sustracciones y adiciones, esta combinacion de operaciones tampocopuede asegurarse que con cualquier agrupacion se obtenga el mismo resultado,por ejemplo:

30000 − (3000 + 2000) �= (30000 − 3000) + 2000

¿Le recuerda esta desigualdad algun problema de comensales?

2.2.2.1.2. La sustraccion no es conmutativa

Para que una sustraccion pueda hacerse es necesario que el minuendo sea masgrande15 que el sustraendo, de modo que si invertimos la operacion y tomamosel minuendo como sustraendo y el sustraendo como minuendo, la sustraccion yano se puede efectuar, por lo tanto la sustraccion no es conmutativa.

Ejercicio

Escriba un algoritmo para la sustraccion en cualquier base, ¿encuentra algu-nas propiedades para la sustraccion?

2.2.2.2. Relaciones entre la adicion y la sustraccion: Ecuaciones de laforma x + a = b

Las operaciones de adicion y sustraccion no son independientes, hay rela-ciones entre las dos que generalmente se utilizan como mecanismo de pruebapara verificar si efectuamos alguna de ellas de manera correcta.

15Por el momento usamos la idea de orden que tienen los estudiantes. En la siguiente seccionprecisaremos su significado en el contexto de los numeros naturales.

52


❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

En matematicas, por fortuna, existen mecanismos para determinar si loque estamos haciendo es correcto o no; procedimientos de verificacionque nos permiten decidir, por nosotros mismos, si nuestras afirmacionesson validas; ¡no debemos confirmarlo con alguna persona!

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Por el significado que le dimos a la adicion y a la sustraccion, si agregamos a unacantidad que representamos con la letra a otra cantidad que representamos conla letra b y obtenemos un resultado que representamos con la letra c, podemosexpresar esta misma informacion de otras dos maneras: si a c le sustraemos aobtenemos b y si a c le sustraemos b obtenemos a. Simbolicamente diremos que:

a + b = c es lo mismo que c − a = b o tambien c − b = a

ası, para probar si la sustraccion c − a = b esta bien efectuada, basta adicionara a b para obtener como resultado c.

Por ejemplo, la sustraccion8 − 3 = 5

es correcta en cualquier base mayor que 9, puesto que en ellas se tiene que

5 + 3 = 8

Las anteriores relaciones se utilizan tambien para encontrar alguno de losnumeros que no estan escritos16 en una adicion o en una sustraccion; por ejemplo,si queremos averiguar cual es el numero que adicionado con 345 6 nos da comoresultado 4325 6, debemos escribir esta suma en otra de sus formas equivalentesy obtener el numero buscado como el resultado de otra operacion.

En nuestro ejemplo representemos con la letra x el numero buscado; la sumaes:

345 6 + x = 4325 6 ,

que puede escribirse,4325 6 − 345 6 = x

16Si en una igualdad donde participan operaciones entre numeros ignoramos alguno (o varios)de ellos, la llamaremos una ecuacion. Encontrar el (o los) numero(s) que ignoramos es resolverla ecuacion.

53


de donde vemos que para hallar x debemos efectuar la sustraccion y este procesoya lo sabemos hacer; el resultado es 3540 6 . Para probar que el resultado escorrecto adicionamos 3540 6 con 345 6 y debemos obtener 4325 6 .

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Toda esta discusion parece muy simple, pero asegurese que lo entiendebien haciendo algunos ejercicios inventados por usted.

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Por supuesto, podemos partir de la segunda o tercera formas de la igualdad;es decir, podemos averiguar cual es el numero que sustraıdo de 7652 9 nos dacomo resultado 231 9 ; si de nuevo representamos17 con x el numero buscadoplanteamos:

7652 9 − x = 231 9

que puede escribirse como

7652 9 − 231 9 = x

resultado que puede obtener el lector sin mayor dificultad.

Ejercicios

1. Coloque en cada casilla marcada por el sımbolo � un numero, para que losresultados coincidan con los numeros dados, trabajando en base 7:

� 5 � 6

+ 4 6 3 �1 2 � 3 �

¿Cuantas soluciones diferentes hay ?

En esta clase de ejercicios, es mas importante el proceso de solucionque la solucion misma; los procedimientos de solucion, son muy utiles para

17Es costumbre llamar incognita al numero buscado y notarlo x, aunque naturalmente pode-mos representarla con cualquier otro sımbolo.

54


generalizar problemas y se usan frecuentemente en la programacion de com-putadoras cuando los problemas permiten una sistematizacion tal.

Escriba un algoritmo que permita resolver acertijos de este tipo, empezandocon una cifra; por ejemplo, resolver problemas de la forma:

�+ 3

5

en base 6, luego en base 8, etc. Luego ponga dos veces el sımbolo �; porejemplo:

�+ 3

�

¿En que condiciones existe la solucion?, ¿cuantas soluciones existen?, ¿hayuna manera general de resolver el problema en cualquier base?

Intente resolver el mismo problema pero ahora con dos cifras y una solaincognita, luego con dos, etc. Si el empeno se lo permite, formule y estudieun problema mas general.

2. Por cada problema bien resuelto en clase de matematicas, recibe 8 puntoscomo nota; pero en cambio por cada problema mal resuelto o no resueltole descuentan 5. Si le presentan 26 problemas y usted tiene como nota 0.¿Cuantos problemas trabajo, y de estos, cuantos resolvio bien?

3. (Tomado de Caro18) Dos muchachos atados a los extremos de una cuerdasuben una escalera de 100 peldanos, y lo hacen alternandose, es decir, quemientras uno sube el otro descansa. La longitud libre de la cuerda quelos ata es igual a la separacion de 10 peldanos; se trata de saber cualllegara primero arriba.

El que inicia el juego puede subir hasta diez escalones, pero se para, porejemplo en el 4o. El otro, solo puede subir hasta el peldano 14, porque la

18CARO, V., Los numeros: su historia, sus propiedades, sus mentiras y verdades, Minerva,Bogota. 1936, p. 253.

55


cuerda no da mas; pero puede detenerse antes, por ejemplo en el 11. Elprimer jugador puede ahora llegar hasta el 21. Y ası continuan hasta el fin.¿En que peldanos debe detenerse un jugador para llegar primero?19.

2.2.2.3. Orden en los numeros naturales

Una aplicacion de la adicion, que es muy importante en matematicas, es suuso para definir un orden entre los numeros, esto es una manera de saber cuandoun numero es mas grande o mas pequeno que otro. En el capıtulo 1 dijimosque para distinguir si un numero es menor que otro (en una representacion noposicional como la desarrollada allı) si su representacion estaba de forma explıcitao implıcita en los sımbolos que forman al otro.

Esto significa que el numero mas pequeno se puede completar para conseguirel mayor, o dicho de otra forma un numero natural n es mayor que otro numerom si existe un tercer numero natural p diferente de cero, que cumpla:

m + p = n

cuando esto suceda escribimos n > m.

Ejercicio

1. Para comparar numeros relativamente grandes, el procedimiento que uti-lizamos no es el descrito. ¿Como saber cual de los siguientes dos numeroses el mayor, si estan escritos en base 12?

6532098672245677 y 6532098762245677

¿Importa la base? ¿Y si comparamos dos numeros que no tengan el mismonumero de cifras? Justifique las afirmaciones que haga.

2. Haciendo las cuentas en base 7, ¿para cuales valores de x se cumple que:

a) x > 3?

b) x + 12 > 35?

19Obviamente, el juego puede hacerse sin escalera y sin cuerda, entre dos personas queapuestan a ver quien llega primero a 100, diciendo cada uno un numero mediante la condicionde que el numero que dice el uno no puede exceder en mas de 10 al que dice el otro.

56


c) x − 42 > 63?

d) 54 − x > 16?

Justifique sus procedimientos.

3. Con las 5 cifras del numero 12345 se pueden formar 120 numeros, si losnumeros se escriben en orden ascendente, desde

12345 12354 1243512453 hasta 54321

¿Que numero es el que ocupa el lugar 75?

2.2.3. Multiplicacion

20

Ejercicios

1. Proponga un procedimiento para multiplicar en base 7. Puede ser util unacomparacion con lo que conocemos para base 10.

2. Multiplicacion por galeras: La Figura 2 hace parte de una pagina de〈〈Aritmetica〉〉, impresa en Treviso (Italia) en 1478. Descifre lo que en ellase encuentra escrito.

2.2.3.1. Propiedades de la multiplicacion

La multiplicacion21 es una operacion que se construye a partir de la adi-cion, ¿sera razonable esperar que algunas de las propiedades de la adicion, sean

20Inicialmente usaremos el signo x para indicar una multiplicacion, el mismo que fue empleadopor William Oughtred en Inglaterra, en 1631.

21La multiplicacion es una operacion elaborada, los griegos usaban la tabla pitagorica queconocıan antes de Pitagoras. Los babilonios empleaban tablas de cuadrados, y para los romanosla operacion era lenta y trabajosa.

57


heredadas por la multiplicacion? Si observamos muchas multiplicaciones notamosque se tienen las propiedades:

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2.2.3.1.1. Propiedad asociativa

Verifique que la multiplicacion tiene la propiedad asociativa.

2.2.3.1.2. Propiedad conmutativa

¿No le parece extrano que la multiplicacion sea conmutativa? Como es posibleque sea lo mismo colocar 17 veces el 35 y adicionar, que colocar 35 veces el 17 yadicionar? Pareciera que las dos adiciones nada tuvieran en comun. Sin embargoverifique que la multiplicacion es conmutativa sin importar la base en que seaefectuada. Proponga una explicacion para esta propiedad.

2.2.3.1.3. Existe un elemento identico para la multiplicacion

El numero 1 tiene un comportamiento particular en los numeros naturalescuando se multiplica con los demas, si aplicamos la definicion de multiplicacion22

obtenemos de manera natural que

n × 1 = n

Como en ocasiones anteriores, si queremos preservar la propiedad conmutati-va para la multiplicacion, debemos convenir que 1 multiplicado por cualquiernumero tambien da como resultado el mismo numero; simbolicamente lo escribi-mos

1 × n = n

en donde la letra n puede ser reemplazada por un numero cualquiera, aunque,como ya hemos dicho, no se puede efectuar una adicion con un solo numero.

Tambien convenimos23 que

0 × n = 0

si queremos que la multiplicacion se mantenga conmutativa en todos los casos,puesto que n veces adicionado 0, sı es 0.

22Algunas veces se usa el sımbolo x (no cursiva) para denotar multiplicacion; en otras oca-siones el punto, y cuando no hay lugar a confusion no se escribe signo alguno.

23Este resultado se puede obtener de otras formas cuando hayamos estudiado un poco masa fondo las propiedades de las operaciones adicion y multiplicacion.

59


2.2.3.1.4. Propiedad distributiva de la multiplicacion respecto a laadicion

Otra propiedad que resulta muy util para simplificar los algoritmos de multi-plicacion es que si multiplicamos un numero por la suma de otros dos, el resultadoes el mismo que adicionar los resultados de los productos del primero con cadauno de los sumandos; en sımbolos podemos expresar esto escribiendo:

Si a, b, c representan numeros naturales cualesquiera, entonces

a × (b + c) = a × b + a × c

Podrıamos visualizar un poco esta propiedad, pensando en la siguiente adicion:

4 × (3 + 5) = (3 + 5) + (3 + 5) + (3 + 5) + (3 + 5)

= (3 + 3 + 3 + 3) + (5 + 5 + 5 + 5)

= 4 × 3 + 4 × 5

o justificarla geometricamente con:

= +4 4 4

3 35 5

Figura 3

O con una distribucion espacial de puntos:

3 × ( 4 + 3 )

+4 3

=

= ( 3 × 4 )

+

( 3 × 3 )

4 3

� � � �

� � � �

� � � �

� � �

� � �

� � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � �

� � �

� � �

El procedimiento mas conocido para la multiplicacion en base 10 se deriva dela propiedad distributiva de la multiplicacion con respecto a la adicion (explique)y es adaptable para multiplicar en cualquier base.

La tabla de multiplicar en base 5 es:

60


BASE 5

× 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 11 13

3 0 3 11 14 22

4 0 4 13 22 31

La tabla de multiplicar en base 12 tiene algunas curiosidades:

BASE 12

× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

2 0 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A

3 0 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29

4 0 4 8 10 12 18 20 24 28 30 34 38

5 0 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47

6 0 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56

7 0 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65

8 0 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74

9 0 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83

A 0 A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92

B 0 B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1

Ejercicios

1. Verifique la propiedad distributiva de la multiplicacion respecto a la sus-traccion.

2. Observe y describa algunas regularidades de la tabla 6.

61


3. Compare esta tabla con la de la base 10. Observelas y encuentre regulari-dades entre los numeros escritos en base 12 que sean multiplos de 2, conel fin de determinar algunos criterios de divisibilidad por 2. De manerasimilar, establezca criterios de divisibilidad por 3, 4, 6, 12, en base 12.

4. Coloque parentesis para que obtenga una igualdad

5,9,5 + 2 − 8,3 + 1 = 22

5. Resuelva el siguiente acertijo en base 7.

� � �× 6 6 6

� � � ��

� � � �4 5 � � � 4

6. Invente un algoritmo para resolver este problema con factores de una solacifra.

7. ¿En que base esta 31 = 2 × 17?

8. ¿Intuye alguna relacion entre las propiedades de la adicion y las de la mul-tiplicacion? Elabore una argumentacion que explique estas en terminos deaquellas.

9. En el papiro de Rhind24, un manual de antiguas matematicas egipcias, es-crito alrededor de 1700 A.C., se describe una forma sumativa de multiplicar.

24El mas antiguo de los papiros egipcios que data aproximadamente de la dinastıa doce(2000-1788 a. C.), el papiro de Moscu, se halla en el British Museum de Moscu. El papiro deRhind, que se conoce tambien como papiro de Ahmes, por el nombre de su autor, tiene 30 cmde alto y 6 cm de largo, fue comprado en 1858 en una ciudad del Nilo por el escoces HenryRhind, del cual se deriva su nombre.

En ellos aparecen los conocimientos que sobre aritmetica poseıan los egipcios, el sistema denumeracion y algunas operaciones. Los papiros contienen problemas y soluciones, 85 en papiroRhind y 25 en el papiro de Moscu.

62


Para multiplicar, por ejemplo, 25 × 27 se hace lo siguiente25:

• 1 vez 27 es 27

2 veces 27 son 54

4 veces 27 son 108

• 8 veces 27 son 216

• 16 veces 27 son 432

Los numeros marcados en la primera columna suman 25, por lo tanto 25veces 27 se obtiene de adicionar los numeros correspondientes en la ultimacolumna.

Este procedimiento nos sugiere un metodo para multiplicar en base 2:

Sabemos que para multiplicar por dos, un numero en base 2, basta agregarun 0; ası si queremos multiplicar 1 1 0 1 1 que corresponde a 27 en base10, por 25 (en base 10), basta copiar:

• 1 vez 27 es 11011

2 veces 27 son 110110

4 veces 27 son 1101100

• 8 veces 27 son 11011000

• 16 veces 27 son 110110000

y adicionamos los valores senalados, obteniendo 1010100011.

Quiza el metodo no sea tan practico o inteligente para un humano de estaepoca, pero existen unos “tontos utiles ”que no les preocupa hacer cuentaslargas con tal que solo sean con 0 y 1.

Con base en lo expuesto, escriba un algoritmo para multiplicar numeros enbase 2. ¿Puede extenderlo a otras bases?

1. En algunos pueblos de Rusia multiplican utilizando un procedimiento queno requiere el uso de las tablas de multiplicar, este es:

25NEWMAN, J., Sigma El mundo de las matematicas, vol I, Ed. Grijalbo, Barcelona, 1994,p. 97.

63


a) Los factores se colocan uno frente al otro.

b) Al factor ubicado en el lado izquierdo se divide entre 2 sucesivamentehasta que el cociente sea 1; los cocientes obtenidos en el transcurso seescriben uno debajo de otro.

c) El factor de la derecha se duplica repetidamente hasta que el numerocorrespondiente en la izquierda sea 1.

d) Se tachan o senalan en la columna de la derecha los numeros cuyoscorrespondientes, en la columna izquierda, sean pares.

e) Se adicionan las cantidades no tachadas; este es el producto buscado.

Por ejemplo, multipliquemos 18 × 7:

18 7 *9 144 28 *2 56 *1 112

126

Proponga una explicacion de este procedimiento. ¿Es valido en otras bases?

2. Los arabes, desde el siglo X, usaban un metodo para multiplicar que llam-aban el “metodo de las casas ”, que se podrıa representar de la siguientemanera:

Los numeros que vamos a multiplicar se colocan en la parte superior deun cuadrilatero dividido en cuadrados; en cada uno de ellos se escribe elproducto de cada una de las cifras de uno de los factores por cada una delas cifras del otro factor y luego se adicionan en diagonales empezando porlas unidades de 49.

987

987

81 72 63

72 64 56

63 56 49

< 987 × 9 >

< 987 × 8 >

< 987 × 7 >

64


Como la adicion en diagonales algunas veces causaba problemas, autoresarabes como Ibn al- Bana (fallecido en 1321) y Al-Kashı (fallecido en 1429)propusieron trazar diagonales en cada cuadrado para que el metodo fueramas seguro.

De aquı surge un metodo para multiplicar26 llamado gelosia o graticola, de-bido a Luca Pacioli, con este metodo la anterior multiplicacion se efectuarıaası:

Inicialmente se disponen los numeros alrededor de un cuadrilatero divididoen cuadrados en los que se inscriben los totales (a uno y otro lado delas diagonales, orientadas de acuerdo con la posicion de los numeros departida), como en la figura 5:

3 6 96 5 4

2 4 67 6 5

1 2 38 7 6

9 8 7

9

7

4

9

8

7

Figura 5

La adicion de numeros en diagonal, empezando por el cuadrado inferiorderecho, da el producto 974169, que se inscribe en los lados libres de lagelosia27.

Explique por que este procedimiento funciona. Haga ejemplos en otras bases.

3. Un procedimiento para multiplicar28, llamado castellucio, tambien de LucaPacioli, que puede considerarse como un antecesor de la forma moderna,

26GOLDSTEIN, C., Mundo cientıfico, vol.15, No. 161, oct. 1995.27Esta palabra designaba el entramado de madera o hierro que, como el mucharabiah arabe,

permite ver sin ser visto desde el interior de una casa y protege el pudor de las mujeres.28GOLDSTEIN, C., op cit., p. 47

65


se ilustra en la siguiente figura, multiplicando 9876 por 6789:

9 8 7 6 6

6

6 7 8 9 1

6 1 1 0 1 0 0 0

5 4 3 1 2 0 0

4 7 5 2 3 0

4 0 7 3 4

6 7 0 4 8 1 6 4

Explique por que este procedimiento funciona. Haga ejemplos en otras bases.

2.2.4. Division

29

Si conocemos el resultado de un producto pero ignoramos alguno de los fac-tores, es posible hallarlo mediante una division30; el factor desconocido lo lla-mamos cociente31, que representamos con la letra c; el factor conocido lo lla-mamos divisor y lo representamos con la letra d; el resultado del producto lollamamos dividendo y lo notamos con la letra D. Dicho de otro modo, si D÷d = ces porque c × d = D

La division de D (dividendo) entre d (divisor) con cociente c, se puede indicarde uno de los tres modos siguientes32:

29Como la sustraccion, la division no es una operacion entre numeros naturales, en el sentidomoderno de la palabra, pues no toda division entre numeros naturales tiene como resultado unnumero natural; pero de nuevo esto no nos causa problemas para nuestros propositos actuales.

30La division es la mas compleja de las “operaciones ”de la aritmetica, por lo que su aparicionfue un poco tardıa. Babilonios e hindues fueron los primeros en conocerla. Los metodos actualespara resolver la division se derivan de los hindues, quienes disponıan en una mesa de arena loselementos de la operacion; dividendo, divisor, cociente y residuo. Estos conocimientos fuerontransmitidos a Europa por los arabes; Leonardo de Pisa los expuso en 1202 en Italia.

31Etimologicamente la palabra cociente significa, cuantas veces.32Los arabes indicaron la division en forma de fracciones; Rahn empleo el signo (÷) para la

66


D ÷ d = cD d

c

D

d= D�d = c

Por supuesto, tambien se tiene que si D ÷ d = c, entonces D ÷ c = d.

Esta clase de division se llama exacta, se dice tambien que el dividendo esmultiplo del divisor.

Como ya dijimos, las operaciones de multiplicacion y division exacta no sonindependientes, hay relaciones entre ellas, analogas a las que existen entre laadicion y la sustraccion, que tambien, en este caso, se utilizan como mecanismode prueba para verificar si efectuamos alguna de ellas de manera correcta. Lastres escrituras siguientes expresan exactamente lo mismo:

a × b = c es lo mismo que c ÷ b = a o tambien c ÷ a = b

ası, para probar si la division c ÷ a = b esta bien efectuada, basta multiplicara × b y obtener como resultado c.

2.2.4.1. Propiedades de la division

Al igual que la sustraccion, la division no es conmutativa y no es asociativa,pero sı, se cumple parcialmente la propiedad distributiva de la division respectoa la adicion si la division esta a la derecha de la suma.

2.2.4.1.1. Propiedad distributiva a derecha de la division respecto ala adicion

Si a, b, c representan numeros naturales cualesquiera, entonces

(a + c) ÷ b = (a ÷ b) + (c ÷ b)

division en un libro publicado en 1669, indicando que el punto encima de la lınea da la posiciondel dividendo o numerador de una fraccion y el punto por debajo de la lınea, la del divisor odenominador.

En 1202, Leonardo de Pisa (Fibonaci, hijo de Bonaci ) introdujo el uso de la raya horizontalentre los numeros para indicar la division (tomado de los textos arabes). En 1684, Leibnitzintrodujo como signo de division los dos puntos (:) usado actualmente en muchos paıses.

67


en palabras, si tenemos la suma de dos numeros dividida entre un numero, elresultado equivale a adicionar los resultados de las divisiones de cada sumandocon el divisor dado; o escrito de una manera mas usual, ası:

a + b

c=

a

c+

b

c

Pero debemos tener cuidado, porque si la suma esta a la derecha de la divisionla igualdad ya no se tiene, o sea que no se cumple:

b÷ (a + c) = (b ÷ a) + (b÷ c)

o de otra forma

b

a + c�= b

a+

b

c

por ejemplo:

24 ÷ (6 + 2) �= (24 ÷ 6) + (24 ÷ 2)

24 ÷ 8 �= 4 + 12

3 �= 16

2.2.4.2. Ecuaciones de la forma ax = b

Como en el caso de la adicion y la sustraccion, estas relaciones se utilizantambien para encontrar alguno de los numeros que no estan escritos en una mul-tiplicacion o una division; por ejemplo, si queremos averiguar cual es el numeroque multiplicado con 35 7 nos da como resultado 453 7, debemos escribir estamultiplicacion en otra de sus formas equivalentes y obtener el numero buscadocomo el resultado de otra operacion.

En nuestro ejemplo, representemos con la letra x el numero buscado; la mul-tiplicacion33 es:

35 7 • x = 453 7

que puede escribirse,453 7 ÷ 35 7 = x

33En este caso, por ejemplo, no es aconsejable usar × para denotar la multiplicacion, por laposible confusion con el numero buscado x.

68


de donde vemos que para hallar x debemos efectuar la division y este proceso yalo sabemos hacer; el resultado es 12 7. Para probar que el resultado es correcto34

multiplicamos 35 7 • 12 7 y obtenemos 453 7

Ejercicios

1. Construya algunos ejercicios escribiendo productos y divisiones donde unode los numeros no esta escrito de manera explıcita35, hasta que el procesosea natural para usted.

2. Si a partir del 37 ( en base 10 ) multiplicamos por multiplos de 3 obtenemos

37 × 3 =111

37 × 6 =222

37 × 9 =333

37 × 12 =444

37 × 15 =555

37 × 18 =666

37 × 21 =777

¿Existen otro par de numeros que nos den los mismos resultados?

3. Observe la siguiente secuencia de hechos curiosos e intente encontrar unaregularidad:

i. En base 3 el numero 2 multiplicado por sus dos primeros multiplos(exceptuando el cero) da 11 y 22 respectivamente:

2 × 2 = 11

2 × 11 = 22

34Seguramente ya noto que casi todas las ideas (y hasta las palabras) coinciden con la seccionsobre relaciones entre la adicion y la sustraccion, lo que dice que no estamos aprendiendo cosasnuevas; los dos procesos son esencialmente el mismo.

35Un detalle importante es que el punto de partida es un producto o una division dondeescondemos un numero con el proposito de hallarlo despues; no estamos hablando de encontrarun numero que multiplicado por otro nos de un resultado establecido de antemano, porqueposiblemente dicho numero no exista. Por ejemplo, en base 10, no existe un numero naturalque multiplicado por 3 nos de como resultado 8. Debemos estar seguros de que la solucionexiste; es decir, que es un numero natural, si no fuera ası no podrıamos aplicarle las reglas queestablecemos para ellos.

69


ii. En base36 4 el numero 13 multiplicado por 3 o por un multiplo de 3(exceptuando el 0), da como producto un numero formado por trescifras iguales al multiplo de 3 utilizado; ası:

13 × 3 = 111

13 × 12 = 222

13 × 21 = 333

iii. . En base 5 el numero 124 multiplicado por 4 o por sus multiplos(menos el cero), da como producto un numero formado por cuatrocifras iguales al multiplo de 4 utilizado:

124 × 4 = 1111

124 × 13 = 2222

124 × 22 = 3333

124 × 31 = 4444

iv. En base 6, al multiplicar 1235 por 5 o por sus multiplos (desde 1hasta 5), se genera como producto un numero de cinco cifras igualesal multiplo de 5 utilizado, ası:

1235 × 5 = 11111

1235 × 14 = 22222

1235 × 23 = 33333

1235 × 32 = 44444

1235 × 41 = 55555

v. En base 12 si multiplicamos 123456789B por B o por sus multiplos(multiplos tomados desde 1 hasta B) encontramos como producto unnumero de once cifras iguales al multiplo de B usado, verifıcalo:

123456789B ×B = 11111111111

123456789B × 1A = 22222222222

36Desde ahora se omitira el subındice que senala la base en la cual estamos trabajando,debido a que esta se explıcita en el subtıtulo.

70


Son todos los que estan pero no estan todos los que son, porque en base 7podemos obtener la siguiente tabla:

202 × 4 = 1111

202 × 11 = 2222

202 × 15 = 3333

202 × 22 = 4444

202 × 26 = 5555

202 × 33 = 6666

que no es de la misma forma que venıamos observando.

¿En que bases podemos elaborar una tabla con la caracterıstica de la ante-rior?, ¿cuando es posible, de cuantas maneras diferentes puede hacerse?

4. En una seccion anterior observamos que el orden de los numeros naturalespuede definirse utilizando la adicion. Con un procedimiento analogo definaun nuevo orden, pero en este caso utilice la multiplicacion. Estudie losconjuntos de numeros que son “mas grandes”que un numero dado. ¿Hayelementos comunes en estos conjuntos cuando se escogen como inicialesnumeros distintos?

2.2.4.3. Un procedimiento para la division

La idea fundamental, cuando intentamos dividir una cantidad entre otra es,como dijimos en capıtulo 1, repartir la primera cantidad en grupos que tenganla segunda cantidad, y esto no siempre es posible hacerlo de manera exacta,generalmente sobra un residuo; ¿como procedemos para efectuar dicha reparticionen este caso, si las cantidades estan escritas en una base cualquiera? Antes deseguir intente encontrar una manera propia.

Para construir un algoritmo para efectuar divisiones en una base cualquiera,podemos utilizar dos ideas: la suposicion de que la base 10 nada tiene de especialcon respecto a las otras y el conocimiento que tenemos desde la escuela paradividir en base 10. Si este procedimiento sirve para base 10 debe servir paracualquier base. Podemos describirlo ası:

1. Tomamos tantas cifras de la izquierda del dividendo como cifras tenga eldivisor. ¿Por que?

71


2. Si el divisor es menor o igual que el formado con las cifras tomadas deldividendo, entonces:

2.1. Buscamos un numero que multiplicado por el divisor quede lo masproximo posible a el, sin sobrepasar el numero formado por las cifrastomadas en el dividendo; este numero hace parte del cociente. ¿Porque?

2.2. Multiplicamos el numero que encontramos por el divisor y lo sustrae-mos de las cifras tomadas del dividendo. ¿Por que?

2.3. Tomamos el resultado de esta sustraccion (residuo), le colocamos a laderecha la cifra que sigue a las tomadas en el dividendo y repetimosel paso 2. ¿Por que?

3. Si el numero formado por las cifras tomadas del dividendo es menor que eldivisor, tomamos una cifra adicional en el dividendo y efectuamos el paso 2.Cuando no haya mas cifras disponibles en el dividendo termina el proceso.

Ejemplo

En base 8 queremos dividir 54706 entre 723

Iniciamos en el paso 1, como 547 es menor que 723, segun el paso 3, debemosencontrar un numero que multiplicado por 723 nos quede lo mas proximo posiblea 5470, sin sobrepasarlo.

Un posible numero es el que multiplicado por 7 nos aproxime por defecto a54; es decir, 6, puesto que

7 × 6 = 52

Ahora debemos multiplicar

6 × 723 = 5362

resultado que debemos sustraer de 5470 para obtener como residuo 106 y primeracifra del cociente 6.

Enseguida colocamos a la derecha de 106 la cifra 6, obteniendo 1066 comonuevo dividendo.

72


Repetimos el proceso y conseguimos como resultado final un cociente de 61y como residuo 143.

Ejercicios

1. Reemplace cada cuadro por el numero que corresponda para que la divisionsea correcta en base 7.

� � � 5 6

� � � �

� �

� 6

0

Invente un algoritmo para resolver este problema con divisores de una solacifra.

2. En base 10 se tiene:

1 × 8 + 1 = 9

12 × 8 + 2 = 98

123 × 8 + 3 = 987

1234 × 8 + 4 = 9876

12345 × 8 + 5 = 98765

123456 × 8 + 6 = 987654

Construya una tabla semejante en base 7

3. En base 10 se tiene:

1 × 8 + 1 = 9 = 32

3 × 8 + 1 = 25 = 52

6 × 8 + 1 = 49 = 72

10 × 8 + 1 = 91 = 92

73


4. . (Tomado de Caro37) Durante la primera guerra mundial (1914 - 1918), losingleses distribuıan carbon a diferentes lugares del Reino Unido. A uno desus municipios llegaron una vez 28 toneladas con instrucciones de repartir-las equitativamente entre 7 corregimientos. El alcalde, un hombre rudo eignorante, junto con el concejo, decidio dividir 28 entre siete; esta funcionle correspondıa al secretario, quien efectuo la operacion de esta manera:

2 8 7

2 1 1 3

0

“Siete en ocho cabe una vez; uno por siete es siete, a ocho, uno; bajo el 2;siete en 21 cabe 3 veces; 3 por 7 es igual a 21, a 21, cero”. Un concejal dijo,“una division se prueba mediante una multiplicacion y esta se hace ası”:

13

7

7

21

28

y dijo: “siete por una siete; siete por 3, 21 y 7 mas 21 da 28. No hay dudade que la division esta bien hecha”

Pero un campesino estimo: “La multiplicacion es una adicion repetida”. Ycolocando el numero 13 siete veces, sumo subiendo por la columna de la

37CARO, V., op. cit. p. 254.

74


derecha y descolgandose por la izquierda, ası:

13

13

13

13

13

13

13

28

“3 y 3, 6; y 3, 9; y 3, 12; y 3, 15; y 3, 18; y 3, 21; y 1, 22; y 1, 23; y1, 24; y 1, 25; y 1, 26; y 1, 27; y 1, 28”. Entonces a cada corregimiento lecorrespondieron 13 toneladas de carbon. Si hay errores ubıquelos y expliquepor que son errores. Plantee una situacion similar en otra base.

2.2.4.4. Ecuaciones de la forma ax + b = c

Cuando una division no es exacta; es decir, queda un residuo distinto de cero,existe una relacion entre los terminos de ella, que tambien se usa para probar sifue realizada de manera correcta. Si escribimos D para el dividendo, d para eldivisor, c para el cociente y r para el residuo, la relacion es naturalmente38 :

D = d × c + r

Con lo que hemos aprendido hasta ahora, deberıamos estar en capacidad deencontrar uno de los numeros que participan en la relacion si conocemos todoslos demas, esto es resolver ecuaciones de la forma ax+b = c, o de las otras formasque ya hemos resuelto.

Ejercicios

1. Proponga y resuelva ecuaciones de la forma

ax + b = c

38Esta relacion es conocida como el algoritmo de la division.

