LA MODELACIN MATEMTICA COMO BASE DE LA AUTONOMA CIENTFICA DE LA CONTABILIDAD

LA MODELACIN MATEMTICA COMO BASE DE LA AUTONOMA CIENTFICA DE LA CONTABILIDAD1. INTRODUCCIN2. CONTABILIDAD Y MATEMTICAS3. CASOS PRCTICOS4. GUA DE DISCUSIN5. BIBLIOGRAFA

1. INTRODUCCIN

Hace algunos aos, en un artculo de investigacin, quise llamar la atencin sobre dos temas que me parecan (y an me parecen) de la ms alta importancia para el desarrollo cientfico de la Contabilidad. Me refer en aquella oportunidad, al "problema de la terminologa

y al "problema de la matematizacin de los hechos contables.

Teniendo en mente, la sentencia del matemtico francs Julio Enrique Poincar (1854?1912) quien sostena que "toda ciencia tiene de ciencia lo que tiene de Matemtica", en el presente trabajo, a partir de conceptos elementales, tratar de avanzar hacia la formulacin de modelos matemticos completos que, junto a su coherencia lgica interna, prueben ser efectivos en la solucin de los problemas planteados por la prctica contable concreta.

2. CONTABILIDAD Y MATEMTICAS : UN PROMISORIO REENCUENTRO

En el presente captulo, expondr algunos puntos de vista particulares acerca del estado actual del planteamiento matemtico de la Contabilidad, a base de los cuales pretendo demostrar que la modelacin matemtica de los fenmenos contables ayudara a una mejor formulacin y a una resolucin sistemtica (es decir: ordenada y efectiva) de los problemas que la Contabilidad plantea, acelerando as su desarrollo conceptual y otorgndole el lugar que -entre las ciencias- le corresponde.

2.1. Estado actual del planteamiento matemtico de la Contabilidad

Hoy ms que nunca, resultan vlidas y vigentes las graves advertencias que connotados Contadores Pblicos han hecho desde hace varios aos, acerca de la perentoria necesidad de un nuevo enfoque, de un aggiornamento de la Contabilidad, para ponerla a tono con el desarrollo de otras ciencias y de este modo procurarse el carcter cientfico que le est haciendo falta.

El llamado hacia un nuevo enfoque de la Contabilidad, como bien lo sealaba el Profesor Mattesich ya en 1964, nos viene desde varios rumbos; y la necesidad de una actualizacin de la disciplina contable tiene muchas facetas. As, parece que los Contadores estn enfrentados a elegir una de dos alternativas: (1) adquirir profundos conocimientos de diversos aspectos de la jurisprudencia (legislacin civil, legislacin comercial, legislacin tributaria, etc.) y desarrollar de este modo nuestra disciplina dentro del campo puramente legalista, o (2) adquirir proficiencia en modernos mtodos analticos cuantitativos y tratar de mantener el antiguo status de nuestra disciplina, esto es: el de ser la herramienta cuantitativa ms importante de la prctica econmica. (MATTESICH 1964: 14?15)

Tal como estn las cosas, parece evidente que los Contadores Pblicos se han visto sobre?afectados por los aspectos legalistas de su ejercicio profesional y, en gran mayora, han otorgado precedencia en su desarrollo profesional a estos aspectos ms bien que a una sistemtica capacitacin y la adquisicin de destrezas en la aplicacin de mtodos analticos cuantitativos, tan importantes hoy en da.

Como sabemos, "hasta hace unos (...) aos atrs, se hubiera podido decir que la nica habilidad matemtica requerida por un Contador era el desarrollo de un reflejo condicionado que lo capacitara para la provisin de extensas listas de valores monetarios." (MEPHAM 1966: 687). Pocos podran sostener esto ahora.

Sin embargo, debemos reconocer que si bien hay algunos Contadores Pblicos que estn enfrentando con decisin el problema de la aplicacin de mtodos cientficos al estudio de la Contabilidad, son muchsimos ms aquellos que lo estn soslayando, prefiriendo concentrar sus esfuerzos en las que hemos denominado reas legalistas de la profesin.

Y es sta una situacin acerca de la cual queremos demandar la ms grave atencin, pues es apremiante que la profesin contable, y sobre todo los Contadores Pblicos deben cambiar. Y como una pequea muestra del cambio que empieza a producirse, quisiera comentar -aunque no sea sino de una forma panormica- algunas de las obras ms significativas que han realizado importantsimos aportes al nuevo enfoque de la Contabilidad, proyectndola hacia renovados escenarios de praxis profesional.

