connexions a través de la resolució de problemes i el ...l’actual currículum de matemàtiques,...
TRANSCRIPT
Matemàtiques i realitat:
Connexions a través de la resolució
de problemes i el desenvolupament
d’activitats interdisciplinàries
Xavier Gelada Serrat
INS Bosc de la Coma, Olot
Supervisor: Xavier Besalú Costa
Universitat de Girona
Curs 2010-2011
Memòria de la llicència d’estudis retribuïda en
l’especialitat de matemàtiques
2
Índex
0 Índex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Motivació del treball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Objectius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Matemàtiques i realitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 L’element Proporcionalitat i Accessibilitat com a exemple . . . . . . . 10
2.3 Desenvolupament dels elements didàctics . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Selecció del context . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Elements d’introducció a les activitats . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 L’estructura lògica de creació de les activitats . . . . . . . . . 17
2.3.4 L’element didàctic El Cilindre Seccionat com a exemple . . . . . 19
2.3.5 Adaptabilitat dels elements didàctics . . . . . . . . . . . . 30
2.3.6 Les propostes de treballs i l’avaluació . . . . . . . . . . . . 31
3 Programació didàctica dels elements . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 El document Nucli: Presentació de l’element didàctic
El Problema dels Residus . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 L’especificació dels continguts, competències i processos . . . . . . . 36
4 L’entrada dels elements a l’ARC i la cerca . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1 Descriptors per a l’entrada a l’ARC i la transferència de metadades . . . 37
4.2 Descripció bàsica dels elements didàctics d’aquest treball . . . . . . . 38
4.2.1 El Cercle és Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.2 Proporcionalitat i Accessibilitat . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.3 El Cilindre Seccionat . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.4 El Problema dels Residus . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3 Cerca dels elements didàctics . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Continguts dels elements didàctics per blocs, matèries i relacions
amb l’entorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6 Difusió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7 Conclusió final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8 Agraïments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3
1 Introducció
1.1 Motivació del treball
Un dels aspectes de l’educació matemàtica en l’educació secundària obligatòria que
més es troba a faltar actualment dins i fora de l’aula és l’ensenyament i l’aprenentatge
de continguts veritablement contextualitzats i significatius, que doni a l’alumnat i al
professorat una visió més completa del fet de fer matemàtiques.
Per aquest motiu, amb aquesta llicència d’estudis es pretén fer una aposta decidida
per la creació de materials digitals treballant les matemàtiques com una eina eficaç per
entendre aspectes concrets de l’entorn real que ens envolta, en el sentit usual del
terme. Això implica elaborar aquests materials prenent com a base la resolució de
problemes rellevants per a l’alumnat i la societat que indueixin als nois i noies a fer-se
preguntes i a formar-se’n una opinió crítica i constructiva.
Ara bé, la manca d’aquest tipus de materials en l’ESO i sobretot del seu ús és només
una de les raons que ha impulsat la realització d’aquest treball. De fet, segurament,
l’origen es troba en la desafecció de força alumnes vers aquesta assignatura. Els
professors i professores de matemàtiques coneixem bé aquest fenomen; un dels
primers senyals més coneguts i reveladors es materialitza sovint amb la famosa
pregunta: “I per a què serveix, això ?” I sovint no apareix una resposta convincent.
Al meu parer, les causes d’aquesta desafecció en l’ESO poden sintetitzar-se en cinc:
I. La desconnexió entre l’educació matemàtica i la realitat palpable citada. Són
reveladores les dades obtingudes per Mora (2010 : 47), que posa de manifest,
per exemple, que només al voltant d’un 27 % de l’alumnat de secundària a
Catalunya treballa exercicis pràctics fora del llibre de text. I cal tenir present
que la gran majoria d’aquests llibres i dels digitals contenen problemes
aparentment reals en el sentit que, generalment, es troben molt allunyats de
l’entorn de l’alumnat, es basen en dades fictícies o són poc significatius.
II. El procés d’abstracció i adquisició del llenguatge formal de l’assignatura, així
com el treball de la tècnica, imprescindible per resoldre problemes aplicats o
no, són dificultats inherents a la mateixa activitat matemàtica, que requereixen
concentració i constància per superar-les.
4
III. Es fa palesa una clara insuficiència del nivell de despesa pública en educació,
respecte el producte interior brut, que especialment a Catalunya és molt inferior
a la mitjana europea (Idescat, 2011). Aquesta manca de recursos humans i
materials afecta greument múltiples aspectes bàsics per a una educació de
qualitat, per exemple una adequada atenció a la diversitat de l’alumnat. Sens
dubte, aquesta falta d’inversió dificulta enormement poder tractar els punts I i II.
IV. Es fa evident la insuficiència d’hores lectives setmanals de matemàtiques per
poder abordar el punts I i II, els quals concorden amb l’esperit i la forma de
l’actual currículum de matemàtiques, que a més dels continguts propis de la
matèria (punt II), emfatitza una manera de fer matemàtiques que capaciti
l’alumnat per interpretar el món que l’envolta d’una manera raonada i crítica
que l’ajudi a trobar respostes a problemes quotidians (punt I).
V. Constatat el punt I, existeix encara, com a element persistent, una forta inèrcia
generalitzada cap a un ensenyament de les matemàtiques més proper al
tecnicisme, al treball de la tècnica, que cap a un ensenyament veritablement
contextualitzat, que s’alimenta en part pel punt IV combinat amb un grau
d’exigència tècnic més que adient i necessari en molts dels estudis posteriors.
És fonamental que tant des de l’Administració educativa com del conjunt de la
comunitat educativa es donin respostes eficaces a aquesta problemàtica, que
requereix, en primer lloc, una anàlisi de cadascun d’aquests punts com elements amb
una veritable entitat pròpia que necessiten un tractament individualitzat, i visualitzar-los
posteriorment en conjunt donat que, òbviament, s’interrelacionen parcialment.
Els resultats globals dels estudis PISA1 2000, 2003, 2006 i 2009 concorden amb els
aspectes descrits: Tots situen el nivell de competència matemàtica de Catalunya i
Espanya per sota de la mitjana de l’OCDE. I adquireixen una especial
rellevància amb el que s’ha esmentat si es té en compte el marc conceptual PISA: pel
que fa a l’avaluació PISA 2003, per exemple, document que trobem traduït al català
(Consell Superior d’Avaluació del Sistema Educatiu, 2004: 14), diu:
El projecte PISA/OCDE no exclou els coneixements i la comprensió
basats en el currículum, però els avalua sobretot en termes de
l’adquisició d’habilitats i conceptes més amplis que permeten la seva
aplicació quotidiana. (OCDE, 2003).
1 Projecte per a l’Avaluació Internacional d’Alumnes, promogut per l’OCDE.
5
És a dir, s’han obtingut consecutivament qualificacions per sota la mitjana de l’OCDE
en relació amb les habilitats per traslladar els continguts i processos matemàtics en un
entorn quotidià contextualitzat.
Aquests resultats ens remeten directament i altra vegada al fet que l’alumnat no sap
habitualment per a què són útils les matemàtiques, que està fortament correlacionat
amb la desafecció citada i les seves causes.
Així doncs, aquesta és la reflexió de fons que ha originat i impulsat aquest treball i que
alhora em permet situar-lo allà on li correspon com a llicència orientada a l’elaboració
de materials digitals, que ha comportat una recerca i aprenentatge constants per
apropar una realitat complexa i canviant a l’aula de matemàtiques.
És des d’aquesta perspectiva que podrem afrontar la concepció negativa de moltes
persones sobre aquesta matèria i el fenomen de la seva invisibilitat en la societat
actual, quan de fet hi juga un paper essencial (Niss M., 1995).
1.2 Objectius
La motivació expressada, motor d’aquest treball, i l’esperit del currículum de
matemàtiques de l’ESO (DOGC, 2007), fonamentat en un aprenentatge contextualitzat
i significatiu a través de la connexió amb altres àrees del coneixement, determinen la
naturalesa dels objectius:
o Aportar activitats concretes basades en contextos veritablement reals i
rellevants, riques en continguts i competències que fomentin la reflexió, la
interacció entre l’alumnat i l’aprenentatge de les matemàtiques.
o Partint de l’anterior principi, proporcionar elements didàctics que es puguin
implementar fàcilment a l’aula tant pel que fa al material necessari per dur-los a
terme com per la seva flexibilitat en el sentit de poder treballar, si es vol, un
subgrup d’activitats i fins i tot considerar, dins de cada activitat, determinats
apartats que s’adaptin als continguts que es volen treballar i a la temporització.
o Incorporar en la creació de les activitats l’ús de les TAC interactives, no com una
simple reacció a un corrent establert, sinó pensant en cada situació concreta
quins avantatges en l’aprenentatge pot suposar.
6
o Paral·lelament al punt anterior, impulsar l’ús habitual del llapis i el paper com a
eines imprescindibles per plasmar el procés de resolució de problemes i treballar
competències bàsiques com la competència en comunicació lingüística.
o En la mateixa direcció, utilitzar el regle graduat, el compàs, l’escaire, el
transportador d’angles i material plàstic de forma manual com a part inherent de
la geometria i del fer matemàtiques.
o Fer propostes concretes de treballs individuals i en petits grups heterogenis, dins
i fora de l’aula, que fomentin la col·laboració entre l’alumnat i orientades a
observar i actuar a través del coneixement directe del seu entorn.
Aquests són els pilars bàsics al voltant dels quals s’han construït els materials
digitals, l’estructura dels quals descriurem i il·lustrarem més endavant.
El conjunt d’elements didàctics s’adreça especialment a 1r i 2n d’ESO en cadascun
dels 5 blocs curriculars i alhora són susceptibles de ser treballats, almenys
parcialment, en altres nivells, donada l’extensió i la diversitat d’activitats que els
caracteritzen.
Els elements es troben allotjats en l’ARC (Aplicació de Recobriment Curricular), una
aplicació web2 que conté i ofereix propostes d’activitats, recursos i itineraris vinculats al
currículum i que poden ser útils a mestres i professorat en el seu treball a l’aula, des
de l’educació infantil fins al batxillerat. A més, acull recursos diversos pertanyents a
diferents àrees, entre elles la de matemàtiques.
La col·laboració amb l’ARC d’aquesta llicència d’estudis s’ha dut a terme a través del
CESIRE creamat 3 i en el marc del projecte eduCat 1x1 – Escola 2.0.
2 Adreça electrònica: <http://apliense.xtec.cat/arc/>
3 Centre de recursos per ensenyar i aprendre matemàtiques. Departament d’Ensenyament.
Generalitat de Catalunya.
7
2 Metodologia
2.1 Matemàtiques i realitat
Aquest és precisament el títol principal del treball i no és un fet casual. Neix de la
convicció que una part molt important de la motivació de l’alumnat vers les
matemàtiques en l’ESO passa necessàriament per fer visibles els seus profunds
lligams amb la realitat percebuda a través de l’experiència quotidiana, un fet ja
comentat. Però des d’un punt de vista metodològic es planteja la necessitat de saber
com s’estructura aquesta connexió entre els dos mons, els seus processos cognitius.
