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Consideraciones sobre la enseñanza de las
matemáticas en la Educación Básica El caso de la división
David Block
DIE CINVESTAV
Oaxaca, Oaxaca.
Mayo, 2015
Jornadas Académicas
Instituto Multidisciplinario de Especialización
Conocimientos
Problemas
2
Primera Consideración
Pero...
¿Es posible resolver un problema que requiere de un conocimiento cuando todavía no se tiene ese conocimiento?
3
ACTIVIDAD 1
Resolver el siguiente problema, sin utilizar la
técnica usual para dividir:
“Un barco encalló en alta mar. quedan 46 800
litros de agua en la cisterna. El capitán estima
que, para sobrevivir, la tripulación y los pasajeros
necesitan por lo menos 450 litros de agua por día.
¿Para cuántos días les alcanzará el agua?.
4
Procedimientos iniciales para
dividir, al resolver problemas
Las resoluciones son de alumnos de tercer grado,
tomadas del estudio de Moreno, E. (1996), excepto las
de Andrés (9 años, tercero), los cuales fueron
realizadas en entrevista individual, durante el ciclo
escolar 2009-2010. Los demás problemas
5
1. Formar grupos y ajustar:
Repartir 88 dulces entre siete niños
Juan y Guillermo 6
2. Repartir de uno en uno...
Repartir 64 dulces entre nueve niños
Nacxit
8
3. Agrupar la colección:
Formar un regimiento de 55 soldados, colocando 5
soldados en cada fila. ¿Cuántas hileras se forman?
Rodrigo
9
4.Sumar varias veces el divisor
Guardar 40 lápices en tres cajas
Alba
10
4.Sumar varias veces el divisor
La ardilla Dilla juntó en su pequeño almacén 75 nueces para su
familia. Cada día, la numerosa familia de Dilla se come 8
nueces. ¿Para cuántos días le alcanzan las nueces?
Andrés 11
18 12 6
- 3 (1) - 3 (3) - 3 (5)
15 9 3
- 3 (2) - 3 (4) - 3 (6)
12 6 0
5. Restar varias veces el divisor
Juan compró una caja de medicinas con 18
pastillas. El médico le dijo que tomara 3 diarias, ¿en
cuántos días se va a terminar la medicina?
12
6
6
6
6
6
6
6
42
6. Tanteos usando sumas repetidas o
multiplicación
Se van a repartir en partes iguales 64 dulces entre
7 niños, ¿cuántos dulces le van a tocar a cada
quien?
8
8
8
8
8
8
8
56
9
9
9
9
9
9
9
63
7 x 6 = 42
7 x 8 = 56
7 x 9 = 63
13
Entonces...
Usan los conocimientos que tienen
acerca de las otras operaciones
Para crear procedimientos y
mejorarlos
Los alumnos sí pueden resolver problemas
de división antes de saber dividir
14
Los mejoran…
•Al pasar del reparto desigual al reparto
equitativo;
•Al pasar del ensayo y error al reparto uno a
uno sistemático;
•Al anticipar el resultado antes de usar los
objetos;
•Al usar la suma en lugar de dibujar y contar;
•Al usar la multiplicación.
15
Segunda Consideración
Un conocimiento de matemáticas
adquiere significados distintos,
dependiendo del problema en el que
funciona.
16
ACTIVIDAD 2
Resolver el siguiente problema:
Los soldados, numerados del 1 en adelante, se
formaron en filas de 4.
Representen la formación de alguna manera y
comprueben que el soldado 7 quedó ubicado en la
segunda fila, en la tercera columna.
•¿En qué fila y en qué columna quedó ubicado el
soldado 12?
•¿y el 23?
•¿y el 1487?
17
18
Cabe destacar
1.La no trasferencia automática de un conocimiento.
.
• Es necesario reconstruir la noción en cada
situación
2.El significado:
• El residuo es el resultado buscado.
3.Carácterísticas de la situación que la hacen
“adidáctica”
• Implica al conocimiento, pero se puede
resolver sin él, no de manera óptima.
• Retroalimenta los intentos de resolución.
• Presenta una variable didáctica muy clara: el
tamaño del número que se debe localizar
ACTIVIDAD 3
Resolver los siguientes problemas sin usar la técnica para dividir,
tal y como se imaginan que los resolvería un niño que no conoce
la división (primero o segundo grado).
•La abuela de Miguel les dio 20 chocolates a sus cuatro
nietos. Les dijo que se los repartieran de manera que a todos
les toque igual. ¿Cuántos chocolates le tocan a cada uno?