75


2. Reemplace las letras por dıgitos para que las operaciones resulten correctasen base 10. ¿Es posible una solucion en base 9?, ¿solo una?

A B C D E

× 4

E D C B A

3. Al multiplicar el numero 2178 por 4 en base 10 se invierte; es decir, elresultado es 8712. Encuentre un numero de 4 dıgitos que al multiplicarlopor 9 se invierta. Repita el ejercicio en otra base.

2.3. Ecuaciones con dos variables

Hasta ahora hemos resuelto ecuaciones del estilo a + x = b, a − x = b,x− a = b, ax = b, a/x = b y x/a = b; con a y b numeros naturales, en diferentesbases numericas siempre que estas tienen solucion dentro del conjunto de losnumeros naturales. Si observamos estas ecuaciones, notamos que en cada unade las igualdades no conocemos un numero, ¿como resolvemos ecuaciones en lascuales desconozcamos dos numeros? Es decir, que estrategias proponemos paradar solucion a ecuaciones como:

x + y = 32

donde x, y y 32 son numeros en base 7.

Una idea natural consiste en dar valores a x y resolver la ecuacion de unasola variable y, ası:

Si x = 1, entonces

1 + y = 32

o sea

y = 31.

Si x = 5, entonces

5 + y = 32

76


o sea y = 24.

Y ası sucesivamente para cada valor de x encontramos un valor para y, comolo muestra la siguiente tabla.

x 0 1 2 3 4 5 6 10 · · · 26 30 31 32

y 32 31 30 26 25 24 23 22 · · · 3 2 1 0

Pero, ¿es aplicable el metodo en cualquier ecuacion de la forma:

ax + by = c , donde a, b, c son numeros naturales?

Estudiemos otro ejemplo en busca de formular alguna conjetura. En basesiete, resolvamos la ecuacion:

3x + 5y = 126

Iniciemos proponiendo una solucion por tanteo, luego de varios intentos encon-tramos las siguientes soluciones:

(3, 15), (11, 12), (16, 6), (24, 3)y(32, 0)

donde hemos representado con (x0, y0) una solucion de la ecuacion propuesta.

Si hacemos una lista con las soluciones:

(3, 15)

(11, 12)

(16, 6)

(24, 3)

(32, 0)

Observamos que los numeros que ocupan el lugar de x0 van aumentando de cincoen cinco: 3 + 5 = 11, 11 + 5 = 16, 16 + 5 = 24, 24 + 5 = 32, 5 es el numeroque multiplica a y; en cambio, los numeros que ocupan el lugar de y0 disminuyende tres en tres: (15 - 3 = 12, 12 - 3 = 6, 6 - 3 = 3, 3 - 3 = 0) y 3 es el numeroque multiplica a x, ¡como ya lo debio notar! Analogamente sucede con la primeraecuacion que tratamos. Conjeturamos que:

77


Si (x0, y0) es solucion de ax+ by = c, donde a, b, y c son numeros naturales,entonces (x0 + b, y0 − a) o (x0 − b, y0 + a) es tambien, solucion de la ecuacionsiempre que y0 − a o y x0 − b sean numeros naturales.

Esta afirmacion la podemos demostrar de la siguiente manera (solo demostraremosla primera parte, la otra queda como ejercicio para el lector)

Prueba:Como (x0, y0) es solucion de ax + by = c; se cumple que :

ax0 + by0 = c

Haciendo uso de la propiedad modulativa de la adicion entre numeros naturalesy del convenio correspondiente a que 0 = ab − ab; se tiene:

ax0 + by0 + (ab− ab) = c

Aplicando ahora la propiedad asociativa y conmutativa de la adicion; tenemos:

ax0 + (ab + by0) − ab = c

Asociando nuevamente,

(ax0 + ab) + (by0 − ab) = c

Conmutando ab y utilizando la propiedad distributiva de la multiplicacion re-specto a la adicion y a la sustraccion, esta ultima, solo si y0 − a es un numeronatural; se concluye que:

a(x0 + b) + b(y0 − a) = c

Lo cual significa que (x0+b, y0−a) es tambien solucion de la ecuacion inicialmentedada.

2.3.1. Representacion grafica de las soluciones

Podemos obtener otra representacion de las soluciones de las ecuaciones queestamos considerando, si dibujamos un par de semirrectas con origen comun en

78


un punto O de un plano formando un angulo39 α; a partir del origen en cadasemirrecta se elige un punto denominados A y B respectivamente, los segmentosdeterminados OA y OB se utilizan como unidades de medida y los puntos A y Brepresentan el numero 1 en cada semirrecta, luego se replica cada uno de estossegmentos en la semirrecta correspondiente para obtener representaciones de losnumeros naturales.

Si en una semirrecta dibujamos los valores de x y en la otra los de y, unasolucion de la ecuacion ax+ by = c; la representamos con una pareja de numerosnaturales (x0, y0) que en el plano corresponde a la interseccion de las rectasparalelas40 a cada una de las semirrectas dadas trazadas desde los puntos x0 , y0.

En el caso de nuestro ultimo ejemplo, las soluciones de la ecuacion

En el caso de nuestro ultimo ejemplo, las soluciones de la ecuacion

3x + 5y = 126

estan dadas por los puntos

(3, 15), (11, 12), (16, 6), (24, 3) y (32, 0)

que representamos graficamente:

39Generalmente, se escoge un angulo recto pero esta condicion no es necesaria.40Esta condicion tampoco es necesaria; pueden escogerse rectas perpendiculares, o de otra

forma.

79


� � � � � � � � � � � � ��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

2 4 6 11 13 15 20 22 24 26 31 33

1

2

3

4

5

6

10

11

12

13

14

15

16

x

y

�

�

�

�

�

(3, 15)

(11, 12)

(16, 6)

(24, 3)

(32, 0)

3x + 5y = 126

Observamos que todos los puntos resultan colineales.

Ejercicio

1. Halle las soluciones de las siguientes ecuaciones y grafıquelas, ¿que encuen-tra?:

a) 4x − 3y = 1, en base cinco.

b) 12x − y = 20, en base seis.

c) 2y − 5x = 245, en base seis.

2. Con base en los resultados obtenidos en 1, haga una conjetura en la quedetermine como encontrar las soluciones de una ecuacion de esta formadada una solucion, e intente probarla.

3. Explique como encontrar una ecuacion dadas dos soluciones de este. De-termine un procedimiento general.

80


Si tenemos una lista de soluciones de una ecuacion desconocida como la sigu-iente, es posible determinar la ecuacion sin recurrir a un procedimiento especıfico.Veamos:

x 1 2 3 4 5 6 · · · 17 · · · N

y 7 11 15 19 23 27 · · · ? · · · ?

¿cual es el valor que le corresponde a y cuando x es 17? Observando la tablaencontramos una relacion entre los valores de x y y:

Si x = 2 entonces y = 7 + 4 = 11Si x = 3 entonces y = 7 + 4 + 4 = 7 + 2(4) = 15Si x = 4 entonces y = 7 + 4 + 4 + 4 = 7 + 3(4) = 19

Si x = 17 entonces y = 7 + 16(4) = 71

Luego, la ecuacion que determinan estas soluciones es: y = 7+(x−1)4 = 4x+3

Al graficar las soluciones obtenemos:

� � � � � � � � � � � ��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

x

y

�

�

�

�

y = 4x + 3

Vemos que el corte de la semirrecta con el eje y es 3.

81


Si hacemos la grafica de una ecuacion de la forma y = mx + b, observamosque el corte de la grafica de la ecuacion con el eje y es b, pues x = 0.

Ejercicios

1. Plantee ecuaciones con dos variables y grafique las soluciones.

2. Estudie el significado de los cambios en m y en b en la grafica de las solu-ciones de las ecuaciones de la forma y = mx + b.

2.4. Cambios de base

En lo hecho hasta ahora, hemos enfatizado que un mismo numero puedeser representado con distintos sımbolos en sistemas numericos diferentes o consımbolos iguales en distintas bases. Debemos desarrollar un procedimiento paracambiar de una base a otra, para poder traducir informacion entre bases.

En la escuela, para cambiar de una base a otra cualquiera, se acostumbrapasar por la base 10, por familiaridad con ella, pero en realidad esto no es nece-sario.

Si queremos pasar un numero que esta en base 4 a base 7, lo natural es hacergrupos de 7 unidades, luego grupos de 7 septenas, con los resultantes grupos de7 biseptenas, etc. Es decir, hacer divisiones sucesivas por 7, pero escribiendo 7en base 4 o sea 1 3.

Ejemplos

1. Para pasar 84 en base 10 a base 2, hacemos divisiones sucesivas y obten-emos:

8 4 20 4 4 2 2

0 0 2 1 21 1 0 2

0 5 21 2 2

0 1

82


Por lo tanto, 84 en base diez corresponde a 1010100 en base dos. (Hemosresaltado los residuos en cada una de las divisiones y el ultimo cocientepara facilitar la lectura).

2. Pasar el numero 322 de base 4 a base 7.

a) Dividimos sucesivamente 322 por 7, con el cuidado de escribir esteultimo en base 4; es decir, 13.

3 2 2 1 3- 3 2 2 0 1 3

0 2 -1 3 1- 0 0 1

2

b) Escribimos el primer residuo como cifra de las unidades, el segundocomo cifra de las septenas, y ası sucesivamente hasta terminar con elultimo cociente. En nuestro caso el numero 322 en base 4 correspondeal numero 112 en base 7.

Describiremos otro procedimiento para cambiar de base, usado frecuentementecuando se quiere pasar de una base cualquiera K a base 10, pero que tambienpuede usarse para pasar de una base a otra cualquiera, cambiando el 10 por laotra base.

1. Se escribe el numero en base K.

2. Se multiplica cada una de sus cifras (escritas en base 10) por el valor de laposicion que ocupan (tambien escrito en base 10) y se expresa el resultadoen base 10.

3. Se adicionan los resultados anteriores y el total es el numero en base 10.

Ejemplo

Para pasar el numero 1023 de base 5 a base 10, debemos escribir en base 10,el resultado de:

1 × 53 + 0 × 52 + 2 × 5 + 3 × 1

esto es

125 + 0 + 10 + 3 = 138.

83


Y si queremos pasarlo a base 8 el resultado es

175 8 + 0 8 + 12 8 + 3 8 = 212 8

Este procedimiento para cambiar de base utiliza multiplicaciones y el anteriorutiliza divisiones; si estas son operaciones inversas, ¿como explica que se utilicenpara el mismo proposito?

Cuando un numero se escribe como la suma de los productos de cada una desus cifras por la potencia de la base que indica su posicion, se dice que el numeroesta escrito en forma polinomica.

Por ejemplo,

1101 2 = 1 × 10 112 + 1 × 10 10

2 + 0 × 10 2 + 1 × 1

En las representaciones posicionales, a diferencia de las demas, el cero, que estan util en la escritura de un numero en una base cualquiera, tambien aportadificultades. La primera de ellas es la imposibilidad de dividir por el, ya que silo hacemos introducimos contradicciones a nuestro sistema como se muestra acontinuacion.

2.5. Un problema logico: la division por 0

Si queremos repartir 0 cosas en cualquier numero de grupos, obviamente encada grupo van a quedar 0 cosas, esto significa que 0 dividido por cualquiernumero es 0.

Pero, ¿ que sucede con el problema inverso?; si queremos repartir 2 cosas en0 grupos, ¿cuantas cosas quedan en cada grupo?

Incluso si le damos la vuelta al problema y buscamos un numero (cociente)que multiplicado por otro (divisor) nos de como resultado el dividendo, nos vemosen dificultades, pues no existe ningun numero que multiplicado por 0 nos de 2.

Supongamos, por un momento, que no nos damos por vencidos e intentamosencontrar un numero x que resuelva el problema (este es otro truco muy usadopor los matematicos, sobre todo en Algebra); es decir, un x tal que:

2/0 = x

84


entonces se tendrıa que

x · 0 = 2

pero esto no puede ser porque

x · 0 = x · (0 + 0)

= x · 0 + x · 0

que puede escribirse como:

x · 0 = x · 0 − x · 0

de donde concluimos que

x · 0 = 0

y se tendrıa que

¡¡ 0 = 2 !!

lo que nos destrozarıa el corazon.

Una forma mas sutil de presentar las dificultades que implica dividir porcero, aparece en el siguiente falso razonamiento: supongamos que x e y son dosnumeros y que:

x = y

entonces, si multiplicamos ambos lados de la ecuacion por x, obtenemos

x2 = xy

Y si sustraemos en ambos lados y2 tenemos

x2 − y2 = xy − y2

escribiendo ambos miembros de la igualdad como productos conseguimos:

(x + y)(x− y) = y(x − y)

85


y dividiendo en ambos miembros de la ecuacion por (x− y) llegamos a que

x + y = y

y como x = y entonces

y + y = y

de donde

2y = y

y si suponemos que y es distinto de cero, podemos dividir por y, obteniendo que

¡¡ 2 = 1 !!

lo que es ridıculo.

En conclusion, la division por 0, introduce en matematicas contradiccionesque romperıan su coherencia logica interna; por lo tanto, debemos cuidarnos deefectuar tales divisiones. Por todas estas dificultades, no debemos infringir el

Primer mandamiento de la aritmetica:Nunca dividiras por 0

86

CAPITULO 3

LAS OPERACIONES SUPERIORESDE LA MATEMATICA

3.1. Potenciacion

La potenciacion1 es una operacion que consiste en repetir un numero2 llamadobase3 tantas veces como lo indique otro numero llamado exponente y multiplicarpara obtener un resultado que llamamos potencia.

Por ejemplo, en base 753 = 236

La base es 5, el exponente 3 y la potencia 236. Esta expresion significa que

5 × 5 × 5 = 236

1Los primeros que aplicaron la elevacion a potencia fueron los sacerdotes mesopotamicos,quienes empleaban una tabla de cuadrados para multiplicar dos numeros, restando el cuadradode su promedio, del cuadrado de su semidiferencia.

Los griegos estudiaban especialmente los cuadrados y cubos. Diofanto, siglo III (D.C), ideo lanotacion de las potencias escribiendo x, xx, xxx, etc, para expresar la primera, segunda, tercerapotencias de x. Renato Descartes (1596 - 1650), introdujo la notacion x, x2, x3, etc.

2En este contexto, la palabra numero hace referencia a los que hemos construido en elproceso de contar, sin importar su representacion, incluyendo el cero. Estos numeros los hemosllamado numeros naturales.

3La base de un sistema numerico y la base de la operacion potenciacion, naturalmente noson lo mismo y casi siempre el contexto en el que se usa aclara su sentido.

87


El exponente lo escribimos, segun la costumbre en la parte superior derechade la base.

Nuevamente, como en la multiplicacion, las expresiones a0, a1 no tienen sen-tido, pero para evitar mencionar siempre estas excepciones, convenimos en quepara todo numero natural a

a0 = 1, si a �= 0 y a1 = a

Esto, para preservar las leyes que gobiernan la potenciacion, que enunciaremosenseguida.

3.1.1. Propiedades de la potenciacion

Es facil verificar que se tienen las siguientes propiedades elementales:

1. ax · ay = ax+y

2.ax

ay= ax−y (si a �= 0 y x ≥ y)4

3.(ax

)y= axy

Las dos primeras igualdades son consecuencias directas de la definicion, puestoque si repetimos x veces a y multiplicamos, este resultado lo multiplicamos pory veces a, naturalmente la a aparece repetida x + y veces en la multiplicacion.

Similarmente, en la division del producto de x veces a entre el producto de yveces a, siempre que a no sea 0 y que x sea mayor o igual que y, por cada a del

dividendo quitamos una del divisor, puesto quea

a= 1, nos quedan x− y veces a.

La tercera igualdad se deduce facilmente de la primera.

Por otra parte, si x = y en la ecuacion 2, entonces

1 =ax

ay= ax−y = a0

Observe el comportamiento del 0 y del 1 en estas propiedades5.

4La segunda condicion es necesaria para que la sustraccion tenga sentido.5Notemos que la expresion 00 no se ha definido, pues la propiedad 2 no es valida para a = 0.

88

LAS OPERACIONES SUPERIORES DE LA MATEMATICA

3.1.1.1. La Potenciacion no es conmutativa

Existe una analogıa evidente entre el proceso de construccion de la multipli-cacion a partir de la suma y de la potenciacion a partir de la multiplicacion. Lasuma es conmutativa y la multiplicacion tambien, ¿no le parece extrano que lapotenciacion no sea conmutativa, proviniendo de una operacion conmutativa?

Ejercicio

Construya ejemplos de potenciacion y trate de averiguar por que ella no esconmutativa.

3.1.1.2. La Potenciacion no es asociativa

La potenciacion tampoco es asociativa como lo muestra el siguiente contrae-jemplo, en base 8: (

32)3 �= 3(23)

En el primer caso tenemos 11 como base y 3 como exponente lo que nos da 1331;la segunda expresion tiene 3 como base y 10 como exponente, lo que da porresultado 14641.

3.1.1.3. Propiedad distributiva de la potenciacion con respecto a lamultiplicacion

Ya hemos dicho que la potenciacion tiene parecido en su construccion conla multiplicacion, este comportamiento puede llevarse aun mas lejos. La mul-tiplicacion es distributiva con respecto a la suma, en la que tuvo su origen, yla potenciacion es distributiva con respecto a la multiplicacion; los argumentosson parecidos a los que esbozamos en el caso de la multiplicacion, por lo quedejaremos los detalles al lector interesado.

Lo anterior significa que si a y b son numeros naturales, entonces se tiene que:(ab

)n= anbn

es decir, que cuando queremos hacer la potencia n de un producto, basta multi-plicar las potencias n de los factores.

89


Ejercicio

Haciendo una analogıa con la multiplicacion, ¿es posible un razonamientogeometrico que explique la ley distributiva de la potenciacion con respecto a lamultiplicacion? Justifique su respuesta.

3.1.1.4. Propiedad distributiva de la potenciacion con respecto a ladivision

Aunque no lo dijimos explıcitamente, la multiplicacion es distributiva tambiencon respecto a la resta (cuando esta se pueda hacer), y por analogıa, podemosesperar que la potenciacion sea distributiva con respecto a la division, de lasiguiente manera: (a

b

)n

=an

bn

como en efecto se cumple, siempre que la division sea posible; es decir, que elresultado sea un numero natural y que el divisor no sea 0.

Ejercicios

1. Escriba un ejemplo donde se muestre que no se cumple la propiedad dis-tributiva de la potenciacion respecto a la suma, es decir:

No es cierto que(a + b)n = an + bn

2. La siguiente lista muestra ciertos numeros escritos en base 7; coloque en lacasilla � el numero en base 7 que corresponda para lograr en cada caso unaigualdad:

3 × 5 = �2 − 1

4 × 6 = �2 − 1

5 × 10 = �2 − 1

12 × 14 = �2 − 1

25 × 30 = �2 − 1

43 × 45 = �2 − 1

Escriba una lista similar en base 4. ¿Puede generalizarse esto a cualquierbase?

90


Repita el ejercicio con las siguientes listas:

En base 7

5 × 1 = �2 − 4

6 × 2 = �2 − 4

10 × 3 = �2 − 4

11 × 4 = �2 − 4

12 × 5 = �2 − 4

En base 10,

1 × 8 + 1 = 9 = 32

3 × 8 + 1 = 25 = 52

6 × 8 + 1 = 49 = 72

10 × 8 + 1 = 81 = 92

Encuentre un modelo general6.

3. Algunas tareas en matematicas pueden parecer muy dispendiosas y, sinembargo, su solucion puede obtenerse de manera relativamente sencilla siobservamos algunas regularidades. Por ejemplo: ¿cual es la cifra de lasunidades de 31999 si el numero esta escrito en base 10?, ¿y si esta en base9?, ¿ en otras bases?

Si observa la siguiente secuencia en base 10, es posible encontrar una pista:

31 = 3

32 = 9

33 = 27

34 = 81

35 = 243

36 = 729

37 = 2187

38 = 6561

6Los resultados obtenidos en estos ejercicios son identidades algebraicas, ellas son validasen cualquier base y para cualquier numero.

91


4. . Encuentre el numero de dıgitos de 412 × 520 escrito en base 10.

5. Encuentre un numero menor que 9, tal que aumentado en 1 da el doble deun cuadrado y cuyo cuadrado aumentado en 1 da otra vez el doble de uncuadrado. ¿El resultado depende de la base?

3.2. Radicacion

En la potenciacion participan como ya dijimos tres numeros: la base, el expo-nente y la potencia. Si existen (esta condicion es muy importante) tres numerosa, b y c, que satisfacen la relacion:

ab = c

y conocemos dos de ellos, podemos obtener el otro.

La operacion para determinar c conociendo a y b la hemos llamado poten-ciacion. El proceso7 que permite averiguar a conociendo b y c se llama radicaciony la escribimos con un nuevo sımbolo llamado signo radical, el numero c es lla-mado cantidad subradical, b es el ındice o grado de la raız y a es la raız b de c;en sımbolos8:

b√

c = a

Insistimos en que el significado de la expresion anterior es exactamente elmismo de la expresion

ab = c

Por ejemplo, en base 10 se tiene que

3√

64 = 4

significa que

43 = 64

El cero de nuevo ocasiona dificultades, pues

7Al igual que la sustraccion y la division, la radicacion no es una operacion entre numerosnaturales, pues no todas las raıces tienen solucion; aquı solo tratamos con las que la tienen.

8Cuando b = 2, es costumbre no escribirlo.

92


Si b = 0 y c = 1 no existe un unico numero a como resultado de la operacion,puesto que, a0 = 1 para todo a �= 0.

Si b = 0 y c �= 1 no existe un numero a tal que a0 = c. Esto significa que parael caso b = 0 la operacion no esta definida, o sea que

0√

c

no existe para ningun numero natural c �= 1 y para c = 1 no es unico.

Ejercicio

Para cualquier numero natural c ¿Que significa la expresion 1√

c?

3.2.1. Propiedades de la radicacion

Como la radicacion es solo otra forma de escribir la potenciacion, sus propiedades,pueden deducirse de las de aquella; por ejemplo, se tiene la:

3.2.1.1. Propiedad distributiva de la radicacion con respecto a la mul-tiplicacion

La raız n de un producto es el producto de las raıces n de cada uno de losfactores.

n√

(ab) = n√

an√

b

Esta propiedad es la correspondiente a

(ab)n = anbn

y se deduce de ella; veamos:

si llamamos w = n√

a y z = n√

b, tenemos que:

wn = a y zn = b,

por lo tanto

ab = wnzn

=(wz

)n

93


lo que significa que:

wz =n√

ab

o sea

n√

an√

b =n√

ab

Siempre y cuando las raıces existan; es decir, sean numeros naturales.

3.2.1.2. Propiedad distributiva de la radicacion con respecto a la di-vision

Analogamente sucede con la division

n

√a

b=

n√

an√

b

Resaltamos de nuevo que estas propiedades se cumplen solamente cuando lasraıces y los cocientes esten definidos, en particular que las raıces y los cocientessean numeros naturales y los divisores sean distintos de 0.

Es deseable que el lector se acostumbre a las distintas notaciones y ejerciteel transito de una a la otra, esto puede ayudarle mucho en su comprension. Paraello le sugerimos que verifique las siguiente propiedad:

n

√m√

a = nm√

a

Esta propiedad es analoga a la propiedad 3 de la potenciacion.

Ejercicio

¿Existen propiedades para la radicacion analogas a las propiedades 1 y 2 dela potenciacion? Justifique.

94


3.2.2. Calculo de raıces

Hemos presentado algunas propiedades de la radicacion, pero no tenemos,aun, metodo alguno para calcular raıces; por ejemplo, si quisieramos evaluar9

cuanto es5

√31446 (7)

estamos ante un problema que posiblemente no tenemos idea de como resolver.

Si traducimos el problema en terminos de potenciacion, lo que queremos esencontrar un numero x tal que

x5 = 31446 (7)

En esta forma, una primera instancia de solucion es ensayar con un numerocualquiera, lo elevamos a la quinta potencia, si nos da un resultado mas grandeque 31446 7 , ensayamos de nuevo con un numero menor y si nos da menor en-sayamos con uno mas grande. Este proceso puede ser demorado pero innegable-mente funciona.

3.2.2.1. Ecuaciones de la forma x2 = b

Ilustremos el procedimiento anterior mediante un problema mas simple, re-solvamos por ejemplo la ecuacion10:

2124 (5) = x2

Para encontrar x, observemos que el cuadrado de x termina en 4, lo que significaque la ultima cifra de x debe ser 2 o 3 y x debe ser de dos cifras, puesto que sucuadrado es de 4 cifras.

Con estas pistas podemos ensayar, por ejemplo, con x = 22 (5), en cuyo ca-

so obtenemos(22 (5)

)2= 2034 (5); como este resultado es inferior al buscado,

ensayamos con uno mayor, por ejemplo x = 32 (5) y obtenemos el resultado cor-recto.

9Hemos dicho que no toda raız de numeros naturales es un numero natural, por eso esnecesario estar seguros de que la solucion existe antes de plantear el ejercicio. Realmente loque hacemos es calcular una potenciacion y luego la reescribimos como radicacion ocultandola base.

10Cuando el maximo exponente de la incognita es 2, las ecuaciones se llaman Ecuaciones desegundo grado o Ecuaciones cuadraticas.

95


Este proceso nos muestra, entre otras cosas, que si un numero es el cuadra-do de otro es porque el numero se puede escribir como un producto; es decir,2124 (5) = 32 (5) × 32 (5), lo que nos induce a pensar que el proceso de calcularraıces esta vinculado con el problema de encontrar factores.

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Algunos problemas en matematicas estan relacionados con otros prob-lemas que aparentemente no tienen que ver con el primero, pero si larelacion existe, puede ser mas facil resolver uno de ellos y usarlo comoayuda para resolver el otro.

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Como la tarea que tenemos es escribir un numero como el producto de otros,ocupemonos entonces de este problema; este proceso se conoce como factor-izacion.

3.2.2.1.1. Los numeros primos

Cualquier numero que pensemos lo podemos escribir, algunos de varias for-mas, como un producto de otros numeros, por ejemplo:

8 = 4 × 2 = 8 × 1 = 2 × 2 × 2 = 23

35 = 7 × 5 = 35 × 1

Pero existen ciertos numeros que solo se pueden escribir como el producto de dosnumeros distintos, el mismo y 1, a estos numeros los llamamos numeros primos,por ejemplo:

2 = 2 × 1

3 = 3 × 1

5 = 5 × 1

7 = 7 × 1

Esto significa que otros numeros estan compuestos por factores diferentes a 1y a sı mismos; debemos entonces encontrar una manera de de saber cuales sondichos factores. Esto es averiguar cuales numeros son primos y cuales no.

Una manera artesanal de hallar los numeros primos consiste en escribir unatabla desde 1 hasta el numero que se desee, luego tachar los numeros de 2 en 2

96


a partir de 2 (sin incluirlo11); con esto eliminamos los que estan compuestos porel 2,; de 3 en 3 a partir de 3 (sin incluirlo), de 5 en 5, etc. Esta tabla se conocecomo la Criba de Eratostenes. Los numeros que no han sido tachados (salvo el1) son los numeros primos; en la siguiente tabla hacemos el proceso, en base 14,hasta 100.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 3A 3B 3C 3D 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 4A 4B 4C 4D 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 5A 5B 5C 5D 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 6A 6B 6C 6D 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 7A 7B 7C 7D 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 8A 8B 8C 8D 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 9A 9B 9C 9D A0

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 AA AB AC AD B0

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 BA BB BC BD C0

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 CA CB CC CD D0

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 DA DB DC DD 100✗

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Este metodo que aprendimos en la escuela es util para numeros pequenos;pero si se trata de averiguar cuando es primo un numero n relativamente grande,no es procedente hacer la criba y tenemos que recurrir a otras herramientas.

Podrıamos ensayar a dividir el numero por 2, para ver si esta compuesto por2, luego dividirlo por 3, y ası sucesivamente hasta (n − 1). Pero la tarea siguesiendo molesta, pues debemos hacer un gran numero de divisiones en el caso denumeros grandes.

Una salida facil es contratar un empleado, con suficientes habilidades paraque no cometa errores y que ademas sea suficientemente veloz. En la actualidaddisponemos de maquinas que hacen la tarea por nosotros, por ejemplo, las calcu-ladoras manuales o, si se quiere un poco mas de efectividad, una computadora.

11No empezamos a contar de uno en uno a partir de uno por razones obvias, ni incluiremosal uno entre los numeros primos.

97


Sin embargo, ellas requieren que les sean dados cada uno de los pasos a seguir;esto es, debemos elaborar un programa que le permita a la maquina determinarsi un numero es primo o no.

El programa PRIMOS1 cuyo codigo en lenguaje Pascal (version 7) apareceen el apendice 1, permite saber si un numero dado es primo o no; el programaPRIMOS2 da una lista de los numeros primos menores o iguales a un numerodado. Este tambien aparece en el apendice 1.

Ejercicios

1. ¿Cual es el procedimiento que utilizan los programas PRIMOS1 Y PRIMOS2para decidir si un numero es primo o no ?

2. “¿Cuantas ovejas tienes a tu cuidado?”, preguntaron a un pastor; el con-testo:

“No lo se fijamente porque apenas puedo contar hasta diez. Pero si agrupomis ovejas por pares, me sobra una; si las agrupo de tres en tres, de cuatroen cuatro, de cinco en cinco o de seis en seis, siempre me sobra una ; encambio, si las agrupo de siete en siete, no me sobra ninguna. Esto es lounico que se ”12.¿Cuantas ovejas tiene el pastor?

3.2.2.1.2.1. Factores primos y divisibilidad

Si un numero (distinto de 1 y de 0) no es primo, podemos escribirlo de unaunica forma, salvo el orden de los factores, como un producto de numeros primos;este enunciado se conoce como el teorema fundamental de la aritmetica13.

Nos ocuparemos ahora de encontrar alguna forma para descomponer un numeroen sus factores primos; por ejemplo podemos comenzar dividiendo el numero da-do por numeros primos 2, 3, 5, etc. hasta conseguir residuo 0; cuando esto ocurra,tenemos un factor primo.

Si el numero resulta ser multiplo de 2 decimos que es un numero par ; losnumeros naturales que no son pares se llaman numeros impares14.

12CARO, V., op cit., p. 247.13BURTON, W J., Teorıa de los Numeros, Trillas, 1969, p. 29.14Los egipcios y los griegos fueron los primeros en reconocer esta clasificacion.

98


Muchas veces no es necesario hacer una division para saber si un numero esmultiplo de otro o no. Por ejemplo, sabemos que el numero 0 es par y se escribede la misma forma en todas las bases.

En base diez un numero es par, si su cifra de las unidades lo es, esto es debidoa que las cifras de las decenas, centenas, etc. estan multiplicadas por potenciasde diez y estas son numeros pares, de modo que la unica cifra que determina siun numero es par o no, es la cifra de las unidades.

Ejercicios

1. ¿Es valido el anterior razonamiento en otras bases pares? Observe la tabla2 y enuncie un criterio de divisibilidad por 2 en base par.

2. En la tabla 2 observe los numeros pares en base 3, 5, 7, 9. Enuncie algunaregularidad

Numero de la Base

16 10 9 8 7 6 5 4 3 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 10

4 4 4 4 4 4 4 10 11 100

6 6 6 6 6 10 11 12 20 110

8 8 8 10 11 12 13 20 22 1000

A 10 11 12 13 14 20 22 121 1010

C 12 13 14 15 20 22 30 220 1100

E 14 15 16 20 22 24 32 222 1110

10 16 17 20 22 24 31 100 1001 10000

12 18 20 22 24 30 33 102 1010 10010

14 20 22 24 26 32 40 110 1012 10100

16 22 24 26 31 34 42 112 1021 10110

18 24 26 30 33 40 44 120 1100 11000

1A 26 28 32 35 42 101 122 1102 11010

1C 28 31 34 40 44 103 130 1111 11100

1E 30 33 36 42 50 110 132 1120 11110

20 32 35 40 44 52 112 200 1122 100000

99


Seguramente, en el ejercicio anterior usted encontro un criterio de divisibilidadpor 2 en cualquier base impar. Intentemos una explicacion para lo que sucede enbase 3.

Un numero cualquiera se escribe como suma de potencias de 3, y ningunade estas potencias es un numero par15, pero si tenemos una lista de numerosimpares y deseamos obtener de ella una lista de numeros pares, no es muy difıcilencontrar una solucion; podemos, por ejemplo16, a cada uno restarle 1 (o sumarle1, o cualquier numero impar), pensando inicialmente en base 10, que es dondesabemos cuando un numero es par; ası, observamos que:

31 − 1 = 2

32 − 1 = 8

33 − 1 = 26

34 − 1 = 80

Con esto podemos escribir un numero cualquiera en base 3, en forma polinomicadonde cada una de las potencias es par, si modificamos un poco su escritura.