Tot i que aquesta connexió ha estat objecte d’estudi de nombroses obres, la seva
rellevància no permet obviar-la en aquest document. Casadevall (2009) és un dels que
n’ha fet una anàlisi exhaustiva i clara tant de la modelització matemàtica com del
concepte de context en l’educació matemàtica, el qual defineix com:
contextos en l’educació matemàtica: són àmbits o situacions, amb
sentit per a l’alumnat i percebuts com de la seva realitat, en els quals
ens podem fer preguntes o plantejar problemes amb significat que
requereixen les matemàtiques per a ser resolts, i on les respostes
poden ser contrastades. (Casadevall, 2009: 39).
Partint d’aquesta definició bàsica, els elements didàctics elaborats en aquest treball es
centren en aquells contextos “externs” a les matemàtiques que fan referència a
situacions culturals, científiques i socialment rellevants per tal d’afavorir en l’alumnat la
seva capacitat crítica i la comprensió del món que l’envolta.4
El diagrama de flux següent visualitza la manera com es relacionen els diferents
elements entre el món matemàtic i la realitat entesa en el sentit usual del terme:
4 A partir d’ara utilitzarem la paraula context atribuint al terme totes aquestes característiques.
8
Figura 2.1. Comunicació entre el món matemàtic i la realitat contextualitzada
El pas directe d’un problema contextualitzat a la seva solució és, sovint, massa difícil
de donar. Es necessita interpretar el context en un llenguatge clar i concret, àgil i
sense ambigüitats, que permeti simplificar la situació destriant el gra de la palla.
Aquest pas del món contextualitzat al matemàtic s’anomena modelització matemàtica
que implica una traducció de llenguatges, no sempre evident. Un cop al món
matemàtic podem aplicar processos d’anàlisi i síntesi mitjançant unes regles molt ben
definides que faciliten trobar la solució del problema en termes matemàtics (sovint, fins
i tot, s’hi generen de forma natural la construcció de noves qüestions més enllà del
problema resolt). Finalment s’aplica la traducció inversa per arribar a la solució
contextualitzada.
És des d’aquesta concepció de l’educació matemàtica que bona part de l’alumnat pot
canviar notablement la percepció que té d’aquesta matèria i reconciliar-s’hi.
S’entén, doncs, que la resposta a “I per a què serveix, això ?” ha d’estar inclosa en la
mateixa proposta didàctica, dins i fora de l’aula, de tal manera que ni tan sols tingui
sentit formular-se aquesta pregunta.
9
Si ens fixem bé en el diagrama anterior s’estableix un “feedback” molt beneficiós entre
la realitat contextualitzada i els continguts matemàtics: La primera proporciona sentit a
l’activitat matemàtica a molts nois i noies, mentre que aquesta els permet interpretar
millor el món que els envolta, resoldre situacions contextualitzades i incidir en la
societat de manera positiva.
És important remarcar que aquesta simbiosi no és tan sols molt constructiva per a
l’activitat educativa de les matemàtiques, sinó que també és un potent motor per a la
investigació i el desenvolupament de la matemàtica, ara i al llarg de la història: Un cas
paradigmàtic és el que es centra en el concepte de derivada d’una funció, que Newton
(1642-1727) va descriure tal i com el coneixem avui. A través de l’observació del món
físic, del moviment dels cossos, de les seves trajectòries i per tant de la velocitat va
definir el concepte de derivada, establint, juntament amb Leibniz (1646-1716), els
principis del càlcul diferencial i integral.
A més, aquest exemple permet fer una reflexió fonamental sobre el concepte de
“matemàtiques”: Una de les grans aportacions de Leibniz al càlcul infinitesimal va ser
la notació específica dx i , que va representar una simplificació formal i va
facilitar en gran manera el desenvolupament d’aquesta branca, però cal deixar clar
que les matemàtiques, per si soles, simplement formen part de la mateixa realitat, i
que no és el llenguatge formal el que els dóna l’existència, malgrat sigui una eina
extraordinària per poder-les manejar i explorar. D’aquí les cometes utilitzades en el
fragment contextos “externs” a les matemàtiques (p. 7) i al fet que prefereixi no utilitzar
l’expressió “procés de matematització” per designar el diagrama de la figura 2.1. El
mateix passa amb la modelització matemàtica, que cal entendre-la únicament com la
part del procés que implica la utilització del llenguatge formal de les matemàtiques.
Aquesta reflexió és tan important que, sense ella, les matemàtiques, per mi, no tindrien
cap sentit. Més encara, és aquest pensament el que me les fa sentir com una cosa
viva, pròpia a la naturalesa humana i, per tant, plenament emocional:
Les matemàtiques, com les emocions, formen un món d’idees tan belles i pures en
elles mateixes que sovint fins i tot el formalisme més ben construït, com les paraules,
són insuficients per expressar-les i a voltes ofeguen la seva ànima.
Amb això no em refereixo a la notació matemàtica en si mateixa, d’una estètica i un
ritme equiparables a la poesia, sinó en la manera d’utilitzar-la:
10
Efectivament, donar a l’alumnat uns continguts matemàtics basats exclusivament, o
quasi, com un conjunt d’operacions i regles formals és exposar-se amb tota probabilitat
a què bona part no hi trobi cap sentit i valor en allò que fa, més enllà d’una nota o de la
consecució d’un procés repetitiu rutinari, propi del tecnicisme. I aquesta situació es pot
estendre al teoricisme quan s’utilitza un context com una eina puntual per introduir uns
continguts que, a partir d’aleshores, només seran treballats des d’un llenguatge formal,
o fins i tot quan, malgrat emprar contextos regularment, aquests són banals o absurds;
fets molt habituals tant en els llibres de text com en els digitals.
Per tant, la reflexió i la concepció descrites de les matemàtiques com a part intrínseca
de la realitat, expressades des d’una vessant vital i emocional, ens donen
“sorprenentment” la resposta concreta i tangible a com enfocar l’educació matemàtica.
2.2 L’element Proporcionalitat i Accessibilitat com a exemple
Il·lustrarem la relació entre el món matemàtic i la realitat contextualitzada, figura 2.1,
amb l’activitat 7 de l’element didàctic Proporcionalitat i Accessibilitat adreçat
especialment a 2n d’ESO.
El conjunt d’aquest element posa de manifest el paper fonamental que juguen les
matemàtiques en aspectes socials tan rellevants com l’accessibilitat, que incideix
decisivament en la qualitat de vida de tots nosaltres i, especialment, de les persones
amb mobilitat reduïda.
Concretament, la proporcionalitat, i per tant la semblança de figures i el Teorema de
Tales, és el concepte generatriu de les activitats, que evolucionen cap al càlcul
algebraic, les funcions lineals, la resolució d’equacions i la representació gràfica. Les
aplicacions en GeoGebra són un bon complement d’aquest element, orientat a un
aprenentatge contextualitzat i significatiu. Finalment, els treballs proposats permeten a
l’alumnat explorar matemàticament el seu entorn urbà, de forma directa, crítica i
constructiva.
A continuació, a mode d’exemple, es presenta el redactat de l’activitat 7 de l’element,
allotjat en l’ARC (on s’hi adjunten documents oficials i aplicacions interactives en
GeoGebra per a la seva realització5) tal i com s’ha esmentat en els objectius:
5 Malgrat en aquesta memòria només ens cal presentar explícitament el redactat de l’activitat 7,
si es vol visualitzar el document oficial i utilitzar “l’applet” en GeoGebra que l’acompanyen es pot accedir a l’adreça electrònica de l’aplicació ARC, referència (4) de la bibliografia, i cercar l’element per títol, autor... o anar-hi directament clicant l’enllaç de la referència (8).
11
Activitat 7 de l’element didàctic Proporcionalitat i Accessibilitat:
Aquestes dues imatges corresponen a una mateixa rampa (Pas del Mig, un dels
accessos a la Plaça del Mig d’Olot) amb graons als laterals, des de dos punts distints:
Autoria de les imatges: Xavier Gelada Serrat. Agost de 2010.
Amb un metre s’han pres les alçades en cm dels 17 graons situats a la dreta en sentit
de pujada: El primer i el segon: 18 i 16,5 , respectivament. Els catorze següents
mesuren 16 cm cadascun. I l’últim 19,5 cm. A més, fixeu-vos que aquí no es pot
mesurar directament la longitud horitzontal com en la rampa de l’activitat 1. Per tant,
s’ha mesurat amb cinta mètrica la llargada de la rampa OP = 17 metres (de fet,
observeu que encara continua un tros més, però el punt P ja ens dóna una molt bona
referència de les dimensions). Finalment, l’amplada útil amida AB = A'B' = 389 cm.
a) Accediu a l’annex 1 del Codi d’Accessibilitat de Catalunya, si voleu en
l’enllaç del DOGC Catalunya (per si es vol conèixer el funcionament del web
oficial) o, si voleu anar més ràpid, obriu directament el document adjunt que es
facilita: Codi_Accessibilitat_Catalunya.pdf.
L’escala citada de la imatge està adaptada, pel que fa a les dimensions
dels graons ? I pel que fa a l’amplada útil de pas ?
b) Calculeu el pendent longitudinal de la rampa. Quin teorema heu utilitzat ?
c) És una rampa adaptada, en relació amb el pendent longitudinal ?
d) La pregunta següent deriva de forma natural de l’apartat anterior: Quants
metres caldria incrementar la longitud horitzontal de la rampa per tal que fos,
pel que fa al pendent, una rampa adaptada ? (Si ens fixem en les imatges, aquí
12
comportaria una reestructuració urbanística important. En altres rampes seria
molt més senzill).
Utilitzeu l’aplicació Horitzontal_Pendent.html per aproximar la solució (el
pendent pot ser com a màxim del 8 %). Moveu el punt P per ajustar la longitud
vertical real de la rampa (278 cm). Llavors moveu el punt O per resoldre el
problema.
Imatge descriptiva de l’aplicació Horitzontal_Pendent.html
e) Ara plantegeu una equació de 1r grau i trobeu la solució de forma exacta.
Calculeu l’error relatiu fins els mil·lèsims de l’aproximació obtinguda
anteriorment.
Analitzant els enunciats de cadascun dels apartats podem veure clarament com
s’estructuren en relació amb el diagrama de la figura 2.1:
Fixem-nos que l’apartat a) proposa realitzar una comunicació entre el context
“Accessibilitat de l’escala” i el món matemàtic “Comparació de mesures”.
La realització del b) i el c) impliquen, conjuntament, partir del context “Accessibilitat de
la rampa” a partir del qual du a terme una modelització i un procés de resolució
matemàtiques que utilitza primer l’aritmètica per trobar l’altura de la rampa, després el
Teorema de Pitàgores per calcular la seva longitud i en tercer lloc el càlcul de
percentatges per trobar-ne el pendent longitudinal. Finalment es produeix una
traducció al llenguatge contextualitzat quan s’arriba a la conclusió que no compleix les
condicions per ser una rampa adaptada.
Anem a centrar-nos especialment en el d) i e) per la varietat dels processos
matemàtics que s’hi duen a terme i perquè es planteja i resol el problema final, que es
suggereix de forma natural un cop realitzats els anteriors apartats:
13
La primera observació interessant és adonar-se que tant l’aparat d) com el e) resolen
exactament la mateixa situació, però a través d’eines i processos matemàtics molt
distints:
En el d) es resol mitjançant la simulació de la realitat amb l’aplicació en GeoGebra
anomenada Horitzontal_Pendent.html, que basa l’activitat en l’experimentació
interactiva de l’alumnat per trobar el resultat de forma aproximada. L’alumnat treballa
el canvi i les relacions entre les formes geomètriques i les quantitats numèriques de
manera dinàmica, però en cap cas li cal du a terme cap procés de modelització.