•María tiene 20 chocolates. Quiere regalar cinco a cada uno
de sus invitados. ¿A cuántos invitados le podrá dar?
•Luis tiene 60 cubos. Quiere hacer torres iguales de 8 cubos
cada una ¿cuántas torres puede hacer?
•Ana tiene 60 cubos. Quiere hacer 8 torres iguales. ¿De
cuántos cubos puede hacer cada torre?
19
Hay 15 canicas.
Se quieren repartir en
3 cajas,
¿Cuántas canicas por caja?
Hay 15 canicas.
Se quieren poner 5 en cada
caja.
¿Cuántas cajas se necesitan?
o o o o o o o o o o o o o o o
REPARTO
o o o o o o o o o o o o o o o
AGRUPAMIENTO
o o o o o o o o o o o o o o o
AGRUPAMIENTO
20
21
La abuela de Miguel les
dio 20 chocolates a sus
cuatro nietos…
•Luis tiene 60 cubos.
Quiere hacer torres
iguales de 8 cubos
cada una…
22
Están en juego dos significados de la división,
•Como reparto equitativo;
•Como agrupamiento o comparación;
Cada uno favorece procedimientos distintos
hasta que…
…se establece la pertinencia de la división.
De una relación multiplicativa, se desprenden tres
problemas:
Uno de multiplicación
Uno de división reparto
Uno de división agrupamiento
8 cajas X 16 refrescos por caja = 128 refrescos
8 cajas X 16 refrescos por caja = 128 refrescos
8 cajas X 16 refrescos por caja = 128 refrescos
23
Otro significado…
¿Qué operación hay que aplicar a la figura C para obtener la
figura A? 24
Significados de la división:
¿Qué es dividir?
Desde el punto de vista de los problemas,
dividir es...
•Repartir en partes iguales y ver cuánto toca;
•Agrupar en grupos iguales y ver cuántos grupos
se forman;
•Deshacer lo que hace la multiplicación
•Dados dos números, hallar la diferencia de uno
menos el mayor múltiplo del otro… 26
•Sumar varias veces y ver cuántos sumandos
se usaron;
•Restar varias veces y ver cuántas veces se
restó (o bien, ver cuánto quedó)
•Buscar un número que multiplicado por otro, arroje
cierta cantidad.
Desde el punto de vista de los
procedimientos ...
27
Tercera Consideración
El ciclo anticipar/verificar es un motor del
aprendizaje
Ejemplo
El problema: “Averiguar cuántas torres 8 cubos
se pueden hacer con 32 cubos”,
se puede plantear de la siguiente manera:
28
•La anticipación
1. Se entrega a cada equipo una bolsa con 32
cubos;
2. Se les dice: van a hacer torres de 8 cubos
cada una PERO…
3. … antes de sacar los cubos de la bolsa,
deben averiguar cuántas torres se pueden
hacer.
29
4. Cada equipo calcula y dice el número de torres
que cree. Se anotan los números en el pizarrón.
5. Se revisan algunos procedimientos.
•La anticipación
30
6. Se abren las bolsas, se sacan los 32 cubos;
7. Se hacen torres de 8 cubos hasta a agotar
los cubos.
8. Se cuentan las torres hechas, se compara con
los resultados anticipados.
La verificación
31
Así, el ciclo anticipar/verificar consiste
en:
•Plantear una meta a alcanzar;
•Propiciar una anticipación de la solución ;
•Permitir la verificación de la solución.
32
La meta:
•Debe implicar al conocimiento en
cuestión, pero…
•Debe formularse sin que intervenga
dicho conocimiento.
33
Más adelante, los alumnos pueden usar
otras formas de verificar.
Por ejemplo, si anticiparon que con 32
cubos se pueden hacer 5 torres de 8
cubos, los alumnos pueden:
•Sumar 5 veces 8 y ver si se acerca a 32.
•Multiplicar 5 por 8...
34
•Una mejor comprensión de la meta a
alcanzar;
•Identificar errores, descartar procedimientos
incorrectos;
•Validar buenos procedimientos;
•Una relación de alumnos con la situación
más autónoma de los juicios del maestro.
La verificación favorece:
35
Cuarta Consideración
Sobre las técnicas escritas, la
estimación, el cálculo mental, y
el uso de la calculadora.
36
Algunos ejemplos de procedimientos
con números más grandes
(tomados de Patricia Martínez)
37
38
Aproximarse poco a poco con multiplicaciones
39
Obtener cocientes parciales y luego sumarlos
3 4
6/1824
24
0
Combinación de dos procedimientos
frente a una dificultad
Repartir 1824 pesos entre 6 personas
304
6/1824
24
0
300 x 6 = 1800
301 x 6 = 1806
302 x 6 = 1812
303 x 6 = 1818
304 x 6 = 1824
40
¿Cómo mejoran los procedimientos
iniciales?
