CONSTRUCCION DE HISTOGRAMA

Un estudio de tipo descriptivo no es suficiente para sacar conclusiones generales (poblacionales) , si no que sólo para el conjunto de datos en consideración (muestra )

• Veamos el siguiente ejemplo : suponga que una persona investiga el precio de cierto artículo y elige 40 puntos de venta al azar obteniendo los siguientes resultados :

60 75 89 77 65 80 63 72

87 64 73 75 67 74 75 74

68 73 75 75 74 76 71 76

86 82 70 71 68 78 83 77

74 67 88 80 72 78 85 84

Observaciones• Tipo de variable : Discreta.• Tamaño de la muestra = n = 40. • No es posible a partir de la sola presentación de

los datos obtener ninguna conclusión.• Aunque podemos hacer cierto cálculos sobre lo

datos tal como están ( datos no agrupados ) a continuación estudiaremos la forma de agruparlos.

• Si presentamos los datos compactados en una tabla, hablaremos de datos agrupados.

• Para agrupar los datos contabilizaremos el número de veces que se repiten los diferentes datos en la muestra.

• A esto lo llamaremos frecuencia absoluta y lo denotaremos por ni

• La tabla siguiente muestra estas frecuencias en el rango de valores de Xi.

• Observemos que los valores mínimo y máximo en la muestra son : 60 y 89 respectivamente.

• El rango de los datos lo denotaremos por R y se calcula como : R = Xmax - Xmin.

R = 89 – 60 = 29

Xi Ni Xi ni Xi ni Xi ni

60 1 69 0 78 2 87 1

61 0 70 1 79 0 88 1

62 0 71 2 80 2 89 1

63 1 72 2 81 0

64 1 73 2 82 1

65 1 74 4 83 1

66 0 75 5 84 1

67 2 76 2 85 1

68 2 77 2 86 1

• Cada uno de los valores de Xi a través del rango de valores de la variable lo llamaremos clase o categoría.

• En la tabla anterior vemos que tenemos 30 clases.

• La tabla de frecuencias con 30 clases tiene las siguientes deficiencias:

1.- Muchas clases.2.- Cada clase con frecuencia baja.

• Para compactar los datos más adecuadamente utilizaremos intervalos de clases

• Un intervalo de clase es una unidad de agrupamiento de datos.

• Esta compuesto por un limite inferior y un limite superior.

• Ejemplo : 4 – 8 es un intervalo de clases

• Para determinar el número de intervalos utilizaremos la fórmula a continuación, que da una referencia de cuantos intervalos de clases K utilizar.

K = 1 + 3.3*log(n)• En nuestro ejemplo :

K = 1 + 3.3*log(40).K = 6.3

• Dado que K es una referencia podemos utilizar 6 o 7 intervalos de clases.

• Como norma, K debe ser mayor o igual que 5 y menor o igual que 20.

• En nuestro caso utilizaremos K = 6.

• El siguiente paso es determinar la cantidad de datos que potencialmente será incluido en cada intervalo de clase. Esta cantidad la llamaremos amplitud y la denotaremos por A.

• Para ello hacemos A = R/K = 29/6= 4.833….

• Si redondeamos podemos utilizar A = 5.

Construcción de los intervalos de clases

60 - El limite inferior del primer intervalo de clase es 60

Construcción de los intervalos de clases

60 - 65El limite superior del primer intervalo de clase se obtiene agregando al limite inferior una cantidad igual a A. Es decir será 60 + 5 = 65

Construcción de los intervalos de clases

60 - 65

65 - El limite inferior del segundo intervalo de clase será el número inmediatamente siguiente al límite superior del intervalo anterior.

Construcción de los intervalos de clases

60 – 65

65 – 70

70 – 75

75 – 80

80 – 85

85 – 90

Siguiendo con los lineamientos anteriores los 6 intervalos de clase son :

Tabla de Frecuencias

• La tabla de frecuencias es una tabla cuyas filas corresponden a cada intervalo de clases y consta de varias columnas.

• La primera columna es la de frecuencias absolutas ni en cada intervalo y se obtiene asignando cada dato en la muestra en cada intervalo.

Tabla de Frecuencias Intervalo de

ClaseFrecuencia Abs. ( ni )

[60 – 65[ 3

[65 – 70[ 5

[70 – 75[ 11

[75 – 80[ 11

[80 – 85[ 5

[85 – 90[ 5

• Notemos que :

.1

k

ii nn

• Es decir, la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al número de datos.

Tabla de Frecuencias

Además de tener una columna con las frecuencias absolutas podemos construir una columna de frecuencias relativas fi.

kinn

f ii ,....,1,

Intervalo de Clase

Frecuencia Abs. ( ni )

FrecuenciaRel. ( fi )

[60 – 65[ 3 0.075

[65 – 70[ 5 0.125

[70 – 75[ 11 0.275

[75 – 80[ 11 0.275

[80 – 85[ 5 0.125

[85 – 90[ 5 0.125

• Notar que :

k

ikf

1

1

• La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

GRAFICOS

HISTOGRAMA

Uso : Este gráfico es un gráfico de barras y sirve para graficar las frecuencias relativas o absolutas para variables cuantitativas.

HISTOGRAMA

Para construir un histograma seguimos el siguiente procedimiento :

• En el eje horizontal ( abscisas ) escribimos equiespaciadas, las fronteras de los intervalos de clase.

• A continuación dibujamos barras contiguas (pegadas entre sí), una por cada intervalo de clase, haciendo coincidir su base con los límites del intervalo de clase respectivo.

•La altura de la barra se indica en las ordenadas y es proporcional a la frecuencia relativa o frecuencia absoluta, dependiendo de que histograma se desea obtener.

Ejemplo : Dibujar el Histograma de Frecuencias Relativas para la siguiente distribución de frecuencias.

Intervalo de Clase

Frecuencia Abs. ( ni )

FrecuenciaRel. ( fi )

[60 – 65[ 3 0.075

[65 – 70[ 5 0.125

[70 – 75[ 11 0.275

[75 – 80[ 11 0.275

[80 – 85[ 5 0.125

[85 – 90[ 5 0.125

60 65 70 75 80 85 90

HISTOGRAMA DE FRECUENCIA RELATIVA

0.40

0.30

0.20

0.10

La formas de un histograma puede ser diversas, pero se destacan las siguientes :

HISTOGRAMA

Forma Acampanada o Normal

HISTOGRAMA

Uniforme

HISTOGRAMA

Forma Sesgada a la derecha

HISTOGRAMA

Forma Sesgada a la izquierda