Por ejemplo, el numero 221121 en base 3 se escribe:

221121 = 2 × 35 + 2 × 34 + 1 × 33 + 1 × 32 + 2 × 3 + 1 × 1

pero se puede escribir como:

221121 = 2 × (35 − 1) + 2 × (34 − 1) + 1 × (33 − 1) + 1 × (32 − 1) + 2 × (3 − 1)

+ 1 + (2 + 2 + 1 + 1 + 2)

si adicionamos lo que quitamos en cada una de las potencias, que es lo que apareceen el ultimo parentesis.

Tenemos ahora una expresion donde cada una de los terminos es un numeropar mas una suma adicional, que es la suma de las cifras del numero. El numerosera par si esta ultima suma es par. Luego, 221121 (3) no es par.

15Verifique con varias potencias de 3 y vea que ninguno de los numeros hallados es par.16Las reglas que enunciamos aquı, no son teoremas matematicos hasta que no se haga una

demostracion de ellos, por ahora son intuiciones cuya prueba requiere de una herramienta quedesarrollaremos un poco mas adelante llamada el principio de induccion matematica.

100


En resumen, para que un numero sea par en base 3, es necesario que la sumade sus cifras sea par 17. No se puede negar que el truco es ingenioso.

Ejercicios

1. Enuncie criterios de divisibilidad por 3 en base 3, 6, 9, y los demas multiplosde 3.

2. Observe una lista de multiplos de 3 en bases 4, 7, 10, 13, etc. Enuncie uncriterio de divisibilidad por 3 en estas bases.

3. Escriba listas de multiplos de 3 en bases 5, 8, 11, etc. Enuncie criterios dedivisibilidad por 3 en estas bases18.

4. ¿Cuantos numeros naturales menores que 200 no son divisibles por 2, por3, ni por 5?

5. ¿Cual es el menor numero que al dividirlo por 2, 3, y 4 deja residuo 1 y esdivisible por 51?

6. ¿Cuanto valen x y b en (3(230 + x)

)2= 492b04 ?

3.2.2.1.2.2. Descomposicion de un numero en factores primos

Con alguno de los procedimientos descritos, podemos encontrar todos y cadauno de los factores primos de un numero dado y escribir este como un productode numeros primos.

17El resultado es valido en cualquier base impar, su demostracion se basa en la afirmacion“(2n + 1)k − 1 es par para todo numero natural n y k”, que se demuestra por induccion.

18Los hindues conocıan criterios de divisibilidad por 3, 7 y 9, naturalmente en base 10.

101


Ejemplo

1. En base 10 tenemos que:

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 24 × 3

8 = 23

27 = 33

15 = 3 × 5

24 = 23 × 3

36 = 22 × 32

120 = 23 × 3 × 5

2. En base 7, el numero 31446 lo podemos escribir como producto de numerosprimos, efectuando las divisiones sucesivas por 2 (ya que la suma de suscifras es un numero par), luego por 3, de la forma siguiente:

31446 214223 25445 22556 21263 2465 3144 336 312 33 31

de manera que

31446 = 25 × 35

Si utilizamos la propiedad distributiva de la potenciacion respecto al pro-ducto obtenemos:

31446 =(2 × 3

)5

y hemos resuelto, el problema de hallar la raız 5 de 31446 en base 7.

102


3. Calculemos √1020100 (3)

El problema es equivalente a hallar x tal que:

x2 = 1020100 (3)

Descomponemos 1020100 (3) en factores primos y obtenemos:

1020100 (3) 2 (3)

121200 (3) 2 (3)

22100 (3) 10 (3)

2210 (3) 10 (3)

221 (3) 12 (3)

12 (3) 12 (3)

1

De esta manera, 1020100 (3) = 22 × 102 × 122 y por tanto tenemos que:

x2 = 22 × 102 × 122

y ası:x =

√1020100(3) = (2 × 10 × 12) (3) = 1010 (3)

Ejercicios

1. Propongase ejercicios de la forma

12√

1012 (3) , 6√

31446 (7) , 3√

6457 (8) , etc.

hasta que adquiera habilidad para calcular raıces en cualquier base.

2. Combinando lo que hemos hecho hasta ahora, proponga ejercicios para re-solver ecuaciones de la forma:

ax2 + b = c

en cualquier base.

103


3.2.2.2. Ecuaciones de la forma ax2 + bx = c

Abordemos ahora un problema que requiere de mayor elaboracion, consisteen resolver ecuaciones de la forma:

ax2 + bx = c

Este problema fue tratado por los griegos, (Euclides) y por los arabes19 (Al-khowarizmi y Tabit Ben Qurra) y ambos le dieron ingeniosas soluciones, porcierto muy parecidas. Describiremos el metodo griego (pero le sugerimos queantes de seguir intente usted algun mecanismo de solucion) utilizando el siguienteejemplo:

Encontrar un numero x tal que

x2 + 4x = 140.

a) Si interpretamos x como el lado de un cuadrado, x2 sera su area y 4x puedeinterpretarse como el area de un rectangulo de lados 4 y x respectivamente;es decir, que la cantidad x2 + 4x es el area de la figura 1:

x 4

x x2 4x

Figura 1

b) La chispa de ingenio20 esta en que este dibujo puede cambiarse por otro dela misma area de la siguiente forma:

Dividamos el rectangulo de area 4x en dos rectangulos de area 2x y colo-quemos uno de ellos a la derecha del de area x2 y el otro debajo para formarla siguiente figura:

19Van der WAERDEN, B. L., A History of Algebra, Springer, Berlin, 1985.20No se preocupe si no se le ocurrio antes esta idea; muchos sabios de la humanidad tardaron

anos en encontrarla. (¡Y parece tan simple!)

104


x 2

x x2

2

y

Figura 2

c) Esta figura no es un cuadrado, pero podemos completarlo agregando en laesquina inferior derecha, un cuadrado, cuya area conocemos.

x 2

x x2

2

y

4

Figura 3

d) De esta manera, el area de la region sombreada equivale a 140 (pues corre-sponde a x +4x) unidades cuadradas y el area del cuadrado en blanco es 4unidades cuadradas; es ası, como el area total corresponde a 140+4 = 144,luego el lado del cuadrado grande, llamemoslo y, es 12, entonces x = 10unidades, y hemos solucionado la ecuacion inicial.

Ejercicio

Extienda este metodo para resolver ecuaciones generales de la misma forma.

105


3.2.2.3. Ecuaciones de la forma x2 + c = bx

Intentemos un metodo analogo a este para resolver ecuaciones de la forma:

x2 + c = bx

Empecemos, por ejemplo, con la ecuacion:

x2 + 21 = 10x

a) Inicialmente dibujamos un cuadrado de lado x, cuya area representamoscon x2.

b) Dibujamos un rectangulo que represente 21 unidades cuadradas, pero repar-tidas, de manera que uno de los lados sea x. (Figura 4)

c) El rectangulo compuesto por x2 +21 tiene como area 10x, como se ve en laecuacion original; por lo tanto, uno de los lados del rectangulo tiene comolongitud 10 unidades, puesto que el otro mide x.

d) Si trazamos un segmento de tal manera que divida en dos partes iguales alrectangulo cuyo lado es 10, obtenemos dos casos, veamos el primero:

Que x sea mas pequeno o igual a 5 (esto no lo podemos saber desde el principio,porque desconocemos el valor de x, pero sı podemos dibujarlo como ayuda); estecaso, se presenta en la figura 4:

x

10

x2 c = 21

Figura 4

Para encontrar el valor de x, procedemos de manera similar a la del problemaanterior: primero completamos un cuadrado de lado 5 que incluya al cuadradode lado x como en la figura 5:

106


x

5

5

x2

(5 − x)2

Figura 5

Este cuadrado esta compuesto por dos rectangulos de igual area y por dos cuadra-dos, uno de area x2 y el otro de area (5 − x)2.

Si sumamos las areas de este ultimo con 21 que es el area del rectangulo c,obtenemos el area del cuadrado de lado 5 (Figura 6), porque:

Si llamamos a al area del rectangulo que esta contiguo al cuadrado de ladox, tenemos que

x2 + a = 21 − a

x

5

5

x2

(5 − x)2

21 − a

Figura 6

107


Esto significa que la suma de las areas de los dos rectangulos contiguos alcuadrado de area x2 (los cuadrados denotados con a) con el area del cuadradode lado x es 21, lo que en sımbolos escribimos como:

(x2 + a) + a = (21 − a) + a = 21

Por lo tanto, el area del cuadrado de lado (5 − x) mas 21 nos da el area delcuadrado de lado 5, como lo habıamos afirmado; en sımbolos escribimos:

(5 − x)2 + 21 = 52

De esto ya podemos concluir que el area del cuadrado de lado (5− x) es 4 y porlo tanto su lado es 2, de donde podemos concluir que x es 3. Y nuestra ecuacionesta resuelta.

Ejercicios

1. Estudie el caso en que x sea mayor o igual que 5 (la figura 7 puede ser unaayuda).

2. Con base en este ejemplo, describa un procedimiento que permita resolverecuaciones de la forma:

x2 + c = bx

3. ¿Que sucede con la ecuacion x2 + 26 = 10x?, ¿hay otros casos como este?

4. Proponga una solucion geometrica para ecuaciones de la forma

ax2 = bx + c.

108


x

x

5

x2 21

Figura 7

3.3. Logaritmacion

21

Si en la expresion

ab = c

conocemos la base a y la potencia c, el proceso para determinar el exponente b sellama logaritmacion22; se dice que b es el logaritmo en base a de c y lo escribimos:

loga c = b

21La logaritmacion tampoco es una operacion entre numeros naturales, por lo que en estecontexto solo la interpretamos como una forma equivalente de escribir una potenciacion.

22En el ano 1586 el suizo Jobst Burgi (1552-1632), concibio la idea del logaritmo, pero hasta elano 1620 publico sus tablas logarıtmicas bajo el tıtulo Arithmetische und geometrische ProgressTabulen.

En 1614, John Napier (1550-1617) publica las primeras tablas de logaritmos, pero sin explicarsu construccion. En 1619, se publica su metodo con el tıtulo Mirifici logarithmorum canonisconstructio

109


De nuevo, es bueno resaltar que esto es solo otra forma de escribir ab = c; esdecir, que

log2 16 = 4

significa que 4 es el exponente que debemos ponerle a 2 para que la potencia sea16.

Otra vez, como en la potenciacion y en la radicacion tenemos problemas conel cero.

Si c = 0 no existe un unico b tal que ab = 0, ya que esta situacion solo se dasi a = 0 para cualquier b �= 0.

Ademas, si a = 0 no existe ningun b para c �= 0 y para c = 0 todos losnumeros b satisfacen la relacion. Por lo tanto, no estan definidos ni el logaritmoen cualquier base de cero ni el logaritmo en base cero.

En cuanto al proceso para hallar logaritmos y sus relaciones con la poten-ciacion y la radicacion, conviene tener en cuenta las siguientes observaciones:

1. No debemos confundir la base de un logaritmo con la base de un sistemanumerico; cuando haya lugar a confusion debe tenerse cuidado.

2. Tenemos tres expresiones distintas para mirar una sola relacion fundamen-tal, es decir:

34 = 81

significa que

4√

81 = 3

y a su vez que

log3 81 = 4

3. Si escogemos como base a cualquier numero b entonces:

b1 = b significa que logb b = 1

110


4. Para cualquier base b, el logaritmo de 1 es cero, porque:

b0 = 1 significa que logb 1 = 0

5. Los logaritmos mas usados son los de base 10, que se llaman logaritmosvulgares o de Briggs23 ; en estos el subındice 10 se omite; es decir, quecuando no hay subındice se sobreentiende que la base es 10, en ellos tenemosque:

100 = 1 por lo tanto log 1 = 0

101 = 10 por lo tanto log 10 = 1

102 = 100 por lo tanto log 100 = 2.

3.3.1. Propiedades de la logaritmacion

Una propiedad de los logaritmos, muy usada por los antiguos24 para hacercalculos complicados, es:

loga x · y = loga x + loga y

Esto significa que a traves de los logaritmos podemos convertir multiplicacionesen sumas, lo que simplifica las cosas. Veamos el origen de esta propiedad, que denuevo esta relacionada con las de la potenciacion:

Supongamos que

x = ab

Como ya sabemos, esto es lo mismo que decir b = loga x

23Henry Briggs fue el primero que hizo las tablas de logaritmos en base 10, hacia 1631.24Una primera idea de esta propiedad de los logaritmos surge de Arquımedes, quien com-

parando las sucesiones aritmeticas con las geometricas

1 2 3 4 5 6 7 8 92 4 8 16 32 64 128 256 512

habıa observado que “para multiplicar entre sı dos numeros cualesquiera de la sucesion deabajo, debemos sumar los dos numeros de la sucesion de arriba situados encima de aquellosdos. Luego debe buscarse en la misma sucesion de arriba dicha suma. El numero de la sucesioninferior que le corresponda debajo sera el producto deseado”.

111


Analogamente y = ac es lo mismo que c = loga y

Si multiplicamos las dos expresiones, obtenemos:

x · y = ab+c

Esto significa, en terminos de logaritmos, que

b + c = loga x · y

y si reemplazamos b y c por su valor, obtenemos:

b + c = loga x + loga y

O lo que es lo mismo:

loga x · y = loga x + loga y

Tambien con la ayuda de los logaritmos es posible convertir divisiones en restas25

y potenciaciones y radicaciones en multiplicaciones y divisiones respectivamente.

Ejercicio

1. Verifique las relaciones26:

loga

(x

y

)= loga x− loga y si y �= 0

loga

(xy

)= y · loga x

25Antes del invento de los logaritmos existıa un metodo para reemplazar la multiplicacionde dos numeros por una resta basado en la identidad

a · b =(a + b)2

4− (a − b)2

4

Se hacıa una tabla de los cuartos de los cuadrados de los numeros (a + b) y (a− b) y restandose hallaba el producto.

A mediados del siglo XIX el matematico frances, A.Cossart, edito una “tabla de los cuadradosde los cuadrados de los numeros del 1 al 1.000 millones, con ayuda de la cual se halla el productoexacto de los numeros por un metodo mas simple y mas comodo que los logaritmos”.

26Estas propiedades fueron enunciadas explıcitamente por primera vez, alrededor de 1650,por el inventor de la regla de calculo, William Oughtred (1574-1660).

112


De nuevo, recordamos que todas estas propiedades se cumplen cuando lasoperaciones estan definidas; es decir, cuando existan numeros naturales quesatisfagan la relacion x = ab y los divisores en las divisiones sean distintosde 0.

2. Proponga un procedimiento para calcular logaritmos en un sistema numeri-co de base cualquiera y calcule por ejemplo: log66(6501 (7)), log21(1212201 (4)).Construya sus propios ejemplos.

3. Si queremos adivinar un numero entre 1 y 10 formulando preguntas cuyarespuesta solo sea sı o no, con el mınimo numero de preguntas posible,podrıamos intentar encerrar el numero de la siguiente forma:

i) ¿El numero es mayor o igual que 5?

Si la respuesta es sı, preguntamos :

ii) ¿El numero es mayor o igual que 8?

Y ası sucesivamente, hasta conseguir la respuesta: 4 preguntas son sufi-cientes.

¿Cual es el mınimo numero de preguntas posible, cuyas respuestas sean sı ono, para adivinar un numero entre 1 y 100?, ¿entre 1 y 1000?, ¿entre 1 y1000000?

¿Se le ocurre otro tipo de preguntas que nos lleve a una solucion?

Los caminos que se pueden seguir para buscar una solucion, generalmenteno son unicos. Por ejemplo, ¿sera util el sistema binario para resolver esteproblema?

Si modificamos el intervalo en el cual consideramos los numeros e intenta-mos adivinar un numero entre 1 y 16, entre 1 y 53 , entre 24 y 75 . ¿Cuales el menor numero de preguntas en cada caso?

4. Si en un torneo de futbol participan 32 equipos, y el campeonato se desar-rolla eliminando al que pierde un juego, el torneo durarıa 5 fechas si no hayempates. Si son 128 equipos, ¿cuantas fechas son necesarias ?

113


Si en el torneo participan 9 equipos, hay varias formas de jugarlo, conlas mismas condiciones de eliminacion. Proponga algunas alternativas ydetermine en cada una de ellas el numero de fechas necesarias. ¿De cualforma obtenemos el mınimo numero de fechas ?

¿Que ocurre si en el torneo participan 350 equipos?

5. Utilizando solamente tres doses, las operaciones y los convenios usuales delalgebra elemental (en la raız cuadrada no se escribe el ındice), podemosescribir los otros numeros, por ejemplo:

4 =

√(2 × 2

)2

8 = 22 × 2

Escriba27 en forma similar los numeros de 1 a 10. ¿Es posible la solucioncon tres treses ?

3.4. Una aplicacion de la potenciacion: la escrit-

ura de numeros grandes

Como ya habıamos visto en el capıtulo anterior la potenciacion permite es-cribir numeros grandes con pocos sımbolos; por ejemplo, tomemos 10 como basey expresemos sus primeras potencias en sistema decimal:

1. 102 es aproximadamente el numero de ojos que hay en un salon de clase enun colegio distrital.

2. 103 es aproximadamente el numero de kilometros de Bogota a Barranquilla.

3. 105 es aproximadamente el numero de cabellos que hay en la cabeza de unaadolescente y el numero de habitantes de una ciudad como Fusagasuga, en1998. Para la estimacion28 del numero de cabellos que tiene una personajoven promedio, realizamos el siguiente procedimiento:

27Despues de algunos intentos se dara cuenta que las cuatro operaciones basicas de la ar-itmetica no son suficientes para este proposito; se requiere pensar en exponentes y logaritmos.

28Usaremos libremente algunos conceptos que no justificamos por considerar que no sonrelevantes para nuestros propositos.

114


i Contamos el numero de cabellos que hay en un centımetro cuadrado29,lo que nos da aproximadamente 100 = 102.

ii Medimos los diametros de varias cabezas y los promediamos; el resul-tado es 20 centımetros.

iii Con este dato calculamos la superficie de una cabeza promedio (suponiendolaesferica para simplificar un poco); el resultado es:

S = 4πr2 = 4π × 102 cm2

Como solamente la mitad de la cabeza (aproximadamente) esta pobla-da de cabellos, este numero debe dividirse por 2.

iv Multiplicamos la medida de la superficie por el numero de cabellosen cada cm2; obtenemos 6, 28 × 104. La potencia de 10 mas cercanaa este numero es 105, cantidad que tomaremos por simplicidad, puesno requerimos mayor precision30.

4. 1029 es aproximadamente el numero de gotas de agua que hay en el mar.

Para calcular el numero de gotas que hay en todos los oceanos de la tierraprocedemos de manera similar.

i) Sabemos31 que el radio de la tierra es aproximadamente 6400km =6, 4×108cm; con ello calculamos el volumen de la tierra con la formula:

V =4

3πr3

Obtenemos V ∼= 1027cm3.

ii) La proporcion de agua en el volumen del planeta Tierra es aproxi-madamente 3/4, luego debemos multiplicar por este factor, pero esono influye mucho, puesto que el factor es casi 1.

29Un dato mas aproximado es 165 cabellos por centımetro cuadrado. TAHAN, M., El Hombreque calculaba, Ediciones universales, Bogota, p. 225.

30En El hombre que calculaba se da como superficie poblada de cabello 775 cm2 y 127. 875cabellos en total.

31En el ano 300 A.C. Eratostenes midio el radio de la tierra con la ayuda de una estaca; ladescripcion de su procedimiento y su resultado se encuentra en el libro SAGAN, C., Cosmos,p.15.

115


iii) Si suponemos que en un cm3 cabe alrededor de 100 gotas, el numeromaximo de gotas que puede haber en el mar es 1029.

5. El numero de atomos del universo es 1085, aproximadamente.

El calculo del numero de atomos del universo es similar y tiene en cuen-ta que hay alrededor de cien mil millones de galaxias y cada una de ellastiene, en promedio, cien mil millones de estrellas. Nuestro Sol es una es-trella promedio, aproximadamente igual a un millon trescientos mil vecesla Tierra.

Si conocemos la masa de la Tierra y sabemos el numero de atomos que hayen una mol de sustancia (el numero de Avogradro 6, 023 × 1023), podemoscompletar el calculo.

6. Una cuenta ligada al origen del ajedrez es la siguiente:

Si pudieramos colocar en cada una de las casillas de un tablero de ajedrezgranos de trigo, de esta manera: en el primer cuadro un grano, en el segundodos granos, en el tercero cuatro, ocho en el siguiente y ası sucesivamente,hasta el cuadro sesenta y cuatro, el numero de granos de trigo necesariospara llenar todos los escaques del tablero se escribe en base 10:

18 446 744 073 709 551 615

Para reunir esta cantidad, serıa necesario sembrar de trigo los cinco conti-nentes de la Tierra y recoger todo el producido de 76 cosechas32.

7. Miremos ahora otra cuenta fantastica referida en el algebra recreativa dePerelman33. Tambien, con respecto a este noble juego, ¿cuantas partidasde ajedrez se pueden jugar?:

“Al mover la primera pieza, las blancas tienen 20 jugadas a elegir (16 conlos peones y 2 con cada caballo), las negras tienen las mismas opciones parasu primera jugada, en total 20 × 20 = 400 variantes para 1 jugada.

32CARO, V., op. cit., p. 24133Tomado de KRAITCHIK, M., La Matematica de los juegos y distracciones matematicas

en PERELMAN, Y., Algebra recreativa, Mir, 1989, p. 36-38

116


En la segunda jugada las posibilidades aumentan, si ambas han movidoP4R (peon cuatro rey) se tienen 29 jugadas para elegir, y ası van aumen-tando; supongamos que hay 20 variantes en promedio para las primeras 5jugadas, 30 para cada una de las demas y una partida dura alrededor de40 movimientos, por lo tanto, el numero de partidas sera:

(20 × 20)5 × (30 × 30)35 = 2010 × 3070

= 210 × 370 × 1080

∼= 103 × 370 × 1080

∼= 2 × 1083 × 1033

∼= 2 × 10116

puesto que

370 = 368 × 32

∼= (34)17 × 10∼= 8017 × 10∼= 251 × 1018

∼= 2 × (210)5 × 1018

∼= 2 × 1033

Si todos los humanos solo jugaran ajedrez, moviendo una pieza cada se-gundo, durarıamos mas de 10100 siglos jugando sin repetir partida”.

¡Y nuestro universo tiene alrededor de 108 siglos de edad!

3.5. Aplicaciones de bases diferentes a la base

diez34

En el capıtulo dos ya habıamos hecho mencion a algunas aplicaciones delsistema binario, octal, hexadecimal, etc.; sin embargo, existen aplicaciones debases menos usuales, entre ellas:

34MOSTERIN, J., The Natural Numbers as a Universal Library en Philosophy of Mathemat-ics Today. Editors AGASSI, E., DARVAS, G., Academic Publishers, 1997.

117


1. La informacion genetica de todo individuo esta codificada en ADN, al asig-nar a la adenina el 0, a la timina el 1, a la guanina el 2 y la citosina el3, tendrıamos un sistema base 4; luego, la cadena de caracteres de ADNrepresenta unicamente un numero natural; es decir, si tenemos por ejemplola cadena TCCAGT, esta se encuentra representada por el numero

133021 = 1 × 45 + 3 × 44 + 3 × 43 + 0 × 42 + 2 × 41 + 1 × 40

Ası, el genoma completo de cualquier organismo puede representarse conun numero natural.

2. Si consideramos las letras del abecedario, los signos de puntuacion y losespacios en blanco: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, N, O, P, Q,R, S, T, U, V, W, X, Y, Z,., ,, ;, :, -, ¡, !, ¨, ¿, ?, (, ), “, , ”, / obtenemos unsistema posicional cuya base es 43 y ası, a toda informacion, a todo librohecho y por hacer en idioma espanol, le corresponde un numero natural.

3. Todo sonido se puede codificar con diferentes niveles de amplitud segunla quantizacion de sonidos wave (El sistema que se usa para digitalizarsonidos que se guardan en discos compactos CD). El dıgito amplitud 1representa el numero 0, el dıgito amplitud 2, el numero 1. . . . hasta el dıgitoamplitud 65536, el cual representa el numero 65535. Estos numeros formanun sistema de base 216 = 65536 que sirve para asignar a cada melodıa y acada ruido un numero natural.

4. 4. Tambien es posible codificar o mejor digitalizar imagenes, pelıculas, etc.,usando un sistema de numeracion cuya base es k∗d (donde k es el numerodisponible de colores y d es el numero de grados de brillo para cada pixel).Los dıgitos del sistema son combinaciones de un color con un grado debrillo. El dıgito (color 1, brillo 1) representa el numero 0, el dıgito (color 1,brillo 2), el numero 1, y ası sucesivamente hasta el (color k, brillo d ) ,el cualrepresenta el numero k∗d − 1 . en general para cualquier n (1 ≤ n ≤ k) ycualquier m (1 ≤ m ≤ d) el dıgito (color n, brillo m) representa el numero(n − 1)d + m − 1.

118

CAPITULO 4

SISTEMAS NUMERICOS ENALGUNAS CULTURAS

Introduccion

En este capıtulo presentamos algunas soluciones que culturas antiguas no-tables le dieron al problema de contar y los sistemas de numeros inventadospor ellas. Una excelente presentacion de este tema se encuentra en el libro “Lascifras”de Georges Ifrah1.

Iniciamos con un breve recuento de las formas mas primitivas de conteo noposicional, incluyendo el sistema romano, para contrastarlas con lo desarrolladopor nosotros en el capıtulo 1. Luego estudiamos algunos sistemas posicionales,como el sistema numerico de la cultura maya por tener una dificultad intrınsecade calculo debido a la forma como fue construido; el sistema numerico de los incasque es un sistema posicional de base 10, donde se privilegia el uso de instrumentoscomo la yupana y el quipu, la primera similar a un abaco y el segundo, un arreglode cuerdas anudadas, para realizar operaciones basicas.

Finalmente, veremos los sistemas babilonio y egipcio, donde se resaltan el usode algoritmos para realizar las operaciones basicas.

1IFRAH, G., Las Cifras: Historia de una gran invencion, Alianza Editorial,1987.

119


4.1. Los primitivos

La idea de contar es una de las mas primitivas2 en los seres humanos, bien seacon los dedos, como los indios de las islas de Borneo contando uno, dos, tres . . . ,muchos; contar con abacos, con complejas construcciones, como el agrupamientode grandes piedras, conocido como Stonehenge, en el sur de Inglaterra, o con losmas modernos ordenadores.

Como hemos visto, el proceso de contar consiste en establecer una corre-spondencia entre los objetos a contar y un conjunto de objetos o sımbolos querepresentan a los objetos iniciales, pero que son mas faciles de manipular, comolos dedos de una persona o los nudos en una cuerda o algunos signos dibujadosen un trozo de piedra o de madera, poniendo uno o varios sımbolos por cadaobjeto a contar.

Para registrar cada cantidad, el hombre invento palabras y signos que ex-presaban el conjunto de numeros representados.

Inicialmente, se desarrollaron sistemas de numeracion primitivos, como losque hicimos en el primer capıtulo, que les permitıan disenar calendarios y efectuaralgunos calculos simples, luego en culturas mas avanzadas, se implementaron no-taciones numericas mas perfeccionadas, hasta conseguir los sistemas posicionalesque construimos en el capıtulo 2.

En algunos pueblos, los numeros recibıan nombres comunes; por ejemplo,los Tumanacos, una cultura sudamericana, usaban para 5 la misma palabra queusaban para decir “una mano entera”. El termino que designaba al 6 significaba“uno de la otra mano”; el siete eran “dos de la otra mano”, y analogamente para 8y 9 ; el 10 era “ambas manos”. Para expresar de 11 a 14, los tumanacos extendıanambas manos y contaban “uno del pie, dos del pie...”, y ası sucesivamente, hastael 15, que era “un pie completo”. El sistema continuaba expresando el 16 como“uno del otro pie”y ası hasta 19. La palabra que expresaba veinte era la mismaempleada para decir “un indio”. El 21 era “uno de la mano del otro indio”. “Dosindios 2 significaba 40”, “tres indios”60, etc.

2En el ano 1937, Karl Absolom encontro en una excavacion en Checoslovaquia, un fosil dehueso de lobo de 30.000 anos de antiguedad, sobre el cual se distinguen claramente marcastalladas, las cuales sugieren la existencia de secuencias de conteo. Se observaron sobre el hueso55 marcas agrupadas de cinco en cinco, lo que lleva a pensar que la agrupacion natural de losdedos sirvio de base para su organizacion.

120

SISTEMAS NUMERICOS EN ALGUNAS CULTURAS

Algunos pueblos del Africa3 descubrieron, como muchos otros pueblos, queresulta sumamente difıcil contar y calcular si se emplea una palabra o un sımbolodistinto para cada numero. En lugar de inventar una nueva palabra para cadanumero, se forman terminos a partir de los que se designan los numeros debase y se establecen relaciones aritmeticas entre ellos. En los sistemas orales denumeracion africanos existen muchos ejemplos de este procedimiento.

Los bulanda de Africa Occidental, tienen un sistema cuyo principal numeroera seis, de modo que siete se dice seis mas uno; ocho, seis mas dos, etc. Entrelos huku, de Uganda, se forman los terminos correspondientes a trece, catorce,quince, agregando uno, dos, tres, al numero doce; ası, bakumba igimo (trece),significa 12 + 1.

Un numero pequeno, como es el caso del cinco, presenta la ventaja de facilitarel calculo oral o mental. Por ejemplo, 7+8 equivale en ese sistema a: (5+2)+(5+3). Como 2 + 3 = 5, se llega facilmente a encontrar como equivalente 5 + 5 + 5,o sea 10 + 5, o lo que es lo mismo a 3 veces 5.

Por ejemplo, 2 × 7 equivale a (4 + 3) + (4 + 3), pero como 4 + 3 + 3 = 10, larespuesta puede formularse tambien como 10 + 4. Desde tiempos remotos existeen Africa una larga tradicion de calculo mental.

En otras lenguas africanas, para formar los vocablos que designan los numeros,no solo se utiliza la adicion y la multiplicacion, sino tambien la sustraccion. Ası,los yoruba, de Nigeria, utilizan, para decir dieciseis, la expresion eerin din logun,que significa “cuatro antes que veinte”, mientras que entre los luba - hemba, delZaire, siete se dice habulwa mwanda (ocho menos uno), y nueve habulwa likumi(diez menos uno).

4.2. El sistema de los romanos

El sistema introducido por los romanos hace unos 2.000 anos y probablementederivado del inventado por los etruscos4 , fue de uso comun en Europa hasta finesde la Edad Media.

3GERDES, P y CHERINDA M., OtextitContar en Africa, en: El correo de la Unesco (Parıs).vol 46, Noviembre de 1993. pp. 37 - 39.

4El pueblo etrusco conocio el alfabeto, procedente de la antigua lengua atica, orientandosesu escritura de derecha a izquierda. No se conoce una literatura etrusca, limitandose los textosencontrados a libros sagrados. Sin embargo, tenıan amplio conocimiento de las matematicas,

121


Los romanos hicieron uso del alfabeto latino para los sımbolos de sus numeros,como lo muestra la siguiente tabla:

1 5 10 50 100 500 1000

I V X L C D M

Los sımbolos son de dos tipos:

Primarios:I uno, X diez, C cien, M mil

Y secundarios:V cinco, L cincuenta, D quinientos

Las reglas de escritura son:

1. Si el numero esta conformado por dos sımbolos diferentes, se debe teneren cuenta que si el numero menor esta a la derecha del mayor, entonces seadiciona a este y si esta a la izquierda se le resta. Por ejemplo:

VI 6 CX 110 LX 60

IV 4 XC 90 XL 40

2. Un sımbolo primario no debe repetirse mas de tres veces en la escritura deuna misma cantidad. Los sımbolos secundarios deben escribirse solo unavez. Por ejemplo:

III 3, MCCC 1300, XXX 30, LXX 70, CCC 300, MMM 3000

3. Una raya escrita encima de un sımbolo, significa que este ha sido multipli-cado por 1.000; dos rayas significa que ha sido multiplicado por 1.000.000;por lo tanto, para cantidades mayores que 3.999; es decir, MMMCMXCIX,se escriben sımbolos que representen numeros menores que este y se lecolocan las rayas necesarias. Por ejemplo:

IV 4

IV 4,000

IV 4,000,000

siendo, al parecer, los creadores de las llamadas cifras romanas. Conocıan la astronomıa, yestudiaron los fenomenos celestes. Medıan el tiempo en un ano de trescientos cuarenta dıas,divididos en diez meses.