El artculo fundador de Richard Mattesich titulado "Toward a general and axiomatic foundation of Accountancy" (aparecido en Accounting Research, Octubre de 1957) y su libro "Accounting and Analytical Methods. Measurement and Projection of Income and Wealth in the Micro- and Macro- Economy". En estos trabajos, el autor plantea la necesidad de una axiomtica contable que nos lleve hacia una teora general de la Contabilidad. Asimismo, seala desarrollos modernos de representacin y tratamiento de flujos contables como la Teora de Redes y el lgebra de Matrices.

El libro del Profesor John K. Shank, "Matrix Methods in Accounting" (1972). En este trabajo el Profesor Shank, a partir de una introduccin al lgebra de Matrices, revisa aplicaciones prcticas de sta en Tenedura de Libros, Contabilidad de Costos, Contabilidad Financiera y Planeamiento Financiero (Anlisis Input?Output, Valuacin de Cuentas por Cobrar y Valuacin de Inventarios). Al final de cada captulo, se incluye "Referencias Seleccionadas" que remiten al lector a trabajos de mayor profundidad.

"La Nueva Contabilidad" (1975) y "Teora y Estructura de la Nueva Contabilidad" (1979) de Enrique Ballestero, son los libros de Contabilidad moderna -escritos originalmente en castellano- ms importantes hasta hoy. El Profesor Ballestero con lenguaje sencillo y con gran tino didctico analiza en sus obras importantes temas, tales como la Contabilidad y la Teora de Grafos (o Redes), la Tenedura de Libros Matricial, la Contabilizacin de la Ganancia y el Principio de la Fidelidad Contable y Problemas centrales de la Contabilidad de Costes. En la Segunda Parte (que slo aparece en su obra de 1979) aborda la Teora de las Cuentas, evala la Teora Estructuralista de la Contabilidad y analiza con cierto detalle temas de Contabilidad Multidimensional y Auditora.

El libro de A. Wayne Corcoran, originalmente escrito en ingls y publicado en castellano en 1983, bajo el ttulo de "Costos. Contabilidad, Anlisis y Control". Obra sumamente importante, que no deja de abordar casi ningn tema de Contabilidad de Costos, bajo una ptica innovadora y siempre utilizando las tcnicas analticas cuantitativas ms elaboradas. En este libro se revisan Tcnicas de Presupuestacin y Contabilidad por reas de Responsabilidad, echando mano a la Teora de las Cadenas de Markov, el prorrateo de Costos Indirectos usando el clculo matricial y se hace un estudio sobre Costos Estndar con auxilio del Clculo Infinitesimal. Se utilizan tambin el Anlisis Combinatorio, el Muestreo Estadstico, las Lneas de Espera, la Programacin Lineal, el Anlisis Insumo-Producto y la Programacin Dinmica.

2.2. Los modelos matemticos contables

En Contabilidad, como se puede verificar con facilidad, no ha habido mayor avance en lo que respecta a construccin de modelos matemticos. La ecuacin A = P + C (y sus forzadas sofisticaciones), no es, ni con mucho, el modelo matemtico que se precisa para desencadenar el proceso de la matematizacin de la Contabilidad.

Como sabemos, un modelo es la representacin de una porcin de la realidad en sus elementos ms pertinentes para la solucin del problema o situacin que afrontamos. Por consiguiente, llamaremos modelo matemtico contable a la representacin en lenguaje matemtico de un problema propio de la Contabilidad, cuya solucin se busca.

A algunos Contadores Pblicos podr parecerles extrao y a algunos matemticos, audacia temeraria, que hablemos sin ms ni ms -como lo acabamos de hacer- de un modelo matemtico contable. Al respecto, quisiera sealar que "es interesante observar que la obra `Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalit (`Resumen de la Aritmtica, Geometra, las Proporciones y la Proporcionalidad) se cita frecuentemente en dos campos, de hecho ambos campos muestran reconocimiento a su autor, el Padre Luca Paciolo. En las Matemticas, la Summa es notable por muchas contribuciones; las permutaciones son slo un ejemplo. Por otra parte, para el estudiante de Contabilidad, la Summa est considerada como el tratado fundamental sobre los principios bsicos de la Contabilidad. Es sorprendente que en la senda de referencias, al correr de los aos, ambos campos hayan perdido de vista en gran parte la extensin en que comparten una herencia comn de la Summa. Robert E. Pfenning, Contralor de la General Electric Company, llam recientemente la atencin hacia esta herencia y hacia algunas de las profticas observaciones del Padre Paciolo: `l [Paciolo] seala que para ser un buen hombre de negocios es necesario `ser un buen Contador y un diestro Matemtico. Ahora, [...] , los que somos Contadores, estamos volviendo a las Matemticas en busca de ayuda en lo que consideramos un concepto extendido de nuestra misin" (SPRINGER 1972: 150 )