En el e), en canvi, l’alumnat ha de fer el procés de modelització i després resoldre el
problema matemàtic fent ús del model de Pólya (1945). Primerament és necessari fer
un croquis geomètric que representi la situació, designar la incògnita i posar-hi les
dades. Després cal utilitzar la definició de pendent longitudinal o la proporcionalitat
geomètrica, i per tant Tales o semblança, per plantejar una equació de 1r grau on la
incògnita es troba al denominador. Finalment, el càlcul algebraic condueix a la seva
resolució i l’aplicació contextualitzada de la solució en el problema inicial:
Figura 2.2. Diàleg entre la proporcionalitat geomètrica, l’àlgebra i l’accessibilitat
14
2.3 Desenvolupament dels elements didàctics
En aquest apartat es descriu quins passos s’han seguit per elaborar els elements
didàctics i els trets fonamentals de cadascun dels components que els han anat
formant. En primer lloc, s’esmenten els criteris bàsics de selecció del context, que
determina l’origen de l’element. Posteriorment, s’explica quins són els principis que
s’han considerat adients a l’hora d’iniciar les activitats concretes. I en tercer lloc,
s’analitza l’estructura lògica de creació que determina com s’han construït les
activitats.
2.3.1 Selecció del context
Ha estat l’observació directa i atenta de l’entorn i dels objectes quotidians, amb ulls
matemàtics, la causa primera que ha captat el meu interès per un context determinat.
Aquest i els altres motius exposats són els que han induït aquest treball a considerar
únicament contextos “externs” a les matemàtiques. La meva curiositat per analitzar el
món que m’envolta i les idees preconcebudes que l’alumnat té sobre les matemàtiques
han estat factors clau per adoptar aquest primer criteri.
D’altra banda, s’ha tingut en compte la rellevància del context des de dues vessants
diferenciades: la primera, es basa en la significació dels aspectes culturals, científics i
socials. La segona avalua la proximitat del context en l’entorn habitual de l’alumnat,
tant si aquest n’és conscient com si no.
Cal tenir en compte que ambdues vessants estan sotmeses en major o menor grau a
la subjectivitat, no solament de l’alumnat sinó de qualsevol persona. Però aquest fet,
lluny de ser un desavantatge, constitueix un factor de diversitat interessant des de la
perspectiva dels nois i les noies a mesura que s’amplia la quantitat i varietat dels
contextos a treballar.
Aquest criteri entronca amb el treball per competències, propi del currículum, per tal de
potenciar en l’alumnat la capacitat d’interpretar l’entorn de forma raonada i crítica i les
habilitats que el permeti adaptar-se en un món canviant.
Òbviament, un altre criteri fonamental que s’ha considerat és la capacitat del context
per generar continguts propis de la matèria, de forma natural, emmarcats en el
currículum de 1r i 2n d’ESO. La varietat dels conceptes formals i el seu caràcter
transversal respecte els diferents blocs de continguts han estat aspectes molt valorats
a l’hora d’escollir un o altre context.
15
2.3.2 Elements d’introducció a les activitats
Els primers elements característics dels elements didàctics en la introducció de les
activitats del document designat com a material per a l’alumnat són dos: El títol i una
imatge contextualitzada representativa del que es vol estudiar.
Podria semblar, aparentment, una qüestió menor, però no ho pot ser de cap manera si
tenim en compte que, a més de ser la porta d’entrada, se’n deriva la primera
impressió, fet que cal aprofitar per captar l’atenció de l’alumnat.
Així, tant el títol com la imatge contextualitzada han de donar un missatge clar i concís
i, si es possible, establir una primera connexió conceptual entre les matemàtiques i la
realitat, donat que una de les finalitats essencials dels materials elaborats és fer aflorar
els nexes entre la realitat i les matemàtiques.
En la mateixa direcció, el següent tret comú als elements didàctics és una petita
introducció que descriu el significat autèntic de la imatge i alhora posa de relleu quins
tipus de lligams s’estableixen entre el context visual i alguns conceptes propis de les
matemàtiques. No es tracta de fer un llistat detallat d’aquestes interrelacions, sinó més
aviat una reflexió que posi de manifest que, efectivament, les matemàtiques són un
dels ingredients constituents d’aquella imatge contextualitzada.
Així doncs, el títol, la imatge contextualitzada i la reflexió introductòria formen un
conjunt potent que té per objectiu despertar l’interès dels nois i les noies i les seves
inquietuds per conèixer la realitat i al mateix temps fer-los adonar que, de cop i volta,
allò que havien entès per matemàtiques fins aleshores era, de fet, la part menys visible
de les matemàtiques i que les havien tingut sempre davant seu en el seu estat natural.
Però com totes les eines dissenyades per a una determinada funció, la seva efectivitat
també depèn de l’habilitat del seu ús. És aquí on comença la tasca del professorat per
treure’n el màxim profit d’aquest contacte inicial. És un moment idoni per posar èmfasi
en les connexions entre les matemàtiques i el context, entre el text i la imatge, i establir
un diàleg a classe en què cadascú exposi la seva visió i interpretació personals.
Finalment, una petita nota especifica que totes les dades de l’element són verídiques,
en el sentit que han estat mesurades en la realitat. La intenció és que l’alumnat tingui
clar que no treballarà amb xifres fictícies o suposicions, sinó que els resultats i les
conclusions que obtindrà seran, també des d’aquest punt de vista, significatives.
A continuació es posa l’exemple de l’element didàctic El Cilindre Seccionat:
16
EEll CCiilliinnddrree SSeecccciioonnaatt
Autoria de la imatge: Xavier Gelada Serrat. Març de 2011.
Introducció
Aquesta escultura és de Josep Guinovart Bertran, i porta per títol Portal volcànic. Va
ser inaugurada a Olot el 19 d’octubre de 1996.
Són moltes i variades les formes geomètriques que s’hi combinen, però n’hi ha una, al
meu parer, especialment interessant i que és la protagonista d’aquest element: El
cilindre tallat per un pla oblic. Aquest cos geomètric no tan sols apareix sovint en l’art,
com en aquest cas, sinó que forma part del disseny d’infinitat d’objectes absolutament
quotidians i coneguts: làmpades, portallapis, gerros, papereres..., però també en molts
d’altres que, tot i no ser tan evidents, compleixen funcions tecnològiques bàsiques com
per exemple conductes d’extracció de fums de calderes i cuines domèstiques o
industrials, d’extracció de vapor d’aigua (com assecadores industrials d’evaporació),
de ventilació de locals...
Nota: Les dades utilitzades en aquest element són reals, en el sentit usual del terme.
17
2.3.3 L’estructura lògica de creació de les activitats
El procés de selecció del context i l’elaboració dels elements introductoris descrits han
estat la veritable llavor que ha permès materialitzar les primeres activitats.
Conseqüentment, de forma quasi evident, aquestes activitats inicials o bé aborden una
primera qüestió significativa per ser resolta mitjançant la modelització matemàtica o bé
preparen el terreny amb aquest objectiu. És a dir, la proposta d’aquesta primera
qüestió rellevant s’ha de considerar més aviat com un resultat de l’anàlisi introductòria.
Partint d’aquest primer problema ens trobem amb dos casos diferenciats:
Cas 1: Pot resultar que la solució a aquesta primera activitat significativa indueixi
noves qüestions, les respostes de les quals generin altres situacions a resoldre i així
successivament; i que fins i tot, quan s’aborda un problema aparentment independent
de les trajectòries citades, acabi connectant-se en una o més d’aquestes.
Té sentit, per tant, anomenar aquest plantejament inicial com la qüestió generatriu
(Chevallard, 1999), que denotarem per Q1 i que dóna lloc al que es defineix com un
recorregut d’estudi i investigació. El resultat és un dígraf connectat que, sovint, enllaça
diferents continguts matemàtics aparentment llunyans:
Figura 2.3.3.a. Exemple de recorregut d’estudi i investigació. Dígraf connectat
De fet, la figura representa la modelització matemàtica del mateix procés mental de
creació. Des d’aquest punt de vista podem estudiar com s’articula un determinat
recorregut d’estudi i investigació, les seves propietats, per mitjà de la teoria de grafs.
18
Cas 2: L’element didàctic, malgrat trobar-se immers dins un context ben definit, es
presenta en conjunt d’una manera més o menys fragmentada. Els àmbits matemàtics
treballats es troben entre ells prou allunyats i les qüestions estudien aspectes del
context suficientment diferenciats com per constituir petits elements didàctics
desconnectats, que mantenen en comú la situació real que els engloba.
El resultat és un dígraf desconnectat:
Figura 2.3.3.b. Exemple d’element didàctic que es modela com a dígraf desconnectat
Així, per exemple, mentre que l’element El Cercle és Art es presenta bàsicament com
un dígraf desconnectat, El Cilindre Seccionat es configura com una veritable xarxa de
qüestions interconnectades.
Sigui com sigui, el marc contextual en què es construeixen els elements didàctics,
present tant en el cas 1 com en el 2, els dota d’un desenvolupament natural on cada
activitat m’ha induït a la creació de la següent. Fins i tot en el segon tipus, quan un
recorregut finalitza, aleshores ha estat el mateix context qui m’ha suggerit l’inici d’un
nou aspecte a estudiar.
És aquesta perspectiva i l’experiència concreta de la construcció d’activitats la que em
permet afirmar que l’element didàctic, sobretot en el primer cas, sembla adquirir vida
pròpia i agafar el control del seu desenvolupament. L’estructura de l’element neix,
flueix, es diversifica en el seu creixement i finalitza.
19
2.3.4 L’element didàctic El Cilindre Seccionat com a exemple
El primer concepte que il·lustrarem és la qüestió generatriu: Les dues primeres
activitats i el conjunt introductori ja descrit preparen el terreny per a la seva formulació:
Activitat 1. Observeu atentament amb “ulls matemàtics” el conjunt d’imatges següents:
Quina forma geomètrica tenen en comú ? Dibuixeu-la un cop l’hagueu identificada.
Imatge superior esquerra: Telescopi
6
(població de l’Escala, província de Girona).
Imatge superior dreta: Llum tipus aplic7.
Imatge inferior esquerra: Paperera8.
Imatge inferior dreta: Escultura de Josep Guinovart Bertran, titulada Portal volcànic.
Autoria de les imatges: Xavier Gelada Serrat. 2010 - 2011.
6 Producte registrat per VIDI, S.L.
7 Producte registrat per ECOLAMP DA S.L.
8 Producte registrat per URBINOX, S.L.
20
Activitat 2. Ja sabem que la forma geomètrica comuna de les imatges anteriors és el
cilindre seccionat, com en les següents. Anem a donar un altre pas important:
a) Observeu aquests tres objectes i llegiu-ne les característiques:
Conductes d’extracció d’acer inoxidable: el
de l’esquerre extreu vapor d’aigua procedent
d’una assecadora industrial d’evaporació
(s’hi veuen partícules tèxtils). Els dos de la
dreta treuen aire calent del local interior
mitjançant uns ventiladors.
Gerro de vidre.
Portallapis de plàstic9.
Autoria de les imatges: Xavier Gelada Serrat. Març de 2011.