122


Ejercicio

1. Con siete palillos podemos formar con numeros romanos la expresion in-dicada enseguida (dos palillos deben ser usados para formar el signo deigualdad).Mueva solo un palillo para que la ecuacion se transforme en ver-dadera.

V I = I I

2. Idee procedimientos para efectuar operaciones de suma y resta de numerosromanos. ¿Hay alguna manera de multiplicarlos y dividirlos?

4.3. El sistema numerico de los mayas

La civilizacion maya5 (originaria de Guatemala) centro sus esfuerzos en eltiempo y su medida, tanto que crearon tres calendarios: uno era denominadoTzolkin (dioses) y era dedicado a sus celebraciones mısticas, constaba de 260dıas; el segundo tenıa como funcion medir el tiempo desde un remoto origen; eltercero (que es el mas conocido y estudiado, ya que con base en el fue creado susistema numerico) era llamado haab o calendario solar, constaba de 18 meses deveinte dıas cada uno y un perıodo extra de cinco dıas y un cuarto de dıa.

Fue una de las culturas mas desarrolladas y notables de la America precolom-bina. Durante el primer milenio de la era cristiana los mayas tuvieron una ideaprecisa de los movimientos del Sol, de la Luna, de Venus y posiblemente tam-bien de los planetas Marte, Mercurio y Jupiter, y tenıan ademas la capacidad depredecir eclipses de Sol y de Luna.

Su precision en la medida del tiempo les permitio superar calculos realizadosen Europa en la misma epoca. Por ejemplo, se dieron cuenta de que un ano solarno tiene exactamente 365 dıas sino 365,242.000 dıas. Los calculos mas recientesdan 365,242.198 dıas para el ano solar verdadero; sin embargo, el ano gregori-ano que se usa en casi todos los paıses actualmente tiene 365,242500 dıas, loque constituye un error de 3,02 diezmilesimas frente a un error de apenas 1,98diezmilesimas del ano maya.

Los mayas tambien fueron muy precisos en lo que respecta a la duracion me-dia de una lunacion. Los calculos contemporaneos dan un valor de 29,5305910 y

5VON HAGEN, V.W., El mundo de los mayas, Editorial Diana, Mexico, 1960.

123


los astronomos de la ciudad de Copan encontraron que 149 lunaciones equivalıana 4.400 dıas, lo que para una lunacion da la cantidad de 29,53020 dıas. Los as-tronomos de la ciudad de Palenque hicieron el mismo calculo sobre 81 lunacionesy encontraron un resultado mas preciso todavıa: 2 392 dıas; es decir, 29,53086dıas para una lunacion media.

Los mayas no conocıan el vidrio, ni desarrollaron telescopios, ni inventaronrelojes que permitieran registrar perıodos de tiempos inferiores a un dıa y tam-poco desarrollaron la nocion de fraccion. La unidad de tiempo mas pequena deestos astronomos era el dıa. Medıan el dıa solar (es decir, el lapso de tiempo quetranscurre entre dos pasos consecutivos del sol por el meridiano del lugar, quesirve de observatorio), con un instrumento muy simple que era una especie decuadrante solar muy rudimentario.

Efectuaban las observaciones astronomicas utilizando dos tiras de maderacruzadas sobre las que reposaba un largo tubo de jadeita que permitıa la visibil-idad6.

En el campo de las matematicas descubrieron el principio de notacion posi-cional para los numeros e inventaron el cero, aproximadamente cien anos antesde la invencion del sistema arabigo.

Los manuscritos mayas, especialmente el codice Dresde (un tratado de as-tronomıa y de adivinacion que habıa sido copiado en el siglo IX de nuestra era,de un original redactado tres o cuatro siglos antes) revelan que entre los sacer-dotes mayas existıa un sistema de base 20, con un cero, donde el valor de la cifrasestaba determinado por su posicion en la escritura de los numeros.

Los sımbolos principales fueron • y que designaban respectivamente a losnumeros 1 y 5; ellos se combinaban para formar otros hasta el 19, por ejemplo:

1 5 7 10 13• •• • • •

6HAMMOND, N., Unearthing the Oldest Know Maya en National Geographic, vol. 162, No

1, July, 1982.

124


Escribıan los numeros de abajo hacia arriba. El cero lo representaban conuna concha de caracol marino, que aquı representaremos con el sımbolo @. Lasunidades de cada orden van aumentando como potencias de veinte7, excepto lasunidades de tercer orden que corresponden a 18 de segundo orden; esto motivadoen que en su calendario solar8, un ano es de 18 meses y no de 20.

Para escribir un numero compuesto por dos ordenes, se colocaba la cifra delas unidades en el nivel inferior y la cifra de las veintenas en el segundo. Ası, 21se escribe:

• 1 × 20

• 1

y 79 que es igual a 3 × 20 + 19, se escribe:

• • • 3 × 20

• • •• 19

El tercer piso indicaba los multiplos de 360, por ejemplo:

•• 12 × 360

• • • 3 × 20

• • •• 19

7Los mayas contaban con los dedos de las manos y de los pies. En la lengua quiche el numero20 significa: toda la persona

8En su calendario se tenıan las siguientes correspondencias:

20 kines = 1 uinal, o 20 dıas18 uinales = 1 tun, o 360 dıas20 tunes = 1 katun, o 7,200 dıas20 katunes = 1 baktun, o 144,000 dıas.20 baktunes = 1 pictun, o 2,880,000 dıas.20 pictunes = 1 calabtun, o 57,600,000 dıas.20 calabtunes = 1 kinchiltun, o 1,152,000,000 dıas20 kinchiltunes = 1 alautun, o 23,040,000,000 dıas.

125


Corresponde a:4399 = 12 × 360 + 3 × 20 + 19

El numero 13 495 se escribıa:

•••• • •

puesto que13495 = 1 × 7200 + 17 × 360 + 8 × 20 + 15

Y para escribir 115 212, utilizamos el cero dos veces:

•@

@

••debido a que 115212 = 16 × 7200 + 0 × 360 + 0 × 20 + 12.

El descubrimiento de la notacion posicional no estuvo en la cultura occidentalhasta que en la Edad Media los dieron a conocer los arabes, quienes a su vez lohabıan tomado de la cultura hindu.

El sistema de numeracion maya, que hemos descrito, tiene ventajas teoricasfrente a otros sistemas mas conocidos, como el sistema de los numeros romanos;por ejemplo, para escribir los numeros del 1 al 19, inclusive, en la notacion romanason necesarios tres sımbolos, o sea las letras I, V y X, y hacer dos operacionesaritmeticas, adicion y sustraccion. En el sistema maya se necesitan solamente dossımbolos, la barra y el punto, y basta una sola operacion aritmetica: la adicion.

Los mayas inventaron otro sistema de numeracion llamado “de cabezas”,donde se disponıa de 20 sımbolos individuales para los numeros del 0 al 19.

Este sistema se forma con una sucesion basica de 14 jeroglıficos o glifos configuras de cabezas humanas, diferenciadas entre sı por sus rasgos especıficos; las14 cabezas correspondıan a 14 deidades patronas de cada numero, del 0 al 13. Los

126


6 sımbolos faltantes se forman colocando una parte representativa de la cabezadel 10 (el maxilar inferior, pues este sımbolo era una calavera), debajo de lascabezas del 4 al 9, para tener ası los glifos del 14 al 19 y completar las 20 cifrasnecesarias.

Ejercicios

1. Escriba un algoritmo para pasar del sistema maya al sistema decimal yviceversa.

2. Intente definir operaciones basicas, como suma, resta multiplicacion y di-vision en el sistema numerico maya, ¿ que dificultad encuentra?

4.4. El sistema de numeracion inca

Lo conocido de la cultura inca, se lo debemos a los datos recogidos por el cro-nista inca-espanol, Felipe Guaman Poma de Ayala, en su libro “Nueva coronicay buen gobierno”.

Los incas9 tenıan un sistema social organizado desde los puric (peones), hastael hono-curaca (jefe principal del Ayllu), pasando por los cancha-camayo y lospachaca-curaca. Por cada diez subalternos habıa un superior inmediato, luegodel hono-curaca estaba el gobernador de provincia quien hacıa de mandatario decuartel; el imperio se dividıa en cuatro cuarteles, la posicion mas alta la ocupabael sapa-inca (emperador).

Poseıan un sistema de pesas y balanzas de gran exactitud y en su calendariolos meses tenıan una duracion de 27 + 1/3 dıas y un ano tenıa 328 noches. Entrelos cancha-camayos, existıa una clase de trabajadores quienes eran los encargadosde hacer los registros y las cuentas; tales registros se hacıan en quipus10.

9WASSEN, H., El antiguo abaco peruano segun el manuscrito de Guaman Poma, Gotem-burgo, 1940.

BURNS, W., La tabla de Calculo de los incas, Boletın de Lima.COSSIU, F., El mundo de los incas, Editorial Fondo de Cultura Economica, Mexico, 1969.PAREJA, D., Instrumentos prehispanicos de calculo: el quipu y la yupana, Instituto de In-

vestigaciones y posgrados, Universidad del Quindıo, Armenia, 1986.PAREJA, D., Arithmetical Algorithms of the Incas, Universidad del Quindıo.VON HAGEN W., Los Incas, Editor Joaquın Mortiz, Coleccion culturas basicas del mundo,

Mexico, 1964.10Quipu en quechua significa nudo.

127


4.4.1. La representacion de los numeros en el quipu

El quipu consta de una cuerda delgada, que podıa tener un metro de longitud,de la cual penden otros cordones con distintas longitudes y colores; en uno deellos hay varios nudos, que pueden ser simples, dobles o triples. El quipu seutilizaba para registrar datos importantes, como la cantidad de produccion enlas cosechas, el numero de habitantes, etc., y solo podıa ser leıdo por personasespecializadas, denominados kipucamayocs.

En la figura 2, se muestran como se escribıan los numeros 1, 2, 9 y 8624 enel sistema de numeracion incaico; las unidades se representaban en el extremode las cuerdas y se ascendıa de acuerdo a si los nudos simbolizaban decenas,centenas, etc.

El quipu permitıa en forma facil efectuar la suma de cantidades previamenteanotadas en cuerdas contiguas, como se muestra en la figura 3.

Se suman las unidades de los tres numeros 4 + 3 + 7 = 14, se anuda en lacuerda de la izquierda, que representa la suma, el 4 en el nivel de las unidades yse lleva 1 para el nivel de las decenas. Se suman las decenas 1 + 3 + 2 + 6 = 12,se anuda el dos en el nivel de las decenas y llevamos una centena. Finalmente, sesuman las centenas; el resultado se puede leer en la primera cuerda de izquierdaa derecha.

Al terminar la operacion, se ajustaban los nudos de la parte superior y lascuatro cuerdas se ataban en el extremo opuesto. Con esto se indicaba que en el

128


quipu se habıa efectuado una adicion.

4.4.2. La Yupana, el “abaco precolombino”

La primera representacion conocida de la yupana11 aparecio en 1615 en la obra“Nueva coronica y buen gobierno”, la tabla allı expuesta es de forma rectangularconstituida por cinco filas y cuatro columnas, en cada una de las casillas seencuentran cırculos negros y blancos distribuidos por columnas, en la primera seencuentran cinco, en la segunda tres, en la tercera dos y en la ultima un cırculo,como se muestra enseguida:

11El nombre yupana proviene del vocablo quechua yupay, que significa contar. Actualmentese conoce como tabla de calculo de los incas.

129


•••••

•••••

•••••

•••••

◦◦◦◦◦

•

•

•

•

◦

••

••

••

•◦

◦◦

••

••

••

◦•

◦◦

◦

◦

◦

◦

◦

Figura 4

A raız de este esquema surgieron diferentes interpretaciones con respectoal significado de los cırculos negros y los cırculos blancos; algunos personajesafirman que los cırculos blancos indican posiciones desocupadas y los negrosrepresentan numeros, los cuales eran simbolizados por los incas con granos demaız, piedrecillas, semillas, etc. Otros, por el contrario, aseguran que los cırculosnegros indican posiciones para sumar y los blancos para restar; sin embargo, deesta ultima acepcion no se conoce desarrollo alguno.

Por otra parte, personas que se han interesado por estudiar las matematicasdesarrolladas por la cultura inca, como William Burns Glynn, proponen que enlos cırculos se ubican granos, piedras, etc. de tal manera que cada cırculo tieneun valor de uno, pero adquieren valor diferente de acuerdo a la fila donde seencuentra ubicado; ademas, la casilla donde solo hay un cırculo se utiliza como“memoria”. Enseguida mostraremos como representar numeros en la yupana ycomo sumar de acuerdo a la propuesta realizada por Burns:

La yupana se coloca en posicion horizontal, como se muestra en la figura:

130


◦ ◦ ◦◦◦ ◦ ◦ ◦◦◦ ◦ ◦ ◦◦◦ ◦ ◦ ◦◦◦ ◦ ◦ ◦◦◦

◦ ◦ ◦ ◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦◦ ◦◦ ◦◦

◦◦ ◦◦ ◦◦ ◦◦ ◦◦

◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Figura 5

Cada cırculo tiene un valor de acuerdo a la columna donde se encuentra;es decir, si este pertenece a la segunda columna (de derecha a izquierda), cadacırculo tendra un valor de 10, si pertenece a la tercera, tendra un valor de 102,y ası sucesivamente. Esto, debido a que el sistema de numeracion usado por losincas es decimal.

Los cırculos de la primera fila (de arriba hacia abajo) se utilizan como memo-ria y las otras filas son posiciones para ubicar granos, piedrecillas, etc. Cada vezque se completen los diez cırculos de una columna, los barremos o desocupamosy colocamos uno en la memoria que luego sera trasladado a la columna posterior,de la siguiente forma:

◦ ◦ •◦◦ ◦ ◦ ◦◦◦ ◦ ◦ ◦◦◦ • • •••

◦ ◦ ◦ •◦◦ ◦◦ ◦◦ ••

◦◦ ◦◦ ◦◦ ••

◦ ◦ • ◦

Figura 6

Decenas Unidades Unidades Unidades

= =

Un procedimiento para sumar en la yupana, con las reglas establecidas, es elsiguiente:

Sumemos, por ejemplo: 437 y 253. Inicialmente colocamos uno de los suman-dos en la yupana y el segundo en la parte superior de esta, ası:

131


◦ ◦ ◦◦◦ ◦ ◦ ◦◦◦ • • ••◦ • • •◦◦ • • •••

◦ ◦ ◦ ◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦◦ ◦◦ ••

◦◦ ◦◦ ◦◦ ◦◦ ◦◦

◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Figura 7

•• • • ••••••

437 ➪

253 ➪

Colocamos las piedrecillas o canicas de la parte superior sobre la yupana,conservando las columnas; es decir, en la columna uno, transferimos las trespiedrecillas a la columna de las unidades, y ası sucesivamente. Como en la primeracolumna quedan los diez cırculos llenos y una canica por fuera, barremos y ll-evamos uno a la memoria; ası, podemos ubicar la piedrecilla que sobraba en layupana. De manera similar, realizamos las demas sumas en cada columna. Luego,la suma sera igual a 690, que se representa de la siguiente manera:

◦ ◦ ◦◦◦ ◦ ◦ ◦◦◦ • • ••• • • ••• ◦ ◦ ◦◦◦

◦ ◦ ◦ • ◦◦◦ ◦◦ ◦• •• ◦◦

◦◦ ◦◦ ◦◦ •◦ ◦◦

◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Figura 8

690 ➪

Hay propuestas12 para usar la yupana como herramienta de ayuda en lasaulas escolares, pero el tema aun esta en exploracion.

Ejercicio

12MORA, L., VALERO, N., LUQUE, C., La yupana como herramienta pedagogica, Memoriasdel X Encuentro de Geometrıa y sus aplicaciones, Bogota, Junio de 1999, p. 155.

132


Construya un modelo de quipu y uno de yupana. Proponga procedimientospara efectuar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones.

4.5. El sistema numerico de Babilonia

Los antiguos Sumerios13 construyeron una aritmetica para elaborar un calen-dario 5700 anos antes de Cristo; ellos mismos desarrollaron un sistema numericocon 60 sımbolos que luego fue heredado y utilizado con mucha habilidad por losbabilonios.

Los babilonios habitaban en la antigua Mesopotamia, region que hoy corre-sponde a Irak. A fines del siglo XIX se encontraron en las ruinas de Mesopotamia,unas 400 tablillas de arcilla y fragmentos de otras con textos matematicos quehan sido copiadas, transcritas y traducidas.

Estas tablillas datan principalmente de dos perıodos: unas, de alrededor delano 2000 a.C. y la mayorıa pertenecen a un periodo entre el ano 600 a. C. y elano 300 d.C. Las del primer perıodo son las mas importantes en lo que se refierea la historia de la matematica.

La lengua y la escritura utilizadas en las tablillas de perıodo mas antiguo es elacadio, que se superpuso al tipo de lenguaje y escritura sumerios; las palabras dela lengua acadia consistıan en una o mas sılabas y cada sılaba venıa representadapor un grupo de signos que se reducıan esencialmente a pequenos segmentosrectilıneos. Los acadios utilizaban para escribir un prisma de seccion triangular,que apoyaban sobre la tablilla en una posicion inclinada, produciendo ası unassenales en forma de ‘cuna’orientadas en distintas direcciones, por ello su escriturase llamo cuneiforme. La aritmetica alcanzo su mas alto grado de desarrollo enla civilizacion babilonica durante el perıodo acadio.

Estas tablillas de arcilla no solo las utilizaron los sumerios, caldeos y babilo-nios, sino tambien los hititas, asirios y otros pueblos de la antiguedad.

Como en otras culturas, fueron los astronomos babilonios quienes desarrol-laron su sistema de numeracion. Los 59 primeros numeros se representaban enuna forma decimal.

13CHURCHILL, E. M., Contando y midiendo, Uteha, 1965, p. 30.

133


La cuna vertical representaba una unidad, la cuna horizontal diez unidades.Los demas numeros se formaban escribiendo estos sımbolos en diferentes combi-naciones.

Alrededor del ano 1700 a.C. se dieron cuenta que sus sımbolos podıan rep-resentar otros valores dependiendo de su posicion, dando origen a la notacionposicional ; escribıan los numerales en grupos separados por espacios; su escrit-ura se hacıa de derecha a izquierda; cada grupo representaba, respectivamente,unidades, grupos de 60 unidades, grupos de 60×60 = 3600 unidades14, etc. Parahallar el valor representado en un numero, se efectuaban las multiplicacionescorrespondientes y se sumaban los productos resultantes.

Aunque en los mas antiguos textos babilonios no se muestra la presenciade un sımbolo especıfico para el cero, empleaban un espacio en blanco, mas omenos destacado, para indicar la ausencia de unidades de posicion dada, peroevidentemente esto podıa ser mal interpretado y resultar confuso; luego, duranteel periodo seleucida inventaron una doble cuna para representarlo. Incluso en esteperiodo no se utilizo ningun sımbolo para indicar una o mas posiciones vacıaspor el extremo derecho del numero, como en nuestra notacion.

Es interesante observar la manera como se obtiene alguna informacion detablillas antiguas en una labor de adivinacion por ensayo y error; presentamosun ejemplo tomado del libro Matematicas, episodios historicos15, de Asger Aaboe.

En la figura 10 observamos la reproduccion del haz (anverso) y del enves(reverso) de una tablilla de la Antigua Babilonia; en ambas caras la escritura

14En la actualidad se sigue empleando el sistema sexagesimal para expresar medidas detiempo (horas, minutos, segundos) y de angulos (grados, minutos y segundos).

15AABOE, A., Matematicas Episodios Historicos, Norma, p. 21

134


consiste en signos simples colocados en dos columnas, senalados por Col. I y Col.II. En total hay 24 renglones, pero de momento ignoraremos el ultimo.

En la columna I del primer renglon, la primera anotacion es una cuna vertical;la segunda, dos cunas verticales; la tercera es tres, y ası sucesivamente. Es naturalinterpretar estos 9 renglones como 1, 2, 3... 7, 8, 9 porque este es el numero decunas en cada renglon.

En cada fila, los trazos se agrupan en ternas, con lo que se facilita la lectura;despues del 9 aparece un sımbolo nuevo: una cuna angular. Si admitimos querepresenta 10, entonces no hay dificultad en los ocho renglones siguientes ya queconstan de esta cuna y los signos del 1 al 8; podemos, en consecuencia, leerloscomo 11, 12, 13... 18.

En la lınea siguiente encontramos16 un signo especial para el 19, pero corri-entemente se representa por una cuna angular y nueve cunas verticales. En lossiguientes renglones vamos encontrando, dos, tres, cuatro, cinco cunas angularesque deben representar el 20, 30, 40 y 50 respectivamente.

En la columna II, leemos en los seis primeros renglones 9, 18, 27, 36, 45,54; lanzando una hipotesis podemos decir que esta columna es una tabla demultiplicar por 9, entonces el 7 renglon debe expresar el 63 y el octavo el 72,

16AABOE, A., op.cit. p.22.

135


pero en estos renglones encontramos una cuna vertical seguida de un 3 en elseptimo, y de un 12 en el octavo.

Nos vemos obligados a concluir que la cuna vertical debe representar el 60; sitranscribimos esas dos lıneas como 1,3 y 1,12 y le damos al primer 1 el significadode 60, obtendremos

1, 3 = 1 × 60 + 3 = 63 y 1, 12 = 1 × 60 + 12 = 72

Los siguientes renglones se pueden transcribir como:

1, 21 = 81

1, 30 = 90

1, 39 = 99

1, 48 = 108

1, 57 = 117

Todo, basandonos en la hipotesis ya establecida, de que la segunda columna esuna tabla de multiplicar por 9. El decimo renglon tiene dos cunas verticales y un6, lo podemos transcribir como 2,6:

2, 6 = 126

que debe corresponder a 14 × 9 = 126.

Ası, podemos interpretar los siguientes renglones como:

2, 15 = 135

2, 24 = 144

2, 33 = 153

2, 42 = 162

2, 51 = 171

En el siguiente renglon hay 3 cunas verticales cuyo significado es 180; siestuviera seguido por algun signo pudieramos identificar el cero, y transcribirlode la forma 3,0 que serıa 3×60+0 = 180. En consecuencia, daremos por sentadoque los babilonios no tenıan sımbolo para el cero en el extremo derecho de unnumero, sino que procuraban darle a entender al lector que se ha dejado unespacio vacıo.

136


Dos renglones mas abajo podemos comprobar esta afirmacion; frente al 40 dela columna I aparece un 6 en la columna II, que transcribiremos como 6,0, estoes, 6 × 60 + 0 = 360, que concuerda con 40 × 9.

Las otras dos lıneas, tambien confirman nuestro supuesto:

4, 30 = 4 × 60 + 30 = 270 = 9 × 30

7, 30 = 7 × 60 + 30 = 450 = 9 × 50

Hemos comprobado que el texto tiene un significado si aceptamos que los sig-nos numericos alteran su valor de acuerdo al lugar que ocupan, de tal manera quesi un signo se desplaza un espacio hacia su izquierda, su valor numerico se multi-plica por 60. Si se analizan otros textos, nuestro supuesto quedara ampliamenteconfirmado.

Por ejemplo, un numero transcrito como 1, 25, 30 corresponde a:

1 × 602 + 25 × 60 + 30 = 5130

Pero no todo es tan claro; el numero anterior pudo ser trascrito como 1,25,30,0o como 1,25,30,0,0, pero este no es un defecto muy grande ya que en general elcontexto aclara a cual numero se refiere17.

4.5.1. Las operaciones aritmeticas

Como en el sistema babilonio los sımbolos para el uno y para el diez eranlos sımbolos basicos; los numeros del 1 al 59 se construıan combinando estossımbolos, de manera que las operaciones de restar y sumar se reducıan a anadiro quitar sımbolos.

Para representar la suma los babilonios reunıan las dos expresiones en unasola. Las multiplicaciones las efectuaban usando tablas, “los babilonios fueronde los mas infatigables compiladores de tablas aritmeticas de la historia”18; con-struyeron tablas de multiplicar (similares a la tabla del nueve ensenada atras),en donde se encontraban los multiplos de p (siendo este el numero principal19 dela tabla de multiplicar) ası:

17AABOE, A., op.cit., p. 24.18BELL, E. T., Historia de las matematicas, Fondo de Cultura Economica, 1995, p. 40.19Termino usado por AABOE, A., op.cit. p. 37.

137


1 p2 2p3 3p· ·· ·· ·

19 19p20 20p30 30p40 40p50 50p

que culminan, por lo general, en p2. Con base en tablas de este estilo es posibleencontrar cualquier multiplo de p; por ejemplo, si desearamos conocer 32p a lamanera de los babilonios, harıamos la adicion entre 30p y 2p, valores dados en latabla.

No se tiene conocimiento de tabla de multiplicar para p = 17, mientras quesı existe una tabla para p = 44, 26, 40. Todo indica que los numeros principalesde las tablas de multiplicar hallados, son los numeros presentes en otras tablas,denominadas tablas modelos de recıprocos; una muestra de ellas es la siguiente,que escrita en sistema sexagesimal es:

Col. I Col. II

2 30

3 20

4 15

5 12

6 10

8 7,30

9 6,40

10 6

12 5

15 4

Col. I Col. II

16 3,45

18 3,20

20 3

24 2,30

25 2,24

27 2,13,20

30 2

32 1,52,30

36 1,40

40 1,30

Col. I Col. II

45 1,20

48 1,15

50 1,12

54 1,6,40

1 1

1, 4 56,15

1, 12 50

1, 15 48

1, 20 45

1, 21 44,26,40

138


Al multiplicar los numeros de la columna I con los de la columna II se obtienensiempre potencias de 60, esto es, 1, 0 o 1, 0, 0 o . . .; pero los babilonios expresabancualquier potencia de sesenta con un 1; de esta manera, en la columna II estanlos recıprocos20 de los numeros escritos en la columna I; ası, los numeros de lacolumna II no son interpretados como numeros naturales, sino como cocientesentre un numero natural dado y una potencia de 60. Por ejemplo, en la septimafila de la columna I del primer recuadro de la tablilla de recıprocos aparece elnumero 6,40, esto es:

6, 40 = 6 × 60 + 40 = 400

el cual, al ser multiplicado por 9 (su correspondiente en la columna I) da comoproducto 602; ası:

6, 40 × 9 = 602

De donde se obtiene:

6, 40 =602

96, 40

602=

1

9

que es igual a:

6 × 60 + 40

602=

6

60+

40

602=

1

9

Luego, el numero 6 de 6, 40 representa 6/60 y el numero 40, 40/602. Ası, el ultimonumero presente en la columna II: 44, 26, 40 recıproco de 81 (1,21), significa:

44

602+

26

603+

40

604

Esta tabla de recıprocos junto con las tablas de los numeros principales eranutilizadas por los babilonios para realizar divisiones, teniendo en cuenta el hechode que:

a

b= a × 1

b

20Se denomina recıproco de un numero a, a aquel numero que al ser multiplicado por a, seobtiene 1 como producto.

139


En algunas tablillas se dan solo valores aproximados para1

7,

1

11,

1

13. . . , etc.,

porque estas fracciones tienen expresiones sexagesimales infinitas periodicas.

Cuando aparecıan, en los problemas mas antiguos, fracciones con denomi-nadores que incluıan factores primos distintos de 2, 3 o 5, entonces el mismofactor aparecıa tambien en el numerador y se cancelaba uno con otro.

Tambien hicieron tablas de cuadrados, raıces cuadradas, cubos y raıces cuadradasexactas para los cuadrados perfectos y aproximadas para los demas. Una aprox-imacion babilonia es

√2 = 1, 414213 . . . y las seis primeras cifras correctas son

1, 414214 . . .

Ejercicio

Escriba 1340 y 345 en base 60 y efectue 1340 ¸ 345 siguiendo el procedimientobabilonio.

4.6. El sistema egipcio

La informacion que tenemos de la matematica Egipcia proviene fundamen-talmente de dos papiros: el papiro de Moscu y el papiro Rhind, que se conocetambien como papiro de Ahmes por el nombre de su autor. El papiro de Rhindtiene 30 cm de alto y 6 de largo y se encuentra actualmente en el British Mu-seum, excepto unos pocos fragmentos que se conservan en el Broklyn Museum.Fue comprado en 1858 en una ciudad del Nilo por el escoces Henry Rhind, delcual se deriva su nombre. Este papiro no esta escrito en forma jeroglıfica sino continta y en cursiva; esta expuesto el sistema de numeracion y algunas operaciones,entre ellas se encuentra una forma sumativa de multiplicar. Los papiros contienenproblemas y soluciones: 85 en el papiro Rhind y 25 en el papiro Moscu.

Los egipcios utilizaron dos sistemas de escritura: uno pictorico jeroglıficograbado en madera o en piedra, con dibujos de objetos o animales que significa-ban de alguna manera la idea del numero que se querıa representar21 y el otrohieratico, de forma cursiva, mas apropiado para la escritura sobre los papiros.Estos sımbolos fueron creados alrededor del ano 3000 a.C.

21MESERVE, B., SOBEL M., Introduccion a las matematicas, Editorial Reverte, 1967.

140


El sistema jeroglıfico de numeracion es decimal y dispone de un sımbolo par-ticular para cada potencia de 10, se rige por un principio de adicion; es decir,se adiciona el valor de los diferentes sımbolos que componen la escritura de unnumero, sin que el orden sea importante.

Usaban sımbolos distintos para cada potencia de diez22, pero no consideraronel valor posicional; por lo tanto, la posicion de los sımbolos no afectaba el numeroque se querıa representar. | ∩ y ∩ | son formas diferentes de escribir once, o sea,diferentes nombres o sımbolos para el mismo numero; la primera notacion es lamas frecuente en los jeroglıficos y los papiros, donde se aprecian una serie deanotaciones escritas a manera de contabilidad comercial23.

Desde el 1 hasta el 9 trazaban lıneas verticales; el diez tenıa un sımboloparecido a una herradura o cuenco boca a bajo; cien, una espiral o rollo depergamino; mil, estaba representado por una flor de loto; diez mil, por un dedoapuntando, y un millon, por el dibujo de un hombre con las manos extendidasen actitud de asombro, como se muestra en la figura 11:

Cada sımbolo se podıa repetir hasta 9 veces, para formar otros numeros, porejemplo:

| || ||| |||||||||1 2 3 9

∩∩ ∩∩ ||||∩ ∩ ∩ 24

50

22BALDOR, A., Aritmetica, Cultural Colombiana, 1972, p. 36.23MESERVE, B.E., SOBEL, M., Introduccion a las Matematicas, Editorial Reverte Mexicana

S.A, Mexico, 1971.

141


4.6.1. Las Operaciones

La aritmetica egipcia fue esencialmente aditiva; para las sumas y las restasusuales se limitaban a combinar o a cancelar los diferentes sımbolos hasta llegar alresultado concreto. La multiplicacion y la division tambien se reducıan a procesosaditivos, pero el calculo era un poco mas complicado.

La multiplicacion se hacıa inicialmente mediante un proceso de duplicacion,basado en el hecho de que cualquier numero puede expresarse como una sumade potencias de dos. Por ejemplo, como 19 = 1 + 2 +16, entonces el producto de19 × 25 se determina duplicando sucesivamente el numero 25, ası :

1 × 25 = 25

2 × 25 = 50

4 × 25 = 100

8 × 25 = 200

16 × 25 = 400

Luego se suman los multiplos de 25 que correspondan a 1, 2, 16:

19 × 25 = (1 + 2 + 16) × 25

= 25 + 50 + 400

= 475

Con el tiempo, adoptaron un procedimiento mas rapido para multiplicar, cono-cido como el metodo de duplicacion y mediacion, que consiste en duplicar uno delos factores y sacar la mitad del otro. Por ejemplo para determinar el producto19× 25 se va sacando mitad a 19 sucesivamente, sin tener en cuenta los residuosde cada paso, y al mismo tiempo se va multiplicando el 25, como se expone acontinuacion :

19 ➜ 25

9 ➜ 50

4 ➜ 100

2 ➜ 200

1 ➜ 400

El proceso se termina cuando se obtiene un 1 en la columna de los numerosque se han ido dividiendo entre dos. A cada uno de los numeros de esta columna

142


le corresponde un numero en la columna de los numeros que se han duplicado.El producto de 19 × 25 se obtiene como la suma de los numeros que se oponena los numeros impares de la columna de las mitades:

19 × 25 = 25 + 50 + 400 = 475

Ejercicio

Explique, ¿por que funciona el metodo descrito?