2.3. La representacin matricial de los hechos contables

Queremos ahora dar una explicacin sucinta de las propiedades de las matrices (en su concepcin matemtica) y sealar puntualmente las ventajas de su aplicacin en la representacin de las mediciones contables.

Una matriz no es ms que un conjunto ordenado de nmeros, dispuestos en m filas y n columnas. En sentido matemtico estricto, una matriz podra no representar nada en particular (aparte de la idea de matriz en s misma); sin embargo, cuando es aplicada a la representacin de mediciones contables representa al menos una posicin (un estado) del hecho o problema contable que est siendo abordado.

De facto, muchos estados contables son presentados ya en forma matricial; pero esto no quiere decir que los Contadores Pblicos hayan estado usando el lgebra de Matrices sin conocerla, ya que las propiedades matemticas de las matrices no son utilizadas en esta forma de estados contables.

Las matrices en estos casos han sido usadas solamente como meros formatos de presentacin para comunicar informacin en una forma concisa y conveniente. Los matemticos preferiran usar los trminos "arreglo" o "tableau" al designar estos formatos para enfatizar las limitaciones de estas formas de matriz. En este trabajo no usaremos el trmino "matriz" sino en su sentido matemtico.

Si convenimos en llamar "dbitos" a las filas y "crditos" a las columnas, podemos fcilmente constatar que una matriz puede representar cmodamente un conjunto de transacciones contables mediante la inscripcin, en la interseccin de fila y columna (i.e. dbito y crdito) del valor asignado a cada transaccin. Es de advertir que, a diferencia de lo que exige el algoritmo de la partida doble tradicional, el uso de las matrices en la tenedura de libros no requiere sino una sola anotacin. La presentacin matricial de las expresiones contables facilitan su tratamiento por computador, lo cual a su vez permite el manejo de matrices de casi cualquier orden (nmero de filas-columnas).

Traduciendo desde el alemn un trabajo de O. Pichler aparecido en Untersuchungsforschung (Revista de Investigacin de Operaciones), Richard Mattesich seala que comparados frente a frente el clculo matricial y los mtodos clsicos de la Contabilidad de Costos, se pueden resumir las ventajas del primero como sigue:

1. Habilita una representacin concisa y uniforme de diversos problemas contables y su solucin con la ayuda de mtodos matemticos bien desarrollados. As, por ejemplo, los problemas de Contabilidad de Costos, el control de la rentabilidad por medio de las varianzas y la programacin lineal pueden ser muy sencillamente representadas por medio de matrices.

2. En muchos casos, permite la ejecucin anticipada de la mayora de los clculos y almacenar los resultados en una matriz.

3. Tomando en consideracin las relaciones e interrelaciones causales de la firma, ofrece una herramienta efectiva para la pronosticacin a corto y largo plazos.

4. Provee, para un amplio rango de problemas, procedimientos simples y uniformes de clculo para los cuales existen programas de computadoras ya preparados, a gran escala. (MATTESICH 1958: 472-81)

3. CASOS PRCTICOS

En el presente captulo, presento dos problemas cuyo planteamiento y resolucin dan una idea clara de la factibilidad y beneficios que tiene la aplicacin de procedimientos matemticos (en este caso, el lgebra de Matrices) a problemas contables especficos.

En primer lugar citar in extenso la seccin 1 ("General Ledger Accounting") del Captulo 2 del libro del profesor John K. Shank (1972: 17-23). Como un segundo campo de aplicabilidad del tratamiento matricial a problemas contables, explicar un mtodo de estimacin de la provisin de las cuentas de cobranza dudosa mediante el proceso de Cadenas de Markov.