9 Producte registrat per MITSUBISHI PENCIL CO; LTD.
b)
Un sol objecte d’aquests tres no
necessita cap motlle per ser fabricat.
Això es deu bàsicament al tipus de
material de què està fet. I això
proporciona a l’objecte unes propietats
geomètriques sorprenents !
Quin objecte dels tres creieu que és ?
(Parleu-ne entre vosaltres, reflexioneu
sobre les seves característiques...).
21
Fixem-nos que l’activitat 1 és la prolongació natural del títol, la imatge i la introducció:
Efectivament, donat que aquesta última reflexiona sobre un cos geomètric anomenat
cilindre tallat per un pla oblic (o “Cilindre seccionat”, per simplificar) que apareix en
multitud d’elements concrets del nostre entorn, però que alhora no fa explícita la seva
forma, esdevé necessària una primera activitat que proposi a l’alumnat identificar de
manera concreta aquesta forma comuna a quatre objectes sorprenentment diferents.
Observem que aquesta proposta és coherent amb l’observació directa de l’entorn com
a primer pas per escollir el context (apartat 2.3.1). Per tant, l’activitat 1, és una extensió
pràctica adient al conjunt introductori.
En canvi, la segona activitat ja evoluciona amb la clara intenció de formular la qüestió
generatriu: suposa que l’alumnat ja ha descobert la forma geomètrica del cilindre
seccionat a través de l’activitat 1 i es centra de ple en les característiques del material
amb què estan formats tres objectes, és a dir, representa una entrada directa en la
matèria de Tecnologia. Però no és una entrada sense més ni més, sinó que
precisament són les propietats específiques dels materials, com veurem en la qüestió
generatriu, les que determinen decisivament les propietats geomètriques de cadascun
dels objectes i per tant els continguts matemàtics associats. No és aquesta una relació
íntima i primària entre dues matèries curriculars ? És fa impossible per a mi poder
trobar algun argument que justifiqui la desvinculació educativa entre Matemàtiques i
Tecnologia (I com hem vist, aquests tipus d’interrelacions profundes també existeixen
entre Matemàtiques i Ciències socials, en l’element Proporcionalitat i Accessibilitat):
Figura 2.3.4.a. Interacció entre propietats dels materials i geomètriques
Finalment, estem preparats per plantejar, en l’activitat 3, la qüestió generatriu:
22
Activitat 3. Dels tres materials de l’anterior activitat, l’únic que es pot corbar sense
trencar-se és l’acer inoxidable. Això confereix, en aquest cas, als conductes d’extracció
il·lustrats unes propietats geomètriques i al mateix temps tecnològiques rellevants:
i) Retallant qualsevol conducte d’extracció per una de les seves generatrius
podem desplegar i per tant desenvolupar la seva superfície damunt el pla !
ii) Recíprocament, si tenim el seu desenvolupament al pla aleshores podem
corbar-lo per obtenir el conducte ! I resulta que aquests conductes s’han
fabricat prenent com a base aquest resultat.
I és clar que això és aplicable a qualsevol objecte cilíndric seccionat fet d’un material
flexible d’aquestes característiques com, per exemple, un portallapis de cartó.
Bé, ha arribat el moment de plantejar la qüestió clau:
Com és el desenvolupament d’un cilindre seccionat per construir-lo ?
Ja sabem que el traçat del desenvolupament d’un cilindre recte és un rectangle:
Autoria de la imatge: Xavier Gelada Serrat.
I si el cilindre està seccionat, com serà el traçat del desenvolupament ?
Autoria de la imatge: Xavier Gelada Serrat.
23
a) Obriu l’arxiu Proposta_Desenvolupament_Cilindre_Seccionat.doc.
Imprimiu la figura en paper o cartó i en format DIN A4 o DIN A3 i completeu-la, de
forma purament intuïtiva, amb el traçat que penseu que determina el
desenvolupament de l’anterior cos geomètric. Intenteu ser al màxim de precisos
(utilitzeu les eines de dibuix que considereu adients).
Penseu que l’objectiu és que experimenteu, observeu els resultats i en traieu
conclusions interessants.
b) Un cop dibuixat el traçat, retalleu-lo, corbeu-lo homogèniament i enganxeu-lo per la
pestanya (des del cim, la planta s’ha de veure com un cercle. Si no, és que no s’ha
corbat correctament). Si heu trobat el desenvolupament correcte, quan mireu el
perfil en alçat del cos geomètric obtingut heu de veure un trapezi rectangle per les
dues bandes, de manera que el costat diagonal s’ha de visualitzar al més recte
possible:
Autoria de la imatge: Xavier Gelada Serrat.
c) Si, en canvi, el costat diagonal de la figura en alçat no es veu recte (fa corba cap
endins, vers enfora o ambdues coses) intenteu esbrinar el perquè i traieu-ne les
vostres pròpies conclusions (sobretot guardeu aquesta primera proposta ! La
utilitzarem més endavant).
Val la pena que compartiu dubtes, suggeriments i els resultats obtinguts amb altres
companys. Torneu a fer intuïtivament un nou intent amb una segona proposta de
traçat en una altra plantilla per tal de millorar la primera i comparar-ne els resultats.
Repetiu aquest procés les vegades que el/la professor/a consideri adequat.
24
A partir d’aquesta pregunta, es desencadena un moviment creatiu natural en una
successió de qüestions en què la resolució de les anteriors indueix al plantejament de
les següents. És així com s’ha desenvolupat l’estructura lògica de creació de les
activitats de El Cilindre Seccionat.
A continuació il·lustrarem una estructura bàsica del desenvolupament de continguts de
l’element didàctic amb un dígraf connectat de tres vèrtexs o nodes, amb la disposició
següent:
Figura 2.3.4.b. Estructura bàsica de creació dels continguts
La resolució d’una qüestió Qn porta al plantejament d’una nova qüestió Qn+1 i aquesta a
una tercera Qn+2. El conjunt dels diferents continguts treballats determina la seva
diversitat, que pot ser, com en aquest cas, fruit d’una successió d’arcs10 sense
convergències (dos o més arcs incideixen en un mateix vèrtex) ni divergències (d’un
vèrtex en surten dos o més arcs) o bé d’una mescla de les tres operacions.
Seguidament, s’exemplifica la figura 2.3.4.b. amb les activitats Q5, Q6 i Q7 (n=5):
10
Arestes orientades en el cas dels dígrafs.
25
Activitat 5: Descobrirem les simetries d’aquest desenvolupament, algunes ocultes:
a) Obriu l’arxiu Material_Simetria_Desenvolupament_Cilindre_Seccionat.doc i
realitzeu l’activitat 1.
b) Dividint el desenvolupament en 4 línies verticals equidistants, el traçat superior
queda separat en quatre trossos. Aquí hem ressaltat el de l’esquerre amb color lila:
Autoria de la imatge: Xavier Gelada Serrat.
Doncs bé, un sol de qualsevol d’aquests trossos determina completament la
totalitat del traçat superior per mitjà de simetries axials ! Vegem-ho amb el de
l’esquerre, de color lila.
b1) Obriu “l’applet” Simetria_Desenvolupament_Cilindre_Seccionat.html i
visualitzeu la pantalla completa (F11). Hi ha dibuixat exactament el mateix tros
lila del traçat superior amb la indicació de tres simetries d’eixos e1, e2 i e3.
Imatge descriptiva de l’aplicació citada.
Feu córrer el punt Simetria axial amb el
ratolí o clicant-hi i fent moure les tecles del
cursor (s’obté més precisió si es manté
pitjada la tecla majúscules ). Observeu
com es transforma el traç lila en el taronja
al quadrant de la dreta (e1) i aquest amb el
de color verd al quadrant del cim (e2).
Fixeu-vos que el lila i el verd formen la
meitat del traçat superior. Finalment la
simetria d’eix e3 transforma aquesta meitat
en la totalitat del traçat superior !
Si voleu podeu activar l’animació automàtica clicant el botó inferior esquerre .
Per visualitzar-lo és possible que hagueu d’arrossegar la barra lateral.
26
b2) Un cop heu dibuixat tot el traç apareix el desenvolupament complet delimitat
amb els punts B, C, B’, A i A’ i el botó “Simetria central de centre O”. També
apareixen dos punts Q i Q’’ situats als traços lila i verd, respectivament i un
segment discontinu que els uneix.
Moveu el punt Q i observareu que, curiosament, els punts Q, O i Q’’ no
solament es troben alineats (generalment, tres punts no solen estar alineats)
sinó que, a més, Q i Q’’ es troben a la mateixa distància del centre O, al voltant
del qual basculen. I per tant, el punt inicial B del traçat i el superior C també es
troben alineats amb el punt O i a la mateixa distància.
Dit d’una altra manera: el traços lila i verd són simètrics respecte el punt O,
que els uneix. Aquest tipus de simetria s’anomena simetria central de centre O,
que sempre apareix quan es combinen dues simetries axials perpendiculars,
en aquest cas la simetria axial d’eix e1 més la d’eix e2.
b3) Què podem dir de la manera com estan corbats el traç lila i el verd ? En quin
punt es produeix aquest canvi ? Al marge d’això, hi ha cap més diferència de
forma entre els dos traços ?
Localitzeu un altre punt on es produeixi aquest fenomen. Podeu ajudar-vos
amb el comandament “Simetria axial” per localitzar-lo.
b4) Podeu localitzar aquests dos punts tan especials en el desenvolupament que hi
ha dibuixat més amunt en l’apartat b) ?
c) Imprimiu el desenvolupament dibuixat en l’apartat b) amb una grandària d’un full
DIN A4. Llavors amb regle i compàs determineu els dos punts on es produeix
aquest canvi de curvatura (com que ja estan dibuixats prèviament, podreu
comprovar si la vostra construcció és correcta). Podeu trobar una segona manera ?
d) Ara ja estem preparats per realitzar l’activitat 2 de l’arxiu Material_Simetria_
Desenvolupament_Cilindre_Seccionat.doc.
Tot i que és suficient presentar el redactat de l’activitat per entendre la idea que es vol
transmetre, si es vol veure el document del material de simetria i utilitzar “l’applet” es
pot accedir a l’adreça electrònica de l’aplicació ARC, referència (4) de la bibliografia, i
cercar l’element o anar-hi directament clicant l’enllaç de la referència (8).
27
En aquesta primera activitat (Qn per n=5 de la figura 2.3.4.b.) es treballa a fons la
simetria axial tant a través de la utilització del regle i el compàs com de la manipulació
plàstica de material, un dels objectius citats d’aquest treball. Això es du a terme a
través de l’arxiu Material_Simetria_Desenvolupament_Cilindre_Seccionat.doc.
En canvi, l’aplicació interactiva en GeoGebra Simetria_Desenvolupament_Cilindre
_Seccionat.html estudia el concepte de simetria axial i central també sobre el
desenvolupament del cos geomètric a través de les TAC, un dels altres objectius.
En definitiva, l’activitat Q5 treballa la simetria i el desenvolupament de cossos
geomètrics tant amb les mans com de forma simulada, dues maneres de fer geometria
que es complementen perfectament, ja que cadascuna aporta processos matemàtics
diferents que enriqueixen l’activitat i estableixen una relació sinèrgica.