¿Cómo propiciar que los alumnos pasen
del dibujo al uso de
sumas, de restas, y, sobre todo, al uso de
la multiplicación?
41
Planteando varios problemas similares...
Introduciendo dificultades como:
• Dar el material concreto solamente para
verificar, ya no para resolver;
• Aumentar el tamaño de los números;
• Pedir estimación previa de un resultado y
verificarlo multiplicando;
Facilitando el uso de las tablas de
multiplicar
42
Además:
Difundiendo los procedimientos más
avanzados que aparecen en el grupo;
Proporcionando sugerencias para mejorar los
procedimientos;
Las técnicas que se decidan priorizar deben
practicarse.
43
El cálculo mental, la estimación, deben
fortalecerse.
La calculadora puede apoyar.
44
ACTIVIDAD 4.1.
Calcular mentalmente, un resultado
aproximado de:
485 : 15
Un ejemplo de descomposición:
300 + 150 + 35 20 + 10 + 2 = 32
ACTIVIDAD 4
Resuelvan con la calculadora:
1)Se necesitaron 20 cajas iguales para transportar
842 libros. ¿Cuántos libros puede contener una
caja llena?
2)Residuo de la división 12,356 : 28
45
Estimación de cocientes (tomados de Saíz, & Parra)
46
ACTIVIDAD 5: Dos debates
Discutan en su equipo el debate que les toque, durante
15minutos. Después, en un minuto presentarán sus
puntos de vista.
•A ¿Es conveniente enseñar el algoritmo por
columnas?
•B ¿Es conveniente dejar que se utilice la calculadora
en clase?
47
Quinta Consideración
• Propiciar un proceso de
descontextualización paulatino
y de conocimiento del modelo
48
ACTIVIDAD 6 (tomada de P. Sadovsky)
En la división entera hay cuatro términos:
Dividendo, divisor, cociente y resto.
Se tratará de hallar dos términos de la división
entera a partir de otros dos que son dados (y
que no son dividendo y divisor).
Hay 5 casos.
49
Caso 1: Proponer una cuenta de dividir en la
que el divisor sea 32 y el resto 27. ¿Cuántas
soluciones hay? Si piensas que hay menos de
tres, escríbelas todas y explica por qué no hay
más. Si piensas que hay más de tres, propón
al menos cuatro y explica cómo pueden
obtenerse otras soluciones.
50
Divisor 32 y resto 27
El procedimiento más eficiente
Considerar la relación:
cociente X divisor + resto = dividendo
cociente x 32 + 27 = dividendo
y dar valores al cociente:
Si cociente = 1, dividendo = 59
Si cociente = 2, dividendo = 91,
(…) 51
Tres dificultades por superar:
• Establecer la relación q·d + r = D
• Normalmente un cociente se calcula, no se
asigna de manera arbitraria.
• Aquí, el cociente no depende de los datos,
puede dársele cualquier valor, de hecho, es
una variable.
52
Propósitos didácticos (según Sadovsky)
• Trascender el nivel estrictamente instrumental
respecto de las operaciones aritméticas, para dar
lugar a una conceptualización de las mismas en
términos de condiciones sobre sus elementos, es
decir,
• Construir un sentido más interno (a la matemática)
de las operaciones;
• Producir relaciones con algún nivel de generalidad,
movilizando explícita o implícitamente, la noción
de variable. 53
Ejemplo de dos niveles en el proceso cíclico de modelización:
Problemas concretos con magnitudes: repartir, comparar,
agrupar.
Modelización I
Herramienta división
Modelización II
Relaciones que caracterizan a la
división, noción de variable,
entre otros
54
En resumen
Cinco consideraciones sobre la
Enseñanza de las Matemáticas
2. Un conocimiento de matemáticas puede
tener significados distintos, dependiendo del
problema en el que funciona.
1. Los alumnos pueden adquirir conocimientos
matemáticos al resolver determinado tipo de
problemas.
55
3. El ciclo anticipar/verificar es un motor del
proceso de aprendizaje.
4. Las técnicas escritas (cuentas, algoritmos, etc.),
la estimación y el cálculo mental, son
importantes.
5. Debe haber un proceso de descontextualización
paulatino y de conocimiento del modelo.
56
A fin de cuentas, se trata de...
“Postergar el momento de la
formalización para dar lugar al
discernimiento”
(H. Freudenthal)
57