3.1. La Tenedura de Libros Matricial: tcnicas de procesamiento electrnico

Examinaremos en las pginas siguientes cmo el computador opera con conceptos tales como partida doble, dbitos y crditos, asientos de ajuste, transacciones compuestas y otros similares. La relevancia del tema proviene del hecho que, en muchas instalaciones de computacin, la tenedura de libros es hecha usando mtodos matriciales. La aplicacin de mtodos matriciales a esta parte tradicional de la Contabilidad Bsica es realmente el tema.

a) La Matriz del Mayor General

Como un marco de referencia para la ilustracin de las tcnicas de la tenedura de libros matricial, usaremos el hipottico "Emporio de Descuento Anderson" (EDA). El plan de cuentas para EDA, de propiedad unipersonal, es uno simple, como sigue:

Cuenta 0 CajaCuenta 1 InventarioCuenta 2 Activo FijoCuenta 3 Depreciacin AcumuladaCuenta 4 Cuentas Por PagarCuenta 5 Capital PropietarioCuenta 6 Cuenta de Resultado del PropietarioCuenta 7 VentasCuenta 8 Costos de la Mercadera VendidaCuenta 9 Otros Gastos

Ningn negocio real usara actualmente este breve plan de cuentas, pero estamos ms interesados por el momento en la claridad de la ilustracin que en el realismo. Aunque EDA es una pequea empresa con necesidades contables muy simples, el propietario, Bob Anderson, ha decidido emplear un "service" para hacer toda la Contabilidad y la Tenedura de los Libros de la tienda. El "service" usar mtodos matriciales para hacer la tenedura de libros.

El primer paso a este respecto es construir una matriz "Plan de Cuentas", como se ilustra a continuacin.

b) Anlisis de transacciones

El prximo paso es especificar un procedimiento para ingresar los datos de transacciones dentro de este ms bien raro Mayor. Ya que todos los asientos estn compuestos de dbitos y crditos, y la matriz est compuesta de filas y columnas, podemos adoptar la conveniente convencin de manera que los dbitos corresponden a las filas y los crditos a las columnas. No tendremos ya necesidad de escribir las cosas dos veces para preservar la convencin de la Partida Doble ya que cada elemento en la matriz Mayor tiene ya una doble designacin: a saber, su localizacin fila y su localizacin columna. As si el Sr. Anderson vende un traje por S/. 50 al contado, no es necesario anotar un dbito por S/. 50 a Caja y un crdito por S/. 50 en la cuenta de ventas; en lugar de ello slo necesitaremos ingresar S/. 50 en la celda l07 ya que esta celda es la que representa un dbito a Caja (Cuenta 0) y un crdito a Ventas (Cuenta 7).

Ya que la matriz Mayor no existe en ninguna otra manera que no sea la memoria del computador, una ms correcta declaracin acerca de cmo esta transaccin es asentada es decir que ordenamos al computador que sume S/. 50 al total almacenado en la posicin l07. Como este ensayo no trata de programacin de computadores, no detallaremos ms acerca de cmo una orden tal del computador podra ser actualmente descrita, sin embargo, la ilustracin podra aparecer de cualquier forma como sigue:

l07 = l07 + 50

Este es un uso especializado del signo "igual" y por supuesto no significa que el primer miembro de la ecuacin es igual al segundo miembro. Lo que representa es un comando al computador para tomar lo que aparece al lado derecho del signo igual y ponerlo a la situacin indicada en el lado izquierdo del signo. Esta instruccin de este modo dice al computador que ponga la suma de lo que est en l07 ms 50 en la posicin l07. El resultado es claramente la suma de 50 ms l07, que es lo que queremos.

Para fortalecer la comprensin de esta tcnica para el registro de transacciones, considere los siguientes tres ejemplos adicionales.

1. El Sr. Anderson compra S/. 3,000 precio de la Mercadera a crdito.

Asiento de Mayor Tradicional:Db. Inventario (Cuenta 1) 3,000Cr. Cuentas por Pagar (Cuenta 4) 3,000

Asiento en la matriz Mayor:l14 = l14 + 3,000

2. El Sr. Anderson paga una factura que suma S/. 100 anuncios de peridicos de la semana corriente.

Asiento de Mayor Tradicional:Db. Otros Gastos (Cuenta 9) 100Cr. Caja (Cuenta 0) 100

Asiento en la matriz Mayor:l90 = l90 + 100

3. El gasto por depreciacin del mes es S/. 200

Asiento de Mayor Tradicional:Db. Otros Gastos (Cuenta 9) 200Cr. Depreciacin acumulada (Cuenta 3) 200