Un cop resolta aquesta activitat s’obtenen uns coneixements especialment adients per
plantejar la qüestió següent Q6 (que correspon a Qn+1 per n=5 de la figura 2.3.4.b):
Activitat 6. Gràcies a l’estudi de les simetries, ara podem veure fàcilment un resultat ben curiós:
Autoria de la imatge: Xavier Gelada Serrat.
Resulta que l’àrea del rectangle marró central
és igual a la suma de les àrees lila, verda,
vermella i blava, és a dir:
marró = lila + verda + vermella + blava.
(fixeu-vos que les figures estan
determinades de forma natural: simplement
s’ha dividit el desenvolupament en quatre
línies verticals equidistants, com en l’anterior
activitat).
Imprimiu aquesta imatge amb una grandària
aproximada d’un DIN A4 i justifiqueu aquest
resultat retallant, plegant o manipulant el paper
de la manera que vulgueu (sense enganxar
trossos). Intenteu trobar, almenys, dues
maneres diferents de demostrar-ho.
28
Val la pena observar com l’estudi de la simetria en Q5, tot i que no és imprescindible,
aporta a l’alumnat una comprensió concreta dels moviments del pla i l’espai que els
facilita la percepció d’equivalències d’àrees entre les figures geomètriques de Q6. És
un exemple clar de que la resolució d’una qüestió pot induir al plantejament d’una altra,
però en aquest cas, a més, diversifica els continguts (figura 2.3.4.b): De l’àmbit que
tracta dels moviments al pla ens traslladem al camp de les àrees de figures planes.
Finalment, l’últim node de la tríada és Q7 que s’enllaça a partir de la resolució de Q6:
Activitat 7. Amb la mateixa plantilla impresa de l’anterior activitat podem fer-ne
aquesta variant:
a) Retalleu i enganxeu els trossos que cregueu convenients per transformar la
totalitat de la figura impresa en un sol rectangle.
b) Ara podeu calcular fàcilment l’àrea del desenvolupament imprès ! I això que no
s’assemblava pas a cap figura simple ! Mesureu les dimensions amb el regle i
calculeu-la (dependran de cada grandària d’impressió). Arrodoniu-ho als dècims.
c) Si corbéssim i enganxéssim el desenvolupament de la plantilla, sense haver-lo
retallat i redistribuït, formaríem un cilindre seccionat. Quina seria la seva
superfície ? Per què ? Reflexioneu aquest tema amb tota la classe.
L’activitat Q7 deriva de la qüestió anterior Q6, ja que fa ús de la mateixa plantilla i
continua proposant la manipulació de les figures que la formen per calcular la seva
àrea, que són processos i conceptes propis de Q6. I tot i que Q7 també està relacionat
amb Q5 a través de Q6 i del treball del cilindre seccionat amb el seu desenvolupament
(apartat c), no es pot connectar directament Q5 amb Q7 ja que, tal com s’ha especificat,
aquesta última necessita del material elaborat en Q6.
Cal senyalar que, també en aquest pas, es diversifiquen els continguts, ja que en Q7
s’obté un mètode de càlcul de superfícies en l’àmbit dels cossos geomètrics que no
s’havia abordat en les qüestions anteriors (i que, per cert, és un mètode utilitzat en la
realitat per establir el preu de venta d’una peça de caldereria en algunes indústries).
En resum: Q5, Q6 i Q7 representen fidelment el dígraf connectat de la figura 2.3.4.b
amb una gran riquesa de conceptes i processos.
29
I per acabar, després d’haver il·lustrat la qüestió generatriu i l’estructura bàsica de
desenvolupament, concretarem el mapa general del recorregut d’estudi i investigació
de l’element didàctic (figura 2.3.3.a) corresponent a El Cilindre Seccionat, en forma de
dígraf connectat, en què es poden apreciar nombroses divergències i convergències:
Figura 2.3.4.c. Recorregut d’estudi i investigació de El Cilindre Seccionat
Aquesta forma “orgànica” d’estructurar els elements didàctics els confereix unes
propietats didàctiques molt interessants, ja que els dota d’una gran flexibilitat en
l’aplicació del procés d’ensenyament-aprenentatge a l’aula, com s’explica en el punt
següent. Paral·lelament és molt suggeridor l’aplicació de la teoria de grafs en aquest
camp. Cadascun dels arcs (arestes) poden ponderar-se amb temps de resolució de
cada activitat, la riquesa dels seus continguts, el grau de motivació... Així, l’estudi dels
diferents passejos del graf té aplicacions concretes en didàctica de les matemàtiques.
30
2.3.5 Adaptabilitat dels elements didàctics
Fer explícita tota l’estructura de l’element didàctic permet visualitzar múltiples passejos
didàctics sense trencar la cadena lògica de construcció de coneixements. Això és molt
útil, donat que proporciona molta flexibilitat per implementar activitats a classe en
funció dels continguts que es volen treballar i la temporització. Per exemple, observant
la figura 2.3.4.c, per anar de Q1 a Q12 hi ha moltes possibilitats, dues de les quals són:
Considerant totes les qüestions intermèdies a través del passeig senyalat pels arcs:
(Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6, Q7, Q8, Q9, Q10, Q11, Q12)
El passeig més curt: (Q1, Q2, Q3, Q4, Q8, Q9, Q11, Q12), en què no es treballen les
qüestions 5, 6, 7 i 10. Això no significa que aquestes quatre activitats no siguin útils per
dur a terme la 8 i l’11, per exemple, sinó que no són imprescindibles.
La diferència bàsica de continguts entre els dos passejos, al marge de la qüestió 10,
rau en què en el segon no s’aborden, precisament, la 5, 6 i 7, les que hem fet servir
per il·lustrar la figura 2.3.4.b., que estudien les simetries del desenvolupament del
cilindre seccionat i les aplicacions que se’n deriven en relació amb el càlcul d’àrees i la
superfície del cilindre seccionat.
A més, sovint també hi ha la possibilitat de treballar, dins de cada activitat, només
aquells apartats que són més necessaris per abordar-ne alguna altra. O bé centrar-se
en certs apartats d’una sola activitat concreta relacionats amb altre tipus de material
que s’estigui utilitzant. Fins i tot, un cop baixats, es poden modificar bona part dels
continguts.
Aquests aspectes i la facilitat d’accés al material propi dels elements didàctics
(programari lliure o d’ús generalitzat, fitxes adjuntes per imprimir, enllaços directes a
pàgines web amb indicacions sobre la cerca d’informació...) estan en consonància
amb l’objectiu citat en la introducció d’aquesta memòria sobre l’adaptabilitat dels
elements didàctics a les necessitats concretes del procés d’ensenyament-
aprenentatge a l’aula, un aspecte crucial per a una utilització pràctica i eficaç.
La considerable extensió dels elements didàctics i aquesta flexibilitat obre les portes a
una futura elaboració d’itineraris didàctics, fonamentats en contextos, que abastin
diferents blocs de continguts en cadascun dels cursos de l’ESO i el batxillerat, sense
deixar de banda les possibles aplicacions en l’àmbit de la formació professional.
31
2.3.6 Les propostes de treballs i l’avaluació
Els últims temes que abordarem en el capítol 2 de la metodologia fan referència a les
propostes de treballs i l’avaluació, aspectes clau que completen la manera d’entendre
l’educació matemàtica en què s’ha fonamentat aquesta llicència d’estudis.
Al final de cadascun dels elements didàctics, després del conjunt d’activitats,
s’inclouen les propostes de treballs. Estan pensades per ser treballades principalment
en petit grup heterogeni en la línia de continuar fomentant la col·laboració entre
l’alumnat i l’intercanvi de diferents punts de vista, que les mateixes activitats han anat
promovent explícitament en múltiples apartats. Aquest enfocament va en la direcció
del primer i últim objectius esmentats en el sentit que la comunicació entre l’alumnat i
la seva interacció social són inherents al procés d’aprenentatge (Vygotsky, L., 1934).
Un dels altres aspectes fonamentals d’aquestes propostes de treballs, a més de
l’aprofundiment dels continguts treballats en les activitats, és la idea d’aplicar
directament en la realitat del context tots aquells aprenentatges assimilats a l’aula.
Així, sovint aquestes propostes s’enfoquen com un treball de camp d’allò que es
proposa estudiar: no tindria gaire sentit haver exposat una metodologia basada en
activitats contextualitzades “externes” a les matemàtiques sense tenir en compte
l’aprenentatge fora de l’aula, un dels altres elements essencials per a un veritable
aprenentatge.
Per tant, la interpretació directa de l’entorn mitjançant l’observació, l’adquisició
d’opinions crítiques i constructives i la transformació de la realitat per incidir
positivament en la societat són els eixos fonamentals sobre els quals es desenvolupen
les propostes de treballs. Aquest desenvolupament, però, no ha de portar a una
concepció de les matemàtiques només com a eina, sinó que cal situar-les com a
centre de l’activitat dins i fora de l’aula en la mesura que són part essencial d’aquesta
realitat. En aquest sentit cal recordar el “feedback” que s’estableix entre els contextos
matemàtics i els seus continguts específics (apartat 2.1).
Estretament lligat als aspectes mencionats hi trobem l’avaluació, que no tindria sentit
restringir-la únicament a proves escrites. Ben al contrari, les propostes de treballs són
un mitjà excel·lent per valorar la cooperació entre l’alumnat, el desenvolupament dels
treballs i l’exposició oral. I aquest concepte ampli de l’avaluació cal entendre’l també
en el marc de les activitats en què la verbalització oral i escrita de les reflexions i del
procés de resolució són un dels pilars d’un aprenentatge significatiu.
32
Però a més, aquest concepte de l’avaluació ja es troba incorporat explícitament en les
activitats, que sovint proposen literalment formular hipòtesis, escriure els raonaments
utilitzats i els resultats obtinguts o establir debats per interpretar aquests resultats
matemàtics dins el context i les seves implicacions.
En definitiva, el disseny d’elements didàctics basats en contextos reals i rellevants de
l’entorn de l’alumnat implica una manera de fer matemàtiques que incorpora
necessàriament aquesta manera d’entendre l’avaluació.
33
3 Programació didàctica dels elements
Una vegada creat un element didàctic determinat, a través de la metodologia descrita,
s’ha procedit a elaborar la seva programació didàctica. Donat que tot el material es
troba allotjat en l’aplicació ARC, el document fonamental per mitjà del qual es concreta
aquesta programació s’estructura d’acord amb el concepte de recobriment curricular
en què es basa el repositori, la manera com està configurat i els criteris establerts pel
CESIRE creamat.
3.1 El document Nucli: Presentació de l’element didàctic El Problema dels Residus
El document Nucli és on s’especifiquen de forma clara i resumida les característiques
generals de l’element didàctic: Els objectius; La descripció de les activitats; Els
recursos emprats; Els aspectes didàctics i metodològics; Els continguts, les
competències i els processos destacats; L’alumnat a qui s’adreça especialment; La
interdisciplinarietat, la transversalitat i les relacions amb l’entorn, i finalment els fitxers
que s’adjunten.
A continuació es presenta un document Nucli concret, referent a l’element didàctic El
Problema dels Residus:
ARC
El Problema dels Residus
Objectius
El conjunt de les activitats tenen per objectius treballar l’estadística descriptiva; la
resolució de problemes amb percentatges, i la interpretació del gràfic d’una funció a
través del tema dels residus, un problema cada vegada més significatiu en la
preservació del medi ambient i en la qualitat de vida de tots nosaltres.