Para dividir un numero por otro. Por ejemplo, para dividir 19 por 8 procedıande la siguiente manera:

1 82 16

1/2 41/4 21/8 1

y obtenıan como respuesta:

2 + 1/4 + 1/8

La idea consiste en tomar el numero de ochos y de partes de ochos que sumen19.

Los egipcios utilizaron la matematica en la administracion de los templosy asuntos de estado, en el calculo de salarios pagados a los trabajadores, enel calculo de volumenes de los graneros y areas de los campos, en el cobro deimpuestos estimados segun el area de tierra, en el calculo de numero de ladrillospara la construccion de edificios, etc. Los papiros contienen problemas relativos ala cantidad de granos necesarios para producir cantidades de cerveza o la cantidadde granos necesarios para obtener un grano de otra calidad cuya proporcionrelativa a la de la primera fuera conocida.

Calcularon la duracion del ano solar observando la estrella Sirio; el momen-to en que era visible justo antes de la salida del sol recibıa el nombre de salidaheliacal de Sirio, y el intervalo entre dos de ellas consecutivas era de aproximada-mente 365 1/4 dıas. Adoptaron un calendario civil con un ano de 365 dıas. Laconcentracion en Sirio se debio, al parecer, al hecho de que las aguas del Nilo

143


comenzaban a subir aproximadamente ese dıa, que se eligio como primer dıa delano.

El ano de 365 dıas se dividio en 12 meses de 30 dıas mas 5 dıas extras al final.Como los egipcios no intercalaron el dıa adicional cada 4 anos, el calendariocivil iba retrasandose poco a poco con respecto a las estaciones y al cabo de1460 anos volvıa a la situacion inicial; a este intervalo se le llama ciclo sotico,del nombre egipcio para Sirio. Su calendario fue adoptado por Julio Cesar enel ano 45 a.C, pero transformado en el ano 365 1/4 dıas por consejo del griegoalejandrino Sosıgenes.

144

CAPITULO 5

LOS NUMEROS NATURALES ENOTRAS RAMAS DE LA

MATEMATICA

Introduccion:

En este capıtulo ponemos en juego procesos logicos que los matematicos prac-tican a menudo, que no son difıciles por sı mismos, pero que requieren entre-namiento y trabajo.

El 90 por ciento de la actividad matematica es sudor del pensamiento; muchoempeno, mucho error, pero siempre, muchas ideas para volver a empezar.

Plantearemos algunos problemas que consideramos interesantes y divertidos,lo que es fundamental para el enamoramiento requerido por esta forma peculiarde razonar.

Esbozaremos algunas posibles soluciones que sirvan como ayudas, lo que noimplica que sean el camino. No estamos interesados en una respuesta correctapara cada ejercicio, sino en que el estudiante ejercite sus propios procesos depensamiento y proponga alternativas de solucion.

145


5.1. Fenomenos periodicos relacionados

Los siguientes 4 problemas tienen algo en comun; intente encontrar las coin-cidencias.

1. Dos satelites X y W tienen orbitas circulares alrededor de la tierra, X dauna vuelta en 90 minutos y W en 120. Si X y W son representados porlos puntos de la figura 1, y giran en el mismo sentido, ¿cuantos minutospasaran para que juntos esten en la posicion de partida por primera vez?,¿por segunda vez?, ¿por septima vez?

Si cambiamos el perıodo (tiempo que gasta en dar una vuelta) de X a 45minutos y el de W a 30, ¿el problema se resuelve de la misma forma? ¿Esvalido el esquema de solucion para cualquier valor de X y W?

Este problema, como casi todos, tiene varias maneras para ser resuelto.Proponga por lo menos 3 formas, intentando que cada una de ellas sea, enalgun sentido, mejor que la anterior.

¿Podrıa resolverse utilizando el numero de vueltas, en lugar del perıodo?

��WX

Figura 1

Si dos satelites se encuentran por primera vez al cabo de 60 minutos, ¿cualesson los posibles periodos de cada uno?; ¿y si se encuentran al cabo de unnumero cualquiera k de minutos?

2. ¿Cual es la menor capacidad que debe tener un estanque que se puede llenaren un numero exacto de minutos por cualquiera de tres grifos que vierten, el

146

LOS NUMEROS NATURALES EN OTRAS RAMAS DE LA MATEMATICA

primero 36 litros por minuto, el segundo 54 litros por minuto y el tercero 60litros por minuto? ¿Y si cambiamos los valores del primero por un numerok de litros por minuto, el segundo por un numero m y el tercero por unnumero n?

3. Tres aviones salen de una misma ciudad, el primero cada 8 dıas, el segundocada 10 dıas y el tercero cada 20. Si salen juntos del aeropuerto el dıa 2 deenero, ¿cuales seran las dos fechas mas proximas en que volveran a salirjuntos? (el ano no es bisiesto).

4. Si queremos encontrar un multiplo comun entre dos numeros naturales, unaopcion elemental es multiplicarlos; si el problema consiste en encontrar unmultiplo comun pero cada vez menor, podemos dividir el resultado anteriorentre algun factor comun de los numeros, pues este ha sido multiplicadodos veces en el producto, si lo que debemos es encontrar el mınimo comunmultiplo de ellos podemos repetir el proceso anterior con cada uno de losfactores comunes de los dos numeros. Con base en estas observaciones,escriba un algoritmo para hallar el mınimo comun multiplo de dos numeroscualesquiera. Enuncie una relacion entre el mınimo comun multiplo y lamultiplicacion de dos numeros cualesquiera.

5. Hallar el mınimo comun multiplo entre dos numeros naturales a y b, quenotaremos [a, b], es una operacion similar a la multiplicacion, en el senti-do de que si damos dos numeros cualesquiera su mınimo comun multiploes otro numero natural. Podemos, entonces, construir una tabla para es-ta nueva operacion; por ejemplo, la tabla 1 muestra el m.c.m de algunosnumeros escritos en base 12:

147


BASE 12

[, ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

2 0 2 2 6 4 A 6 12 8 9 18 B

3 0 3 6 3 10

4 0 4

5 0 5

6 0 6

7 0 7

8 0 8

9 0 9

A 0 A

B 0 B

a) Complete la tabla.

b) Explique las dos primeras filas y las dos primeras columnas.

c) ¿En cuales casos es lo mismo multiplicar dos numeros que hallar sumınimo comun multiplo?

d) ¿La operacion es conmutativa?, ¿tiene elemento identico?

e) Enuncie otras regularidades.

6. Si a y b son dos numeros naturales, la relacion entre la multiplicacion a× by el mınimo comun multiplo de ellos, la llamamos el maximo comun divisorde a y b y lo notamos (a, b), tenemos que

(a, b) =a × b

[a, b]

y resulta otra operacion entre numeros naturales que tambien tiene su tablacorrespondiente:

148


BASE 12

( , ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

3 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1

4 4 1 2

5 5 1 1

6 6 1 2

7 7 1 1

8 8 1 2

9 9 1 1

A A 1 2

B B 1 1

a) Sugiera una explicacion para el nombre de esta operacion.

b) Complete la tabla.

c) Explique las dos primeras filas y las dos primeras columnas.

d) ¿La operacion es conmutativa?, ¿tiene elemento identico?

e) Enuncie otras regularidades.

f ) Multiplique las tablas 1 y 2 casilla a casilla, ¿que obtiene?; ¿lo esper-aba?

5.2. Los datos y las hipotesis en un problema

Frecuentemente encontramos en matematicas problemas donde, al parecer,faltan datos o las hipotesis que se deben manejar no estan explıcitas; en estoscasos se requiere de algo de paciencia y observacion.

En el siguiente ejercicio es muy importante la lectura y traduccion de lascondiciones del problema y la formulacion de conjeturas o hipotesis bajo lascuales la solucion propuesta es valida:

149


Un club de 99 miembros hizo una rifa con tres premios. En ella cada ganadortenıa como premio un numero de entradas al teatro, igual a la suma de los dıgitosde su boleta.

Uno de los miembros, que no asistio, pregunto quienes habıan ganado y no lequisieron decir; luego pregunto por el numero total de entradas repartidas y ledijeron que si le respondıan, le dirıan los numeros premiados, y el contesto: “yase”. ¿Como lo supo?

5.3. Algunas veces no se puede

En algunas ocasiones encontramos problemas que tienen una solucion paraalgunos valores de los datos del problema, pero que en general no se puedenresolver con datos arbitrarios. Veamos un ejemplo:

Con las siguientes seis cifras 1, 1, 2, 2, 3 y 3 es posible escribir un numerodonde los “1”esten separados por un dıgito, los “2”por dos dıgitos y los “3”por3. Por ejemplo:

3 1 2 1 3 2 y por supuesto, escritos en orden inverso 2 3 1 2 1 3

Solo con las cifras 1, 1, 2 y 2 no es posible escribir un numero donde los“1”esten separados por un dıgito y los “2”por dos dıgitos, pues en cualquierconfiguracion nos falta una cifra.

Con las cifras 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4 y 4 escriba un numero donde los “1”estenseparados por un dıgito, los “2”por dos dıgitos, los “3”por 3 y los “4”por 4.

El mismo problema con los numeros 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 y 5 no tienesolucion, tampoco si los numeros van hasta 6, pero sı la tiene para 7 y 8.

Una solucion para 7 es:46171435623725

Encuentre una para 8.

¿Para cuales valores de k, el problema de escribir

112233445566 . . . , kk

con las condiciones expuestas es posible?

150


❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Hay problemas en matematicas que no tienen solucion; no por incapaci-dad del matematico, sino porque la solucion no existe, generalmenteporque las condiciones lo impiden.

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Por ejemplo, es imposible dividir un angulo arbitrario en tres angulos igualesutilizando solamente regla y compas, construir un cubo cuyo volumen sea eldoble de un cubo dado o construir un cuadrado de area equivalente a un cırculodado1; tambien es imposible encontrar una formula que permita resolver cualquierecuacion de grado 5 o superior, utilizando las operaciones basicas del algebra2.

Demostrar que un problema no tiene solucion suele ser mas complicado queencontrar una; tal vez sea Evariste Galois el matematico mas recordado porhaber generado soluciones a problemas de este tipo. El demostro la imposibilidadde solucion de algunos problemas milenarios, como la duplicacion del cubo, latriseccion del angulo y la ecuacion general de quinto grado por radicales.

Generalmente, en la busqueda de soluciones para problemas insolubles, seaprende mucho sobre otros problemas que sı tienen solucion y se desarrollanteorıas nuevas. Galois no solo resolvio los problemas clasicos, sino que puso lasbases para el desarrollo de la teorıa de grupos y de la teorıa de Galois3.

5.4. Regularidades y secuencias

5.4.1. Cuadrados magicos4

Un cuadrado magico es una tabla con el mismo numero de casillas verticales(columnas) que horizontales (filas), donde se ubican numeros, de manera que lasuma de las filas es la misma que la de las diagonales y la de las columnas.

1MUNOZ, J. M., Imposible duplicar el cubo. ¿Sabe usted por que?, VII Coloquio Distritalde Matematicas y Estadıstica, Universidad Nacional, Bogota, Dic. 1990.

2HERSTEIN, I. N., Algebra moderna, Trillas, Mexico, 1976, p.249.3FRALEIGH, J. B.; Algebra abstracta, Addison Wesley Iberoamericana, Mexico,1988, p.

415.4Los cuadrados magicos son de origen oriental.

151


Coloque5 en cada casilla vacıa un numero entre 1 y 9, de manera que la sumade los numeros en cada fila, columna o diagonal, sea 15 en base 10. Repita elejercicio en base 11 y en base 16.

5

9

¿Cuantas maneras hay de hacerlo?,¿la suma debe ser 15 o puede ser otronumero?, ¿puede ser cualquier numero?, ¿se puede con multiplicaciones?, ¿conmınimo comun multiplo?

Escriba6 una tabla similar con los numeros entre 1 y 16 en un cuadrado 4×4,de manera que su suma sea 34. Repita el ejercicio en base 11 y en base 16. Busqueregularidades, explore posibilidades.

5.4.2. Observando secuencias

1. Estudie las siguientes secuencias de numeros en base 10:

1

2 31 3

4 5 6 72 3 6 71 3 5 7

8 9 10 11 12 13 14 154 5 6 7 12 13 14 152 3 6 7 10 11 14 151 3 5 7 9 11 13 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 318 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 314 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 312 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 311 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

5Los chinos resolvieron este ejercicio hace mas de 6000 anos.6El pintor Alberto Durero presento este cuadrado en uno de sus cuadros, en 1514.

152


De una explicacion de su formacion. Puede ayudarle, pensando por ejem-plo, en:

a) La secuencia de los primeros numeros de cada tabla.

b) Si hay relacion entre el primero y el ultimo numero de cada tabla.

c) La forma como se rompe la secuencia en cada fila y el numero de vecesque esto ocurre.

¿Cuantos numeros aparecen en una sola fila en cada tabla?, ¿cuantos numerosaparecen solo en dos filas en cada tabla?, ¿en tres?, ¿en cuatro?...¿encuentraalguna regularidad? Justifique.

Sin mirar las tablas, diga cual numero esta solamente en la segunda, terceray cuarta filas de la quinta tabla. Construya un ejemplo analogo partiendo de32 (los numeros estan escritos en base 10). ¿Pueden hacerse ordenamientossimilares en otras bases?

2. Observe la siguiente secuencia:

28 22 18 21 8 23

26 21 16 24 6 21

24 23 14 21 4 22

22 21 12 22 2 21

20 22 10 21

Encuentre la mayor potencia de 2 que divide a

28! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × · · · × 25 × 26 × 27 × 28

Cual es la mayor potencia de 2 que divide a

n! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × · · · × (n − 2) × (n − 1) × n

a) Si n es par

b) Si n es impar

Repita el ejercicio con la mayor potencia de 3 que divida a n!

153


3. Considere la suma7

7 + 77 + 777 + · · · + 77777777777777777777

Encuentre el dıgito del lugar 100 de la suma.

4. La siguiente secuencia se construye ası:

La primera lınea tiene un 1; eso escribo en la segunda: 1 1;

la segunda lınea tiene dos unos; eso escribo en la tercera: 2 1;

la tercera lınea tiene un 2 y un 1; eso escribo en la cuarta;

la cuarta lınea tiene un 1, un dos y dos unos; eso escribo en la quinta, etc.

1

1 12 1

1 2 1 11 1 1 2 2 13 1 2 2 1 1

¿Como es la lınea 12?;¿cual es la lınea 25?; ¿cual es la lınea numero k?

5.5. Sumando sumas

1. El menor numero de paquetes que se pueden colocar en dos sacos, de talmanera que en cada saco quede un numero diferente de paquetes y quecada uno de ellos contenga por lo menos uno, es tres.

¿Cuantos en tres sacos?, ¿cuantos en cuatro sacos?, ¿cuantos en 7 sacos?,¿cuantos en k sacos?

Invirtiendo la pregunta, el mayor numero de sacos en los que se puedenrepartir 28 paquetes de manera que cada uno tenga por lo menos uno, perocada uno con un numero distinto de paquetes es 7. ¿Cuantos sacos con 55paquetes?

7Mathematics Teacher. Diciembre 1992 Vol. 85. No 9.

154


Y si tenemos 25 paquetes, podemos distribuirlos con las condiciones estable-cidas en maximo 6 sacos, ubicando, por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5 y 10 paquetesen cada uno de los sacos. Por supuesto, esta no es la unica solucion posible.

¿De cuantas formas distintas se puede hacer esta reparticion?

Si el numero de sacos es 17, ¿cual es el numero mınimo de paquetes? Si elnumero de paquetes es 123, ¿cual es el mayor numero de sacos y de cuantasformas diferentes es posible hacerlo? ¿En que casos la solucion es unica?

Ahora, si el numero de sacos es 23, ¿cual es el numero mayor de paquetes?Si el numero de paquetes es 157, ¿cual es el mayor numero de sacos y decuantas formas diferentes es posible hacerlo?

Hay casos en que la solucion es unica, y sucede cuando el numero de pa-quetes es igual a la suma de los sacos; ejemplo:

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Como el total de los paquetes es 10, el numero de sacos es 4 exactamente.En este proceso no hay otras formas distintas de solucion; por eso, ella esunica.

2. Un libro esta paginado desde la primera pagina en base 7. ¿Cuanto sumanlas cifras que numeran las 6 , 16 , 26 , 36, 46, 56, 66, primeras paginasdel libro?. ¿Cuanto suman las cifras que numeran las 15 , 20, 4 3 primeraspaginas? Plantee y resuelva un ejercicio similar en base 8. Ensaye unageneralizacion para un numero de paginas con tres cifras.

¿Cuantas paginas tiene un libro si la suma de los dıgitos que las numeran(en base 10) suma 381? ¿Como serıa en base 9?

3. Si a un numero en base 2 se agrega un 1 a la derecha, ¿que relacion tiene conel original?, ¿y si se agrega a la izquierda?, ¿que pasa en base 3, 4, · · · , k?,¿y si en lugar de 1 se le agrega un 2?, ¿y si se le agrega la base? Intentegeneralizaciones.

155


5.6. ¿Cual es el numero mas grande?

1. Escribir numeros grandes en distintas bases. Queremos estudiar aho-ra, cual es el numero mas grande que se puede escribir con tres cifras igualescon los convenios establecidos para la escritura de los numeros, pero sinsignos de operaciones entre ellos, salvo lo acordado para la notacion expo-nencial.

En base 2 solo tenemos dos sımbolos, 0 y 1. El numero mas grande que sepuede escribir con tres cifras repetidas y sin colocar signos de operacionesentre ellos es, naturalmente, 1 1 1, puesto que:

1(11) =(11

)1= (1)11 < (11)1 < 111

¿Es valido este ordenamiento con tres unos, en cualquier base?

En base tres, la secuencia con tres doses es:

2(22) =(22

)2< 222 < (22)2 < (2)22

¿La secuencia es la misma en cualquier base?

¿Cual es el orden con tres treses en base 4?

3(33) (33

)3(3)33 (33)3

¿Es el mismo en otra base?

Con tres cuatros en base 5, la secuencia es:

444 < (44)4 <(44

)4 < (4)44 < 4(44)

puesto que

4(44) > 444

156


En base 10 el mayor numero que se puede escribir con tres doses, sin ningunsigno de operacion, es 222, puesto que:

(22

)2= 16 ≤ 222

≤ 222 = 484

≤ 222 = 4194304

Ahora, con tres treses el mayor numero que podemos escribir es 333, debidoa que:

333 ≤ 333 = 5, 559060566556 × 1015

El mayor numero con 3 nueves es 999= 9387420489 (mas grande que el numero

de atomos de todo el universo).

Intentemos una generalizacion para el caso de tres cifras iguales a b en basek.

Los dos candidatos a ser el mas grande, segun hemos visto, son:

b(bb) y bbb

Como la base es la misma basta comparar los exponentes8 esto es

bb y kb + b,

Para que el primero sea mayor, es necesario que

b(b−1) > (k + 1),

donde hemos dividido por b ambas expresiones (suponiendo naturalmenteque b no es 0).

Si b es 4 la expresion es cierta hasta base 62, donde b(b−1) es 43 = 12(64 en base 10)y k+1 = 11(63 en base 10). La formula considerada en base 10 es ciertapara b > 3.

8Esto se debe a que si x < y entonces ax < ay.

157


Ensaye un trabajo similar con cuatro cifras iguales; he aquı unas perlitas:

El numero mas grande que se puede escribir con cuatro unos es:

1111 = 285311670611

Con cuatro doses el mas grande es:

((2)2)22

Este numero es mayor que 24000000, que a su vez es mayor que 101200000 yeste ultimo que tiene mas de un millon de cifras9.

2. Escriba de menor a mayor

2121 955 788

5.7. Contar en geometrıa

1. Este problema requiere para su solucion mezclar un poco de intuicion enel manejo del espacio, con cierta habilidad de calculo.

Inicialmente, notemos que con 3 puntos se puede formar una sola fila (demanera que los tres esten en la misma recta):

* * *

Si ponemos 4 puntos, con la condicion adicional de no poner mas de trespuntos en cada fila, podemos hacer, de nuevo, solo 1 fila de 3 puntos.

* * **

Pero con 5 puntos, ya podemos hacer, a lo mas, dos filas de 3:

9PERELMAN, Y., Algebra Recreativa, Mir, ;Moscu, 1989, p. 49.

158


* **

* *

Se puede verificar, que con

6 puntos se hacen maximo 4 filas de 3




10 puntos se hacen maximo 11 filas de 3.

Ejemplificamos este ultimo caso en la figura 2:

�

�

�

�

�

�

��

�

Figura 2

Con 20, 21, 22, puntos, ¿cual es el mayor numero de filas de tres puntosque se puede construir?¿Cual es la secuencia para k puntos?

2. La conjetura del punto. Consideremos un conjunto de puntos que estanconectados todos entre sı, por lıneas rectas, como se muestra en la figura3:

159


� �

�

� �

� �

�

� �

�

Figura 3

La conjetura sostiene que es imposible trazar un diagrama de puntos enel que cada lınea contenga al menos tres puntos (sin tener en cuenta eldiagrama en el que todos los puntos descansen sobre la misma lınea). Enefecto, tras experimentar con unos pocos diagramas, la afirmacion pareceser cierta.

Por ejemplo, el primer diagrama consta de cinco puntos conectados porseis lıneas. Cuatro de ellas no contienen tres puntos, ası que, claramente,esta disposicion no cumple el requisito de que todas las lıneas posean trespuntos. Si insertamos un punto mas y su lınea correspondiente, como en elsegundo diagrama, el numero de lıneas que no reune tres puntos se reducea tres.

Distribuya el diagrama de manera que todas las lıneas contengan al menostres puntos. ¿Es imposible? Argumente por que.

3. Observemos las siguiente figura:

1 5 14Figura 4

En la primera aparece solamente un cuadrado de lado 1.

En la segunda hay 4 cuadrados de lado 1 y 1 de lado 2

En la tercera hay 9 cuadrados de lado 1, 4 de lado 2 y 1 de lado 3.

De esto inducimos que, para un cuadrado de lado 4 deberıa haber 16 cuadra-dos de lado 1, 9 de lado 2, 4 de lado 3 y 1 de lado 4.

160


Y en un tablero de ajedrez deberıa haber:

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = 204 cuadrados en total.

Existe, ademas, solamente una figura regular que nos permite hacer figurassemejantes a partir de ella por repeticion, como en el caso anterior; es eltriangulo equilatero10.

Estudie el problema de encontrar el numero de triangulos equilateros quese forman en un triangulo equilatero de lado 1, 2, 3, · · · , 10, k. En la figura5 se muestra el caso para un triangulo equilatero de lado 4:

Figura 5

5.8. Contar en topologıa

1. La caracterıstica de Euler.Considere un triangulo ABC en un plano αy un punto P fuera del plano. Si unimos con segmentos de lınea recta elpunto P con cada uno de los vertices del triangulo obtenemos un poliedro decuatro caras, llamado tetraedro, que tiene cuatro vertices y 6 aristas. Noteque el numero de vertices V mas el numero de caras C, menos el numerode aristas A es 2. Este numero es llamado la caracterıstica de Euler deltetraedro.

Sustituya el triangulo por un polıgono de 4, 5, 6 . . . lados en α (con estoobtenemos piramides), cuente sus caras, sus vertices y sus aristas. Calcule lacaracterıstica de Euler de las piramides ; es decir, el numero V + C - A.

Sustituya ahora el punto P por un polıgono A’B’C’. . . en un plano β, paraleloa β, del mismo numero de lados que el que se toma en el plano α; una los vertices

10La justificacion de este comentario aparece en el capıtulo 6.

161


correspondientes hasta formar un prisma. Repita las cuentas hechas para laspiramides y compare los resultados. Intente con otras figuras.

En otros poliedros, como las torres, que estan formadas por piramides sobreprismas, tambien se verifica la relacion de Euler11. ¿Existe alguna figura dondeella no se verifique?

Calcule la caracterıstica de Euler para un cubo con un agujero, como el quemuestra la figura 6. Haga sus propios ensayos con solidos que tengan dos o mashuecos.

Figura 5

Una consecuencia asombrosa de que la caracterıstica de Euler sea 2 paracualquier poliedro, es que:

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Solo existen 5 poliedros regulares

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Un poliedro se llama regular si su superficie esta formada por caras poligo-nales todas congruentes entre sı y los angulos en sus vertices son tambien con-gruentes.

Y solo existen cinco poliedros regulares: el tetraedro, el hexaedro o cubo, eloctaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

Mostraremos aquı un razonamiento basado en el teorema 21 del libro XI delos Elementos de Euclides, el cual dice que “todo angulo solido es contenido porangulos menores que 4 angulos rectos”. Veamos:

11CAMPOS, A.; El mas bello teorema, Memorias VII Encuentro de Geometrıa y sus Aplica-ciones, Bogota, 1996.

162


Con 3 triangulos equilateros se construye un angulo solido del tetraedro, cuyamedida es la suma de las medidas de los angulos de los triangulos que forman elvertice del angulo del tetraedro (esto es 3× 60 = 180 < 360); con 4 el angulo deloctaedro (4×60 = 240 < 360), con 5 el angulo del icosaedro (5×60 = 300 < 360).

Con 6 triangulos equilateros, no se puede formar un angulo solido, porque,como el angulo del triangulo equilatero es dos tercios de un angulo recto, los 6serıan iguales a 4 angulos rectos, lo que es imposible.

El angulo de un cubo esta formado por 3 cuadrados y no se puede formar unangulo solido con 4 cuadrados, porque serıan 4 angulos rectos.

El angulo del dodecaedro regular esta formado por 3 pentagonos equilateros,y construir un angulo solido con 4 pentagonos es imposible, puesto que el angulodel pentagono regular es 6/5 de un angulo recto, los 4 angulos serıan mayoresque 4 angulos rectos. Imposible.

En conclusion, solo hay 5 poliedros regulares. El numero de sus vertices, aristasy caras esta en la tabla 6.

Poliedro regular Numero de vertices Numero de Aristas Numero

de caras

Tetraedro 4 6 4

Hexaedro 8 12 6

Octaedro 6 12 8

Dodecaedro 20 30 12

Icosaedro 12 30 20

163


Para todos ellos la caracterıstica de Euler es 2. Una demostracion analıticade este hecho, donde se utiliza la relacion de Euler V − A + C = 2 se encuentraen el libro de COURANT, R. y ROBBINS, R.12

5.9. Contar en teorıa de grafos.

1. Cuentas en teorıa de Grafos. Algunas de las siguientes figuras se puedentrazar sin levantar el lapiz y sin repetir lınea, ¿cuales?.

Figura 8

Observe la siguiente secuencia de figuras. Todas ellas se pueden dibujar conlas condiciones estipuladas.

En la figura 9 encontramos el caso mas simple, en donde el punto de partida(i) coincide con el punto de llegada (f).

Notemos que en estos trazos, la forma no es determinante para la soluciondel problema13 ; ellos son esencialmente los mismos.

i , f i , f i , f

Figura 9

La figura 10 muestra nuevamente tres trazos esencialmente iguales, en elsentido que tienen la misma solucion, aunque su forma es distinta. Busque otras.

12¿Que es la Matematica?, Aguilar, Madrid, 1971, p.p. 242 - 246.13Existen otros problemas en donde la forma de las figuras es irrelevante para su solucion;

una de las ramas de la matematica que se ocupa de algunos de ellos es la topologıa.

164


f

i

f

if

i

Figura 10

El primer trazo de la figura 10 se obtiene mediante la adicion de una lıneainterior al primer trazo de la figura 9 y por un proceso similar, podemos obtenernuevas situaciones que tambien son equivalentes, como las que se muestran en lafigura 11.

fi

f

i

f i

f i

Figura 11

Exprese un criterio segun el cual son equivalentes los trazos en cada una delas figuras anteriores.

La figura 12 muestra otros trazos que se pueden hacer, sin repetir lınea y sinlevantar el lapiz, que pueden servir para que usted intente sus propias conjeturas,sin importar que logre o no una conclusion valida, mediante el pegamiento defiguras similares al primer trazo de la figura 10.

Figura 12

165


Sin embargo, si adicionamos una lınea mas al primer trazo de la figura 11, laconstruccion ya no es posible. Este y otros casos imposibles se muestran en lafigura 13. Estudie en las figura que hemos presentado y determine en que condi-ciones se pueden trazar sin levantar el lapiz y sin repetir lınea.

Figura 13

En figuras como las que hemos presentado se acostumbra llamar vertices alos puntos de los cuales parten las lıneas, vertice impar si de el parte un numeroimpar de lıneas, y par en caso contrario. Por ejemplo, el vertice A en la figura13 es par y el B es impar.

Figura 14

B

A

E

D

C

166


El problema de hacer trazos sin levantar el lapiz y sin repetir lınea esta rela-cionado con uno que le fue propuesto al matematico Leonhard Euler, sobre unpaseo por la ciudad de Konigsberg (actualmente Kaliningrado); allı hay una islallamada Kueiphof, el rıo que la rodea se divide en dos brazos y sobre ellos, entiempos de Euler, estaban colocados siete puentes, de la forma como se indica enla figura 15.

Los habitantes del lugar intentaban descubrir una trayectoria para sus paseos,de forma tal que pudiesen regresar al punto de partida despues de haber cruzadopor los siete puentes, pero pasando por cada uno solo una vez.

Euler presento una solucion a un problema mas general: “Dada una config-uracion cualquiera del rıo y de los brazos en que pueda dividirse, ası como unnumero cualquiera de puentes, determinar si es o no posible cruzar cada puenteexactamente una vez”, de la siguiente forma:

Euler presento una solucion a un problema mas general: “Dada una config-uracion cualquiera del rıo y de los brazos en que pueda dividirse, ası como unnumero cualquiera de puentes, determinar si es o no posible cruzar cada puenteexactamente una vez”, de la siguiente forma:

Si hay mas de dos regiones a las que conduce un numero impar de puentes,ninguna ruta se puede hallar que satisfaga las condiciones requeridas.

Si, por el contrario, hay solo dos regiones con un numero impar de puentesque conduzcan a ellas, el camino pedido se puede realizar, supuesto que comienceen una de tales regiones.

Si, finalmente, no hay ninguna region a la que conduzca un numero impar depuentes, el camino pedido se puede realizar comenzando en cualquier region.

167


Una solucion propuesta en teorıa de grafos para el problema de trazar figurassin levantar el lapiz y sin repetir lınea se muestra a continuacion14:

1. Las figuras donde todos sus vertices son pares se pueden dibujar con untrazo continuo partiendo de un vertice cualquiera

Figura 16

La estrella pentagonal (figura 16), sımbolo que empleaban los pitagoricospara reconocerse, y la firma de Mahoma, formada por dos medias lunasopuestas (figura 17), y que segun la tradicion, trazaba el Profeta con lapunta de su cimitarra, son dos de estos casos.

Figura 17

2. Cuando una figura tiene dos vertices impares, puede describirse con trazocontinuo partiendo de uno de dichos vertices.

Ası, por ejemplo, la figura 18 puede describirse en cualquier sentido con talde que se parta de una de sus vertices impares B o D.

14TAHAN, M., El Hombre que Calculaba, Ed. Panamericana, Bogota, 1997, p. 236.

168


A

B

C

D

E

F

Figura 17

En iguales condiciones se halla la figura 19.

Figura 19

Las figuras que tienen mas de dos vertices impares, no pueden describirsecon un trazo continuo.

Compare esta solucion con la dada por Euler al problema de los puentes. ¿Aque corresponde una region en el lenguaje de los trazos?, ¿a que correspondeun puente?; dibuje el trazo15 correspondiente.

15La palabra trazo que utilizamos aquı, corresponde a grafo en los libros dedicados a sus estu-dio, por ejemplo: JOHNSON, D., JOHNSON J., Graph Theory with Engineering applications,Ronald Press, 1972.

169


5.10. Contar en teorıa de probabilidades

Los elementos que aportan estos ejercicios son utilizados en la formulacion delos conceptos basicos de la teorıa de probabilidades16:

1. Estudiemos de cuantas formas se pueden colocar en un renglon 1, 2, 3 y 4letras respectivamente.

En el primer caso solo tenemos una forma.

En el segundo caso, si las letras son a y b, estas las podemos colocar de dosformas diferentes

a b y b a

Para tres letras, por ejemplo a,b y c, las podemos colocar de 6 formasdistintas a saber:

a b c, a c b, b a c, b c a, c a b, c b a

notemos que 2 empiezan con a, dos con b y dos con c, en total 3 × 2 = 6;tres formas de empezar con dos posibilidades cada una.