Asiento en la matriz Mayor:l93 = l93 + 200

c) Transacciones Compuestas

El procedimiento arriba mencionado corresponde a transacciones "simples" en las cuales una cuenta es debitada y una cuenta es acreditada por el mismo monto. Con el fin de procesar transacciones compuestas en las que los montos individuales de dbito y crdito no son iguales, necesitaremos adoptar cierta clase de convencin simplificadora. Por ejemplo, considere cmo registraramos el asiento si el Sr. Anderson compra S/. 1,000 precio de mercadera, S/. 100 precio de muestras de material para ser gastadas de un mismo proveedor a crdito. En un Mayor manual o mecanizado el asiento sera:

Db. Inventario (Cuenta 1) 1,000Db. Otros Gastos (Cuenta 9) 100Cr. Cuentas por Pagar (Cuenta 4) 1,100

En la matriz Mayor, sin embargo, no podemos usar el procedimiento delineado ms arriba ya que los dbitos individuales no igualan el monto del crdito. Lo que debemos hacer es separar el asiento en dos partes que contengan montos de dbito y crdito igualados. Este proceso de segmentacin es puramente arbitrario y no es realmente importante cmo un asiento es separado, ya que las partes suman el asiento compuesto apropiado. En el ejemplo a mano, parece ms lgico segmentar el asiento como sigue:l14 = l14 + 1,000l94 = l94 + 100

Muchas veces, sin embargo, no hay otra manera tan obvia de segmentar el asiento. Considere, por ejemplo, la situacin en la que el exhibidor que originalmente cost S/. 100 con un valor residual en libros de S/. 50 es vendido por S/. 65 al contado.

El asiento compuesto es:

Db. Caja (Cuenta 0) 65Db. Deprec. Acumulada (Cuenta 3) 50Cr. Activo Fijo (Cuenta 2) 100Cr. Resultado Propietario (Cuenta 6) 15

En este caso, no hay una manera nica de segmentar el asiento. Un procedimiento que funciona es el siguiente:

l02 = l02 + 65l32 = l32 + 35l36 = l36 + 15

Ya que la seleccin es arbitraria, se podra haber optado por registrar el asiento de esta manera:l02 = l02 + 50l06 = l06 + 15l32 = l32 + 50

Uno u otro modo dan como resultado dbitos totales a Caja (Cuenta 0) por S/. 65 y a Depreciacin Acumulada (Cuenta 3) por S/. 50 y crditos totales a Activo Fijo (Cuenta 2) por S/. 100 y a Cuenta Resultado del Propietario (Cuenta 6) por S/. 15. De este modo, cualquier procedimiento es aceptable. Siempre que seamos cuidadosos de preservar los totales correctos, un asiento compuesto puede ser segmentado en asientos simples en cualquier modo que se elija.

d) La operacin del Balance de Comprobacin

Luego que los datos de las transacciones por un perodo han sido completamente asentados en la Matriz Mayor, el prximo paso es sumarizar stos en la forma de un Balance de Comprobacin no ajustado. Con este fin, crearemos una Matriz Balance de 1 x n (o vector fila) T, en la que n se refiere al nmero de elementos en el Plan de Cuentas. Para nuestro ejemplo, EDA, n es igual a 10. Estableceremos tambin la convencin de que los dbitos son ms y los crditos menos, de tal modo que cuando veamos elementos en el vector T Balance de Comprobacin, seremos capaces de distinguir los saldos deudores y acreedores. Ya que los asientos en la i-sima fila de la Matriz Mayor representan todos los dbitos a la Cuenta nmero i y los asientos en la i-sima columna representan todos los crditos a esta columna, el impacto neto de las transacciones durante un perodo sobre la cuenta nmero i puede ser computado mediante la sustraccin de la suma de la columna i-sima de la suma de la fila i-sima. El efecto neto es un dbito si la diferencia es positiva, y un crdito si es negativa.