34
Descripció de les activitats
Les activitats enfoquen d’una manera pràctica, visual i intuïtiva la representació de
gràfics estadístics de diferents tipus; el càlcul de paràmetres de centralització i
dispersió; la comparació entre distribucions; l’elaboració d’estimacions, conclusions i
prediccions; la resolució de problemes de percentatges; la interpretació del gràfic d’una
funció, i l’anàlisi crítica dels resultats en relació amb la societat. El disseny de les
activitats permet a l’alumnat construir els coneixements de forma atractiva i eficient.
L’ús de fulls de càlcul i d’una aplicació en GeoGebra reforça aquest tipus
d’aprenentatge en què l’experimentació permet arribar a conclusions i obtenir resultats
actualitzats de forma motivadora.
També es proposen treballs en grup que exploren les relacions entre els conceptes
matemàtics citats i la generació i tractament dels residus en l’entorn de l’alumnat, a
més de promoure una manera de fer matemàtiques en què la verbalització i discussió
de continguts transversals ajuden a l’adquisició d’un aprenentatge integral i significatiu.
Recursos emprats i suggeriments
- 2 documents d’activitats i un de propostes de treballs amb un glossari per a l’alumnat.
- Un document tècnic complementari de gestió i extrapolació de dades per al
professorat.
- 13 fulls de càlcul en Excel i una aplicació en GeoGebra.
L’alumnat ha de tenir instal·lat a l’ordinador el Java, el GeoGebra i l’Excel.
Per tal de facilitar el treball de les activitats pot ser útil desar els fitxers d’aquest
element en una aula virtual, com per exemple el Moodle. També pot ser interessant
l’ús del canó de vídeo per introduir el maneig dels fulls de càlcul d’Excel i “l’applet” en
GeoGebra.
Aspectes didàctics i metodològics
Pel que fa a les activitats és aconsellable fer-les en grups de dues o tres persones per
tal que trobin les estratègies adequades i intercanviïn punts de vista. És important
trobar espais per a la discussió i correcció de les activitats entre l’alumnat, potenciant
la comunicació oral i escrita de les diferents propostes de resolució, les dificultats en
què es troben o la coherència dels resultats. Es poden realitzar amb unes 35 sessions,
aproximadament.
35
L’avaluació hauria de tenir en compte el desenvolupament dels processos cognitius
descrits, al marge de proves orals o escrites.
Les propostes de treball, tot i que es poden fer individualment, són idònies per ser
treballades en petits grups heterogenis per tal d’afavorir la participació i la reflexió
entre l’alumnat, així com l’escola inclusiva. Un cop desenvolupats, els treballs es
poden exposar i discutir en el marc de tota la classe. És convenient marcar un termini
per a la finalització del treball que respecti els diferents ritmes de cada alumne/a.
L’avaluació hauria de tenir en compte el procés d’elaboració del treball, el treball en si
mateix i l’exposició a classe, si és el cas.
Continguts, competències i processos destacats
Una vegada s’ha accedit a l’element de l’aplicació ARC, en l’apartat Etiquetes
Curriculars s’especifiquen, amb el màxim detall, els blocs de continguts que es
treballen fonamentalment (inclosos els processos), tal i com apareixen al currículum de
2007 (Decret 143/2007 DOGC núm. 4915). En aquest sentit, cal tenir en compte que
alguns ítems citats en cada bloc es treballen parcialment, però sempre de forma
significativa.
Sintèticament i amb el suport de les TIC:
NUMERACIÓ I CÀLCUL (decimals i percentatges, raons i comparació de proporcions),
CANVI I RELACIONS (ús de l’àlgebra simbòlica i interpretació local i global d’una
gràfica), ESPAI I FORMA (coordenades cartesianes, utilització d’instruments de
dibuix), MESURA (inherent als altres blocs) i ESTADÍSTICA I ATZAR (formulació i
contrastació d’hipòtesis, elaboració de diferents tipus de gràfics estadístics, càlcul de
paràmetres de centralització i dispersió, extracció de conclusions i prediccions,
elaboració d’estudis estadístics).
Per la naturalesa dels continguts d’aquest element i la seva estructura es treballa tant
la Competència matemàtica com totes les altres competències bàsiques i processos.
Alumnat a qui s’adreça especialment
Les activitats s’adrecen especialment a 2n d’ESO, però són susceptibles de ser
treballades en altres nivells.
36
Interdisciplinarietat, transversalitat, relacions amb l’entorn ...
A més de Matemàtiques, també es treballen específicament Educació per al
desenvolupament personal i la ciutadania, i Ciències de la naturalesa. S’estableixen
relacions directes amb l’entorn urbà respecte els punts de recollida de residus i els
equipaments tecnològics pel seu tractament, i amb l’entorn natural i la seva
conservació.
Fitxers adjunts
- Document d’activitats per a l’alumnat sobre l’estudi comparatiu de residus (Word).
- Document d’activitats per a l’alumnat en relació amb el compostatge (Word).
- Document amb propostes de treball, un glossari i la bibliografia per a l’alumnat
(Word).
- Document tècnic complementari d’extrapolació de dades per al professorat (PDF).
- 13 fulls de càlcul en Excel i una aplicació en GeoGebra (html) (comprimits en zip).
El document Nucli de cadascun dels elements es pot visualitzar en l’adreça electrònica
de l’ARC <http://apliense.xtec.cat/arc/>; cercant l’element per autor, títol, tipus
d’element... (apartat 4.3) i clicant damunt l’apartat Descripció detallada. Els elements
didàctics d’aquest treball es poden trobar directament en l’adreça <http://apliense.
xtec.cat/arc/elements_didactics?body=&title=&field_autoria_value=xavier+gelada>.
3.2 L’especificació dels continguts, competències i processos
Donat que el document Nucli descriu de forma succinta els continguts, competències i
processos destacats que es treballen en l’element didàctic, es fa necessari, com a part
de la programació didàctica, descriure’ls detalladament.
Els continguts s’especifiquen en relació amb els blocs, subblocs i ítems del currículum i
es poden visualitzar accedint a l’element allotjat a l’ARC i clicant damunt l’apartat
Etiquetes Curriculars.
Les competències i els processos es detallen directament quan s’accedeix a l’element.
37
4 L’entrada dels elements a l’ARC i la cerca
Una vegada elaborada la programació didàctica d’un element concret, s’ha introduït a
l’ARC juntament amb el material de les activitats. Per efectuar aquesta entrada, a més
de determinar les etiquetes curriculars esmentades, ha calgut explicitar algunes
característiques pròpies de l’element didàctic importants per a la seva catalogació i
cerca. El conjunt d’aquestes característiques, amb l’especificació de les etiquetes
curriculars, configuren els descriptors que es mostren en l’apartat 4.1.
4.1 Descriptors per a l’entrada a l’ARC i la transferència de metadades
Els descriptors s’organitzen en set apartats:
Títol. Títol que dóna nom a l’element didàctic i que l’usuari té com a referència
al web.
Descripció. Text breu que té per funció donar una idea a l’usuari sobre què
consisteix l’element.
Imatge. Imatge representativa de l’element que es visualitza juntament amb el
títol i la descripció.
Tipus. Es classifiquen en deu grups en funció de la naturalesa de l’element, el
qual s’ha pogut assignar a un màxim de dos.
Tots els elements didàctics d’aquest treball s’han classificat tant al tipus
TAC com al de Context general o de la vida quotidiana, malgrat poden
compartir característiques pròpies d’altres grups com Material manipulable o
Treball fora de l’aula.
Material manipulable
Joc o recreació matemàtica
TAC
Enregistrament de vídeo i so
Conte o relat
Context general o de la vida quotidiana
Enllaç
38
Imatges i representacions
Referència històrica
Treball fora de l’aula
Etiquetes curriculars. Especifiquen l’etapa educativa, el curs i els continguts
en relació amb els blocs, subblocs i ítems del currículum.
Els elements d’aquest estudi s’adrecen especialment a 1r i 2n d’ESO amb la
finalitat d’abastar, entre tots, els 5 blocs curriculars d’ambdós nivells. L’extensió
i diversitat dels continguts inclosos en cadascun d’ells permet que es puguin
treballar, almenys parcialment, en altres nivells educatius.
Etiquetes de competències i processos. Determinen quines competències i
processos es troben especialment presents en l’element didàctic.
Etiquetes de relacions amb altres àrees i matèries. Estableix la
interdisciplinarietat amb altres àrees en el cas d’ESO i matèries per al batxillerat.
Se n’han pogut escollir un màxim de dues.
Paraules clau. Mots conceptuals susceptibles de ser utiltizats pel professorat
per referir-se als continguts propis de l’element didàctic. L’objectiu principal és
establir connexions entre elements didàctics.
Crèdits. Fa referència a l’autoria de l’element i la persona que l’ha catalogat.
4.2 Descripció bàsica dels elements didàctics d’aquest treball
Al llarg d’aquesta memòria s’han donat a conèixer alguns aspectes rellevants de tres
elements didàctics d’entre els quatre que s’han elaborat durant la llicència d’estudis.
Per tant, la finalitat d’aquest apartat és presentar de forma breu i visual els quatre
elements didàctics mitjançant alguns dels descriptors citats, que formen part de la
primera informació que l’usuari obté d’un element quan n’ha fet la cerca a l’ARC.
La presentació dels elements està seqüenciada en l’ordre en què s’han anat realitzant i
introduint en el web:
39
4.2.1 El Cercle és Art
Descripció en l’ARC
“Matemàtiques, comerç i poesia poden semblar d’entrada conceptes distants entre si,
però una observació atenta permet descobrir que es combinen amb perfecta harmonia.
El Teorema de Pitàgores; les equacions de primer grau; els productes notables; la
semblança i la seva relació amb perímetres, àrees i volums, o l’ús d’escales són part
dels continguts matemàtics que es conjuguen i fonamenten les activitats. Les
aplicacions en GeoGebra són un bon complement d’aquest element, orientat cap a un
aprenentatge contextualitzat i significatiu. Finalment, els treballs proposats permeten a
l’alumnat explorar matemàticament les connexions entre els conceptes citats, així com
el seu entorn urbà, de forma directa, estètica i constructiva”.
Autoria de la imatge: Xavier Gelada Serrat. Octubre de 2010.
Nivell: 2n d’ESO.
Documents
- Nucli: Document amb informació bàsica adreçat al professorat (PDF).
- Document d’activitats per a l’alumnat amb propostes de treballs (Word).
- Sis aplicacions en GeoGebra associades a les activitats (html comprimits en zip).
40
4.2.2 Proporcionalitat i Accessibilitat
Descripció en l’ARC
“Les matemàtiques juguen un paper fonamental en aspectes socials tan rellevants com
l’accessibilitat, que incideix decisivament en la qualitat de vida de tots nosaltres i,
especialment, de les persones amb mobilitat reduïda. Concretament, la
proporcionalitat, i per tant la semblança de figures i el Teorema de Tales, és el
concepte generatriu de les activitats, que evolucionen cap al càlcul algebraic, les
funcions lineals, la resolució d’equacions i la representació gràfica. Les aplicacions en
GeoGebra són un bon complement d’aquest element, orientat a un aprenentatge
contextualitzat i significatiu. Finalment, els treballs proposats permeten a l’alumnat
explorar matemàticament el seu entorn urbà, de forma directa, crítica i constructiva”.