Si son 4 letras, digamos a, b,c y d, tenemos 4 maneras de empezar, y porel ejercicio anterior, 6 posibilidades en cada una, por ejemplo:

a b c d, a b d c, a c b d, a c d b, a d b c, a d c b

Ahora, colocando la b en la primera posicion nos resultaran otras seis posi-bilidades y si continuamos con cada una de las letras vamos a obtener seisposibles formas por cada letra; lo que nos da 4 × 3 × 2 = 24 manerasdiferentes para las cuatros letras(con cuatro letras cada una).

¿Cuantas formas posibles existen para colocar 5 letras? ¿Cuantos posiblesarreglos se pueden encontrar con 10 elementos diferentes?; ¿con 25?, ¿conk letras?

16KREYSZIG, E., Introduccion a la estadıstica matematica, principios y metodos. Limusa,1978.

170


2. Si tenemos 5 objetos que no se puedan distinguir por el tacto, por ejem-plo, bolas de igual volumen y peso, pero distinto color en una bolsa, hayexactamente 5 posibilidades de sacar una bola de un color determinado.

Si deseamos sacar dos bolas, hay 5 posibilidades de sacar la primera y 4posibilidades de sacar la segunda, pues ya hay una menos en la bolsa. Esdecir, 5 × 4 en total.

Para sacar la tercera bola hay 5×4×3 posibilidades. Si sacamos 4 bolas de6 posibles, ¿cuantas posibilidades hay?; ¿si sacamos k bolas de n posibles?

3. Complicando el problema anterior un poco mas, deseamos saber (y estoes fundamental en cualquier estudio) de cuantas formas se puede escoger 2bolas de 5 posibles, pero en esta ocasion no distinguimos entre sacar la bolamarcada con 1 y luego la marcada con 2, y la eleccion en orden contrario;es decir, sacar primero la bola 2 y luego la bola 1.

En este caso, las posibilidades se reducen a la mitad; es decir, dividimos larespuesta del problema anterior, entre 2.

Si en lugar de 2, sacamos 3, 4, bolas, sin distinguir el orden de aparicion,¿cuantas formas son posibles?; ¿si sacamos k bolas de n posibles?

4. ¿De cuantas formas pueden 7 personas estar sentadas en una silla de unacafeterıa con capacidad para 3 personas?

5. Se quieren sentar 3 hombres y 2 mujeres en una fila de modo que las mujeresocupen los sitios pares. ¿De cuantas formas pueden sentarse?, ¿y si son 5hombres y 4 mujeres?

6. ¿De cuantas formas pueden sentarse 4 personas alrededor de una mesa de3 puestos, si pueden sentarse de cualquier forma?

7. ¿De cuantas formas pueden sentarse 5 personas alrededor de una mesa de3 puestos, si dos personas determinadas no deben sentarse una al lado dela otra?

8. Con 3 mujeres y 5 hombres quiere formarse un comite de 2 mujeres y 3hombres. ¿Cuantos comites distintos pueden formarse si:

171


i. No se impone ninguna restriccion?

ii. Dos mujeres determinadas deben estar en el comite?

iii. Un determinado hombre no debe estar en el comite?

9. En dos cajas hay encerrados un mango y una papaya; si sabemos que encada caja hay una sola fruta, es obvio que sacando la fruta que hay en unade ellas sabremos el contenido de la otra.

Similarmente es posible saber el contenido de tres cajas, donde hay tresmangos y tres papayas, sacando solo una fruta de cada caja y sabiendo queen cada caja hay dos frutas y que no hay en ellas la combinacion de frutasque se indica en la figura. Encuentre la solucion. Enuncie y resuelva unageneralizacion de este problema para 4 cajas, 6 mangos y 6 papayas.

Figura 19

MM PM PP

10. ¿Con una balanza es posible distinguir una moneda falsa entre tres, sabi-endo que la falsa pesa menos y haciendo solo una pesada?; ¿y si son 6, 8,o 9 monedas, se puede en dos pesadas?

¿Y si la falsa pesa distinto de las otras dos, pero no sabemos si mas omenos, se puede distinguir una de tres haciendo dos pesadas? ¿Una de 9 ode 12 en tres pesadas? ¿Hay una regla general para este problema?

11. Observe la tabla siguiente y complete los sitios que faltan.

172


1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 5 6 7 8

3 6 10 15 21 28 36

4 10 20 35 56 84 120

5 15 35 70 126 230 350

6

¿Como es la fila k? Esta tabla tiene una curiosidad historica: la utilizo Pas-cal para sus estudios en teorıa de juegos.

Ademas, si se lee, no por filas y columnas sino por diagonales y columnas,nos indica el numero de grupos que pueden hacerse con el numero de el-ementos que indica la columna seleccionada disminuida en uno, a partirde un conjunto de elementos cuyo numero queda indicado por la diagonalseleccionada. Por ejemplo, el elemento de la cuarta diagonal y la terceracolumna nos dice el numero de combinaciones posibles de cuatro elementostomados de 2 en 2.

5.11. Contar en teorıa de conjuntos

La teorıa de conjuntos es una rama de la matematica que trata de funda-mentar a esta, utilizando como punto de partida los conceptos de conjunto y depertenencia de un elemento a un conjunto y con unos axiomas que relacionan losconceptos basicos.

En teorıa de conjuntos, como en casi todas las ramas de la matematica apareceel conteo de forma natural. Asumiremos de momento que podemos contar loselementos de conjuntos particulares y nos ponemos por tarea contar los elementosde conjuntos formados a partir de ellos.

5.11.1. Subconjuntos y el conjunto de partes

Un conjunto X es subconjunto de otro conjunto Y si y solo si todo elementode X es elemento de Y. El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto Xes el conjunto de partes de X y se denota ℘(X).

173


Si un conjunto X tiene n elementos, ¿cuantos subconjuntos tiene X? Es decir,¿cuantos elementos tiene su conjunto de partes ℘(X)?

Empecemos, como de costumbre, haciendo una lista:

Si X es vacıo naturalmente tiene un solo subconjunto.

Si X tiene 1 elemento, tiene 2 subconjuntos, etc.

Encuentre todos los subconjuntos en conjuntos con 3, 4, 5, 6 elementos ycomplete la siguiente tabla:

Elementos Subconjuntos

0 1

1 2

2

3

4

5

6

Escriba una formula para el caso en que el conjunto tenga n elementos.

Observe en el proceso de formacion de la tabla. ¿Cuantos conjuntos se agreganen cada paso? De una explicacion para ello.

5.11.2. El producto cartesiano de conjuntos

Dados dos conjuntos, A y B, el producto cartesiano de A y B notado A ×B,es el conjunto formado por las parejas ordenadas (a, b) de manera que el primerelemento pertenece a A y el segundo a B; es decir:

A × B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}

Si queremos averiguar el numero de elementos de un producto conociendo elnumero de elementos de cada uno de sus factores, procedemos por partes:

174


Primero, tomemos el conjunto A con un elemento; por ejemplo, A = {a} yel conjunto B, tambien con 1 elemento, digamos B = {x}; el numero de parejasordenadas que se puede formar teniendo como primera componente a elementosde A y como segunda componente a elementos de B, es solamente:

A × B = {(a, x)}

Si A tiene 1 elemento y B tiene 2 elementos el producto naturalmente tiene2 parejas, ası sucesivamente; luego tomamos un conjunto A con 2 elementos yvariamos el numero de elementos de B.

Complete la siguiente tabla:

Numero de Numero de Numero de

elementos de A elementos de B elementos de A × B

1 1 1

1 2 2

1 3 3

1 k k

2 1 2

2 2 4

2 3 6

2 k 2k

· · ·· · ·n k ?

5.11.3. Relaciones

A cualquier subconjunto del producto cartesiano A × B lo llamamos unarelacion de A en B. Si el numero de elementos de A en n y el de B es m,¿cuantas relaciones hay de A en B?

175


5.11.4. Funciones

Una funcion f de un conjunto A en un conjunto B es una relacion de A enB, tal que todo elemento de A esta como primera componente en alguna parejaordenada de f , pero solamente en una.

Es decir, que si la pareja (x, y) ∈ f y la pareja (x, z) ∈ f , debe tenerse quey = z.

El conjunto de todas las funciones que se pueden definir de un conjunto A enotro conjunto B lo notamos BA. Nuestro proposito es averiguar cuantos elementostiene BA, si A tiene n elementos y B tiene m elementos.

De nuevo recurramos a las tablas por casos:

Supongamos que A tiene solo un elemento y B tiene un elemento; por ejemplo:

A = {0} y B = {a}Una funcion de A en B debe tener por lo menos una pareja que tenga como

primera componente a 0, y el unico elemento para combinar en B es a, luego launica funcion de A en B es:

f = {(0, a)}Si A tiene solo un elemento y B tiene dos elementos, por ejemplo:

A = {0} y B = {a, b}Una funcion de A en B debe tener por lo menos una pareja que tenga como

primera componente a 0, y pero ya hay dos posibilidades para combinar en B,una con a y otra con b, luego hay dos funciones de A en B, ellas son:

f = {(0, a)} y g = (0, b)

Ası, es facil intuir que si A tiene un elemento y B tiene n elementos, entotal hay n funciones de A en B; una por cada elemento de B como segundacomponente.

Si A tiene n elementos y B solo uno, la situacion es distinta, pues solo hayuna funcion de A en B. ¿Por que?

Complete la siguiente tabla:

176


#A #B #BA

1 n n

n 1 1

2 2 4

2 3 9

2 n

3 2 8

3 3 27

3 n

n 4

n m

5.11.4.1. Funciones inyectivas

Una funcion f de un conjunto A en un conjunto B es una funcion inyectivao uno a uno si todo elemento de B que esta en alguna pareja de la funcion,esta solo una vez; es decir, que si la pareja (x, y) ∈ f y la pareja (z, y) ∈ f debetenerse que x = z.

Dicho de otra manera: si para todo x, y elementos de A se cumple que f(x) =f(y), entonces debe tenerse que x = y.

Para contar cuantas funciones inyectivas hay de un conjunto A con n elemen-tos en un conjunto B con m elementos debemos distinguir dos casos:

i. Si m ≤ n.

ii. Si n ≤ m.

En el primero, no hay funciones inyectivas de A en B. ¿Por que?

Para determinar el numero de funciones inyectivas de A en B, en el segundocaso, haga una tabla similar a las anteriores y establezca una formula.

177


5.11.4.2. Funciones sobreyectivas

Una funcion f de un conjunto A en un conjunto B es una funcion sobreyectivao simplemente sobre si todo elemento de B esta en alguna pareja de la funcion;es decir, que para todo elemento y de B exista un elemento x de A tal que lapareja (x, y) ∈ f .

Para contar cuantas funciones sobreyectivas hay de un conjunto A con nelementos en un conjunto B con m elementos, tambien debemos distinguir doscasos:

i. Si n ≤ m.

ii. Si m ≤ n.

En el primer caso, no hay funciones sobreyectivas de A en B. ¿Por que?.

Para el segundo, haga una tabla similar a las anteriores y establezca unaformula para el numero de funciones sobreyectivas de A en B.

5.11.4.3. Funciones biyectivas

Una funcion f de un conjunto A en un conjunto B es una funcion biyectivasi es inyectiva y sobreyectiva.

De las dos secciones anteriores se desprende que la unica manera de que hayanfunciones biyectivas entre dos conjuntos A y B es que ambos tengan el mismonumero de elementos. ¿Por que?

¿Cuantas funciones biyectivas hay entre dos conjuntos que tengan n elemen-tos?

5.11.4.4. Operaciones

Una operacion binaria interna en un conjunto A es una funcion

∗ : A × A → A

¿Cuantas operaciones binarias internas son posibles en un conjunto de n el-ementos?

178

CAPITULO 6

LA INDUCCION EN MATEMATICAS

Introduccion

Uno de los procesos logicos que mas han desarrollado las personas que sededican a estudiar matematicas, es el proceso de encontrar regularidades en unasucesion de resultados a partir de algunos casos particulares, esto es, encontraruna manera general de decir todos los casos, hallar formulas que resuman enuna sola expresion todas las caracterısticas de un grupo de informaciones; esteproceso lo llamaremos inducir 1.

Este proceso, como casi todos, no se desarrolla de manera espontanea a partirde una explicacion, sino, por el contrario, va surgiendo, se va formando lenta-mente, saliendo del ejercicio cotidiano, de la insistencia, de la continua repeticion.Es fruto de muchos ensayos y errores, de volver a empezar, pero, sobretodo, de la persistencia en el trabajo.

En el ejercicio del proceso de inducir, es frecuente enfrentarse a dificultadesadicionales, como, por ejemplo, la sospecha de que una formula que es valida enmuchos casos lo es en general; dificultad que solo superaremos cuando estudiemosel principio de induccion matematica2.

1El logico Charles S. Pierce llama abduccion a este proceso.2La expresion induccion matematica tiene un significado particular en matematicas como

metodo de demostracion de afirmaciones que se hacen sobre todos los numeros naturales; esteuso lo precisaremos en el capıtulo 7.

179


Otra dificultad radica en la tendencia a creer que todo proceso que tienealgun tipo de regularidad es susceptible de ser modelado mediante una formula,situacion que en muchos casos no se tiene; sin embargo, la ganancia obtenida enel intento es suficiente retribucion por el esfuerzo.

Iniciaremos recurriendo a imagenes que nos permitan “afinar el olfato”parapercibir relaciones entre los numeros, que nos lleven a establecer conjeturas yverificarlas en casos particulares.

6.1. Los numeros y el espacio

Los numeros naturales tienen una gran simplicidad para su comprension, loque facilita la familiarizacion con ellos de manera relativamente rapida, peroencontrar y sistematizar relaciones entre ellos puede llegar a complicarse mucho,aunque en la mayorıa de los casos pueden ser enunciadas de manera simple.

Esta aparente dificultad les da una ventaja pedagogica, pues con pocos conocimien-tos podemos plantear y resolver problemas cuyo enunciado es de facil compren-sion, permitiendo, ademas, distintos niveles de profundidad en las solucionespropuestas.

Comenzaremos por estudiar algunas curiosidades de los numeros que formanparte del legado matematico griego3, las cuales, por su cercanıa con representa-ciones geometricas sencillas, nos ayudan a desarrollar la intuicion y con ella lacapacidad de abstraccion y generalizacion.

6.1.1. Numeros pares e impares

Cuando estudiamos los numeros naturales, una primera observacion permitediferenciar dos tipos de numeros, que aparecen cuando contamos de dos en dos,a partir de 0 o a partir de 1.

Los primeros, conocidos como numeros pares son:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, . . .

3Los griegos, hacia el siglo IV a.C. desarrollaron los conceptos basicos de lo que hoy cono-cemos con el nombre teorıa de numeros.

180


Los segundos, llamados numeros impares, son:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, . . .

Iniciemos tratando de determinar cual es el par numero 100. Un camino esnotar la regularidad en la sucesion de numero pares y establecer una formula.

Como la diferencia entre cada uno de ellos es 2, al cabo de n pasos, obtenemos2n si partimos de 0.

Para los numeros impares el mismo proceso nos da 2n − 1 si empezamos acontar en 1.

Empecemos a formular preguntas, por ejemplo: ¿la suma de dos pares es par?;¿la de dos impares?, ¿el producto?

Ejercicios

1. Sea p un impar y n un numero natural cualquiera, entonces

p2 + np

a) ¿es siempre impar?

b) ¿es siempre par?

c) ¿es par si n es par?

d) ¿es impar si n es impar?

e) ¿es impar si n es par?

Justifique su respuesta.

2. Encuentre el promedio4 de los 7777 primeros numeros impares.

3. Si en lugar de contar de 2 en 2, partiendo de 0, contaramos de 3 en 3,obtendrıamos la siguiente lista:

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, . . .

¿Comparte ella algunas propiedades de los numeros pares?

4El promedio de un conjunto de numeros es el resultado de dividir su suma entre el numerode elementos del conjunto.

181


¿Si partimos de 1, cual es la lista?, ¿si partimos de 2?, ¿si partimos de 3?,etc.; ¿cuantas listas hay que no tengan elementos en comun?

Contemos ahora de 4 en 4, a partir de 0, de 1, de 2, etc. Enuncie conclu-siones generales cuando contamos de k en k, donde k es cualquier numeronatural.

6.1.2. Los numeros triangulares

Los discıpulos de Pitagoras5 estudiaban los numeros absolutos (aritmetica),los numeros aplicados (la musica), las magnitudes en reposo (geometrıa) y lasmagnitudes en movimiento (astronomıa). La ciencia de los numeros absolutosestudiaba los numeros poligonales, en especial triangulares y cuadrados, las ra-zones y proporciones, los divisores numericos que se relacionan con los numerosprimos, perfectos, etc., y las progresiones6. Ellos representaban los numeros pormedio de agujeros en la arena o por medio de piedras. Ası, por ejemplo, losnumeros triangulares los formaban de acuerdo al anterior, anadiendo lıneas depiedras conformando triangulos equilateros, como se muestra en la figura 1:

• • ••

• • •• ••

• • • •• • •• ••

Figura 1

1 3 6 10

Los primeros numeros triangulares son:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, . . .

5Para los pitagoricos los numeros lo eran todo, no solo eran el instrumento para comprendery explicar todos los fenomenos del universo, sino que, ademas, eran de naturaleza divina. Leatribuıan cualidades morales a los numeros; en la matematica griega se encuentran numerosperfectos, numeros amigables, y otras muchas curiosidades. El numero 1 representaba la dig-nidad, el 2 representaba el mal, el 3 la armonıa, el 5 el matrimonio, el 7 a la diosa Atenea.

6CARO V., Los numeros: Su historia, sus propiedades, sus mentiras y verdades, Minerva,Bogota, 1936, pp. 13-14.

182


Ejercicio

¿Cuales son los cuatro siguientes numeros triangulares? ¿Cual es el 35o

numero triangular?

Una manera de resolver este problema es hacer los dibujos que continuenla secuencia presentada y contar los puntos. Por supuesto, este proceso no espractico.

Sin necesidad de recurrir al dibujo, podemos encontrar una manera para sabercuantos puntos hay en un triangulo equilatero, como los que aparecen en la figura1, pero esta vez de lado: 9, 10, 15, 157, etc. La mente ve donde los ojos noalcanzan.

Se hace necesario detectar las regularidades que nos permitan saberlo. Cuandolo logramos, esperamos que esa regularidad sea valida para todos los casos, perono podemos escribirla y verificarla para cada uno de ellos; tenemos que haceruna representacion simbolica de los elementos involucrados en las relaciones delproblema.

En el ejemplo que nos ocupa, al relacionar los numeros triangulares con loslados de los triangulos formados, podemos empezar haciendo una lista de losprimeros quince numeros triangulares:

n Tn

1 12 33 64 105 156 217 288 369 4510 5511 6612 7813 9114 10515 120

183


Ejercicios

1. Observe y enuncie regularidades de acuerdo a la tabla 8.

2. Si la letra n representa a un numero natural cualquiera y el n-esimo numerotriangular lo notamos Tn, escriba una formula para Tn.

3. Una idea que puede ser de utilidad para sumar los primeros 100 numerosnaturales (en base 10) es usar el hecho de que 100 + 1 = 99 + 2 = 98 + 3,etc. ¿Es valida esta afirmacion en base 8?¿en otras bases?

4. Sume numeros triangulares consecutivos y escriba una formula para la sumadel n-esimo numero triangular con el siguiente.

5. ¿Siempre dos numeros triangulares consecutivos tienen un factor en comun?Justifique su respuesta.

6. En 1640, Pierre de Fermat encontro que todo numero natural o es triangu-lar, o es suma de dos o tres triangulares. En 1796, Carlos Federico Gaussdemostro que todo numero natural es la suma de tres numeros triangulares(incluyendo el 0 como numero triangular); exprese 954, 2500, 10000 y otrosnumeros en esta forma.

7. En la vida cotidiana hemos aprendido que solo se pueden sumar cosas conidenticas caracterısticas; por ejemplo, si sumamos 3 papas con 5 papas, elresultado es 8 papas; si abstraemos las cosas y dejamos solo los numeros,al sumar dos de ellos obtenemos uno de los mismos. Tenemos entoncesderecho a la pregunta, ¿la suma de dos numeros triangulares es un numerotriangular?

Hay casos en que ası es7; por ejemplo, la tabla 8 nos permite observar que:

T3 + T5 = T6

T4 + T9 = T10

T5 + T14 = T15

T6 + T20 = T21

7PINZON, L., MORENO, H., LUQUE C., Un analogo al teorema de Pitagoras para numerostriangulares, Memorias IX Encuentro de Geometrıa y sus Aplicaciones, Bogota, 1998, p. 97.

184


Enuncie una formula que unifique estas observaciones.

En los casos mencionados hay una particularidad entre la segunda y terceracolumnas; los subındices respectivos difieren en una unidad, pero estos noson todos los casos; por ejemplo, se tiene que:

T18 + T25 = T31

Por lo tanto, es necesario obtener una generalizacion que contenga todaslas diferencias entre los subındices.

Para ello, organicemos diversas trıadas pitagoricas triangulares a partir dela diferencia entre los subındices, como se aprecia en la tabla 9:

1 2 3 4 5 · · · k

T1 + T0 = T1 T2 + T0 = T2 T3 + T0 = T3 T4 + T0 = T4 T5 + T0 = T5 Tk + T0 = Tk

T2 + T2 = T3 T5 + T6 = T8 T8 + T10 = T13 T11 + T14 = T18 T14 + T18 = T23




Observando la secuencia en la primera columna, podemos sugerir:

Tn + T(Tn−1

1

) = T(Tn−1

1

)+1

Para la segunda columna, podemos escribir:

Tn + T(Tn−3

2

) = T(Tn−3

2

)+2

Para la tercera:

Tn + T(Tn−6

3

) = T(Tn−6

3

)+3

En la cuarta:

Tn + T(Tn−10

4

) = T(Tn−10

4

)+4

Proponga una formula general y verifique algunos casos particulares.

185


8. Sume los dos primeros numeros triangulares, los primeros 3, los primeros4, los primeros 5; ¿ve algo?

9. Si queremos hallar la suma de los n primeros numeros triangulares, la figura2 puede ayudarnos; mırela, contemplela y trate de ver mas alla. Estudie laformula para la suma de los n primeros numeros triangulares.

Si tiene problemas para visualizar objetos de tres dimensiones a partir desu representacion en dos dimensiones, construya un modelo en madera ocualquier otro material que le facilite evidenciar las relaciones.

10. El menor numero de paquetes que se pueden colocar en dos sacos, de talmanera que en cada saco quede un numero diferente de paquetes y quecada uno de ellos contenga por lo menos uno, es tres.

¿Cuantos en tres sacos?, ¿cuantos en cuatro sacos?, ¿cuantos en 7 sacos?

11. Invirtiendo la pregunta, el mayor numero de sacos en los que se puedenrepartir 28 paquetes de manera que cada uno tenga por lo menos uno, perocada uno con un numero distinto de paquetes es 7. ¿Cuantos sacos con 55paquetes?

186


12. Y si tenemos 25 paquetes, podemos distribuirlos con las condiciones estable-cidas en maximo 6 sacos, ubicando, por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5 y 10 paquetesen cada uno de los sacos. Por supuesto, esta no es la unica solucion posible.

¿De cuantas formas distintas se puede hacer esta reparticion?

13. Si el numero de sacos es 17, ¿cual es el numero mınimo de paquetes? Si elnumero de paquetes es 123,¿cual es el mayor numero de sacos y de cuantasformas diferentes es posible hacerlo?¿En que casos la solucion es unica?

14. La base de una pila de naranjas esta formada por un triangulo equilaterode lado n, la segunda capa hacia arriba esta formada por un trianguloequilatero de lado n−1, la siguiente de lado n−2, y ası sucesivamente hastaterminar con una naranja en la cima, formando una piramide. ¿Cuantasnaranjas tiene la piramide? Para cada n hay un numero de estos; ellos sonconocidos como numeros triangulo-piramidales8. Haga un estudio de estosnumeros similar al hecho para los numeros triangulares.

Los primeros son:

1, 4, 10, 20, 35, 56, . . .

15. El n-esimo numero triangular es la suma de los n primeros numeros natu-rales, el n-esimo numero factorial, que lo notamos n! es el producto de losprimeros n numeros naturales:

n! = 1,2,3,4,5. . . . .n

Intente encontrar regularidades para estos numeros. Ensaye a definir numerosanalogos a estos con otras operaciones.

6.1.3. Los numeros cuadrados

Los numeros cuadrados son los que corresponden al numero de puntos que sepueden colocar formando un cuadrado. Cada uno de ellos puede ser construido

8RODRIGUEZ, Rafael, op. cit., p. 34

187


a partir del anterior anadiendole un borde de la forma �. Para los griegos esteborde tenıa especial significado y se le llamo gnomon9.

Los primeros numeros cuadrados son:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . .

Su expresion general es n2.

Los gnomones nos permiten descubrir una relacion entre numeros impares ynumeros cuadrados:

• • •• •

• • •• • •• • •

• • • •• • • •• • • •• • • •

Figura 3

Ejercicios

1. Observe la figura 3. Formule alguna hipotesis acerca de la suma de los nprimeros numeros impares.

2. Para establecer una formula que nos diga cuanto suman los n primerosnumeros pares, podrıamos sugerir dos caminos:

a) En la formula

1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n =n(n + 1)

2

multiplicamos por 2 a ambos lados de la igualdad y obtenemos:

2 + 4 + 6 + 8 + · · · + 2n = n(n + 1)

9La palabra gnomon significo en Babilonia, una varilla vertical cuya sombra marcaba lahora. En la epoca de Pitagoras significaba una escuadra de carpintero y esta es la forma delgnomon que muestra la figura 3. Tambien significo lo que queda de un cuadrado al cortarotro cuadrado mas pequeno en una de sus esquinas. Mas tarde, con Euclides, su significado seamplio a lo que queda de un paralelogramo al cortar otro mas pequeno en una de sus esquinas,siempre que este fuera semejante al primero.

188


b) Como en la suma de los n primeros numeros naturales, observamosque el primer termino y el ultimo suman lo mismo que el segundo yel penultimo, y ası sucesivamente, todas las parejas suman 2n + 2 al

sumar numeros pares. Si n es un numero par hayn

2parejas, la suma

debe ser

(2n + 2)n

2= n(n + 1).

Proponga otra forma. Analice el caso de n impar.

3. Hemos visto que los numeros cuadrados y los triangulares estan relaciona-dos, si miramos la figura 3, un numero cuadrado puede expresarse como lasuma de la cantidad de puntos que se encuentran sobre rectas paralelas auna diagonal. Con esto obtenemos la secuencia:

12 =1

22 =1 + 2 + 1

32 =1 + 2 + 3 + 2 + 1

Escriba una formula que describa esta situacion.

4. Seguramente ya ha notado que en algunos casos particulares la suma dedos numeros triangulares consecutivos es un numero cuadrado. Sume el n-esimo numero triangular con el siguiente para probar que esta afirmaciones valida en general.

5. Fermat demostro10 que todo numero natural o es un numero cuadrado o esla suma de 2 o 3 o 4 numeros cuadrados. Exprese 954, 2500, 10000 y otrosnumeros en esta forma

6. Gauss encontro11 que todo numero de la forma 8n + 3 es la suma de trescuadrados de numeros impares. Por ejemplo:

3 = 12 + 12 + 12

11 = 12 + 12 + 32

19 = 12 + 32 + 32.

Exprese 711, 1219, 2515 y otros numeros en esta forma.

10APOSTOL, T., Introduccion a la teorıa analıtica de numeros, Reverte, Barcelona, 1984,p. 2.

11NEWMAN, J.; op. cit., Vol. I., p. 231.

189


7. Esta afirmacion es equivalente12 a que todo numero natural es suma de tresnumeros triangulares13. Busque alguna justificacion de este hecho.

8. Lagrange ideo un procedimiento para dilucidar cuando un numero de laforma nx + 1 es un cuadrado. Estudie este problema, comenzando en casosparticulares con n = 2, 3, 4, etc.

9. Otra conjetura de Fermat, debida en realidad a Bachet, afirma que todonumero, o es un cuadrado, o es la suma de dos, tres, o cuatro cuadrados.En efecto tenemos que:

1 = 12 10 = 12 + 32

2 = 12 + 12 20 = 22 + 42

3 = 12 + 12 + 12 30 = 12 + 22 + 52

4 = 22 40 = 22 + 62

5 = 12 + 22 50 = 52 + 52

6 = 12 + 12 + 22 60 = 12 + 12 + 32 + 72

7 = 12 + 12 + 12 + 22 70 = 12 + 12 + 22 + 82

8 = 22 + 22 80 = 42 + 82

9 = 12 + 22 + 22 90 = 32 + 92

Intente una descomposicion semejante para numeros un poco mas grandesy trate de encontrar alguna regularidad.

6.1.3.1. Trıadas Pitagoricas

Al igual que en los numeros triangulares, hay numeros cuadrados que sepueden escribir como la suma de otros dos numeros cuadrados. Por ejemplo, elquinto numero cuadrado (que es 25), se puede escribir como la suma del terceroy el cuarto numeros cuadrados: 9 + 16; esto lo expresamos mas brevemente ası:

32 + 42 = 52

Una vez que se tiene una terna, por ejemplo, la formada por los cuadrados de3, 4, 5 respectivamente, pueden formarse infinitas de ellas tomando sus multiplos,puesto que si k es un numero natural cualquiera, entonces

(3k)2 + (4k)2 = (5k)2

12Al suponer que una afirmacion es cierta, la otra se deduce de ella y viceversa.13GAUSS, C. F., Disquisitiones Arithmeticae, Academia Colombiana de Ciencias, Bogota,

1995.

190


Pero este tipo de soluciones no es esencialmente nuevo y se deriva facilmentede 3, 4, 5. Nos interesan entonces las soluciones reducidas, que como 3, 4, 5 notienen divisores comunes (Cuando sucede esto, se dice que 3, 4, 5 o los numeroscorrespondientes son primos entre sı).

Otras trıadas que comparten esta propiedad, conocidas como trıadas pitagori-cas, estan formadas por los cuadrados de los numeros:

5, 12 y 13;

7, 24 y 25;

9, 40 y 41;

11, 60 y 61;

Observemos la secuencia de formacion:

32 + 42 = 52

52 + 122 = 132

72 + 242 = 252

92 + 402 = 412

112 + 602 = 612

Los numeros que inician las trıadas forman la secuencia de los cuadrados de losnumeros impares; es decir, la n-esima trıada de esta secuencia tiene como primerelemento (2n + 1)2. Notamos tambien que los segundos y los terceros numeros,cuyos cuadrados conforman las trıadas, son consecutivos. Debemos encontrar laregularidad de la segunda columna. Entre los numeros de ella hay un factorcomun; si lo extrae, encontrara una secuencia conocida. Encuentre una expresionpara la n-esima trıada pitagorica de esta secuencia.

Ejercicios

1. Encuentre otras trıadas pitagoricas14

Estudie, por ejemplo, trıadas de la forma x = 2n + 1, y = 2n(n + 1),z = 2n(n + 1) + 1 (Estas fueron estudiadas por los pitagoricos 600 anos

14Los babilonios conocıan muchas ternas pitagoricas relacionadas con estas formulas parak = 1: KLEIN, M.; El pensamiento matematico, de la antiguedad a nuestros dıas, Alianza,Madrid, 1994, p. 29

191


antes de Cristo, o las estudiadas por Platon (430 a.C.), de la forma x = 4n,y = 4n2 − 1, z = 4n2 + 1, donde n es cualquier numero natural).

Para encontrar trıadas pitagoricas debemos notar que los tres numerosno pueden ser todos impares, porque el cuadrado de un numero impar essiempre impar y la suma de dos impares es par.

Tampoco puede ser que dos de ellos sean pares y el otro impar. Solo puedenser uno de ellos par y los otros impares. Con un poco mas de trabajopuede demostrarse que una terna cualquiera reducida, esta completamentedeterminada por un par de numeros m y n, tales que uno es impar y elotro par y no tienen divisores comunes15.

2. Existen otras relaciones entre algunas de las trıadas pitagoricas; por ejemplosi a, b y c son multiplos de 3, 4 y 5 respectivamente, entonces se cumpleque c = b + (b − a) = 2b − a. Si a, b y c son multiplos de 5, 12 y 13,se cumple que: c = (3a + 2b)/3. Enuncie un resultado similar para otrastrıadas pitagoricas. ¿Existe una regla general?

3. ¿Cual es el unico numero menor que nueve, tal que aumentado en uno dael doble de un cuadrado y cuyo cuadrado aumentado en uno da otra vez eldoble de un cuadrado?