De esta manera, podemos computar un Balance de Comprobacin no ajustado en cualquier punto del tiempo solamente por la actualizacin de los Balances del perodo anterior por su impacto neto de las transacciones del perodo. Asumiendo que los asientos t1 inicialmente reflejan los balances del perodo anterior a cada cuenta, podemos realizar un Balance de Comprobacin del perodo corriente mediante la siguiente instruccin de computador generalizada:

Para cada cuenta i, hgase

t1 = t1 + lik - lki

Recordando la notacin sumatoria fila y columna presentada en lneas precedentes, podemos escribir la instruccin como sigue:

Para i = 1,2, ..., 10 hgase ti = ti + lin - lni

Para verificar que T est balanceada, podemos

verificar la relacin ti = 0

ya que los dbitos son mases y los crditos son menos y el total de los dbitos debera ser igual al total de crditos, la suma de todos los asientos del vector T debera ser cero. Si T estuvo balanceada al comienzo del perodo los procedimientos descritos ms arriba no deberan alterar la condicin de balanceamiento. En trminos resumidos, hemos adicionado a la suma de cada fila de L a T y restando de sta la suma de cada columna de L. La suma de los totales de las filas en L debe ser el mismo que la suma de los totales de todas las columnas ya que el total de dbitos es igual al total de los crditos. As el valor agregado de T debe permanecer siendo siempre cero.

e) Procedimientos de ajuste y cierre

Una vez que los datos de las transacciones mensuales han sido transferidos desde la Matriz Mayor a un vector Balance de Comprobacin no?ajustado la matriz misma debe ser puesta a cero de manera que est lista para recibir el nuevo lote de informacin de transacciones. Esto puede realizarse de la siguiente manera con instrucciones de computador generalizadas:

lij = 0, i = 1,2, ..., 10

j = 1,2, ..., 10

En este punto, todos los asientos de ajuste que son necesarios pueden ser registrados en la Matriz Mayor. Una vez que stos han sido registrados en el Mayor, un Balance de Comprobacin ajustado puede ser generado mediante la simple repeticin de las operaciones de Balance de Comprobacin descritas en la seccin precedente. Similarmente, uno puede preparar un Balance de Comprobacin cerrado mediante la puesta en cero nuevamente de la Matriz Mayor registrando entradas de cierre a sta y luego repitiendo las operaciones de Balanceo de Comprobacin. Una vez que esto ha sido hecho, la Matriz Mayor deber nuevamente ser puesta a cero de tal forma que quede lista para recibir los datos de transacciones bsicas para el siguiente perodo. Revisemos ahora este proceso desde el inicio hasta el final. Asumiendo que T inicialmente contiene el Balance cerrado del perodo anterior y L inicialmente es una Matriz Cero:

1. Registrar los datos de todas las transacciones bsicas en la Matriz Mayor.

2. Prepare un Balance de Comprobacin no ajustado mediante la actualizacin de T. Haga que el computador imprima T para tener un registro tangible de este estado de ciclo.

3. Ponga en cero la Matriz Mayor.

4. Registre los asientos de ajuste en la Matriz Mayor.

5. Prepare un Balance de Comprobacin ajustado actualizando T nuevamente. Imprima otra vez T.

6. Vuelva a poner en cero la Matriz Mayor.

7. Registre los asientos de cierre en la Matriz Mayor.

8. Prepare un Balance de Comprobacin cerrado actualizando T por tercera y ltima vez. Imprima T nuevamente.

9. Ponga a cero la Matriz Mayor por tercera y ltima vez preparndola para el nuevo ciclo que empezar el prximo perodo.

3.2. La estimacin de la Provisin para Cuentas de Cobranza Dudosa mediante Cadenas de Markov

En la presente seccin, nuestro inters estar centrado en el desarrollo prctico ms que a la explicacin terica de la resolucin del modelo de las cadenas de Markov, ya que esto ltimo no constituye el objetivo principal de nuestro trabajo.

Definamos en primer lugar, el proceso de Cadenas de Markov y tratemos de aprehender su funcionamiento en forma general.

El proceso de Markov se define como "una manera de analizar el movimiento actual de alguna variable en un esfuerzo por predecir o pronosticar el movimiento futuro de la misma" (THIERAUF 1982: 370). En otras palabras, un proceso de Markov constituye "un modelo probabilstico para la prediccin del comportamiento futuro de un sistema. Con este modelo es posible predecir aproximadamente cul ser el comportamiento de un sistema bajo estudio en un perodo futuro, en base al conocimiento previo de su comportamiento en un perodo pasado. Adems, nos permite calcular el nivel al cual tiende el sistema (en caso de que existiera un nivel de equilibrio), la trayectoria que va siguiendo a travs del tiempo y la velocidad con que se acerca a ese estado de equilibrio.