Autoria de la imatge: Xavier Gelada Serrat. Agost de 2010.
Nivell: 2n d’ESO.
Documents
- Nucli: Document amb informació bàsica adreçat al professorat (PDF).
- Document d’activitats per a l’alumnat amb propostes de treballs (Word).
- Tres aplicacions en GeoGebra associades a les activitats (html comprimits en zip).
- Document del Codi d’Accessibilitat de Catalunya (PDF).
- Document Tècnic d’Accessibilitat a Espanya (PDF).
41
4.2.3 El Cilindre Seccionat
Descripció en l’ARC
“El cilindre seccionat és un cos geomètric sorprenent: conjuga la senzillesa de la
forma amb un gran potencial per generar continguts i processos matemàtics. Aquest
és l’eix al voltant del qual es treballen i relacionen de manera natural les mesures
angulars, la simetria i el càlcul d’àrees, superfícies i volums. L’ús del regle, l’escaire, el
compàs i el transportador és un dels mitjans per mostrar clarament aquestes
interrelacions. Un full de càlcul associat a un estudi estadístic i les aplicacions en
GeoGebra complementen aquest element, orientat a un aprenentatge contextualitzat i
significatiu. Finalment, els treballs proposats permeten a l’alumnat aplicar els
coneixements en la construcció i l’exploració matemàtica del seu entorn”.
Autoria de la imatge: Xavier Gelada Serrat. Març de 2011.
Nivell: 1r d’ESO.
Documents
- Nucli: Document amb informació bàsica adreçat al professorat (PDF).
- Document d’activitats per a l’alumnat amb propostes de treballs (Word).
- Dues aplicacions en GeoGebra (html) i un full de càlcul en Excel associades a les
activitats (comprimits en zip).
- Material adjunt per treballar la simetria a través del cilindre seccionat (Word).
- Material adjunt de propostes de desenvolupament del cilindre seccionat (Word).
42
4.2.4 El Problema dels Residus
Descripció en l’ARC
“L’estadística descriptiva és una eina eficaç per gestionar i prendre decisions
estratègiques sobre els residus que generem, un problema de cabdal importància en la
preservació del medi ambient i la nostra qualitat de vida. La creació d’hipòtesis convida
a les activitats a abordar l’estudi de gràfics estadístics de diferents tipus, el càlcul de
paràmetres de centralització i dispersió, la resolució de problemes de percentatges i
l’elaboració de conclusions i prediccions. Els fulls de càlcul i una aplicació en
GeoGebra completen aquest element, orientat a un aprenentatge contextualitzat i
significatiu dins i fora de l’entorn de l’alumnat. Finalment, els treballs proposats
permeten aprofundir-hi de forma crítica i constructiva”.
Autoria de la imatge: Xavier Gelada Serrat. Maig de 2011. Amb la col·laboració del SIGMA, Consorci de Medi Ambient i Salut Pública de la Garrotxa.
Nivell: 2n d’ESO.
Documents
- Nucli: Document amb informació bàsica adreçat al professorat (PDF).
- Document tècnic complementari d’extrapolació de dades per al professorat (PDF).
- Full de càlcul relacionat amb els conceptes descrits al document tècnic (Excel).
- Document d’activitats per a l’alumnat sobre l’estudi comparatiu de residus (Word).
- Document d’activitats per a l’alumnat en relació amb el compostatge (Word).
- Propostes de treballs, el glossari i la bibliografia per a l’alumnat (Word).
- Dotze fulls de càlcul en Excel i una aplicació en GeoGebra (comprimits en zip).
43
4.3 Cerca dels elements didàctics
L’objectiu d’aquest apartat és explicar breument com cercar en l’ARC qualsevol
element didàctic:
L’adreça per accedir a l’aplicació ARC és <http://apliense.xtec.cat/arc/>. Cal anar a la
pestanya Cerca i clicar Cerca d’elements didàctics. L’adreça del cercador és
<http://apliense.xtec.cat/arc/elements_didactics>, en el qual es poden utilitzar cinc
criteris per trobar elements, tal i com mostra la imatge del web:
Es poden obtenir tots els elements didàctics que continguin una determinada paraula
en la descripció o en el títol. Així, si es posa “cilindre” en els camps descripció o títol
sortirà l’element El Cilindre Seccionat i tots els que continguin aquest mot en la seva
descripció o al títol, respectivament. De forma anàloga, es busquen els elements
didàctics creats per una persona concreta posant el nom i/o el cognom en el camp de
la dreta.
Les etiquetes curriculars permeten trobar tots els elements corresponents a un curs
determinat, mentre que la llista Tipus d’element cerca tots els del grup seleccionat
d’entre la classificació dels deu tipus citats en els descriptors de l’apartat 4.1.
Per últim, tal i com s’ha especificat al final de l’apartat 3.1, per visualitzar directament
els elements didàctics d’aquest treball cal accedir a l’adreça <http://apliense.
xtec.cat/arc/elements_didactics?body=&title=&field_autoria_value=xavier+gelada>.
44
5 Continguts dels elements didàctics per
blocs, matèries i relacions amb l’entorn
En el primer quadre s’especifiquen els continguts matemàtics que treballen el conjunt
dels elements didàctics per blocs i unitats didàctiques, a 1r i 2n d’ESO. La referència
concreta d’una unitat didàctica no significa que s’abasti la totalitat dels seus continguts,
però sí de forma significativa.
Tot i aquesta classificació, tots els elements, en menor o major grau, no tant sols
recobreixen part dels continguts curriculars de l’altre curs, sinó que, per la varietat de
conceptes i procediments que els componen, poden ser implementats parcialment en
altres nivells. Per exemple, El Problema dels Residus conté alguna activitat que inclou
el càlcul de la desviació mitjana, variància i coeficient de variació, que són propis de 3r
d’ESO. Precisament, a més, aquest element didàctic conté material complementari
destinat al professorat que es centra en l’aplicació de polinomis de regressió per fer
prediccions mitjançant l’extrapolació de dades.
Un altre dels aspectes destacables d’aquest primer quadre fa referència a l’element
didàctic El Cilindre Seccionat que recorre la major part de les unitats de continguts de
1r d’ESO.
El segon i tercer quadres es centren en les relacions que s’estableixen entre els
elements didàctics, altres matèries curriculars i l’entorn de l’alumnat. S’ha considerat
especialment adient incloure aquests aspectes transversals a continuació dels
continguts propis de matemàtiques per donar una visió més completa d’aquests i de la
manera com es treballen. Representen, en definitiva, la concreció d’una manera de fer
matemàtiques comentada al llarg d’aquesta memòria.
45
11 A partir de l’activitat 14, l’element fa referència a la possibilitat de fer càlculs a mà amb
decimals en funció del nivell d’aprenentatge i les necessitats del moment.
Blocs
de continguts
1r d’ESO ( El Cilindre
Seccionat ) 2n d’ESO
Numeració i càlcul
Nombres decimals11
Percentatges i
Proporcionalitat
Nombres enters i decimals (El
Problema dels Residus).
Proporcionalitat i percentatges
(El Cercle és Art; Proporcionalitat
i Accessibilitat; El Problema dels
Residus).
Canvi i relacions
Expressions
algebraiques
Relacions de canvi
quantitatives i gràfiques
Expressions algebraiques (El
Cercle és Art; Proporcionalitat i
Accessibilitat).
Equacions de 1r grau (El Cercle
és Art; Proporcionalitat i
Accessibilitat).
Funcions (Proporcionalitat i
Accessibilitat; El Problema dels
Residus).
Espai i forma
Rectes i angles
Longituds i àrees de
figures planes
Superfícies i volums de
cossos geomètrics
Superfícies i volums de cossos
geomètrics (El Cercle és Art).
Teoremes de Pitàgores i Tales.
Semblança (El Cercle és Art;
Proporcionalitat i Accessibilitat).
Mesura
Mesuraments directes i
equivalències d’unitats
Mesuraments indirectes
Mesuraments directes i indirectes
de les dimensions de figures (El
Cercle és Art; Proporcionalitat i
Accessibilitat).
Conversió entre unitats (El
Cercle és Art; Proporcionalitat i
Accessibilitat).
Estadística i atzar Taules, gràfics i concepte
de probabilitat
Estadística (El Problema dels
Residus).
46
Altres matèries que es treballen
A més de matemàtiques, també es treballa:
Llengua catalana i literatura; Llengua castellana i literatura (El Cercle és Art).
Ciències de la naturalesa (El Problema dels Residus).
Educació per al desenvolupament personal i la ciutadania (Proporcionalitat i
Accessibilitat; El Problema dels Residus).
Educació visual i plàstica (El Cercle és Art; El Cilindre Seccionat).
Tecnologies (Proporcionalitat i Accessibilitat; El Cilindre Seccionat).
Relacions amb l’entorn
Cadascun dels elements didàctics estableix relacions directes en els àmbits següents:
El Cercle és Art
Disseny d’expositors comercials.
Consulta bibliogràfica en equipaments municipals com biblioteques.
Proporcionalitat i Accessibilitat
Condicions d’accessibilitat en l’entorn urbà.
Participació ciutadana per a la igualtat de drets i oportunitats en la societat.
El Cilindre Seccionat
Disseny d’objectes geomètrics d’ús quotidià i obres escultòriques.
Elements arquitectònics.
Instal·lacions de ventilació, fumisteria i acondiciament d’espais.
Fenòmens físics de caràcter ondulatori.
Morfologia dels éssers vius.
El Problema dels Residus
Punts de recollida de residus varis i equipaments tecnològics de tractament.
Conservació de l’entorn natural.
47
6 Difusió del treball
El principal canal de difusió ha estat l’aplicació web ARC en la qual s’ha allotjat tot el
material. El seu cercador (apartat 4.3) posa a l’abast del món educatiu una gran
quantitat de recursos en format digital, de naturalesa molt diversa i corresponents a
diferents àrees. Tot i que el projecte eduCAT 1x1 – Escola 2.0 ha potenciat sobretot el
recobriment curricular de l’ESO en l’ARC, aquest pretén abastar les diferents etapes,
des de l’educació infantil fins al batxillerat.
El CESIRE creamat, responsable del naixement i desenvolupament de l’ARC, ha estat
l’entitat a través de la qual s’ha vehiculat la col·laboració mitjançant aquesta llicència
d’estudis. El CREAMAT representa un punt de trobada entre el professorat de
matemàtiques, impulsa conferències i tallers destinats als docents i fa difusió de tot
tipus d’activitats en l’entorn de l’educació matemàtica. Així, de cara el curs 2011-2012
s’ha planificat la divulgació d’aquest treball a través de diferents vies:
o Realització d’una conferència dedicada a presentar el material elaborat en la
llicència d’estudis en el marc de la FEEMCAT (Federació d’Entitats per
l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya).
o Elaboració de vídeos didàctics que il·lustrin els continguts i el procés
d’ensenyament-aprenentatge a l’aula.
o Incorporació de les llicències dins la programació d’altres jornades significatives
al voltant de l’educació matemàtica.
Paral·lelament al CREAMAT, també es contemplen altres mitjans de difusió com la
publicació d’articles en revistes especialitzades i una conferència en l’Agència de
Residus de Catalunya per donar a conèixer el material elaborat en matèria de residus
(El Problema dels Residus).