4. El gnomon que mencionamos en los numeros cuadrados puede utilizarse demanera diversa para encontrar otras regularidades. Observe, por ejemplo,el siguiente esquema:

15En el libro X de los Elementos de Euclides aparece la formula x = k(n2 −m2), y = 2kmn,z = k(n2 + m2) donde k, m, n son numeros naturales, con n > m, uno par y el otro impar yque no tengan factores primos comunes.

192


12

22

32

42

52 =

=

=

=

=

1

1

1

1

1 1 1 1 1

2

2

2

2 2 2 2

3

3

3 3 3

4

4 4

5

¿Podemos inducir de aquı una formula para la suma de los n primerosnumeros cuadrados16?

5. En analogıa a lo hecho con los numeros triangulo-piramidales, podemosconstruir, numeros cuadrado-piramidales, haciendo una piramide, pero estavez de base cuadrada colocando n2 naranjas en ella; en la siguiente capade encima colocamos (n−1)2 naranjas, y ası sucesivamente hasta terminarcon una naranja en la cuspide. ¿Cual es el numero total de naranjas en lapiramide?

6. Escriba los primeros 7 numeros cuadrado-piramidales. Haga un estudio deellos.

6.1.4. Los numeros poligonales

Analogamente a lo hecho hasta ahora, se construyen con otros polıgonos reg-ulares numeros con las formas de pentagonos, hexagonos, etc.

16Estudie por ejemplo la relacion:

12 + 22 + 32 + 42 + · · ·+ n2 =n∑

k=1

Tk +n−1∑k=1

Tk = n(n + 1)(2n + 1)/6.

Los babilonios conocıan expresiones concretas de la formula:

12 + 22 + 32 + 42 + · · ·+ n2 = (1/3 + 2n/3)(1 + 2 + 3 + · · ·+ n).

Ver: KLEIN, M., op. cit., p. 28

193


El primer numero pentagonal es el uno; el segundo, cuyos puntos forman losvertices de un pentagono, es el 5; el tercero es 1+4+7 = 12, y ası sucesivamente,22, 35, 51, 70, son numeros pentagonales.

En la figura 7 se encuentra la secuencia de formacion de estos numeros y apartir de ella usted puede verificar, por ejemplo, que el n-esimo numero pentag-onal se puede obtener mediante la formula

3n2 − n

2

Analogamente, los numeros hexagonales son 1, 6, 15, 28, ... y en general, eln-esimo numero hexagonal esta dado por la formula:

2n2 − n

Ejercicio

1. Copiando lo hecho hasta ahora para numeros triangulares y cuadrados,estudie los numeros pentagonales, hexagonales, etc.

Inicialmente, con base en dibujos, como los presentados en la figura 4,intente hallar regularidades por usted mismo. Luego, busque informacionsobre el tema.

194


2. Encuentre una formula para el n-esimo numero poligonal asociado a unpolıgono regular de p lados17.

3. Gauss demostro que todo numero se puede escribir como la suma de alo mas tres numeros triangulares y a lo mas cuatro numeros cuadrados.Cauchy generalizo las soluciones demostrando18 que todo numero se puedeescribir como la suma de a lo mas p numeros poligonales, donde p es elnumero de lados del polıgono considerado. Exprese 954, 2500, 10000 yotros numeros en esta forma.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 3 5 7 9 11 13 15 17 191 4 7 10 13 16 19 22 25 281 5 9 13 17 21 25 29 33 371 6 11 16 21 26 31 36 41 46

Construya una nueva tabla cuya primera fila y primera columna son lasmismas de la anterior, obteniendo cada elemento restante de la segundatabla, sumando el elemento anterior en la fila de la nueva tabla con el dela fila anterior y la misma columna en la tabla inicial.

¿Le sugiere la nueva tabla alguna relacion con los numeros poligonales?

6.1.5. Numeros cubicos

De la misma forma como se ubicaron en el plano puntos formando verticesde polıgonos regulares para visualizar los numeros poligonales, pueden estos dis-tribuirse en el espacio formando vertices de solidos conocidos. Un primer ejemplode ello se encuentra en los numeros cubicos.

Estos son los numeros que representan a la cantidad de puntos que puedendisponerse en una red cubica, como se muestra en la figura 5. Los primeros son:

1, 8, 27, 64 . . . , n3

17Estudie, por ejemplo, la formula n +n(n − 1)b

2para distintos valores de b , o expresiones

de la forman(n(p − 2) + (4 − p))

2.

18Investigacion y Ciencia, Grandes Matematicos, Temas 1, Prensa Cientıfica S.A., Barcelona,1995, p. 73.

195


• •

• •••

• •• •

• •••

• •• •

• •••

• •••

• •

••

• •• •

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• ••

• •••

• •••

• •

••

• •

Figura 5

Ejercicios

1. Observe:

8 = 3 + 5

27 = 7 + 9 + 11

64 = 13 + 15 + 17 + 19

Escriba 125 como una suma similar y enuncie una regla general.

2. Otra curiosidad de los numeros cubicos la observamos en la siguiente se-cuencia:

8 = 4 + 2 + 2

27 = 9 + 3 + 3 + 3 + 9

64 = 16 + 4 + 4 + 4 + 4 + 16 + 16

125 = 25 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 25 + 25 + 25

Escriba los siguientes tres numeros cubicos de esta forma y enuncie suregularidad.

196


3. Una manera de relacionar los numeros cuadrados con los numeros cubicosse encuentra en la siguiente secuencia:

12 = 13

22 = 23 − 22

32 = 33 − 32 − 32

42 = 43 − 42 − 42 − 42

Exprese 72, 152 y otros numeros de esta forma. Proponga una explicacion.

4. Una relacion entre los numeros triangulares y los numeros cubicos se coligede:

13 = 1

13 + 23 = 32

13 + 23 + 33 = 62

13 + 23 + 33 + 43 = 102

Escriba los siguientes dos renglones de la secuencia.

5. Georg Schrage19 nos muestra una idea para comprender la relacion anterioren la figura 6:

19SCHRAGE, George, “Sums of integers and sums of cubes”, en NELSEN, R., Proofs withoutwords, The Mathematical Association of America, 1993, p. 90.

197


1 + 2 + · · · + n =1

2(n + 1)n

13 + 23 + · · · + n3 =(1

2n(n + 1)

)2

1 × 12

2 × 22

3 × 32

...n × n2

12

3...

n

Figura 6

Estudie la figura y exprese sus propias conclusiones.

6. El gnomon tambien puede ensenarnos algo sobre la suma de los primerosn numeros cubicos. Observe y conjeture alguna relacion.

13

23

33

43

53 =

=

=

=

=

5

4

3

2

1

10

8

6

4

2

15

12

9

6

3

20

16

12

8

4 5

10

15

20

25

198


6.1.5.1. Anotaciones sobre el ultimo20 teorema de Fermat

El numero21 1729 se puede expresar como la suma de dos numeros cubicos:

1729 = 123 + 13

encuentre otro par de numeros a, b tal que

1729 = a3 + b3

Sin embargo, 1729 no es un numero cubico.

Naturalmente, podemos sumar un par de numeros cubicos cualesquiera in-tentando conseguir otro numero cubico; pero se ha demostrado que esta tarea esinfructuosa.

Un teorema famoso22, debido a Fermat, asegura que no existen numeros en-teros a, b, c, que satisfagan:

c3 = a3 + b3

Explore con algunos numeros.

Este teorema es uno de los mas famosos de las matematicas; Fermat lo es-cribio en el margen del libro Aritmetica, de Diofanto, sin demostracion. Perosugirio una prueba23para el caso especıfico de n = 4, en un problema totalmentedistinto usando un metodo de prueba por contradiccion inventado por el, cono-cido como metodo de descenso infinito.

Comenzo por suponer que existıa una solucion, digamos: x = x1, y = y1,z = z1. Estudiando las propiedades de esta solucion demostro que si esta solucionfuera cierta debıa existir otra solucion; x2, y2, z2 formada por numeros maspequenos; aplicando de nuevo el procedimiento debe existir otra solucion, x3,

20Fermat, siendo abogado, acostumbraba escribir afirmaciones matematicas sin dar las prue-bas, como una manera de retar a los matematicos; con el tiempo, todas fueron demostradas;este teorema se le denomina el “ultimo”porque fue la ultima de las afirmaciones que quedo pordemostrar. Ver: SINGH, S.,op. cit.

21El matematico hindu, S. Ramanujan, descubrio que este numero es el mas pequeno que sepuede escribir como la suma de dos cubos, de dos maneras diferentes.

22El teorema de Fermat, en realidad, afirma que no es posible encontrar tres numeros enterosx, y, z que satisfagan la igualdad xn + yn = zn , para n mayor que 2.

23SINGH, S., El enigma de Fermat, Planeta, Barcelona, 1998, pp. 95-96.0

199


y3, z3 aun menor, y ası sucesivamente hasta el infinito. Pero como los numerosnaturales tienen un elemento que es el mas pequeno de todos, el proceso no puedeseguir indefinidamente, lo que implica que la solucion inicial no puede ser cierta.

Ejercicios

1. La demostracion, para el caso de n = 4, prueba tambien los casos paran = 8, 12, 16, 20, etc. ¿Por que?

2. En 1753, Euler aplico el metodo de descenso infinito de Fermat para de-mostrar el teorema en el caso n = 3, utilizando el numero imaginario i;intento con otros valores de n, pero fracaso. Si la prueba es valida paran = 3, tambien es valida para n = 6, 9, 12, 15, etc. Este caso es mas im-portante puesto que el 3 es un numero primo. Realmente, para probar elultimo teorema de Fermat con todos los valores de n, basta probarlo paralos casos en que n sea un numero primo. ¿Por que?

Sophie Germain, nacida el 1 de abril de 1776, planteo a Gauss un metodogeneral de aproximacion al problema; su objetivo inmediato no consistıaen probar un caso concreto, sino en afirmar algo sobre muchos casos a lavez de un numero primo p, tal que 2p + 1 tambien fuera primo.

Para los valores de n equivalentes a estos primos de Germain, utilizo enargumento notable con el fin de mostrar que era muy probable que nohubiera soluciones a la ecuacion xn + yn = zn. Con “probable”, Germainquerıa decir que la existencia de soluciones era inverosımil porque, si lashubiera, x, y o z tendrıan que ser multiplos de n, y eso impondrıa fuertesrestricciones a las soluciones posibles.

En 1825, el metodo de Germain alcanzo su primer exito pleno gracias aGustav Lejeune-Dirichlet y a Adrien-Marie Legendre, para resolver el cason = 5.

En 1993, Andrew Wiles presento una demostracion del ultimo teoremade Fermat, que luego de ser examinada por los matematicos, presento unerror. Sin embargo, Wiles logro corregirlo y presentar la solucion definitiva,en 1995.

200


3. A pesar de que esta tarea no tiene solucion24, hay otra parecida que sı latiene; es posible encontrar tres numeros cubicos cuya suma sea un numerocubico25, por ejemplo:

33 + 43 + 53 = 63

73 + 143 + 173 = 203

293 + 343 + 443 = 533

Escriba otros ejemplos.

4. Tambien 5 cubos sumados pueden dar un cubo, por ejemplo:

83 + 53 + 43 + 33 + 13 = 93


5. Tambien 5 cubos sumados pueden dar un cubo, por ejemplo:

83 + 53 + 43 + 33 + 13 = 93


6. Tambien hay en matematicas conjeturas famosas que luego de mucho tiem-po han resultado falsas; tal vez el mas celebre ejemplo sea la Conjetura deEuler, parecida al teorema de Fermat: “No existen soluciones enteras parala ecuacion

x4 + y4 + z4 = w4”.

24En los primeros intentos de demostracion, Leibniz resolvio el caso n = 4 en 1678. El cason = 3 fue resuelto por Euler y contenıa el germen de la teorıa de los ideales que Kummeraplico en 1840. El caso n = 5 fue tratado por Legendre y Dirichlet, en 1825. El caso n = 7 fuedemostrado por Lame y Lebesgue.

25En general, si se tienen dos soluciones al problema x3 + y3 + z3 = t3 y a3 + b3 + c3 = d3,podemos encontrar infinitas, puesto que podemos encontrar una condicion sobre un numero kpara que

(a + kx)3 + (b + ky)3 + (c + kz)3 = (d + kt)3

sea tambien una solucion; para ello basta que:

k = (t2d − y2b − z2c − x2a)/(xa2 + yb2 + zc2 − td2)

Este proceso, como muchos otros en matematicas, se hace en reversa: se suponeque (a + kx)3 + (b + ky)3 + (c + kz)3 = (d + kt)3 se cumple para algun k y se despeja k.

201


La conjetura duro 200 anos sin ser probada ni refutada, hasta que en 1988,Noam Elkies, de la Universidad de Harvard, la refuto con el siguiente con-traejemplo:

26824404 + 153656394 + 1879604 = 206156734

Ademas, demostro que existen infinitas soluciones. Encuentre otra.

¿Se le ocurren algunas preguntas?

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Ya va siendo hora de desarrollar iniciativas propias.

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

202

CAPITULO 7

EL METODO DE DEMOSTRACIONPOR INDUCCION MATEMATICA

Introduccion

El proceso intuitivo de induccion, que hemos presentado en el capıtulo anteriory que es de comun uso en las ciencias de la naturaleza y en la logica, consiste enla obtencion de una formula o ley general a partir de algunos casos particulares;en el se razona desde lo particular hasta lo general.

La base de este proceso es la suposicion de que si algo es cierto en algu-nas ocasiones, tambien lo es en situaciones similares, aunque estas no se hayanobservado.

Las afirmaciones obtenidas mediante la induccion intuitiva no necesariamenteson validas para todos los casos; sin embargo, la probabilidad de acierto aumentacuando el numero de fenomenos observados es mayor.

Existen herramientas para estudiar la veracidad de las afirmaciones obtenidaspor esta manera de induccion. Un ejemplo de ellas es el uso de metodos estadısti-cos para la seleccion de muestras, que es el objeto de estudio de la estadısticainductiva. Como en la mayor parte de los casos no se puede tener certeza abso-luta, el estudio debera hacerse con base en la teorıa de probabilidades1.

1SPIEGEL, M., Teorıa y Problemas de Estadıstica., Mc Graw Hill., 1961.

203


Un ejemplo comun de induccion intuitiva aparece en la expresion: “todos loshombres son iguales”, la cual es producto de algunas experiencias con unos pocoshombres (si tenemos en cuenta que todos los hombres pueden ser alrededor de tresmil millones). En general, las respuestas dadas por un pequeno grupo de personasen una encuesta de opinion, se pueden proyectar para grupos mas grandes usandolos metodos de la estadıstica.

El razonamiento inductivo fue desarrollado por varios filosofos, desde FrancisBacon hasta David Hume, John Stuart Mill y Charles Sanders Peirce (Studiesin Philosophy).

El proceso contrario, conocido como deduccion, parte de una afirmacion gen-eral aceptada como valida para inferir la veracidad de un caso particular, y es elque mas se utiliza en matematicas para demostrar teoremas.

En los capıtulos anteriores hemos tenido oportunidad de descubrir algunasrelaciones entre los numeros, usando el proceso intuitivo de induccion; ahoraestamos interesados en demostrar la veracidad de tales conjeturas.

Muchas veces, en el proceso del descubrimiento de tales conexiones, hemosutilizado graficos, como en el caso de los numeros poligonales, para construir cier-tas secuencias o simplemente para examinar un problema concreto. Otras vecesusamos listas o tablas de numeros que nos permiten intuir alguna regularidad.

Una vez obtenida la conjetura, que involucra un enunciado que sospechamosvalido para cualquier escogencia de un numero natural, ni los graficos, ni lasverificaciones para gran cantidad de casos, ni las mismas argumentaciones quesurgieron al examinar el problema dan una prueba de que el enunciado es valido.

La invalidez de los graficos, como argumentos para demostrar una afirmacion,esta basada en las limitaciones de nuestros sentidos y de los instrumentos demedida que utilizamos para describir una situacion.

Para ilustrar este tipo de dificultades, observemos la figura 1, donde aparente-mente disposiciones diferentes de los mismos objetos geometricos, numerados del1 al 4, reportan areas diferentes.

204

EL METODO DE DEMOSTRACION POR INDUCCION MATEMATICA

1

4 3

21

4

3

2

Figura 1

Tampoco las verificaciones, para un numero grande de casos, nos garantizala veracidad de una afirmacion intuida, pues ya vimos en el capıtulo anterior quela formula

p = n2 − 79n + 1601

es valida para calcular numeros primos, si n toma valores menores que 80, peropara valores de n mayores ya no es valida.

La dificultad radica en que una afirmacion en la que esten involucrados losnumeros naturales, debe ser cierta para todos ellos y puesto que estos son infini-tos, no podemos comprobarla en todos los casos.

Las argumentaciones que surgieron al examinar el problema, tampoco sonaceptadas como prueba de una afirmacion donde esten involucrados todos losnumeros naturales. Por ejemplo, cuando nos preguntamos por el numero decuadrados que se pueden distinguir en un cuadrado de lado n (figura 4, seccion5.7), observamos que:

1. Podemos ubicar un cuadrado de lado n.

2. De manera similar a la anterior podemos encontrar 4 cuadrados de ladon− 1, pues solo hay cuatro posiciones distintas posibles de un cuadrado delado n − 1, dentro de un cuadrado de lado n.

3. Tambien hay 9 maneras distintas de colocar un cuadrado de lado n − 2dentro de un cuadrado de lado n, y ya estamos listos para dar el salto:

“Existen en total 12 + · · · + n2 cuadrados en un cuadrado de lado n”

205


Razonamientos como este, nos pueden convencer de la veracidad de la afirma-cion, pero no son aceptados como pruebas en matematicas, porque no sabemoscomo sean los cuadrados infinitamente grandes, o posiblemente, ni siquiera soncuadrados; ademas, tampoco estamos de acuerdo con lo que queremos decir conla palabra infinito.

En matematicas, para garantizar la veracidad de tales afirmaciones que in-volucran a todos los numeros naturales, debe recurrirse a un metodo conocidocomo induccion matematica.

Este metodo requiere una clara concepcion de la idea de infinito y ella nos esun poco esquiva y difıcil; por ello, necesitamos precisarla un poco, para mostrarenseguida en que consiste la induccion matematica

7.1. ¿Que significa infinito?

Las concepciones que tenemos los seres humanos acerca del infinito son, enalgunos casos, inocentes, intimidantes en otros, pero en el comun de las personasesta asociada con una cantidad suficientemente grande.

En particular, en la escuela primaria se discute si el numero de gotas de aguaque hay en el mar, el numero de granos de arena de todas las playas del mundo, elnumero de estrellas en el cielo y, por supuesto, el numero de atomos del universoson infinitos.

Podrıamos pensar que el numero de atomos del universo es el mas grande detodos los que representen cosas que existen en la realidad; sin embargo, este noserıa el numero mas grande para nuestro pensamiento; por ejemplo, a este numerose le puede sumar otro tanto y queda mas grande, lo podemos multiplicar pormil billones y el resultado es aun mas grande; seguramente no exista en nuestrouniverso algun conjunto que tenga ese numero de elementos, pero en nuestracabeza podemos seguir inventando numeros cada vez mas grandes.

El numero 10100 (un 1 seguido por 100 ceros) conocido como un googol, es unnumero realmente grande, pero 10googol, llamado un googol−plex es desmesurada-mente mas grande que un googol (recordemos los efectos de la potenciacion sobrelos numeros grandes); este numero es un 1 seguido por un googol de ceros.

206


No alcanzarıan los atomos del universo para escribir un cero de este numeroen cada uno de ellos. Pero aun podemos seguir, si elevamos un googol − plex alexponente de un googol − plex y repetimos el proceso un googol − plex de veces,obtendrıamos un numero fantasticamente mas grande que toda cosa conocida oimaginable. Y aunque podemos seguir inventandonos numeros grandes, ningunode ellos puede capturar la nocion de infinito.

En el tratamiento que hicimos de los numeros grandes nos percatamos, queaunque esos numeros sı son grandes, hay numeros aun mayores y si la idea deinfinito es “un numero suficientemente grande”, los que corresponden a estascantidades no pueden ser infinitos.

El primer contacto de los antiguos con el infinito se dio estudiando el pro-ceso para extraer raıces cuadradas -atribuido inicialmente a Arquitas (428 - 365a. C.), a Heron de Alejandrıa 100 d. C. y posteriormente a Newton, pero queaparece en una tabla babilonica2 -. Este es un proceso que, si se aplica para obten-er la raız cuadrada de 2, no tiene un ultimo paso; pueden conseguirse mejoresaproximaciones de manera indefinida, es un proceso infinito.

Otro estudio famoso sobre el infinito en la antiguedad lo presenta Zenon deElea3, en sus paradojas. Un ejemplo de ellas es:

“Antes de que un objeto en movimiento pueda recorrer una distancia dada,debe recorrer la mitad de esa distancia, pero aun antes de que recorra esta,debe recorrer la mitad de esta o sea un cuarto de la inicial y antes el primeroctavo y ası sucesivamente a traves de una sucesion infinita de subdivisiones. Uncorredor que quiere iniciar su carrera debe realizar un numero infinito de etapas,sin ninguna primera en un tiempo finito, pero es imposible agotar una coleccioninfinita y por lo tanto, el comienzo del movimiento es imposible”.

Mas tarde, Gauss afirmaba que “en matematicas la magnitud infinita nuncapuede usarse como algo que realmente exista, sino que el infinito tan solo es unaforma de hablar”.

En teologıa, por el contrario, “el infinito”no solo tiene existencia propia sinoque tiene parte activa en la naturaleza; en ella se atribuye a Dios ser “infinita-mente”bueno, justo y poderoso; el caracter infinito y eterno de Dios no es solo

2BOYER, C., Historia de la Matematica, Alianza Universidad, Madrid, 1968, p. 52.3Ibid., p. 109.

207


una forma de hablar. Por supuesto, esta concepcion implica que el infinito esunico.

El primer matematico que trato el infinito como un ente con existencia real fueGeorge Cantor, quien, al generalizar la nocion de numero, desarrollo el conceptode numeros transfinitos y definio para ellos una aritmetica. Probo que no soloexiste un infinito, sino que hay infinitos tipos de infinitos4.

En la teorıa cantoriana del infinito, el numero de elementos de un conjuntose llama cardinal del conjunto.

Un conjunto A es finito si existe algun numero natural n, de manera quese pueda establecer una correspondencia biyectiva5 entre A y un conjunto de laforma:

{1, 2, 3, . . . , n}En este caso se dice que el cardinal de A es n. De lo contrario, el conjunto esinfinito.

Si A es el conjunto de los numeros naturales, al cardinal de A se le da elnombre de Aleph0 y se representa con el sımbolo ℵ0.

Este numero es de otro mundo, de un mundo conocido como el de los numerostransfinitos; es realmente el mas pequeno de los numeros transfinitos, pero para elsentido comun puede parecer gigantesco, ya que si lo dividimos a la mitad quedaexactamente igual al original, pues a cada natural le podemos hacer corresponderun numero par multiplicandolo por 2, y esta es una correspondencia biyectiva.

Esto significa que el numero de numeros naturales es el mismo que el denumeros pares. ¡Quien lo creyera!

Aun mas, si dividimos ℵ0 en 10.000 pedazos cada uno de ellos, es identico aloriginal y no importa el numero de pedazos en que lo dividamos; en cualquiercaso seguirıa siendo igual al original. Cualquier numero finito, por grande quesea, es demasiado pequeno frente al menor de los numeros transfinitos ℵ0.

4MUNOZ, J. M., Introduccion a la teorıa de conjuntos, Departamento de Matematicas yEstadıstica. Universidad Nacional, Bogota, 1983, p.281.

5A cada elemento del primer conjunto le corresponde un unico elemento del segundo y cadaelemento del segundo proviene mediante la correspondencia de un unico elemento del primero.

208


ℵ0 tampoco se inmuta por multiplicaciones con un numero finito, pues multi-plicarlo por cualquier numero m es equivalente a considerar el numero asociadoa un conjunto que contenga m copias de los naturales, pero al hacerlo podemosdefinir una funcion biyectiva entre el conjunto ası formado y el de los naturales,como lo ilustra la figura 2, en donde, por ejemplo, el punto identificado por 32

corresponde al numero natural 3 en la segunda copia realizada. La funcion asignaal punto 11 el numero 1, a 12 el numero 2 y en general al punto identificado porpq el numero (p − 1)m + q.

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•••••

m1

31

21

11

1

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•••••

m2

32

22

12

2

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33

23

13

3

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3n

2n

1n

n •

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•••••

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••••••

Figura 2

Incluso, si multiplicamos ℵ0 por sı mismo; es decir, reproducimos por cadanumero natural una copia del conjunto de los numeros naturales y los pintamos enun arreglo rectangular, como lo muestra la figura 3, en donde sobre cada natural,por ejemplo, el 3, colocamos una copia de los numeros naturales indicados porlos puntos 13, 23, 33, . . . n3, . . . , el cardinal de este nuevo conjunto es nuevamenteℵ0 , por cuanto podemos definir una correspondencia biyectiva entre ellos y losnumeros naturales.

La figura 3 da una idea intuitiva de la manera como podrıa definirse estacorrespondencia, asignando al punto identificado con 11 el numero 1, a 21 el 2, a12 el 3, a 13 el 4, y ası sucesivamente.

209


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•••m1

31

21

11

1

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32

22

12

2

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33

23

13

3 •

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•••mn

3n

2n

1n

n •

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••••••

•••

••••••

••••••

••••••

•••

•••

•••

• • •Figura 3

Podemos resumir las anteriores relaciones entre ℵ0 y cualquier cardinal n deun conjuntos finito, ası:

n + ℵ0 = ℵ0

ℵ0 − n = ℵ0

ℵ0/n = ℵ0

ℵ0 + ℵ0 = ℵ0

n · ℵ0 = ℵ0

ℵ0 · ℵ0 = ℵ0

(ℵ0)n = ℵ0

La operacion equivalente a la resta de ℵ0 consigo mismo presenta un compor-tamiento especial. Veamos:

Si de los numeros naturales eliminamos el subconjunto de los pares, el cardinaldel conjunto resultante es tambien ℵ0. Pero si de los naturales eliminamos todoslos mayores que un cierto numero n, el cardinal del conjunto resultante es n; porlo tanto, no hay manera de establecer un unico resultado para ℵ0−ℵ0; luego estaexpresion no esta definida.

Si queremos hacer una analogıa para interpretar una division entre ℵ0 consigomismo, consideremos disponibles tantas cajas como numeros naturales. Podemos

210


imaginar todas estas cajas como no vacıas colocando un numero natural en cadacaja, pero tambien podrıa hacerlo depositando los dos primeros en la primeracaja, los dos siguientes en la segunda y ası sucesivamente, quedando exactamentedos numeros en cada caja. Por supuesto, podrıa hacer una reparticion parecidadepositando k numeros naturales en cada caja. Incluso mediante una distribucionadecuada podrıan asociarse a cada caja infinitos numeros naturales.

No podemos, por tanto, asignar un unico valor al posible resultado de efectuarℵ0/ℵ0. Esta expresion tampoco esta definida.

La potenciacion, en cambio, sı provoca un cambio sustancial a Aleph0, ¡otravez la potenciacion!, si elevamos ℵ0 al exponente ℵ0 (bastarıa incluso elevar 2, ocualquier numero finito al exponente ℵ0), obtenemos otro numero infinito llamadoAleph1 representado por el sımbolo ℵ1. Este representa el numero de puntos quehay en un segmento de lınea recta o curva; es el mismo numero de puntos de todala recta. Ademas, corresponde al numero de puntos de un cuadrado de cualquiertamano y al numero de puntos de todo el espacio.

Esto ultimo es un golpe fuerte a la intuicion, ¿no le parece? ¡Pero ya de-berıamos irnos acostumbrando a perder la verguenza!

Si reincidimos y elevamos Aleph1 al exponente Aleph1, obtenemos Aleph2,que corresponde al numero de curvas6 que se pueden trazar en un plano.

Ası sucesivamente podemos construir infinitos numeros infinitos y con elloshacer una Aritmetica parecida a la que conocemos, que se conoce como La Ar-itmetica ordinal transfinita de Georg Cantor7.

7.2. El metodo de demostracion por Induccion

Matematica

Cuando escribimos una formula donde aparecen numeros naturales, como porejemplo:

1 + 2 + 3 + · · · + n =n(n + 1)

2

6NAVARRO, J., La nueva matematica, Salvat, Barcelona, 1973.7SUPPES,P., Teorıa axiomatica de conjuntos, Norma, Cali, 1976, pp. 123-149.

211


quiza no nos damos cuenta del profundo significado que ella tiene.

A un humano corriente, no interesado por las mieles intelectuales del razon-amiento matematico, le ocupara bastante tiempo, en caso de serle estrictamentenecesario, sumar los primeros 200 numeros naturales; a nosotros, en cambio, queya descubrimos que basta multiplicar 201 por 100, o sea 20100, nos llevarıa 15segundos a lo mas.

¡Hemos ganado! Si nos retan, podrıamos hasta sumar el primer googol denumeros naturales en muy poco tiempo; pero la formula dice mas, ella debevaler para cualquier numero natural n y no podemos comprobarla para todos.

Hay veces, sin embargo, en que las formulas se cumplen solo para algunosvalores de n y no para otros, como ya lo hemos visto para los numeros primos.

De nuevo la pregunta es: ¿como aseguramos que una formula se vale paratodo numero natural si no podemos ensayar con todos?

Los matematicos han asumido un principio llamado principio de induccionmatematica, que actua como garante en este caso y que esta basado en el contagiopropio de una hilera de fichas de domino, colocadas cada una a corta distancia dela otra, de manera que cuando se empuja una de ellas, ella afecta a la siguientey esta, a su vez, a la siguiente, y ası sucesivamente.

Fueron Pascal y Fermat, quienes desarrollaron primero el razonamiento porinduccion. En 1654, Pascal dio una exposicion clara y precisa del metodo deinduccion completa, aunque ya habıa ciertas indicaciones en la obra de Maurolico.El nombre de induccion matematica tuvo su origen mas tarde, en el artıculo deDe Morgan, en la Penny Cyclopaedia de 1838.

En 1889, Guiseppe Peano escogio el principio de induccion como uno de losaxiomas para fundamentar la aritmetica con un simbolismo formalizado (consımbolos formales y no con el lenguaje cotidiano) en su obra Arithmetices Prin-cipia nova methodo exposita.

El principio de induccion matematica establece que:

Una proposicion matematica p(k) donde este involucrado un numero naturalk es valida para todo numero natural n si:

212


i. Se cumple para el numero 0.

ii. Si se cumple para n debe cumplirse para el siguiente de n, es decir (n + 1)

La condicion (ii) afirma que la verdad de p para el valor (n + 1) dependede la verdad de p para el valor n. Esto basta para asegurar la verdad de p paracualquier valor de n si se cumple la condicion (i), pues si p es cierta para el valorn = 1, entonces es cierta para n = 2; y como es cierta para n = 2 entonces, escierta para n = 3, y ası sucesivamente.

Naturalmente, todo numero sera alcanzado alguna vez mediante una serie deetapas de esta clase, de manera que p sera verdad para todos los numero n.

En el caso de la formula para la suma de los n primeros numeros naturales,obviamente se tiene para 1, y si suponemos que se cumple para un determinadok; es decir, suponemos que:

1 + 2 + 3 + · · · + k =k(k + 1)

2

sumando (k + 1) en ambos lados de la igualdad obtenemos:

1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) =k(k + 1)

2+ (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2

que es la formula correspondiente para (k + 1), de donde podemos concluir quees valida para todo numero natural n.

Observemos que una demostracion que utiliza el principio de induccion matematicano tiene relacion explıcita con el proceso intuitivo de induccion mediante el cualse descubre la formula.

El principio de induccion matematica tiene varias formas equivalentes, porejemplo:

213


1. Si A es una coleccion (conjunto) de numeros naturales y

i. 1 pertenece a A,

ii. k + 1 pertenece a A siempre que k pertenezca a A

Entonces, A es el conjunto de todos los numeros naturales8.

2. A primera vista parece cierto que si A es una coleccion cualquiera denumeros naturales, en A debe haber un elemento mas pequeno que todoslos demas.

Si A es el conjunto vacıo (notado ∅) esta afirmacion no es cierta, puestoque el conjunto vacıo es una coleccion de numeros naturales que no tieneelementos y por lo tanto no tiene elemento mınimo.

Pero si A es un conjunto no vacıo de numeros naturales, entonces A tieneun elemento mınimo. Esta afirmacion se conoce como principio de buenaordenacion.