"(...) Al utilizar el modelo denominado 'Cadenas de Markov' en un problema concreto, se supone que es factible analizar un sistema con respecto a alguna variable importante (o conjunto de ellas), determinando el valor de la(s) misma(s) mediante observaciones peridicas que se obtienen a intervalos fijos de tiempo. Los resultados de esas observaciones cuantitativas o ms generalmente una funcin de ellas, se llaman estados del sistema. Si comenzamos el estudio del proceso en algn estado particular y adems podemos determinar las probabilidades de pasar de ese estado a cualquier otro (llamadas probabilidades de transicin), se pueden estudiar las diversas trayectorias alternativas y calcular las probabilidades que corresponden a cualquier secuencia de transiciones en un perodo dado de tiempo.

"(...) ...los supuestos bsicos que se aceptan en este tipo de anlisis son los siguientes:

i) En los sistemas sociales es posible determinar un nmero finito de estados posibles;ii) la probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado determinado depende nicamente del estado inmediato precedente;iii) las probabilidades de transicin de un estado a los dems se mantienen fijas a travs del tiempo". ( KLEIMAN 1973: 275-6)

Repasemos brevemente lo dicho hasta ahora, tratando de ligarlo a nuestro conocimiento del proceso de las Cuentas por Cobrar, tal como la venimos trabajando hoy en da. Supongamos que queremos determinar cul ser el comportamiento de las Cuentas por Cobrar en un perodo de tiempo determinado (el mes de Julio, por ejemplo); esto es, queremos saber qu parte de nuestros saldos en Cuentas por Cobrar van a ser efectivamente pagados y qu parte de ellos resultar incobrable.

Hagamos de cuenta que hemos efectuado un anlisis y una clasificacin por vencimiento de los saldos de Cuentas por Cobrar y que, gracias a ello, somos capaces de establecer la ruta que van siguiendo stos a travs del tiempo. Es decir, cmo van pasando de "Un Mes Vencido" a "Dos Meses Vencidos", de "Dos Meses Vencidos" a "Tres Meses Vencidos", o a "Pagado" o a "Incobrable", o cualquier otro camino; pudiendo por tanto asignar la probabilidad de pasar de cada uno de estos estados "de paso" (o "transitorios") hacia uno de los dos estados "definitivos" (o "absorbentes"). Esto es lo que la teora llama las probabilidades de transicin de los estados transitorios a los estados estables. Asimismo, como podemos comprobar en la prctica, en nuestro caso tenemos los estados estables de "Pagado" e "Incobrable". Haciendo abstraccin del improbable (aunque posible) caso de que una cuenta declarada "Incobrable" se pueda luego cobrar, no hay ms que estos dos estados.

De otro lado, y ya que se trata de un proceso estocstico, se supone que -al cabo de infinitos intentos- las probabilidades de transicin de los saldos de Cuentas por Cobrar se mantendrn fijas en el tiempo y, por lo tanto, es vlido el uso del modelo para efectos de prediccin del funcionamiento de las Cuentas por Cobrar. Y esto es lo que vamos a demostrar.

La matriz de una Cadena de Markov, cuya resolucin est dada por la ecuacin P = N* R , puede dividirse en cuatro matrices, de la manera siguiente:

IO

RQ

en la cual:

I es una matriz identidad.O es una matriz en la que todos sus elementos son cero.R es una matriz que contiene las probabilidades de ir directamente de cada estado transitorio a cada estado absorbente.Q es una matriz de las probabilidades de transicin para los estados transitorios.

La resolucin de este modelo, est dada por la ecuacin P = N * R, en donde N = (I?Q)-1 y en la que P denota la probabilidad de comenzar en uno u otro estado transitorio y finalizar en uno u otro estado absorbente.

La matriz (I-Q)-1, recibe el nombre de matriz fundamental de una Cadena absorbente de Markov y es llamada frecuentemente matriz N .

Sea, pues, la matriz de nuestra Cadena Absorbente de Markov, como sigue:

INCLUDEPICTURE "http://www.gerencie.com/images/modela6.gif" \* MERGEFORMATINET En ella suponemos que hay dos estados transitorios (saldo "Corriente" y "Un Mes Vencido") y que los saldos "Dos Meses Vencidos" son declarados incobrables y, por lo tanto, hay tambin dos estados estables o absorbentes ("Pagado" e "Incobrable").