48
7 Conclusió final
En l’inici de la memòria expressava la voluntat de crear materials digitals veritablement
contextualitzats i rellevants per contribuir a millorar la percepció de les matemàtiques
d’una part important de l’alumnat a través d’un aprenentatge amb sentit, més enllà
d’una nota o la consecució rutinària d’un conjunt de tècniques.
Un cop finalitzat el treball puc dir que el resultat dels elements didàctics i l’anàlisi que
acompanya aquest document acompleixen adequadament aquest propòsit. Sovint
queda el desig inconformista de voler fer més, d’arribar més lluny, però el temps és
implacable i mig any de llicència d’estudis imposa unes limitacions evidents.
Al llarg d’aquest document s’ha posat de manifest el diàleg profund que existeix entre
matemàtiques i realitat, i com aquesta relació pot beneficiar enormement el procés
d’ensenyament-aprenentatge. També s’han analitzat els mecanismes mentals que
han permès construir els elements didàctics i dotar-los d’una estructura lògica capaç
d’adaptar-se a l’activitat educativa diària, en funció de quins continguts cal treballar i la
seva temporització.
Tota aquesta feina feta, les reflexions constants que l’han acompanyada i la pràctica
docent són els elements de judici que m’han portat a les conclusions següents:
Els contextos seleccionats són apropiats tant per generar continguts
matemàtics específics com per treballar les competències curriculars i
potenciar les habilitats de l’alumnat per afrontar el món de forma crítica i
constructiva.
Els elements didàctics elaborats, i això és fonamental, poden implementar-se
fàcilment en el treball dins i fora de l’aula. Això és possible gràcies a diferents
nivells de flexibilitat: Des de poder dur a terme, en un mateix element, múltiples
recorreguts d’activitats en funció dels continguts i del nombre d’hores
disponible, fins a la possibilitat d’abordar en un determinat moment una sola
activitat, o optar, si es vol, per treballar només alguns apartats d’un conjunt
d’activitats.
49
Les propostes d’activitats ofereixen un equilibri necessari entre l’ús de les TAC i
el de les eines tradicionals d’aprenentatge com són el llapis i el paper, el regle,
l’escaire, el compàs o el transportador d’angles.
Les propostes de treball amplien l’activitat matemàtica almenys en dos
aspectes: D’una banda, fomenten el treball en equip i per tant l’intercanvi de
diferents punts de vista. I de l’altra, proporcionen un sentit real i pràctic a
l’activitat matemàtica mitjançant l’aplicació fora de l’aula dels aprenentatges
adquirits.
Finalment, vull senyalar que aquesta manera d’entendre l’educació matemàtica a
través del treball de continguts veritablement contextualitzats i rellevants s’ha
d’interpretar de forma equilibrada: Un aprenentatge constructivista basat únicament o
fonamentalment en el treball en contextos “externs” a les matemàtiques ens aboca a
una manca evident del domini de la tècnica, imprescindible per resoldre problemes i
poder realitzar multitud d’estudis posteriors. Així, doncs, cal trobar, en funció de les
característiques de cada grup classe, la proporció adequada entre ambdues formes
d’entendre el procés d’ensenyament-aprenentatge.
Ara bé, tal i com s’ha esmentat en la introducció, poder trobar aquesta fórmula
dependrà, en gran mesura, de la capacitat de reflexió i de presa de decisions
concretes tant de l’Administració educativa com del conjunt dels agents que participen
en el sistema educatiu. Només així serà viable l’assoliment d’aquest equilibri.
50
8 Agraïments
L’elaboració d’aquest treball ha estat possible, d’una banda, gràcies a una
col·laboració fonamental del dia a dia des d’una vessant familiar i, de l’altra, a les
aportacions de moltes altres persones des d’un àmbit professional i també humà. A
totes elles vull expressar-los el meu agraïment:
La meva dona, la Jenina Diez, ha estat una persona clau. Valoro profundament tant el
seu suport generós com la seva paciència i comprensió al llarg de la meva tasca, així
com la lectura prèvia de la memòria i els seus comentaris. I també la meva filla la
Clàudia Gelada, que amb la seva energia i vitalitat ha estat un motor emocional molt
important per a mi.
Vull agrair als meus pares, Rosa Serrat i Pere Gelada, i al meu germà, Gabriel, el seu
esforç per tirar endavant una família, sobretot tenint en compte tot allò que hem
compartit i les experiències viscudes.
La Maria Figueras i la Rosa Maria Montserrat també han estat fonamentals. La seva
constant disposició a atendre diferents aspectes de la vida quotidiana han facilitat
moltíssim la meva feina en què el temps sovint és un factor difícil de gestionar.
Ha estat l’equip del CREAMAT qui m’ha obert les portes a la possibilitat de poder
desenvolupar aquest treball. A tots ells els dono les gràcies, en especial en Jorge
Sánchez i l’Anton Aubanell per acollir tan favorablement la meva proposta, assessorar-
me en tots aquells aspectes dels quals tenia dubtes i animar-me a seguir endavant.
Sempre m’he sentit valorat tant des d’un de vista professional com humà.
La predisposició d’en Xavier Besalú, professor del Departament de Pedagogia de la
Universitat de Girona, a supervisar la llicència d’estudis i el seu tracte afable i
constructiu han estat decisius per poder du a terme tota aquesta tasca. En el mateix
sentit, l’atenció cordial i l’interès mostrat pel meu projecte des del primer dia per part
d’en Jordi Feu, professor de Sociologia de la Universitat de Girona, van encoratjar-me
a seguir endavant i permetre posar-me en contacte amb en Xavier Besalú.
Vull agrair en Lluís Duran tant les observacions fetes en relació amb el treball com les
bones estones que hem passat reflexionant sobre la docència. Les nostres idees sobre
51
la manera d’entendre l’educació han estat de vegades diferents, però sempre
complementàries, enriquidores i molt cordials (fins i tot som capaços de compaginar
l’intercanvi d’opinions amb la pràctica apassionada del ping-pong !). A més, va ser ell
qui va proposar-me materialitzar les meves inquietuds a través d’una llicència
d’estudis, una possibilitat que fins aleshores desconeixia del tot.
I també a l’Anna Juárez pel seu interès per la meva llicència i haver-me proporcionat
fonts d’informació valuoses que han contribuït de forma significativa a l’assoliment dels
objectius proposats.
En Francesc Canalias, en Marc Arimany i l’Anna Buxó, del SIGMA, sempre han estat
predisposats a utilitzar part del seu temps a resoldre els meus dubtes, proporcionar-me
informació i organitzar les visites guiades a les instal·lacions de tractament de residus,
que han estat una de les experiències més interessants i formatives al llarg del treball.
D’altra banda, la Teresa Guerrero i la Gisela Sommer, de l’Agència de Residus de
Catalunya, m’han assessorat de manera eficient i amable en totes les ocasions en què
m’hi he posat en contacte, a més d’acollir molt positivament i de forma constructiva els
meus suggeriments i comentaris.
L’empresa METALÚRGICA ROS, S.A.U., a través de la Mariona Vilanova, m’ha
proporcionat material molt interessant, tant en relació amb algunes activitats
elaborades com en possibles projectes que m’agradaria du a terme en el futur. És
extraordinàriament motivador poder establir ponts de comunicació entre el món
educatiu i una empresa com aquesta, que constitueix una referència tecnològica
nacional i internacional en el seu sector.
També agraeixo que m’hagi estat concedida aquesta llicència d’estudis retribuïda,
amb la qual he tingut l’oportunitat de plasmar una part important de les meves
inquietuds pel que fa a l’educació matemàtica. Desitjo que el material desenvolupat i
les reflexions que acompanyen aquesta memòria siguin d’utilitat a la comunitat
educativa i a la societat en general.
52
9 Bibliografia
(1) Casadevall, M. L’educació matemàtica a través del treball en contextos no
matemàtics. [en línia]. Barcelona: Generalitat de Catalunya, 2009.
<http://www.xtec.es/sgfp/llicencies/200809/memories/1877m.pdf> [consulta:14.7.
2011].
(2) Chevallard, Y. (1999). L’analyse des pratiques enseignantes en théorie
anthropologique du didactique, Recherches en Didactique des Mathématiques,
19/2, 221-266.
(3) Collette, Jean-Paul (1993). Historia de las matemáticas. Madrid: Siglo veintiuno
de España Editores, sa.
(4) Departament d’Ensenyament. Generalitat de Catalunya: ARC. Aplicació de
Recobriment Curricular. Recursos per al professorat. Generalitat de Catalunya
<http://apliense.xtec.cat/arc/> [consulta: 16.7.2011].
(5) Departament d’Educació. Generalitat de Catalunya. Currículum i Organització [en
línia]. Generalitat de Catalunya.<http://phobos.xtec.cat/edubib/intranet/> [consulta
:1.7.2011].
(6) Departament d’Educació. Generalitat de Catalunya: Pacte Nacional per a
l’Educació. Debat curricular. Reflexions i propostes [en línia]. Generalitat de
Catalunya. <www.gencat.cat/educacio/debatcurricular/propostes.htm> [consulta:
20.8.2009].
(7) DOGC. Currículum educació secundària obligatòria. Matemàtiques [en línia].
Departament d’Ensenyament. Generalitat de Catalunya, 2007. <http://phobos.
xtec.cat/edubib/intranet/file.php?file=docs/ESO/matematiques_eso.pdf> [consulta
: 10.7.2011].
(8) Gelada, X. Elements didàctics. ARC. Aplicació de Recobriment Curricular [en
línia]. Departament d’Ensenyament. Generalitat de Catalunya, 18.3.2011.
<http://apliense.xtec.cat/arc/elements_didactics?body=&title=&field_autoria_value
=xavier+gelada> [consulta: 23.7.2011].
53
(9) Institut d’Estadística de Catalunya (Idescat). Despesa pública en educació
respecte al PIB. [en línia]. Barcelona: Idescat. <http://www.idescat.cat/economia
/inec?tc=3&id=8308> [consulta: 10.7.2011].
(10) Instituto Nacional de Evaluación y Calidad del Sistema Educativo (INECSE)
(2005). Pisa 2003. Pruebas de Matemáticas y de Solución de Problemas. Madrid:
Ministerio de Educación y Ciencia.
(11) Ministerio de Educación y Ciencia. Informe español Pisa 2006. Madrid: Ministerio
de Educación y Ciencia. <http://www.mec.es/multimedia/00005713.pdf> [consulta
: 11.7.2011].
(12) Ministerio de Educación. Informe español PISA 2009. Madrid: Ministerio de
Educación. <http://recursostic.educacion.es/blogs/europa/index.php/2010/12/09
/title-5> [consulta:11.7.2011].
(13) Mora, T. (2010). La situació de les matemàtiques a la secundària catalana.
Anàlisi de l’estat de l’ensenyament i l’aprenentatge. Barcelona: Universitat
Internacional de Catalunya.
(14) Niss, Mogens. “Las matemáticas en la sociedad”, dins UNO Revista de didáctica
de las matemáticas, núm. 6, 2005, p. 45-58.
(15) Pólya, G. (1945). How to Solve It, 2a. ed., (1957) Doubleday: Princeton. [Trad.
espanyola: Cómo plantear y resolver problemas, Trillas: México, (1981)].
(16) Vygotsky, L. S. (1934): Pensamiento y lenguaje, Traducción española de María
Margarita Rotger, Ed. La Pléyade: Buenos Aires, 1987.