Este principio se puede demostrar por induccion, como sigue:

Supongase que el conjunto A es no vacıo y no tiene elemento mınimo. SeaB el conjunto de los numeros naturales n tales que 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n noeste ninguno en A. Por supuesto que 1 esta en B, pues si 1 estuviese en Aentonces A tendrıa a 1 como elemento mınimo.

Ademas, si 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k no estan en A, evidentemente k+1 no esta en A(si no, k+1 serıa un elemento mınimo de A), de manera que 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k+1 no estan en A.

Esto demuestra que si k esta en B, entonces k + 1 esta en B. Entoncestodo numero n esta en B; es decir, los numeros 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n no estanen A cualquiera que sea el numero natural n. Ası pues, A = ∅, pero estono puede ser porque habıamos supuesto lo contrario, con lo que se concluyela demostracion.

8SPIVAK, M.; Calculo infinitesimal, Reverte, Barcelona, 1978, p. 29.

214


Ejercicio

Consulte y estudie9 una demostracion del principio de induccion matematicatomando como cierto el principio de buena ordenacion.

3. Ocurre a veces que para demostrar que una proposicion p se cumple parael valor k +1, debemos suponer que p no solo es valida para el valor k, sinopara todos los valores menores o iguales a k. Este principio se conoce comoel principio de induccion completa, que establece:

Si A es un conjunto de numeros naturales y

(1) 1 esta en A

(2) k + 1 esta en A si 1, 2, 3, 4, . . . , k estan en A

entonces A es el conjunto de todos los numeros naturales.

Aunque el principio de induccion completa puede parecer mas fuerte queel principio de induccion ordinario, en realidad no es sino una consecuenciade este ultimo.

Ejemplos

Presentamos enseguida otras demostraciones por induccion, que no pretendenmostrar todos los casos, sino mejorar la percepcion sobre este metodo de razon-amiento.

Comenzamos con algunas de las afirmaciones que hicimos en los capıtulosanteriores y que requieren nuestra justificacion.

1. Cuando estudiamos la divisibilidad por 2, afirmamos que 3k−1 es par paratoda escogencia de k dentro de los numeros naturales.

Para demostrar esta afirmacion, debemos verificar que se cumple al reem-plazar k por 1, como en efecto sucede.

Enseguida, debemos suponer que la afirmacion es cierta para el valor k, yhaciendo uso de esto, construimos la afirmacion para el valor k + 1.

9Apostol, T., Calculus., Reverte, Vol. I., 1988, p. 42.

215


Comenzamos, sin embargo, construyendo la afirmacion para el valor k +1,esto es:

3k+1 − 1 es par

pero

3k+1 − 1 = 3 · 3k − 1 = 2 · 3k + (3k − 1)

El primer sumando es par, pues es multiplo de 2 y el segundo es par, porqueası lo hemos supuesto; esta es la hipotesis de induccion. Con esto quedademostrado el teorema.

2. 5k − 2k es divisible por 3, para todo numero natural n.

Si n = 1 la igualdad se cumple ya que 51 − 21 = 3, que es divisible por 3.

Supongamos que la igualdad es verdadera para n = k , esto es, existe unnumero q tal que

5k − 2k = 3q

y probemos que se tiene para n = k + 1

5k+1 − 2k+1 = 5 · 5k − 2 · 2k

= (3 + 2) · 5k − 2 · 2k

= 3 · 5k + 2 · 5k − 2 · 2k

= 3 · 5k + 2 · (5k − 2k)

= 3 · 5k + 2 · (3q)

Notemos que en este paso hemos usado la hipotesis de induccion, final-mente:

= 3 · (5k + 2q)

lo que implica que 5k+1 − 2k+1 es un multiplo de 3 y con esto el teoremaqueda demostrado.

Analogamente, se prueba que 4k − 1 es multiplo de 3 y que 10k − 4 esdivisible por seis, para todo numero natural k.

216


❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Por supuesto, usted ya no espera ordenes.

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

3. Si miramos los ejemplos anteriores, podemos sospechar (induccion intuiti-va) que si10 a > b entonces an−bn es divisible por a−b para todo valor de nnatural. Haremos enseguida una demostracion por induccion matematica:

Si n = 1 se cumple ya que a1 − b1 = a − b.

Supongamos que es verdad para n = k , esto es, existe un numero p tal que

ak − bk = (a − b)p

y probemos que se tiene para n = k + 1

ak+1 − bk+1 = a · ak − bbk

Como a > b entonces existe un numero natural c tal que a = c + b; portanto:

ak+1 − bk+1 = (c + b)ak − bbk

= cak + bak − bbk

= cak + b(ak − bk)

= cak + b(a − b)p

Pero sabemos que c = a − b, luego:

ak+1 − bk+1 = (a − b)ak + b(a − b)p

= (a − b)(ak + bp)

= (a − b)q

donde q = ak + bp, y con esto se concluye la demostracion.

10Esta condicion solo es para garantizar que estamos tratando con numeros naturales; sinembargo, la proposicion es valida en conjuntos de numeros mas generales.

217


4. El numero de subconjuntos de un conjunto de n elementos es 2n.

Facilmente se verifica que para un conjunto con 1 elemento, el numero desus subconjuntos es 2, el conjunto vacıo y el mismo conjunto.

Si suponemos cierta la afirmacion para n elementos, debemos probar quees cierta para n + 1 elementos.

Si un conjunto tiene n+1 elementos, tiene un elemento mas que el conjuntode n elementos y como este tiene 2n subconjuntos, podemos formar 2n

nuevos subconjuntos agregando el nuevo elemento a cada uno de los queya estaban formados; es decir, en total tenemos 2n + 2n elementos, o sea2n+1 elementos.

5. La desigualdad (1+x)n ≥ 1+nx para cualesquier numeros naturales11 n yx, conocida como desigualdad de Bernoulli12, tiene la siguiente prueba porinduccion sobre n:

Claramente se tiene para n = 1

(1 + x)1 ≥ 1 + 1x

Si suponemos que la formula es valida para n = k, cuando n = k + 1,tenemos que:

(1 + x)k+1 = (1 + x)k(1 + x)

Utilizando la hipotesis de induccion

(1 + x)k+1 ≥ (1 + kx)(1 + x)

= 1 + kx + x + kx2

= 1 + (k + 1)x + kx2

11La desigualdad tambien es valida sı x no es un numero natural, si esta en el campo masamplio de los numeros reales.

12Esta desigualdad fue publicada por el en 1689, pero ya se encontraba en una publicacionde Isaac Barrow, maestro de Newton, en 1670.

218


y como kx2 es un numero natural, entonces

(1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x

porque si a un numero natural escrito como una suma (1 + (k +1)x + kx2)le quitamos uno de los sumandos kx2, el resultado es mas pequeno. Y conesto finaliza la demostracion.

6. En este ejemplo hacemos uso del principio de induccion completa parademostrar que “todo numero natural mayor o igual que 2 o es primo o sepuede escribir como un producto de numeros primos”.

Si n = 2, la proposicion se tiene.

Si n = k, supongamos que la afirmacion es valida para todo numero naturalmenor o igual que k y mayor o igual que 2.

Si n = k + 1, entonces:

a) Si k + 1 es primo, la afirmacion serıa valida.

b) Si k + 1 no es primo, k + 1 tiene un divisor m diferente de 1 y desı mismo, es decir existe un numero z tal que

k + 1 = mz

donde 1 < m ≤ k y 1 < z ≤ k.

Ahora, aplicando la hipotesis de induccion a los numeros m y z, ambos sonproducto de numeros primos y por tanto k + 1 es producto de numerosprimos.

7. El teorema del binomio de Newton13 afirma que:

(a+b)n =

(n

0

)an−0b0+

(n

1

)an−1b1+· · ·+

(n

n − 1

)an−(n−1)bn−1+

(n

n

)an−nbn

Su demostracion por induccion tiene a primera vista un aspecto impre-sionante, por lo que su lectura requiere la paciencia que es natural en losmatematicos.

13Teniendo como base quen!

(n − k)!k!=

(n

k

)

219


❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Si aun no la ha desarrollado suficientemente tenga paciencia, que sise esfuerza, ya vendra.

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Para el caso n = 1, la formula se cumple puesto que a+ b =

(1

0

)a+

(1

1

)b.

Supongamos que es valida para n = k. Si n = k + 1:

(a + b)k+1 = (a + b)(a + b)k = a(a + b)k + b(a + b)k =

a

((k

0

)ak−0b0 +

(k

1

)ak−1b1 +

(k

2

)ak−2b2 + · · · +

(k

k − 1

)ak−(k−1)bk−1

+

(k

k

)ak−kbk

)

b

((k

0

)ak−0b0 +

(k

1

)ak−1b1 +

(k

2

)ak−2b2 + · · · +

(k

k − 1

)ak−(k−1)bk−1

+

(k

k

)ak−kbk

)=((

k

0

)ak+1−0b0 +

(k

1

)ak+1−1b1 +

(k

2

)ak+1−2b2 + · · · +

(k

k − 1

)ak+1−(k−1)bk−1

+

(k

k

)ak+1−kbk

)+

((k

0

)ak−0b0 +

(k

1

)ak−1b1+1 +

(k

2

)ak−2b2+1

+ · · · +(

k

k − 1

)ak−(k−1)bk+1−1 +

(k

k

)ak−kb1+k

)

Teniendo en cuenta que:

(k + 1

k

)=

(n

k − 1

)+

(k

k

)

(La anterior igualdad queda como ejercicio para el lector)

Agrupando los terminos que tengan los mismos exponentes para a y para

220


b, concluimos que:

(a + b)k+1 =

(k + 1

0

)ak+1−0b0 +

(k + 1

1

)ak+1−1b1 +

(k + 1

2

)ak+1−2b2 + · · ·

+

(k + 1

k

)ak−(k−1)bk+1−1 +

(k + 1

k + 1

)a0bk+1

y por lo tanto la formula es valida para todo numero natural n.

8. Consideremos ahora expresiones en las que aparecen dos o mas numerosnaturales y en las que se afirma que son validas para todo numero natural;en ellas debemos hacer una demostracion por induccion sobre cada variable.

Por ejemplo, cuando estudiamos la divisibilidad por 2 en cualquier base,afirmamos que un numero escrito en base impar es divisible por 2 si lasuma de sus cifras es par, esta afirmacion es cierta si lo es la siguiente:

(2n + 1)k − 1 es par.

El problema es equivalente a probar que (2n + 1)k es impar para cualquierescogencia de los numeros n y k.

Para probar esta afirmacion por induccion, consideramos primero el cason = 1 y en el debemos probar que para todo numero natural k, 3k es unnumero impar. Pero esta tarea ya fue realizada en el ejemplo 1 de estaseccion.

Suponemos ahora que la afirmacion es valida para un valor fijo de n = s.Esto es, para todo numero natural k, se cumple que (2s+1)k es un numeroimpar y debemos probar que para n = s+1 se cumple que [2(s+1)+1]k =(2s + 3)k es un numero impar para cualquier valor del numero natural k ypara ello nuevamente necesitamos hacer induccion sobre la variable k.

Para k = 1, la proposicion es valida.

Suponemos que para k = t, (2s + 3)t es un numero impar y como (2s +3)t+1 = (2s+3)t(2s+3), es el producto de dos numeros impares concluimosque es tambien un numero impar.

221


Estas demostraciones, conocidas como induccion doble14, admiten una man-era alternativa que consiste en fijar primero una variable y hacer induccionsobre la otra y viceversa.

Primero hacemos induccion sobre k, luego sobre n. Consideremos para ellon un numero natural fijo.

Observemos inicialmente que para k = 1 se tiene que (2n + 1)k = 2n + 1es un numero impar.

Supongamos que la afirmacion se tiene para k = s; es decir, existe Q talque (2n + 1)s = 2Q + 1 y probemos que se tiene para k = s + 1.

(2n + 1)s+1 = (2n + 1)(2n + 1)s

= (2n + 1)(2Q + 1)

= 4Qn + 2Q + 2n + 1

= 2(2Qn + Q + n) + 1

= 2q + 1

tomando como q = 2Qn + p + n. Luego, habiendo fijado n, la expresion esvalida para todo numero natural k.

Ahora debemos hacer induccion sobre n, dejando fijo el exponente k, y estatarea se la dejamos al lector.

Un asunto que debemos resaltar es que no todas las formulas que incluyennumeros naturales se prueban por induccion; es necesario que la formulase refiera a todos los numeros naturales. Por ejemplo, la afirmacion

“Un numero natural es perfecto si es de la forma

2n−1(2n − 1)

donde 2n − 1 es un numero primo cuando n es primo”

no es demostrable por induccion matematica, pues a pesar de que el numeron es natural, en esta afirmacion debe ser primo y no todos los naturales loson.

14HALMOS, P.; Naive Set Theory, Van Nostrand, Nueva York, 1960, p. 46.

222


7.3. Definiciones por recurrencia

Otra de las ventajas que ofrece el principio de induccion matematica se en-cuentra en la posibilidad de utilizarla en la obtencion de una nueva forma paradefinir objetos matematicos.

Estas definiciones, conocidas como definiciones por recurrencia, se encuentrande manera abundante en las matematicas y consisten en distinguir un elementode un conjunto e indicar la manera de conseguir un nuevo objeto a partir deotros previamente construidos.

En ella se esta contagiando la esencia misma de los numeros naturales a otrosconjuntos; esta es que cada elemento tiene un sucesor.

Veamos algunos ejemplos:

1. La definicion del factorial de un numero n, el cual se denota n, se describepor recurrencia, ası:

0! = 1

(n + 1)! = n! · (n + 1)

2. La potenciacion tambien puede ser definida por recurrencia ası:

a0 = 1 y

an+1 = an · a

3. No necesariamente se define un nuevo objeto a partir del anterior, sino ala manera de lo presentado en la induccion completa. Puede presentarse apartir de varios o todos los anteriores. Por ejemplo, una sucesion relacionadacon la reproduccion de los conejos, con la forma de distribucion de las ramasen los arboles, y de las semillas en la flor del girasol, conocida como sucesionde Fibonacci tiene su presentacion por recurrencia, como:

a1 = 1

a2 = 1

an+1 = an + an−1.

223


Ejercicio

Demuestre por induccion que las formulas que le presentamos a continuacionson validas para todo numero natural n:

1. La suma de los primeros n numeros pares es:

2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n(n + 1)

La suma de los primeros n numeros que se obtienen a partir de uno ycontando de tres en tres, es:

1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) =n

2(3n − 1)

Las dos formulas anteriores son casos particulares de la siguiente relacion,donde partiendo de a se cuenta de x en x.

a + (a + x) + (a + 2x) + · · · + (a + (n − 1)x) =n

2(2a + (n − 1)x)

2. Las sumas de los primeros n numeros cuadrados, los primeros n numeroscuadrados impares y los n primeros numeros cubicos impares, estan dadasrespectivamente por:

12 + 22 + 32 + · · · + n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 =n

3(4n2 − 1)

13 + 33 + 53 + · · · + (2n − 1)3 = n2(2n2 − 1)

3. Las dos formulas siguientes establecen una relacion entre la suma de losprimeros n numeros cubicos y el n-esimo numero triangular:

13 + 23 + 33 + · · · + n3 =n2

4(n + 1)2

(1 + 2 + 3 + · · · + n)2 =n2

4(n + 1)2

224


4. Los tres siguientes ejercicios tienen algo en comun:

2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2(2n − 1)

3 + 32 + 33 + · · · + 3n =3

2(3n − 1)

5 + 52 + 53 + · · · + 5n =5

4(5n − 1)

Encuentre una formula general que los describa y pruebela tambien.

5. La siguiente suma aparece al hacer la interpretacion moderna de la paradojade Zenon:

1 +1

2+

1

22+ · · · + 1

2n−1= 2 − +

1

2n−1

y es un caso particular de:

a + ar + ar2 + · · · + arn−1 =a(1 − rn)

1 − r, r �= 1

6. Hay formulas que no son validas para todo numero natural, pero sı paratodo natural mayor que un numero dado. Estas formulas pueden escribirsecomo validas para todo numero natural introduciendo una variable distinta.

Por ejemplo, 2n ≥ n2 es una desigualdad valida a partir de 4, y es equiva-lente a garantizar que si n = 3 + m la expresion 2m+3 ≥ (m + 3)2 es validapara todo numero natural m.

Sin embargo, sin necesidad de hacer el cambio de variable, la prueba porinduccion se reduce a garantizar que la formula dada es valida para n = 5y continuar el proceso de manera similar al anterior.

Demuestre que:

2n ≥ n2 para n > 3.

2n ≤ n! para n > 3.

4n ≥ n 3n para n > 6.

225


7. Use el metodo de induccion matematica para demostrar que los coeficientes

binomiales

(n

k

)son numeros naturales para todo k ≥ n. ¿Se requiere usar

induccion completa?;¿induccion doble? Justifique.

8. Las siguientes proposiciones requieren de induccion doble:

an+m = anam

(an)m = anm

Toda potencia de un numero par es par.

Realice las demostraciones.

7.4. Presentacion axiomatica de los numeros na-

turales

Hemos insistido en que las intuiciones que resultan de la experiencia directausando nuestros sentidos, o las obtenidas de observar regularidades, por mas queestas se presenten muchas veces, no son suficientes para dar validez a una afirma-cion matematica; esto hace necesario que fijemos un criterio para decidir sobre lavalidez de ellas. Existe un metodo regularmente aceptado entre los matematicosdesde hace muchos anos, conocido como metodo axiomatico.

Euclides, en el ano 300 a.C, e incluso antes Eudoxo, presentaron la geometrıacomo un conjunto de proposiciones que se deducen de unas fundamentales quellamamos axiomas, mediante una forma preestablecida de razonar. Arquımedeshizo lo mismo con la mecanica teorica que luego perfeccionan Newton en suPrincipia Matematica de 1686, y Lagrange, en su Mecanica analıtica de 1788.

La presentacion axiomatica de la geometrıa en su forma moderna se debe aHilbert en su libro Grundlagen der Geometrie de 1899.

En estas presentaciones axiomaticas se parte de unos terminos no definidos, seenuncian unas relaciones entre ellos, que aceptamos como ciertas (los Axiomas),se presume una forma correcta de razonar, usualmente la logica bivalente clasica,y con esto se deducen otras afirmaciones que llamamos teoremas. Los Teoremas

226


son ciertos en la medida de que los axiomas lo sean y que los razonamientos seancorrectos.

En el sistema axiomatico, para los numeros naturales, presentado por el ital-iano Guiusseppe Peano, en 1889, figuran como terminos primitivos el numero 0y el concepto de sucesor y como axiomas:

1. 0 es un numero natural15

2. El sucesor de cualquier numero natural (n) es un numero natural (n+)

3. Dos numeros naturales diferentes no tienen nunca el mismo sucesor; esdecir, que si k �= n entonces k+ �= n+.

4. 0 no es el sucesor de algun numero. (0 es el primer numero natural16)

5. Si P es una propiedad tal que:

a) 0 tiene la propiedad P .

b) Siempre que un numero n tiene la propiedad P implica que su sucesorn+ tambien tiene la propiedad P , entonces todo numero natural tienela propiedad P .

El axioma 5 es el que da sustento logico al metodo de induccion matematicaque hemos utilizado para probar las regularidades encontradas al trabajarcon los numeros naturales.

7.4.1. La adicion de numeros naturales

La operacion adicion de numeros naturales se define por recurrencia17 de lasiguiente forma:

i. n + 0 = n

ii. n + k+ = (n + k)+.

15En la presentacion inicial de Peano, el primer numero es el 1, pero esto no cambia sustan-cialmente el el sistema.

16Hay versiones axiomaticas de los numeros naturales donde el primer numero natural es el1.

17NEWMAN, J.; op. cit., Vol. V., pp. 7- 22.

227


Para cualesquier numero naturales n y k.

Con esto y la definicion de multiplicacion, que presentamos un poco mas ade-lante, tenemos las bases para deducir todas las propiedades que rigen al sistemade los numeros naturales.

Un tratamiento completo puede encontrarse en un libro de teorıa de conjun-tos18, o en un libro de teorıa de numeros19.

Veamos, a manera de ejemplo, la demostracion de las propiedades fundamen-tales de los numeros naturales.

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

Observe la diferencia en la manera de pensar con respecto a lo hechoanteriormente.

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

7.4.1.1. Propiedad modulativa de la adicion

Para todo numero natural se cumple que

n + 0 = 0 + n = n

Prueba:

De la definicion de suma se tiene que n+0 = n. Demostraremos por induccionque para todo n, se tiene que 0 + n = n.

i. Para n = 0, tenemos que 0 + 0 = 0, por la definicion.

ii. Suponemos valido que 0 + k = k, siendo k un numero natural y debe-mos demostrar que se cumple para su sucesor k+. Pero esto tambien esinmediato de la segunda parte de la definicion de la suma puesto que0 + k+ = (0 + k)+ = k+. Por lo tanto, la afirmacion es valida para to-do numero natural n.

18MUNOZ, J., Introduccion a la teorıa de conjuntos, Universidad Nacional, Bogota, 1983,p.p. 141-185.

19RUBIANO, G., GORDILLO, J., JIMENEZ, R., Teorıa de numeros para principiantes,Universidad Nacional, Bogota, 1999, pp. 1-9.

228


7.4.1.2. Propiedad conmutativa de la adicion

Para hacer una demostracion de la propiedad conmutativa de la adicion,probaremos primero que para todo n y k numeros naturales se cumple que:

k+ + n = (k + n)+

Prueba:

Hacemos induccion sobre n. Para n = 0

k+ + 0 = (k + 0)+

por la propiedad modulativa de la adicion.

Supongamos que la igualdad es valida para n = m y demostremosla para m+;es decir, debemos probar que k+ + m+ = (k + m+)+.

Partamos de:

k+ + m+ = (k+ + m)+ por la definicion de adicion

= ((k + m)+)+ por la hipotesis de induccion

= (k + m+)+ por la definicion de adicion

que es lo que debıamos demostrar.

Ahora sı probaremos la propiedad conmutativa de la adicion que afirma: paratodo m, n numeros naturales se tiene que

m + n = n + m.

Prueba:

A pesar de que hay dos variables, basta hacer induccion sobre una de ellas(¿por que?), elijamos m:

i. Para m = 0, por ser 0 el modulo de la adicion, tenemos que

0 + n = n = n + 0.

229


ii. Suponemos que para m = k se tiene que k + n = n + k, debemos probarque k+ + n = n + k+, pero esto es cierto puesto que:

k+ + n = (k + n)+ por el teorema anterior

= (n + k)+ por la hipotesis de induccion

= n + k+ por la definicion de adicion

La ultima igualdad termina la prueba.

7.4.1.3. Propiedad asociativa de la adicion

Para todo m, n, k numeros naturales se cumple que:

(m + n) + k = n + (m + k).

Prueba:

Tambien aquı basta hacer induccion sobre una variable, digamos k:

i. Para k = 0, aplicamos dos veces la propiedad modulativa y obtenemos que:

(m + n) + 0 = m + n = m + (n + 0)

ii. Suponemos que para k = t se tiene que (m + n) + t = m + (n + t) paratodo m, n numeros naturales, debemos probar que

(m + n) + t+ = m + (n + t+)

Y esto se deduce de:

(m + n) + t+ = ((m + n) + t)+ por la definicion de suma.

= (m + (n + t))+ por la hipotesis de induccion

= (m + (n + t)+) por la definicion de suma

= (m + (n + t+)).

La ultima expresion es el resultado deseado.

230


7.4.2. La multiplicacion de Numeros Naturales

La multiplicacion tambien admite una definicion por recurrencia de la sigu-iente forma:

i. n · 0 = 0

ii. n · k+ = n · k + n.

Para cualesquier numero naturales n y k.

7.4.2.1. Propiedad modulativa de la multiplicacion

Para todo numero natural n se cumple que

n · 1 = 1 · n = n

donde hemos definido 1 = 0+.

Prueba:

i. Para n = 0, por la primera parte de la definicion de multiplicacion se tieneque 1 · 0 = 0. Y de la segunda parte,

0 · 1 = 0 · 0+ por la definicion de 1

= 0 · 0 + 0 por la definicion de multiplicacion

= 0 + 0 = 0 por la propiedad modulativa de la adicion

ii. Suponemos valido para n = k que k · 1 = 1 · k = k, y debemos demostrarque se cumple para su sucesor k+; es decir, que k+ · 1 = 1 · k+ = k+.

1 · k+ = 1 · k + 1 por la definicion de multiplicacion

= k + 1 por hipotesis de induccion

= k + 0+ por la definicion de 1

= (k + 0)+ por la definicion de suma

= k+ por la propiedad modulativa de la suma.

231


Falta probar que:k+ · 1 = k+.

Pero esto es inmediato, puesto que

k+ · 1 = k+ · 0+ por la definicion de 1

= k+ · 0 + k+ por la definicion de multiplicacion

= 0 + k+ por la definicion de multiplicacion

= k+ por la propiedad modulativa de la suma.

Por lo tanto, la afirmacion es valida para todo numero natural n.

7.4.2.2. Para todo numero natural n se tiene que 0·n=0

En la definicion de multiplicacion se afirma que n · 0 = 0, probaremos ahoraque 0 · n = 0.

Prueba:

Hacemos induccion sobre n.

i. Para n = 0, se tiene que 0 · 0 = 0 por la definicion de multiplicacion.

ii. Supongamos que para n = k , 0 · k = 0, probemos que 0 · k+ = 0.

0 · k+ = 0 · k + 0 por la definicion de multiplicacion

= 0 + 0 por hipotesis de induccion

= 0 por la propiedad modulativa de la suma.

7.4.2.3. Propiedad distributiva de la multiplicacion con respecto a laadicion

Para todo m, n, k, numeros naturales se cumple que

(n + k) · m = n · m + k · m.

232


Prueba:

Debemos hacer doble induccion, inicialmente hagamos induccion sobre m:

i. Para m = 0, tenemos que

(n + k) · 0 = 0 por el teorema anterior

= n · 0 + k · 0 por la propiedad modulativa de la adicion

ii. Suponemos que se cumple que (n + k) ·m = n ·m + k ·m, para todo m y nnumeros naturales y debemos demostrar que (n+k) ·m+ = n ·m+ +k ·m+

Pero,

(n + k) · m+ = (n + k) · m + (n + k) por la definicion de multiplicacion

= (n ·m + k · m) + (n + k) por la hipotesis de induccion

= (n ·m + n) + (k · m + k) por las propiedades conmutativa y

asociativa de la adicion.

= n · m+ + k · m+ por la definicion de multiplicacion

que es lo que querıamos demostrar.

7.4.2.4. Propiedad conmutativa de la multiplicacion

Para todo m, n, numeros naturales se cumple que

m · n = n · m.

Prueba:

Hacemos induccion sobre m:

i. Para m = 0, tenemos que 0 · n = 0 = n · 0 por el teorema anterior.

ii. Suponemos que para m = k se tiene que k · n = n · k, debemos probar quek+ · n = n · k+.

233


Tenemos que:

n · k+ = n · k + n por la definicion de multiplicacion

= k · n + n por la hipotesis de induccion

= k · n + 1 · n por la propiedad modulativa de la multiplicacion

= (k + 1) · n por la propiedad distributiva

= (k + 0+) · n por la definicion de 1

= (k + 0)+ · n por la definicion de adicion

= k+ · n por la propiedad modulativa de la adicion

Ejercicios

1. Complete la prueba de la propiedad distributiva haciendo induccion sobren o sobre k.

2. Demuestre la propiedad asociativa de la multiplicacion de numeros natu-rales; es decir, que para todo m, n, k numeros naturales se cumple que:

(m · n) · k = n · (m · k).

3. Demuestre las leyes cancelativas de la adicion y la multiplicacion; es decir,que:

a) Para todo m, n, k, numero natural se cumple que, si m + n = m + kentonces n = k.

b) Para todo m, n, k, numero natural, m �= 0, se tiene que, si m ·n = m ·kentonces n = k

7.5. El orden en los numeros naturales

Entre los numeros naturales hemos establecido una jerarquıa que nos permitedecir cuando uno de ellos es mayor que otro; las propiedades de esta relacion,conocida como una relacion de orden, tambien puede demostrarse usando laspropiedades de los numeros naturales que hemos demostrado en este capıtulo.

234


Decimos que entre dos numeros naturales a y b, a es menor o igual que b,o tambien que b es mayor o igual que a y se nota a ≤ b si y solo si existe unnumero natural c tal que a + c = b.

Esta relacion cumple las siguientes propiedades:

1. Reflexiva: para todo numero natural a se cumple que a ≤ a.

Prueba:

El primer axioma de Peano garantiza que el 0 es un numero natural y lapropiedad modulativa de la suma afirma que para todo numero natural a,se tiene que a + 0 = a, por lo tanto a ≤ a para todo numero natural a.

2. Antisimetrica: dados dos numeros naturales cualesquiera a y b, si se cumpleque a ≤ b y tambien se cumple que b ≤ a entonces debe cumplirse que a = b.

Prueba:

Si se cumple que a ≤ b entonces existe un numero natural c tal que a+c = b,y si ademas se cumple que b ≤ a, existe tambien un numero natural d talque b + d = a.

Si reemplazamos b en la segunda igualdad, obtenemos :

(a + c) + d = a

aplicando las propiedades asociativa y cancelativa de la adicion, la igualdadse convierte en

c + d = 0

lo que implica que c = d = 0, porque si no fuera ası y uno de ellos, porejemplo d fuera diferente de 0, existirıa un numero natural p tal que p+ = d(¿por que?) y entonces

c + d = c + p+ = (c + p)+ = 0

lo que significarıa que 0 es sucesor de (c+ p), lo que contradice el 4 axiomade Peano.

235


3. Transitiva: dados numeros naturales cualesquiera a, byc, si se cumple quea ≤ b y tambien se cumple que b ≤ c entonces debe cumplirse que a ≤ c.

Prueba:

Si se cumple que a ≤ b entonces existe un numero natural k tal que a+k =b, y si ademas se cumple que b ≤ c, existe tambien un numero natural dtal que b + d = c.

Si reemplazamos b en la segunda igualdad, obtenemos:

(a + k) + d = c

aplicando la propiedad asociativa de la adicion, la igualdad se convierte en

a + (k + d) = c

lo que significa que a ≤ c, puesto que (k + d) es un numero natural.

4. Monotonıa de la adicion: dados numeros naturales cualesquiera a, b, c y d,si a ≤ b y c ≤ d entonces a + c ≤ b + d

Prueba:

Si a ≤ b entonces existe un numero natural k tal que a+k = b, y si ademasc ≤ d, existe tambien un numero natural n tal que c + n = d.

Si sumamos las dos igualdades, obtenemos:

(a + k) + (c + n) = b + d

aplicando las propiedades conmutativa y asociativa de la adicion, la anteriorigualdad toma la forma

(a + c) + (k + n) = b + d

lo que significa que a + c ≤ b + d, puesto que (k +n) es un numero natural.

236


Ejercicio

1. Demuestre la propiedad de monotonıa para la multiplicacion, esto es que:dados numeros naturales cualesquiera a, b y c, si a ≤ b entonces a · c ≤ b · c

2. Demuestre que si a, b, c son numeros naturales y a · c < b · c entonces a < b.

3. Si definimos por recurrencia la potenciacion de numeros naturales por lasformulas:

i. a0 = 1

ii. an+= an · a

demuestre que

an+m = anam

(an)m = an·m

4. En el capıtulo 1 definimos una operacion que reitera la potenciacion; estase puede definir por recurrencia con las formulas:

i. 1a = a

ii. n+a = (na)a

Estudie sus propiedades y demuestrelas por induccion.

Notemos la diferencia de los procedimientos y los razonamientos que hacemosen este capıtulo con lo hecho en los capıtulos anteriores, aquı lo que importa sonlos axiomas y sus conexiones logicas sin importar las representaciones que de laspalabras “numero natural”podamos hacer.

Por ejemplo, si llamamos 1 = 0+, 2 = 1+, 3 = 2+, 4 = 3+, · · · , etc. Podemosdemostrar que

3 + 1 = 4 (¿No le parece exotico, demostrar esto?)

Veamos:

3 + 1 = 1 + 3 = 1 + 2+ = (1 + 2)+ = (1 + 1+)+ = ((1 + 1)+)+ = ((1 + 0+)+)+

= (((1 + 0)+)+)+ = ((1+)+)+ = (2+)+ = 3+ = 4.

Esta es una de las maneras oficiales de presentar los numeros naturales; ustedpuede averiguar otras.

237


❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

El estudio aquı apenas comienza.

❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

238

BIBLIOGRAFIA

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