De esta manera:

R = Q =

Como vimos anteriormente, la matriz R indica que la probabilidad de ir directamente desde el estado transitorio "Saldo Corriente" al estado "Pagado" es de 30%, y la probabilidad de que los saldos en la categora de "Un Mes Vencido" pasen directamente a la categora de "Pagado" es de 50%, mientras que el paso directo del estado "Un Mes Vencido" a "Incobrable" es de 10%.De manera anloga a lo indicado anteriormente, la matriz Q representa las probabilidades que tienen los saldos de las Cuentas por Cobrar de pasar de un estado transitorio ("Corriente" y "Un Mes Vencido") a otro.Para obtener la matriz fundamental debemos efectuar (I-Q)-1 , o sea calcular la inversa de la matriz (I-Q), lo cual resulta:N = (I-Q)1 = =

y luego obtener el producto P = N * R, como sigue:

P = N*R = =

Esta matriz indica que empezando en el estado "Corriente", la probabilidad de terminar en el estado "Pagado" es de 95%, mientras que la probabilidad de terminar en el estado "Incobrable" es de 5%. Asimismo, la probabilidad de terminar en el estado "Pagado", empezando en el estado "Un Mes Vencido" es de 87% y la probabilidad de llegar a ser "Incobrable", partiendo de la categora "Un Mes Vencido" es de 13%.

Ahora bien, supongamos que en un momento i el vector Bi de n componentes, sea denotado por:

Bi = Bi0, Bi1, ..., Bi,n-1)

y represente los soles en cada categora de vencimiento, el producto de B * P, resultar:

(70 30)=(92.6 7.4)

Este vector indicar, entonces, cunto del saldo de las Cuentas por Cobrar en un determinado momento i terminar finalmente como "Pagado" (S/. 92.60) y qu tanto terminar como "Incobrable" (S/. 7.40), facilitando de esta manera el establecimiento de la Provisin para Cuentas de Cobranza Dudosa.

Es claro que en este caso tambin el lgebra de Matrices prueba ser un modelo altamente potente, confiable y efectivo para la resolucin de problemas contables.

4. GUA DE DISCUSIN

En busca de un mayor esclarecimiento de la propuesta intelectual del presente trabajo, sera altamente recomendable discutir en torno a los siguientes planteamientos:

Es posible expresar los procesos contables en trminos matemticos? Qu utilidad prctica se deriva de la modelizacin matemtica de la Contabilidad? Es la modelizacin matemtica un camino efectivo hacia la autonoma cientfica de la Contabilidad? A partir de la matematizacin de la Contabilidad se vislumbran nuevos desarrollos?

5. CONCLUSIONES Hasta la fecha, la Contabilidad no ha logrado expresar en trminos matemticos todo el conjunto de procedimientos y leyes que gobiernan su prctica concreta. Esto ha dificultado en gran medida los avances en lo que respecta al desarrollo de una Teora General de la Contabilidad. Desde hace muchos aos, los Contadores Pblicos se han visto ms inclinados a dedicarse a los aspectos legalistas de su profesin, que a su formacin (o complementacin acadmica) en mtodos analticos cuantitativos. Pocos son los Contadores Pblicos que conocen y aplican en sus labores de prctica profesional o de investigacin, dichos mtodos. Esto ha derivado dos consecuencias graves:1) Un desfase cientfico de la Contabilidad respecto a otras disciplinas.2) El progresivo y desdeoso constreimiento de la prctica profesional del Contador Pblico a la mera tarea de "llevar los libros", con la consiguiente "invasin" de su campo de accin profesional por parte de profesionales de otras especialidades.

El desarrollo de modelos matemticos ofrece enormes posibilidades de avance cientfico para la Contabilidad. As ha sucedido en la Fsica, la Economa, la Biologa, etc. Expresar las variables contables en trminos matemticos es una exigencia insoslayable, de hoy en adelante.

Por su facilidad y versatilidad en la representacin de problemas contables, el lgebra de Matrices es un modelo matemtico que se puede usar con gran beneficio en Contabilidad y, tomndola como base, se puede profundizar en la elaboracin de los autnticos principios de esta nueva ciencia que est naciendo.

En la Tenedura de Libros y en la Estimacin de la Provisin para Cuentas de Cobranza Dudosa, se pueden aplicar con solvencia profesional las propiedades matemticas del lgebra de Matrices.

5. BIBLIOGRAFA

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Autor: Jess Arenas Herrera